نظرية المجموعات. مفاهيم أساسية
نظرية المجموعات هي التعريف الأساسي للرياضيات الحديثة. تم إنشاؤه بواسطة جورج كانتور في ستينيات القرن التاسع عشر. لقد كتب: "المتعدد هو كثير، يُنظر إليه على أنه كل واحد". يعد مفهوم المجموعة أحد المفاهيم الأساسية غير المحددة في الرياضيات. ولا يمكن اختزالها في مفاهيم أخرى أبسط. ولذلك لا يمكن تعريفه، بل يمكن تفسيره فقط. وبالتالي، فإن المجموعة عبارة عن توحيد في مجموعة واحدة من الأشياء التي يمكن تمييزها بوضوح عن طريق حدسنا أو فكرنا؛ مجموعة من كائنات معينة تحددها خاصية مشتركة.
على سبيل المثال،
1. العديد من سكان فورونيج
2. مجموعة من النقاط المستوية
3. مجموعة الأعداد الطبيعية ℕالخ.
يُشار إلى المجموعات عادةً بأحرف لاتينية كبيرة ( أ، ب، جإلخ.). تسمى الكائنات التي تشكل مجموعة معينة عناصرها. يُشار إلى عناصر المجموعة بأحرف لاتينية صغيرة ( أ، ب، جإلخ.). لو X- اضبط، ثم سجل س∈سيعني أن Xهو عنصر من عناصر المجموعة Xأو ماذا Xينتمي إلى المجموعة X، والدخول س∉سهذا العنصر Xلا ينتمي إلى المجموعة X. على سبيل المثال، لنفترض أن ℕ هي مجموعة الأعداد الطبيعية. ثم 5 ℕ ، أ 0,5∉ℕ .
إذا مجموعة ييتكون من عناصر المجموعة X، ثم يقولون ذلك يهي مجموعة فرعية من المجموعة Xوتدل نعم(أو نعم). على سبيل المثال، مجموعة من الأعداد الصحيحة ℤ هي مجموعة فرعية من الأعداد العقلانية ℚ .
إذا لمجموعتين Xو يحدوث اثنين من الادراج في وقت واحد س صو ص س، أي. Xهي مجموعة فرعية من المجموعة يو يهي مجموعة فرعية من المجموعة X، ثم المجموعات Xو يتتكون من نفس العناصر. مثل هذه المجموعات Xو يتسمى متساوية وتكتب: س=ص.
غالبًا ما يستخدم مصطلح المجموعة الفارغة - Ø - المجموعة التي لا تحتوي على عنصر واحد. إنها مجموعة فرعية من أي مجموعة.
يمكن استخدام الطرق التالية لوصف المجموعات.
طرق تحديد المجموعات
1. تعداد الكائنات. تستخدم فقط لمجموعات محدودة.
على سبيل المثال، X=(x1، x2، x3… x n). سجل ي ={1, 4, 7, 5} يعني أن المجموعة تتكون من أربعة أرقام 1, 4, 7, 5 .
2. بيان الخاصية المميزة لعناصر المجموعة.
ولهذا الغرض، يتم تعيين خاصية معينة ر، والذي يسمح لك بتحديد ما إذا كان العنصر ينتمي إلى مجموعة أم لا. هذه الطريقة أكثر عالمية.
X=(س: ف(س))
(مجموعة من Xيتكون من مثل هذه العناصر X، الذي يحمل العقار ف (س)).
يمكن تحديد مجموعة فارغة عن طريق تحديد خصائصها: Ø=(س: س≠س)
يمكنك إنشاء مجموعات جديدة باستخدام مجموعات محددة بالفعل باستخدام العمليات على المجموعات.
تعيين العمليات
1. الاتحاد (المجموع) هو مجموعة تتكون من كل تلك العناصر، ينتمي كل منها إلى مجموعة واحدة على الأقل أأو في.
A∪B=(x: x A أو x B).
2. التقاطع (المنتج) هو مجموعة تتكون من جميع العناصر، كل منها ينتمي في نفس الوقت إلى المجموعة أ، والعديد في.
أ∩ب=(س: س أ و س ب).
3. تحديد الفرق أو فيهي مجموعة تتكون من كل تلك العناصر التي تنتمي إلى المجموعة أولا تنتمي إلى الجمهور في.
أ\ب=(س: س أ و س ب)
4. إذا أ- مجموعة فرعية من مجموعة في. هذا كثير ب\أتسمى تكملة المجموعة أكثير جدا فيوتدل أ'.
5. الفرق المتماثل بين مجموعتين هو المجموعة أ∆ب=(أ\ب) (ب\أ)
ن- مجموعة جميع الأعداد الطبيعية؛
ز- مجموعة جميع الأعداد الصحيحة؛
س- مجموعة جميع الأعداد النسبية؛
ر- مجموعة جميع الأعداد الحقيقية؛
ج- مجموعة جميع الأعداد المركبة؛
ض 0- مجموعة الأعداد الصحيحة غير السالبة.
خصائص العمليات على المجموعات:
1. أ ب = ب أ (تبادلية الاتحاد)
2. أ ب = ب أ (إبدالية التقاطع)
3. أ(ب ج)=(أ في) ج (النقابة النقابية)
4 ا (في ج)=(أ في) C (ترابط التقاطع)
5. أ (في ج)=(أ في) (أ ج) (القانون الأول للتوزيع)
6. أ (في ج)=(أ في) (أ ج) (القانون الثاني للتوزيع)
7. أ Ø=أ
8. أ ش= ش
9. أ Ø= Ø
10. أ ش = أ
11. (أ ب)'=أ' ب' (قانون دي مورغان)
12. (أ ب)'=أ' ب' (قانون دي مورغان)
13. أ (أ ب)=أ (قانون الامتصاص)
14. أ (أ ب)=أ (قانون الامتصاص)
دعونا نثبت الخاصية رقم 11. (أ ب)'=أ' في'
من خلال تعريف المجموعات المتساوية، نحتاج إلى إثبات تضمينين 1) (أ ب)’ ⊂أ’ في';
2) أ' ب'⊂(أ في)'.
لإثبات الإدراج الأول، فكر في عنصر تعسفي س∈(أ ب)'=X\(أ∪ب).هذا يعني انه س∈X، س∉ أ∪ب. إنه يتبع هذا س∉أو س∉ب، لهذا س∈X\Aو س∈X\Bمما يعني س∈أ'∩ب'. هكذا، (أ ب)'⊂أ' في'
العودة إذا س∈أ' في'، الذي - التي Xينتمي في وقت واحد إلى مجموعات أ'، ب'مما يعني س∉أو س∉ب. إنه يتبع هذا س∉ أ في، لهذا س∈(أ في)'. لذلك، أ' ب'⊂(أ في)'.
لذا، (أ ب)'=أ' في'
تسمى المجموعة المكونة من عنصرين، والتي يتم فيها تحديد ترتيب العناصر، زوجًا مرتبًا. لكتابتها، استخدم الأقواس. (× 1، × 2)– مجموعة مكونة من عنصرين حيث x 1 يعتبر العنصر الأول و x 2 هو العنصر الثاني. الأزواج (× 1، × 2)و (× 2، × 1)،أين × 1 ≠ × 2، تعتبر مختلفة.
تسمى المجموعة التي تتكون من n من العناصر، والتي يتم فيها تحديد ترتيب العناصر، مجموعة مرتبة من n من العناصر.
المنتج الديكارتي عبارة عن مجموعة عشوائية × 1، × 2،…،X نمجموعات مرتبة من عناصر n، حيث × 1 × 1، × 2 × 2 ,…, × ن Xn
× 1 Xn
إذا كانت مجموعات × 1، × 2،…،X نمباراة (X 1 = X 2 =…=X n)، ثم يتم الإشارة إلى منتجهم Xn.
على سبيل المثال، ℝ 2 – مجموعة من الأزواج المرتبة من الأعداد الحقيقية .
علاقات التكافؤ. مجموعات العوامل
بناءً على مجموعة معينة، يمكن بناء مجموعات جديدة من خلال النظر في مجموعة بعض المجموعات الفرعية. في هذه الحالة، لا نتحدث عادةً عن مجموعة من المجموعات الفرعية، بل عن عائلة أو فئة من المجموعات الفرعية.
في عدد من الأسئلة، يتم النظر في فئة هذه المجموعات الفرعية لمجموعة معينة أوالتي لا تتقاطع والتي يتزامن اتحادها معها أ. إذا كانت هذه المجموعة أيمكن تمثيلها كاتحاد لمجموعاتها الفرعية المنفصلة، فمن المعتاد أن نقول ذلك أمقسمة إلى فئات. يتم التقسيم إلى فئات على أساس بعض الخصائص.
يترك Xليست مجموعة فارغة، ثم أي مجموعة فرعية رمن العمل X Xتسمى العلاقة الثنائية في المجموعة X. إذا كان زوجين (س، ص)متضمن في ص،يقولون أن العنصر x موجود في العلاقة رمع في.
على سبيل المثال، العلاقات س = ص، س≥yهي العلاقات الثنائية في المجموعة ℝ.
علاقة ثنائية رعلى مجموعة Xتسمى علاقة التكافؤ إذا:
1. (س، س) ص ؛ X X (خاصية الانعكاسية)
2. (س، ص) ص => (ص، س) R (خاصية التناظر)
3. (س، ص) ص، (ص، ض) ص، ثم (س، ض) R (خاصية الانتقالية)
إذا كان زوجين (س، ص)دخلت في علاقات التكافؤ، ثم يسمى x و y متكافئين (س ~ ص).
1.دع ℤ - مجموعة من الأعداد الصحيحة، م≥1- عدد صحيح. دعونا نحدد علاقة التكافؤ رعلى ℤ لهذا السبب. ن ~ ك، لو ن-كمقسمة على م. دعونا نتحقق مما إذا كانت الخصائص راضية عن هذه العلاقة.
1. الانعكاسية.
لأي احد ن∈ℤ ℤ مثل ذلك (ع، ع)∈R
ص-ص=0. لأن 0∈ ℤ ، الذي - التي (ع،ع)∈ℤ.
2. التماثل.
من (ن،ك) ∈Rويترتب على ذلك أن هناك شيء من هذا القبيل ∈ℤ، ماذا ن-ك=النائب;
ك-ن =م(-ص)، -ص∈ ℤ، لذلك (ك، ن) ∈R.
3. العبورية.
من ماذا (ن،ك) ∈R, (ك، ف) ∈Rويترتب على ذلك أن هناك مثل هذا ص 1و ص 2 ∈ ℤ، ماذا ن-ك=النائب 1و ك-ف=النائب 2. بإضافة هذه التعبيرات، نحصل على ذلك ن-ف=م(ص 1 + ص 2)، ص 1 + ص 2 =ص، ص∈ ℤ. لهذا (ن،ف) ∈ ℤ.
2. النظر في المجموعة Xجميع الأجزاء الموجهة من الفضاء أو المستوى . =(أ، ب). دعونا نقدم علاقة التكافؤ رعلى X.
تعيين عامل
الجموع.
علاقة الترتيب الجزئي على المجموعة x هي علاقة ثنائية غير متماثلة وانعكاسية ومتعدية ويشار إليها بـ
كزوج:
تسمى العلاقة الثنائية بالتسامح إذا كانت انعكاسية ومتماثلة.
تسمى العلاقة الثنائية شبه ترتيب إذا كانت غير انعكاسية وغير متماثلة ومتعدية (ترتيب مسبق).
تسمى العلاقة الثنائية ترتيبًا صارمًا إذا كانت انعكاسية ومتعدية.
العملية الجبرية enary على المجموعة M هي الدالة
- عملية أحادية؛
- عملية ثنائية؛
- عملية تجريبية.
العمليات الجبرية الثنائية –
- عملية تعين لكل زوج مرتب من المجموعة M بعض عناصر المجموعة M.
ملكيات:
1) التبادلية:
2) الترابط:
عنصر محايد
يضبط M لعملية جبرية ثنائية
العنصر يسمى :
اجعل R علاقة ثنائية في المجموعة X. تسمى العلاقة R عاكس ، إذا (x، x) О R للجميع x О X؛ متماثل - إذا كان من (x, y) О R يتبع (y, x) О R؛ الرقم المتعدي 23 يتوافق مع الخيار 24 إذا كانت (x, y) О R و (y, z) О R تشير ضمنًا إلى (x, z) О R.
مثال 1
سنقول أن x О X لديه قواسم مشتركة
مع العنصر y О X، إذا كانت المجموعة
x ç y ليست فارغة. ستكون العلاقة المشتركة انعكاسية ومتماثلة، ولكنها ليست متعدية.
علاقة التكافؤعلى X هي علاقة انعكاسية، متعدية ومتماثلة. من السهل أن نرى أن R Í X ´ X ستكون علاقة تكافؤ إذا وفقط إذا كانت التضمينات:
معرف X Í R (الانعكاسية)،
R -1 Í R (التناظر)،
R ° R Í R (العبورية).
وفي الواقع فإن هذه الشروط الثلاثة تعادل ما يلي:
معرف X Í R، R -1 = R، R ° R = R.
بالتقسيممجموعة X هي المجموعة A من مجموعات فرعية منفصلة زوجية a Í X بحيث UA = X. مع كل قسم A يمكننا ربط علاقة تكافؤ ~ على X، مع وضع x ~ y إذا كانت x و y عناصر لبعض a Î A .
كل علاقة تكافؤ ~ على X تتوافق مع القسم A، عناصره عبارة عن مجموعات فرعية، كل منها يتكون من تلك الموجودة في العلاقة ~. تسمى هذه المجموعات الفرعية فئات المعادلة . يُسمى هذا القسم A مجموعة عوامل المجموعة X فيما يتعلق بـ ~ ويُشار إليه بـ: X/~.
دعونا نحدد العلاقة ~ في مجموعة الأعداد الطبيعية، ونضع x ~ y إذا كان باقي قسمة x و y على 3 متساويين. ثم يتكون w/~ من ثلاث فئات معادلة تقابل الباقي 0 و1 و2.
علاقة النظام
تسمى العلاقة الثنائية R على المجموعة X غير متماثل ، إذا كان من x R y و y R x يتبع: x = y. تسمى العلاقة الثنائية R على المجموعة X علاقة النظام إذا كانت انعكاسية وغير متماثلة ومتعدية. ومن السهل أن نرى أن هذا يعادل الشروط التالية:
1) معرف X Í R (الانعكاسية)،
2) R ç R -1 (عدم التماثل)،
3) R ° R Í R (العبورية).
يسمى الزوج المرتب (X, R) الذي يتكون من المجموعة X وعلاقة الترتيب R على X مجموعة مرتبة جزئيًا .
مثال 1
دع X = (0، 1، 2، 3)، R = ((0، 0)، (0، 1)، (0، 2)، (0، 3)، (1، 1)، (1، 2) )، (1، 3)، (2، 2)، (3، 3)).
بما أن R تحقق الشروط 1 – 3، فإن (X, R) هي مجموعة مرتبة جزئيًا. بالنسبة للعناصر x = 2، y = 3، لا x R y ولا y R x صحيح. تسمى هذه العناصر لا تضاهى . عادة ما يتم الإشارة إلى علاقة الطلب بـ £. في المثال الموضح، 0 جنيه استرليني 1 و2 جنيه استرليني 2، ولكن ليس صحيحًا أن 2 جنيه استرليني 3.
مثال 2
يترك< – бинарное отношение строгого неравенства на множестве w натуральных чисел, рассмотренное в разд. 1.2. Тогда объединение отношений = и < является отношением порядка £ на w и превращает w в частично упорядоченное множество.
يتم استدعاء العناصر x، y О X لمجموعة مرتبة جزئيًا (X، £). قابلة للمقارنة ، إذا كان x £ y أو y £ x.
يتم استدعاء مجموعة مرتبة جزئيًا (X، £). أمر خطيا أو سلسلة إذا كان أي عنصرين من عناصرها متشابهين. سيتم ترتيب المجموعة من المثال 2 خطيًا، لكن المجموعة من المثال 1 لن تكون كذلك.
يتم استدعاء مجموعة فرعية A Í X من مجموعة مرتبة جزئيًا (X، £). يحدها فوق ، إذا كان هناك عنصر x О X بحيث يكون £ x لكل О A. يسمى العنصر x О X الاكبر في X إذا كانت y £ x لجميع y О X. يُسمى العنصر x О X بالحد الأقصى إذا لم يكن هناك عناصر y О X مختلفة عن x التي x £ y. في المثال 1، سيكون العنصران 2 و3 هما الحد الأقصى، ولكن ليس الأكبر. تعريف بالمثل الحد الأدنى المجموعات الفرعية والعناصر الأصغر والأدنى. في المثال 1، سيكون العنصر 0 هو الأصغر والأدنى. في المثال 2، يحتوي 0 أيضًا على هذه الخصائص، ولكن (w, £) لا يحتوي على العنصر الأكبر ولا الحد الأقصى.
اجعل (X, £) مجموعة مرتبة جزئيًا، A Í X مجموعة فرعية. العلاقة على A، التي تتكون من أزواج (a، b) من العناصر a، b О A، والتي بالنسبة لها £ b، ستكون علاقة ترتيبية على A. ويشار إلى هذه العلاقة بنفس الرمز: £. وبالتالي، (A، £) هي مجموعة مرتبة جزئيًا. إذا كان مرتبًا خطيًا، فسنقول أن A هو سلسلة في (X، جنيه استرليني).
الحد الأقصى للمبدأ
بعض العبارات الرياضية لا يمكن إثباتها بدون بديهية الاختيار. ويقال أن هذه التصريحات تعتمد على بديهية الاختيار أو صالحة في نظرية ZFC في الممارسة العملية، بدلاً من بديهية الاختيار، يتم عادةً استخدام بديهية Zermelo، أو Kuratowski-Zorn lemma، أو أي عبارة أخرى مكافئة لبديهية الاختيار للإثبات.
كوراتوفسكي-زورن ليما. إذا كانت كل سلسلة في مجموعة مرتبة جزئيًا(X، جنيه استرليني) يقتصر من فوق، ثم في X هناك عنصر أقصى واحد على الأقل.
هذه ليما تعادل بديهية الاختيار، وبالتالي يمكن قبولها كبديهية.
نظرية.لأي مجموعة مرتبة جزئيًا(X، جنيه استرليني) هناك علاقة تحتوي على العلاقة£ والتحول X في مجموعة مرتبة خطيا.
دليل. يتم ترتيب مجموعة جميع علاقات الترتيب التي تحتوي على العلاقة £ بواسطة علاقة التضمين U. نظرًا لأن اتحاد سلسلة علاقات النظام سيكون علاقة نظامية، فمن خلال قاعدة كوراتوفسكي-زورن توجد علاقة قصوى R بحيث أن x £ y تعني x R y. دعونا نثبت أن R هي علاقة ترتيبًا خطيًا لـ X. لنفترض العكس: دع هناك a، b О X بحيث لا ينتمي (a، b) ولا (b، a) إلى R. خذ بعين الاعتبار العلاقة:
R ¢ = R È ((x, y): x R a و b R y).
يتم الحصول عليها عن طريق إضافة الزوج (a، b) إلى R والأزواج (x، y)، والتي يجب إضافتها إلى R ™ بشرط أن تكون R ™ علاقة ترتيبية. من السهل أن نرى أن R ™ انعكاسية وغير متماثلة ومتعدية. نحصل على R Ì R ™، الذي يتعارض مع الحد الأقصى لـ R، وبالتالي، R هي علاقة الترتيب الخطي المطلوبة.
تسمى المجموعة X المرتبة خطيًا بأنها مرتبة جيدًا إذا كانت كل مجموعة فرعية غير فارغة A Í X منها تحتوي على أصغر عنصر a Î A. إن قاعدة كوراتوفسكي-زورن وبديهية الاختيار تعادل أيضًا العبارة التالية:
بديهية زيرميلو. لكل مجموعة علاقة ترتيبية تحولها إلى مجموعة مرتبة بالكامل.
على سبيل المثال، مجموعة الأعداد الطبيعية مرتبة بالكامل. يتم تلخيص مبدأ الحث على النحو التالي:
الحث العابر للحدود. لو(X، جنيه استرليني) هي مجموعة مرتبة بالكامل وF(x) هي خاصية لعناصرها،صحيح بالنسبة لأصغر عنصر x 0 О X وذلك من حقيقة F(y) لجميع y < z следует истинность F(z), то و(خ) صحيح للجميع× × × .
هنا ذ< z означает, что у £ z, но y ¹ z. Действительно, в противном случае среди x Î X, не обладающих свойством F(x), можно выбрать наименьший элемент x 1 , и выполнение F(y) для всех y < x 1 приводит к выполнению F(x 1), противоречащему предположению.
مفهوم القوة
دع f: X à Y و g: Y à Z تكون خرائط للمجموعات. نظرًا لأن f وg علاقات، يتم تعريف تكوينهما g ° f(x) = g(f(x)). إذا كانت h: Z à T عبارة عن خريطة للمجموعات، فإن h ° (g ° f) = (h ° g) ° f. العلاقات Id X و Id Y هي وظائف، لذلك، يتم تعريف التراكيب Id Y ° f = f ° Id x = f. بالنسبة لـ X = Y، نحدد f 2 = f ° f، f 3 = f 2 ° f، ...، f n+1 = f n ° f.
يتم استدعاء التعيين f: X àY عن طريق الحقن ، إذا كان لأي عنصر x 1 ¹ x 2 من المجموعة X، فإن f(x 1) ¹ f(x 2) يحمل. يسمى التعيين f surjection ، إذا كان لكل y ОY يوجد x О X بحيث يكون f(x) = y. إذا كانت f عبارة عن جراحة وحقنة معًا، فسيتم استدعاء f الاعتراض . من السهل أن نرى أن f عبارة عن اعتراض إذا وفقط إذا كانت العلاقة العكسية f -1 Í Y ´ X هي دالة.
سنقول أن المساواة |X| = |Y|، إذا كان هناك خلاف بين X وY. دع |X| £ |Y|، إذا كان هناك حقنة f: X à Y.
نظرية كانتور-شرودر-برنشتاين. لو|س| £ |ص| و|ص| £ |X| ، الذي - التي|س| = |ص|.
دليل. حسب الحالة، هناك حقن f: X à Y وg: Y à X. دع A = g  ¢ Y = Img تكون صورة المجموعة Y فيما يتعلق بتعيين g. ثم
(X \ A) ç (gf) ™ ™ (X \ A) = Æ،
(gf) ¢ ™ (X \ A) ç (gf) 2 ¢ ™ (X \ A) = Æ، …،
(gf) n ™ ¢ (X \ A) ç (gf) n+1 ¢ ¢ (X \ A) = Æ، …
خذ بعين الاعتبار التعيين j: X à A، المعطى كـ j(x) = gf(x)، with
x Î (X \ A) È (gf) ¢ ™ (X \ A) È (gf) 2 ¢ ¢ (X \ A) È …، و j (x) = x في حالات أخرى. من السهل أن نرى أن j عبارة عن اعتراض. سيكون التقاطع المطلوب بين X وY مساوياً لـ g -1 ° j.
تناقض كانتور
دع |X|< |Y|, если |X| £ |Y| и не существует биекции между X и Y.
نظرية كانتور. لأي مجموعة X، |X|< |P(X)|, где P(X) – множество всех подмножеств множества X.
يمكن إثبات النظريات التالية.
نظرية 1.4. الدالة f لها دالة عكسية f -1 إذا وفقط إذا كانت f ثنائية.
نظرية 1.5. تكوين الوظائف الذاتية هو وظيفة ذاتية.
أرز. يوضح الشكل 1.12 العلاقات المختلفة، كلها، باستثناء الأولى، هي وظائف.
موقف، ولكن |
حقن ولكن |
غزوة ولكن |
||||||||||||||
ليست وظيفة |
ليس جراحا |
ليس حقنة |
||||||||||||||
دع f : A → B تكون دالة، والمجموعتان A و B عبارة عن مجموعات محدودة، فلنضع A = n، B = m. ينص مبدأ ديريشليت على أنه إذا كانت n > m، فإن قيمة واحدة على الأقل لـ f تحدث أكثر من مرة. بمعنى آخر، هناك زوج من العناصر a i ≠ a j , a i , a j A بالنسبة له f(a i )= f(a j ).
من السهل إثبات مبدأ ديريشليت، لذلك نتركه للقارئ كتمرين تافه. لنلقي نظرة على مثال. يجب أن يكون هناك أكثر من 12 طالبًا في المجموعة. فمن الواضح أن اثنين منهم على الأقل لديهما عيد ميلاد في نفس الشهر.
تسمى العلاقة الثنائية R على المجموعة A علاقة التكافؤ إذا كانت R انعكاسية ومتماثلة ومتعدية.
علاقة المساواة على مجموعة من الأرقام لها الخصائص المشار إليها، وبالتالي فهي علاقة تكافؤ.
من الواضح أن علاقة التشابه المثلثية هي علاقة تكافؤ.
علاقة المتباينة غير الصارمة (≥) على مجموعة الأعداد الحقيقية لن تكون علاقة تكافؤ، لأنها غير متماثلة: من 3 ≥ 5 لا يتبع ذلك 5 ≥ 3.
فئة التكافؤ (coset) التي تم إنشاؤها بواسطة عنصر a لعلاقة تكافؤ معينة R هي المجموعة الفرعية من تلك x A الموجودة في العلاقة R مع a. يُشار إلى فئة التكافؤ المشار إليها بالرمز [a]R، وبالتالي، لدينا:
[أ] R = (س أ: أ، س ص).
لنلقي نظرة على مثال. يتم تقديم علاقة التشابه على مجموعة المثلثات. ومن الواضح أن جميع المثلثات متساوية الأضلاع تقع في مجموعة واحدة، حيث أن كل واحد منها يشبه، على سبيل المثال، مثلثا، جميع أضلاعه لها وحدة الطول.
نظرية 1.6. دع R يكون علاقة تكافؤ في المجموعة A ودع [a] R يكون coset، أي. [أ] R = (x A: a، x R)، ثم:
1) لأي A: [a] R ≠، على وجه الخصوص، a [a] R؛
2) مجموعات مختلفة لا تتقاطع؛
3) يتزامن اتحاد جميع المجموعات مع المجموعة A بأكملها؛
4) مجموعة من المجموعات المختلفة تشكل قسمًا من المجموعة A.
دليل. 1) بسبب انعكاسية R، نحصل على أنه بالنسبة لأي a، a A، لدينا a،a R، وبالتالي a [ a] R و [ a] R ≠ ؛
2) لنفترض أن [a] R ∩ [b] R ≠، أي. هناك عنصر c من A و c [a]R ∩ [b]R. ثم من (cRa)&(cRb) بسبب تناظر R نحصل على (aR c)&(cRb)، ومن تعددية R لدينا aRb.
لأي x [a] R لدينا: (xRa)&(aRb)، ثم بسبب عبورية R نحصل على xRb، أي. س [ب] R، وبالتالي [أ] R [ب] R. وبالمثل، بالنسبة لأي y, y [b] R، لدينا: (yRb)&(aRb)، وبسبب تناظر R نحصل على ذلك (yRb)&(bR a)، نتيجةً لعبورية R ، نحصل على ذلك yR a ، أي ذ [أ] ص و
لذلك [ب] ر [أ] ر . من [ a ] R [ b ] R و [ b ] R [ a ] R نحصل على [ a ] R = [ b ] R ، أي إذا تقاطعت مجموعات التمام فإنها تتزامن؛
3) بالنسبة لأي a، a A، كما ثبت، لدينا [a] R، فمن الواضح أن اتحاد جميع مجموعات cosets يتزامن مع المجموعة A.
البيان 4) من النظرية 1.6 يتبع من 1)-3). لقد تم إثبات النظرية. يمكن إثبات النظرية التالية.
نظرية 1.7. علاقات التكافؤ المختلفة في المجموعة A تولد أقسامًا مختلفة من A.
نظرية 1.8. كل قسم من المجموعة A يولد علاقة تكافؤ في المجموعة A، والأقسام المختلفة تولد علاقات تكافؤ مختلفة.
دليل. دع القسم B = (B i ) من المجموعة A يُعطى. دعونا نحدد العلاقة R : a,b R إذا وفقط إذا كان هناك B i بحيث ينتمي كل من a وb إلى B i هذا. ومن الواضح أن العلاقة المدخلة هي علاقة انعكاسية ومتماثلة ومتعدية، وبالتالي فإن R هي علاقة تكافؤ. ويمكن إثبات أنه إذا كانت الأقسام مختلفة، فإن علاقات التكافؤ الناتجة عنها تكون مختلفة أيضًا.
مجموعة جميع مجموعات المجموعة A فيما يتعلق بعلاقة تكافؤ معينة R تسمى مجموعة العوامل ويشار إليها بـ A/R. عناصر مجموعة العوامل هي مجموعات cosets. تتكون فئة المجموعة coset [a]R، كما هو معروف، من العناصر A المرتبطة ببعضها البعض R.
دعونا نفكر في مثال لعلاقة التكافؤ في مجموعة الأعداد الصحيحة Z = (...، -3، -2، -1، 0، 1، 2، 3، ...).
يُطلق على عددين صحيحين a وb اسم modulo (متطابق) قابل للمقارنة إذا كان m مقسومًا على الرقم a-b، أي إذا كان لدينا:
أ=ب+كم، ك=…، -3، -2، -1، 0، 1، 2، 3، ….
في هذه الحالة، اكتب a≡ b(mod m) .
نظرية 1.9. لأي أرقام a وb وc وm>0 لدينا:
1) أ ≡ أ(mod m) ؛
2) إذا كان أ ≡ ب(mod m)، ثم b ≡ a(mod m)؛
3) إذا كانت أ ≡ ب(mod m) و b ≡ c(mod m)، فإن a ≡ c(mod m).
دليل. العبارة 1) و 2) واضحة. دعونا نثبت 3). دع a=b+k 1 m، b=c+k 2 m، ثم a=c+(k 1 +k 2)m، أي. أ ≡ ج(mod m) . لقد تم إثبات النظرية.
وبالتالي، فإن نموذج علاقة المقارنة m هو علاقة تكافؤ ويقسم مجموعة الأعداد الصحيحة إلى فئات منفصلة من الأرقام.
دعونا نبني دوامة لا نهاية لها من الفك، كما هو موضح في الشكل. يظهر 1.13 كخط متصل، ويظهر دوامة ملتوية لا نهاية لها كخط متقطع. دعونا نعطي عدد صحيح غير سالب m. سنضع جميع الأعداد الصحيحة (عناصر من المجموعة Z) عند نقاط تقاطع هذه اللوالب مع أشعة m، كما هو موضح في الشكل. 1.13.
بالنسبة لمعيار علاقة المقارنة m (على وجه الخصوص، بالنسبة لـ m = 8)، فإن فئة التكافؤ هي الأرقام الموجودة على الشعاع. ومن الواضح أن كل رقم يقع في فئة واحدة فقط. يمكن الحصول على أنه بالنسبة لـ m=8 لدينا:
[ 0] ={…, -8, 0, 8, 16, …}; |
|||||
[ 1] ={…, -7, 1, 9, 17, …}; |
|||||
[ 2] ={…, -6, 2, 10, 18, …}; |
|||||
[ 7] ={…, -9, -1, 7, 15, …}. |
|||||
يُشار إلى مجموعة عوامل المجموعة Z فيما يتعلق بمعامل علاقة المقارنة m بالرمز Z/m أو Z m. بالنسبة للحالة قيد النظر م = 8
نحصل على أن Z/8 = Z8 = ( , , , …, ) .
نظرية 1.10. لأي أعداد صحيحة a وb وa* وb* وk وm:
1) إذا كان a ≡ b(mod m)، فإن ka ≡ kb(mod m);
2) إذا كانت a ≡ b(mod m) وa* ≡ b* (mod m)، فإن:
أ) أ+أ * ≡ ب+ب* (mod m); ب) أأ * ≡ ب* (mod m).
نقدم الدليل على الحالة 2 ب). دع ≡ b(mod m) وa * ≡ b * (mod m)، ثم a=b+sm وa * =b * +tm لبعض الأعداد الصحيحة s وt. ضرب
نحصل على: aa* =bb* + btm+ b* sm+ stm2 =bb* +(bt+ b* s+ stm)m. لذلك،
أأ* ≡ ب* (mod m).
وبالتالي، يمكن إضافة مقارنات الوحدات وضربها مصطلحًا تلو الآخر، أي. تعمل بنفس الطريقة تمامًا كما هو الحال مع المساواة. على سبيل المثال،
إذا كان الموقف ر له الخصائص التالية: انعكاسي متناظر متعد، أي. هي علاقة تكافؤ (~ أو ≡ أو E) في المجموعة م ، فإن مجموعة فئات التكافؤ تسمى مجموعة عوامل المجموعة م بخصوص التكافؤ ر ويتم تعيينه السيد
هناك مجموعة فرعية من عناصر المجموعة م مقابل س ، مُسَمًّى فئة التكافؤ.
من تعريف مجموعة العوامل، يتبع أنها مجموعة فرعية من مجموعة منطقية: .
يتم استدعاء الدالة تعريفويتم تعريفه على النحو التالي:
نظرية.جبر العوامل F n /~ متماثل لجبر الدوال البوليانية بن
دليل.
التماثل المطلوب ξ : F ن / ~ → ب يتم تحديد n بواسطة القاعدة التالية: فئة التكافؤ ~(φ) تمت مطابقة الوظيفة و φ , وجود جدول الحقيقة لصيغة تعسفية من المجموعة ~(φ) . نظرًا لأن فئات التكافؤ المختلفة تتوافق مع جداول الحقيقة المختلفة، فإن رسم الخرائط ξ عن طريق الحقن، ومنذ ذلك الحين لأي وظيفة منطقية F من في ص هناك صيغة تمثل الوظيفة F، ثم رسم الخرائط ξ شمولي. عمليات المتجر، 0، 1 عند عرضها ξ يتم فحصها مباشرة. CTD.
من خلال نظرية الاكتمال الوظيفي لكل دالة ليست ثابتة 0 ، يتوافق مع بعض SDNF ψ ، المنتمين إلى الطبقة ~(φ) = ξ -1 (و) الصيغ التي تمثل وظيفة F . تنشأ مشكلة التواجد في الفصل الدراسي ~(φ) الشكل العادي المنفصل، الذي يحتوي على أبسط بنية.
نهاية العمل -
هذا الموضوع ينتمي إلى القسم:
جامعة موسكو الحكومية للهندسة المدنية.. معهد اقتصاديات الإدارة ونظم المعلومات في البناء.. IEEE..
إذا كنت بحاجة إلى مواد إضافية حول هذا الموضوع، أو لم تجد ما كنت تبحث عنه، نوصي باستخدام البحث في قاعدة بيانات الأعمال لدينا:
إذا كانت هذه المادة مفيدة لك، فيمكنك حفظها على صفحتك على الشبكات الاجتماعية:
| سقسقة |
موضوع الرياضيات المنفصلة
موضوع الرياضيات المنفصلة (المحدودة، المحدودة) هو فرع من الرياضيات يدرس خصائص الهياكل المنفصلة، بينما تدرس الرياضيات الكلاسيكية (المستمرة) خصائص الأشياء
التماثل
العلم الذي يدرس العمليات الجبرية يسمى الجبر. سيصبح هذا المفهوم أكثر تحديدًا وتعمقًا أثناء دراستك للدورة. الجبر مهتم فقط بمسألة كيفية التصرف
تمارين
1. أثبت أن التعيين المتماثل هو دائمًا متساوي التوتر، والعكس غير صحيح. 2. اكتب مجموعتك بلغة المجموعات. 3. اكتب بلغة المجموعات الأشياء التي
مجموعة وعناصر المجموعة
حاليًا، تختلف نظريات المجموعة الحالية في النماذج (نظام وجهات النظر) للأساس المفاهيمي والوسائل المنطقية. لذلك، على سبيل المثال، يمكننا أن نذكر اثنين من المتضادات
مجموعات محدودة وغير محدودة
ما تتكون منه المجموعة، على سبيل المثال. تسمى الكائنات التي تشكل المجموعة عناصرها. عناصر المجموعة متميزة ومتميزة عن بعضها البعض. كما يتبين من المثال المعطى
قوة المجموعة
عدد العناصر لمجموعة محدودة يساوي عدد عناصرها. على سبيل المثال، أصل الكون B(A) للمجموعة A من أصل n
A1A2A3| + … + |A1A2A3| + … + |A1A2An| + … + |Аn-2An-1An| + (-1)ن-1 |А1A2A3…آن|
المجموعة المحدودة A لها أصل k إذا كانت تساوي القطعة 1..k؛:
مجموعة فرعية، مجموعة فرعية خاصة بها
بعد تقديم مفهوم المجموعة، تنشأ مهمة إنشاء مجموعات جديدة من المجموعات الموجودة، أي تحديد العمليات على المجموعات. "متعددة"
لغة رمزية لنظريات المجموعة ذات المغزى
في عملية دراسة الدورة، سوف نميز بين اللغة الموضوعية في نظرية المجموعات واللغة الفوقية، التي يتم من خلالها دراسة اللغة الموضوعية. من خلال لغة نظرية المجموعات نفهم العلائقية
دليل
المجموعة B لا نهائية، مما يعني
إضافة وإزالة العناصر
إذا كانت A مجموعة، وx عنصر، ثم العنصر
مجموعات محدودة. ضع الحدود
دع الدالة العددية f(x) تعطى على بعض المجموعات X. الحد الأعلى (الحدود) للدالة f(x) هو مثل هذا الرقم
الحد الأعلى (الأدنى) الدقيق
يُشار إلى مجموعة الحدود العليا E بالرمز Es، وجميع الحدود السفلية بالرمز Ei. في حال
الحد العلوي (السفلي) الدقيق للمجموعة
إذا كان العنصر z ينتمي إلى تقاطع المجموعة E ومجموعة جميع حدودها العليا Es (على التوالي r السفلي
الخصائص الأساسية للحدود العلوية والسفلية
دع X تكون مجموعة مرتبة جزئيًا. 1. إذاً
تعيين من وجهة نظر سمة
وجهة النظر الإجمالية، على عكس وجهة النظر المنسوبة، لا يمكن الدفاع عنها منطقيًا بمعنى أنها تؤدي إلى مفارقات من نوع راسل وكانتور (انظر أدناه). في إطار الإسناد ر
بناء
تسمى المجموعة X المرتبة جزئيًا بالبنية إذا كانت تحتوي على مجموعة مكونة من عنصرين
تغطية وتقسيم المجموعات
قسم المجموعة A هو عائلة Ai
العلاقات الثنائية
تسلسل بطول n، حدوده a1، .... an، سيتم الإشارة إليه بواسطة (a1، .... a
خصائص العلاقات الثنائية
العلاقة الثنائية R في المجموعة Ho لها الخصائص التالية: (أ) انعكاسية إذا كانت xRx
العلاقات الثلاثية
المنتج الديكارتي XY
العلاقات N-ary
وبالقياس على المنتج الديكارتي لمجموعتين X,Y، يمكننا بناء المنتج الديكارتي X
يعرض
التعيينات هي بعض الروابط بين عناصر المجموعات. وأبسط الأمثلة على العلاقات هي علاقات العضوية x
مراسلة
تسمى المجموعة الفرعية S من المنتج الديكارتي بالمراسلات n-ary لعناصر المجموعات Mi. رسميا
وظيفة
تعتمد جميع فروع الرياضيات المنفصلة على مفهوم الوظيفة. دع X -
تمثيل دالة من حيث العلاقات
تسمى العلاقة الثنائية f دالة إذا كانت من و
الحقن، الطعن، القذف
عند استخدام المصطلح "رسم الخرائط"، يتم التمييز بين التعيين XbY والرسم X على Y
وظيفة عكسية
لتلك التعسفية، نحدد
مجموعات مرتبة جزئيًا
تسمى المجموعة S مرتبة جزئيًا (PUM) إذا تم إعطاؤها علاقة ترتيب جزئية انعكاسية ومتعدية وغير متماثلة
تعيين التقليل من التمثيل
وباستخدام هذه القوانين، فإننا ندرس مشكلة تقليل تمثيل المجموعة M باستخدام العمليات
إعادة الترتيب
بالنظر إلى مجموعة A. لتكن A مجموعة محدودة تتكون من عناصر n A = (a1, a2, …, a
التباديل مع التكرار
دع المجموعة A تحتوي على عناصر متطابقة (متكررة). التقليب مع تكرار التركيب (n1، n2، …،nk
المواضع
صفوف من الطول k (1≥k≥n)، تتكون من عناصر مختلفة من مجموعة العناصر n A (تختلف الصفوف في
المواضع مع التكرار
دع المجموعة A تحتوي على عناصر متطابقة (متكررة). المواضع مع تكرار عناصر n لأسماء k
التنسيب المنظم
دعونا نضع كائنات n في مربعات m بحيث يحتوي كل مربع على تسلسل، وليس، كما كان من قبل، مجموعة من الكائنات الموضوعة فيه. اثنين
مجموعات
من مجموعة العناصر m A، نقوم ببناء مجموعة مرتبة من الطول n، عناصرها عبارة عن ترتيبات لها نفس المواضيع
مجموعات مع التكرار
تكون الصيغ الناتجة صالحة فقط في حالة عدم وجود عناصر متطابقة في المجموعة أ. يجب أن تكون هناك عناصر من أنواع n ومنها مجموعة من
طريقة توليد الدالة
يتم استخدام هذه الطريقة لتعداد الأرقام التوافقية وإنشاء الهويات التوافقية. نقطة البداية هي مجمع التسلسل (ai).
النظام الجبري
النظام الجبري A عبارة عن مجموعة ‹M,O,R›، المكون الأول منها M عبارة عن مجموعة غير فارغة، والمكون الثاني O عبارة عن مجموعة
الإغلاق والجبر الفرعي
يقال أن المجموعة الفرعية مغلقة تحت العملية φ if
الجبر مع عملية ثنائية واحدة
دع عملية ثنائية واحدة تعطى على المجموعة M. دعونا ننظر في الجبر الذي يولده، ولكن أولا سوف ننظر في بعض خصائص العمليات الثنائية. ثنائي س
جروبود
جبر النموذج<М, f2>يسمى المجموعة. إذا كانت f2 عملية مثل الضرب (
الأعداد الصحيحة مودولو م
نظرا لحلقة من الأعداد الصحيحة
التطابقات
التطابق في الجبر A=
عناصر نظرية الرسم البياني
الرسوم البيانية هي كائنات رياضية. تُستخدم نظرية الرسم البياني في مجالات مثل الفيزياء والكيمياء ونظرية الاتصالات وتصميم الكمبيوتر والهندسة الكهربائية والهندسة الميكانيكية والهندسة المعمارية والبحث في
الرسم البياني، قمة الرأس، الحافة
نعني بالرسم البياني غير الموجه (أو باختصار الرسم البياني) مثل هذا الزوج التعسفي G =
مراسلة
الوصف الآخر الأكثر استخدامًا للرسم البياني الموجه G يتكون من تحديد مجموعة من القمم X والمراسلات Г، إلى
رسم بياني غير موجه
إذا لم يكن للحواف أي اتجاه، فسيتم تسمية الرسم البياني غير موجه (مكرر غير موجه أو غير موجه
الإصابة، الرسم البياني المختلط
إذا كانت الحافة e لها الشكل (u، v) أو<и, v>، ثم سنقول أن الحافة e هي حادثة ver
مطابقة عكسية
لأنه يمثل مجموعة من هذه القمم
الرسم البياني التماثل
رسمان بيانيان G1 =
مسار موجه نحو المسار
المسار (أو المسار الموجه) للرسم البياني الموجه هو سلسلة من الأقواس التي
الأقواس المتجاورة، القمم المجاورة، درجة القمة
الأقواس a = (xi, xj), xi ≠ xj، لها رؤوس نهاية مشتركة، n
الاتصال
يسمى الرأسان في الرسم البياني متصلين إذا كان هناك مسار بسيط يربطهما. يسمى الرسم البياني متصلاً إذا كانت جميع رؤوسه متصلة. نظرية.
الرسم البياني القوسي المرجح
يُطلق على الرسم البياني G = (N، A) اسم مرجح إذا كان على مجموعة الأقواس A بعض الوظائف l: A → R محددة، والتي
مصفوفة اتصال قوية
مصفوفة اتصال قوية: ضع 1 على طول الخط القطري؛ املأ السطر X1 - إذا كان من الممكن الوصول إلى القمة من X1 وX1 d
الأشجار
الأشجار مهمة ليس فقط لأنها تجد تطبيقات في مختلف مجالات المعرفة، ولكن أيضًا لأن لها مكانة خاصة في نظرية الرسم البياني نفسها. هذا الأخير ناتج عن البساطة الشديدة لهيكل الشجرة
تحتوي أي شجرة غير تافهة على رأسين معلقين على الأقل
الدليل: خذ بعين الاعتبار الشجرة G(V, E). وبالتالي فإن الشجرة عبارة عن رسم بياني متصل
نظرية
يتكون مركز الشجرة الحرة من قمة واحدة أو قمتين متجاورتين: Z(G) = 0&k(G) = 1 → C(G) = K1
إخراج وأمر وأشجار ثنائية
الأشجار الموجهة (المرتبة) هي تجريد للعلاقات الهرمية التي غالبًا ما يتم مواجهتها في الحياة العملية وفي الرياضيات والبرمجة. شجرة (الاتجاه)
دليل
1. يدخل كل قوس إلى عقدة ما. من البند 2 من التعريف 9.2.1 لدينا: v
أشجار مرتبة
المجموعات T1،...، Tk في التعريف المكافئ لـ orderev هي أشجار فرعية. إذا كان الترتيب النسبي للأشجار الفرعية T1،...،
الأشجار الثنائية
الشجرة الثنائية (أو الثنائية) هي مجموعة محدودة من العقد التي تكون إما فارغة أو تتكون من جذر وشجرتين ثنائيتين منفصلتين - اليسار واليمين. الشجرة الثنائية ليست في جافا
تمثيل شجرة مجاني
لتمثيل الأشجار، يمكنك استخدام نفس الأساليب المستخدمة في تمثيل الرسوم البيانية العامة - مصفوفات الجوار والورود، وقوائم الجوار، وغيرها. ولكن باستخدام الخصائص الخاصة ل
نهاية ل
الأساس المنطقي إن كود Prüfer هو في الواقع تمثيل شجرة مجاني. للتحقق من ذلك، دعونا نبين أنه إذا كانت T" شجرة
تمثيل الأشجار الثنائية
يمكن توجيه أي شجرة حرة عن طريق تعيين إحدى عقدها كجذر. يمكن طلب أي أمر بشكل تعسفي. بالنسبة لأحفاد عقدة واحدة (إخوة) من رتبة مرتبة، يتم تعريفها نسبيًا
وظائف المنطق الأساسية
دعونا نشير بـ E2 = (0، 1) إلى مجموعة تتكون من رقمين. الأرقام 0 و 1 أساسية في حصيرة منفصلة
وظيفة منطقية
الدالة المنطقية للوسيطات n x1، x2، … ,xn هي دالة f من القوة n للمجموعة
الجبر البولياني المكون من عنصرين
لنفكر في المجموعة Во = (0,1) ونحدد العمليات عليها حسب جداول المصادر
جداول الوظائف المنطقية
يمكن تحديد دالة منطقية للمتغيرات n بواسطة جدول يتكون من عمودين وصفين. يسرد العمود الأول جميع المجموعات من B
F5 – كرر في ذ
f6 - مجموع الوحدة 2 f7
ترتيب العمليات
إذا لم يكن هناك أقواس في تعبير معقد، فيجب تنفيذ العمليات بالترتيب التالي: الربط، الانفصال، التضمين، التكافؤ، النفي. الاتفاقيات المتعلقة بترتيب نظرية شانون الأولى
لحل مشكلة إيجاد مكافئ SDNF وSCNF للصيغة الأصلية φ، نأخذ في الاعتبار أولاً توسعات الدالة المنطقية f(x1, x2)
نظرية شانون الثانية
وبموجب مبدأ الازدواجية، فإن النظرية 6.4.3 (نظرية شانون الثانية) تنطبق على الجبر البولي. أي دالة منطقية f(x1, x2,...
الاكتمال الوظيفي
نظرية (حول الاكتمال الوظيفي). لأي دالة منطقية f هناك صيغة φ تمثل الدالة f
خوارزمية للعثور على sdnf
للعثور على SDNF، يجب أولاً اختزال هذه الصيغة إلى DNF، ثم تحويل ارتباطاتها إلى مكونات الوحدة باستخدام الإجراءات التالية: أ) إذا كانت الرابطة تتضمن بعضًا
طريقة كواين
خذ بعين الاعتبار طريقة Quine للعثور على MDNF الذي يمثل دالة منطقية معينة. دعونا نحدد العمليات الثلاث التالية: - عملية اللصق الكاملة -
التمثيل القانوني للوظائف المنطقية
الأشكال الأساسية للوظائف المنطقية (الصيغ) هي تعبيرات لها الشكل القياسي لصيغة منطقية بحيث تمثل دالة منطقية بشكل فريد. في الجبر
أنظمة الوظائف المنطقية
دع الدوال المنطقية f(g1, g2, …, gm) و g1(x1, x2, …, xn), g2(x1)
أساس زيجالكين
دعونا نجرب ذلك دعونا نلقي نظرة على النظام. إنها كاملة، حيث يتم التعبير عن أي دالة من الأساس القياسي بالمصطلحات
نظرية بوست
تحدد نظرية بوست الشروط الضرورية والكافية لاكتمال نظام الوظائف المنطقية. (Post E.L. الأنظمة التفاعلية ذات القيمة الثنائية للمنطق الرياضي. - حوليات الرياضيات. ستو
دليل
ضروري. من العكس. فليكن
جبر زيجالكين المنطق الاقتراحي تعريف المسند تطبيق المسندات في الجبر الجبر المسند البولياني F↔G=(F→G)(G→F)، F→G=ليس FG حساب التفاضل والتكامل المسند المتابعة والتكافؤ التدوينات المقبولة تسميات التعريف
يشكل مجموع المعامل 2 والاقتران والثوابت 0 و1 نظامًا وظيفيًا كاملاً، أي. شكل الجبر - جبر زيجالكين. أ=
يدرس المنطق الرياضي المفاهيم الأساسية لبناء الجملة (الشكل) ودلالات (المحتوى) للغة الطبيعية. دعونا ننظر في ثلاثة مجالات رئيسية للبحث في المنطق الرياضي - المنطق
دع X1، X2، ...، Xn تكون متغيرات عشوائية. سوف نسمي هذه المتغيرات متغيرات الموضوع. دع المتغير يحددك
دعونا نفكر في المسندات التي يكون فيها متغير واحد فقط حرًا، والذي نشير إليه بـ x، ونناقش استخدام المسندات في الجبر. مثال نموذجي
وبما أنه يمكن تطبيق العمليات المنطقية على المسندات، فإن القوانين الأساسية للجبر البولي صالحة لها. نظرية. (خصائص العمليات المنطقية للمسندات). من
2. استخدم القانون ليس F=F، قوانين دي مورغان: ليس (F
يُطلق على حساب التفاضل والتكامل المسند أيضًا نظرية الدرجة الأولى. في حساب التفاضل والتكامل المسند، وكذلك في حساب التفاضل والتكامل المقترح، فإن المكان الأول الأكثر أهمية هو مشكلة القدرة على الحل.
يتبع النموذج المقترح Q2 من النموذج المقترح Q1 إذا أصبح التضمين Q1 → Q2 صحيحًا
رموز "لا تأمر بعد الآن". عند مقارنة معدل نمو الدالتين f(n) وg(n) (بقيم غير سالبة)، فإن ما يلي مناسب جدًا
محتويات الرموز مثال OR
