Числови редове: определения, свойства, признаци на сходимост, примери, решения. Тест на Д'Аламбер за сходимост на редове с положителен знак

Тест за конвергенция на Д'Аламбер

Жан Лерон д'Аламбер е известен френски математик от 18 век. Като цяло д'Аламбер се специализира в диференциалните уравнения и въз основа на своите изследвания изучава балистика, за да летят по-добре гюлетата на Негово Величество. В същото време не забравих за числовите серии; не напразно редиците на войските на Наполеон по-късно се сближиха и разминаха толкова ясно.

Преди да формулираме самия знак, нека разгледаме един важен въпрос: Кога трябва да се използва тестът за конвергенция на D'Alembert?

Нека първо започнем с преглед. Нека си спомним случаите, когато трябва да използвате най-популярните граница на сравнение. Ограничаващият критерий за сравнение се използва, когато общият член на редицата: 1) Знаменателят съдържа полином. 2) Полиномите са както в числителя, така и в знаменателя. 3) Единият или двата полинома могат да бъдат под корена.

Основните предпоставки за прилагане на теста на д'Аламбер са следните:

1) Общият термин на серията („запълване“ на серията) включва някакво число до степен, например и т.н. Освен това няма никакво значение къде се намира това нещо, в числителя или в знаменателя - важното е, че присъства там.

2) Общият член на реда включва факториела. Какво е факториел? Нищо сложно, факториелът е просто съкратена нотация на произведението: ……

! Когато използваме теста на д'Аламбер, ще трябва да опишем факториела в детайли. Както в предишния параграф, факториелът може да бъде разположен в горната или долната част на фракцията.

3) Ако в общия член на реда има „верига от фактори“, напр. Този случай е рядък, но! При изучаване на такава серия често се допуска грешка - вижте Пример 6.

Заедно със степените и/или факториелите, полиномите често се срещат в запълването на редица; това не променя ситуацията - трябва да използвате знака на Д'Аламбер.

В допълнение, в общ член на серия степен и факториел могат да се появят едновременно; може да има два факториела, две степени, важно е да има поне нещоот разглежданите точки - и именно това е предпоставката за използване на знака на д'Аламбер.

Знак на Д'Аламбер: Да помислим редица от положителни числа. Ако има ограничение на съотношението на следващия член към предходния: тогава: а) Ред се сближавасе разминавазнакът не дава отговор. Трябва да използвате друг знак. Най-често се получава в случай, че се опитват да приложат теста на D'Alembert, където е необходимо да се използва тестът за ограничаващо сравнение.

За тези, които все още имат проблеми с ограниченията или неразбиране на ограниченията, вижте урока Ограничения. Примери за решения. Без разбиране на границата и способност за разкриване на несигурността, за съжаление, човек не може да продължи напред.

Радикален знак на Коши

Огюстен Луи Коши е още по-известен френски математик. Всеки студент по инженерство може да ви разкаже биографията на Коши. В най-живописните цветове. Неслучайно това име е издълбано на първия етаж на Айфеловата кула.

Тестът за конвергенция на Коши за серии от положителни числа е донякъде подобен на теста на Д'Аламбер, който току-що обсъдихме.

Радикален знак на Коши:Нека помислим редица от положителни числа. Ако има ограничение:, тогава: а) Поръчайте се сближава. По-специално, серията се събира при . б) Ред се разминава. По-специално, серията се разминава при . в) Кога знакът не дава отговор. Трябва да използвате друг знак. Интересно е да се отбележи, че ако тестът на Коши не ни даде отговор на въпроса за сходимостта на редица, тогава тестът на Д'Аламбер също няма да ни даде отговор. Но ако знакът на д'Аламбер не дава отговор, тогава знакът на Коши може да "работи". Тоест знакът на Коши в този смисъл е по-силен знак.

Кога трябва да използвате радикалния знак на Коши?Радикалният тест на Коши обикновено се използва в случаите, когато общият член на серията НАПЪЛНОе в степента в зависимост от "en". Или когато коренът „добро“ е извлечен от общ член на серията. Има и екзотични случаи, но няма да се тревожим за тях.

Признаци за сходимост на редовете.
Знак на Д'Аламбер. Симптоми на Коши

Работете, работете - и разбирането ще дойде по-късно
J.L. д'Аламбер

Честито начало на учебната година на всички! Днес е 1 септември и в чест на празника реших да запозная читателите с това, което отдавна очаквате и желаете да научите - признаци на сходимост на числови положителни редове. Първосептемврийският празник и моите поздравления са винаги актуални, нищо че навън наистина е лято, сега се явявате на изпита за трети път, учете, ако сте посещавали тази страница!

За тези, които тепърва започват да изучават сериали, препоръчвам първо да прочетете статията Цифрови серии за манекени. Всъщност тази количка е продължение на банкета. И така, днес в урока ще разгледаме примери и решения по темите:

Един от често срещаните знаци за сравнение, който се среща в практическите примери, е знакът на Даламбер. Симптомите на Коши са по-рядко срещани, но също много популярни. Както винаги, ще се опитам да представя материала просто, достъпно и разбираемо. Темата не е от най-трудните и всички задачи са до известна степен стандартни.

Тест за конвергенция на Д'Аламбер

Преди да формулираме самия знак, нека разгледаме един важен въпрос:
Кога трябва да се използва тестът за конвергенция на D'Alembert?

1) Знаменателят съдържа полином.
2) Полиномите са както в числителя, така и в знаменателя.
3) Единият или двата полинома могат да бъдат под корена.
4) Разбира се, може да има повече полиноми и корени.

Основните предпоставки за прилагане на теста на д'Аламбер са следните:

1) Общият термин на серията („запълване“ на серията) включва някакво число до степен, например, , и т.н. Освен това няма никакво значение къде се намира това нещо, в числителя или в знаменателя - важното е, че присъства там.

2) Общият член на реда включва факториела. Кръстосахме шпаги с факториели в урока Числова последователност и нейната граница. Въпреки това, няма да навреди да разпънете отново сглобената от вас покривка:

…

…

3) Ако в общия член на реда има „верига от фактори“, напр. . Този случай е рядък, но! При изучаване на такава серия често се допуска грешка - вижте Пример 6.

В допълнение, в общ член на серия и степен, и факториел могат да се появят едновременно; може да има два факториела, две степени, важно е да има поне нещоот разглежданите точки - и именно това е предпоставката за използване на знака на д'Аламбер.

Знак на Д'Аламбер: Да помислим редица от положителни числа. Ако има ограничение за съотношението на следващия термин към предходния: , тогава:
а) Когато ред се сближава
б) Когато гребете се разминава
в) Кога знакът не дава отговор. Трябва да използвате друг знак. Най-често се получава в случай, че се опитват да приложат теста на D'Alembert, където е необходимо да се използва тестът за ограничаващо сравнение.

А сега дългоочакваните примери.

Пример 1

Виждаме, че в общия член на редицата имаме , а това е сигурна предпоставка за използване на теста на д'Аламбер. Първо, пълното решение и примерен дизайн, коментари по-долу.

Използваме знака на д'Аламбер:

се сближава.

(1) Съставяме отношението на следващия член на редицата към предходния: . От условието виждаме, че общият член на реда е . За да получите следващия член на поредицата е необходимо вместо заместване: .
Ако имате известен опит с решението, можете да пропуснете тази стъпка.
(3) Отворете скобите в числителя. В знаменателя изваждаме четирите от степента.
(4) Намалете с . Вземаме константата отвъд граничния знак. В числителя представяме подобни термини в скоби.
(5) Несигурността се елиминира по стандартния начин – чрез разделяне на числителя и знаменателя на “en” на най-висока степен.
(6) Разделяме числителите по член по член и посочваме членовете, които клонят към нула.
(7) Ние опростяваме отговора и отбелязваме, че със заключението, че според теста на D’Alembert, изследваната серия се сближава.

В разглеждания пример в общия член на редицата срещнахме полином от 2-ра степен. Какво да направите, ако има полином от 3-та, 4-та или по-висока степен? Факт е, че ако е даден полином от по-висока степен, тогава ще възникнат трудности с отварянето на скобите. В този случай можете да използвате метода на „турбо“ решение.

Пример 2

Нека вземем подобна серия и я изследваме за сходимост

Първо пълното решение, след това коментари:

Използваме знака на д'Аламбер:

Така изследваната серия се сближава.

(1) Ние създаваме релацията.
(2) Отърваваме се от четириетажната част.
(3) Разгледайте израза в числителя и израза в знаменателя. Виждаме, че в числителя трябва да отворим скобите и да ги повдигнем на четвърта степен: , което абсолютно не искаме да правим. А за тези, които не са запознати с бинома на Нютон, тази задача ще бъде още по-трудна. Нека анализираме по-високите степени: ако отворим скобите отгоре , тогава ще получим висша степен. По-долу имаме същата висша степен: . По аналогия с предишния пример е очевидно, че когато разделяме числителя и знаменателя член по член, в крайна сметка получаваме едно в границата. Или, както казват математиците, полиноми И - същия ред на растеж. Така че е напълно възможно да се очертае връзката с обикновен молив и веднага посочете, че това нещо се стреми към едно. Справяме се с втората двойка полиноми по същия начин: и те също същия ред на растеж, а съотношението им клони към единица.

Всъщност такъв „хак“ можеше да бъде изваден в Пример №1, но за полином от 2-ра степен такова решение все още изглежда някак си недостойно. Лично аз правя следното: ако има полином (или полиноми) от първа или втора степен, използвам „дълъг“ метод за решаване на Пример 1. Ако попадна на полином от 3-та или по-висока степен, използвам „турбо“ метод, подобен на Пример 2.

Пример 3

Проверете серията за конвергенция

Нека да разгледаме типични примери с факториели:

Пример 4

Проверете серията за конвергенция

Общият член на серията включва както степента, така и факториела. Ясно е като бял ден, че тук трябва да се използва знакът на д'Аламбер. Нека решим.

Така изследваната серия се разминава.

(1) Създаваме релацията. Пак повтаряме. По условие общият термин на серията е: . За да получите следващия термин от поредицата, вместо това трябва да замените, По този начин: .
(2) Отърваваме се от четириетажната част.
(3) Отщипете седемте от степента. Описваме факториелите подробно. Как да направите това - вижте началото на урока или статията за числовите редици.
(4) Режем всичко, което може да се реже.
(5) Преместваме константата отвъд граничния знак. Отворете скобите в числителя.
(6) Елиминираме несигурността по стандартния начин – като разделим числителя и знаменателя на “en” на най-висока степен.

Пример 5

Проверете серията за конвергенция

Пълно решение и примерен дизайн в края на урока

Пример 6

Проверете серията за конвергенция

Понякога има серии, които съдържат „верига“ от фактори в своето попълване; ние все още не сме разглеждали този тип серии. Как да изучаваме серия с „верига“ от фактори? Използвайте знака на д'Аламбер. Но първо, за да разберем какво се случва, нека опишем поредицата подробно:

От разширението виждаме, че всеки следващ член на серията има допълнителен фактор, добавен към знаменателя, следователно, ако общият член на серията , след това следващия член на поредицата:
. Това е мястото, където те често автоматично правят грешка, формално пишейки според алгоритъма, който

Примерно решение може да изглежда така:

Използваме знака на д'Аламбер:

Така изследваната серия се сближава.

Радикален знак на Коши

Радикален знак на Коши:Нека помислим редица от положителни числа. Ако има ограничение: , тогава:
а) Когато ред се сближава. По-специално, серията се събира при .
б) Когато гребете се разминава. По-специално, серията се разминава при .
в) Кога знакът не дава отговор. Трябва да използвате друг знак. Интересно е да се отбележи, че ако тестът на Коши не ни даде отговор на въпроса за сходимостта на редица, тогава тестът на Д'Аламбер също няма да даде отговор. Но ако знакът на д'Аламбер не дава отговор, тогава знакът на Коши може да "работи". Тоест знакът на Коши в този смисъл е по-силен знак.

Пример 7

Проверете серията за конвергенция

Виждаме, че общият член на серията е изцяло под степен, зависеща от , което означава, че трябва да използваме радикалния тест на Коши:

Така изследваната серия се разминава.

(1) Формулираме общия член на серията под корена.
(2) Преписваме същото нещо, само без корена, използвайки свойството на степени.
(3) В индикатора разделяме числителя на знаменателя термин по термин, което показва, че
(4) В резултат на това имаме несигурност. Тук можете да отидете по дългия път: куб, куб, след това разделете числителя и знаменателя на „en“ на най-висока степен. Но в този случай има по-ефективно решение: можете да разделите числителя и знаменателя член по член директно под постоянната степен. За да премахнете несигурността, разделете числителя и знаменателя на (най-високата степен).
(5) Ние всъщност извършваме деление по член и посочваме членовете, които клонят към нула.
(6) Припомняме си отговора, отбелязваме какво имаме и заключаваме, че серията се разминава.

Ето по-прост пример, който можете да решите сами:

Пример 8

Проверете серията за конвергенция

И още няколко характерни примера.

Пълно решение и примерен дизайн в края на урока

Пример 9

Проверете серията за конвергенция
Използваме радикалния тест на Коши:

Така изследваната серия се сближава.

(1) Поставете общия термин на серията под корена.
(2) Преписваме същото нещо, но без корена, като отваряме скобите, като използваме съкратената формула за умножение: .
(3) В индикатора разделяме числителя на знаменателя термин по термин и показваме, че .
(4) Несигурност на формата. Тук можете директно да разделите числителя на знаменателя в скобите с „en“ на най-висока степен. Ние се сблъскахме с нещо подобно, когато учехме втора прекрасна граница. Но тук ситуацията е различна. Ако коефициентите при по-високи степени бяха идентичен, например: , тогава трикът с разделянето на член по член вече няма да работи и ще е необходимо да се използва второто забележително ограничение. Но имаме тези коефициенти различен(5 и 6), следователно е възможно (и необходимо) да се раздели термин по термин (между другото, напротив - втората забележителна граница за различенкоефициентите при по-високи степени вече не работят). Ако си спомняте, тези тънкости бяха обсъдени в последния параграф на статията Методи за решаване на граници.
(5) Всъщност извършваме деление по член и посочваме кои членове клонят към нула.
(6) Несигурността е елиминирана, остава ни най-простата граница: . Защо в безкрайно голямклони към нула? Тъй като основата на степента удовлетворява неравенството. Ако някой се съмнява в справедливостта на лимита , тогава няма да бъда мързелив, ще взема калкулатор:
Ако, тогава
Ако, тогава
Ако, тогава
Ако, тогава
Ако, тогава
… и т.н. до безкрайност - тоест в границата:

Просто така безкрайно намаляваща геометрична прогресияна пръсти =)

(7) Посочваме, че заключаваме, че редът се събира.

Пример 10

Проверете серията за конвергенция

Това е пример, който можете да решите сами.

Понякога се предлага провокативен пример за решение, например:. Тук в степен няма "en", само константа. Тук трябва да поставите на квадрат числителя и знаменателя (получавате полиноми) и след това да следвате алгоритъма от статията Редове за манекени. В такъв пример трябва да работи или необходимият тест за сходимост на серията, или ограничаващият тест за сравнение.

Интегрален тест на Коши

Или просто интегрален знак. Ще разочаровам онези, които не са разбрали добре материала от първия курс. За да приложите интегралния тест на Коши, трябва да сте повече или по-малко уверени в намирането на производни, интеграли и също така да имате умение за изчисление неправилен интегралпърви вид.

В учебниците по математически анализ интегрален тест на Кошидаден математически строго, но твърде объркващо, така че ще формулирам знака не твърде строго, но ясно:

Нека помислим редица от положителни числа. Ако има неправилен интеграл, тогава редът се сближава или разминава заедно с този интеграл.

И само няколко примера за пояснение:

Пример 11

Проверете серията за конвергенция

Почти класика. Натурален логаритъм и някакви глупости.

Основната предпоставка за използване на интегралния тест на Коши ее фактът, че общият член на редицата съдържа фактори, подобни на определена функция и нейната производна. От темата Производнавероятно си спомняте най-простата таблица: , и имаме точно такъв каноничен случай.

Тази статия събира и структурира информацията, необходима за решаване на почти всеки пример по темата за числови серии, от намирането на сумата на редица до изследването й за конвергенция.

Преглед на статията.

Нека започнем с дефинициите на положителни и редуващи се редове и концепцията за конвергенция. След това ще разгледаме стандартните редове, като хармоничните редове, обобщените хармонични редове и ще си припомним формулата за намиране на сумата на безкрайно намаляваща геометрична прогресия. След това ще преминем към свойствата на конвергентните серии, ще се спрем на необходимото условие за сходимост на серията и ще посочим достатъчни критерии за сходимост на серията. Ще разредим теорията с решения на типични примери с подробни обяснения.

Навигация в страницата.

Основни определения и понятия.

Нека имаме числова последователност, където .

Ето пример за числова последователност: .

Цифрови сериие сумата от членовете на числова последователност на формата .

Като пример за числова серия можем да дадем сумата от безкрайно намаляваща геометрична прогресия със знаменател q = -0,5: .

Наречен общ член на числовата серияили k-тия член на серията.

За предишния пример общият член на числовата серия има формата .

Частична сума на редица от числае сбор от формата , където n е някакво естествено число. наричана още n-та частична сума от числова серия.

Например, четвъртата частична сума от серията Има .

Частични суми образуват безкрайна последователност от частични суми на числова серия.

За нашата серия n-тата частична сума се намира с помощта на формулата за сумата от първите n членове на геометрична прогресия , тоест ще имаме следната последователност от частични суми: .

Поредицата от числа се нарича конвергентен, ако има крайна граница на последователността от частични суми. Ако границата на редицата от частични суми на редица от числа не съществува или е безкрайна, тогава серията се нарича разнопосочни.

Сумата от сходяща серия от числасе нарича граница на редицата от нейните частични суми, т.е. .

В нашия пример, следователно, серията се сближава и сумата му е равна на шестнадесет трети: .

Пример за дивергентна серия е сумата от геометрична прогресия със знаменател, по-голям от едно: . n-тата частична сума се определя от израза , а границата на частичните суми е безкрайна: .

Друг пример за разминаваща се числова серия е сбор от формата . В този случай n-тата частична сума може да се изчисли като . Лимитът на частичната сума е безкраен .

Сума на формата Наречен хармонична числова серия.

Сума на формата , където s е някакво реално число, се нарича обобщени от хармонични числа.

Горните дефиниции са достатъчни, за да оправдаят следните много често използвани твърдения, препоръчваме ви да ги запомните.

ХАРМОНИЧНАТА ПОРЕДИЦА Е ДИВЕРГЕНТНА.

Нека докажем дивергенцията на хармоничната редица.

Да приемем, че редът се събира. Тогава има краен лимит на неговите частични суми. В този случай можем да напишем и , което ни води до равенството .

От друга страна,

Несъмнени са следните неравенства. По този начин, . Полученото неравенство ни показва, че равенството не може да се постигне, което противоречи на предположението ни за сходимостта на хармоничната редица.

Заключение: хармоничната серия се разминава.

СУМАТА ОТ ГЕОМЕТРИЧНА ПРОГРЕСИЯ ОТ ВИДА СЪС ЗНАМЕНАТЕЛ q Е СХОДЯЩА ЧИСЛОВА ПОРЕДИЦА IF И РАЗЛИЧНА ПОРЕДИЦА ЗА .

Нека го докажем.

Знаем, че сумата от първите n члена на геометрична прогресия се намира по формулата .

Когато е справедливо

което показва сходимостта на числовата серия.

За q = 1 имаме числовата серия . Неговите частични суми се намират като , а границата на частичните суми е безкрайна , което показва разминаването на серията в този случай.

Ако q = -1, тогава числовата серия ще приеме формата . Частичните суми приемат стойност за нечетно n и за четно n. От това можем да заключим, че няма ограничение за частичните суми и серията се разминава.

Когато е справедливо

което показва разминаването на числовата серия.

ОБЩО, ХАРМОНИЧНАТА ПОРЕДИЦА КОНВЕРГИРА ПРИ s > 1 И СЕ РАЗЛИЧА ПРИ .

Доказателство.

При s = 1 получаваме хармонична редица, а по-горе установихме нейната дивергенция.

При s неравенството е в сила за всички естествени k. Поради дивергенцията на хармоничната серия може да се твърди, че последователността от нейните частични суми е неограничена (тъй като няма крайна граница). Тогава последователността от частични суми на числова серия е още по-неограничена (всеки член на тази серия е по-голям от съответния член на хармоничната серия); следователно обобщената хармонична серия се разминава като s.

Остава да се докаже сходимостта на редицата при s > 1.

Нека запишем разликата:

Очевидно тогава

Нека запишем полученото неравенство за n = 2, 4, 8, 16, …

Използвайки тези резултати, можете да направите следното с оригиналната серия от числа:

Изразяване е сумата от геометрична прогресия, чийто знаменател е . Тъй като разглеждаме случая за s > 1, тогава. Ето защо
. По този начин последователността от частични суми на обобщена хармонична серия за s > 1 е нарастваща и в същото време ограничена отгоре със стойността , следователно има граница, която показва сходимостта на серията. Доказателството е пълно.

Поредицата от числа се нарича положителен знак, ако всички негови членове са положителни, т.е. .

Поредицата от числа се нарича сигнализменен, ако знаците на съседните му членове са различни. Редуваща се редица от числа може да бъде записана като или , Където .

Поредицата от числа се нарича променлив знак, ако съдържа безкраен брой положителни и отрицателни членове.

Редуваща се числова серия е специален случай на редуваща се числова серия.

Редове

са съответно положителни, редуващи се и редуващи се.

За редуваща се серия съществува концепцията за абсолютна и условна конвергенция.

абсолютно конвергентен, ако поредица от абсолютни стойности на нейните членове се сближава, т.е. положителна числова поредица се сближава.

Например серия от числа И абсолютно се сближават, тъй като серията се сближава , което е сумата от безкрайно намаляваща геометрична прогресия.

Извиква се редуваща се серия условно конвергентен, ако редът се разминава и редът се събира.

Пример за условно сходяща серия от числа е серията . Цифрови серии , съставен от абсолютните стойности на условията на оригиналната серия, различен, тъй като е хармоничен. В същото време оригиналната серия е конвергентна, което лесно се установява с помощта на . Така цифровият знак е редуваща се серия условно конвергентен.

Свойства на сходни числови редове.

Пример.

Докажете сходимостта на числовата редица.

Решение.

Нека напишем серията в различна форма . Числовият ред се сближава, тъй като обобщеният хармоничен ред е сходящ за s > 1 и поради второто свойство на сходящия се числов ред, редът с числовия коефициент също ще се сближава.

Пример.

Сближава ли се редицата от числа?

Решение.

Нека трансформираме оригиналната серия: . Така сме получили сумата от две числови серии и , като всяка от тях се събира (вижте предишния пример). Следователно, по силата на третото свойство на сходните числови редове, оригиналният ред също се сближава.

Пример.

Докажете сходимостта на редица от числа и изчислете сумата му.

Решение.

Тази числова серия може да бъде представена като разлика от две серии:

Всяка от тези серии представлява сумата от безкрайно намаляваща геометрична прогресия и следователно е конвергентна. Третото свойство на конвергентните редове ни позволява да твърдим, че оригиналният числов ред се сближава. Нека изчислим сумата му.

Първият член на редицата е единица, а знаменателят на съответната геометрична прогресия е равен на 0,5, следователно, .

Първият член на редицата е 3, а знаменателят на съответната безкрайно намаляваща геометрична прогресия е 1/3, така че .

Нека използваме получените резултати, за да намерим сумата на оригиналната числова серия:

Необходимо условие за сходимост на редица.

Ако числова серия се сближава, тогава границата на нейния k-ти член е равна на нула: .

Когато разглеждате която и да е числова серия за сходимост, първо трябва да проверите дали е изпълнено необходимото условие за сходимост. Неизпълнението на това условие показва разминаване на числовата серия, т.е. ако , тогава серията се разминава.

От друга страна, трябва да разберете, че това условие не е достатъчно. Тоест, изпълнението на равенството не означава конвергенция на числовата серия. Например, за хармоничен ред необходимото условие за конвергенция е изпълнено и редът се разминава.

Пример.

Изследвайте редица от числа за конвергенция.

Решение.

Нека проверим необходимото условие за сходимост на редица от числа:

Лимит n-тият член на редицата от числа не е равен на нула, следователно серията се разминава.

Достатъчни признаци за сходимост на положителен ред.

Когато използвате достатъчно функции за изучаване на числови серии за конвергенция, постоянно срещате проблеми, така че ви препоръчваме да се обърнете към този раздел, ако имате затруднения.

Необходимо и достатъчно условие за сходимост на положителна числова редица.

За сходимост на положителна числова редица необходимо и достатъчно е последователността от неговите частични суми да бъде ограничена.

Да започнем със знаците за сравняване на серии. Тяхната същност се състои в сравняването на изследваната числена серия с серия, чиято конвергенция или дивергенция е известна.

Първият, вторият и третият признак за сравнение.

Първият знак за сравнение на серии.

Нека и са две положителни числови серии и неравенството е в сила за всички k = 1, 2, 3, ... Тогава сходимостта на серията предполага конвергенция, а дивергенцията на серията предполага дивергенция на .

Първият критерий за сравнение се използва много често и е много мощен инструмент за изследване на числови серии за сходимост. Основният проблем е изборът на подходяща серия за сравнение. Серия за сравнение обикновено (но не винаги) се избира така, че показателят на нейния k-ти член да е равен на разликата между показателите на числителя и знаменателя на k-тия член на изследваната числова серия. Например, нека разликата между показателите на числителя и знаменателя е равна на 2 – 3 = -1, следователно за сравнение избираме серия с k-тия член, тоест хармонична серия. Нека да разгледаме няколко примера.

Пример.

Установете конвергенция или дивергенция на редица.

Решение.

Тъй като границата на общия член на реда е равна на нула, то необходимото условие за сходимост на реда е изпълнено.

Лесно се вижда, че неравенството е вярно за всички естествени k. Знаем, че хармоничната серия се разминава, следователно по първия критерий за сравнение оригиналната серия също се разминава.

Пример.

Проверете редицата от числа за конвергенция.

Решение.

Необходимото условие за сходимост на числова серия е изпълнено, тъй като . Неравенството е очевидно за всяка естествена стойност на k. Серията се сближава, тъй като обобщената хармонична серия е сходяща за s > 1. По този начин първият знак за сравнение на сериите ни позволява да заявим сходимостта на оригиналната числова серия.

Пример.

Определете конвергенцията или дивергенцията на редица от числа.

Решение.

, следователно е изпълнено необходимото условие за сходимост на числовата серия. Кой ред да избера за сравнение? Числова серия се предполага сама и за да вземем решение за s, ние внимателно изследваме числовата последователност. Членовете на числова последователност нарастват към безкрайност. Така, започвайки от някакво число N (а именно от N = 1619), членовете на тази последователност ще бъдат по-големи от 2. Започвайки от това число N, неравенството е вярно. Една числова серия се сближава поради първото свойство на сходящата серия, тъй като се получава от сходяща серия чрез изхвърляне на първите N – 1 членове. По този начин, по първия критерий за сравнение, серията е сходна и по силата на първото свойство на конвергентната числова редица, серията също ще се сближи.

Вторият знак за сравнение.

Нека и са положителни числа. Ако , тогава сходимостта на редицата предполага сходимостта на . Ако , тогава разминаването на числовата серия предполага разминаване на .

Последица.

Ако и , тогава сходимостта на едната серия предполага сходимост на другата, а дивергенцията предполага дивергенция.

Ние разглеждаме серията за сходимост, като използваме втория критерий за сравнение. Като серия приемаме сходяща серия. Нека намерим границата на съотношението на k-тите членове на числовата серия:

Така, според втория критерий за сравнение, от сближаването на числова серия следва сближаването на оригиналната серия.

Пример.

Изследвайте конвергенцията на редица от числа.

Решение.

Нека проверим необходимото условие за сходимост на редицата . Условието е изпълнено. За да приложим втория критерий за сравнение, нека вземем хармоничната серия. Нека намерим границата на съотношението на k-тите членове:

Следователно от дивергенцията на хармоничната серия следва дивергенцията на оригиналната серия по втория критерий за сравнение.

За информация представяме третия критерий за сравняване на серии.

Третият знак за сравнение.

Нека и са положителни числа. Ако условието е изпълнено от някакво число N, тогава сходимостта на реда предполага сходимост, а дивергенцията на реда предполага дивергенция.

Знак на Д'Аламбер.

Коментирайте.

Тестът на Д'Аламбер е валиден, ако границата е безкрайна, т.е , тогава серията се събира, ако , тогава серията се разминава.

Ако , тогава тестът на д'Аламбер не дава информация за конвергенцията или дивергенцията на серията и са необходими допълнителни изследвания.

Пример.

Изследвайте редица от числа за сходимост, като използвате критерия на D'Alembert.

Решение.

Нека проверим изпълнението на необходимото условие за сходимост на редица от числа, като използваме:

Условието е изпълнено.

Нека използваме знака на д'Аламбер:

Така серията се сближава.

Радикален знак на Коши.

Нека е положителна редица от числа. Ако , тогава числовата поредица се събира, ако , тогава поредицата се разминава.

Коментирайте.

Радикалният тест на Коши е валиден, ако границата е безкрайна, т.е , тогава серията се събира, ако , тогава серията се разминава.

Ако , тогава радикалният тест на Коши не дава информация за конвергенцията или дивергенцията на серията и са необходими допълнителни изследвания.

Обикновено е доста лесно да се различат случаите, в които е най-добре да се използва радикалният тест на Коши. Типичен случай е, когато общият член на редица от числа е израз на експоненциална степен. Нека да разгледаме няколко примера.

Пример.

Изследвайте редица от положителни числа за сходимост, като използвате радикалния тест на Коши.

Решение.

. С помощта на радикалния тест на Коши получаваме .

Следователно серията се сближава.

Пример.

Сближава ли се редицата от числа? .

Решение.

Нека използваме радикалния тест на Коши , следователно числовата серия се сближава.

Интегрален тест на Коши.

Нека е положителна редица от числа. Нека създадем функция с непрекъснат аргумент y = f(x), подобна на функцията. Нека функцията y = f(x) е положителна, непрекъсната и намаляваща на интервала , където ). След това в случай на конвергенция неправилен интегрализследваната числова серия се сближава. Ако неправилният интеграл се разминава, тогава оригиналната серия също се разминава.

Когато проверявате спадането на функцията y = f(x) на интервал, теорията от раздел може да ви бъде полезна.

Пример.

Разгледайте редица от числа с положителни членове за сходимост.

Решение.

Необходимото условие за сходимост на серията е изпълнено, тъй като . Нека разгледаме функцията. Тя е положителна, непрекъсната и намаляваща на интервала. Непрекъснатостта и положителността на тази функция е извън съмнение, но нека се спрем на намалението малко по-подробно. Нека намерим производната:
. Тя е отрицателна на интервала, следователно функцията намалява на този интервал.

Преди да формулираме самия знак, нека разгледаме един важен въпрос:
Кога трябва да се използва тестът за конвергенция на D'Alembert?

Нека първо започнем с преглед. Нека си спомним случаите, когато трябва да използвате най-популярните граница на сравнение. Ограничителният критерий за сравнение се прилага, когато в общия член на реда:
1) Знаменателят съдържа полином.
2) Полиномите са както в числителя, така и в знаменателя.
3) Единият или двата полинома могат да бъдат под корена.

Основните предпоставки за прилагане на теста на д'Аламбер са следните:

1) Общият термин на серията („пълнеж“ на серията) включва някакво число на степен, например, и т.н. Освен това няма никакво значение къде се намира това нещо, в числителя или в знаменателя - важното е, че присъства там.

2) Общият член на реда включва факториела. Какво е факториел? Нищо сложно, факториелът е просто съкратено представяне на продукта:

…

…

Който все още има проблеми с лимити или неразбиране на лимити, да се обърне към темата Ограничения. Примери за решения. Без разбиране на границата и способност за разкриване на несигурността, за съжаление, човек не може да продължи напред. А сега дългоочакваните примери.

Пример 1
Виждаме, че в общия член на редицата имаме , а това е сигурна предпоставка за използване на теста на д'Аламбер. Първо, пълното решение и примерен дизайн, коментари по-долу.

Използваме знака на д'Аламбер:

се сближава.

(1) Съставяме отношението на следващия член на редицата към предходния: . От условието виждаме, че общият член на реда е . За да получите следващия член на поредицата е необходимо вместо заместване: .
(2) Отърваваме се от четириетажната част. Ако имате известен опит с решението, можете да пропуснете тази стъпка.
(3) Отворете скобите в числителя. В знаменателя изваждаме четирите от степента.
(4) Намалете с . Вземаме константата отвъд граничния знак. В числителя представяме подобни термини в скоби.
(5) Несигурността се елиминира по стандартния начин – чрез разделяне на числителя и знаменателя на “en” на най-висока степен.
(6) Разделяме числителите по член по член и посочваме членовете, които клонят към нула.
(7) Ние опростяваме отговора и отбелязваме, че със заключението, че според теста на D’Alembert, изследваната серия се сближава.

Пример 2 Нека вземем подобна серия и я изследваме за сходимост
Първо пълното решение, след това коментари:

Използваме знака на д'Аламбер:

Така изследваната серия се сближава.

(1) Ние създаваме релацията.
(2) Отърваваме се от четириетажната част.
(3) Разгледайте израза в числителя и израза в знаменателя. Виждаме, че в числителя трябва да отворим скобите и да ги повдигнем на четвърта степен: , което абсолютно не искаме да правим. В допълнение, за тези, които не са запознати с бинома на Нютон, тази задача може изобщо да не е осъществима. Нека анализираме по-високите степени: ако отворим скобите отгоре , тогава ще получим висша степен. По-долу имаме същата висша степен: . По аналогия с предишния пример е очевидно, че когато разделяме числителя и знаменателя член по член, в крайна сметка получаваме едно в границата. Или, както казват математиците, полиноми И - същия ред на растеж. По този начин е напълно възможно да заобиколите съотношението с обикновен молив и веднага да посочите, че това нещо клони към едно. Справяме се с втората двойка полиноми по същия начин: и те също същия ред на растеж, а съотношението им клони към единица.

Пример 3 .

Нека да разгледаме типични примери с факториели:

Пример 4 Проверете серията за конвергенция

Така изследваната серия се разминава.

(1) Създаваме релацията. Пак повтаряме. По условие общият термин на серията е: . За да получите следващия термин от поредицата, вместо това трябва да замените, По този начин: .
(2) Отърваваме се от четириетажната част.
(3) Отщипете седемте от степента. Описваме факториелите подробно. Как да направите това - вижте началото на урока.
(4) Режем всичко, което може да се реже.
(5) Преместваме константата отвъд граничния знак. Отворете скобите в числителя.
(6) Елиминираме несигурността по стандартния начин – като разделим числителя и знаменателя на “en” на най-висока степен.

Пример 5Проверете серията за конвергенция. Пълното решение е по-долу.

Пример 6Проверете серията за конвергенция

От разширението виждаме, че всеки следващ член на серията има допълнителен фактор, добавен към знаменателя, следователно, ако общият член на серията е , тогава следващият член на серията:
. Това е мястото, където те често автоматично правят грешка, формално пишейки според алгоритъма, който

Едно приблизително примерно решение може да изглежда така: Нека използваме знака на Д'Аламбер:
Така изследваната серия се сближава.
РАДИКАЛЕН ЗНАК КОШИ

Радикален знак на Коши:Нека помислим редица от положителни числа. Ако има ограничение: , тогава:
а) Когато ред се сближава. По-специално, серията се събира при .
б) Когато гребете се разминава. По-специално, серията се разминава при .
в) Кога знакът не дава отговор. Трябва да използвате друг знак. Интересно е да се отбележи, че ако тестът на Коши не ни даде отговор на въпроса за сходимостта на редица, тогава тестът на Д'Аламбер също няма да ни даде отговор. Но ако знакът на д'Аламбер не дава отговор, тогава знакът на Коши може да "работи". Тоест знакът на Коши в този смисъл е по-силен знак.

Пример 7Проверете серията за конвергенция

Ето по-прост пример, който можете да решите сами:

Пример 8 Проверете серията за конвергенция

И още няколко характерни примера.

Пълното решение и примерен дизайн са по-долу.

Пример 9 Проверете серията за конвергенция
Използваме радикалния тест на Коши:

Така изследваната серия се сближава.

(1) Поставете общия термин на серията под корена.
(2) Преписваме същото нещо, но без корена, като отваряме скобите, като използваме съкратената формула за умножение: .
(3) В индикатора разделяме числителя на знаменателя термин по термин и показваме, че .
(4) Несигурност на формата. Тук можете директно да разделите числителя на знаменателя в скобите с „en“ на най-висока степен. Ние се сблъскахме с нещо подобно, когато учехме втора прекрасна граница. Но тук ситуацията е различна. Ако коефициентите при по-високи степени бяха идентичен, например: , тогава трикът с разделянето на член по член вече няма да работи и ще е необходимо да се използва второто забележително ограничение. Но имаме тези коефициенти различен(5 и 6), следователно е възможно (и необходимо) да се раздели термин по термин (между другото, напротив - втората забележителна граница за различенкоефициентите при по-високи степени вече не работят).
(5) Всъщност извършваме деление по член и посочваме кои членове клонят към нула.
(6) Несигурността е елиминирана, остава най-простата граница: Защо в безкрайно голямклони към нула? Тъй като основата на степента удовлетворява неравенството. Ако някой се съмнява в справедливостта на лимита , тогава няма да бъда мързелив, ще взема калкулатор:
Ако, тогава
Ако, тогава
Ако, тогава
Ако, тогава
Ако, тогава
… и т.н. до безкрайност - тоест в границата:
(7) Посочваме, че заключаваме, че редът се събира.

Пример 10 Проверете серията за конвергенция

Това е пример, който можете да решите сами.

Ще разочаровам онези, които не са разбрали добре материала от първия курс. За да приложите интегралния тест на Коши, трябва да сте повече или по-малко уверени в намирането на производни, интеграли и също така да имате умение за изчисление неправилен интегралпърви вид. В учебниците по математически анализ интегралният тест на Коши е даден математически строго; нека го формулираме по много примитивен, но разбираем начин. И веднага примери за пояснение.

Интегрален тест на Коши:Нека помислим редица от положителни числа. Тази серия сближава ли се или се разминава?

Пример 11 Проверете серията за конвергенция

Почти класика. Натурален логаритъм и някакви глупости.

Основната предпоставка за използване на интегралния тест на Коши ее фактът, че в общия член на реда има определена функция и нейна производна. От темата Производнавероятно си спомняте най-простата таблица: , и имаме точно такъв каноничен случай.

Как да използвам интегралния атрибут? Първо, вземаме интегралната икона и пренаписваме горната и долната граница от „брояча“ на серията: . След това под интеграла пренаписваме „пълнежа“ на серията с буквата „той“: . Нещо липсва..., о, да, също трябва да залепите диференциална иконка в числителя: .

Сега трябва да изчислим неправилния интеграл. В този случай са възможни два случая:

1) Ако се окаже, че интегралът се събира, тогава нашата редица също ще се събира.

2) Ако се окаже, че интегралът се разминава, тогава нашата редица също ще се разминава.

Повтарям, ако материалът бъде пренебрегнат, тогава четенето на параграфа ще бъде трудно и неясно, тъй като използването на функция по същество се свежда до изчисляване неправилен интегралпърви вид.

Пълното решение и примерен формат трябва да изглеждат по следния начин:

Използваме интегралния знак:

Така изследваната серия се разминавазаедно със съответния неправилен интеграл.

Пример 12 Проверете серията за конвергенция

Решение и примерен дизайн в края на урока

В разглежданите примери логаритъмът също може да бъде под корена; това няма да промени метода на решение.

И още два примера за начало

Пример 13 Проверете серията за конвергенция

Според общите „параметри“ общият термин на серията изглежда подходящ за използване на ограничаващия критерий за сравнение. Просто трябва да отворите скобите и веднага да го предадете на кандидата, за да сравни старателно тази серия с конвергентната серия. Все пак изневерих малко, скобите може да не се отварят, но все пак решението чрез ограничителния критерий за сравнение ще изглежда доста претенциозно.

Затова използваме интегралния тест на Коши:

Функцията интегранд е непрекъсната

се сближавазаедно със съответния неправилен интеграл.

! Забележка:полученото число ене е сумата от серията!!!

Пример 14 Проверете серията за конвергенция

Решението и примерният дизайн са в края на раздела, който завършва.

За да усвоите напълно и безвъзвратно темата за числовите редове, посетете темите.

Решения и отговори:

Пример 3:Използваме знака на д'Аламбер:

Така изследваната серия се разминава.
Забележка: Възможно е също така да се използва методът на „турбо“ решение: незабавно оградете съотношението с молив, посочете, че има тенденция към единство и направете бележка: „от същия ред на растеж“.

Пример 5: Използваме знака на д'Аламбер: Така изследваната серия се сближава.

Пример 8:

Така изследваната серия се сближава.

Пример 10:
Използваме радикалния тест на Коши.

Така изследваната серия се разминава.
Забележка: Тук основата е степен, така че

Пример 12: Използваме интегрален знак.

Получава се крайно число, което означава, че изследваната серия е се сближава

Пример 14: Използваме знака за интеграл
Интегрантът е непрекъснат на .

Така изследваната серия се разминавазаедно със съответния неправилен интеграл.
Забележка: Серия може да бъде прегледана и с помощта наограничителен критерий за сравнение . За да направите това, трябва да отворите скобите под корена и да сравните изследваната серия с разминаващата се серия.

Редуващи се редове. Знак на Лайбниц. Примери за решения

За да разберете примерите от този урок, трябва да имате добро разбиране на редицата от положителни числа: да разберете какво е редица, да знаете необходимия знак за сходимост на редица, да можете да прилагате тестове за сравнение, тест на д'Аламбер , тест на Коши. Темата може да бъде повдигната почти от нулата чрез последователно изучаване на статиите Редове за манекениИ Знак на Д'Аламбер. Симптоми на Коши. Логично, този урок е трети по ред и ще ви позволи не само да разберете редуващите се редове, но и да затвърдите вече преминатия материал! Ще има малко новост и овладяването на редуващите се редове няма да бъде трудно. Всичко е просто и достъпно.

Какво е редуваща се серия?Това става ясно или почти ясно от самото име. Просто един прост пример, нека да разгледаме серията и да я опишем по-подробно.

И сега ще има убийствен коментар. Членовете на редуваща се серия имат редуващи се знаци: плюс, минус, плюс, минус, плюс, минус и т.н. до безкрайност.
Подравняването предоставя множител: ако е четно, ще има знак плюс, ако е нечетно, ще има знак минус. На математически жаргон това нещо се нарича „мигач“. По този начин една редуваща се серия се „идентифицира“ с минус едно на степен „en“.

В практически примери редуването на членовете на реда може да бъде осигурено не само от множителя, но и от неговите братя и сестри: , , , …. Например:

Клопката са „измамите“: , , и т.н. - такива умножители не осигуряват промяна на знака. Абсолютно ясно е, че за всяко естествено: , , . Редове с измами се подхлъзват не само на особено надарени ученици, те възникват от време на време „от само себе си“ по време на решението функционална серия.

Как да изследваме редуваща се серия за конвергенция?Използвайте теста на Лайбниц. Не искам да казвам нищо за немския гигант на мисълта Готфрид Вилхелм Лайбниц, тъй като освен математическите си трудове той е написал няколко тома по философия. Опасен за мозъка.

Тестът на Лайбниц: Ако членовете на редуваща се серия монотоннонамаляване на модула, тогава редът се сближава. Или в две точки:

2) Членовете на редицата намаляват по абсолютна стойност: . Освен това те намаляват монотонно.

Ако е завършен и дветеусловия, тогава редът се събира.

Кратка информация за модула е дадена в ръководствотоГорещи формули за училищен курс по математика , но за удобство още веднъж:

Какво означава „модуло“? Модулът, както си спомняме от училище, „яде“ знака минус. Да се върнем на реда . Мислено изтрийте всички знаци с гумичка и нека погледнем числата. Ще видим това всеки следващчлен на поредицата по-малкоотколкото предишния. Следователно следните фрази означават едно и също нещо:

– Членове на поредицата независимо от знаканамаляват.
– Членовете на поредицата намаляват по модул.
– Членовете на поредицата намаляват в абсолютна стойност.
– Модулобщият член на серията клони към нула: Край на помощта

Сега нека поговорим малко за монотонността. Монотонността е скучна последователност.

Членове на поредицата строго монотоненнамаляване на модула, ако ВСЕКИ СЛЕДВАЩ член на серията по модулПО-МАЛКО от предишното: . За един ред Строгата монотонност на намаляването е изпълнена, тя може да бъде описана подробно:

Или можем да кажем накратко: всеки следващ член на поредицата по модулпо-малко от предишния: .

Членове на поредицата не е строго монотоненнамаление по модул, ако ВСЕКИ СЛЕДВАЩ член на редицата по модул НЕ Е ПО-ГОЛЯМ от предходния: . Помислете за серия с факториел: Тук има хлабава монотонност, тъй като първите два члена на серията са идентични по модул. Тоест всеки следващ член на поредицата по модулне повече от предишния: .

При условията на теоремата на Лайбниц трябва да е изпълнена намаляващата монотонност (няма значение дали е строга или нестрога). В този случай членовете на поредицата могат дори увеличаване на модула за известно време, но „опашката“ на серията задължително трябва да е монотонно намаляваща. Няма нужда да се страхувате от това, което съм натрупал, ще постави всичко на мястото си:

Пример 1Проверете серията за конвергенция

Общият термин на серията включва фактор, което означава, че трябва да използвате критерия на Лайбниц

1) Проверка на реда за редуване. Обикновено в този момент серията решения се описва подробно и произнесете присъдата „Серията се редува“.

2) Членовете на редицата намаляват ли по абсолютна стойност? Необходимо е да се реши границата, която най-често е много проста.

– членовете на реда не намаляват по модул. Между другото, вече няма нужда да обсъждаме монотонността на намалението. Заключение: серията се разминава.

Как да разберем какво е равно? Много просто. Както знаете, модулът унищожава минуси, така че, за да създадете такъв, просто трябва да премахнете мигащата светлина от покрива. В този случай общият термин на серията е . Глупаво премахваме „мигащата светлина“: .

Пример 2 Проверете серията за конвергенция

Използваме критерия на Лайбниц:

1) Поредицата се редува.

2) – членовете на реда намаляват по модул. Всеки следващ член на серията е по-малък по абсолютна стойност от предходния: следователно намалението е монотонно.

Заключение: серията се сближава.

Всичко би било много просто - но това не е краят на решението!

Ако една серия се сближава според теста на Лайбниц, тогава се казва също, че серията се сближава условно.

Ако серия, съставена от модули, също се сближава, тогава те казват, че серията съвпада абсолютно.

Следователно на дневен ред е вторият етап от решаването на типична задача - изследване на знака на редуващите се редове за абсолютна сходимост.

Не съм виновен - това е просто теорията на числовите серии =)

Нека разгледаме нашите серии за абсолютна конвергенция.
Нека съставим серия от модули - отново просто премахваме фактора, който осигурява редуването на знаците: - дивергенти (хармонични серии).

Така нашата серия не е абсолютно конвергентен.
Серия в процес на изследване се сближава само условно.

Обърнете внимание, че в Пример № 1 няма нужда да се изследва неабсолютната конвергенция, тъй като на първата стъпка беше заключено, че серията се разминава.

Събираме кофи, лопати, коли и напускаме пясъчника, за да гледаме света с широко отворени очи от кабината на моя багер:

Пример 3 Проверете серията за конвергенция Използваме критерия на Лайбниц:

1)
Тази серия се редува.

2) – членовете на реда намаляват по модул. Всеки следващ член на серията е по-малък по модул от предишния: , което означава, че намалението е монотонно. Заключение: Сериите се събират.

Анализирайки запълването на серията, стигаме до извода, че тук е необходимо да се използва ограничителният критерий за сравнение. По-удобно е да отворите скобите в знаменателя:

Нека сравним този ред с конвергентен ред. Използваме ограничаващия критерий за сравнение.

Получава се крайно число, различно от нула, което означава, че редът се сближава с реда. Серия в процес на изследване съвпада абсолютно.

Пример 4 Проверете серията за конвергенция

Пример 5 Проверете серията за конвергенция

Това са примери, които можете да решите сами. Пълно решение и примерен дизайн в края на раздела.

Както можете да видите, редуването на редове е просто и скучно! Но не бързайте да затваряте страницата, само след няколко екрана ще разгледаме случай, който озадачава мнозина. Междувременно още няколко примера за практика и повторение.

Пример 6 Проверете серията за конвергенция

Ние използваме критерия на Лайбниц.
1) Поредицата се редува.
2)

Членовете на реда намаляват по модул. Всеки следващ член на поредицата е по-малък по абсолютна стойност от предходния, което означава, че намалението е монотонно. Заключение: серията се сближава.

Моля, имайте предвид, че не съм описал подробно членовете на поредицата. Винаги е препоръчително да ги описвате, но поради непреодолим мързел в „трудни“ случаи можете да се ограничите до фразата „Поредицата се редува по знак“. Между другото, няма нужда да се третира официално тази точка, винаги проверяваме(поне мислено), че сериалите всъщност се редуват. Един бърз поглед се проваля и автоматично се прави грешка. Не забравяйте за „измамите“, , , ако съществуват, тогава трябва да се отървете от тях, като получите „редовна“ серия с положителни условия.

Втората тънкост се отнася до фразата за монотонността, която също съкратих, доколкото е възможно. Можете да направите това и почти винаги задачата ви ще бъде приета. Ще кажа нещо съвсем лошо - лично аз често мълча за монотонността и такъв номер минава. Но бъдете готови да опишете всичко подробно, до подробни вериги от неравенства (вижте примера в началото на урока). Освен това понякога монотонността не е строга и това също трябва да се следи, за да се замени думата „по-малко“ с думата „не повече“.

Разглеждаме серията за абсолютна конвергенция: