Razmotrimo višekanalni sistem čekanja (ukupno n kanala), koji prima zahtjeve intenziteta λ i servisira se intenzitetom μ. Zahtjev koji stiže u sistem se servisira ako je barem jedan kanal slobodan. Ako su svi kanali zauzeti, tada se sljedeći zahtjev primljen u sistem odbija i napušta QS. Numerimo stanja sistema brojem zauzetih kanala:
Rice. 7.24
Slika 6.24 prikazuje graf stanja u kojem Si– broj kanala; λ – intenzitet primljenih zahtjeva; μ
– shodno tome, intenzitet zahtjeva za servisiranjem. Zahtjevi ulaze u sistem čekanja konstantnim intenzitetom i postepeno zauzimaju kanale jedan za drugim; kada su svi kanali zauzeti, sljedeći zahtjev koji stigne u QS će biti odbijen i napustit će sistem.
Odredimo intenzitete tokova događaja koji prenose sistem iz stanja u stanje pri kretanju i s lijeva na desno i s desna na lijevo duž grafa stanja.
Na primjer, neka sistem bude u stanju S 1, odnosno jedan kanal je zauzet, jer na njegovom ulazu postoji zahtjev. Čim se završi servisiranje zahtjeva, sistem prelazi u stanje S 0 .
Na primjer, ako su dva kanala zauzeta, onda je tok usluge koji prenosi sistem iz stanja S 2 u stanju S 1 će biti dvostruko intenzivniji: 2-μ; shodno tome, ako je zauzet k kanala, intenzitet je k-μ.
Proces održavanja je proces smrti i reprodukcije. Kolmogorovljeve jednadžbe za ovaj konkretan slučaj imat će sljedeći oblik:
(7.25)
Jednačine (7.25) se nazivaju Erlangove jednadžbe
.
Da bi se pronašle vrijednosti vjerovatnoće stanja R 0 , R 1 , …, Rn, potrebno je odrediti početne uslove:
– R 0 (0) = 1, tj. postoji zahtjev na ulazu sistema;
– R 1 (0) = R 2 (0) = … = Rn(0) = 0, tj. u početnom trenutku vremena sistem je slobodan.
Integracijom sistema diferencijalnih jednadžbi (7.25) dobijamo vrednosti verovatnoća stanja R 0 (t), R 1 (t), … Rn(t).
Ali nas mnogo više zanimaju granične vjerovatnoće stanja. Kako je t → ∞ i koristeći formulu dobijenu razmatranjem procesa smrti i razmnožavanja, dobijamo rješenje sistema jednadžbi (7.25):
(7.26)
U ovim formulama, omjer intenziteta λ / μ
toku aplikacija zgodno je odrediti ρ
.Ova količina se zove dati intenzitet toka aplikacija, odnosno prosječan broj aplikacija koje stignu u QS tokom prosječnog vremena servisiranja jedne aplikacije.
Uzimajući u obzir napravljenu notaciju, sistem jednačina (7.26) će imati sljedeći oblik:
(7.27)
Ove formule za izračunavanje graničnih vjerovatnoća se nazivaju Erlangove formule
.
Poznavajući sve vjerovatnoće stanja QS-a, naći ćemo karakteristike efikasnosti QS-a, odnosno apsolutnu propusnost A, relativna propusnost Q i vjerovatnoću neuspjeha R otvoren
Aplikacija koju primi sistem će biti odbijena ako utvrdi da su svi kanali zauzeti:
.
Vjerovatnoća da će aplikacija biti prihvaćena na servis:
Q = 1 – R otvoren,
Gdje Q– prosječan udio primljenih aplikacija koje servisira sistem, ili prosječan broj aplikacija koje servisira QS po jedinici vremena, podijeljen prosječnim brojem prijava primljenih tokom ovog vremena:
A=λ·Q=λ·(1-P otvoren)
Pored toga, jedna od najvažnijih karakteristika QS-a sa kvarovima je prosječan broj zauzetih kanala. IN n-kanalni QS sa kvarovima, ovaj broj se poklapa sa prosječnim brojem aplikacija u QS-u.
Prosečan broj zahteva k može se izračunati direktno kroz verovatnoće stanja P 0, P 1, ..., P n:
,
tj. nalazimo matematičko očekivanje diskretne slučajne varijable koja uzima vrijednost od 0 do n sa vjerovatnoćama R 0 , R 1 , …, Rn.
Još je lakše izraziti vrijednost k kroz apsolutni kapacitet QS-a, tj. A. Vrijednost A je prosječan broj aplikacija koje servisira sistem u jedinici vremena. Jedan zauzeti kanal služi μ zahtjeva po jedinici vremena, zatim prosječan broj zauzetih kanala
Sistem jednačina
QS sa kvarovima za slučajni broj servisnih tokova za Poissonove tokove. Grafikon, sistem jednačina.
Hajde da predstavimo QS kao vektor, gde k m– broj aplikacija u sistemu, od kojih je svaka servisirana m uređaji; L= q max – q min +1 – broj ulaznih tokova.
Ako je zahtjev prihvaćen za uslugu i sistem uđe u stanje intenziteta λ m.
Kada se završi servisiranje jednog od zahtjeva, sistem će preći u stanje u kojem odgovarajuća koordinata ima vrijednost za jedan manji nego u stanju , = , tj. desiće se obrnuti prelaz.
Primjer vektorskog QS modela za n = 3, L = 3, q min = 1, q max = 3, P(m) = 1/3, λ Σ = λ, intenzitet održavanja uređaja – μ.
Koristeći graf stanja sa ucrtanim intenzitetima prelaza, sastavlja se sistem linearnih algebarskih jednačina. Iz rješenja ovih jednačina nalaze se vjerovatnoće R(), kojim se određuju karakteristike QS-a.
QS sa beskonačnim redom za Poissonove tokove. Grafikon, sistem jednačina, izračunati odnosi.
Sistemski graf
Sistem jednačina
Gdje n– broj servisnih kanala, l– broj kanala koji se međusobno pomažu
QS sa beskonačnim redom i djelimičnom uzajamnom pomoći za proizvoljne tokove. Grafikon, sistem jednačina, izračunati odnosi.
Sistemski graf
Sistem jednačina
–λ R 0 + nμ R 1 =0,
.………………
–(λ + nμ) P k+ λ P k –1 + nμ P k +1 =0 (k = 1,2, ... , n–1),
……………....
-(λ+ nμ) P n+ λ P n –1 + nμ R n+1=0,
……………….
-(λ+ nμ) Pn+j+ λ R n+j –1 + nμ R n+j+1=0, j=(1,2,….,∞)
Red s beskonačnim redom i potpuna uzajamna pomoć za proizvoljne niti. Grafikon, sistem jednačina, izračunati odnosi.
Sistemski graf
|
Sistem jednačina
QS sa konačnim redom za Poissonove tokove. Grafikon, sistem jednačina, izračunati odnosi.
Sistemski graf
Sistem jednačina
Omjeri kalkulacije:
,
UDC 519.248:656.71
MODEL SISTEMA REDOVA SA NESTACIONARNIM TOKOVIMA I DELIMIČNOM MEĐUSOBNOM POMOĆU IZMEĐU KANALA
© 2011 V. A. Romanenko
Samara State Aerospace University nazvan po akademiku S.P. Korolevu (nacionalni istraživački univerzitet)
Opisan je dinamički model višekanalnog sistema čekanja sa nestacionarnim tokovima, čekanjem u redu ograničene dužine i djelimičnom uzajamnom pomoći kanala, izraženom u mogućnosti istovremenog servisiranja zahtjeva od strane dva kanala. Dati su izrazi za glavne vjerovatnoće-vremenske karakteristike sistema. Opisani su rezultati modeliranja funkcionisanja čvornog aerodroma kao primjera sistema koji se razmatra.
Sistem čekanja, nestacionarni tok, međusobna pomoć između kanala, čvorni aerodrom.
Uvod
Razmatramo višekanalni sistem čekanja (QS) sa čekanjem u redu čekanja ograničene dužine. Karakteristika QS-a koji se razmatra je delimična međusobna pomoć između kanala, izražena u mogućnosti istovremenog korišćenja dva kanala za servisiranje jednog zahteva. Kombinovanje napora kanala generalno dovodi do smanjenja prosečnog vremena usluge. Pretpostavlja se da QS prima nestacionarni Poissonov tok aplikacija. Trajanje servisiranja aplikacije zavisi od vremena.
Tipičan primjer QS-a koji ima navedene karakteristike je sistem usluga aerodromskog prevoza. Tehnološkim rasporedima aerodromskog servisiranja velikih aviona (AC) predviđeno je istovremeno korištenje više (najčešće dva) objekata (šalteri za prijavu, cisterne za gorivo, specijalna vozila i sl.) za opsluživanje jednog leta. Istovremeno, potreba za poboljšanjem kvaliteta i smanjenjem trajanja usluga zemaljskog prevoza, što je posebno relevantno za velike aerodrome, dovodi do toga da je udio operacija koje se obavljaju ne jednim, već više (dva) načina. povećanje.
Ovo se povećava kako se povećava obim aerodroma. Model opisan u članku razvijen je radi rješavanja problema analize i optimizacije funkcionisanja proizvodnih kompleksa čvorišnih aerodroma (hubova), koje karakteriše zasićenost objekata zemaljskog saobraćaja sa izraženim nestacionarnim protokom putnika, aviona i tereta i fluktuacije u intenzitetu njihove službe.
Opšti opis modela
Model je namijenjen za određivanje vremenskih ovisnosti vjerojatnosnih karakteristika QS sistema koji sadrži N kanala za opsluživanje. Broj prijava u QS-u ne bi trebao biti veći od K, što može biti posljedica tehničkih ograničenja broja parkirnih mjesta na aerodromu, kapaciteta terminala ili kargo kompleksa itd. Broj kanala koji se dodjeljuje za servisiranje jednog zahtjeva može biti 1 ili 2. Ako postoje najmanje dva slobodna kanala, primljeni zahtjev sa zadatom vjerovatnoćom se pozajmljuje na servisiranje
jedan od njih i - sa vjerovatnoćom y2 = 1 - y1 - oba kanala. Ako u trenutku prijema zahtjeva za servisiranje QS ima samo jedan slobodan kanal, tada ova aplikacija u svakom slučaju zauzima raspoloživi
jedini kanal. Ako nema nezauzetih kanala, novopristigli zahtjev „dolazi u red čekanja“ i čeka servis. Ako je broj aplikacija u redu K-N, tada novopristigla aplikacija ostavlja QS neuslužen. Vjerovatnoća takvog događaja bi trebala biti mala.
QS ulaz prima Poissonov (ne nužno stacionarni) tok aplikacija
sa intenzitetom l(t). Pretpostavlja se da je trajanje servisiranja zahtjeva i jednog kanala Tobsl1 (t) i dva -
Tobsl 2 (t) su eksponencijalno raspoređene slučajne funkcije vremena (slučajni procesi).
Intenzitet usluge aplikacije
jedan kanal ^ (t) i istovremeno dva kanala m 2 (t) su definisani kao
mi (t) = [Tobsl1 (t)]-1, m2 (t) = [Tobsl2 (t)]-1,
gdje je Tobsl1 (t) = M [Tobsl1 (t)], Tobsl 2 (t)= M[Tobsl 2 (t)]
Prosječno vrijeme za servisiranje zahtjeva za jedan kanal, odnosno dva kanala.
Odnos između veličina m1 (t) i m 2 (t) je dat relacijom
m2 (t) = ^m1 (t) ,
gdje je 9 koeficijent koji uzima u obzir relativno povećanje intenziteta usluge pri korištenju dva kanala.
U praksi je odnos između broja prikupljenih sredstava i intenziteta usluge prilično složen, određen karakteristikama rada usluge. Za operacije čije je trajanje povezano s obimom obavljenog posla (na primjer, punjenje aviona gorivom za mlazno gorivo pomoću tankera za mlazno gorivo, ukrcavanje ili iskrcavanje putnika iz aviona, itd.), ovisnost intenziteta usluge od broj kanala se približava direktno proporcionalnom, ali nije tako striktno zbog vremena potrebnog za pripremu
već završne operacije na koje ne utiče broj sredstava. Za takve operacije, £ 2. Za određeni broj operacija, ovisnost trajanja izvršenja od broja objekata ili izvođača je manje izražena (na primjer, prijava na let ili prije leta
pregled putnika). U ovom slučaju u »1.
U proizvoljnom trenutku vremena I, razmatrani QS može biti u jednom od L+1 diskretnih stanja - B0, ...,
FUCK. Prijelaz iz stanja u stanje može se dogoditi u bilo kojem trenutku. Vjerovatnoća da će u trenutku I QS biti u stanju
uvjet normalizacije 2 r () =1 Zna-
Analiza vjerovatnoća P0 (/), PX (t),..., Pb (t) omogućava da se odrede tako važne virtuelne (trenutne) karakteristike QS-a kao što su prosječna dužina reda čekanja, prosječan broj zauzetih kanala, prosječan broj zahtjeva koji se nalaze u QS-u itd.
Vjerovatnoće stanja p(t) se nalaze rješavanjem sistema Kolmogorovljevih diferencijalnih jednadžbi, općenito napisanih kao
=Ë jp(t)P /(t)-P,(t)Z (t).,
r = 0,1,...,b,
Gdje<р^ ^) - плотности (интенсивности) вероятностей перехода из состояния с порядковым номером г в состояние с порядковым номером ]. Величины фу (t) определяются по формуле
gdje je P(/; At) vjerovatnoća da je QS, koji je bio u B stanju u trenutku t, za
vrijeme At će preći iz njega u stanje
Za kompilaciju Kolmogorovljevih jednačina koristi se označeni graf stanja QS. U njemu su odgovarajući intenziteti f postavljeni iznad strelica koje vode od B. do B. Derivat verovatnoće svakog stanja je definisan kao zbir svih tokova verovatnoće koji dolaze iz drugih stanja u dato stanje, minus za dato stanje. zbir svih tokova vjerovatnoće koji idu iz datog stanja u drugo.
Za kreiranje grafa uvodi se troindeksni sistem notacije, u kojem se stanje QS-a koji se razmatra u proizvoljnom trenutku karakteriziraju tri parametra: broj zauzetih kanala n (n = 0,1,.. .,^), broj usluženih zahtjeva k (k = 0,1,...,^) i čekanja na uslugu t (t = 0,1,...,^ - N).
Na sl. Slika 1 prikazuje označeni graf stanja, sastavljen koristeći gore opisana pravila i uvedene notacije, za QS odabran kao jednostavan primjer.
U cilju uštede prostora, u grafu i odgovarajućem sistemu Kolmogorovljevih jednačina datim u nastavku, izostavljene su oznake funkcionalne zavisnosti od vremena intenziteta 1, m1, m2 i verovatnoća stanja.
^000 /L = -(^1^ + ^2^) P000 + tr10 + t2P210,
= - (t + U-11 + U21) rš + ^Rr000 +
2t1R220 + t2 R320,
LR210 IL = - (t2 + ^11 + ^21) P210 + V2YP000 +
T1R320 + 2 ^2R420,
LR220/L = -(2^1 + ^1^ + ^21) R220 + ^1Rio +
3 t1R330 + ^2R430,
LR32<:)1Л = - (т2 + т1 + ^11 + ^21)р320 +
+^11R210 + V2ÂP110 + 2t 1R430 +
LR4yu1L (1 + 2 ^2) R420 + ^21R210 + t r30, LR330 /L = -(3t1 + ^1^+ ^21) R330 + ^11R220 + +4^1R440 + T2r40,
^430 /L = - (2^1 + ^2 + 1) R430 + ^11R320 +
+^2^ R220 + 3t 1r40 + 2^2r31,
LR530/l =-(t + 2t2 + i) p^30+1P420 +
+^2YaP320 + t1P531,
LR440 IL (4t1 + I) R40 + R330 +
5^1r50 + t2r41,
LR540/ l =-(t2 + 3t + i) r540 + yar430 +
+"^2YaP330 + 3 t1P541 + 2 t2P532,
LR531/L = - (^1 + 2^2 + R) R^31 + R530 +
LR550 IL = -(5t1 + Y) R550 + YR440 +
5t1R551 + t2R542,
LR541/ l = - (t2 + 3t + i) p^41 + ya^40 +
LR532/l = -(t1 + 2t2) R532 + i r531,
LR5511L = - (5t1 + Y)r51 + YR550 + 5t1R552,
lr542 / l = - (3 t + t2) r542 + i r541 ,
Lp5^^ = 5 t1P552 + i p51.
Ako u trenutku t = 0 nema zahtjeva u QS-u, tada će početni uslovi biti zapisani u obliku
P10 (0) = P210 (0) = P220 (0) =... = P552 (0) = 0.
Rješenje velikodimenzionalnih sistema poput (1), (2), sa varijabilnim vrijednostima 1(^, mDO, m2(0) moguće je samo numeričkim metodama uz korištenje računara.
Rice. 1. Grafikon stanja QS-a
Izgradnja QS modela
U skladu sa algoritamskim pristupom, razmotrićemo tehniku transformacije sistema Kolmogorovljevih jednačina proizvoljne dimenzije u oblik pogodan za kompjuterske proračune. Da bismo pojednostavili snimanje, koristimo umjesto trostrukog sistema dvostruki sistem notacije QS stanja, u kojem je r broj kanala zauzetih servisiranjem plus dužina reda,] je broj aplikacija u QS-u. . Odnos između sistema notacije izražen je ovisnostima:
r = n + m, r = 0,1,...,K;
] = k + m, ] = 0,1,...,K.
Ne može se realizovati nijedno stanje iz formalnog skupa
B. (r = 0,1,...,K; ] = 0,1,...,K). posebno,
u okviru opisanog modela nemoguća su stanja u kojima dva ili više zahtjeva istovremeno servisira jedan
kanal, tj. R. (t) = 0 ako je ] > r Označimo simbolom 8 skup dozvoljenih stanja QS. Država B. postoji, i
njegova odgovarajuća vjerovatnoća P. ^)
može biti različit od nule ako je ispunjen jedan od sljedećih uslova:
1)] <г< 2], если 2] < N,
2)] <г< ] + Ч - 1 если \ .
y] + H - 1< К,
3)] < г < К, если ] + ч - 1 ^ К,
r = 0,1,...,K; ] = 0,1,...,K,
gdje je H maksimalni broj stanja sa različitim brojem kanala za opsluživanje za dati broj zahtjeva, određen formulom
Ovdje zagrade označavaju operaciju odbacivanja razlomka. Na primjer,
sudeći po grafikonu stanja prikazanom na sl. 1, dva zahtjeva se mogu opsluživati putem dva, tri ili četiri kanala. Stoga, u primjeru o kojem se gore govori
H = 5 - = 5 - 2 = 3.
Da bi se sproveli kompjuterski proračuni koristeći sistem Kolmogorovljevih jednačina proizvoljne dimenzije, njegove jednačine moraju biti svedene na neki univerzalni oblik koji omogućava pisanje bilo koje jednačine. Da biste razvili takav oblik, razmotrite fragment grafa stanja koji prikazuje jedno proizvoljno stanje B] sa vodećim iz njega
strelice za intenzitet. Označimo rimskim brojevima susjedne države direktno povezane sa B., kao što je prikazano na sl. 2.
Za svako stanje B. (g = 0.1,...,K; ] = 0.1,...,K), tako da je B. e 8, u trenutku t vrijednosti
p^), p(t), p.^), p(t) prihvatiti
razne vrijednosti (uključujući one jednake nuli). Međutim, struktura jednadžbe
(3) ostaje nepromijenjen, što mu omogućava da se koristi za kompjutersku implementaciju sistema Kolmogorovljevih jednačina proizvoljne dimenzije.
Intenzitet fr (t), (r. (t), koji teži da QS prenese u stanja sa velikim vrijednostima r i ], ako je prisustvo takvih stanja moguće, određuju se na osnovu niza uslova kako slijedi :
o.. í̈ a ili
°(,-+1)0"+1) í̈ 8 ’
0(,-+2)(.+1) - 8 i £ N - 2,
o(i+1)(.+1)- 8 ili
°(.+2)a+1)í̈ 8
O(.+1)(V+1) - 8’
Rice. 2. Fragment grafa stanja QS
Uzimajući u obzir prisustvo susjednih država u odnosu na B., jednačina za B. će se napisati na sljedeći način:
-£ = -[P () + P () + P. () +
Rr (tI Rg, (t) + Rr+1)(.+1) (t) R(g+1)(.+1) () +
R(N(1-1)^)R(-1)(1 -1)^) +
R 2)()+1)()R(g+2)()-+1)() +
RC2)(.-1) (t)P(g-2)(.-G) ().
O(.+1)(.+1)í̈ 8 ili í > N - 2
Y2X(i), ako
I(i+1)(.+1) - 8>
O(i+2)(.+1) - 8 ’ i £ N - 2,
O(í+1)(.+1)í̈ 8’
O(i+2)(.+1) - 8’
r = 0,1,...,k, . = 0,1,...,k.
Intenzitet rijeke (), str..11 (), prenos QS-a iz stanja B-. u državama
sa manjim vrijednostima g i. (ako je prisustvo takvih stanja moguće), direktno su proporcionalni broju uključenih kanala, koji opslužuju zahtjeve različitih tipova koji se nalaze u QS-u (zauzimajući jedan ili dva kanala za servisiranje). Grupa od dva kanala koja se bave servisiranjem jednog zahtjeva odgovarajućeg tipa može se smatrati jednim kanalom. Dakle, u opštem slučaju
p () = kdM1 () , R. () = ky2^2 () ,
gdje je k.1 broj zahtjeva koji zauzimaju jedan kanal koji opslužuje QS u stanju B; k je broj zahtjeva koji zauzimaju svaki po dva kanala, koje opslužuje QS u stanju B.
Kroz g i. ove vrijednosti se određuju na sljedeći način:
G2. - g ako g< N,
y1 [ N - 2 (r - .), ako je r > N, (4)
To! 2 = g - . .
Uzimajući u obzir ograničenja mogućnosti postojanja stanja ekspresije za
p(), R.() imaju oblik
^B(g-1)(L) e 8,
Pokazatelji efektivnosti funkcionisanja QS-a
Opisani model nam omogućava da odredimo vremenske zavisnosti sledećih indikatora operativne efikasnosti razmatranog QS-a.
Prosječna dužina reda čekanja:
može ()=22(g-p) R ().
Prosječan broj zauzetih kanala:
Prosječan broj prijava na CMO:
m, ()=22.R. ().
Vjerovatnoća uskraćivanja usluge:
R„, ()= 2 R- ().
Može se dobiti distribucija virtualnog vremena čekanja od strane aplikacije
usluga Ž (x,t) = R ^ož ()< х) , позволяющее характеризовать качество обслуживания рассматриваемой СМО. Поступившая в систему заявка вынуждена ожидать обслуживания в случае, если все каналы заняты обслуживанием заявок, поступивших
prethodno. Postoji vjerovatnoća Rk=0 (t) trenutnog servisiranja dolaznog zahtjeva u prisustvu slobodnog kanala (ili nekoliko slobodnih kanala)
B(g-1)(.-1) £ 8,
r = 0,1,...,K, . = 0,1, ..., K.
R. () ° 0, ako je B. £ 8.
Uzimajući u obzir mogućnost kvara, željena vrijednost funkcije raspodjele Ž (h^) odredit će se kao
F (x-‘)=(--o(t)
EEZH M (,)) ()
Ru()° 0 ako je °y. í̈ 8.
Ovdje je Ž (h,t| (í,./)) uslovna funkcija
raspodjela vremena čekanja za određeni zahtjev, pod uslovom da je u trenutku njegovog dolaska T našao QS u stanju y.
U QS-u koji se razmatra, vrijeme čekanja na servis po dolaznom zahtjevu zavisi ne samo od broja zahtjeva koji su već u QS-u, već i od raspodjele kanala između grupnog i pojedinačnog servisiranja postojećih zahtjeva. Da međusobna pomoć između kanala ne postoji, tada bi QS koji se razmatra bio tradicionalni QS sa čekanjem u redu ograničene dužine, za koji je ukupno vrijeme čekanja za početak usluge po zahtjevu koji je pretekao m drugih potraživanja u redu u trenutku dolaska bi imao Erlangovu distribuciju E,^) (X) .
Ovdje gornji indeks sadrži intenzitet zahtjeva za servisiranje svih N kanala koji rade u prisustvu reda; indeks je redoslijed distribucije prema Erlangovom zakonu. U QS-u koji se ovdje razmatra, opisani zakon vrijedi samo za zahtjeve koji su ušli u QS u stanjima gdje su svi kanali zauzeti, a svi služe po jednom zahtjevu. Za ova stanja možemo pisati
F (x,t| ^ + m,N + t)) = ^+1() (x).
Označimo kao E^”^1 (x) funkciju raspodjele generaliziranog Erlan-zakona
ha, koji ima red 2"r - 1, gdje je ag broj
Lo slučajne varijable raspoređene po
eksponencijalni zakon sa parametrom y. WITH
Koristeći uvedenu notaciju, pišemo izraze za funkciju raspodjele vremena čekanja u drugim stanjima. U poređenju sa (5), ovi izrazi imaju složeniji oblik, što ne ometa njihovu softversku implementaciju. Nadalje, kao primjer, oni su dati samo za prva tri stanja pune zauzetosti kanala koristeći prethodno uvedeno indeksiranje od tri znaka:
F (x,t| (n,k,t)) = F (x,t| (N,N - g,0)) =
= (x), 0 £ g £ d,
gdje i. = kLt (t)+ku 2M2 (t);
Ž (h,t| (p,k,t)) = Ž (h,t| (N,N - g,l)) =
N ^ ^ - g) Km(T)
F (x,t| - g, 2))
N ^).(N - g) Km(t)
E/^(t),(t-g) ■â(t),(t-g+l)
(N),(N - g) ktM(T)
EI-)(t-g)(x) +
^).(N - g) eH^) (x)
Prosječno virtualno vrijeme čekanja za aplikaciju Toz () se određuje numerički kao
Identitet (T) = | ^H (x,T) .
Raspodjela vremena virtualnog servisiranja za proizvoljno odabrani zahtjev Tobsl ^) također se može odrediti.
Budući da je promjena Tobsl (t) u razmatranom QS slučajni proces, koji je mješavina dva eksponencijalno raspoređena slučajna procesa TobsL1 ^) i TobsL2 ^), onda je distribucija
V (x^) = P (Tobsl (t)< х) не будет показательным. С учётом возможности отказа выражение для функции распределения V (х^) запишется в виде
EEU M k,.YR(t)
R.. ^) ° 0, ako je 8. £ 8.
Ovdje je V (x^| (r,.)) uslovna funkcija distribucije vremena usluge određenog zahtjeva, pod uslovom da je u trenutku njegovog dolaska pronašao QS u stanju.
Ako je u trenutku početka servisiranja aplikacije QS u stanju u kojem je moguće i grupno i pojedinačno servisiranje, tada je vrijeme servisiranja mješavina dva pro-
prelazak na grupnu uslugu - ako je uslov moguć (slika 2). Tako imamo:
U(M(i--/")) =
y (1 - e-t(t)x) + +y (1 - e^2(t)x),
I O(í+2)(]+1) í̈ 8, O(í+1)(.+1) - 8,
"2\* ^ Í’ I ^ +2)(.+1)
i = 0,1,...,N -1, i = 0,1,...,N -1.
Budući da, u nedostatku dva slobodna kanala, svaki zahtjev služi jedan kanal, onda je stvarna vjerovatnoća ^) dodjeljivanja jednog kanala
det je veći od date V Funkcija uv ^) je definirana kao
EEU O","r(t)
R. (t) ° 0, ako je R. í̈ 8.
Ovdje je y1(r,.) vjerovatnoća dodjeljivanja jednog uređaja za servisiranje zahtjeva koji je primio QS u stanju:
O(í+1)(.+1) - 8, O(í
2)(}+1) -2)(!+1)
trajanja: Tobsl1 (t) i Tobsl2 (t), dis- i = 0,1...,K -1, . = 0,1...,K -1.
ograničeno eksponencijalno sa parametrima ^1 (t) i ^2 (t), respektivno. Ako u
U ovom trenutku nije moguće dodijeliti dva kanala, tada se vrijeme za servisiranje zahtjeva distribuira eksponencijalno s parametrom
t(t). Kada se zahtjev približi kanalima za opsluživanje u stanju B., prelazak na individualno servisiranje je dozvoljen kada
prisustvo mogućnosti stanja I(
Prosječno trajanje servisiranja zahtjeva uključeno u QS u to vrijeme
T, može se definirati kroz uv (T) kao
Tbl (t)=uf (t) Tm (t)+ Tbs 2 (t).
Distribucija virtuelnog vremena boravka aplikacije u QS-u
i (x,t)= P (Tpreb (t)< х)
određuje se pomoću prethodno dobijenih izraza za funkcije distribucije vremena čekanja i servisnog vremena - =
vaniya kao ja,
2^2 (t) Et^^(t)^^) (x) +
EEi M))rí̈(t)
i (x,t| (^ .)) =
1 - e-M1(t)x
y (1 - e-t(t)x)-+y2(1 - e
(1 - e ^t(t)x),
O(í+1)(.+1) - 8, O(í+ 2)(.+1) í̈ 8’
O(í+1)(.+1) - 8’ O(í+2)(.+1) - 8,
r = 0,1,...^-1, . = 0’l’...’N-1.
Za druga stanja, formule za funkciju uslovne distribucije se pišu analogno formulama za
Ž (h^| (p,k,t)) koristeći indeksiranje od tri znaka. Ispod su dati za prva tri stanja pune popunjenosti kanala:
U trenutku ulaska nema reda, ali su svi kanali zauzeti:
i (x^| (n,k,t)) = i (x^| (NN - g,0)) =
(x), 0 £ g £ d;
Do trenutka kada aplikacija uđe, u redu čekanja je jedna aplikacija:
R. (t) ° 0, ako je R. í̈ 8.
Ovdje i (x^| (r,.)) je funkcija uslovne distribucije vremena provedenog u QS nekog zahtjeva, pod uslovom da je u trenutku njegovog dolaska t zatekao sistem u stanju..
Za države sa slobodnim kanalima, vrijeme boravka u QS-u poklapa se sa vremenom usluge:
Do trenutka kada aplikacija uđe, u redu čekanja su dvije aplikacije:
i (x,t | (t,t - ^2))
(t)(t^)H (t)(t^+1)
(t)(t - g) ktsM (t)
(t)(t - g) KtsM (t)
Prosječno virtuelno vrijeme boravka aplikacije u QS-u je definirano kao
Tpreb ^) = Tobsl (t) + Toz (t).
Primjer korištenja QS modela
Svakodnevno funkcionisanje proizvodnog kompleksa jednog od istočnoevropskih regionalnih čvornih aerodroma simulira se prilikom izvođenja zasebne tehnološke operacije za servisiranje aviona koji dolaze. Kao početni podaci za modeliranje, vremenske zavisnosti srednjeg intenziteta protoka aviona koji stižu
za uslugu, i(t) i intenzitet
servisiranje aviona sa jednim sredstvom t1 (t) .
Kao što slijedi iz konstruiranih podataka
web stranica aerodroma graf ovisnosti i(t)
(Sl. 3a), snabdevanje BC karakteriše značajna neravnomernost: tokom dana se primećuju četiri maksimuma intenziteta, što odgovara četiri „talasa”
nas" dolasci i odlasci letova. Vršne vrijednosti od 1(t) za glavne "valove" dostižu 25-30 VS/h.
Na sl. 3 i također prikazuje grafik zavisnosti t (t). Pretpostavlja se da nije
samo intenzitet strujanja aviona, ali i intenzitet njihove službe je u funkciji vremena i zavisi od faze „talasa“. Činjenica je da je kako bi se smanjilo prosječno vrijeme transfera za putnike, raspored aerodromskog čvorišta strukturiran na način da se "val" pokreće dolaskom velikih putničkih aviona za čije održavanje je potrebno mnogo vremena, a upotpunjuje se dolaskom malih aviona. U primjeru se pretpostavlja da se prosječno trajanje operacije s jednim alatom, koje je 20 minuta tokom većeg dijela trajanja dana, u početnoj fazi “talasa” povećava na 25 minuta. a u završnoj fazi se smanjuje na 15 minuta. Dakle, četiri intervala sa
smanjeni nivo t (t) na Sl. 3a odgovaraju početnim fazama „talasa“, kada preovlađuju dolasci velikih aviona. Zauzvrat, četiri intervala povećanja
nivo t^) pada na finalu
"talasne" faze sa prevlastom malih aviona.
U nastavku opisujemo rezultate simulacije koji nam omogućavaju da procenimo efikasnost sistema. Na sl. 3b-3d prikazuju vremenske zavisnosti prosječnih vrijednosti broja zauzetih kanala Nz ^),
ukupan broj prijava u sistemu Ministarstva zdravlja ^) i
dužine redova Moz (7) dobijene za dvije granične vrijednosti vjerovatnoće n1 = 0 i n1 = 1 sa sljedećim projektnim karakteristikama: N = 10; K = 40; in = 1,75. Sudeći po grafu zavisnosti Nz (t)
(Sl. 3b), tokom većeg dijela dnevnog vremenskog intervala popunjenost servirnih kanala sistema ostaje niska, što je posljedica nestacionarnog unosa
protok aviona. Visoko opterećenje (60-80%) postiže se tek tokom drugog „talasa” dolazaka i odlazaka, a opcija n1 = 0 pri velikim vrednostima od 1(t) izaziva veće opterećenje sistema, a pri malim vrednostima od 1(t) - manje
u poređenju sa opcijom n1 = 1. Štaviše, as
modeliranje je pokazalo da je vjerovatnoća kvara u sistemu koji se razmatra za obje opcije zanemarljiva.
Poređenje grafova zavisnosti
M3 ^) i Mozh ^) (sl. 3c i 3d, respektivno) nam omogućava da zaključimo da u QS-u sa n1 = 0 u prosjeku ima manje zahtjeva i očekuje se da će više zahtjeva biti usluženo nego sa n1 = 1 Ova kontradikcija se objašnjava činjenicom da je svaka aplikacija primljena od strane QS-a, što u slučaju n1 = 0 traje dva.
kanal, ostavlja manje slobodnih kanala za zahtjeve koji ga slijede, prisiljavajući ih da kreiraju veći red nego u slučaju
n1 = 1. Istovremeno, grupno korištenje kanala, smanjujući vrijeme servisa, uzrokuje smanjenje ukupnog broja aplikacija koje se opslužuju i čekaju na servis. Dakle, u primjeru koji se razmatra, prosječno vrijeme usluge u toku dana je
za opciju p1 = 1 je 20 minuta, a za
opcija p1 = 0 - 11,7 min.
Gore razmatrani model omogućava rješavanje problema vezanih za traženje optimalnog upravljanja kvalitetom transportnih usluga. Na sl. Na slikama 3d, 3f prikazani su neki rezultati rješavanja ovakve vrste problema, čije je značenje dalje objašnjeno na primjeru aerodroma koji se razmatra.
Prosječna dužina čekanja, koja je mala čak i pri vršnim opterećenjima, ne prelazi 0,6 aviona u primjeru koji se razmatra (slika 3d), ne garantuje da će za veliku većinu aviona vrijeme čekanja u redu biti prihvatljivo. Nisko prosječno vrijeme čekanja sa zadovoljavajućim prosječnim vremenom za završetak servisne operacije
Ovo takođe ne isključuje mogućnost neprihvatljivo dugog zastoja tokom održavanja pojedinačnih aviona. Razmotrimo primjer kada je kvalitet aerodromske usluge podložan zahtjevima kako za osiguranje zadovoljavajućih vrijednosti za vrijeme čekanja na uslugu tako i za vrijeme provedeno u sistemu. Pretpostavićemo da bi više od 90% aviona trebalo da bude u stanju mirovanja radi održavanja manje od 40 minuta, a vreme čekanja na održavanje za isti deo aviona trebalo bi da bude manje od 5 minuta. Koristeći prethodno uvedenu notaciju, ovi zahtjevi za kvalitetom aerodromske usluge biće napisani u obliku nejednakosti:
P (Tpreb (t)< 40мин)>09, P (Identitet (t)< 5мин)> 09
Na sl. 3d, 3f prikazuju vremenske zavisnosti vjerovatnoća P (Tpreb (/)< 40мин)
i P (Ident. (")< 5 мин) для интервала времени
460-640 min. od početka modela dana koji odgovara drugom „valu“ dolazaka.
Kao što se vidi iz slika, opcija n1 = 1 nije
pruža izračunatu pouzdanost u smislu vremena servisiranja: zahtjev za servisnim vremenom specificiranim uvjetom
P (Tpreb (t)< 40мин)>09, obavlja se samo u kratkom periodu od 530560 minuta, što odgovara dolascima malih
Ned. Zauzvrat, opcija n1 = 0 ne daje izračunatu pouzdanost u smislu vremena čekanja u redu: tokom intervala dolazaka velikih aviona (500-510 min.)
Rice. 3. Rezultati simulacije 262
ispunjen je uslov P (Iz(t)< 5мин) > 0.9.
Kao što je modeliranje pokazalo, izlaz iz ove situacije može biti izbor
kompromisna opcija y1 » 0.2. U praksi, ova opcija znači da aerodromskim uslugama treba dodijeliti po dva sredstva za servisiranje ne svih aviona, već samo onih odabranih na osnovu određenog kriterija, npr.
putnički kapacitet. Ovdje y1 igra ulogu
parametar koji vam omogućava da kontrolišete indikatore performansi QS-a: vreme čekanja za aplikaciju u redu čekanja i vreme dok aplikacija ostaje u QS-u ili vremenu usluge.
Dakle, razmatrani sistem, koji koristi jedan ili dva kanala istovremeno za servisiranje zahtjeva, predstavlja poseban, ali praktično značajan slučaj QS-a sa
uzajamna pomoć kanala. Upotreba dinamičkog modela takvog QS-a omogućava postavljanje i rješavanje različitih optimizacija, uključujući višekriterijumske, probleme vezane za upravljanje ne samo ukupnim brojem sredstava, već i njihovom međusobnom pomoći. Problemi ove vrste su posebno relevantni za aerodrome čvorišta, koji su zasićeni uslužnim kapacitetima, sa svojim nestacionarnim tokovima leta i promenljivim intenzitetom usluge. Dakle, model razmatranog QS je alat za analizu i optimizaciju parametara tako obećavajuće klase aerodroma kao što su čvorišta.
Bibliografija
1. Bocharov, P.P. Teorija čekanja [Tekst] / P.P. Bocharov, A.V. Pe-chinkin. - M.: Izdavačka kuća RUDN, 1995. - 529 str.
MODEL SISTEMA REDOVANJA SA NESTACIONARNIM TOKOVIMA I DELIMIČNOM MEĐUSOBNOM POMOĆU IZMEĐU KANALA
© 2011 V. A. Romanenko
Samarski državni svemirski univerzitet nazvan po akademiku S. P. Korolyovu (Nacionalni istraživački univerzitet)
Opisan je dinamički model višekanalnog sistema čekanja sa nestacionarnim tokovima, čekanjem u redu ograničene dužine i djelimičnom uzajamnom pomoći kanala izraženom u mogućnosti istovremenog servisiranja korisnika po dva kanala. Dati su izrazi za osnovne vjerovatnoće-vremenske karakteristike sistema. Razmatrani su rezultati modeliranja funkcionisanja čvornog aerodroma kao primjera sistema.
Sistem čekanja, nestacionarni tok, međusobna pomoć između kanala, čvorni aerodrom.
Podaci o autoru Vladimir Aleksejevič Romanenko, kandidat tehničkih nauka, vanredni profesor, doktorand Odseka za organizaciju i upravljanje transportnim transportom, Samarski državni vazduhoplovni univerzitet po imenu akademika S.P. Koroljeva (nacionalni istraživački univerzitet). Email: [email protected]. Oblast naučnog interesovanja: optimizacija i modeliranje sistema transportnih usluga aerodromskog čvorišta.
Romanenko Vladimir Aleksejevič, kandidat tehničkih nauka, vanredni profesor, doktorirao na odseku za organizaciju i upravljanje saobraćajem, Samarski državni vazduhoplovni univerzitet po imenu akademika S. P. Koroljova (Nacionalni istraživački univerzitet). Područje istraživanja: optimizacija i simulacija sistema transportnih usluga u čvorištu aerodroma.
Do sada smo razmatrali samo takve QS-ove u kojima svaki zahtjev može biti opslužen samo jednim kanalom; nezauzeti kanali ne mogu "pomoći" onima zauzetim u servisiranju.
Općenito, to nije uvijek slučaj: postoje sistemi čekanja u kojima se isti zahtjev može istovremeno opsluživati sa dva ili više kanala. Na primjer, istu pokvarenu mašinu mogu servisirati dva radnika odjednom. Takva „međusobna pomoć“ između kanala može se odvijati iu otvorenim i zatvorenim QS-ovima.
Kada se razmatra QS sa međukanalnom uzajamnom pomoći, postoje dva faktora koja treba uzeti u obzir:
1. Koliko brzo se servisiranje aplikacije ubrzava kada na njoj radi ne jedan, već više kanala odjednom?
2. Šta je „disciplina uzajamne pomoći“, tj. kada i kako više kanala preuzima servisiranje istog zahtjeva?
Pogledajmo prvo prvo pitanje. Prirodno je pretpostaviti da ako za servisiranje aplikacije radi ne jedan, već nekoliko kanala, intenzitet toka usluge neće opadati sa povećanjem k, tj. predstavljaće neku neopadajuću funkciju broja k radnih kanala. Označimo ovu funkciju Mogući oblik funkcije prikazan je na Sl. 5.11.
Očigledno, neograničeno povećanje broja kanala koji istovremeno rade ne dovodi uvijek do proporcionalnog povećanja brzine usluge; Prirodnije je pretpostaviti da pri određenoj kritičnoj vrijednosti dalje povećanje broja zauzetih kanala više ne povećava intenzitet usluge.
Da bi se analizirao rad QS-a uz međusobnu pomoć između kanala, potrebno je prije svega postaviti tip funkcije
Najjednostavniji slučaj za proučavanje biće slučaj kada se funkcija povećava proporcionalno k dok i ostane konstantna i jednaka (vidi sliku 5.12). Ako ukupan broj kanala koji mogu pomoći jedni drugima ne prelazi
Zaustavimo se sada na drugom pitanju: disciplini uzajamne pomoći. Najjednostavniji slučaj ove discipline nazvat ćemo “svi kao jedan”. To znači da kada se pojavi jedan zahtjev, svi kanali počinju da ga servisiraju odjednom i ostaju zauzeti dok se servisiranje ovog zahtjeva ne završi; onda se svi kanali prebacuju na servisiranje drugog zahtjeva (ako postoji) ili čekaju njegovo pojavljivanje ako ne, itd. Očigledno, u ovom slučaju svi kanali rade kao jedan, QS postaje jednokanalni, ali sa višom uslugom intenzitet.
Postavlja se pitanje: da li je isplativo ili neisplativo uvoditi takvu međusobnu pomoć između kanala? Odgovor na ovo pitanje zavisi od toga koliki je intenzitet toka zahteva, koji tip funkcije, koji tip QS-a (sa kvarovima, sa redom), koja se vrednost bira kao karakteristika efikasnosti usluge.
Primjer 1. Postoji trokanalni QS sa kvarovima: intenzitet toka aplikacija (aplikacije u minuti), prosječno vrijeme servisiranja jednog zahtjeva po jednom kanalu (min), funkcija Postavlja se pitanje da li je to korisno od tačka gledišta propusnosti QS-a za uvođenje međusobne pomoći između kanala tipa „svi kao jedan“? Da li je ovo korisno u smislu smanjenja prosječnog vremena boravka aplikacije u sistemu?
Rješenje a. Bez uzajamne pomoći
Prema Erlangovim formulama (vidi § 4) imamo:
Relativni kapacitet QS-a;
Apsolutna propusnost:
Prosječno vrijeme zadržavanja aplikacije u QS-u nalazi se kao vjerovatnoća da će aplikacija biti prihvaćena za uslugu pomnožena s prosječnim vremenom usluge:
Gsist (min).
Ne smijemo zaboraviti da se ovo prosječno vrijeme odnosi na sve aplikacije - kako servisirane tako i neservirane. Ovo vrijeme je jednako:
6. Uz međusobnu pomoć.
Prosječno vrijeme boravka aplikacije u CMO-u:
Prosječno vrijeme provedeno od strane servisirane aplikacije u CMO-u:
Dakle, u prisustvu uzajamne pomoći „svi kao jedan“, propusnost QS-a je značajno smanjena. Ovo se objašnjava povećanjem vjerovatnoće odbijanja: dok su svi kanali zauzeti servisiranjem jednog zahtjeva, drugi zahtjevi mogu stići i, naravno, biti odbijeni. Što se tiče prosječnog vremena koje aplikacija provede u CMO-u, ono se, kako bi se očekivalo, smanjilo. Ako iz nekog razloga nastojimo u potpunosti smanjiti vrijeme koje aplikacija provodi u QS-u (na primjer, ako je boravak u QS-u opasan za aplikaciju), može se ispostaviti da će, uprkos smanjenju propusnosti, i dalje bi bilo korisno kombinovati tri kanala u jedan.
Razmotrimo sada uticaj uzajamne pomoći tipa „svi kao jedan“ na rad QS-a sa očekivanjem. Radi jednostavnosti, uzimamo samo slučaj neograničenog reda čekanja. Naravno, u ovom slučaju neće biti uticaja međusobne pomoći na propusnost QS-a, jer će pod bilo kojim uslovima svi pristigli zahtevi biti servisirani. Postavlja se pitanje uticaja međusobne pomoći na karakteristike čekanja: prosečnu dužinu čekanja, prosečno vreme čekanja, prosečno vreme provedeno u službi.
Na osnovu formula (6.13), (6.14) § 6 za uslugu bez uzajamne pomoći, prosečan broj zahteva u redu će biti
prosječno vrijeme čekanja:
i prosječno vrijeme boravka u sistemu:
Ako se koristi međusobna pomoć tipa „svi kao jedan“, tada će sistem raditi kao jednokanalni sa parametrima
a njegove karakteristike su određene formulama (5.14), (5.15) § 5:
Primjer 2. Postoji trokanalni QS sa neograničenim redom čekanja; intenzitet protoka aplikacija (aplikacije u minuti), prosječno vrijeme servisiranja Funkcija Povoljno značenje:
Prosječna dužina reda,
Prosječno vrijeme čekanja na uslugu,
Prosječno vrijeme boravka aplikacije u CMO-u
uvesti međusobnu pomoć između kanala poput „svi kao jedan“?
Rješenje a. Nema uzajamne pomoći.
Prema formulama (9.1) - (9.4) imamo
(3-2)
b. Uz međusobnu pomoć
Koristeći formule (9.5) - (9.7) nalazimo;
Dakle, prosječna dužina reda i prosječno vrijeme čekanja u redu u slučaju uzajamne pomoći su veće, ali je prosječno vrijeme boravka aplikacije u sistemu manje.
Iz razmotrenih primjera jasno je da je međusobna pomoć između „sve kao jedan“ tip gotovine, po pravilu, ne doprinosi povećanju efikasnosti usluge: smanjuje se vrijeme zadržavanja zahtjeva u sistemu usluge, ali se pogoršavaju ostale karakteristike usluge.
Stoga je poželjno promijeniti servisnu disciplinu kako međusobna pomoć kanala ne bi ometala prihvatanje novih zahtjeva za uslugu ukoliko se pojave dok su svi kanali zauzeti.
Nazovimo sljedeću vrstu međusobne pomoći „jedinstvena uzajamna pomoć“. Ako zahtjev stigne u vrijeme kada su svi kanali slobodni, tada se svi kanali prihvataju za njegovo servisiranje; ako u trenutku servisiranja aplikacije stigne još jedna, neki od kanala prelaze na servisiranje iste; ako u toku servisiranja ova dva zahtjeva stigne još jedan, neki od kanala pređu na njegovo servisiranje itd., dok svi kanali ne budu zauzeti; ako je to tako, novopristigla aplikacija se odbija (u QS-u sa odbijanjem) ili se stavlja u red čekanja (u QS-u sa čekanjem).
Kod ove discipline uzajamne pomoći, aplikacija se odbija ili stavlja u red samo kada je nije moguće servisirati. Što se tiče “zastoja” kanala, ono je minimalno pod ovim uslovima: ako postoji barem jedan zahtjev u sistemu, svi kanali rade.
Gore smo spomenuli da kada se pojavi novi zahtjev, neki od zauzetih kanala se oslobađaju i prebacuju na servisiranje novopristiglog zahtjeva. Koji dio? Zavisi od tipa funkcije Ako ima oblik linearne relacije, kao što je prikazano na sl. 5.12, i nije bitno koji dio kanala je dodijeljen za opsluživanje novoprimljenog zahtjeva, sve dok su svi kanali zauzeti (tada će ukupan intenzitet usluga za bilo koju distribuciju kanala među zahtjevima biti jednak ). Može se dokazati da ako je kriva konveksna prema gore, kao što je prikazano na sl. 5.11, tada morate rasporediti kanale među zahtjevima što je ravnomjernije moguće.
Razmotrimo rad -kanalnog QS-a sa “ujednačenom” uzajamnom pomoći između kanala.
Formulacija problema. Na ulazu n-kanal QS prima najjednostavniji tok zahtjeva sa gustinom λ. Gustina najjednostavnijeg toka usluge za svaki kanal je μ. Ako primljeni zahtjev za uslugu utvrdi da su svi kanali slobodni, tada je prihvaćen za servis i servisiran istovremeno l kanali ( l < n). U ovom slučaju, tok usluga za jednu aplikaciju će imati intenzitet l.
Ako primljeni zahtjev za uslugu pronađe jedan zahtjev u sistemu, kada n ≥ 2l novopristigla prijava će biti prihvaćena na servis i istovremeno će se servisirati l kanala.
Ako je primljeni zahtjev za uslugu uhvaćen u sistemu i aplikacije ( i= 0,1, ...), dok ( i+ 1)l≤ n, tada će primljena aplikacija biti servisirana l kanala sa ukupnim performansama l. Ako je novoprimljena aplikacija uhvaćena u sistemu j aplikacije i istovremeno su dvije nejednakosti zadovoljene zajednički: ( j + 1)l > n I j < n, tada će prijava biti prihvaćena na servis. U tom slučaju neke aplikacije se mogu servisirati l kanala, drugi dio je manji od l, broj kanala, ali će svi biti zauzeti servisiranjem n kanali koji su nasumično raspoređeni između aplikacija. Ako je novoprimljena aplikacija uhvaćena u sistemu n prijave, onda se odbija i neće biti servisiran. Zahtjev zaprimljen na servisiranje se servisira do kraja (prijave "pacijenata").
Grafikon stanja takvog sistema prikazan je na Sl. 3.8.
Rice. 3.8. Grafikon stanja QS sa kvarovima i djelomičnim
međusobna pomoć između kanala
Imajte na umu da je graf stanja sistema do stanja x h do notacije parametara toka, poklapa se sa grafom stanja klasičnog sistema čekanja sa kvarovima, prikazanim na Sl. 3.6.
dakle,
(i
= 0, 1, ..., h).
Grafikon stanja sistema počevši od stanja x h i završava sa državom x n, poklapa se, do notacije, sa grafom stanja QS-a sa potpunom uzajamnom pomoći prikazanom na Sl. 3.7. dakle,
.
Hajde da uvedemo oznaku λ / lμ = ρ l ; λ / nμ = χ, onda
Uzimajući u obzir normalizovano stanje, dobijamo
Hajde da pronađemo karakteristike sistema.
Prosječan broj aplikacija u sistemu je
Prosječan broj zauzetih kanala
.
Vjerovatnoća da će određeni kanal biti zauzet
.
Vjerovatnoća zauzetosti svih kanala sistema
Formulacija problema. Na ulazu n-kanalni QS sistem prima heterogeni najjednostavniji tok ukupnog intenziteta λ Σ , i
λ Σ
=
,
gdje je λ i– intenzitet primjene u i th izvor.
Budući da se tok zahtjeva smatra superpozicijom zahtjeva iz različitih izvora, kombinovani tok sa dovoljnom tačnošću za praksu može se smatrati Poissonovim za N = 5...20 i λ i ≈ λ i +1 (i1,N). Intenzitet usluge jednog uređaja je raspoređen prema eksponencijalnom zakonu i jednak je μ = 1/ t. Servisni uređaji za servisiranje zahtjeva su povezani serijski, što je ekvivalentno povećanju vremena servisa onoliko puta koliko se kombinira broj uređaja za servisiranje:
t obs = kt, μ obs = 1 / kt = μ/ k,
Gdje t obs – vrijeme servisiranja zahtjeva; k– broj servisnih uređaja; μ obs – zahtjev za intenzitetom servisiranja.
U okviru pretpostavki usvojenih u Poglavlju 2, stanje QS-a predstavljamo kao vektor, gdje k m– broj aplikacija u sistemu, od kojih je svaka servisirana m uređaji; L = q max – q min +1 – broj ulaznih tokova.
Zatim broj zauzetih i slobodnih uređaja ( n zan ( 
),n sv ( 
)) u stanju 
definira se kako slijedi:
Od države 
sistem može ići u bilo koje drugo stanje 
. Pošto sistem funkcioniše L ulaznih tokova, onda je iz svakog stanja potencijalno moguće L direktnim prelazima. Međutim, zbog ograničenih sistemskih resursa, nisu sve ove tranzicije izvodljive. Neka SMO bude u stanju 
i stiže zahtjev m uređaja. Ako m≤ n sv ( 
), tada je zahtjev prihvaćen za uslugu i sistem prelazi u stanje intenziteta λ m. Ako aplikacija zahtijeva više uređaja nego što je dostupno, tada će biti odbijena usluga, a QS će ostati u stanju 
. Ako možeš 
postoje aplikacije koje zahtijevaju m uređaja, onda se svaki od njih servisira sa intenzitetom m, te ukupan intenzitet servisiranja takvih zahtjeva (μ m) je definisan kao μ m
= k m μ
/ m. Kada je servisiranje jednog od zahtjeva završeno, sistem će prijeći u stanje u kojem odgovarajuća koordinata ima vrijednost za jedan manji od stanja 
,
=, tj. desiće se obrnuti prelaz. Na sl. 3.9 prikazuje primjer vektorskog modela QS za n
= 3, L
= 3, q min = 1, q max = 3, P(m) = 1/3, λ Σ = λ, intenzitet održavanja uređaja – μ.
Rice. 3.9. Primjer grafa vektorskog modela QS-a sa servisnim kvarovima
Dakle, svaka država 
karakterizira broj servisiranih aplikacija određenog tipa. Na primjer, u državi 
jedan zahtjev opslužuje jedan uređaj, a jedan zahtjev dva uređaja. U ovom stanju su svi uređaji zauzeti, stoga su mogući samo obrnuti prijelazi (dolazak bilo kojeg zahtjeva u ovo stanje dovodi do uskraćivanja usluge). Ako je servisiranje zahtjeva prvog tipa završilo ranije, sistem će preći u stanje 
(0,1,0) sa intenzitetom μ, ali ako je servisiranje zahtjeva drugog tipa završilo ranije, tada će sistem preći u stanje 
(0,1,0) sa intenzitetom μ/2.
Koristeći graf stanja sa ucrtanim intenzitetima prelaza, sastavlja se sistem linearnih algebarskih jednačina. Iz rješenja ovih jednačina nalaze se vjerovatnoće R(
), kojim se određuju karakteristike QS-a.
Razmislite o pronalaženju R otk (vjerovatnoća uskraćivanja usluge).
,
Gdje S– broj stanja grafa vektorskog QS modela; R(
) je vjerovatnoća da je sistem u stanju 
.
Broj država prema određen je na sljedeći način:
,
(3.22)
;
Odredimo broj stanja vektorskog QS modela prema (3.22) za primjer prikazan na Sl. 3.9.
.
dakle, S = 1 + 5 + 1 = 7.
Za implementaciju stvarnih zahtjeva za servisne uređaje, dovoljno veliki broj n
(40, ..., 50), a zahtjevi za brojem uslužnih uređaja u aplikaciji u praksi su u rasponu od 8–16. Sa takvim omjerom instrumenata i zahtjeva, predloženi način pronalaženja vjerovatnoća postaje izuzetno glomazan, jer vektorski model QS ima veliki broj stanja S(50)
= 1790, S(60)
= 4676, S(70) = = 11075, a veličina matrice koeficijenata sistema algebarskih jednadžbi je proporcionalna kvadratu S, što zahteva veliku količinu računarske memorije i značajnu količinu računarskog vremena. Želja za smanjenjem količine proračuna stimulirala je potragu za mogućnostima ponavljanja proračuna R(
) zasnovan na multiplikativnim oblicima predstavljanja vjerovatnoća stanja. U radu je prikazan pristup proračunu R(
):
(3.23)
Korištenje kriterija ekvivalencije globalnih i detaljnih bilansa Markovljevih lanaca koji je predložen u radu omogućava nam da smanjimo dimenziju problema i izvršimo proračune na računaru srednje snage koristeći ponavljanje proračuna. Osim toga, moguće je:
– izvršiti proračune za bilo koje vrijednosti n;
– ubrzati proračune i smanjiti troškove mašinskog vremena.
Ostale karakteristike sistema mogu se odrediti na sličan način.
