Основна концепция на теорията на вероятностите. Закони на теорията на вероятностите

за студенти 2 курс от всички специалности

Катедра Висша математика

Уводна част

Скъпи студенти!

Предлагаме на вашето внимание обзорна (уводна) лекция на проф. Н.Ш.Кремер по дисциплината „Теория на вероятностите и математическа статистика” за студенти от втора година на ВЗФЕИ.

В лекцията се обсъжда задачиизучаване на теория на вероятностите и математическа статистика в икономически университет и нейното мястов системата за обучение на съвременен икономист, се разглежда организация независимадава се работа на студентите с помощта на компютърно базирана система за обучение (CTS) и традиционни учебници преглед на основните разпоредбитози курс, както и методически препоръки за неговото изучаване.

Сред математическите дисциплини, изучавани в икономическия университет, теорията на вероятностите и математическата статистика заемат специално място. Първо, това е теоретичната основа на статистическите дисциплини. Второ, методите на теорията на вероятностите и математическата статистика се използват директно в изследването масови агрегатинаблюдавани явления, обработка на резултатите от наблюденията и идентифициране на модели на случайни явления. И накрая, теорията на вероятностите и математическата статистика имат важно методологично значение в когнитивен процес, при идентифициране на общ модел изследванипроцеси, служи като лог базаиндуктивно-дедуктивно разсъждение.

Всеки студент от втора година трябва да има следния комплект (казус) по дисциплината „Теория на вероятностите и математическа статистика”:

1. Обзорна ориентировъчна лекцияв тази дисциплина.

2. УчебникН.Ш. Kremer “Теория на вероятностите и математическа статистика” - М.: UNITY - DANA, 2007 (по-нататък ще го наричаме просто “учебник”).

3. Учебно-методическо ръководство“Теория на вероятностите и математическа статистика” / изд. Н.Ш. Кремер. – М.: Университетски учебник, 2005 (наричан по-нататък „ръководство“).

4. Програма за компютърно обучение COPR за дисциплината (наричана по-долу „компютърна програма“).

На уебсайта на института, на страницата „Корпоративни ресурси“, са публикувани онлайн версии на компютърната програма KOPR2, обзорна лекция за ориентиране и електронна версия на ръководството. В допълнение, компютърната програма и ръководството са представени на CD - ROM ах за второкурсници. Следователно в „хартиена форма“ ученикът трябва да има само учебник.

Нека обясним предназначението на всеки от учебните материали, включени в посочения комплект (кейс).

В учебникапредставени са основните положения на учебния материал по дисциплината, илюстрирани с достатъчно голям брой решени задачи.

IN ПолзиДадени са методически препоръки за самостоятелно изучаване на учебен материал, подчертани са най-важните понятия от курса и типичните задачи, дадени са тестови въпроси за самопроверка по тази дисциплина, варианти за домашни тестове, които студентът трябва да изпълни, както и методически дадени са указания за изпълнението им.

Компютърна програмае предназначен да ви осигури максимална помощ при усвояването на курса в режим диалогпрограма с ученик, за да компенсирате в най-голяма степен липсата на обучение в класната стая и подходящ контакт с учителя.

За студент, който се обучава чрез системата за дистанционно обучение, първостепенно и решаващо значение има организация на самостоятелна работа.

Когато започвате да изучавате тази дисциплина, прочетете тази обзорна (уводна) лекция до края. Това ще ви позволи да получите обща представа за основните понятия и методи, използвани в курса „Теория на вероятностите и математическа статистика“, както и за изискванията към нивото на подготовка на студентите от ВЗФЕИ.

Преди изучаване на всяка тема Прочетете насоките за изучаване на тази тема в ръководството.Тук ще намерите списък с образователни въпроси по тази тема, които ще изучавате; разберете кои понятия, дефиниции, теореми, проблеми са най-важните, които първо трябва да бъдат изучени и усвоени.

След това продължете с изучаването основен учебен материалпо учебника в съответствие с получените методически препоръки. Съветваме ви да си водите бележки в отделна тетрадка за основните дефиниции, изложения на теореми, диаграми на техните доказателства, формули и решения на типични задачи. Препоръчително е формулите да се записват в специални таблици за всяка част от курса: теория на вероятностите и математическа статистика. Редовното използване на бележки, по-специално таблици с формули, насърчава тяхното запаметяване.

Само след като обработите основния учебен материал на всяка тема в учебника, можете да преминете към изучаване на тази тема с помощта на компютърна програма за обучение (KOPR2).

Обърнете внимание на структурата на компютърната програма за всяка тема. След името на темата има списък с основните образователни въпроси на темата в учебника, като се посочват номерата на параграфите и страниците, които трябва да бъдат изучени. (Не забравяйте, че списък с тези въпроси за всяка тема също е даден в ръководството).

След това в кратка форма се дава справочен материал по тази тема (или по отделни параграфи от тази тема) - основни определения, теореми, свойства и характеристики, формули и др. Докато изучавате тема, можете също да показвате на екрана тези фрагменти от референтен материал (по тази или предишни теми), които са необходими в момента.

След това ви се предлагат учебни материали и, разбира се, стандартни задачи ( примери),чието решение се разглежда в режима диалогпрограми с ученик. Функциите на редица примери са ограничени до показване на етапите на правилното решение на екрана по желание на ученика. В същото време, в процеса на разглеждане на повечето примери, ще ви бъдат задавани въпроси от едно или друго естество. Отговорите на някои въпроси трябва да се въвеждат с помощта на клавиатурата. числен отговор,на другите - изберете правилния отговор (или отговори)от няколко предложени.

В зависимост от въведения от вас отговор, програмата потвърждава правилността му или предлага, след като прочетете подсказката, съдържаща необходимите теоретични принципи, да опитате отново да дадете правилното решение и отговор. Много задачи имат ограничение за броя на опитите за решаване (ако това ограничение бъде надвишено, правилният прогрес на решението задължително се показва на екрана). Има и примери, в които обемът на информацията, съдържаща се в подсказката, се увеличава с повтарянето на неуспешни опити за отговор.

След като се запознаете с теоретичните положения на учебния материал и примерите, които са предоставени с подробен анализ на решението, трябва да завършите упражнения за самоконтрол, за да консолидирате уменията си за решаване на типични задачи по всяка тема. Задачите за самоконтрол също съдържат елементи на диалог с ученика. След като завършите решението, можете да погледнете верния отговор и да го сравните с този, който сте дали.

В края на работата по всяка тема трябва да изпълните контролни задачи. Верните отговори на тях не ви се показват, а вашите отговори се записват на твърдия диск на компютъра за последващ преглед от учителя-консултант (преподавател).

След изучаване на теми 1–7 трябва да се попълни домашен контрол № 3, а след изучаване на теми 8–11 домашен контрол № 4. Вариантите на тези тестове са дадени в помагалото (електронната му версия). Номерът на изпълняваната опция трябва да съвпада с последната цифра от номера на Вашето лично досие (книжка, студентска книжка). За всеки тест трябва да преминете интервю, по време на което трябва да демонстрирате способността си да решавате задачи и познаване на основни понятия (дефиниции, теореми (без доказателство), формули и др.) по темата на теста. Изучаването на дисциплината завършва с курсов изпит.

Теорията на вероятностите е математическа наука, която изучава моделите на случайни явления.

Предлаганата за изучаване дисциплина се състои от два раздела „Теория на вероятностите” и „Математическа статистика”.

Основи на теорията на вероятностите и математическата статистика

Основи на теорията на вероятностите и математическата статистика Основни понятия на теорията на вероятностите Предметът на изучаване на теорията на вероятностите са количествените модели на хомогенни случайни явления от масов характер. Определение 1. Събитие е всеки възможен факт, за който може да се каже, че се случва или не се случва при дадени условия. Пример. Пример. P(A) = m/n. Пример.<Р(А)<1 Основные формулы комбинаторики Определение 1 . Различные группы по m предметов, составленные из n однородных предметов ( m , n ), называются соединениями. Предметы, из которых составляют различные соединения, называют элементами. Существует 3 вида соединений: размещения, перестановки, сочетания. Определение 2. Размещениями по m элементов из данных n элементов ( m ≤ n ) называют такие соединения, которые отличаются друг от друга либо самими элементами, либо их порядком. Например, размещениями из трех предметов a , b и c по два будут следующие соединения: ab , ac , bc , ca , cb , ba . Число размещений из данных n элементов по m обозначают символом А n m = n ( n -1)( n -2)·....·( n - m +1). Пример. А 10 4 =10·9·8·7=5040. Определение 3. Перестановками из n элементов называют такие соединения, которые отличаются друг от друга только порядком элементов. Р n =А n n = n ( n -1)( n -2)...·3·2·1= n ! По определению 0!=1. Пример. Р 5 =5!=1·2·3·4·5=120. Определение 4. Сочетаниями из n элементов по m называются также соединения, которые отличаются друг от друга, по меньшей мере, одним элементом и каждое из которых содержит m различных элементов: C n m === Пример. Найти число сочетаний из 10 элементов по четыре. Решение. C 10 4 ==210. Пример. Найти число сочетаний из 20 элементов по 17. Решение. ==1040. Теоремы теории вероятностей Теорема сложения вероятностей Теорема 1 . Вероятность наступления одного какого-либо события из двух несовместимых событий А и В равно сумме вероятностей этих событий Р(А+В)=Р(А)+Р(В ). Пример. В урне 5 красных, 7 синих и 8 белых шаров, перемешанных между собой. Какова вероятность того, что взятый наугад один шар окажется не красным? Решение. Не красный шар - это или белый или синий шары. Вероятность появления белого шара (событие А) равна Р(А)= 8/20 = 2/5. Вероятность появления синего шара (событие В) равна Р(В)= 7/20. Событие, состоящее в появлении не красного шара, означает появление или А или В, т.к. события А и В несовместимы, то применима теорема 1. Искомая вероятность будет равна Р(А+В)=Р(А)+Р(В)=2/5+ +7/20=3/4. Теорема 2. Вероятность наступления одного из двух событий A или B равно сумме вероятностей этих событий минус вероятность их совместного появления P ( A + B )= P ( A )+ P ( B )+ P ( AB ). Теорема умножения вероятностей Определение 1. Два события A и B называются независимыми друг от друга, если вероятность одного из них не зависит от наступления или ненаступления другого. Пример. Пусть A - событие, состоящее в появлении герба при первом бросании монеты, а B - событие, состоящее в появлении герба при втором бросании монеты, то события A и B не зависят друг от друга, т.е. результат первого бросания монеты не может изменить вероятность появления герба при втором бросании монеты. Определение 2. Два события A и B называются зависящими друг от друга, если вероятность одного из них зависит от наступления или ненаступления другого. Пример. В урне 8 белых и 7 красных шаров, перемешанных между собой. Событие A - появление белого шара, а событие B - появление красного шара. Будем брать из урны наугад два раза по одному шару, не возвращая их обратно. До начала испытания вероятность появления события A равна P ( A )=8/15, и вероятность события B равна P ( B )=7/15. Если предположить, что в первый раз был взят белый шар (событие A ), то вероятность появления события B при втором испытании будет P ( B )=7/14=1/2. Если в первый раз был взят красный шар, то вероятность появления красного шара при втором извлечении равна P ( B )=6/14=3/7. Определение 3. Вероятность события B , вычисленная в предположении, что перед этим наступило связанное с ним событие A , называется условной вероятностью события B и обозначается PA ( B ). Теорема 3 . Вероятность совместного наступления двух зависимых событий ( A и B ) равна произведению вероятности одного из них на условную вероятность другого, вычисленную в предположении, что первое событие произошло, т.е. P ( AB )= P ( A )· P A ( B )= P ( B )· P B ( A ). Теорема 4. Вероятность совместного наступления нескольких зависимых событий равно произведению вероятности одного из них на условные вероятности всех остальных событий, вычисленные в предположении, что все предыдущие события уже наступили: P(A 1 A 2 A 3 ...A k )=P(A 1 )·P A1 (A 2 )·P A1A2 ·P(A 3 )...·P A1A2…A k-1 (A k ) Теорема 5 . Вероятность совместного наступления двух независимых событий A и B равна произведению вероятностей этих событий P ( AB )= P ( A )· P ( B ). Теорема 6 . Вероятность совместного наступления нескольких независимых событий A 1 , A 2 , ... A k равна произведению их вероятностей, т.е. P ( A 1 A 2 ... A k )= P ( A 1 )· P ( A 2 )·...· P ( A k ). Пример. Два стрелка делают одновременно по одному выстрелу в одну цель. Какова вероятность того, что оба попадут, если известно, что первый стрелок в среднем дает 7 попаданий, а второй 8 попаданий на каждые 10 выстрелов? Какова вероятность поражения мишени? Решение. Вероятность попадания первого стрелка (событие A ) равна P ( A )=0,8, вероятность попадания второго стрелка (событие B ) равна P ( B )=0,7. События A и B независимы друг от друга, поэтому вероятность совместного наступления этих событий (совместное попадание в цель) найдем по теореме умножения для независимых событий: P ( AB )= P ( A ) P ( B )=0,8·0,7=0,56. Вероятность поражения мишени означает попадание в мишень хотя бы одного стрелка. Так как попадание в мишень первого и второго стрелков являются событиями совместными, то применение теоремы сложения вероятностей для совместных событий дает следующий результат: P(A+B)=P(A)+P(B)-P(AB)=P(A)+P(B)-P(A)·P(B)=0,8+0,7- 0,8·0,7=0,94. 5.3.3. Формула полной вероятности Определение 4. Если при некотором испытании может произойти одно какое-либо событие из нескольких несовместных A 1 , A 2 ,..., A k , и при этом никаких других событий быть не может, но одно из указанных событий обязательно произойдет, то группу событий A 1 , A 2 ,..., A k называют полной группой событий. Теорема 7. Сумма вероятностей событий, образующих полную группу, равна единице: P ( A 1 )+ P ( A 2 )+...+ P ( A k )=1. Следствие. Сумма вероятностей двух противоположных событий равна единице: P ( A )+ P ( A )=1. Если вероятность одного события обозначим через p , вероятность противоположного ему события обозначим через q , тогда p + q =1. Пример. Вероятность попадания в цель равна 0,94. Найти вероятность непопадания. Решение . Попадание в цель и непопадание являются противоположными событиями, поэтому, если p =0,94, то q =1- p =1-0,94=0,06. Теорема 8 . Если случайные события A 1 , A 2 ... A n образуют полную систему, и если событие B может осуществляться только совместно с каким-нибудь одним из этих событий, то вероятность наступления события B можно определить по формуле: P(B)=P(A 1 )P A1 (B)+P(A 2 )P A2 (B)+...+P(A n )P A n (B) Это равенство называется формулой полной вероятности . Пример. На склад готовой продукции поступили изделия из трех цехов, в том числе: 30% из I -го цеха, 45% из II цеха и 25% из III цеха. Среди изделий I цеха брак составляет 0,6%, по II цеху 0,4% и по III цеху-0,16%. Какова вероятность того, что взятое наугад для контроля одно изделие окажется с браком? Решение. Одно изделие может быть взято или из продукции I цеха (событие A 1 ), или из продукции II цеха (событие A 2 ), или из продукции III цеха (событие A 3 ). Вероятности этих событий будут: P ( A 1 )=0,30; P ( A 2 )=0,45; P ( A 3 )=0,25. Вероятность того, что изделие с браком (событие B ) будет взято из продукции I цеха, есть условная вероятность P A 1 ( B ). Она равна P A 1 ( B )=0,006. Вероятность того, что изделие с браком будет взято из продукции II цеха P A 2 ( B )=0,004 и из продукции III цеха P A 3 ( B )=0,0016. Теперь по формуле полной вероятности найдем вероятность того, что взятое наугад одно изделие будет с браком: P(B)=P(A 1 )P A1 (B)+P(A 2 )P A2 (B)+...+P(A 3 )P A3 (B) = 0,3·0,006+0,45·0,004+0,25·0,0016=0,004. Формула Бернулли Теорема 9. Пусть производится n независимых повторных испытаний по отношению к некоторому событию A . Пусть вероятность появления этого события в каждом отдельном испытании остается неизменно равной p , а вероятность появления противоположного события Ā, есть q . Тогда вероятность появления интересующего нас события A равно m раз при указанных n испытаниях рассчитывается по формуле Бернулли: P m , n = p m q n - m , так как, то P m , n = · p m · q n - m Пример. Коэффициент использования станка в среднем равен 0,8. В цехе имеется 5 станков. Какова вероятность того, что в некоторый момент времени окажутся работоспособными только 3 станка? Решение. Задача подходит под схему повторных испытаний и решается по формуле Бернулли: n =5, m =3, p =0,8 и q =1-0,8=0,2: P 3,5 = (0,8) 3 ·(0,2) 2 =0,2084. Асимптотическая формула Пуассона В статистической практике нередко встречаются такие примеры независимых испытаний, когда при большом числе n независимых испытаний вероятность Р появления события в каждом отдельном испытании оказывается сравнительно малой величиной, стремящейся к нулю с увеличением числа испытаний . При этих условиях для вычисления вероятности Р m , n появление события m раз в n испытаниях пользуются асимптотической формулой Пуассона : Р m,n ≈e -a , где a=np Пример. Доля брака всей продукции завода составляет 0,5%. Какова вероятность того, что в партии, состоящей из 400 изделий, окажется три изделия бракованных? Решение. В условии примера дано p =0,005, n =400, m =3, следовательно, a = np =400·0,005=2. Вероятность данного события найдем по формуле Пуассона Р m , n (3,400) = 0,1804. Случайные величины и их числовые характеристики Определение 1. Случайной величиной называется переменная величина, которая в результате опыта принимает одно значение, причем неизвестно заранее, какое именно. Определение 2. Дискретной называется случайная величина, которая может принимать лишь отдельные, изолированные друг от друга значения. Случайная дискретная величина задается законом распределения, связывающим принимаемые ею значения x i и вероятности их принятия p i . Закон распределения чаще всего задается в табличной форме. Графическое представление закона распределения случайной дискретной величины – многоугольник распределения . Числовые характеристики дискретной случайной величины. 1) Математическое ожидание. Определение 3. Математическое ожидание случайной дискретной величины X с конечным числом значений называется сумма произведений возможных ее значений на их вероятности: M ( X ) = μ = x 1 p 1 + x 2 p 2 +...+ x n p n = . Вероятности всех значений случайной дискретной величины удовлетворяют условию нормировки: Свойства математического ожидания. 1 0 Математическое ожидание постоянной (неслучайной) величины С равно самой постоянной M ( C )= C . 2 0 Математическое ожидание алгебраической суммы нескольких случайных величин равно алгебраической сумме математических ожиданий слагаемых M ( X 1 ± X 2 ±...± X n ) = M ( X 1 ) ± M ( X 2 ) ±…± M ( X n ). 3 0 Константу можно вынести за знак математического ожидания M ( CX )= CM ( X ). 4 0 Математическое ожидание произведения нескольких независимых случайных величин равно произведению математических ожиданий этих величин: M ( X 1 X 2 ... X n ) = M ( X 1 ) M ( X 2 )... M ( X ) n . 2) Дисперсия дискретной случайной величины. Определение 4. Дисперсией случайной дискретной величины X называется математическое ожидание квадрата отклонения этой величины от ее математического ожидания. D ( X ) = M {[ X - M ( X )] 2 } = , где M ( X ) = μ Для вычисления дисперсии более удобна формула: D ( X )= M ( X 2 )-[ M ( X )] 2 , т.е. дисперсия случайной величины равна разности между математическим ожиданием квадрата этой величины и квадратом ее математического ожидания. Свойства дисперсии. 1 0 Дисперсия постоянной величины равна нулю D (С) = 0. 2 0 Постоянный множитель можно выносить за знак дисперсии, предварительно возведя его в квадрат: D ( CX ) = C 2 D ( X ). 3 0 Дисперсия суммы нескольких независимых случайных величин равна сумме дисперсий этих величин: D ( X 1 +...+ X n ) = D ( X 1 )+...+ D ( X n ). 4 0 Дисперсия разности двух независимых случайных величин равна сумме дисперсий этих величин D ( X - Y )= D ( X )+ D ( Y ). 3). Среднее квадратическое отклонение Определение 5 . Средним квадратическим отклонением случайной величины называется квадратный корень из дисперсии σ ( X )=. Пример. Найти математическое ожидание и дисперсию случайной величины X , которая задана следующим законом распределения: Решение. Найдем математическое ожидание: M ( x )=1·0,3+2·0,5+5·0,2=2,3. Найдем все возможные значения квадрата отклонения. [ x 1 - M ( x )] 2 =(1-2,3) 2 =1,69 [ x 2 - M ( x )] 2 =(2-2,3) 2 =0,09 [ x 3 - M ( x )] 2 =(5-2,3) 2 =7,29 Напишем закон распределения квадрата отклонения Найдем дисперсию: D ( x )=1,69·0,3+0,09·0,5+7,29·0,2=2,01. Числовые характеристики непрерывной случайной величины. Определение 6. Непрерывной называют случайную величину, которая может принимать все значения из некоторого конечного или бесконечного промежутка. Определение 7. Интегральной функцией распределения называют функцию F ( x ), определяющую для каждого значения x вероятность того, что случайная величина X примет значение меньше x , т.е. F ( x )= P ( X < x ). Свойства интегральной функции распределения 1 0 Значения интегральной функции распределения принадлежат отрезку 0≤ F ( x ) ≤1. 2 0 Функция распределения есть неубывающая функция. Следствие 1. Вероятность того, что случайная величина X попадет в интервал ( a , b ), равна приращению ее интегральной функции распределения на этом интервале P ( a < x < b )= F ( b )- F ( a ). Следствие 2. Вероятность того, что случайная непрерывная величина X примет одно определенное значение равна нулю P ( X = x 1 )=0. 3 0 Если возможные значения случайной величины X принадлежат интервалу ( a , b ), то F ( x )=0 при x ≤ a и F ( x )=1 при x ≥ a . Определение 8. Дифференциальной функцией распределения f ( x ) (или плотностью вероятности) называется производная от интегральной функции f ( x )= F "( x ). Интегральная функция является первообразной для дифференциальной функции, поэтому вероятность того, что случайная непрерывная величина x примет значение, принадлежащее интервалу ( a , b ), определяется равенством: P ( a < x < b )== F ( b )- F ( a )Зная дифференциальную функцию, можно найти функцию распределения: F ( x )= Свойства дифференциальной функции распределения 1 0 Дифференциальная функция распределения есть функция неотрицательная f ( x ) ≥0 2 0 Несобственный интеграл от дифференциальной функции распределения равен единице (условие нормировки): . 1) Математическое ожидание. Математическим ожиданием случайной непрерывной величины X , возможные значения которой прина д лежат отрезку ( a , b ), называется опр е деленный интеграл: M ( X ) = , где f ( x )-плотность вероятности случайной величины X . 2) Дисперсия. Дисперсия непрерывной случайной величины X есть математическое ожидание квадрата отклонения зтой величины от ее математического жидания D(X) = M{ 2 }.Следовательно, если возможные значения случайной величины X принадлежат отрезку ( a ; b ), то D ( x )= или D ( x )= 3) Среднее квадратическое отклонение определяется так: σ ( x ) = Пример. Найти дисперсию случайной величины X , заданной интегральной функцией F ( x )= Решение. Найдем дифференциальную функцию: f ( x )= F ’ ( x )= Выислим математическое ожидание M ( x ) = . Найдем искомую дисперсию D ( x ) = = = 2/4=4/3. Вероятность попадания нормально распределенной случайной величины X в заданный интервал Определение 9. Распределение вероятностей случайной непрерывной величины X называется нормальным, если плотность вероятности описывается формулой: , где μ - математическое ожидание, σ - среднее квадратическое отклонение. Определение 10. Нормальное распределение с параметрами μ = 0, σ = 1 называется нормированным или стандартным. Плотность вероятности нормированного нормального распределения описывается следующей формулой: . Значения данной функции для неотрицательных значений затабулированы. В силу четности функции φ ( x ) значения для отрицательных чисел легко определить φ (- x )= φ ( x ). Пример. Математическое ожидание нормального распределенной случайной величины X равно μ =3 и среднее квадратическое отклонение σ =2. Написать дифференциальную функцию X . Решение. f ( x )= Если случайная величина X распределена по нормальному закону, то вероятность ее попадания в интервал ( a , b ) определяется следующим о б разом: P(aS2=DB= = , което е безпристрастна оценка на общата дисперсия DГ. За оценка на стандартното отклонение на съвкупността се използва „коригираното“ стандартно отклонение, което е равно на корен квадратен от „коригираната“ дисперсия. S= Дефиниция 14. Нарича се доверителен интервал (θ*-δ;θ*+δ), който обхваща неизвестен параметър с дадена надеждност γ. Доверителният интервал за оценка на математическото очакване на нормално разпределение с известно стандартно отклонение σ се изразява с формулата: =2Ф(t)=γ където ε=tδ/ е точността на оценката. Числото t се определя от уравнението: 2Ф(t)=γ по таблиците на функцията на Лаплас. Пример. Случайната променлива X има нормално разпределение с известно стандартно отклонение σ=3. Намерете доверителни интервали за оценка на неизвестното математическо очакване μ, като използвате извадкови средни X, ако размерът на извадката е n = 36 и надеждността на оценката е дадена γ = 0,95. Решение. Да намерим t от връзката 2Ф(t)=0,95; Ф(t)=0,475. От таблиците намираме t = 1,96. Нека намерим точността на оценката σ =tδ/=1,96·3/= 0,98. Доверителен интервал (x -0,98; x +0,98). Доверителните интервали за оценка на математическото очакване на нормално разпределение с неизвестно σ се определят с помощта на разпределението на Стюдънт с k=n-1 степени на свобода: T= , където S е „коригираното” стандартно отклонение, n е размерът на извадката. От разпределението на Стюдънт доверителният интервал покрива неизвестния параметър μ с надеждност γ: или, където tγ е коефициентът на Стюдънт, намерен от стойностите на γ (надеждност) и k (брой степени на свобода) от таблиците. Пример. Количествената характеристика X на съвкупността е нормално разпределена. Въз основа на размер на извадката от n=16 бяха открити средната стойност на извадката xB=20,2 и квадратното отклонение на „коригираната средна стойност“ S=0,8. Оценете неизвестното математическо очакване m, като използвате доверителен интервал с надеждност γ = 0,95. Решение. От таблицата намираме: tγ = 2,13. Нека намерим доверителните граници: =20,2-2,13·0,8=19,774 и =20,2+ +2,13·0,8/=20,626. Така че, с надеждност от 0,95, неизвестният параметър μ е в интервала 19,774<μ <20,626. .Элементы теории корреляции Определение 1. Статистической называют зависимость, при которой изменение одной из величин влечет изменение распределения другой. Определение 2. Если при изменении одной из величин изменяетсясреднее значение другой величины, то такая статистическая зависимость называется корреляционной. Пример. ПустьY-урожай зерна,X-количество удобрений. С одинаковых по площади участков земли при равных количествах внесенных удобрений снимают различный урожай, т.е.Y не является функциейX. Это объясняется влиянием случайных факторов (осадки, температура воздуха и т.д.) Вместе с тем средний урожай является функцией от количества удобрений, т.е.Y связан сX корреляционной зависимостью. Определение 3. Среднее арифметическое значение величиныY, вычисленное при условии, чтоX принимает фиксированное значение, называется условным средним и обозначается. Определение 4. Условным средним называют среднее арифметическое наблюдавшихся значенийx, соответствующихY=y. Можно составить таблицу, определяющую соответствие между значениямиxi и условными среднимиyxi, а затем в декартовой системе координат строят точкиM(xi;yxi) и соединяют их отрезками прямых. Полученная линия называется эмпирической линией регрессииY наX. Аналогично строится эмпирическая линия регрессииX наY. Если точкиMi(xi;yxi) иNi(xy;y) располагаются вдоль прямой, то линия регрессии называется линией прямой регрессии и операция "сглаживания" ломаной сводится к нахождению параметровa иb функцииy=ax+b. Из двух нормальных уравнений: находят коэффициентыa иb. ρxy=a== выборочный коэффициент регрессии признакаY наX. b== Уравнение прямой линии регрессии признакаY наX имеет вид: - =ρyx(x-). Проведя аналогичные расчеты, можно получить следующие математические выражения, характеризующие прямую регрессию признакаX наY:x=cy+d. ρyx=c= = - выборочный коэффициент регрессии признакаX наY. d= - свободный член уравнения. = - уравнение прямой линии регрессии признакаX наY. Показателем тесноты связи являетсякоэффициент корреляции, используемый только при линейной корреляции:r = =. Для решения задач удобна следующая формула: r == . В формуле для коэффициента корреляцииr = числитель дроби всегда меньше знаменателя, следовательно, коэффициент корреляции - всегда правильная дробь между нулем и единицей -1≤r≤+1. Положительное значениеr указывает на прямую связь между признаками; отрицательное - на обратную связь между ними. Данные для корреляционного анализа могут быть сгруппированы в виде корреляционной таблицы. Рассмотрим пример. Пусть проведено наблюдение двух признаков (X иY) у 15 объектов. Составлена следующая таблица первичных данных: Упорядочим первичные данные, поместив их в таблицу: В первом столбце запишем в порядке возрастания значенияxi: 8,9,10,11, а во второй строке - в том же порядке значенияyi: 18,20,24,27,30. На пересечении строк и столбцов запишем число повторений одинаковых пар (xi;yi) в ряду наблюдений. Требуется установить и оценить зависимость случайной величиныY от величиныX, используя данные корреляционной таблицы. n = 15 - объем выборки Используем формулы для корреляционных расчетов. Уравнение регрессииX наY: xy=cy +d =ρxyy+d, где ρxy=. Величина коэффициента корреляцииr=± С учетом частотnx иny формулы регрессионного анализа несколько видоизменяется: ρxy=, где; ; ; ; . .Проверка статистических гипотез. Определение 1. Статистической называют гипотезу о виде неизвестного распределения или о параметрах известных распределений. Определение 2. Нулевой (основной) называют выдвинутую гипотезуH0. Определение 3. Конкурирующей (альтернативной) называют гипотезуH1, которая противоречит нулевой. Определение 4. Статистическим критерием называют специально подобранную величину, распределение которой известно (хотя бы приближенно), которая используется для проверки статистической гипотезы. Определение 5. Критической областью называют совокупность значений критерия, при которых нулевую гипотезу отвергают. Определение 6. Областью принятия гипотезы (областью допустимых значений) называют совокупность значений критерия, при которых нулевую гипотезу принимают. Основной принцип проверки статистических гипотез: если наблюдаемое значение критерия принадлежит критической области, то нулевую гипотезу отвергают; если наблюдаемое значение критерия принадлежит области принятия гипотезы, то гипотезу принимают. Определение 7. Критическими точками (границами)kkp называют точки, отделяющие критическую область от области принятия гипотезы. Определение 8. Правосторонней называют критическую область, определяемую неравенствомK>kkp, където kkp>0. Определение 9. Лявата е критичната област, дефинирана от неравенството K k2 където k2>k1. За да намерите критичната област, задайте нивото на значимост α и потърсете критични точки въз основа на следните зависимости: a) за дясната критична област P(K>kkp)=α; b) за лявата критична област P(K<-kkp)=α; в) для двусторонней критической областиP(K>kkp)=α/2 и P(K<-kkp)=α/2. Пример. По двум независимым выборкам, объемы которыхn1=11 иn2=14, извлеченным из нормальных генеральных совокупностейX иY, найдены исправленные выборочные дисперсииSx2=0,76;Sy2=0,38. При уровне зависимостиα=0,05 проверить нулевую гипотезуH0:Д(x)=Д(y) о равенстве генеральных дисперсий, при конкурирующей гипотезе:H1:Д(x)>D(y) Решение. Нека намерим отношението на голямата коригирана дисперсия към по-малката: Fobs = =2. Тъй като H1: D(x)>D(y), тогава критичната област е дясна. Използвайки таблицата, като използваме α = 0,05 и броя на степените на свобода k1 = n1-1 = 10; k2 = n2-1 = 13, намираме критичната точка Fcr (0,05; 10,13) = 2,67. Тъй като Fobs. Математиката включва голямо разнообразие от области, една от които, наред с алгебрата и геометрията, е теорията на вероятностите. Има термини, които са общи за всички тези области, но в допълнение към тях има и специфични думи, формули и теореми, които са характерни само за една конкретна „ниша“.

Фразата „теория на вероятностите“ предизвиква паника в неподготвен ученик. Наистина, въображението рисува картини, където се появяват страшни обемни формули, а решението на един проблем отнема цяла тетрадка. На практика обаче всичко изобщо не е толкова ужасно: достатъчно е веднъж да разберете значението на някои термини и да се впуснете в същността на донякъде странната логика на разсъжденията, за да спрете да се страхувате от задачите веднъж завинаги. В тази връзка ще разгледаме основните понятия на теорията на вероятностите и математическата статистика – една млада, но изключително интересна област на знанието.

Защо да учим концепции?

Функцията на езика е да предава информация от един човек на друг, така че той да я разбере, разбере и да може да я използва. Всяка математическа концепция може да бъде обяснена с прости думи, но в този случай актът на обмен на данни ще отнеме много повече време. Представете си, че вместо думата „хипотенуза“ винаги трябва да казвате „най-дългата страна на правоъгълен триъгълник“ - това е изключително неудобно и отнема много време.

Ето защо хората измислят нови термини за определени явления и процеси. По същия начин се появяват основните понятия на теорията на вероятностите - събитие, вероятност за събитие и т.н. Това означава, че за да използвате формули, да решавате проблеми и да прилагате умения в живота, трябва не само да запомните нови думи, но и да разберете какво означава всяка от тях. Колкото по-дълбоко ги разбирате, вниквате в смисъла им, толкова по-широк става обхватът на вашите възможности и толкова по-пълно възприемате света около вас.

Какво е значението на обекта

Нека се запознаем с основните понятия на теорията на вероятностите. Класическата дефиниция на вероятността е следната: това е съотношението на резултатите, които отговарят на изследователя, към общия брой възможни. Нека вземем един прост пример: когато човек хвърли зар, той може да падне върху всяка от шестте страни, обърнати нагоре. Така общият брой резултати е шест. Вероятността да се появи произволно избрана страна е 1/6.

Способността да се предвиди настъпването на определен резултат е изключително важна за различни специалисти. Колко дефектни части се очакват в партидата? Това определя колко трябва да произведете. Каква е вероятността лекарството да помогне за преодоляване на болестта? Такава информация е абсолютно жизненоважна. Но нека не губим време за допълнителни примери и да започнем да изучаваме нова област за нас.

Първа среща

Нека разгледаме основните понятия на теорията на вероятностите и тяхното използване. IN закон, естественнауки, икономика, формулите и термините, представени по-долу, се използват навсякъде, тъй като те са пряко свързани със статистиката и грешките в измерването. По-подробното проучване на този въпрос ще ви разкрие нови формули, които са полезни за по-точни и сложни изчисления, но нека започнем с една проста.

Едно от най-основните и основни понятия на теорията на вероятностите и математическата статистика е случайно събитие. Нека обясним с ясни думи: от всички възможни резултати от експеримента само един се наблюдава като резултат. Дори ако вероятността това събитие да се случи е значително по-висока от друго, то ще бъде случайно, тъй като теоретично резултатът може да е различен.

Ако сме провели серия от експерименти и сме получили определен брой резултати, тогава вероятността за всеки от тях се изчислява по формулата: P(A) = m/n. Тук m е колко пъти в поредица от тестове сме наблюдавали появата на резултата, който ни интересува. От своя страна n е общият брой извършени експерименти. Ако хвърлим монета 10 пъти и получим глави 5 пъти, тогава m=5 и n=10.

Видове събития

Случва се, че във всеки опит е гарантирано да се наблюдава някакъв резултат - такова събитие ще се нарече надеждно. Ако никога не се случи, ще бъде наречено невъзможно. Такива събития обаче не се използват в проблемите на теорията на вероятностите. Основните понятия, които е много по-важно да познаваме, са съвместни и несъвместни събития.

Случва се при провеждане на експеримент две събития да се случват едновременно. Например, хвърляме два зара - в този случай фактът, че единият хвърля "шестица", не гарантира, че вторият няма да хвърли различно число. Такива събития ще се наричат съвместни.

Ако хвърлим един зар, две числа никога не могат да се появят едновременно. В този случай резултатите под формата на изпуснато „едно“, „две“ и т.н. ще се считат за несъвместими събития. Много е важно да се разграничи кои резултати се получават във всеки конкретен случай - това определя кои формули да се използват в задачата за намиране на вероятности. Ще продължим да изучаваме основните концепции на теорията на вероятностите няколко параграфа по-късно, когато разгледаме характеристиките на събирането и умножението. В крайна сметка без тях нито един проблем не може да бъде решен.

Сума и произведение

Да приемем, че вие и ваш приятел хвърляте зара и получават четворка. За да спечелите, трябва да получите "пет" или "шест". В този случай вероятностите ще се сумират: тъй като шансовете и двете числа да бъдат изтеглени са 1/6, отговорът ще изглежда като 1/6 + 1/6 = 1/3.

Сега си представете, че хвърляте зара два пъти и вашият приятел получава 11 точки. Сега трябва да получите „шестица“ два пъти подред. Събитията са независими едно от друго, така че вероятностите ще трябва да се умножат: 1/6 * 1/6 = 1/36.

Сред основните понятия и теореми на теорията на вероятностите трябва да се обърне внимание на сумата от вероятностите за съвместни събития, т.е. тези, които могат да се случат едновременно. Формулата за добавяне в този случай ще изглежда така: P(A+B) = P(A) + P(B) - P(AB).

Комбинаторика

Много често трябва да намерим всички възможни комбинации от параметри на някои обекти или да изчислим броя на всякакви комбинации (например при избор на шифър). В това ще ни помогне комбинаториката, която е тясно свързана с теорията на вероятностите. Основните понятия тук включват някои нови думи и редица формули от тази тема вероятно ще бъдат полезни.

Да приемем, че имате три числа: 1, 2, 3. Трябва да ги използвате, за да напишете всички възможни трицифрени числа. Колко ще има? Отговор: n! (Удивителен знакозначава факториел). Комбинации от определен брой различни елементи (цифри, букви и др.), Различаващи се само по реда на тяхното подреждане, се наричат пермутации.

Много по-често обаче се натъкваме на тази ситуация: има 10 цифри (от нула до девет), от които се прави парола или код. Да приемем, че дължината му е 4 знака. Как да изчислим общия брой възможни кодове? За това има специална формула: (n!)/(n - m)!

Като се има предвид условието на проблема, предложено по-горе, n=10, m=4. Освен това са необходими само прости математически изчисления. Между другото, такива комбинации ще се наричат поставяне.

И накрая, има концепцията за комбинации - това са последователности, които се различават една от друга с поне един елемент. Техният брой се изчислява по формулата: (n!) / (m!(n-m)!).

Очаквана стойност

Важна концепция, с която ученикът се сблъсква още в първите уроци по предмета, е математическото очакване. Това е сумата от всички възможни произтичащи стойности, умножени по техните вероятности. По същество това е средното число, което можем да предвидим като резултат от теста. Например, има три стойности, за които вероятностите са посочени в скоби: 0 (0,2); 1 (0,5); 2 (0,3). Нека изчислим математическото очакване: M(X) = 0*0,2 + 1*0,5 + 2*0,3 = 1,1. Така от предложения израз може да се види, че тази стойност е постоянна и не зависи от резултата от теста.

Тази концепция се използва в много формули и ще я срещнете няколко пъти в бъдеще. Не е трудно да се работи с него: математическото очакване на сумата е равно на сумата на мат. очаквания - M(X+Y) = M(X) + M(Y). Същото важи и за продукта: M(XY) = M(X) * M(Y).

дисперсия

Вероятно си спомняте от училищния си курс по физика, че дисперсията е разсейване. Какво е мястото му сред основните понятия на теорията на вероятностите?

Вижте два примера. В един случай ни е дадено: 10(0,2); 20 (0,6); 30 (0,2). В друга - 0(0,2); 20 (0,6); 40 (0,2). Математическото очакване и в двата случая ще бъде същото, така че как тогава тези ситуации могат да бъдат сравнени? В крайна сметка виждаме с просто око, че разпространението на стойностите във втория случай е много по-голямо.

Ето защо беше въведено понятието дисперсия. За да се получи, е необходимо да се изчисли математическото очакване от сумата на разликите на всяка случайна величина и математическото очакване. Нека вземем числата от първия пример, написан в предишния параграф.

Първо, нека изчислим математическото очакване: M(X) = 10*0,2 + 20*0,6 + 30*0,2 = 20. След това стойността на дисперсията: D(X) = 40.

Друга основна концепция на статистиката и теорията на вероятностите е стандартното отклонение. Много е лесно да се изчисли: просто трябва да вземете корен квадратенот дисперсия.

Тук можем да отбележим и такъв прост термин като обхват. Това е стойност, която представлява разликата между максималните и минималните стойности в извадката.

Статистика

Някои основни училищни концепции се използват много често в науката. Две от тях са средноаритметичната и медианата. Със сигурност се сещате как да откриете техните значения. Но за всеки случай, нека ви напомним: средноаритметичната стойност е сумата от всички стойности, разделена на техния брой. Ако има 10 стойности, тогава ги събираме и разделяме на 10.

Медианата е централната стойност сред всички възможни стойности. Ако имаме нечетен брой количества, тогава ги изписваме във възходящ ред и избираме това, което е в средата. Ако имаме четен брой стойности, вземаме централните две и делим на две.

Още две стойности, разположени между медианата и двете крайни - максимална и минимална - стойности на набора, се наричат квартили. Изчисляват се по един и същ начин – при нечетен брой на елементите се взема числото, намиращо се в средата на реда, а при четен брой на елементите се взема половината от сбора на двата централни елемента.

Има и специална графика, на която можете да видите всички стойности на извадката, нейния обхват, медиана, интерквартилен интервал, както и отклонения - стойности, които не се вписват в статистическата грешка. Полученото изображение има много специфично (и дори нематематическо) име - „кутия с мустаци“.

Разпределение

Разпределението е свързано и с основните концепции на теорията на вероятностите и математическата статистика. Накратко, той представлява обобщена информация за всички случайни променливи, които можем да видим в резултат на тест. Основният параметър тук ще бъде вероятността за поява на всяка конкретна стойност.

Нормално разпределение е това, което има един централен пик, съдържащ стойността, която се среща най-често. Все по-малко вероятните резултати се отклоняват от него в дъги. Като цяло графиката изглежда като „слайд“ отвън. По-късно ще научите, че този тип разпределение е тясно свързано с централната гранична теорема, фундаментална за теорията на вероятностите. Той описва важни модели за клона на математиката, който разглеждаме, които са много полезни при различни изчисления.

Но да се върнем на темата. Има още два вида разпределение: асиметрично и мултимодално. Първият изглежда като половината от „нормална“ графика, т.е. дъгата се спуска само от едната страна от пиковата стойност. И накрая, мултимодалното разпределение е такова, в което има няколко „горни“ стойности. Така графиката или се понижава, или се покачва. Най-честата стойност във всяко разпределение се нарича режим. Това е и една от основните концепции на теорията на вероятностите и математическата статистика.

Гаусово разпределение

Гаусово или нормално разпределение е такова, при което отклонението на наблюденията от средното се подчинява на определен закон.

Накратко, основното разпространение на примерните стойности клони експоненциално към режима - най-честият от тях. По-точно, 99,6% от всички стойности се намират в рамките на три стандартни отклонения (не забравяйте, че обсъждахме тази концепция по-горе?).

Разпределението на Гаус е една от основните концепции на теорията на вероятностите. Използвайки го, можете да разберете дали даден елемент според определени параметри е включен в категорията „типичен“ - така се оценяват височината и теглото на човек в съответствие с възрастта, нивото на интелектуално развитие, психологическото състояние и много други .

Как да кандидатствам

Интересното е, че „скучните“ математически данни могат да бъдат използвани във ваша полза. Например, един млад мъж използва теорията на вероятностите и статистиката, за да спечели няколко милиона долара на рулетка. Вярно, преди това трябваше да се подготвя - да записвам резултатите от игрите в различни казина в продължение на няколко месеца.

След като извърши анализа, той установи, че една от таблиците е леко наклонена, което означава, че редица стойности се появяват статистически значимо по-често от други. Малко изчисление и търпение - и сега собствениците на заведението се почесват по главите, чудейки се как може човек да има такъв късмет.

Има цял набор от ежедневни ежедневни проблеми, които не могат да бъдат решени без да се прибягва до статистика. Например, как да определите колко дрехи трябва да поръча един магазин в различни размери: S, M, L, XL? За да направите това, е необходимо да анализирате кой най-често купува дрехи в града, в региона, в близките магазини. Ако такава информация не бъде получена, собственикът рискува да загуби много пари.

Заключение

Разгледахме цял набор от основни концепции на теорията на вероятностите: тест, събитие, пермутации и разположения, очаквана стойност и дисперсия, режим и нормално разпределение... Освен това разгледахме редица формули, които отнемат повече от месец паралелки за обучение във висше учебно заведение.

Не забравяйте: математиката е необходима, когато изучавате икономика, природни науки, информационни технологии и инженерство. Тук също не може да се пренебрегне статистиката като една от неговите области.

Сега е въпрос на малки неща: практика, решаване на задачи и примери. Дори основните концепции и дефиниции на теорията на вероятностите ще бъдат забравени, ако не отделите време за преглед. Освен това следващите формули до голяма степен ще разчитат на тези, които разгледахме. Затова се опитайте да ги запомните, особено след като няма много от тях.

Мама изми рамката

В края на дългите летни ваканции е време бавно да се върнем към висшата математика и тържествено да отворим празния файл Verdov, за да започнем да създаваме нов раздел - . Признавам, първите редове не са лесни, но първата стъпка е половината път, така че предлагам на всички внимателно да проучат уводната статия, след което овладяването на темата ще бъде 2 пъти по-лесно! Изобщо не преувеличавам. …В навечерието на поредния първи септември си спомням за първи клас и буквара…. Буквите образуват срички, сричките образуват думи, думите образуват кратки изречения - мама изми рамката. Овладяването на оборотна и математическа статистика е толкова лесно, колкото да се научите да четете! За целта обаче трябва да знаете ключови термини, понятия и обозначения, както и някои специфични правила, които са предмет на този урок.

Но първо, моля, приемете моите поздравления за началото (продължение, завършване, отбележете като подходящо) на учебната година и приемете подаръка. Най-добрият подарък е книга, а за самостоятелна работа препоръчвам следната литература:

1) Гмурман В.Е. Теория на вероятностите и математическа статистика

Легендарен учебник, претърпял повече от десет преиздания. Отличава се с разбираемост и изключително просто представяне на материала, а първите глави са напълно достъпни, мисля, вече за ученици от 6-7 клас.

2) Гмурман В.Е. Ръководство за решаване на задачи по теория на вероятностите и математическа статистика

Книга с решения от същия Владимир Ефимович с подробни примери и задачи.

НЕОБХОДИМОизтеглете и двете книги от интернет или вземете хартиените им оригинали! Версията от 60-те и 70-те години също ще работи, което е още по-добре за манекени. Въпреки че фразата „теория на вероятностите за манекени“ звучи доста нелепо, тъй като почти всичко е ограничено до елементарни аритметични операции. Прескачат обаче на места производниИ интеграли, но това е само на места.

Ще се опитам да постигна същата яснота на изложението, но трябва да предупредя, че курсът ми е насочен към разрешаване на проблеми теоретичните изчисления са сведени до минимум. Така че, ако имате нужда от подробна теория, доказателства за теореми (теореми-теореми!), моля, вижте учебника. Е, кой иска научете се да решавате проблемипо теория на вероятностите и математическа статистика в най-кратки срокове, Следвай ме!

Стига като за начало =)

Докато четете статиите, препоръчително е да се запознаете (поне накратко) с допълнителни задачи от разглежданите видове. На страницата Готови решения по висша математикаЩе бъдат публикувани съответните pdf файлове с примери за решения. Ще бъде предоставена и значителна помощ IDZ 18.1 Рябушко(по-просто) и решен IDZ според колекцията на Чудесенко(по-трудно).

1) Количестводве събития и събитието се нарича, което е, че ще се случи илисъбитие илисъбитие илидвете събития едновременно. В случай, че събитията несъвместими, последната опция изчезва, тоест може да се появи илисъбитие илисъбитие .

Правилото важи и за по-голям брой термини, например събитието е какво ще се случи поне единот събития , А ако събитията са несъвместими – тогава едно нещо и само едно нещосъбитие от тази сума: илисъбитие, илисъбитие, илисъбитие, илисъбитие, илисъбитие .

Има много примери:

Събития (при хвърляне на зар, 5 точки няма да се появят) е това, което ще се появи или 1, или 2, или 3, или 4, или 6 точки.

Събитие (ще падне няма повечедве точки) е, че ще се появи 1 или 2точки.

Събитие (ще има четен брой точки) е това, което се появява или 2 или 4 или 6 точки.

Събитието е, че от тестето ще бъде изтеглен червен картон (сърце). илитамбура) и събитието – че „картината“ ще бъде извлечена (жак илидама иликрал илиасо).

Малко по-интересен е случаят със съвместните събития:

Събитието е, че ще бъде изтеглен клуб от тестето илиседем илиседем клуба Според дефиницията, дадена по-горе, поне нещо- или който и да е клуб или която и да е седморка или тяхната "пресечна точка" - седморка от клубове. Лесно е да се изчисли, че това събитие съответства на 12 елементарни изхода (9 клубни карти + 3 оставащи седмици).

Събитието е, че утре в 12.00 ще дойде ПОНЕ ЕДНО от сумираните съвместни събития, а именно:

– или ще има само дъжд / само гръмотевична буря / само слънце;
– или ще се случи само някаква двойка събития (дъжд + гръмотевична буря / дъжд + слънце / гръмотевична буря + слънце);
– или и трите събития ще се появят едновременно.

Тоест събитието включва 7 възможни изхода.

Вторият стълб на алгебрата на събитията:

2) Работатадве събития и наричаме събитие, което се състои в съвместното възникване на тези събития, с други думи, умножаването означава, че при определени обстоятелства ще има Исъбитие, Исъбитие . Подобно твърдение е вярно за по-голям брой събития, например произведението предполага, че при определени условия ще се случи Исъбитие, Исъбитие, Исъбитие, …, Исъбитие .

Помислете за тест, при който се хвърлят две монети и следните събития:

– главите ще се появят на 1-вата монета;
– 1-вата монета ще приземи глави;
– глави ще се появят на 2-ра монета;
– втората монета ще приземи глави.

Тогава:
Ина 2-ри) ще се появят глави;
– събитието е, че и на двете монети (на 1-ви Ина 2-ри) ще бъдат глави;
– събитието е, че 1-вата монета ще приземи глави И 2-рата монета е опашки;
– събитието е, че 1-вата монета ще приземи глави Ина 2-рата монета има орел.

Лесно се вижда, че събитията несъвместими (защото, например, не може да има 2 глави и 2 опашки едновременно)и форма пълна група (тъй като взети под внимание всичковъзможни резултати от хвърляне на две монети). Нека обобщим тези събития: . Как да тълкуваме този запис? Много просто - умножението означава логическа връзка И, и допълнение – ИЛИ. Така сумата се чете лесно на разбираем човешки език: „ще се появят две глави илидве глави илипървата монета ще приземи глави Ина 2-ри опашки илипървата монета ще приземи глави Ина 2-ра монета има орел"

Това беше пример, когато в един тестучастват няколко предмета, в случая две монети. Друга често срещана схема в практическите задачи е повторно тестване , когато например един и същи зар се хвърля 3 пъти подред. Като демонстрация разгледайте следните събития:

– при 1-во хвърляне ще получите 4 точки;
– при 2-ро хвърляне ще получите 5 точки;
– при 3-то хвърляне ще получите 6 точки.

Тогава събитието е, че при първото хвърляне ще получите 4 точки Ипри второто хвърляне ще получите 5 точки Ипри 3-то хвърляне ще получите 6 точки. Очевидно в случай на куб ще има значително повече комбинации (резултати), отколкото ако хвърляме монета.

...Разбирам, че може би примерите, които анализираме, не са много интересни, но това са неща, които често се срещат при проблеми и от тях няма спасение. В допълнение към монета, куб и тесте карти ви очакват урни с разноцветни топки, няколко анонимни хора, стрелящи по мишена, и неуморен работник, който непрекъснато шлифова някои детайли =)

Вероятност за събитие

Вероятност за събитие е централната концепция на теорията на вероятностите. ...Убийствено логично нещо, но трябваше да започнем отнякъде =) Има няколко подхода към дефинирането му:

;
Геометрично определение на вероятността ;
Статистическа дефиниция на вероятността .

В тази статия ще се съсредоточа върху класическата дефиниция на вероятността, която е най-широко използвана в образователни задачи.

Наименования. Вероятността за определено събитие се обозначава с главна латинска буква, а самото събитие се взема в скоби, действайки като вид аргумент. Например:

Освен това малката буква се използва широко за означаване на вероятност. По-специално, можете да се откажете от тромавите обозначения на събития и техните вероятности в полза на следния стил::

– вероятността хвърлянето на монета да доведе до глави;
– вероятността хвърлянето на зара да доведе до 5 точки;
– вероятността карта от трефата да бъде изтеглена от тестето.

Тази опция е популярна при решаване на практически проблеми, тъй като ви позволява значително да намалите записването на решението. Както в първия случай, тук е удобно да използвате „говорещи“ индекси/горни индекси.

Всички отдавна познаха числата, които току-що записах по-горе, а сега ще разберем как се оказаха:

Класическа дефиниция на вероятността:

Вероятността за възникване на събитие при определен тест се нарича съотношение , където:

– общ брой на всички еднакво възможно, елементаренрезултатите от този тест, които формират пълна група от събития;

- количество елементаренрезултати, благоприятен събитие.

При хвърляне на монета могат да паднат или глави, или опашки - тези събития се формират пълна група, следователно, общият брой резултати; същевременно всеки от тях елементаренИ еднакво възможно. Събитието се облагодетелства от резултата (глави). Според класическата дефиниция на вероятността: .

По същия начин, в резултат на хвърляне на зар, могат да се появят елементарни еднакво възможни резултати, образуващи пълна група, и събитието се облагодетелства от един изход (хвърляне на петица). Ето защо: ТОВА НЕ Е ПРИЕТО ДА СЕ ПРАВИ (въпреки че не е забранено да изчислявате проценти наум).

Обичайно е да се използват дроби от единица, и очевидно вероятността може да варира в рамките на . Освен това, ако , тогава събитието е невъзможен, ако - надежден, а ако , тогава говорим за случаенсъбитие.

! Ако при решаване на някакъв проблем получите друга стойност на вероятността, потърсете грешката!

В класическия подход за определяне на вероятността екстремните стойности (нула и едно) се получават чрез абсолютно същите разсъждения. Нека 1 топка бъде изтеглена на случаен принцип от определена урна, съдържаща 10 червени топки. Помислете за следните събития:

в единичен опит няма да се случи събитие с малка вероятност.

Ето защо няма да спечелите джакпота в лотарията, ако вероятността за това събитие е, да речем, 0,00000001. Да, да, това си ти – с единствения билет в определен тираж. По-големият брой билети и по-големият брой тиражи обаче няма да ви помогнат много. ...Когато разказвам на другите за това, почти винаги чувам в отговор: „но някой печели“. Добре, тогава нека направим следния експеримент: моля, купете билет за която и да е лотария днес или утре (не отлагайте!). И ако спечелите... е, поне повече от 10 килорубли, не забравяйте да се регистрирате - ще обясня защо се случи това. За процент разбира се =) =)

Но няма нужда да бъдете тъжни, защото има обратен принцип: ако вероятността за някое събитие е много близка до единица, тогава в едно изпитание ще почти сигурноще се случи. Ето защо, преди да скочите с парашут, няма нужда да се страхувате, напротив, усмихнете се! В крайна сметка трябва да възникнат напълно немислими и фантастични обстоятелства, за да се провалят и двата парашута.

Въпреки че всичко това е лирика, тъй като в зависимост от съдържанието на събитието първият принцип може да се окаже весел, а вторият - тъжен; или дори и двете успоредни.

Може би това е достатъчно за сега, в час Класически вероятностни проблемище извлечем максимума от формулата. В последната част на тази статия ще разгледаме една важна теорема:

Сумата от вероятностите за събития, които образуват пълна група, е равна на единица. Грубо казано, ако събитията образуват пълна група, тогава със 100% вероятност едно от тях ще се случи. В най-простия случай пълна група се формира от противоположни събития, например:

– в резултат на хвърляне на монета ще се появят глави;
– резултатът от хвърляне на монета ще бъдат глави.

Според теоремата:

Абсолютно ясно е, че тези събития са еднакво възможни и вероятностите им са еднакви .

Поради равенството на вероятностите често се наричат еднакво възможни събития еднакво вероятно . А ето и усукване на езика за определяне на степента на интоксикация =)

Пример с куб: събитията са противоположни, следователно .

Разглежданата теорема е удобна с това, че ви позволява бързо да намерите вероятността от обратното събитие. Така че, ако е известна вероятността петицата да бъде хвърлена, лесно е да се изчисли вероятността тя да не бъде хвърлена:

Това е много по-просто от сумирането на вероятностите за пет елементарни изхода. За елементарни резултати, между другото, тази теорема също е вярна:
. Например, ако е вероятността стрелецът да уцели целта, тогава е вероятността той да пропусне.

! В теорията на вероятностите е нежелателно да се използват букви за други цели.

В чест на Деня на знанието няма да задавам домашна =), но е много важно да можете да отговорите на следните въпроси:

– Какви видове събития съществуват?
– Какво е случайност и равна възможност за събитие?
– Как разбирате термините съвместимост/несъвместимост на събитията?
– Какво е пълна група от събития, противоположни събития?
– Какво означава събиране и умножение на събития?
– Каква е същността на класическата дефиниция на вероятността?
– Защо е полезна теоремата за събиране на вероятностите за събития, които образуват пълна група?

Не, не е нужно да тъпчете нищо, това са само основите на теорията на вероятностите - един вид буквар, който бързо ще се побере в главата ви. И за да се случи това възможно най-скоро, ви предлагам да се запознаете с уроците