Нека анализираме свойствата на функцията според схемата: Нека анализираме според схемата: 1. област на дефиниране на функцията 1. област на дефиниция на функцията 2. набор от стойности на функцията 2. набор от стойности на функцията 3. нули на функцията 3. нули на функцията 4. интервали с постоянен знак на функцията 4. интервали с постоянен знак на функцията 5. четно или нечетно на функция 5. четно или нечетно на a функция 6. монотонност на функция 6. монотонност на функция 7. най-големи и най-малки стойности 8. периодичност на функция 9. ограниченост на функция 9. ограниченост на функция
0 за x R. 5) Функцията не е нито четна, нито "title=" Експоненциална функция, нейната графика и свойства y x 1 o 1) Областта на дефиниция е множеството от всички реални числа (D(y)= R). 2) Наборът от стойности е наборът от всички положителни числа (E(y)=R +). 3) Няма нули. 4) y>0 за x R. 5) Функцията не е нито четна, нито" class="link_thumb"> 10 !}Експоненциална функция, нейната графика и свойства y x 1 o 1) Областта на дефиниция е множеството от всички реални числа (D(y)=R). 2) Наборът от стойности е наборът от всички положителни числа (E(y)=R +). 3) Няма нули. 4) y>0 за x R. 5) Функцията не е нито четна, нито нечетна. 6) Функцията е монотонна: тя нараства с R, когато a>1 и намалява с R, когато е 0 0 за x R. 5) Функцията не е нито четна, нито "> 0 за x R. 5) Функцията не е нито четна, нито нечетна. 6) Функцията е монотонна: нараства при R за a>1 и намалява при R за 0"> 0 за x R. 5) Функцията не е нито четна, нито " title=" Експоненциална функция, нейната графика и свойства y x 1 o 1) Областта на дефиниция е множеството от всички реални числа (D( y)=R). 2) Наборът от стойности е наборът от всички положителни числа (E(y)=R +). 3) Няма нули. 4) y>0 за x R. 5) Функцията не е нито четна, нито"> title="Експоненциална функция, нейната графика и свойства y x 1 o 1) Областта на дефиниция е множеството от всички реални числа (D(y)=R). 2) Наборът от стойности е наборът от всички положителни числа (E(y)=R +). 3) Няма нули. 4) y>0 за x R. 5) Функцията не е нито четна, нито"> !}
Растежът на дървесината се извършва по закона, където: А - промяна в количеството на дървесината във времето; A 0 - първоначално количество дърва; t-време, k, a- някои константи. Растежът на дървесината става по закона, където: А - промяна в количеството на дървесината във времето; A 0 - първоначално количество дърва; t-време, k, a- някои константи. t 0 t0t0 t1t1 t2t2 t3t3 tntn A A0A0 A1A1 A2A2 A3A3 AnAn
Температурата на чайника се променя по закона, където: T е промяната на температурата на чайника във времето; T 0 - точка на кипене на водата; t-време, k, a- някои константи. Температурата на чайника се променя по закона, където: T е промяната на температурата на чайника във времето; T 0 - точка на кипене на водата; t-време, k, a- някои константи. t 0 t0t0 t1t1 t2t2 t3t3 tntn T T0T0 T1T1 T2T2 T3T3
Радиоактивното разпадане се извършва съгласно закона, където: Радиоактивното разпадане се извършва съгласно закона, където: N е броят на неразпадналите се атоми във всеки момент t; N 0 - начален брой атоми (в момент t=0); t-време; N е броят на неразпадналите се атоми по всяко време t; N 0 - начален брой атоми (в момент t=0); t-време; Т - полуживот. Т - полуживот. t 0 t 1 t 2 N N3N3 N4N4 t4t4 N0N0 t3t3 N2N2 N1N1
C Основно свойство на органичните процеси и промените в количествата е, че за еднакви периоди от време стойността на дадено количество се променя в същото съотношение. Растеж на дървесината Промяна в температурата на котела Промяна на въздушното налягане. Процесите на органични промени в количествата включват: Радиоактивно разпадане
Сравнете числата 1.3 34 и 1.3 40. Пример 1. Сравнете числата 1.3 34 и 1.3 40. Общ метод на решение. 1. Представете числата като степени с една и съща основа (ако е необходимо) 1.3 34 и 1. Открийте дали показателната функция a = 1.3 е нарастваща или намаляваща; a>1, тогава експоненциалната функция нараства. а=1,3; a>1, тогава експоненциалната функция нараства. 3. Сравнете експоненти (или аргументи на функция) 34 1, тогава експоненциалната функция нараства. а=1,3; a>1, тогава експоненциалната функция нараства. 3. Сравнете експоненти (или аргументи на функция) 34"> 
Решете графично уравнението 3 x = 4-x. Пример 2. Решете графично уравнението 3 x = 4-x Решение. Използваме функционално-графичния метод за решаване на уравнения: ще построим графики на функциите y=3x и y=4x в една координатна система. графики на функции y=3x и y=4x. Забелязваме, че те имат една обща точка (1;3). Това означава, че уравнението има един корен x=1. Отговор: 1 Отговор: 1 y=4
4. Пример 3. Решете графично неравенството 3 x > 4-x. Решение. y=4-x Използваме функционално-графичния метод за решаване на неравенства: 1. Да построим в една система 1. Да построим в една координатна система графики на функциите " title="Решете графично неравенството 3 x > 4-x Пример 3. Решете графично неравенство 3 x > 4-x Решение." class="link_thumb"> 24 !}Решете графично неравенството 3 x > 4-x. Пример 3. Решете графично неравенството 3 x > 4-x. Решение. y=4-x Използваме функционално-графичния метод за решаване на неравенства: 1. Да построим в една координатна система графики на функции на координатни графики на функции y=3 x и y=4-x. 2. Изберете частта от графиката на функцията y=3x, която се намира над (от знака >) на графиката на функцията y=4x. 3. Маркирайте върху оста x частта, която съответства на избраната част от графиката (с други думи: проектирайте избраната част от графиката върху оста x). 4. Нека запишем отговора като интервал: Отговор: (1;). Отговор: (1;). 4. Пример 3. Решете графично неравенството 3 x > 4-x. Решение. y = 4-x Използваме функционално-графичния метод за решаване на неравенства: 1. Да построим в една система 1. Да построим графики на функции "> 4-x в една координатна система. Пример 3. Решете графично неравенството 3 x > 4-x Решение Използваме функционално-графичния метод за решаване на неравенствата: 1. Да построим в една координатна система графиките на функциите y=3 x и y=4-x 2. Изберете част от графиката на функцията y=3.x, разположена над (от знака >) на графиката на функцията y=4-x 3. Маркирайте по оста x частта, която съответства на избраната част на графиката (с други думи: проектирайте избраната част от графиката върху оста х. Запишете отговора като интервал: Отговор: (1;)."> 4. Пример 3. Решете графично неравенството 3 x > 4-x. Решение. y=4-x Използваме функционално-графичния метод за решаване на неравенства: 1. Да построим в една система 1. Да построим в една координатна система графики на функциите " title="Решете графично неравенството 3 x > 4-x.Решете графично неравенство 3 x > 4-x Решение."> title="Решете графично неравенството 3 x > 4-x. Пример 3. Решете графично неравенството 3 x > 4-x. Решение. y=4-x Използваме функционално-графичния метод за решаване на неравенства: 1. Да построим графики на функции в една координатна система"> !}
Решете графично неравенствата: 1) 2 x >1; 2) 2 х 1; 2) 2 x "> 1; 2) 2 x "> 1; 2) 2 x " title="Решете графично неравенствата: 1) 2 x >1; 2) 2 х"> title="Решете графично неравенствата: 1) 2 x >1; 2) 2 х"> !}
Самостоятелна работа (тест) 1. Посочете показателната функция: 1. Посочете показателната функция: 1) y=x 3 ; 2) y=x 5/3; 3) y=3 x+1; 4) y=3 x+1. 1) y=x 3; 2) y=x 5/3; 3) y=3 x+1; 4) y=3 x+1. 1) y=x2; 2) y=x -1; 3) y=-4+2 x; 4) y=0,32 x. 1) y=x2; 2) y=x -1; 3) y=-4+2 x; 4) y=0,32 x. 2. Посочете функция, която расте в цялата област на дефиниция: 2. Посочете функция, която нараства в цялата област на дефиниция: 1) y = (2/3) -x; 2) y=2 -x; 3) y = (4/5) x; 4) y = 0,9 x. 1) y = (2/3) -x; 2) y=2 -x; 3) y = (4/5) x; 4) y = 0,9 x. 1) y = (2/3) x; 2) y=7,5 x; 3) y = (3/5) x; 4) y = 0,1 x. 1) y = (2/3) x; 2) y=7,5 x; 3) y = (3/5) x; 4) y = 0,1 x. 3. Посочете функция, която намалява в цялата област на дефиниция: 3. Посочете функция, която намалява в цялата област на дефиниция: 1) y = (3/11) -x; 2) y=0,4 x; 3) y = (10/7) x; 4) y = 1,5 x. 1) y = (2/17) -x; 2) y=5,4 x; 3) у =0,7 х; 4) y = 3 x. 4. Посочете набора от стойности на функцията y=3 -2 x -8: 4. Посочете набора от стойности на функцията y=2 x+1 +16: 5. Посочете най-малката от дадените числа: 5. Посочете най-малкото от дадените числа: 1) 3 - 1/3 ; 2) 27 -1/3; 3) (1/3) -1/3; 4) 1 -1/3. 1) 3 -1/3; 2) 27 -1/3; 3) (1/3) -1/3; 4) 1 -1/3. 5. Посочете най-голямото от тези числа: 1) 5 -1/2; 2) 25 -1/2; 3) (1/5) -1/2; 4) 1 -1/2. 1) 5 -1/2; 2) 25 -1/2; 3) (1/5) -1/2; 4) 1 -1/2. 6. Намерете графично колко корена има уравнението 2 x = x -1/3 (1/3) x = x 1/2 6. Намерете графично колко корена има уравнението 2 x = x -1/3 (1 /3) има x = x 1/2 1) 1 корен; 2) 2 корена; 3) 3 корена; 4) 4 корена.
1. Посочете експоненциалната функция: 1) y=x 3; 2) y=x 5/3; 3) y=3 x+1; 4) y=3 x+1. 1) y=x 3; 2) y=x 5/3; 3) y=3 x+1; 4) y=3 x Посочете функция, която нараства в цялата област на дефиниция: 2. Посочете функция, която нараства в цялата област на дефиниция: 1) y = (2/3)-x; 2) y=2-x; 3) y = (4/5)x; 4) y = 0,9 x. 1) y = (2/3)-x; 2) y=2-x; 3) y = (4/5)x; 4) y = 0,9 x. 3. Посочете функция, която намалява в цялата област на дефиниция: 3. Посочете функция, която намалява в цялата област на дефиниция: 1) y = (3/11)-x; 2) y=0,4 x; 3) y = (10/7)x; 4) y = 1,5 x. 1) y = (3/11)-x; 2) y=0,4 x; 3) y = (10/7)x; 4) y = 1,5 x. 4. Посочете набора от стойности на функцията y=3-2 x-8: 4. Посочете набора от стойности на функцията y=3-2 x-8: 5. Посочете най-малката от дадените числа: 5. Посочете най-малкото от дадените числа: 1) 3- 1/3; 2) 27-1/3; 3) (1/3)-1/3; 4) 1-1/3. 1) 3-1/3; 2) 27-1/3; 3) (1/3)-1/3; 4) 1-1/3. 6. Намерете графично колко корена има уравнението 2 x=x- 1/3 6. Намерете графично колко корена има уравнението 2 x=x- 1/3 1) 1 корен; 2) 2 корена; 3) 3 корена; 4) 4 корена. 1) 1 корен; 2) 2 корена; 3) 3 корена; 4) 4 корена. Контролна работа Изберете показателни функции, които: Изберете показателни функции, които: I вариант – намаляват върху областта на дефиниране; Вариант I – намаляване на зоната на дефиниране; Вариант II - увеличаване на зоната на дефиниране. Вариант II - увеличаване на зоната на дефиниране.
Концентрация на вниманието:
Определение. функция вид се нарича експоненциална функция .
Коментирайте. Изключване от базовите стойности ачисла 0; 1 и отрицателни стойности асе обяснява със следните обстоятелства:
Самият аналитичен израз a xв тези случаи той запазва значението си и може да се използва при решаване на проблеми. Например за израза x yточка х = 1; г = 1 е в границите на допустимите стойности.
Постройте графики на функции: и.
 |
 |
| Графика на експоненциална функция | |
| y =а х, a > 1 | y =а х , 0< a < 1 |
 |
 |
Свойства на експоненциалната функция
| Свойства на експоненциалната функция | y =а х, a > 1 | y =а х , 0< a < 1 |
|
||
| 2. Функционален диапазон | ||
| 3. Интервали на сравнение с единица | при х> 0, а х > 1 | при х > 0, 0< a х < 1 |
| при х < 0, 0< a х < 1 | при х < 0, a х > 1 | |
| 4. Четно, нечетно. | Функцията не е нито четна, нито нечетна (функция от общ вид). | |
| 5.Монотонност. | монотонно нараства с Р | намалява монотонно с Р |
| 6. Крайности. | Експоненциалната функция няма екстремуми. | |
| 7.Асимптота | О-ос хе хоризонтална асимптота. | |
| 8. За всякакви реални стойности хИ г; |  |
|
При попълване на таблицата успоредно с попълването се решават задачи.
Задача № 1. (Да се намери област на дефиниция на функция).
Какви стойности на аргументи са валидни за функции:
Задача № 2. (За намиране на диапазона от стойности на функция).
Фигурата показва графиката на функцията. Посочете домейна на дефиницията и диапазона от стойности на функцията:
 |
 |
 |
 |
Задача № 3. (Да се посочат интервалите на сравнение с единица).
Сравнете всяка от следните мощности с една:
Задача № 4. (Да се изследва функцията за монотонност).
Сравнете реални числа по размер мИ нАко:
Задача № 5. (Да се изследва функцията за монотонност).
Направете заключение относно основата а, ако:
y(x) = 10 x ; f(x) = 6 x; z(x) - 4x
Как са графиките на експоненциалните функции една спрямо друга за x > 0, x = 0, x< 0?
Следните графики на функциите са начертани в една координатна равнина:
y(x) = (0,1) x ; f(x) = (0,5) x ; z(x) = (0,8) x.
Как са графиките на експоненциалните функции една спрямо друга за x > 0, x = 0, x< 0?
| Номер
една от най-важните константи в математиката. По дефиниция то равен на границата на редицата
с неограничен
увеличаване на n
. Обозначаване двъведени Леонард Ойлер
през 1736 г. Той изчислява първите 23 цифри от това число в десетична система, а самото число е наречено в чест на Напиер „числото, което не е Пиер“.
Номер диграе специална роля в математическия анализ. Експоненциална функция с основа д, наречен експонента и е обозначен y = e x. Първи признаци числа длесно за запомняне: две, запетая, седем, година на раждане на Лев Толстой - два пъти, четиридесет и пет, деветдесет, четиридесет и пет. |
 |
Домашна работа:
Колмогоров параграф 35; No 445-447; 451; 453.
Повторете алгоритъма за построяване на графики на функции, съдържащи променлива под знака на модула.
За да използвате визуализации на презентации, създайте акаунт в Google и влезте в него: https://accounts.google.com
MAOU "Средно училище Сладковская" Експоненциална функция, нейните свойства и графика, 10 клас
Функция от вида y = a x, където a е дадено число, a > 0, a ≠ 1, x-променливата, се нарича експоненциална.
Експоненциалната функция има следните свойства: O.O.F: множеството R на всички реални числа; Многовалентен: множеството от всички положителни числа; Експоненциалната функция y=a x нараства върху множеството от всички реални числа, ако a>1, и намалява, ако 0
Графики на функцията y=2 x и y=(½) x 1. Графиката на функцията y=2 x минава през точката (0;1) и се намира над оста Ox. a>1 D(y): x є R E(y): y > 0 Увеличава се в цялата област на дефиниция. 2. Графиката на функцията y= също минава през точката (0;1) и се намира над оста Ox.
Използвайки увеличаващите се и намаляващи свойства на експоненциална функция, можете да сравнявате числа и да решавате експоненциални неравенства. Сравнете: а) 5 3 и 5 5; б) 4 7 и 4 3; в) 0,2 2 и 0,2 6; г) 0,9 2 и 0,9. Решете: а) 2 x >1; б) 13 x+1 0,7; d) 0,04 x a b или a x 1, тогава x>b (x
Решете графично уравненията: 1) 3 x =4-x, 2) 0,5 x =x+3.
Ако извадите врящ чайник от огъня, той първо се охлажда бързо, а след това охлаждането става много по-бавно, това явление се описва с формулата T = (T 1 - T 0) e - kt + T 1 Приложение на експоненциална функция в живота, науката и технологиите
Растежът на дървесината става по закона: А - промяна в количеството на дървесината във времето; A 0 - първоначално количество дърва; t - време, k, a - някои константи. Налягането на въздуха намалява с височината според закона: P е налягането на височина h, P0 е налягането на морското равнище и е някаква константа.
Нарастване на населението Промяната в броя на хората в една страна за кратък период от време се описва с формулата, където N 0 е броят на хората в момент t=0, N е броят на хората в момент t, a е константа.
Закон за органичното размножаване: при благоприятни условия (липса на врагове, голямо количество храна) живите организми ще се размножават според закона на експоненциалната функция. Например: една домашна муха може да създаде 8 x 10 14 потомство през лятото. Тяхното тегло ще бъде няколко милиона тона (и теглото на потомството на двойка мухи ще надвиши теглото на нашата планета), те ще заемат огромно пространство и ако са подредени във верига, дължината й ще бъде по-голяма отколкото разстоянието от Земята до Слънцето. Но тъй като, освен мухите, има много други животни и растения, много от които са естествени врагове на мухите, техният брой не достига горните стойности.
Когато радиоактивното вещество се разпадне, количеството му намалява, след известно време остава половината от първоначалното вещество. Този период от време t 0 се нарича полуживот. Общата формула за този процес е: m = m 0 (1/2) -t/t 0, където m 0 е първоначалната маса на веществото. Колкото по-дълъг е полуживотът, толкова по-бавно се разпада веществото. Това явление се използва за определяне на възрастта на археологическите находки. Радият, например, се разпада по закона: M = M 0 e -kt. Използвайки тази формула, учените изчислиха възрастта на Земята (радият се разпада приблизително за време, равно на възрастта на Земята).
Използването на интеграцията в образователния процес като начин за развитие на аналитични и творчески способности....
Презентацията „Експоненциална функция, нейните свойства и графика“ ясно представя учебен материал по тази тема. По време на презентацията подробно се разглеждат свойствата на показателната функция, нейното поведение в координатната система, разглеждат се примери за решаване на задачи с помощта на свойствата на функцията, уравнения и неравенства и се изучават важни теореми по темата. С помощта на презентация учителят може да подобри ефективността на урока по математика. Яркото представяне на материала помага да се задържи вниманието на учениците върху изучаването на темата, а анимационните ефекти помагат да се демонстрират по-ясно решенията на проблемите. За по-бързо запомняне на понятия, свойства и характеристики на решението се използва цветно подчертаване.
Демонстрацията започва с примери за експоненциалната функция y=3 x с различни степени - положителни и отрицателни цели числа, дроби и десетични знаци. За всеки показател се изчислява стойността на функцията. След това се изгражда графика за същата функция. На слайд 2 е изградена таблица, попълнена с координатите на точките, принадлежащи на графиката на функцията y = 3 x. Въз основа на тези точки на координатната равнина се изгражда съответна графика. Подобни графики y=2 x, y=5 x и y=7 x са построени до графиката. Всяка функция е подчертана в различни цветове. Графиките на тези функции са направени в същите цветове. Очевидно, когато основата на експоненциалната функция се увеличава, графиката става по-стръмна и е по-близо до ординатната ос. Същият слайд описва свойствата на експоненциалната функция. Отбелязва се, че областта на дефиниция е числовата линия (-∞;+∞), функцията не е четна или нечетна, във всички области на дефиниция функцията нараства и няма най-голяма или най-малка стойност. Експоненциалната функция е ограничена отдолу, но не е ограничена отгоре, непрекъсната е в своята област на дефиниция и е изпъкнала надолу. Диапазонът от стойности на функцията принадлежи на интервала (0;+∞).
Слайд 4 представя изследване на функцията y = (1/3) x. Построена е графика на функцията. За да направите това, таблицата се попълва с координатите на точките, принадлежащи на графиката на функцията. С помощта на тези точки се изгражда графика върху правоъгълна координатна система. Свойствата на функцията са описани наблизо. Отбелязва се, че областта на дефиниция е цялата цифрова ос. Тази функция не е нечетна или четна, намаляваща в цялата област на дефиниция и няма максимална или минимална стойност. Функцията y=(1/3) x е ограничена отдолу и неограничена отгоре, непрекъсната е в своята област на дефиниция и има изпъкналост надолу. Диапазонът от стойности е положителната полуос (0;+∞).
Използвайки дадения пример за функцията y = (1/3) x, можем да подчертаем свойствата на експоненциална функция с положителна основа по-малка от единица и да изясним идеята за нейната графика. Слайд 5 показва общия изглед на такава функция y = (1/a) x, където 0 Слайд 6 сравнява графиките на функциите y=(1/3) x и y=3 x. Може да се види, че тези графики са симетрични спрямо ординатата. За да бъде сравнението по-ясно, графиките са оцветени в същите цветове като формулите на функцията. След това е представена дефиницията на експоненциална функция. На слайд 7 в рамката е осветена дефиниция, която показва, че функция от вида y = a x, където положително a, което не е равно на 1, се нарича експоненциална. След това, използвайки таблицата, сравняваме експоненциална функция с основа, по-голяма от 1, и положителна, по-малка от 1. Очевидно почти всички свойства на функцията са подобни, само функция с основа, по-голяма от a, нараства и с основа по-малка от 1, тя е намаляваща. Решението на примерите е обсъдено по-долу. В пример 1 е необходимо да се реши уравнението 3 x =9. Уравнението се решава графично – построяват се графика на функцията y=3 x и графика на функцията y=9. Пресечната точка на тези графики е M(2;9). Съответно решението на уравнението е стойността x=2. Слайд 10 описва решението на уравнението 5 x =1/25. Подобно на предишния пример, решението на уравнението се определя графично. Демонстрира се построяването на графики на функциите y=5 x и y=1/25. Пресечната точка на тези графики е точка E(-2;1/25), което означава, че решението на уравнението е x=-2. След това се предлага да се разгледа решението на неравенството 3 x<27. Решение выполняется графически - определяется точка пересечения графиков у=3 х и у=27. Затем на плоскости координат хорошо видно, при каких значениях аргумента значения функции у=3 х будут меньшими 27 - это промежуток (-∞;3). Аналогично выполняется решение задания, в котором нужно найти множество решений неравенства (1/4) х <16. На координатной плоскости строятся графики функций, соответствующих правой и левой части неравенства и сравниваются значения. Очевидно, что решением неравенства является промежуток (-2;+∞). Следващите слайдове представят важни теореми, които отразяват свойствата на експоненциалната функция. Теорема 1 гласи, че за положително a равенството a m = a n е валидно, когато m = n. Теорема 2 гласи, че за положително a стойността на функцията y=a x ще бъде по-голяма от 1 за положително x и по-малко от 1 за отрицателно x. Твърдението се потвърждава от изображението на графиката на експоненциалната функция, която показва поведението на функцията в различни интервали от областта на дефиниране. Теорема 3 отбелязва, че за 0 След това, за да помогнат на учениците да овладеят материала, те разглеждат примери за решаване на проблеми, използвайки изучавания теоретичен материал. В пример 5 е необходимо да се построи графика на функцията y=2·2 x +3. Принципът на построяване на графика на функция се демонстрира, като първо се преобразува във формата y = a x + a + b функция y = 2 x е конструирана спрямо този произход. Слайд 18 разглежда графичното решение на уравнението 7 x = 8-x. Построени са права y=8x и графика на функцията y=7x. Абсцисата на пресечната точка на графиките x=1 е решението на уравнението. Последният пример описва решението на неравенството (1/4) x =x+5. Начертават се графики на двете страни на неравенството и се отбелязва, че решението му са стойностите (-1;+∞), при които стойностите на функцията y=(1/4) x винаги са по-малки от стойностите y=x+5. Презентацията „Експоненциална функция, нейните свойства и графика“ се препоръчва за повишаване на ефективността на училищния урок по математика. Яснотата на материала в презентацията ще помогне за постигане на учебните цели по време на дистанционен урок. Презентацията може да се предложи за самостоятелна работа на ученици, които не са усвоили достатъчно добре темата в час.
