Нека разгледаме многоканална система за масово обслужване (общо n канала), която получава заявки с интензитет λ и се обслужва с интензитет μ. Заявка, пристигнала в системата, се обслужва, ако поне един канал е свободен. Ако всички канали са заети, тогава следващата заявка, получена в системата, се отхвърля и напуска QS. Нека номерираме състоянията на системата по броя на заетите канали:
Ориз. 7.24
Фигура 6.24 показва графика на състоянието, в която Саз– номер на канал; λ – интензивност на получените заявки; μ
– съответно интензивността на заявките за обслужване. Заявките влизат в системата за опашка с постоянна интензивност и постепенно заемат канали една след друга; когато всички канали са заети, следващата заявка, пристигнала в QS, ще бъде отхвърлена и ще напусне системата.
Нека определим интензитетите на потоците от събития, които прехвърлят системата от състояние в състояние, когато се движат както отляво надясно, така и отдясно наляво по графиката на състоянието.
Например, нека системата е в държавата С 1, т.е. един канал е зает, тъй като на входа му има заявка. Веднага след като обслужването на заявката приключи, системата ще премине в състояние С 0 .
Например, ако два канала са заети, тогава потокът от услуги, който прехвърля системата от състоянието С 2 в състояние С 1 ще бъде два пъти по-интензивен: 2-μ; съответно, ако е заето кканали, интензитетът е k-μ.
Процесът на поддържане е процес на смърт и възпроизводство. Уравненията на Колмогоров за този конкретен случай ще имат следния вид:
(7.25)
Уравненията (7.25) се наричат Уравнения на Ерланг
.
За да се намерят стойностите на вероятностите на състоянията Р 0 , Р 1 , …, Рн, е необходимо да се определят началните условия:
– Р 0 (0) = 1, т.е. има заявка на входа на системата;
– Р 1 (0) = Р 2 (0) = … = Рн(0) = 0, т.е. в началния момент системата е свободна.
След като интегрирахме системата от диференциални уравнения (7.25), получаваме стойностите на вероятностите на състоянието Р 0 (T), Р 1 (T), … Рн(T).
Но ние сме много по-заинтересовани от граничните вероятности на състоянията. При t → ∞ и използвайки формулата, получена при разглеждане на процеса на смърт и размножаване, получаваме решение на системата от уравнения (7.25):
(7.26)
В тези формули съотношението на интензитета λ / μ
към потока от приложения е удобно да се посочи ρ
.Тази величина се нарича даден интензитет на потока от приложения,това е средният брой приложения, пристигащи в QS по време на средното време за обслужване на едно приложение.
Като се вземат предвид направените означения, системата от уравнения (7.26) ще приеме следния вид:
(7.27)
Тези формули за изчисляване на пределните вероятности се наричат Формули на Erlang
.
Познавайки всички вероятности на състоянията на QS, ще намерим характеристиките на ефективността на QS, т.е. абсолютната производителност А, относителна производителност Qи вероятност за провал Ротворен
Приложение, получено от системата, ще бъде отхвърлено, ако установи, че всички канали са заети:
.
Вероятност заявлението да бъде прието за обслужване:
Q = 1 – Ротворен,
Където Q– средният дял на получените заявления, обслужени от системата, или средният брой заявления, обслужени от QS за единица време, разделен на средния брой заявления, получени през това време:
A=λ·Q=λ·(1-P отворен)
В допълнение, една от най-важните характеристики на QS с откази е среден брой заети канали. IN н-канален QS с повреди, този брой съвпада със средния брой приложения в QS.
Средният брой заявки k може да се изчисли директно чрез вероятностите на състоянията P 0, P 1, ..., P n:
,
т.е. намираме математическото очакване на дискретна случайна променлива, която приема стойност от 0 до нс вероятности Р 0 , Р 1 , …, Рн.
Още по-лесно е да изразите стойността на k чрез абсолютния капацитет на QS, т.е. A. Стойност A е средният брой приложения, които се обслужват от системата за единица време. Един зает канал обслужва μ заявки за единица време, след това средният брой заети канали
Система от уравнения
QS с откази за произволен брой обслужващи потоци; векторен модел за поасонови потоци. Графика, система от уравнения.
Нека представим QS като вектор, където к м– броя на приложенията в системата, всяко от които се обслужва мустройства; Л= рмакс – р min +1 – брой входни потоци.
Ако се приеме заявка за обслужване и системата влезе в състояние с интензитет λ м.
Когато обслужването на една от заявките приключи, системата ще премине в състояние, в което съответната координата е с единица по-малка стойност, отколкото в състояние , = , т.е. ще се случи обратният преход.
Пример за векторен QS модел за н = 3, Л = 3, р min = 1, рмакс = 3, П(м) = 1/3, λ Σ = λ, интензивност на поддръжка на устройството – μ.
Използвайки графиката на състоянието с начертани интензитети на прехода, се съставя система от линейни алгебрични уравнения. От решението на тези уравнения се намират вероятностите Р(), чрез които се определят характеристиките на QS.
QS с безкрайна опашка за поасонови потоци. Графика, система от уравнения, изчислителни зависимости.
Системна графика
Система от уравнения
Където н– брой обслужващи канали, л– брой взаимно подпомагащи се канали
QS с безкрайна опашка и частична взаимопомощ за произволни потоци. Графика, система от уравнения, изчислителни зависимости.
Системна графика
Система от уравнения
–λ Р 0 + нμ Р 1 =0,
.………………
–(λ + нμ) P k+ λ P k –1 + нμ P k +1 =0 (к = 1,2, ... , н–1),
……………....
-(λ+ нμ) P n+ λ P n –1 + нμ Р n+1=0,
……………….
-(λ+ нμ) Pn+j+ λ Р n+j –1 + нμ Р n+j+1=0, j=(1,2,….,∞)
Опашка с безкрайна опашка и пълна взаимопомощ за произволни нишки. Графика, система от уравнения, изчислителни зависимости.
Системна графика
|
Система от уравнения
QS с крайна опашка за поасонови потоци. Графика, система от уравнения, изчислителни зависимости.
Системна графика
Система от уравнения
Изчислителни съотношения:
,
UDC 519.248:656.71
МОДЕЛ НА СИСТЕМА ЗА ОПАШКИ С НЕСТАЦИОНАРНИ ПОТОЦИ И ЧАСТИЧНА ВЗАИМНА ПОМОЩ МЕЖДУ КАНАЛИ
© 2011 В. А. Романенко
Самарски държавен аерокосмически университет на името на академик S.P. Королев (национален изследователски университет)
Описан е динамичен модел на многоканална система за масово обслужване с нестационарни потоци, чакащи в опашка с ограничена дължина и частична взаимопомощ на каналите, изразяваща се във възможността за едновременно обслужване на заявка от два канала. Дадени са изрази за основните вероятностно-времеви характеристики на системата. Описани са резултатите от моделирането на функционирането на възлово летище като пример за разглежданата система.
Система за опашка, нестационарен поток, взаимопомощ между каналите, възлово летище.
Въведение
Разглеждаме многоканална система за опашка (QS) с чакане в опашка с ограничена дължина. Характеристика на разглежданата QS е частична взаимопомощ между каналите, изразяваща се във възможността за едновременно използване на два канала за обслужване на една заявка. Комбинирането на усилията на каналите обикновено води до намаляване на средното време за обслужване. Предполага се, че QS получава нестационарен поток на Поасон от приложения. Продължителността на обслужване на приложение зависи от времето.
Типичен пример за QS, който има изброените характеристики, е системата за обслужване на летищния транспорт. Едновременното използване на няколко (обикновено две) съоръжения (гишета за регистрация, цистерни за авиационно гориво, специални превозни средства и др.) За обслужване на един полет е предвидено от технологичните графици за летищно обслужване на големи въздухоплавателни средства (ВС). В същото време необходимостта от подобряване на качеството и намаляване на продължителността на наземните транспортни услуги, което е особено актуално за големите летища, води до факта, че делът на операциите, извършвани не с един, а с няколко (два) средства, е повишаване на.
Това се увеличава с увеличаване на мащаба на летището. Моделът, описан в статията, е разработен за решаване на проблемите на анализа и оптимизирането на функционирането на производствените комплекси на възлови летища (хъбове), характеризиращи се с насищане на наземни транспортни съоръжения с подчертан нестационарен поток от пътници, самолети и товари и колебания в интензивността на тяхното обслужване.
Общо описание на модела
Моделът е предназначен да определи времевите зависимости на вероятностните характеристики на QS система, съдържаща N обслужващи канала. Броят на заявките в QS не трябва да надвишава K, което може да се дължи на технически ограничения за броя на наличните места за паркиране на самолети на летището, капацитета на терминала или карго комплекса и др. Броят на каналите, предназначени за обслужване на една заявка, може да бъде 1 или 2. Ако има поне два свободни канала, получената заявка с определена вероятност се заема за обслужване
един от тях и - с вероятност y2 = 1 - y1 - двата канала. Ако към момента на получаване на заявление за обслужване, QS има само един свободен канал, то това приложение при всички случаи заема наличния
единственият канал. Ако няма незаети канали, новопристигналата заявка се поставя на опашка и чака обслужване. Ако броят на приложенията в опашката е K-N, тогава новопристигналото приложение оставя QS необслужено. Вероятността от такова събитие трябва да е ниска.
QS входът получава Поасон (не непременно стационарен) поток от приложения
с интензитет l(t). Предполага се, че продължителността на обслужване на заявка както от един канал Tobsl1 (t), така и от два -
Tobsl 2 (t) са експоненциално разпределени случайни функции на времето (случайни процеси).
Интензивност на услугата на приложението
един канал ^ (t) и едновременно два канала m 2 (t) се определят като
mi (t) = [Tobsl1 (t)]-1, m2 (t) = [Tobsl2 (t)]-1,
където Tobsl1 (t) = M [Tobsl1 (t)], Tobsl 2 (t)= M[Tobsl 2 (t)]
Средно време за обслужване на заявка съответно от един и два канала.
Връзката между величините m1 (t) и m 2 (t) се дава от отношението
m2 (t) = ^m1 (t) ,
където 9 е коефициент, който отчита относителното увеличение на интензивността на услугата при използване на два канала.
На практика връзката между броя на набраните средства и интензитета на обслужване е доста сложна, обусловена от характеристиките на въпросната услуга. За операции, чиято продължителност е свързана с обема на извършената работа (например зареждане на самолет с реактивно гориво с помощта на танкери за реактивно гориво, качване или слизане на пътници от самолет и др.), зависимостта на интензивността на обслужването от броят на каналите се доближава до правопропорционална зависимост, но не е точно така поради времето, необходимо за подготовка
но крайни операции, които не се влияят от броя на фондовете. За такива операции £ 2. За редица операции зависимостта на продължителността на изпълнение от броя на съоръженията или изпълнителите е по-слабо изразена (например регистрация или преди полет
проверка на пътници). В този случай в »1.
В произволен момент от време I, разглежданата QS може да бъде в едно от L+1 дискретни състояния - B0, ...,
МАЙНАТА СИ. Преходът от състояние в състояние може да се случи по всяко време. Вероятността в момента I QS да бъде в състояние
условие за нормализиране 2 р () =1 Знай-
Анализът на вероятностите P0 (/), PX (t),..., Pb (t) позволява да се определят такива важни виртуални (моментни) характеристики на QS като средната дължина на опашката, средният брой заети канали, средният брой заявки, разположени в QS, и др.
Вероятностите за състояния p(t) се намират чрез решаване на система от диференциални уравнения на Колмогоров, обикновено записана като
=Ё jp(t)P /(t)-P,(t)Z (t).,
r = 0,1,...,b,
Където<р^ ^) - плотности (интенсивности) вероятностей перехода из состояния с порядковым номером г в состояние с порядковым номером ]. Величины фу (t) определяются по формуле
където P(/; At) е вероятността QS, който е бил в състояние B в момента t, за
време At ще отиде от него към държавата
За съставяне на уравненията на Колмогоров се използва обозначена графика на състоянието на QS. В него съответните интензитети на f. сбор от всички вероятностни потоци, преминаващи от дадено състояние към други.
За да се създаде графика, се въвежда трииндексна нотационна система, при която състоянието на разглежданата QS в произволен момент от време се характеризира с три параметъра: броят на заетите канали n (n = 0,1, .. .,^), броя на обслужените заявки k (k = 0,1,...,^) и чакащите услуга t (t = 0,1,...,^ - N).
На фиг. Фигура 1 показва обозначена графика на състоянието, съставена с помощта на описаните по-горе правила и въведените обозначения, за QS, избрана като прост пример.
За да се спести място, в графиката и в съответната система от уравнения на Колмогоров, дадена по-долу, са пропуснати обозначенията на функционалната зависимост от времето на интензитетите 1, m1, m2 и вероятностите на състоянията.
^000 /L = -(^1^ + ^2^) P000 + tr10 + t2P210,
= - (t + U-11 + U21) рш + ^Рр000 +
2t1R220 + t2 R320,
LR210 IL = - (t2 + ^11 + ^21) P210 + V2YP000 +
Т1Р320 + 2 ^2Р420,
LR220/L = -(2^1 + ^1^ + ^21) Р220 + ^1Rio +
3 t1Р330 + ^2Р430,
LR32<:)1Л = - (т2 + т1 + ^11 + ^21)р320 +
+^11Р210 + V2ЯP110 + 2t 1Р430 +
LR4yu1L (1 + 2 ^2) Р420 + ^21Р210 + t р30, ЛР330 /Л = -(3т1 + ^1^+ ^21) Р330 + ^11Р220 + +4^1Р440 + Т2р40,
^430 /L = - (2^1 + ^2 + 1) Р430 + ^11Р320 +
+^2^ Р220 + 3т 1р40 + 2^2р31,
LR530/l =-(t + 2t2 + i) p^30+1P420 +
+^2YaP320 + t1P531,
LR440 IL (4t1 + I) R40 + R330 +
5^1р50 + t2р41,
LR540/ l =-(t2 + 3t + i) r540 + yar430 +
+"^2YaP330 + 3 t1P541 + 2 t2P532,
LR531/L = - (^1 + 2^2 + R) R^31 + R530 +
LR550 IL = -(5t1 + Y) R550 + YR440 +
5t1R551 + t2R542,
LR541/ l = - (t2 + 3t + i) p^41 + ya^40 +
LR532/l = -(t1 + 2t2) Р532 + i р531,
LR5511L = - (5t1 + Y)r51 + YR550 + 5t1R552,
lr542 / l = - (3 t + t2) r542 + i r541,
Lp5^^ = 5 t1P552 + i p51.
Ако в момента t = 0 няма заявки в QS, тогава началните условия ще бъдат записани във формата
P10 (0) = P210 (0) = P220 (0) =... = P552 (0) = 0.
Решаването на системи с големи размери като (1), (2), с променливи стойности 1(^, mDO, m2(0) е възможно само чрез числени методи с помощта на компютър.
Ориз. 1. Графика на състоянието на QS
Изграждане на QS модел
В съответствие с алгоритмичния подход ще разгледаме техника за трансформиране на система от уравнения на Колмогоров с произволна размерност във вид, подходящ за компютърни изчисления. За да опростим записа, използваме вместо тройна система двойна система за запис на QS състояния, в която r е броят на каналите, заети с обслужване плюс дължината на опашката,] е броят на приложенията в QS . Връзката между системите за нотация се изразява чрез зависимости:
r = n + m, r = 0,1,...,K;
] = k + m, ] = 0,1,...,K.
Нито едно състояние от формалното множество не може да бъде реализирано
B. (r = 0,1,...,K; ] = 0,1,...,K). В частност,
в рамките на описания модел са невъзможни състояния, при които две или повече заявки се обслужват едновременно от една
канал, т.е. R. (t) = 0, ако ] > r. Нека означим със символ 8 множеството от допустимите състояния на QS. Държава Б. съществува и
съответната му вероятност P. ^)
може да не е нула, ако е изпълнено едно от следните условия:
1)] <г< 2], если 2] < N,
2)] <г< ] + Ч - 1 если \ .
у] + Н - 1< К,
3)] < г < К, если ] + ч - 1 ^ К,
r = 0.1,...,K; ] = 0,1,...,K,
където Х е максималният брой състояния с различен брой обслужващи канали за даден брой заявки, определен по формулата
Тук скобите означават операцията за изхвърляне на дробната част. Например,
съдейки по графиката на състоянието, показана на фиг. 1 две заявки могат да се обслужват от два, три или четири канала. Следователно в разгледания по-горе пример
H = 5 - = 5 - 2 = 3.
За да се приложат компютърни изчисления с помощта на система от уравнения на Колмогоров с произволна размерност, нейните уравнения трябва да бъдат редуцирани до някаква универсална форма, която позволява да се напише всяко уравнение. За да разработите такава форма, разгледайте фрагмент от графиката на състоянието, показващ едно произволно състояние B] с водещите от него
стрелки за интензитет. Нека обозначим с римски цифри съседните държави, пряко свързани с B., както е показано на фиг. 2.
За всяко състояние на B. (g = 0.1,...,K; ] = 0.1,...,K), така че B. e 8, в момент t стойностите
p^), p(t), p.^), p(t) приемам
различни стойности (включително равни на нула). Въпреки това структурата на уравнението
(3) остава непроменена, което позволява да се използва за компютърна реализация на система от уравнения на Колмогоров с произволна размерност.
Интензитетите fr (t), (р. (t), стремящи се да прехвърлят QS в състояния с големи стойности на r и ], ако е възможно наличието на такива състояния, се определят въз основа на редица условия, както следва: :
о.. ї а или
°(,-+1)0"+1) ї 8 ’
0(,-+2)(.+1) - 8 i £ N - 2,
o(i+1)(.+1)- 8 или
°(.+2)а+1)ї 8
O(.+1)(V+1) - 8’
Ориз. 2. Фрагмент от графиката на състоянието на QS
Като се вземе предвид наличието на съседни държави по отношение на B., уравнението за B. ще бъде написано, както следва:
-£ = -[P () + P () + P. () +
Рр (tИ Рг, (t) + Рр+1)(.+1) (t) Р(г+1)(.+1) () +
Р(Н(1-1)^)Р(-1)(1 -1)^) +
Р 2)()+1)()Р(г+2)()-+1)() +
РЦ2)(.-1) (t)P(г-2)(.-Г) ().
О(.+1)(.+1)ї 8 или і > N - 2
Y2X(i), ако
I(i+1)(.+1) - 8>
O(i+2)(.+1) - 8 ’ i £ N - 2,
О(і+1)(.+1)ї 8’
O(i+2)(.+1) - 8'
r = 0,1,...,k, . = 0,1,...,k.
Интензивност на реката (), p..11 (), прехвърляне на QS от състояние B-. в щатите
с по-малки стойности на g и. (ако е възможно наличието на такива състояния), са правопропорционални на броя на участващите канали, обслужващи заявки от различен тип, разположени в QS (заемащи един или два канала за обслужване). Група от два канала, ангажирани с обслужването на една заявка от съответния тип, може да се разглежда като един канал. Следователно в общия случай
p () = kdM1 () , R. () = ky2^2 () ,
където k.1 е броят заявки, заемащи един канал, обслужван от QS в състояние B; k е броят на заявките, заемащи по два канала, обслужвани от QS в състояние B.
Чрез g и. тези стойности се определят, както следва:
G2. - g ако g< N,
y1 [ N - 2 (r - .), ако r > N, (4)
Да се! 2 = g - . .
Като се вземат предвид ограниченията за възможността за съществуване на изразни състояния за
p(), R.() имат формата
^B(g-1)(L) e 8,
Индикатори за ефективността на функционирането на QS
Описаният модел позволява да се определят времевите зависимости на следните показатели за оперативната ефективност на разглежданата КС.
Средна дължина на опашката:
може ()=22(g-p) R ().
Среден брой заети канали:
Среден брой заявления до CMO:
m, ()=22.R. ().
Вероятност за отказ на услуга:
Р„, ()= 2 Р- ().
Може да се получи разпределението на виртуалното време за изчакване от приложението
услуга Ж (x,t) = Р ^ож ()< х) , позволяющее характеризовать качество обслуживания рассматриваемой СМО. Поступившая в систему заявка вынуждена ожидать обслуживания в случае, если все каналы заняты обслуживанием заявок, поступивших
преди това. Има вероятност Рк=0 (t) за незабавно обслужване на входяща заявка при наличие на свободен канал (или няколко свободни канала)
B(g-1)(.-1) £ 8,
r = 0,1,...,K, . = 0,1, ..., K.
R. () ° 0, ако B. £ 8.
Като се вземе предвид възможността за повреда, желаната стойност на функцията на разпределение Ж (х^) ще бъде определена като
F (x-‘)=(--o(t)
EEZH M (,)) ()
Ru()° 0 ако °y. ї 8.
Тук Ж (х,т| (і,./)) е условна функция
разпределение на времето за изчакване на дадена заявка, при условие че в момента на пристигането си T е намерила QS в състояние y.
В разглеждания QS времето за изчакване за обслужване от входяща заявка зависи не само от броя на заявките, които вече са в QS, но и от разпределението на каналите между групово и индивидуално обслужване на съществуващи заявки. Ако не съществува взаимна помощ между каналите, тогава разглежданата QS би била традиционна QS с чакане в опашка с ограничена дължина, за която общото време на изчакване за стартиране на услугата от заявка, която изпреварва m други заявки в опашката в момента на пристигането ще има разпределение на Erlang E,^) (X) .
Тук горният индекс съдържа интензивността на обслужване на заявки от всички N канала, работещи при наличие на опашка; долният индекс е редът на разпределение според закона на Ерланг. В разглеждания тук QS описаният закон е валиден само за заявки, постъпили в QS в състояния, в които всички канали са заети и всички те обслужват една заявка. За тези състояния можем да напишем
F (x,t| ^ + m,N + t)) = ^+1() (x).
Нека означим като E^”^1 (x) функцията на разпределение на обобщения закон на Ерлан
ha, от порядъка на 2"r - 1, където ag е числото
Lo случайни променливи, разпределени върху
експоненциален закон с параметър y. СЪС
Използвайки въведената нотация, записваме изрази за функцията на разпределение на времето за изчакване в други състояния. В сравнение с (5) тези изрази имат по-сложен вид, което не пречи на софтуерната им реализация. Освен това, като пример, те са дадени само за първите три състояния на пълна заетост на каналите, използвайки въведеното по-рано тризнаково индексиране:
F (x,t| (n,k,t)) = F (x,t| (N,N - g,0)) =
= (x), 0 £ g £ d,
където и. = kLt (t)+ku 2M2 (t);
Ж (х,т| (п,к,т)) = Ж (х,т| (N,N - g,l)) =
N ^ ^ - g) Km(T)
F (x,t| - g, 2))
N ^).(N - g) Km(t)
E/^(t),(t-g) ■я(t),(t-g+l)
(N),(N - g) ktM(T)
EI-)(t-g)(x) +
^).(N - g) eH^) (x)
Средното виртуално време на изчакване за приложение Toz () се определя числено като
Идентичност (T) = | ^Х (x,T) .
Разпределението на времето за виртуално обслужване за произволно избрана заявка Tobsl ^) също може да бъде определено.
Тъй като промяната в Tobsl (t) в разглежданата QS е случаен процес, който е смес от два експоненциално разпределени случайни процеса TobsL1 ^) и TobsL2 ^), тогава разпределението
V (x^) = P (Tobsl (t)< х) не будет показательным. С учётом возможности отказа выражение для функции распределения V (х^) запишется в виде
EEU M k,.YR(t)
R.. ^) ° 0, ако 8. £ 8.
Тук V (x^| (r,.)) е условната функция на разпределение на времето за обслужване на дадена заявка, при условие че в момента на пристигането си тя е намерила QS в състояние.
Ако в момента на започване на обслужването на дадено приложение QS е в състояние, в което е възможно групово и индивидуално обслужване, тогава времето за обслужване е смес от две про-
преминаване към групово обслужване - при възможност за условие (фиг. 2). Така имаме:
U(M(i--/")) =
y (1 - e-t(t)x) + +y (1 - e^2(t)x),
I О(і+2)(]+1) ї 8, О(і+1)(.+1) - 8,
"2\* ^ І’ I ^ +2)(.+1)
i = 0,1,...,N -1, i = 0,1,...,N -1.
Тъй като, при липса на два свободни канала, всяка заявка се обслужва от един канал, тогава действителната вероятност ^) за разпределяне на един канал е
det е по-голямо от дадена V Функция uv ^) се дефинира като
EEU O","r(t)
R. (t) ° 0, ако R. ї 8.
Тук y1(r,.) е вероятността за разпределяне на едно устройство за обслужване на заявка, получена от QS в състояние:
О(і+1)(.+1) - 8, О(і
2)(}+1) -2)(!+1)
времетраене: Tobsl1 (t) и Tobsl2 (t), dis- i = 0.1...,K -1, . = 0,1...,K -1.
ограничени експоненциално с параметри съответно ^1 (t) и ^2 (t). Ако в
В този момент не е възможно да се разпределят два канала, тогава времето за обслужване на заявката се разпределя експоненциално с параметъра
t(t). Когато заявка се приближи до каналите за обслужване в състояние B., преходът към индивидуално обслужване е допустим, когато
наличието на възможност за състояние I(
Средната продължителност на обслужване на заявка, включена в QS към момента
T, може да се дефинира чрез uv (T) като
Tbl (t)=uf (t) Tm (t)+ Tbs 2 (t).
Разпределение на виртуалното време на престой на приложението в QS
и (x,t)= P (Tpreb (t)< х)
се определя с помощта на предварително получените изрази за функциите на разпределение на времето за чакане и времето за обслужване - =
Ваня като мен,
2^2 (t) Et^^(t)^^) (x) +
EEi M))рї(t)
и (x,t| (^ .)) =
1 - e-M1(t)x
y (1 - e-t(t)x)-+y2(1 - e
(1 - e ^t(t)x),
О(і+1)(.+1) - 8, О(і+ 2)(.+1) ї 8’
О(і+1)(.+1) - 8’ О(і+2)(.+1) - 8,
r = 0,1,...^-1, . = 0’l’...’N-1.
За други състояния формулите за условната функция на разпределение се записват по аналогия с формулите за
Ж (х^| (п,к,т)) с тризнаково индексиране. По-долу са дадени за първите три състояния на пълна заетост на канала:
В момента на влизане няма опашка, но всички канали са заети:
и (x^| (n,k,t)) = и (x^| (NN - g,0)) =
(x), 0 £ g £ d;
Докато влезе приложение, има едно приложение в опашката:
R. (t) ° 0, ако R. ї 8.
Тук и (x^| (r,.)) е функцията на условното разпределение на времето, прекарано в QS на някаква заявка, при условие че в момента на пристигането й t е намерила системата в състояние.
За държави със свободни канали времето на престой в QS съвпада с времето на обслужване:
Докато влезе приложение, има две приложения в опашката:
и (x,t | (t,t - ^2))
(t)(t^)H (t)(t^+1)
(t)(t - g) ktsM (t)
(t)(t - g) KtsM (t)
Средното виртуално време на престой на приложение в QS се определя като
Tпреб ^) = Tobsl (t) + Toz (t).
Пример за използване на QS модела
Симулира се ежедневното функциониране на производствения комплекс на едно от източноевропейските регионални възлови летища при изпълнение на отделна технологична операция за обслужване на пристигащи самолети. Като изходни данни за моделиране се използват времевите зависимости на средната интензивност на потока от пристигащи ВС.
за обслужване, i(t) и интензитет
обслужване на ВС с едно средство t1 (t) .
Както следва от конструираните данни
графика на зависимостта i(t) на уебсайта на летището
(Фиг. 3а), доставката на BC се характеризира със значителна неравномерност: през деня се наблюдават четири максимума на интензивност, съответстващи на четири „вълни“
ни" пристигащи и заминаващи полети. Пиковите стойности на 1(t) за основните "вълни" достигат 25-30 VS/h.
На фиг. 3 и също показва графика на зависимостта t (t). Предполага се, че не
само интензивността на самолетния поток, но и интензивността на тяхното обслужване е функция на времето и зависи от фазата на „вълната“. Факт е, че за да се намали средното време за трансфер на пътниците, графикът на летището-хъб е структуриран по такъв начин, че „вълната“ се инициира от пристигането на големи пътнически самолети, поддръжката на които изисква много от време и се завършва с пристигането на малки самолети. В примера се приема, че средната продължителност на операция с един инструмент, която е 20 минути за по-голямата част от продължителността на деня, в началния етап на „вълната“ нараства до 25 минути. и се намалява на последния етап до 15 минути. Така четири интервала с
намалено ниво t (t) на фиг. 3а съответстват на началните фази на „вълните“, когато преобладават пристигащите големи самолети. На свой ред четири интервала на увеличение
ниво t^) падат на финала
“вълнови” фази с преобладаване на малки самолети.
По-долу описваме резултатите от симулацията, които ни позволяват да оценим ефективността на системата. На фиг. 3b-3d показват времевите зависимости на средните стойности на броя на заетите канали Nз ^),
общ брой заявления в системата на Министерството на здравеопазването ^) и
дължини на опашката Moz (7), получени за две стойности на гранична вероятност n1 = 0 и n1 = 1 със следните конструктивни характеристики: N = 10; К = 40; в = 1,75. Съдейки по графиката на зависимостта Nз (t)
(фиг. 3б), през по-голямата част от дневния интервал от време заетостта на обслужващите канали на системата остава ниска, което е следствие от нестационарния вход
поток от самолети. Високото натоварване (60-80%) се постига само по време на втората „вълна“ от пристигания и заминавания, а опцията n1 = 0 при големи стойности от 1 (t) причинява по-голямо натоварване на системата и при малки стойности от 1(t) - по-малко
в сравнение с вариант n1 = 1. Освен това, като
моделирането показа, че вероятността от повреда в разглежданата система и за двата варианта е незначителна.
Сравнение на графики на зависимости
M3 ^) и Mozh ^) (фиг. 3c и 3d, съответно) ни позволява да заключим, че в QS с n1 = 0 има средно по-малко заявки и се очаква да бъдат обслужени повече заявки, отколкото с n1 = 1 Това противоречие се обяснява с факта, че всяко приложение, получено от QS, което в случай n1 = 0 отнема две
канал, оставя по-малко свободни канали за заявките, които го следват, принуждавайки ги да създадат по-голяма опашка, отколкото в случая
n1 = 1. В същото време груповото използване на канали, намалявайки времето за обслужване, води до намаляване на общия брой обслужвани и чакащи обслужване приложения. Така че в разглеждания пример средното време за обслужване през деня е
за вариант p1 = 1 е 20 минути, а за
опция p1 = 0 - 11,7 мин.
Разгледаният по-горе модел дава възможност за решаване на проблеми, свързани с търсенето на оптимално управление на качеството на транспортните услуги. На фиг. 3d, 3f показват някои резултати от решаването на този вид проблем, чийто смисъл е обяснен допълнително на примера на разглежданото летище.
Средната дължина на опашката, която е малка дори при пикови натоварвания, не надвишаваща 0,6 самолета в разглеждания пример (фиг. 3d), не гарантира, че за по-голямата част от самолетите времето за чакане в опашката ще бъде приемливо. Ниско средно време на изчакване със задоволително средно време за завършване на сервизна операция
Това също не изключва възможността за неприемливо дълъг престой по време на поддръжката на отделни самолети. Нека разгледаме пример, когато качеството на летищната услуга е предмет на изисквания както за осигуряване на задоволителни стойности за времето за чакане за услуга, така и за времето, прекарано в системата. Ще приемем, че повече от 90% от въздухоплавателните средства трябва да бъдат неактивни за поддръжка за по-малко от 40 минути, а времето за изчакване за поддръжка за същата част от самолетите трябва да бъде по-малко от 5 минути. Използвайки въведената по-горе нотация, тези изисквания за качество на летищната услуга ще бъдат записани под формата на неравенства:
P (Tпреб (t)< 40мин)>09, P (Идентичност (t)< 5мин)> 09
На фиг. 3d, 3f показват времевите зависимости на вероятностите P (Tpreb (/)< 40мин)
и P (идент. (")< 5 мин) для интервала времени
460-640 мин. от началото на моделния ден, съответстващ на втората „вълна“ от пристигания.
Както се вижда от фигурите, вариант n1 = 1 не е такъв
осигурява изчислена надеждност по отношение на времето за обслужване: изискване за време за обслужване, определено от условието
P (Tпреб (t)< 40мин)>09, се извършва само за кратък период от 530560 минути, съответстващ на пристиганията на малки
слънце От своя страна, опция n1 = 0 не осигурява изчислената надеждност по отношение на времето за изчакване в опашката: по време на интервала на пристигане на големи самолети (500-510 мин.)
Ориз. 3. Резултати от симулацията 262
условието P е изпълнено (Iz(t)< 5мин) > 0.9.
Както показа моделирането, изходът от тази ситуация може да бъде изборът
компромисен вариант y1 » 0.2. На практика този вариант означава, че на летищните служби трябва да бъдат разпределени по два фонда за обслужване не на всички самолети, а само на тези, избрани по определен критерий, напр.
пътнически капацитет. Тук y1 играе роля
параметър, който ви позволява да контролирате показателите за ефективност на QS: времето за изчакване на приложение в опашката и времето, през което приложението остава в QS или времето за обслужване.
Така че разглежданата система, която използва един или два канала едновременно за обслужване на заявка, е специален, но практически значим случай на QS с
взаимопомощ на каналите. Използването на динамичен модел на такъв QS позволява да се поставят и решават различни оптимизационни, включително многокритериални проблеми, свързани с управлението не само на общия брой средства, но и с тяхната взаимопомощ. Проблеми от този вид са особено актуални за летища-хъбове, които са наситени с обслужващи съоръжения, с техните нестационарни потоци от полети и променлив интензитет на обслужване. По този начин моделът на разглежданата QS е инструмент за анализиране и оптимизиране на параметрите на такъв обещаващ клас летища като хъбовете.
Библиография
1. Бочаров, П.П. Теория на масовото обслужване [Текст] / P.P. Бочаров, А.В. Пе-чинкин. - М.: Издателство RUDN, 1995. - 529 с.
МОДЕЛ НА СИСТЕМА ЗА ОПАШКИ С НЕСТАЦИОНАРНИ ПОТОЦИ И ЧАСТИЧНА ВЗАИМНА ПОМОЩ МЕЖДУ КАНАЛИ
© 2011 В. А. Романенко
Самарски държавен аерокосмически университет на името на академик С. П. Корольов (Национален изследователски университет)
Описан е динамичен модел на многоканална система за масово обслужване с нестационарни потоци, чакане в опашка с ограничена дължина и частична взаимопомощ на каналите, изразяваща се във възможността за едновременно обслужване на клиент по два канала. Дадени са изрази за основните вероятностно-времеви характеристики на системата. Обсъждат се резултатите от моделирането на функционирането на възлово летище като пример за системата.
Система за опашка, нестационарен поток, взаимопомощ между каналите, възлово летище.
Информация за автора Владимир Алексеевич Романенко, кандидат на техническите науки, доцент, докторант на катедрата по организация и управление на транспортния транспорт, Самарския държавен аерокосмически университет на името на академик С. П. Королев (национален изследователски университет). Електронна поща: [имейл защитен]. Област на научни интереси: оптимизация и моделиране на системата за транспортно обслужване на възлово летище.
Романенко Владимир Алексеевич, доцент, доктор на катедрата по организация и управление на транспорта, Самарски държавен аерокосмически университет на името на академик С. П. Корольов (Национален изследователски университет). Област на изследване: оптимизация и симулация на система за транспортни услуги на летището.
Досега разглеждахме само такива QS, в които всяка заявка може да бъде обслужена само от един канал; незаетите канали не могат да "помагат" на заетите в обслужването.
По принцип това не винаги е така: има системи за опашка, при които една и съща заявка може да бъде обслужвана едновременно от два или повече канала. Например една и съща повредена машина може да се обслужва от двама работници едновременно. Такава „взаимна помощ“ между каналите може да се осъществи както в отворени, така и в затворени QS.
Когато обмисляте QS с междуканална взаимопомощ, трябва да вземете предвид два фактора:
1. Колко бързо се ускорява обслужването на приложение, когато върху него работят не един, а няколко канала едновременно?
2. Какво представлява „дисциплината за взаимопомощ“, т.е. кога и как няколко канала се заемат с обслужването на една и съща заявка?
Нека първо разгледаме първия въпрос. Естествено е да се предположи, че ако не един канал, а няколко канала работят за обслужване на приложение, интензивността на потока на услугата няма да намалява с увеличаване на k, т.е. ще представлява някаква ненамаляваща функция на броя k на работещите канали. Нека означим тази функция. Възможна форма на функцията е показана на фиг. 5.11.
Очевидно е, че неограниченото увеличаване на броя на едновременно работещите канали не винаги води до пропорционално увеличение на скоростта на обслужване; По-естествено е да се предположи, че при определена критична стойност по-нататъшното увеличаване на броя на заетите канали вече не увеличава интензивността на услугата.
За да се анализира работата на QS с взаимопомощ между каналите, е необходимо преди всичко да се зададе типът на функцията
Най-простият случай за изследване ще бъде случаят, когато функцията нараства пропорционално на k, докато и остава постоянна и равна (виж Фиг. 5.12). Ако общият брой канали, които могат да си помагат, не надвишава
Нека сега се спрем на втория въпрос: дисциплината на взаимопомощта. Ще наречем най-простия случай на тази дисциплина „всички като един“. Това означава, че когато се появи една заявка, всички канали започват да я обслужват наведнъж и остават заети до края на обслужването на тази заявка; тогава всички канали преминават към обслужване на друга заявка (ако има такава) или изчакват появата й, ако не се появи и т.н. Очевидно в този случай всички канали работят като един, QS става едноканален, но с по-висока услуга интензивност.
Възниква въпросът: изгодно или неизгодно е да се въведе такава взаимопомощ между каналите? Отговорът на този въпрос зависи от това каква е интензивността на потока от заявки, какъв тип функция, какъв тип QS (с откази, с опашка), каква стойност е избрана като характеристика на ефективността на услугата.
Пример 1. Има триканален QS с повреди: интензивността на потока от приложения (приложения в минута), средното време за обслужване на една заявка от един канал (мин), функцията Въпросът е дали е от полза от гледната точка на пропускателната способност на QS за въвеждане на взаимна помощ между канали от типа „всички като един“? Това полезно ли е от гледна точка на намаляване на средното време, през което едно приложение остава в системата?
Решение a. Без взаимопомощ
Според формулите на Erlang (виж § 4) имаме:
Относителен капацитет на QS;
Абсолютна производителност:
Средното време, през което дадено приложение остава в QS, се намира като вероятността приложението да бъде прието за обслужване, умножена по средното време за обслужване:
Gsist (мин.).
Не трябва да забравяме, че това средно време важи за всички приложения – както обслужвани, така и необслужвани. Може да се интересуваме и от средното време, през което едно обслужвано приложение ще остане в системата. Това време е равно на:
6. С взаимопомощ.
Средно време, през което едно приложение остава в CMO:
Средно време, прекарано от обслужвано приложение в CMO:
По този начин, при наличието на взаимопомощ „всички като един“, пропускателната способност на QS значително намалява. Това се обяснява с увеличаване на вероятността от отказ: докато всички канали са заети с обслужването на една заявка, други заявки могат да пристигнат и естествено да бъдат отхвърлени. Що се отнася до средното време, което едно приложение прекарва в CMO, то, както може да се очаква, намаля. Ако по някаква причина се стремим да намалим напълно времето, което едно приложение прекарва в QS (например, ако оставането в QS е опасно за приложението), може да се окаже, че въпреки намаляването на пропускателната способност, то ще все пак е полезно да комбинирате трите канала в един.
Нека сега разгледаме очаквано влиянието на взаимопомощта от типа „всички като един“ върху работата на QS. За простота ние приемаме само случая на неограничена опашка. Естествено, в този случай няма да има влияние на взаимопомощта върху пропускателната способност на QS, тъй като при всякакви условия всички входящи заявки ще бъдат обслужвани. Възниква въпросът за влиянието на взаимопомощта върху характеристиките на чакането: средната дължина на опашката, средното време на чакане, средното време, прекарано в услугата.
По силата на формули (6.13), (6.14) § 6 за обслужване без взаимопомощ средният брой заявки в опашката ще бъде
средно време на изчакване:
и средното време на престой в системата:
Ако се използва взаимопомощ от типа „всички като един“, тогава системата ще работи като едноканална с параметрите
и неговите характеристики се определят по формули (5.14), (5.15) § 5:
Пример 2. Има триканален QS с неограничена опашка; интензивност на потока от приложения (приложения в минута), средно време за обслужване Функция Благоприятно значение:
Средна дължина на опашката,
Средно време на чакане за услуга,
Средно време, през което едно приложение остава в CMO
въвеждане на взаимопомощ между каналите като „всички като един“?
Решение a. Без взаимопомощ.
Съгласно формули (9.1) - (9.4) имаме
(3-2)
b. С взаимопомощ
Използвайки формули (9.5) - (9.7) намираме;
По този начин средната дължина на опашката и средното време на чакане в опашката при взаимопомощ са по-големи, но средното време, през което едно приложение престоява в системата, е по-малко.
От разгледаните примери става ясно, че взаимопомощта между Паричните средства тип „всички като едно“ като правило не допринасят за повишаване на ефективността на услугата: времето, през което заявката остава в системата за обслужване, се намалява, но други характеристики на услугата се влошават.
Поради това е желателно да се промени дисциплината на обслужване, така че взаимопомощта между каналите да не пречи на приемането на нови заявки за обслужване, ако се появят, докато всички канали са заети.
Нека наречем следния вид взаимопомощ „единна взаимопомощ“. Ако заявка пристигне в момент, когато всички канали са свободни, тогава всички канали се приемат за нейното обслужване; ако в момента на обслужване на приложение пристигне друго, някои от каналите преминават към обслужването му; ако докато се обслужват тези две заявки, пристигне друга, някои от каналите преминават към обслужването й и т.н., докато всички канали се заемат; ако това е така, новопристигналата заявка се отхвърля (в QS с откази) или се поставя на опашка (в QS с чакане).
С тази дисциплина на взаимопомощ заявлението се отказва или се поставя на опашка само когато не е възможно да се обслужи. Що се отнася до „престоя“ на каналите, той е минимален при тези условия: ако има поне една заявка в системата, всички канали работят.
По-горе споменахме, че при поява на нова заявка някои от заетите канали се освобождават и преминават към обслужване на новопостъпилата заявка. Коя част? Зависи от вида на функцията, ако има формата на линейна връзка, както е показано на фиг. 5.12, и няма значение каква част от каналите е разпределена за обслужване на новопостъпила заявка, стига всички канали да са заети (тогава общата интензивност на услугите за всяко разпределение на каналите между заявките ще бъде равна на ). Може да се докаже, че ако кривата е изпъкнала нагоре, както е показано на фиг. 5.11, тогава трябва да разпределите каналите между заявките възможно най-равномерно.
Нека разгледаме работата на -канален QS с "равномерна" взаимопомощ между каналите.
Формулиране на проблема.На входа н-канал QS получава най-простия поток от заявки с плътност λ. Плътността на най-простия обслужващ поток за всеки канал е μ. Ако получена заявка за услуга установи, че всички канали са свободни, тогава тя се приема за услуга и се обслужва едновременно л канали ( л < н). В този случай потокът от услуги за едно приложение ще има интензивност л.
Ако получена заявка за услуга намери една заявка в системата, тогава кога н ≥ 2лновопостъпила заявка ще бъде приета за обслужване и ще бъде обслужена едновременно лканали.
Ако получена заявка за услуга бъде уловена в системата азприложения ( аз= 0,1, ...), докато ( аз+ 1)л≤ н, след което полученото заявление ще бъде обслужено лканали с цялостна производителност л. Ако новопостъпило приложение бъде уловено в системата йприложения и в същото време две неравенства са удовлетворени съвместно: ( й + 1)л > нИ й < н, тогава приложението ще бъде прието за обслужване. В този случай някои приложения могат да бъдат обслужвани лканали, другата част е по-малка от л, брой канали, но всеки ще бъде зает с обслужването нканали, които са произволно разпределени между приложенията. Ако новопостъпило приложение бъде уловено в системата нзаявки, то се отхвърля и няма да се обслужва. Постъпило заявление за обслужване се обслужва докрай (заявки „пациенти”).
Графиката на състоянието на такава система е показана на фиг. 3.8.
Ориз. 3.8. Графика на QS състояния с откази и частични
взаимопомощ между каналите
Обърнете внимание, че графиката на състоянието на системата до състоянието х чдо обозначението на параметрите на потока, той съвпада с графиката на състоянието на класическа система за масово обслужване с откази, показана на фиг. 3.6.
следователно
(аз
= 0, 1, ..., ч).
Графика на състоянието на системата, започваща от състояние х чи завършва с държавата х н, съвпада, до нотация, с графиката на състоянието на QS с пълна взаимопомощ, показана на фиг. 3.7. По този начин,
.
Нека въведем обозначението λ / лμ = ρ л ; λ / нμ = χ, тогава
Като вземем предвид нормализираното състояние, получаваме
Нека намерим характеристиките на системата.
Средният брой приложения в системата е
Среден брой заети канали
.
Вероятност определен канал да бъде зает
.
Вероятност за заетост на всички системни канали
Формулиране на проблема.На входа н-канална QS система получава хетерогенен най-прост поток с общ интензитет λ Σ и
λ Σ
=
,
където λ аз– интензивност на приложения в азти източник.
Тъй като потокът от заявки се разглежда като суперпозиция на изисквания от различни източници, комбинираният поток с достатъчна за практиката точност може да се счита за Поасон за н = 5...20 и λ аз ≈ λ аз +1 (аз1,н). Интензитетът на обслужване на едно устройство се разпределя по експоненциален закон и е равен на μ = 1/ T. Обслужващите устройства за обслужване на заявка са свързани последователно, което е еквивалентно на увеличаване на времето за обслужване толкова пъти, колкото броя на устройствата са комбинирани за обслужване:
T obs = кт, μ obs = 1 / кт = μ/ к,
Където T obs – време за обслужване на заявка; к– брой сервизни устройства; μ obs – интензивност на обслужване на заявка.
В рамките на предположенията, приети в глава 2, представяме състоянието на QS като вектор, където к м– броя на приложенията в системата, всяко от които се обслужва мустройства; Л = рмакс – р min +1 – брой входни потоци.
След това броят на заетите и свободните устройства ( нзан ( 
),н sv ( 
)) способен 
се определя, както следва:
От държавата 
системата може да премине във всяко друго състояние 
. Тъй като системата работи Лвходни потоци, тогава от всяко състояние е потенциално възможно Лдиректни преходи. Въпреки това, поради ограничените системни ресурси, не всички от тези преходи са осъществими. Нека СМО е в състояние 
и пристига искане мустройства. Ако м≤ н sv ( 
), тогава заявката се приема за обслужване и системата преминава в състояние с интензитет λ м. Ако приложението изисква повече устройства от наличните, ще му бъде отказана услуга и QS ще остане в състояние 
. Ако можеш 
има приложения, изискващи мустройства, то всяко от тях се обслужва с интензивност м, и общата интензивност на обслужване на такива заявки (μ м) се определя като μ м
= к м μ
/ м. Когато обслужването на една от заявките приключи, системата ще премине в състояние, в което съответната координата има стойност с единица по-малка от тази в състоянието 
,
=, т.е. ще се случи обратният преход. На фиг. 3.9 показва пример на векторен модел на QS за н
= 3, Л
= 3, р min = 1, рмакс = 3, П(м) = 1/3, λ Σ = λ, интензивност на поддръжка на устройството – μ.
Ориз. 3.9. Пример за графика на векторен модел на QS с откази на обслужване
Така че всяка държава 
характеризиращ се с броя на обслужваните приложения от определен тип. Например в състояние 
една заявка се обслужва от едно устройство и една заявка от две устройства. В това състояние всички устройства са заети, следователно са възможни само обратни преходи (пристигането на всяка заявка в това състояние води до отказ на услуга). Ако обслужването на заявка от първия тип е приключило по-рано, системата ще премине в състояние 
(0,1,0) с интензитет μ, но ако обслужването на заявка от втори тип е приключило по-рано, тогава системата ще премине в състояние 
(0,1,0) с интензитет μ/2.
Използвайки графиката на състоянието с начертани интензитети на прехода, се съставя система от линейни алгебрични уравнения. От решението на тези уравнения се намират вероятностите Р(
), чрез които се определят характеристиките на QS.
Помислете за намиране Р otk (вероятност за отказ на услуга).
,
Където С– брой състояния на графа на векторния QS модел; Р(
) е вероятността системата да е в състояние 
.
Броят на състоянията според се определя, както следва:
,
(3.22)
;
Нека определим броя на състоянията на векторния QS модел съгласно (3.22) за примера, показан на фиг. 3.9.
.
следователно С = 1 + 5 + 1 = 7.
За да се приложат реални изисквания за сервизни устройства, достатъчно голям брой н
(40, ..., 50), а заявките за брой обслужващи устройства в едно приложение на практика са в диапазона 8–16. При такова съотношение на инструменти и заявки предложеният начин за намиране на вероятности става изключително тромав, т.к. векторният модел на QS има голям брой състояния С(50)
= 1790, С(60)
= 4676, С(70) = = 11075, а размерът на коефициентната матрица на системата от алгебрични уравнения е пропорционален на квадрата С, което изисква голямо количество компютърна памет и значително количество компютърно време. Желанието да се намали количеството на изчисленията стимулира търсенето на възможности за повтарящи се изчисления Р(
) въз основа на мултипликативни форми на представяне на вероятностите на състоянието. Статията представя подход за изчисление Р(
):
(3.23)
Използването на критерия за еквивалентност на глобалните и подробни баланси на веригите на Марков, предложен в работата, ни позволява да намалим размерността на проблема и да извършим изчисления на компютър със средна мощност, като използваме повторението на изчисленията. Освен това е възможно да:
– извършване на изчисления за всякакви стойности н;
– ускоряване на изчисленията и намаляване на разходите за машинно време.
По подобен начин могат да се определят и други характеристики на системата.
