Ən çətini qeyri-bərabər elektrik mühitində elektrik hadisələrini öyrənməkdir. Belə bir mühitdə ε dielektrik sərhədində kəskin dəyişən müxtəlif qiymətlərə malikdir. Tutaq ki, biz iki mühitin interfeysində sahənin gücünü təyin edirik: ε 1 =1 (vakuum və ya hava) və ε 2 =3 (maye - yağ). İnterfeysdə, vakuumdan dielektrikə keçid zamanı sahənin gücü üç dəfə azalır və güc vektorunun axını eyni miqdarda azalır (şəkil 12.25, a). İki media arasındakı interfeysdə elektrostatik sahənin gücü vektorunun kəskin dəyişməsi sahələrin hesablanması zamanı müəyyən çətinliklər yaradır. Qauss teoreminə gəlincə, bu şərtlər altında ümumiyyətlə mənasını itirir.
Fərqli dielektriklərin qütbləşmə qabiliyyəti və gərginliyi fərqli olduğundan, hər dielektrikdə sahə xətlərinin sayı da fərqli olacaqdır. Bu çətinlik sahənin yeni fiziki xarakteristikasını, elektrik induksiyası D (və ya vektor) tətbiq etməklə aradan qaldırıla bilər. elektrik yerdəyişməsi ).
Formula görə
ε 1 E 1 = ε 2 E 2 =E 0 =const
Bu bərabərliklərin bütün hissələrini elektrik sabiti ε 0 ilə çarparaq əldə edirik
ε 0 ε 1 E 1 = ε 0 ε 2 E 2 =ε 0 E 0 =const
ε 0 εE=D qeydini təqdim edək, onda sondan əvvəlki əlaqə formasını alacaq.
D 1 = D 2 = D 0 = sabit
Dielektrikdəki elektrik sahəsinin gücü ilə onun mütləq dielektrik davamlılığının hasilinə bərabər olan D vektoru adlanır.elektrik yerdəyişmə vektoru
(12.45)
Elektrik yerdəyişmə vahidi - kvadrat metr üçün kulon(C/m2).
Elektrik yerdəyişməsi vektor kəmiyyətidir və belə də ifadə edilə bilər
D = εε 0 E =(1+χ)ε 0 E = ε 0 E + χε 0 E = ε 0 E+P
(12.46)
E gərginliyindən fərqli olaraq, D elektrik yerdəyişməsi bütün dielektriklərdə sabitdir (şəkil 12.25, b). Buna görə də qeyri-homogen dielektrik mühitdə elektrik sahəsini E intensivliyi ilə deyil, D yerdəyişmə vektoru ilə xarakterizə etmək rahatdır. D vektoru sərbəst yüklərin (yəni vakuumda) yaratdığı elektrostatik sahəni təsvir edir, lakin onların kosmosda paylanması ilə dielektrik varlığında olduğu kimi, çünki dielektriklərdə yaranan bağlı yüklər sahəni yaradan sərbəst yüklərin yenidən bölüşdürülməsinə səbəb ola bilər.
Vektor sahəsi 
sahə ilə eyni şəkildə elektrik yerdəyişmə xətləri ilə qrafik olaraq təmsil olunur 
qüvvə xətləri ilə təsvir edilmişdir.
Elektrik yerdəyişmə xətti - bunlar hər bir nöqtədəki tangensləri elektrik yerdəyişmə vektoru ilə istiqamətdə üst-üstə düşən xətlərdir.
E vektorunun xətləri istənilən yüklə başlaya və bitə bilər - sərbəst və bağlı, vektor xətləri isəD- yalnız pulsuz ödənişlə. Vektor xətləriDGərginlik xətlərindən fərqli olaraq, onlar davamlıdır.
Elektrik yerdəyişmə vektoru iki mühit arasındakı interfeysdə kəsilməzlik yaşamadığından, bəzi qapalı səthlə əhatə olunmuş yüklərdən yaranan bütün induksiya xətləri ona nüfuz edəcəkdir. Buna görə də, elektrik yerdəyişmə vektoru üçün Gauss teoremi qeyri-bərabər dielektrik mühit üçün mənasını tamamilə saxlayır.
Dielektrikdə elektrostatik sahə üçün Qauss teoremi : ixtiyari qapalı səthdən keçən elektrik yerdəyişmə vektorunun axını bu səthin içərisində olan yüklərin cəbri cəminə bərabərdir.
(12.47)
İki mühit, məsələn, hava (ε 1) və su (ε = 81) arasındakı interfeysdə E vektorunun dəyərinin necə dəyişdiyini nəzərdən keçirək. Suda sahənin gücü kəskin şəkildə 81 dəfə azalır. Bu vektor davranışı E müxtəlif mühitlərdə sahələrin hesablanması zamanı müəyyən narahatlıqlar yaradır. Bu narahatlığın qarşısını almaq üçün yeni vektor təqdim edilir D– sahənin induksiya və ya elektrik yerdəyişməsi vektoru. Vektor əlaqəsi D Və E oxşayır
D = ε ε 0 E.
Aydındır ki, bir nöqtə yükünün sahəsi üçün elektrik yerdəyişməsi bərabər olacaqdır
Elektrik yerdəyişməsinin C/m2 ilə ölçüldüyünü, xassələrdən asılı olmadığını və qrafik olaraq gərginlik xətlərinə bənzər xətlərlə təmsil olunduğunu görmək asandır.
Sahə xətlərinin istiqaməti kosmosda sahənin istiqamətini (sahə xətləri, əlbəttə ki, mövcud deyil, təsvirin rahatlığı üçün təqdim olunur) və ya sahənin gücü vektorunun istiqamətini xarakterizə edir. Gərginlik xətlərindən istifadə edərək, yalnız istiqaməti deyil, həm də sahə gücünün böyüklüyünü xarakterizə edə bilərsiniz. Bunun üçün onları müəyyən bir sıxlıqla həyata keçirmək razılaşdırıldı ki, gərginlik xətlərinə perpendikulyar olan vahid səthi deşən gərginlik xətlərinin sayı vektor moduluna mütənasib olsun. E(Şəkil 78). Sonra elementar sahəyə nüfuz edən xətlərin sayı dS, normal olan n vektoru ilə α bucağı əmələ gətirir E, E dScos α = E n dS-ə bərabərdir,
burada E n vektor komponentidir E normal istiqamətində n. Qiymət dФ E = E n dS = E d Sçağırdı sayt vasitəsilə gərginlik vektorunun axını d S(d S= dS n).
İxtiyari qapalı səth S üçün vektor axını E bu səth vasitəsilə bərabərdir
Bənzər bir ifadə F D elektrik yerdəyişmə vektorunun axınına malikdir
.
Bu teorem istənilən sayda yükdən E və D vektorlarının axını müəyyən etməyə imkan verir. Q nöqtə yükünü götürək və vektorun axınını təyin edək E mərkəzində yerləşdiyi r radiuslu sferik səth vasitəsilə.
Sferik səth üçün α = 0, cos α = 1, E n = E, S = 4 πr 2 və
Ф E = E · 4 πr 2.
E ifadəsini əvəz edərək əldə edirik
Beləliklə, hər bir nöqtə yükündən F E vektorunun axını yaranır E Q/ ε 0-a bərabərdir. Bu nəticəni ixtiyari sayda nöqtə yüklərinin ümumi halına ümumiləşdirərək, teoremin tərtibini veririk: vektorun ümumi axını E ixtiyari formalı qapalı səth vasitəsilə bu səthin içərisində olan elektrik yüklərinin cəbri cəminə bərabərdir, ε 0-a bölünür, yəni.
Elektrik yerdəyişmə vektor axını üçün D oxşar formul əldə edə bilərsiniz
qapalı səthdən keçən induksiya vektorunun axını bu səthin əhatə etdiyi elektrik yüklərinin cəbri cəminə bərabərdir.
Yükü qəbul etməyən qapalı səthi götürsək, onda hər bir xətt E Və D bu səthi iki dəfə - girişdə və çıxışda keçəcək, buna görə də ümumi axın sıfıra bərabər olur. Burada daxil olan və çıxan xətlərin cəbri cəmini nəzərə almaq lazımdır.
R radiuslu sferik səth səth sıxlığı σ olan səth üzərində bərabər paylanmış Q yükünü daşıyır.
Mərkəzdən r məsafədə kürədən kənarda yerləşən A nöqtəsini götürək və əqli olaraq r radiuslu simmetrik yüklü kürə çəkək (şək. 79). Onun sahəsi S = 4 πr 2-dir. E vektorunun axını bərabər olacaq
Ostroqradski-Qauss teoreminə görə 
, deməli, 
Q = σ 4 πr 2 olduğunu nəzərə alsaq, alırıq 
Kürənin səthində yerləşən nöqtələr üçün (R = r)
D 
İçi boş bir kürənin içərisində yerləşən nöqtələr üçün (kürənin içərisində heç bir yük yoxdur), E = 0.
2
. Radius R və uzunluğu olan içi boş silindrik səth l sabit səthi yük sıxlığı ilə yüklənir 
(Şəkil 80). Radiusu r > R olan koaksial silindrik səthi çəkək.
Axın vektoru E bu səth vasitəsilə
Gauss teoremi ilə
Yuxarıdakı bərabərliklərin sağ tərəflərini bərabərləşdirərək əldə edirik
.
Silindr (və ya nazik iplik) xətti yük sıxlığı verilirsə 
Bu
3. Səth yükünün sıxlığı σ olan sonsuz müstəvilərin sahəsi (şək. 81).
Sonsuz müstəvinin yaratdığı sahəni nəzərdən keçirək. Simmetriya mülahizələrindən belə nəticə çıxır ki, sahənin istənilən nöqtəsində intensivlik müstəviyə perpendikulyar istiqamətə malikdir.
Simmetrik nöqtələrdə E böyüklükdə eyni və istiqamətdə əks olacaq.
Əsası ΔS olan silindrin səthini əqli şəkildə quraq. Sonra silindrin əsaslarının hər birindən bir axın çıxacaq
F E = E ΔS və silindrik səthdən keçən ümumi axın F E = 2E ΔS-ə bərabər olacaqdır.
Səthin içərisində Q = σ · ΔS yükü var. Qauss teoreminə görə, doğru olmalıdır
harada 
Alınan nəticə seçilmiş silindrin hündürlüyündən asılı deyil. Beləliklə, istənilən məsafədə E sahəsinin gücü böyüklük baxımından eynidir.
Eyni səth yük sıxlığı σ olan iki fərqli yüklü təyyarə üçün superpozisiya prinsipinə görə, təyyarələr arasındakı boşluqdan kənarda sahənin gücü sıfır E = 0, təyyarələr arasındakı boşluqda isə 
(Şəkil 82a). Təyyarələr eyni səth yük sıxlığına malik eyni yüklərlə yüklənirsə, əks şəkil müşahidə olunur (şək. 82b). Təyyarələr arasındakı fəzada E = 0, təyyarələrdən kənar fəzada isə 
.
Ümumi düstur: Elektrik sahəsinin gücü vektorunun hər hansı ixtiyari seçilmiş qapalı səthdən axını bu səthin içərisində olan elektrik yükü ilə mütənasibdir.
SGSE sistemində:
SI sistemində:
qapalı səthdən keçən elektrik sahəsinin gücü vektorunun axınıdır.
- səthi məhdudlaşdıran həcmdə olan ümumi yük.
- elektrik sabiti.
Bu ifadə Qauss teoremini inteqral formada təmsil edir.
Diferensial formada Qauss teoremi Maksvell tənliklərindən birinə uyğun gəlir və aşağıdakı kimi ifadə edilir.
SI sistemində:
,
SGSE sistemində:
Budur, həcm yükü sıxlığı (mühitin mövcudluğu vəziyyətində, sərbəst və bağlı yüklərin ümumi sıxlığı) və nabla operatorudur.
Qauss teoremi üçün superpozisiya prinsipi etibarlıdır, yəni intensivlik vektorunun səthdən axması səth daxilində yük paylanmasından asılı deyildir.
Qauss teoreminin fiziki əsası Kulon qanunu və ya başqa sözlə Qauss teoremi Kulon qanununun inteqral formalaşdırılmasıdır.
Elektrik induksiyası üçün Qauss teoremi (elektrik yerdəyişmə).
Maddədəki sahə üçün Gaussun elektrostatik teoremi fərqli şəkildə - elektrik yerdəyişmə vektorunun (elektrik induksiyası) axını vasitəsilə yazıla bilər. Bu halda teoremin tərtibi aşağıdakı kimidir: qapalı səthdən keçən elektrik yerdəyişmə vektorunun axını bu səthin içərisində olan sərbəst elektrik yükü ilə mütənasibdir:
Əgər maddədə sahənin gücü üçün teoremi nəzərə alsaq, onda Q yükü kimi səthin daxilində yerləşən sərbəst yükün və dielektrikin qütbləşmə (induksiya edilmiş, bağlı) yükünün cəmini götürmək lazımdır:
,
Harada 
,
dielektrikin polarizasiya vektorudur.
İstənilən qapalı səthdən keçən maqnit induksiya vektorunun axını sıfırdır:
.
Bu, təbiətdə elektrik yüklərinin elektrik sahəsini yaratdığı kimi, maqnit sahəsi yaradacaq “maqnit yüklərinin” (monopollar) olmamasına bərabərdir. Başqa sözlə, maqnit induksiyası üçün Qauss teoremi maqnit sahəsinin burulğan olduğunu göstərir.
Elektromaqnit sahələrini hesablamaq üçün aşağıdakı miqdarlardan istifadə olunur:
Volumetrik yük sıxlığı (yuxarıya bax).
Səth yükünün sıxlığı
burada dS sonsuz kiçik səth sahəsidir.
Xətti yük sıxlığı
burada dl sonsuz kiçik seqmentin uzunluğudur.
Sonsuz vahid yüklü təyyarənin yaratdığı sahəni nəzərdən keçirək. Təyyarənin səthi yük sıxlığı eyni və σ-ə bərabər olsun. Təsəvvür edək ki, generatrisləri müstəviyə perpendikulyar olan silindr və müstəviyə nisbətən simmetrik olaraq yerləşən ΔS bazası. Simmetriyaya görə. Gərginlik vektorunun axını bərabərdir. Gauss teoremini tətbiq edərək, əldə edirik:
,
hansından
SSSE sistemində
Qeyd etmək vacibdir ki, universallığına və ümumiliyinə baxmayaraq, inteqral şəklində olan Qauss teoremi inteqralın hesablanmasının əlverişsizliyinə görə nisbətən məhdud tətbiq olunur. Lakin simmetrik problemin həlli superpozisiya prinsipindən istifadə etməkdən daha sadə olur.
Elektrik yüklərinin qarşılıqlı təsir qanunu - Coulomb qanunu - Gauss teoremi adlanan formada fərqli şəkildə ifadə edilə bilər. Qauss teoremi Kulon qanununun və superpozisiya prinsipinin nəticəsi kimi alınır. Sübut iki nöqtə yükü arasındakı qarşılıqlı təsir qüvvəsinin aralarındakı məsafənin kvadratına tərs mütənasibliyinə əsaslanır. Buna görə də, Qauss teoremi tərs kvadrat qanununun və superpozisiya prinsipinin, məsələn, qravitasiya sahəsinə tətbiq olunduğu istənilən fiziki sahəyə tətbiq edilə bilər.
düyü. 9. X qapalı səthlə kəsişən nöqtə yükünün elektrik sahəsinin gərginlik xətləri
Qauss teoremini formalaşdırmaq üçün stasionar nöqtə yükünün elektrik sahəsi xətlərinin şəklinə qayıdaq. Tək nöqtəli yükün sahə xətləri simmetrik yerləşmiş radial düz xətlərdir (şək. 7). İstənilən sayda belə xətlər çəkə bilərsiniz. Onların ümumi sayını belə ifadə edək ki, yükdən bir qədər məsafədə sahə xətlərinin sıxlığı, yəni radiuslu sferanın vahid səthini kəsən xətlərin sayı bərabərdir. nöqtə yükü (4), biz xətlərin sıxlığının sahənin gücünə mütənasib olduğunu görürük. N sahə xətlərinin ümumi sayını düzgün seçməklə bu kəmiyyətləri ədədi olaraq bərabərləşdirə bilərik:
Beləliklə, nöqtə yükünü əhatə edən istənilən radiuslu sferanın səthi eyni sayda qüvvə xətləri ilə kəsişir. Bu o deməkdir ki, qüvvə xətləri davamlıdır: müxtəlif radiuslu hər hansı iki konsentrik kürə arasındakı intervalda xətlərin heç biri qırılmır və yeniləri əlavə edilmir. Sahə xətləri davamlı olduğundan, eyni sayda sahə xətləri yükü əhatə edən hər hansı qapalı səthi (şək. 9) kəsir.
Güc xətlərinin bir istiqaməti var. Müsbət yük olduqda, Şəkil 1-də göstərildiyi kimi, yükü əhatə edən qapalı səthdən çıxırlar. 9. Mənfi yük olduqda, onlar səthin içərisinə keçirlər. Əgər gedən sətirlərin sayı müsbət, gələn sətirlərin sayı isə mənfi hesab edilirsə, onda (8) düsturunda yükün modulunun işarəsini buraxıb formada yaza bilərik.
Gərginlik axını.İndi səthdən keçən sahə gücü vektor axını anlayışını təqdim edək. İxtiyari sahə zehni olaraq kiçik sahələrə bölünə bilər ki, burada intensivlik böyüklük və istiqamətdə o qədər az dəyişir ki, bu sahədə sahə vahid hesab edilə bilər. Hər bir belə sahədə qüvvə xətləri paralel düz xətlərdir və sabit sıxlığa malikdir.
düyü. 10. Sahənin gücü vektorunun sahə üzrə axınını təyin etmək
Nəzərə alaq ki, kiçik bir sahəyə neçə qüvvə xətti nüfuz edir, normalın istiqaməti gərginlik xətlərinin istiqaməti ilə a bucağı əmələ gətirir (şək. 10). Qüvvət xətlərinə perpendikulyar olan müstəviyə proyeksiya olsun. Keçidilmiş xətlərin sayı eyni olduğundan və xətlərin sıxlığı qəbul edilmiş şərtə uyğun olaraq sahənin gücü E moduluna bərabər olduğundan, onda
a dəyəri vektor E-nin sayta normal istiqamətə proyeksiyasıdır
Buna görə də ərazidən keçən elektrik xətlərinin sayı bərabərdir
Məhsul səthdən keçən sahə gücü axını adlanır Formula (10) E vektorunun səthdən axınının bu səthi keçən sahə xətlərinin sayına bərabər olduğunu göstərir. Qeyd edək ki, intensivlik vektor axını, səthdən keçən sahə xətlərinin sayı kimi, skalyardır.
düyü. 11. Gərginlik vektoru E-nin saytdan axması
Axının güc xətlərinə nisbətən sahənin oriyentasiyasından asılılığı Şəkildə göstərilmişdir.
İxtiyari bir səthdən keçən sahənin gücü axını bu səthin bölünə biləcəyi elementar sahələrdən keçən axınların cəmidir. (9) və (10) münasibətlərinə əsasən qeyd etmək olar ki, nöqtə yükünün sahə gərginliyinin yükü əhatə edən hər hansı qapalı səthdən 2 keçir (bax. Şəkil 9), ondan çıxan sahə xətlərinin sayı kimi. bu səthə bərabərdir, bu halda elementar sahələrə normal vektor qapalı səthə yönəldilməlidir. Səthin içərisindəki yük mənfi olarsa, sahə xətləri bu səthin içərisinə daxil olur və yüklə əlaqəli sahənin gücü vektorunun axını da mənfi olur.
Əgər qapalı səthin içərisində bir neçə yük varsa, o zaman superpozisiya prinsipinə uyğun olaraq onların sahə güclərinin axınları toplanır. Ümumi axın, səthin içərisində yerləşən bütün yüklərin cəbri cəmi kimi başa düşülməli olduğu yerə bərabər olacaqdır.
Əgər qapalı səthin daxilində heç bir elektrik yükü yoxdursa və ya onların cəbri cəmi sıfırdırsa, bu səthdən keçən sahə gücünün ümumi axını sıfıra bərabərdir: bir çox qüvvə xətti səthlə məhdudlaşan həcmə daxil olduqda, eyni sayda da çıxır.
İndi nəhayət Gauss teoremini formalaşdıra bilərik: vakuumda elektrik sahəsinin gücü vektoru E-nin hər hansı qapalı səthdən keçməsi bu səthin içərisində yerləşən ümumi yükə mütənasibdir. Riyazi olaraq Qauss teoremi eyni düsturla (9) ifadə edilir, burada yüklərin cəbri cəmi nəzərdə tutulur. Mütləq elektrostatik olaraq
SGSE vahidlər sistemində əmsal və Qauss teoremi şəklində yazılır
SI-də və qapalı səthdən keçən gərginlik axını düsturla ifadə edilir
Qauss teoremi elektrostatikada geniş istifadə olunur. Bəzi hallarda simmetrik yerləşdirilmiş yüklərin yaratdığı sahələri asanlıqla hesablamaq üçün istifadə edilə bilər.
Simmetrik mənbələrin sahələri. Radiuslu topun səthində bərabər yüklənmiş elektrik sahəsinin intensivliyini hesablamaq üçün Qauss teoremini tətbiq edək. Müəyyənlik üçün onun yükünün müsbət olduğunu qəbul edəcəyik. Sahəni yaradan yüklərin paylanması sferik simmetriyaya malikdir. Buna görə də sahə də eyni simmetriyaya malikdir. Belə bir sahənin güc xətləri radiuslar boyunca yönəldilmişdir və intensivlik modulu topun mərkəzindən bərabər məsafədə olan bütün nöqtələrdə eynidır.
Topun mərkəzindən bir məsafədə sahə gücünü tapmaq üçün topla konsentrik radiuslu bir sferik səthi zehni olaraq çəkək, çünki bu sferanın bütün nöqtələrində sahənin gücü onun səthinə perpendikulyardır mütləq dəyərdə eyni, intensivlik axını sadəcə sahənin gücü və sferanın səthinin məhsuluna bərabərdir:
Lakin bu kəmiyyət Gauss teoremi ilə də ifadə edilə bilər. Topdan kənar sahə ilə maraqlanırıqsa, yəni, məsələn, SI-də və (13) ilə müqayisə etsək, tapırıq.
SGSE vahidləri sistemində, açıq şəkildə,
Beləliklə, topun xaricində sahə gücü topun mərkəzində yerləşdirilmiş nöqtə yükünün gücü ilə eynidir. Topun içindəki sahə ilə maraqlanırıqsa, yəni topun səthinə paylanmış bütün yük zehni olaraq çəkdiyimiz kürədən kənarda yerləşdiyi üçün. Beləliklə, topun içərisində heç bir sahə yoxdur:
Eynilə, Gauss teoremindən istifadə edərək, sonsuz yüklü bir cismin yaratdığı elektrostatik sahəni hesablamaq olar.
təyyarənin bütün nöqtələrində sabit sıxlığı olan müstəvi. Simmetriya səbəblərinə görə, güc xətlərinin müstəviyə perpendikulyar olduğunu, ondan hər iki istiqamətə yönəldiyini və hər yerdə eyni sıxlığa malik olduğunu düşünə bilərik. Həqiqətən, müxtəlif nöqtələrdə sahə xətlərinin sıxlığı fərqli olsaydı, yüklənmiş bir müstəvini özü boyunca hərəkət etdirmək bu nöqtələrdə sahənin dəyişməsinə səbəb olardı ki, bu da sistemin simmetriyasına ziddir - belə yerdəyişmə sahəni dəyişməməlidir. Başqa sözlə, sonsuz vahid yüklü müstəvinin sahəsi vahiddir.
Qauss teoreminin tətbiqi üçün qapalı səth olaraq aşağıdakı kimi qurulmuş silindrin səthini seçirik: silindrin generatrisi qüvvə xətlərinə paraleldir və əsasların yüklənmiş müstəviyə paralel sahələri var və onun əks tərəflərində yerləşir. (şək. 12). Yan səthdən keçən sahə gücü axını sıfırdır, buna görə də qapalı səthdən keçən ümumi axın silindrin əsaslarından keçən axınların cəminə bərabərdir:
düyü. 12. Vahid yüklü təyyarənin sahə gücünün hesablanmasına doğru
Qauss teoreminə görə, eyni axın müstəvinin silindrin içərisində olan hissəsinin yükü ilə müəyyən edilir və SI-də axın üçün bu ifadələri müqayisə etsək, tapırıq.
SGSE sistemində bərabər yüklü sonsuz müstəvinin sahə gücü düsturla verilir
Son ölçülü vahid yüklü bir boşqab üçün əldə edilən ifadələr plitənin kənarlarından kifayət qədər uzaqda və səthindən çox uzaq olmayan bir bölgədə təxminən etibarlıdır. Plitənin kənarlarına yaxın sahə artıq vahid olmayacaq və onun sahə xətləri əyilmiş olacaq. Plitənin ölçüsü ilə müqayisədə çox böyük məsafələrdə sahə nöqtə yükünün sahəsi ilə eyni şəkildə məsafə ilə azalır.
Simmetrik olaraq paylanmış mənbələrin yaratdığı sahələrə digər nümunələrə sonsuz düzxətli sapın uzunluğu boyunca bərabər yüklü sahə, bərabər yüklü sonsuz dairəvi silindr sahəsi, topun sahəsi,
həcm boyu bərabər yüklənir və s. Qauss teoremi bütün bu hallarda sahənin gücünü asanlıqla hesablamağa imkan verir.
Qauss teoremi sahə ilə onun mənbələri arasında müəyyən mənada Coulomb qanunu ilə verilən əlaqəyə tərs bir əlaqə verir ki, bu da verilmiş yüklərdən elektrik sahəsini təyin etməyə imkan verir. Gauss teoremindən istifadə edərək, elektrik sahəsinin paylanması məlum olan fəzanın istənilən bölgəsindəki ümumi yükü müəyyən edə bilərsiniz.
Elektrik yüklərinin qarşılıqlı təsirini təsvir edərkən uzaq məsafəli və qısamüddətli təsir anlayışları arasında fərq nədir? Bu anlayışlar qravitasiya qarşılıqlı təsirlərinə nə dərəcədə tətbiq oluna bilər?
Elektrik sahəsinin gücü nədir? Elektrik sahəsinin güc xarakteristikası deyildikdə nəyi nəzərdə tuturlar?
Sahə xətlərinin nümunəsindən müəyyən bir nöqtədə sahə gücünün istiqamətini və böyüklüyünü necə mühakimə etmək olar?
Elektrik sahəsi xətləri kəsişə bilərmi? Cavabınızın səbəblərini göstərin.
İki yükün elektrostatik sahə xətlərinin keyfiyyətli şəklini çəkin ki, .
Qapalı səthdən elektrik sahəsinin şiddətinin axını GSE və SI vahidlərində müxtəlif düsturlar (11) və (12) ilə ifadə edilir. Bunu səthdən keçən qüvvə xətlərinin sayı ilə təyin olunan axının həndəsi mənası ilə necə uzlaşdırmaq olar?
Onu yaradan yüklər simmetrik olaraq paylandıqda elektrik sahəsinin gücünü tapmaq üçün Qauss teoremindən necə istifadə etmək olar?
Mənfi yüklü topun sahə gücünü hesablamaq üçün (14) və (15) düsturlarını necə tətbiq etmək olar?
Qauss teoremi və fiziki fəzanın həndəsəsi. Qauss teoreminin isbatına bir qədər fərqli nöqteyi-nəzərdən baxaq. Gəlin (7) düsturuna qayıdaq, ondan belə nəticəyə gəlmək olar ki, yükü əhatə edən istənilən sferik səthdən eyni sayda qüvvə xətti keçir. Bu nəticə bərabərliyin hər iki tərəfinin məxrəclərində azalma olması ilə bağlıdır.
Sağ tərəfdə Coulomb qanunu ilə təsvir edilən yüklər arasında qarşılıqlı təsir qüvvəsinin yüklər arasındakı məsafənin kvadratına tərs mütənasib olması səbəbindən yaranmışdır. Sol tərəfdə görünüş həndəsə ilə bağlıdır: kürənin səth sahəsi onun radiusunun kvadratına mütənasibdir.
Səth sahəsinin xətti ölçülərin kvadratına mütənasibliyi üçölçülü fəzada Evklid həndəsəsinin əlamətidir. Həqiqətən, sahələrin hər hansı digər tam dərəcəyə deyil, xətti ölçülərin kvadratlarına mütənasibliyi məkan üçün xarakterikdir.
üç ölçü. Bu eksponentin tam olaraq ikiyə bərabər olması və ikidən, hətta cüzi bir miqdarla da fərqlənməməsi bu üçölçülü fəzanın əyri olmadığını, yəni onun həndəsəsinin dəqiq Evklid olduğunu göstərir.
Beləliklə, Qauss teoremi elektrik yüklərinin qarşılıqlı təsirinin əsas qanununda fiziki fəzanın xüsusiyyətlərinin təzahürüdür.
Fizikanın əsas qanunları ilə kosmosun xassələri arasında sıx əlaqə ideyası bu qanunların özləri qurulmamışdan çox əvvəl bir çox görkəmli ağıllar tərəfindən ifadə edilmişdir. Beləliklə, İ.Kant Kulon qanununun kəşfindən üç onillik əvvəl fəzanın xassələri haqqında yazırdı: “Üçölçülülük, görünür, ona görə baş verir ki, mövcud aləmdəki maddələr bir-birinə elə təsir edir ki, təsir qüvvəsi məsafənin kvadratına tərs mütənasibdir”.
Coulomb qanunu və Gauss teoremi əslində müxtəlif formalarda ifadə olunan eyni təbiət qanununu təmsil edir. Coulomb qanunu uzunmüddətli hərəkət anlayışını əks etdirir, Qauss teoremi isə boşluq dolduran qüvvə sahəsi ideyasından, yəni qısa mənzilli hərəkət anlayışından irəli gəlir. Elektrostatikada güc sahəsinin mənbəyi yükdür və mənbə ilə əlaqəli sahənin xarakteristikası - intensivlik axını - başqa yüklərin olmadığı boş yerdə dəyişə bilməz. Axını vizual olaraq sahə xətləri toplusu kimi təsəvvür etmək mümkün olduğundan, axının dəyişməzliyi bu xətlərin davamlılığında özünü göstərir.
Qarşılıqlı təsirin məsafənin kvadratına tərs mütənasibliyinə və superpozisiya (qarşılıqlı təsirin əlavəliyi) prinsipinə əsaslanan Qauss teoremi tərs kvadrat qanununun işlədiyi istənilən fiziki sahəyə şamil edilir. Xüsusilə, qravitasiya sahəsi üçün də doğrudur. Aydındır ki, bu, sadəcə bir təsadüf deyil, həm elektrik, həm də qravitasiya qarşılıqlı təsirlərinin üçölçülü Evklid fiziki məkanında meydana çıxması faktının əksidir.
Qauss teoremi elektrik yüklərinin qarşılıqlı təsir qanununun hansı xüsusiyyətinə əsaslanır?
Gauss teoreminə əsaslanaraq sübut edin ki, nöqtə yükünün elektrik sahəsinin gücü məsafənin kvadratına tərs mütənasibdir. Bu sübutda fəza simmetriyasının hansı xassələrindən istifadə olunur?
Fiziki fəzanın həndəsəsi Kulon qanununda və Qauss teoremində necə əks olunur? Bu qanunların hansı xüsusiyyəti həndəsənin Evklid xarakterini və fiziki fəzanın üçölçülülüyünü göstərir?
Elektrik sahəsinin gücü vektor axını. Kiçik bir platforma edək DS(Şəkil 1.2) istiqaməti normal olan elektrik sahəsi xətlərini kəsir. n
bu sayta bucaq a. Fərz edək ki, gərginlik vektoru E
sayt daxilində dəyişmir DS, müəyyən edək gərginlik vektor axını platforma vasitəsilə DS Necə
DFE =E DS cos a.(1.3)
Elektrik xətlərinin sıxlığı gərginliyin ədədi dəyərinə bərabər olduğundan E, sonra ərazidən keçən elektrik xətlərinin sayıDS, ədədi olaraq axın dəyərinə bərabər olacaqDFEsəthi vasitəsiləDS. (1.3) ifadəsinin sağ tərəfini vektorların skalyar hasili kimi təqdim edək E VəDS= nDS, Harada n– səthə normal vahid vektorDS. Elementar sahə üçün d S ifadəsi (1.3) formasını alır
dFE = E d S
Bütün sayt boyunca S gərginlik vektorunun axını səth üzərində inteqral kimi hesablanır
Elektrik induksiya vektor axını. Elektrik induksiya vektorunun axını elektrik sahəsinin gücü vektorunun axını kimi müəyyən edilir.
dFD = D d S
Hər bir səth üçün iki olması səbəbindən axınların təriflərində bəzi qeyri-müəyyənlik var əks istiqamətdə normallar. Qapalı səth üçün xarici normal müsbət hesab olunur.
Qauss teoremi. Gəlin nəzərdən keçirək müsbət nöqtə elektrik yükü q, ixtiyari qapalı səthin içərisində yerləşir S(Şəkil 1.3). Səth elementi vasitəsilə induksiya vektor axını d S bərabərdir 
(1.4)
Komponent d S D = d S cos asəth elementi d S induksiya vektoru istiqamətindəDradiuslu sferik səthin elementi kimi qəbul edilir r, şarjın yerləşdiyi mərkəzdəq.
|
|
Nəzərə alsaq ki, d S D/ r 2 bərabərdir elementar bədən künc dw, bunun altında yükün yerləşdiyi nöqtədənqsəth elementi d görünür S, (1.4) ifadəsini formaya çeviririk d FD = q d w / 4 səh, haradan, yükü əhatə edən bütün məkan üzərində inteqrasiyadan sonra, yəni 0-dan 4-ə qədər möhkəm bucaq daxilindəsəh, alırıq
FD = q.
Elektrik induksiya vektorunun ixtiyari formalı qapalı səthdən axını bu səthin içərisində olan yükə bərabərdir..
|
|
Əgər ixtiyari bir qapalı səth S nöqtə yükünü əhatə etmir q(Şəkil 1.4), sonra yükün yerləşdiyi nöqtədə təpəsi ilə konusvari səth quraraq, səthi bölürük. S iki hissəyə: S 1 və S 2. Axın vektoru D səthi vasitəsilə S səthlərdən keçən axınların cəbri cəmi kimi tapırıq S 1 və S 2:
.
Yükün yerləşdiyi nöqtədən hər iki səth q bir möhkəm bucaqdan görünür w. Buna görə də axınlar bərabərdir
Qapalı bir səthdən keçən axını hesablayarkən istifadə edirik xarici normal səthə baxdıqda, F axınının olduğunu görmək asandır 1D < 0, тогда как поток Ф2D> 0. Ümumi axın Ф D= 0. Bu o deməkdir ki ixtiyari formalı qapalı səthdən keçən elektrik induksiya vektorunun axını bu səthdən kənarda yerləşən yüklərdən asılı deyil.
Əgər elektrik sahəsi nöqtə yükləri sistemi ilə yaradılırsa q 1 , q 2 ,¼ , qn, qapalı səthlə örtülmüşdür S, onda superpozisiya prinsipinə uyğun olaraq bu səthdən keçən induksiya vektorunun axını yüklərin hər birinin yaratdığı axınların cəmi kimi müəyyən edilir. Elektrik induksiya vektorunun ixtiyari formalı qapalı səthdən axını bu səthin əhatə etdiyi yüklərin cəbri cəminə bərabərdir.:
Qeyd edək ki, ittihamlar qi nöqtə kimi olması lazım deyil, zəruri şərt yüklənmiş sahənin səthlə tamamilə örtülməsidir. Əgər qapalı səthlə məhdudlaşan məkanda S, elektrik yükü davamlı olaraq paylanır, onda hər bir elementar həcmin d olduğunu qəbul etmək lazımdır V yükü var. Bu halda (1.5) ifadəsinin sağ tərəfində yüklərin cəbri cəmi qapalı səthin içərisində qapalı olan həcm üzərində inteqrasiya ilə əvəz olunur. S:
(1.6)
İfadə (1.6) ən ümumi ifadədir Qauss teoremi: elektrik induksiya vektorunun ixtiyari formalı qapalı səthdən axını bu səthin əhatə etdiyi həcmdə ümumi yükə bərabərdir və nəzərdən keçirilən səthdən kənarda yerləşən yüklərdən asılı deyildir.. Qauss teoremini elektrik sahəsinin gücü vektorunun axını üçün də yazmaq olar:
.
Elektrik sahəsinin vacib bir xüsusiyyəti Gauss teoremindən irəli gəlir: güc xətləri yalnız elektrik yükləri ilə başlayır və ya bitir və ya sonsuzluğa gedir. Bir daha vurğulayaq ki, elektrik sahəsinin gücünə baxmayaraq E və elektrik induksiyası D bütün yüklərin fəzada yerləşməsindən asılıdır, bu vektorların ixtiyari qapalı səthdən axınları S yalnız müəyyən edilir səthin daxilində yerləşən yüklər S.
Qauss teoreminin diferensial forması. Qeyd edək ki inteqral formasıdır Qauss teoremi elektrik sahəsinin mənbələri (yükləri) və həcmdə elektrik sahəsinin xüsusiyyətləri (gərilmə və ya induksiya) arasındakı əlaqəni xarakterizə edir. V ixtiyari, lakin inteqral münasibətlərin formalaşması üçün kifayət qədər, böyüklük. Həcmi bölməklə V kiçik həcmlər üçün V i, ifadəsini alırıq
həm bütövlükdə, həm də hər bir müddət üçün etibarlıdır. Nəticə ifadəsini aşağıdakı kimi çevirək:
(1.7)
və əyri mötərizədə verilmiş bərabərliyin sağ tərəfindəki ifadənin həcmin qeyri-məhdud bölünməsinə meyl göstərdiyi həddi nəzərə alın V. Riyaziyyatda bu hədd adlanır fərqlilik vektor (bu halda elektrik induksiyası vektoru D):
Vektor fərqi D Kartezyen koordinatlarında:
Beləliklə, (1.7) ifadəsi aşağıdakı formaya çevrilir:
.
Nəzərə alsaq ki, qeyri-məhdud bölmə ilə sonuncu ifadənin sol tərəfindəki cəmi həcm inteqralına çevrilir, biz əldə edirik.
Nəticə əlaqə ixtiyari seçilmiş hər hansı həcm üçün təmin edilməlidir V. Bu, yalnız fəzanın hər bir nöqtəsində inteqranların dəyərləri eyni olduqda mümkündür. Buna görə vektorun fərqliliyi D bərabərliklə eyni nöqtədə yük sıxlığı ilə əlaqələndirilir
və ya elektrostatik sahənin gücü vektoru üçün
Bu bərabərliklər Qauss teoremini ifadə edir diferensial forma.
Qeyd edək ki, Qauss teoreminin diferensial formasına keçid prosesində ümumi xarakter daşıyan münasibət alınır:
.
İfadə Qauss-Ostroqradski düsturu adlanır və vektorun divergensiyasının həcm inteqralını bu vektorun həcmi məhdudlaşdıran qapalı səthdən keçən axını ilə əlaqələndirir.
Suallar
1) Vakuumda elektrostatik sahə üçün Qauss teoreminin fiziki mənası nədir
2) Kubun mərkəzində bir nöqtə yükü varq. Vektorun axını nədir? E:
a) kubun tam səthi vasitəsilə; b) kubun üzlərindən biri vasitəsilə.
Cavablar dəyişəcəkmi, əgər:
a) yük kubun mərkəzində deyil, onun içərisindədir ; b) yük kubdan kənardadır.
3) Xətti, səthi, həcm yük sıxlıqları nədir.
4) Həcmi və səthi yük sıxlığı arasındakı əlaqəni göstərin.
5) Əks və bərabər yüklü paralel sonsuz müstəvilərin xaricindəki sahə sıfırdan fərqli ola bilərmi?
6) Elektrik dipolu qapalı bir səthin içərisinə yerləşdirilir. Bu səthdən keçən axın nədir
