Описание на елементарни функции. Елементарна функция

1) Функционална област и функционален диапазон.

Домейнът на функция е набор от всички валидни валидни стойности на аргументи х(променлива х), за която функцията y = f(x)определен. Диапазонът на функция е множеството от всички реални стойности г, които функцията приема.

В елементарната математика функциите се изучават само върху множеството от реални числа.

2) Функционални нули.

Функция нула е стойността на аргумента, при която стойността на функцията е равна на нула.

3) Интервали с постоянен знак на функция.

Интервалите с постоянен знак на функция са набори от стойности на аргументи, при които стойностите на функцията са само положителни или само отрицателни.

4) Монотонност на функцията.

Нарастваща функция (в определен интервал) е функция, при която по-голяма стойност на аргумента от този интервал съответства на по-голяма стойност на функцията.

Намаляваща функция (в определен интервал) е функция, при която на по-голяма стойност на аргумента от този интервал съответства по-малка стойност на функцията.

5) Четна (нечетна) функция.

Четна функция е функция, чиято област на дефиниция е симетрична по отношение на произхода и за всяко хот областта на дефиницията равенството f(-x) = f(x). Графиката на четна функция е симетрична спрямо ординатата.

Нечетна функция е функция, чиято дефиниционна област е симетрична по отношение на произхода и за всяко хот областта на дефиницията равенството е вярно f(-x) = - f(x). Графиката на нечетна функция е симетрична спрямо началото.

6) Ограничени и неограничени функции.

Една функция се нарича ограничена, ако има положително число M такова, че |f(x)| ≤ M за всички стойности на x. Ако такъв номер не съществува, тогава функцията е неограничена.

7) Периодичност на функцията.

Функция f(x) е периодична, ако има ненулево число T, така че за всяко x от областта на дефиниране на функцията е валидно следното: f(x+T) = f(x). Това най-малко число се нарича период на функцията. Всички тригонометрични функции са периодични. (Тригонометрични формули).

19. Основни елементарни функции, техните свойства и графики. Приложение на функциите в икономиката.

Основни елементарни функции. Техните свойства и графики

1. Линейна функция.

Линейна функция се нарича функция от формата , където x е променлива, a и b са реални числа.

Номер Анаречен наклон на правата, той е равен на тангенса на ъгъла на наклона на тази права спрямо положителната посока на оста x. Графиката на линейна функция е права линия. Определя се от две точки.

Свойства на линейна функция

1. Област на дефиниция - множеството от всички реални числа: D(y)=R

2. Наборът от стойности е наборът от всички реални числа: E(y)=R

3. Функцията приема нулева стойност, когато или.

4. Функцията расте (намалява) по цялата област на дефиниране.

5. Линейната функция е непрекъсната по цялата област на дефиниция, диференцируема и .

2. Квадратна функция.

Функция от вида, където x е променлива, коефициентите a, b, c са реални числа, се нарича квадратна

Разглеждайки функциите на комплексна променлива, Лиувил дефинира елементарните функции малко по-широко. Елементарна функция гпроменлива х- аналитична функция, която може да бъде представена като алгебрична функция на хи функции , и е логаритъм или показател на някаква алгебрична функция ж 1 от х .

Например грях ( х) - алгебрична функция на д азх .

Без да ограничаваме общото разглеждане, можем да считаме функциите за алгебрично независими, т.е. ако алгебричното уравнение е изпълнено за всички х, тогава всички коефициенти на полинома са равни на нула.

Диференциране на елементарни функции

Където z 1 "(z) е равно на или ж 1 " / ж 1 или z 1 ж 1" в зависимост от това дали е логаритъм z 1 или експоненциална и т.н. На практика е удобно да се използва производна таблица.

Интегриране на елементарни функции

Теоремата на Лиувил е в основата на създаването на алгоритми за символно интегриране на елементарни функции, реализирани например в

Изчисляване на граници

Теорията на Лиувил не се прилага за изчисляване на граници. Не се знае дали има алгоритъм, който при дадена последователност, зададена с елементарна формула, да дава отговор дали има лимит или не. Например отворен е въпросът дали последователността се събира.

Литература

Ж. Лиувил. Mémoire sur l'intégration d'une classe de fonctions transcendantes// J. Reine Angew. математика Bd. 13, стр. 93-118. (1835)
J.F. Рит. Интегриране в крайни термини. N.-Y., 1949 // http://lib.homelinux.org
А. Г. Ховански. Топологична теория на Галоа: разрешимост и неразрешимост на уравнения в крайна формагл. 1. М, 2007 г

Бележки

Фондация Уикимедия. 2010 г.

Елементарно възбуждане
Елементарен резултат

Вижте какво е „Елементарна функция“ в други речници:

елементарна функция- Функция, която, ако бъде разделена на по-малки функции, не може да бъде еднозначно дефинирана в йерархията на цифровото предаване. Следователно от гледна точка на мрежата тя е неделима (ITU T G.806). Теми: телекомуникации, основни понятия EN адаптационна функцияA... Ръководство за технически преводач

функция на взаимодействие между мрежовите нива- Елементарна функция, която осигурява взаимодействие на характерна информация между два мрежови слоя. (ITU T G.806). Теми: телекомуникации, основни понятия на EN слоя... ... Ръководство за технически преводач

знание основни елементарни функции, техните свойства и графикине по-малко важно от познаването на таблицата за умножение. Те са като основата, всичко се основава на тях, всичко се гради от тях и всичко се свежда до тях.

В тази статия ще изброим всички основни елементарни функции, ще предоставим техните графики и ще дадем без заключение или доказателство свойства на основните елементарни функциипо схемата:

поведение на функция в границите на областта на дефиниция, вертикални асимптоти (ако е необходимо, вижте статията класификация на точките на прекъсване на функция);
четно и нечетно;
интервали на изпъкналост (изпъкналост нагоре) и вдлъбнатост (изпъкналост надолу), точки на инфлексия (ако е необходимо, вижте статията изпъкналост на функция, посока на изпъкналост, точки на инфлексия, условия на изпъкналост и инфлексия);
наклонени и хоризонтални асимптоти;
особени точки на функции;
специални свойства на някои функции (например най-малкият положителен период на тригонометричните функции).

Ако се интересувате от или, тогава можете да отидете на тези раздели на теорията.

Основни елементарни функцииса: постоянна функция (константа), n-ти корен, степенна функция, експоненциална, логаритмична функция, тригонометрични и обратни тригонометрични функции.

Навигация в страницата.

Постоянна функция.

Константна функция е дефинирана върху множеството от всички реални числа по формулата , където C е някакво реално число. Константна функция свързва всяка реална стойност на независимата променлива x със същата стойност на зависимата променлива y - стойността C. Постоянната функция се нарича още константа.

Графиката на постоянна функция е права линия, успоредна на оста x и минаваща през точка с координати (0,C). Например, нека покажем графики на константни функции y=5, y=-2 и, които на фигурата по-долу съответстват съответно на черна, червена и синя линия.

Свойства на константна функция.

Домейн: цялото множество от реални числа.
Постоянната функция е четна.
Диапазон от стойности: набор, състоящ се от единствено число C.
Постоянната функция е ненарастваща и ненамаляваща (затова е постоянна).
Няма смисъл да говорим за изпъкналост и вдлъбнатост на константа.
Няма асимптоти.
Функцията минава през точката (0,C) на координатната равнина.

n-ти корен.

Нека разгледаме основната елементарна функция, която е дадена с формулата , където n е естествено число, по-голямо от едно.

Корен от степен n, n е четно число.

Нека започнем с n-тата коренна функция за четни стойности на коренния показател n.

Като пример, ето снимка с изображения на функционални графики и съответстват на черни, червени и сини линии.

Графиките на коренните функции с четна степен имат подобен вид за други стойности на експонента.

Свойства на n-тата коренна функция за четно n.

Коренът n, n е нечетно число.

Коренната функция n с нечетен степенен корен n е дефинирана върху целия набор от реални числа. Например, ето графиките на функциите и съответстват на черни, червени и сини криви.

За други нечетни стойности на коренния експонент графиките на функциите ще имат подобен вид.

Свойства на n-та коренна функция за нечетно n.

Силова функция.

Степенната функция е дадена с формула от вида .

Нека разгледаме формата на графиките на степенна функция и свойствата на степенна функция в зависимост от стойността на експонента.

Нека започнем със степенна функция с цяло число а. В този случай външният вид на графиките на степенните функции и свойствата на функциите зависят от четността или нечетността на показателя, както и от неговия знак. Следователно първо ще разгледаме степенните функции за нечетни положителни стойности на експонента a, след това за четни положителни експоненти, след това за нечетни отрицателни експоненти и накрая за четни отрицателни a.

Свойствата на степенните функции с дробни и ирационални показатели (както и вида на графиките на такива степенни функции) зависят от стойността на показателя a. Ще ги разгледаме, първо, за a от нула до едно, второ, за по-голямо от едно, трето, за a от минус едно до нула, четвърто, за по-малко от минус едно.

В края на този раздел, за пълнота, ще опишем степенна функция с нулев показател.

Степенна функция с нечетен положителен показател.

Нека разгледаме степенна функция с нечетен положителен показател, тоест с a = 1,3,5,....

Фигурата по-долу показва графики на степенни функции - черна линия, - синя линия, - червена линия, - зелена линия. За a=1 имаме линейна функция y=x.

Свойства на степенна функция с нечетен положителен показател.

Степенна функция с четен положителен показател.

Нека разгледаме степенна функция с четен положителен показател, тоест за a = 2,4,6,....

Като пример даваме графики на степенни функции – черна линия, – синя линия, – червена линия. За a=2 имаме квадратна функция, чиято графика е квадратна парабола.

Свойства на степенна функция с четен положителен показател.

Степенна функция с нечетен отрицателен показател.

Погледнете графиките на степенната функция за нечетни отрицателни стойности на степента, тоест за a = -1, -3, -5,....

Фигурата показва графики на степенни функции като примери - черна линия, - синя линия, - червена линия, - зелена линия. За a=-1 имаме обратна пропорционалност, чиято графика е хипербола.

Свойства на степенна функция с нечетен отрицателен показател.

Степенна функция с четен отрицателен показател.

Нека преминем към степенната функция за a=-2,-4,-6,….

Фигурата показва графики на степенни функции – черна линия, – синя линия, – червена линия.

Свойства на степенна функция с четен отрицателен показател.

Степенна функция с рационален или ирационален показател, чиято стойност е по-голяма от нула и по-малка от единица.

Забележка!Ако a е положителна дроб с нечетен знаменател, тогава някои автори смятат, че областта на дефиниране на степенната функция е интервалът. Посочено е, че показателят a е несъкратима дроб. Сега авторите на много учебници по алгебра и принципи на анализа НЕ ДЕФИНИРАТ степенни функции с показател под формата на дроб с нечетен знаменател за отрицателни стойности на аргумента. Ние ще се придържаме именно към този възглед, т.е. ще считаме множеството за области на дефиниране на степенни функции с дробни положителни показатели. Препоръчваме на учениците да разберат мнението на вашия учител по този тънък момент, за да избегнат разногласия.

Нека разгледаме степенна функция с рационален или ирационален показател a и .

Нека представим графики на степенни функции за a=11/12 (черна линия), a=5/7 (червена линия), (синя линия), a=2/5 (зелена линия).

Степенна функция с нецелочислен рационален или ирационален показател, по-голям от едно.

Нека разгледаме степенна функция с нецелочислен рационален или ирационален показател a и .

Нека представим графики на степенни функции, дадени от формулите (съответно черни, червени, сини и зелени линии).

За други стойности на експонента a, графиките на функцията ще имат подобен вид.

Свойства на степенната функция при .

Степенна функция с реален показател, който е по-голям от минус едно и по-малък от нула.

Забележка!Ако a е отрицателна дроб с нечетен знаменател, тогава някои автори смятат, че областта на дефиниция на степенна функция е интервалът . Посочено е, че показателят a е несъкратима дроб. Сега авторите на много учебници по алгебра и принципи на анализа НЕ ДЕФИНИРАТ степенни функции с показател под формата на дроб с нечетен знаменател за отрицателни стойности на аргумента. Ние ще се придържаме именно към този възглед, т.е. ще считаме областите на дефиниране на степенни функции с дробни дробни отрицателни показатели съответно за множество. Препоръчваме на учениците да разберат мнението на вашия учител по този тънък момент, за да избегнат разногласия.

Да преминем към степенната функция, kgod.

За да имате добра представа за формата на графиките на степенните функции за , ние даваме примери за графики на функции (съответно черни, червени, сини и зелени криви).

Свойства на степенна функция с показател a, .

Степенна функция с нецелочислен реален показател, който е по-малък от минус едно.

Нека дадем примери за графики на степенни функции за , те са изобразени съответно с черни, червени, сини и зелени линии.

Свойства на степенна функция с нецяло число отрицателен показател, по-малък от минус едно.

Когато a = 0, имаме функция - това е права линия, от която точката (0;1) е изключена (беше договорено да не се придава никакво значение на израза 0 0).

Експоненциална функция.

Една от основните елементарни функции е експоненциалната функция.

Графиката на експоненциалната функция, където и приема различни форми в зависимост от стойността на основата a. Нека разберем това.

Първо, разгледайте случая, когато основата на експоненциалната функция приема стойност от нула до едно, т.е.

Като пример представяме графики на експоненциалната функция за a = 1/2 – синя линия, a = 5/6 – червена линия. Графиките на експоненциалната функция имат подобен вид за други стойности на основата от интервала.

Свойства на експоненциална функция с основа по-малка от единица.

Нека преминем към случая, когато основата на експоненциалната функция е по-голяма от единица, т.е.

Като илюстрация представяме графики на експоненциални функции - синя линия и - червена линия. За други стойности на основата, по-големи от едно, графиките на експоненциалната функция ще имат подобен вид.

Свойства на експоненциална функция с основа по-голяма от единица.

Логаритмична функция.

Следващата основна елементарна функция е логаритмичната функция, където , . Логаритмичната функция е дефинирана само за положителни стойности на аргумента, тоест за.

Графиката на логаритмична функция има различни форми в зависимост от стойността на основата a.

Основните елементарни функции, техните присъщи свойства и съответните графики са една от основите на математическите знания, подобни по важност на таблицата за умножение. Елементарните функции са основата, опората за изучаване на всички теоретични въпроси.

Yandex.RTB R-A-339285-1

Статията по-долу предоставя ключов материал по темата за основните елементарни функции. Ще въведем термини, ще им дадем определения; Нека да проучим подробно всеки тип елементарни функции и да анализираме техните свойства.

Разграничават се следните видове основни елементарни функции:

Определение 1

константна функция (константа);
n-ти корен;
мощностна функция;
експоненциална функция;
логаритмична функция;
тригонометрични функции;
братски тригонометрични функции.

Константната функция се определя от формулата: y = C (C е определено реално число) и също има име: константа. Тази функция определя съответствието на всяка реална стойност на независимата променлива x на същата стойност на променливата y - стойността на C.

Графиката на константа е права линия, която е успоредна на абсцисната ос и минава през точка с координати (0, C). За по-голяма яснота представяме графики на постоянни функции y = 5, y = - 2, y = 3, y = 3 (обозначени съответно в черен, червен и син цвят на чертежа).

Определение 2

Тази елементарна функция се определя от формулата y = x n (n е естествено число, по-голямо от едно).

Нека разгледаме два варианта на функцията.

n-ти корен, n – четно число

За по-голяма яснота посочваме чертеж, който показва графики на такива функции: y = x, y = x 4 и y = x8. Тези характеристики са цветно кодирани: съответно черно, червено и синьо.

Графиките на функция с четна степен имат подобен вид за други стойности на експонента.

Определение 3

Свойства на n-та коренна функция, n е четно число

област на дефиниция – множеството от всички неотрицателни реални числа [ 0 , + ∞) ;
когато x = 0, функцията y = x n има стойност равна на нула;
тази функция е функция от общ вид (не е нито четна, нито нечетна);
диапазон: [ 0 , + ∞) ;
тази функция y = x n с четен корен нараства в цялата област на дефиниция;
функцията има изпъкналост с посока нагоре в цялата област на дефиниране;
няма инфлексни точки;
няма асимптоти;
графиката на функцията за четно n минава през точките (0; 0) и (1; 1).

n-ти корен, n – нечетно число

Такава функция е дефинирана върху цялото множество от реални числа. За по-голяма яснота разгледайте графиките на функциите y = x 3 , y = x 5 и x 9 . На чертежа те са обозначени с цветове: съответно черно, червено и синьо са цветовете на кривите.

Други нечетни стойности на коренния показател на функцията y = x n ще дадат графика от подобен тип.

Определение 4

Свойства на n-тата коренна функция, n е нечетно число

област на дефиниция – множеството от всички реални числа;
тази функция е странна;
диапазон от стойности - набор от всички реални числа;
функцията y = x n за степените на нечетен корен нараства в цялата област на дефиниция;
функцията има вдлъбнатост на интервала (- ∞ ; 0 ] и изпъкналост на интервала [ 0 , + ∞);
инфлексната точка има координати (0; 0);
няма асимптоти;
Графиката на функцията за нечетно n минава през точките (- 1 ; - 1), (0 ; 0) и (1 ; 1).

Силова функция

Определение 5

Степенната функция се определя от формулата y = x a.

Външният вид на графиките и свойствата на функцията зависят от стойността на експонентата.

когато степенна функция има цяло число степенен показател a, тогава видът на графиката на степенната функция и нейните свойства зависят от това дали показателят е четен или нечетен, както и какъв знак има показателят. Нека разгледаме всички тези специални случаи по-подробно по-долу;
степента може да бъде дробна или ирационална - в зависимост от това видът на графиките и свойствата на функцията също варират. Ще анализираме специални случаи, като зададем няколко условия: 0< a < 1 ; a > 1 ; - 1 < a < 0 и a < - 1 ;
степенна функция може да има нулев показател; ние също ще анализираме този случай по-подробно по-долу.

Нека анализираме степенната функция y = x a, когато a е нечетно положително число, например a = 1, 3, 5...

За по-голяма яснота посочваме графиките на такива мощностни функции: y = x (графичен цвят черен), y = x 3 (син цвят на графиката), y = x 5 (червен цвят на графиката), y = x 7 (графичен цвят зелен). Когато a = 1, получаваме линейната функция y = x.

Определение 6

Свойства на степенна функция, когато експонентата е нечетно положителна

функцията нараства за x ∈ (- ∞ ; + ∞) ;
функцията има изпъкналост за x ∈ (- ∞ ; 0 ] и вдлъбнатост за x ∈ [ 0 ; + ∞) (с изключение на линейната функция);
инфлексната точка има координати (0; 0) (с изключение на линейната функция);
няма асимптоти;
точки на преминаване на функцията: (- 1 ; - 1) , (0 ; 0) , (1 ; 1) .

Нека анализираме степенната функция y = x a, когато a е четно положително число, например a = 2, 4, 6...

За по-голяма яснота посочваме графиките на такива мощностни функции: y = x 2 (графичен цвят черен), y = x 4 (син цвят на графиката), y = x 8 (червен цвят на графиката). Когато a = 2, получаваме квадратична функция, чиято графика е квадратна парабола.

Определение 7

Свойства на степенна функция, когато показателят е дори положителен:

област на дефиниция: x ∈ (- ∞ ; + ∞) ;
намаляваща за x ∈ (- ∞ ; 0 ] ;
функцията има вдлъбнатост за x ∈ (- ∞ ; + ∞) ;
няма точки на инфлексия;
няма асимптоти;
точки на преминаване на функцията: (- 1 ; 1) , (0 ; 0) , (1 ; 1) .

Фигурата по-долу показва примери за графики на степенна функция y = x a, когато a е нечетно отрицателно число: y = x - 9 (графичен цвят черен); y = x - 5 (син цвят на графиката); y = x - 3 (червен цвят на графиката); y = x - 1 (графичен цвят зелен). Когато a = - 1, получаваме обратна пропорционалност, чиято графика е хипербола.

Определение 8

Свойства на степенна функция, когато експонентата е странно отрицателна:

Когато x = 0, получаваме прекъсване от втори вид, тъй като lim x → 0 - 0 x a = - ∞, lim x → 0 + 0 x a = + ∞ за a = - 1, - 3, - 5, …. Така правата x = 0 е вертикална асимптота;

обхват: y ∈ (- ∞ ; 0) ∪ (0 ; + ∞) ;
функцията е нечетна, защото y (- x) = - y (x);
функцията е намаляваща при x ∈ - ∞ ; 0 ∪ (0 ; + ∞) ;
функцията има изпъкналост за x ∈ (- ∞ ; 0) и вдлъбнатост за x ∈ (0 ; + ∞) ;
няма точки на инфлексия;

k = lim x → ∞ x a x = 0, b = lim x → ∞ (x a - k x) = 0 ⇒ y = k x + b = 0, когато a = - 1, - 3, - 5, . . . .

точки на преминаване на функцията: (- 1 ; - 1) , (1 ; 1) .

Фигурата по-долу показва примери за графики на степенната функция y = x a, когато a е четно отрицателно число: y = x - 8 (графичен цвят черен); y = x - 4 (син цвят на графиката); y = x - 2 (червен цвят на графиката).

Определение 9

Свойства на степенна функция, когато показателят е дори отрицателен:

област на дефиниция: x ∈ (- ∞ ; 0) ∪ (0 ; + ∞) ;

Когато x = 0, получаваме прекъсване от втори вид, тъй като lim x → 0 - 0 x a = + ∞, lim x → 0 + 0 x a = + ∞ за a = - 2, - 4, - 6, …. Така правата x = 0 е вертикална асимптота;

функцията е четна, защото y(-x) = y(x);
функцията е нарастваща за x ∈ (- ∞ ; 0) и намаляваща за x ∈ 0; + ∞ ;
функцията има вдлъбнатост при x ∈ (- ∞ ; 0) ∪ (0 ; + ∞) ;
няма точки на инфлексия;
хоризонтална асимптота – права линия y = 0, защото:

k = lim x → ∞ x a x = 0 , b = lim x → ∞ (x a - k x) = 0 ⇒ y = k x + b = 0, когато a = - 2 , - 4 , - 6 , . . . .

точки на преминаване на функцията: (- 1 ; 1) , (1 ; 1) .

От самото начало обърнете внимание на следния аспект: в случай, че a е положителна дроб с нечетен знаменател, някои автори приемат интервала - ∞ като област на дефиниране на тази степенна функция; + ∞ , което уточнява, че показателят a е несъкратима дроб. В момента авторите на много образователни публикации по алгебра и принципи на анализа НЕ ДЕФИНИРАТ степенни функции, където показателят е дроб с нечетен знаменател за отрицателни стойности на аргумента. По-нататък ще се придържаме точно към тази позиция: ще вземем множеството [ 0 ; + ∞). Препоръка към учениците: разберете мнението на учителя по този въпрос, за да избегнете разногласия.

И така, нека да разгледаме степенната функция y = x a , когато показателят е рационално или ирационално число, при условие че 0< a < 1 .

Нека илюстрираме степенните функции с графики y = x a, когато a = 11 12 (графичен цвят черен); a = 5 7 (червен цвят на графиката); a = 1 3 (син цвят на графиката); a = 2 5 (зелен цвят на графиката).

Други стойности на експонента a (при условие 0< a < 1) дадут аналогичный вид графика.

Определение 10

Свойства на степенната функция при 0< a < 1:

диапазон: y ∈ [ 0 ; + ∞) ;
функцията е нарастваща за x ∈ [ 0 ; + ∞) ;
функцията е изпъкнала за x ∈ (0 ; + ∞);
няма точки на инфлексия;
няма асимптоти;

Нека анализираме степенната функция y = x a, когато показателят е нецяло рационално или ирационално число, при условие че a > 1.

Нека илюстрираме с графики степенната функция y = x a при дадени условия, използвайки следните функции като пример: y = x 5 4 , y = x 4 3 , y = x 7 3 , y = x 3 π (черен, червен, син, зелен цвят на графиките, съответно).

Други стойности на експонента a, при условие че a > 1, ще дадат подобна графика.

Определение 11

Свойства на степенната функция за a > 1:

област на дефиниция: x ∈ [ 0 ; + ∞) ;
диапазон: y ∈ [ 0 ; + ∞) ;
тази функция е функция от общ вид (не е нито нечетна, нито четна);
функцията е нарастваща за x ∈ [ 0 ; + ∞) ;
функцията има вдлъбнатост за x ∈ (0 ; + ∞) (когато 1< a < 2) и выпуклость при x ∈ [ 0 ; + ∞) (когда a > 2);
няма точки на инфлексия;
няма асимптоти;
точки на преминаване на функцията: (0 ; 0) , (1 ; 1) .

Моля, обърнете внимание!Когато a е отрицателна дроб с нечетен знаменател, в трудовете на някои автори има мнение, че в този случай област на дефиниция е интервалът - ∞; 0 ∪ (0 ; + ∞) с уговорката, че показателят a е несъкратима дроб. В момента авторите на учебни материали по алгебра и принципи на анализа НЕ ДЕФИНИРАТ степенни функции с експонент под формата на дроб с нечетен знаменател за отрицателни стойности на аргумента. Освен това, ние се придържаме точно към този възглед: ние приемаме множеството (0 ; + ∞) като област на дефиниране на степенни функции с дробни отрицателни показатели. Препоръка за учениците: Изяснете визията на вашия учител на този етап, за да избегнете разногласия.

Нека продължим темата и анализираме степенната функция y = x a при условие: - 1< a < 0 .

Нека представим чертеж на графики на следните функции: y = x - 5 6, y = x - 2 3, y = x - 1 2 2, y = x - 1 7 (черни, червени, сини, зелени линии, съответно).

Определение 12

Свойства на степенната функция при - 1< a < 0:

lim x → 0 + 0 x a = + ∞, когато - 1< a < 0 , т.е. х = 0 – вертикальная асимптота;

обхват: y ∈ 0 ; + ∞ ;
тази функция е функция от общ вид (не е нито нечетна, нито четна);
няма точки на инфлексия;

Чертежът по-долу показва графики на степенни функции y = x - 5 4, y = x - 5 3, y = x - 6, y = x - 24 7 (съответно черен, червен, син, зелен цвят на кривите).

Определение 13

Свойства на степенната функция за a< - 1:

област на дефиниция: x ∈ 0 ; + ∞ ;

lim x → 0 + 0 x a = + ∞, когато a< - 1 , т.е. х = 0 – вертикальная асимптота;

диапазон: y ∈ (0 ; + ∞) ;
тази функция е функция от общ вид (не е нито нечетна, нито четна);
функцията е намаляваща при x ∈ 0; + ∞ ;
функцията има вдлъбнатина за x ∈ 0; + ∞ ;
няма точки на инфлексия;
хоризонтална асимптота – права y = 0;
точка на преминаване на функцията: (1; 1) .

Когато a = 0 и x ≠ 0, получаваме функцията y = x 0 = 1, която определя правата, от която се изключва точката (0; 1) (уговорено е, че на израза 0 0 няма да се придава никакво значение ).

Експоненциалната функция има формата y = a x, където a > 0 и a ≠ 1, и графиката на тази функция изглежда различно въз основа на стойността на основата a. Нека разгледаме специални случаи.

Първо, нека разгледаме ситуацията, когато основата на експоненциалната функция има стойност от нула до едно (0< a < 1) . Добър пример са графиките на функциите за a = 1 2 (син цвят на кривата) и a = 5 6 (червен цвят на кривата).

Графиките на експоненциалната функция ще имат подобен вид за други стойности на основата при условие 0< a < 1 .

Определение 14

Свойства на експоненциалната функция, когато основата е по-малка от единица:

диапазон: y ∈ (0 ; + ∞) ;
тази функция е функция от общ вид (не е нито нечетна, нито четна);
експоненциална функция, чиято основа е по-малка от единица, намалява в цялата област на дефиниция;
няма точки на инфлексия;
хоризонтална асимптота – права линия y = 0 с променлива x, клоняща към + ∞;

Сега разгледайте случая, когато основата на експоненциалната функция е по-голяма от единица (a > 1).

Нека илюстрираме този специален случай с графика на експоненциални функции y = 3 2 x (син цвят на кривата) и y = e x (червен цвят на графиката).

Други стойности на основата, по-големи единици, ще дадат подобен вид на графиката на експоненциалната функция.

Определение 15

Свойства на експоненциалната функция, когато основата е по-голяма от единица:

област на дефиниция – цялото множество от реални числа;
диапазон: y ∈ (0 ; + ∞) ;
тази функция е функция от общ вид (не е нито нечетна, нито четна);
експоненциална функция, чиято основа е по-голяма от единица, нараства като x ∈ - ∞; + ∞ ;
функцията има вдлъбнатина при x ∈ - ∞; + ∞ ;
няма точки на инфлексия;
хоризонтална асимптота – права y = 0 с променлива x, клоняща към - ∞;
точка на преминаване на функцията: (0; 1) .

Логаритмичната функция има формата y = log a (x), където a > 0, a ≠ 1.

Такава функция се дефинира само за положителни стойности на аргумента: за x ∈ 0; + ∞.

Графиката на логаритмична функция има различен вид въз основа на стойността на основата a.

Нека първо разгледаме ситуацията, когато 0< a < 1 . Продемонстрируем этот частный случай графиком логарифмической функции при a = 1 2 (синий цвет кривой) и а = 5 6 (красный цвет кривой).

Други стойности на основата, а не по-големи единици, ще дадат подобен тип графика.

Определение 16

Свойства на логаритмична функция, когато основата е по-малка от единица:

област на дефиниция: x ∈ 0 ; + ∞. Тъй като x клони към нула отдясно, стойностите на функцията клонят към +∞;
диапазон: y ∈ - ∞ ; + ∞ ;
тази функция е функция от общ вид (не е нито нечетна, нито четна);
логаритмичен
функцията има вдлъбнатина за x ∈ 0; + ∞ ;
няма точки на инфлексия;
няма асимптоти;

Сега нека разгледаме специалния случай, когато основата на логаритмичната функция е по-голяма от едно: a > 1 . Чертежът по-долу показва графики на логаритмични функции y = log 3 2 x и y = ln x (съответно син и червен цвят на графиките).

Други стойности на основата, по-големи от единица, ще дадат подобен тип графика.

Определение 17

Свойства на логаритмична функция, когато основата е по-голяма от единица:

област на дефиниция: x ∈ 0 ; + ∞. Тъй като x клони към нула отдясно, стойностите на функцията клонят към - ∞;
диапазон: y ∈ - ∞ ; + ∞ (цялото множество от реални числа);
тази функция е функция от общ вид (не е нито нечетна, нито четна);
логаритмичната функция е нарастваща при x ∈ 0; + ∞ ;
функцията е изпъкнала за x ∈ 0; + ∞ ;
няма точки на инфлексия;
няма асимптоти;
точка на преминаване на функцията: (1; 0) .

Тригонометричните функции са синус, косинус, тангенс и котангенс. Нека да разгледаме свойствата на всеки от тях и съответните графики.

Като цяло всички тригонометрични функции се характеризират със свойството периодичност, т.е. когато стойностите на функциите се повтарят за различни стойности на аргумента, различаващи се една от друга с периода f (x + T) = f (x) (T е периодът). По този начин елементът „най-малък положителен период“ се добавя към списъка със свойства на тригонометрични функции. Освен това ще посочим стойностите на аргумента, при които съответната функция става нула.

Функция синус: y = sin(x)

Графиката на тази функция се нарича синусоида.

Определение 18

Свойства на функцията синус:

област на дефиниция: цялото множество от реални числа x ∈ - ∞ ; + ∞ ;
функцията изчезва, когато x = π · k, където k ∈ Z (Z е множеството от цели числа);
функцията е нарастваща за x ∈ - π 2 + 2 π · k ; π 2 + 2 π · k, k ∈ Z и намаляваща за x ∈ π 2 + 2 π · k; 3 π 2 + 2 π · k, k ∈ Z;
функцията синус има локални максимуми в точки π 2 + 2 π · k; 1 и локални минимуми в точки - π 2 + 2 π · k; - 1, k ∈ Z;
функцията синус е вдлъбната, когато x ∈ - π + 2 π · k ; 2 π · k, k ∈ Z и изпъкнал, когато x ∈ 2 π · k; π + 2 π k, k ∈ Z;
няма асимптоти.

Функция косинус: y = cos(x)

Графиката на тази функция се нарича косинусова вълна.

Определение 19

Свойства на функцията косинус:

област на дефиниция: x ∈ - ∞ ; + ∞ ;
най-малък положителен период: T = 2 π;
диапазон от стойности: y ∈ - 1 ; 1 ;
тази функция е четна, тъй като y (- x) = y (x);
функцията е нарастваща за x ∈ - π + 2 π · k ; 2 π · k, k ∈ Z и намаляваща за x ∈ 2 π · k; π + 2 π k, k ∈ Z;
функцията косинус има локални максимуми в точки 2 π · k ; 1, k ∈ Z и локални минимуми в точки π + 2 π · k; - 1, k ∈ z;
функцията косинус е вдлъбната, когато x ∈ π 2 + 2 π · k ; 3 π 2 + 2 π · k , k ∈ Z и изпъкнал, когато x ∈ - π 2 + 2 π · k ; π 2 + 2 π · k, k ∈ Z;
точките на инфлексия имат координати π 2 + π · k; 0 , k ∈ Z
няма асимптоти.

Тангенсна функция: y = t g (x)

Графиката на тази функция се нарича допирателна.

Определение 20

Свойства на функцията тангенс:

област на дефиниция: x ∈ - π 2 + π · k ; π 2 + π · k, където k ∈ Z (Z е множеството от цели числа);
Поведение на допирателната функция на границата на областта на дефиницията lim x → π 2 + π · k + 0 t g (x) = - ∞ , lim x → π 2 + π · k - 0 t g (x) = + ∞ . Така правите x = π 2 + π · k k ∈ Z са вертикални асимптоти;
функцията изчезва, когато x = π · k за k ∈ Z (Z е множеството от цели числа);
диапазон: y ∈ - ∞ ; + ∞ ;
тази функция е нечетна, тъй като y (- x) = - y (x) ;
функцията нараства като - π 2 + π · k ; π 2 + π · k, k ∈ Z;
допирателната функция е вдлъбната за x ∈ [π · k; π 2 + π · k), k ∈ Z и изпъкнал за x ∈ (- π 2 + π · k ; π · k ] , k ∈ Z ;
точките на инфлексия имат координати π · k ; 0, k ∈ Z;

Функция котангенс: y = c t g (x)

Графиката на тази функция се нарича котангентоид. .

Определение 21

Свойства на функцията котангенс:

област на дефиниране: x ∈ (π · k ; π + π · k) , където k ∈ Z (Z е множеството от цели числа);

Поведение на функцията котангенс на границата на дефиниционната област lim x → π · k + 0 t g (x) = + ∞ , lim x → π · k - 0 t g (x) = - ∞ . Така правите x = π · k k ∈ Z са вертикални асимптоти;

най-малък положителен период: T = π;
функцията изчезва, когато x = π 2 + π · k за k ∈ Z (Z е множеството от цели числа);
диапазон: y ∈ - ∞ ; + ∞ ;
тази функция е нечетна, тъй като y (- x) = - y (x) ;
функцията е намаляваща за x ∈ π · k ; π + π k, k ∈ Z;
функцията котангенс е вдлъбната за x ∈ (π k; π 2 + π k ], k ∈ Z и изпъкнала за x ∈ [ - π 2 + π k ; π k), k ∈ Z ;
точките на инфлексия имат координати π 2 + π · k; 0, k ∈ Z;
Няма наклонени или хоризонтални асимптоти.

Обратните тригонометрични функции са арксинус, аркосинус, арктангенс и арккотангенс. Често, поради наличието на префикса „дъга“ в името, обратните тригонометрични функции се наричат дъгови функции .

Функция аркус синус: y = a r c sin (x)

Определение 22

Свойства на функцията арксинус:

тази функция е нечетна, тъй като y (- x) = - y (x) ;
функцията арксинус има вдлъбнатина за x ∈ 0; 1 и изпъкналост за x ∈ - 1 ; 0 ;
точките на инфлексия имат координати (0; 0), което е и нула на функцията;
няма асимптоти.

Арк косинус функция: y = a r c cos (x)

Определение 23

Свойства на функцията арккосинус:

област на дефиниция: x ∈ - 1 ; 1 ;
обхват: y ∈ 0 ; π;
тази функция е от общ вид (нито четна, нито нечетна);
функцията е намаляваща по цялата област на дефиниране;
функцията арккосинус има вдлъбнатина при x ∈ - 1; 0 и изпъкналост за x ∈ 0; 1 ;
точките на инфлексия имат координати 0; π 2;
няма асимптоти.

Функция на аркутангенса: y = a r c t g (x)

Определение 24

Свойства на функцията арктангенс:

област на дефиниция: x ∈ - ∞ ; + ∞ ;
диапазон от стойности: y ∈ - π 2 ; π 2;
тази функция е нечетна, тъй като y (- x) = - y (x) ;
функцията нараства в цялата област на дефиниране;
функцията арктангенс има вдлъбнатост за x ∈ (- ∞ ; 0 ] и изпъкналост за x ∈ [ 0 ; + ∞);
инфлексната точка има координати (0; 0), което е и нула на функцията;
хоризонталните асимптоти са прави линии y = - π 2 като x → - ∞ и y = π 2 като x → + ∞ (на фигурата асимптотите са зелени линии).

Аркутангенсна функция: y = a r c c t g (x)

Определение 25

Свойства на функцията арккотангенс:

област на дефиниция: x ∈ - ∞ ; + ∞ ;
диапазон: y ∈ (0; π) ;
тази функция е от общ вид;
функцията е намаляваща по цялата област на дефиниране;
функцията аркотангенс има вдлъбнатина за x ∈ [ 0 ; + ∞) и изпъкналост за x ∈ (- ∞ ; 0 ] ;
инфлексната точка има координати 0; π 2;
хоризонталните асимптоти са прави линии y = π при x → - ∞ (зелена линия на чертежа) и y = 0 при x → + ∞.

Ако забележите грешка в текста, моля, маркирайте я и натиснете Ctrl+Enter