Popis elementárních funkcí. Elementární funkce

1) Funkční doména a funkční doména.

Doména funkce je množina všech platných hodnot argumentů X(proměnná X), pro které je funkce y = f(x) odhodlaný. Rozsah funkce je množina všech reálných hodnot y, kterou funkce přijímá.

V elementární matematice se funkce studují pouze na množině reálných čísel.

2) Funkční nuly.

Funkce nula je hodnota argumentu, při které je hodnota funkce rovna nule.

3) Intervaly konstantního znaménka funkce.

Intervaly konstantního znaménka funkce jsou sady hodnot argumentů, na kterých jsou hodnoty funkce pouze kladné nebo pouze záporné.

4) Monotonie funkce.

Rostoucí funkce (v určitém intervalu) je funkce, ve které větší hodnota argumentu z tohoto intervalu odpovídá větší hodnotě funkce.

Klesající funkce (v určitém intervalu) je funkce, ve které větší hodnota argumentu z tohoto intervalu odpovídá menší hodnotě funkce.

5) Sudá (lichá) funkce.

Sudá funkce je funkce, jejíž definiční obor je symetrický vzhledem k počátku a pro libovolný X z oblasti definice rovnost f(-x) = f(x). Graf sudé funkce je symetrický podle ordináty.

Lichá funkce je funkce, jejíž definiční obor je symetrický vzhledem k počátku a pro libovolný X z oblasti definice platí rovnost f(-x) = - f(x). Graf liché funkce je symetrický podle počátku.

6) Omezené a neomezené funkce.

Funkce se nazývá omezená, pokud existuje kladné číslo M takové, že |f(x)| ≤ M pro všechny hodnoty x. Pokud takové číslo neexistuje, pak je funkce neomezená.

7) Periodicita funkce.

Funkce f(x) je periodická, pokud existuje nenulové číslo T takové, že pro libovolné x z definičního oboru funkce platí: f(x+T) = f(x). Toto nejmenší číslo se nazývá perioda funkce. Všechny goniometrické funkce jsou periodické. (Trigonometrické vzorce).

19. Základní elementární funkce, jejich vlastnosti a grafy. Aplikace funkcí v ekonomii.

Základní elementární funkce. Jejich vlastnosti a grafy

1. Lineární funkce.

Lineární funkce se nazývá funkce tvaru , kde x je proměnná, aab jsou reálná čísla.

Číslo A nazývá se sklon přímky, je roven tečně úhlu sklonu této přímky ke kladnému směru osy x. Grafem lineární funkce je přímka. Je definována dvěma body.

Vlastnosti lineární funkce

1. Definiční obor - množina všech reálných čísel: D(y)=R

2. Množina hodnot je množina všech reálných čísel: E(y)=R

3. Funkce nabývá nulové hodnoty, když nebo.

4. Funkce se zvětšuje (snižuje) v celém definičním oboru.

5. Lineární funkce je spojitá přes celý definiční obor, diferencovatelná a .

2. Kvadratická funkce.

Volá se funkce tvaru, kde x je proměnná, koeficienty a, b, c jsou reálná čísla kvadratický

Pokud jde o funkce komplexní proměnné, Liouville definoval elementární funkce poněkud šířeji. Elementární funkce y variabilní X- analytická funkce, kterou lze reprezentovat jako algebraickou funkci X a funkcí , a je logaritmus nebo exponent nějaké algebraické funkce G 1 od X .

Například hřích ( X) - algebraická funkce E iX .

Aniž bychom omezovali obecnost úvahy, můžeme funkce považovat za algebraicky nezávislé, tedy pokud je algebraická rovnice splněna pro všechny X, pak všechny koeficienty polynomu se rovnají nule.

Diferenciace elementárních funkcí

Kde z 1 "(z) rovná se nebo G 1 " / G 1 nebo z 1 G 1" v závislosti na tom, zda se jedná o logaritmus z 1 nebo exponenciální atd. V praxi je vhodné použít derivační tabulku.

Integrace elementárních funkcí

Liouvilleova věta je základem pro tvorbu algoritmů pro symbolickou integraci elementárních funkcí, implementovaných např.

Výpočet limitů

Liouvilleova teorie neplatí pro výpočet limit. Není známo, zda existuje algoritmus, který dá posloupnost danou elementárním vzorcem odpověď, zda má limitu nebo ne. Otevřená je například otázka, zda posloupnost konverguje.

Literatura

• J. Liouville. Mémoire sur l'integration d'une classe de fonctions transcendantes// J. Reine Angew. Matematika. Bd. 13, str. 93-118. (1835)
• J.F. Ritt. Integrace v konečných podmínkách. N.-Y., 1949 // http://lib.homelinux.org
• A. G. Chovanskij. Topologická Galoisova teorie: řešitelnost a neřešitelnost rovnic v konečném tvaru Ch. 1. M, 2007

Poznámky

Nadace Wikimedia. 2010.

• Elementární buzení
• Elementární výsledek

Podívejte se, co je „Elementární funkce“ v jiných slovnících:

elementární funkce- Funkce, která, pokud je rozdělena na menší funkce, nemůže být jednoznačně definována v hierarchii digitálního přenosu. Z hlediska sítě je tedy nedělitelný (ITU T G.806). Témata: telekomunikace, základní pojmy EN adaptační funkceA... Technická příručka překladatele

funkce interakce mezi úrovněmi sítě- Elementární funkce, která zajišťuje interakci charakteristických informací mezi dvěma vrstvami sítě. (ITU T G.806). Témata: telekomunikace, základní pojmy vrstvy EN... ... Technická příručka překladatele

Znalost základní elementární funkce, jejich vlastnosti a grafy neméně důležité než znalost násobilek. Jsou jako základ, vše je na nich založeno, vše se z nich staví a vše se na nich odvíjí.

V tomto článku uvedeme všechny hlavní elementární funkce, poskytneme jejich grafy a uvedeme bez závěru nebo důkazu vlastnosti základních elementárních funkcí podle schématu:

• chování funkce na hranicích definičního oboru, vertikální asymptoty (v případě potřeby viz článek klasifikace bodů nespojitosti funkce);
• sudý a lichý;
• intervaly konvexnosti (konvexita nahoru) a konkávnosti (konvexita dolů), inflexní body (v případě potřeby viz článek konvexnost funkce, směr konvexnosti, inflexní body, podmínky konvexnosti a inflexe);
• šikmé a horizontální asymptoty;
• singulární body funkcí;
• speciální vlastnosti některých funkcí (například nejmenší kladná perioda goniometrických funkcí).

Pokud vás zajímá nebo, pak můžete jít do těchto částí teorie.

Základní elementární funkce jsou: konstantní funkce (konstanta), n-tá odmocnina, mocninná funkce, exponenciální, logaritmická funkce, goniometrické a inverzní goniometrické funkce.

Navigace na stránce.

Stálá funkce.

Konstantní funkce je definována na množině všech reálných čísel vzorcem , kde C je nějaké reálné číslo. Konstantní funkce spojuje každou reálnou hodnotu nezávisle proměnné x se stejnou hodnotou závisle proměnné y - hodnotou C. Konstantní funkce se také nazývá konstanta.

Grafem konstantní funkce je přímka rovnoběžná s osou x a procházející bodem se souřadnicemi (0,C). Jako příklad si ukážeme grafy konstantních funkcí y=5, y=-2 a, které na obrázku níže odpovídají černé, červené a modré linii.

Vlastnosti konstantní funkce.

• Doména: celá množina reálných čísel.
• Konstantní funkce je sudá.
• Rozsah hodnot: množina složená z jednotného čísla C.
• Konstantní funkce je nerostoucí a neklesající (proto je konstantní).
• O konvexnosti a konkávnosti konstanty nemá smysl mluvit.
• Nejsou žádné asymptoty.
• Funkce prochází bodem (0,C) souřadnicové roviny.

n-tý kořen.

Uvažujme základní elementární funkci, která je dána vzorcem , kde n je přirozené číslo větší než jedna.

Odmocnina n-tého stupně, n je sudé číslo.

Začněme funkcí n-té odmocniny pro sudé hodnoty kořenového exponentu n.

Jako příklad je zde obrázek s obrázky funkčních grafů a , odpovídají černým, červeným a modrým čarám.

Grafy odmocnin sudých stupňů mají podobný vzhled pro ostatní hodnoty exponentu.

Vlastnosti funkce n-té odmocniny pro sudé n.

N-tá odmocnina, n je liché číslo.

Funkce n-té odmocniny s lichým kořenovým exponentem n je definována na celé množině reálných čísel. Zde jsou například grafy funkcí a , odpovídají černým, červeným a modrým křivkám.

Pro ostatní liché hodnoty kořenového exponentu budou mít grafy funkcí podobný vzhled.

Vlastnosti funkce n-té odmocniny pro liché n.

Funkce napájení.

Mocninná funkce je dána vzorcem ve tvaru .

Uvažujme podobu grafů mocninné funkce a vlastnosti mocninné funkce v závislosti na hodnotě exponentu.

Začněme mocninnou funkcí s celočíselným exponentem a. V tomto případě závisí vzhled grafů mocninných funkcí a vlastnosti funkcí na sudosti nebo lichosti exponentu a také na jeho znaménku. Proto budeme nejprve uvažovat mocninné funkce pro liché kladné hodnoty exponentu a, poté pro sudé kladné exponenty, poté pro liché záporné exponenty a nakonec pro sudé záporné a.

Na hodnotě exponentu a závisí vlastnosti mocninných funkcí se zlomkovými a iracionálními exponenty (a také typ grafů takových mocninných funkcí). Budeme je uvažovat za prvé pro a od nuly do jedné, za druhé pro větší než jedna, za třetí pro a od mínus jedna do nuly, za čtvrté pro menší než mínus jedna.

Na konci této části si pro úplnost popíšeme mocninnou funkci s nulovým exponentem.

Mocninná funkce s lichým kladným exponentem.

Uvažujme mocninnou funkci s lichým kladným exponentem, tedy s a = 1,3,5,....

Níže uvedený obrázek ukazuje grafy mocninných funkcí – černá čára, – modrá čára, – červená čára, – zelená čára. Pro a=1 máme lineární funkce y=x.

Vlastnosti mocninné funkce s lichým kladným exponentem.

Mocninná funkce se sudým kladným exponentem.

Uvažujme mocninnou funkci se sudým kladným exponentem, tedy pro a = 2,4,6,....

Jako příklad uvádíme grafy mocninných funkcí – černá čára, – modrá čára, – červená čára. Pro a=2 máme kvadratickou funkci, jejíž graf je kvadratická parabola.

Vlastnosti mocninné funkce se sudým kladným exponentem.

Mocninná funkce s lichým záporným exponentem.

Podívejte se na grafy mocninné funkce pro liché záporné hodnoty exponentu, tedy pro a = -1, -3, -5,....

Obrázek ukazuje grafy výkonových funkcí jako příklady - černá čára, - modrá čára, - červená čára, - zelená čára. Pro a=-1 máme inverzní úměrnost, jehož graf je hyperbola.

Vlastnosti mocninné funkce s lichým záporným exponentem.

Mocninná funkce se sudým záporným exponentem.

Přejděme k mocninné funkci na a=-2,-4,-6,….

Na obrázku jsou znázorněny grafy mocninných funkcí – černá čára, – modrá čára, – červená čára.

Vlastnosti mocninné funkce se sudým záporným exponentem.

Mocninná funkce s racionálním nebo iracionálním exponentem, jehož hodnota je větší než nula a menší než jedna.

Poznámka! Je-li a kladný zlomek s lichým jmenovatelem, pak někteří autoři považují definiční obor mocninné funkce za interval. Je stanoveno, že exponent a je neredukovatelný zlomek. Nyní autoři mnoha učebnic algebry a principů analýzy NEDEFINUJÍ mocninné funkce s exponentem ve formě zlomku s lichým jmenovatelem pro záporné hodnoty argumentu. Budeme se držet právě tohoto názoru, to znamená, že množinu budeme považovat za obory definice mocninných funkcí se zlomkovými kladnými exponenty. Doporučujeme, aby studenti zjistili názor vašeho učitele na tento jemný bod, aby se předešlo neshodám.

Uvažujme mocninnou funkci s racionálním nebo iracionálním exponentem a, a .

Uveďme grafy mocninných funkcí pro a=11/12 (černá čára), a=5/7 (červená čára), (modrá čára), a=2/5 (zelená čára).

Mocninná funkce s neceločíselným racionálním nebo iracionálním exponentem větším než jedna.

Uvažujme mocninnou funkci s neceločíselným racionálním nebo iracionálním exponentem a, a .

Uveďme grafy mocninných funkcí dané vzorcem (černé, červené, modré a zelené čáry).

>

Pro ostatní hodnoty exponentu a budou mít grafy funkce podobný vzhled.

Vlastnosti mocninné funkce při .

Mocninná funkce s reálným exponentem větším než mínus jedna a menším než nula.

Poznámka! Je-li a záporný zlomek s lichým jmenovatelem, pak někteří autoři považují definiční obor mocninné funkce za interval . Je stanoveno, že exponent a je neredukovatelný zlomek. Nyní autoři mnoha učebnic algebry a principů analýzy NEDEFINUJÍ mocninné funkce s exponentem ve formě zlomku s lichým jmenovatelem pro záporné hodnoty argumentu. Budeme se držet právě tohoto názoru, to znamená, že budeme považovat obory definice mocninných funkcí s dílčími zlomkovými zápornými exponenty za množinu, resp. Doporučujeme, aby studenti zjistili názor vašeho učitele na tento jemný bod, aby se předešlo neshodám.

Přejděme k funkci napájení, kbože.

Abyste měli dobrou představu o podobě grafů mocninných funkcí pro , uvádíme příklady grafů funkcí (černé, červené, modré a zelené křivky).

Vlastnosti mocninné funkce s exponentem a, .

Mocninná funkce s neceločíselným reálným exponentem, který je menší než mínus jedna.

Uveďme příklady grafů mocninných funkcí pro , jsou znázorněny černými, červenými, modrými a zelenými čarami.

Vlastnosti mocninné funkce s neceločíselným záporným exponentem menším než mínus jedna.

Když a = 0, máme funkci - to je přímka, ze které je vyloučen bod (0;1) (bylo dohodnuto nepřikládat žádný význam výrazu 0 0).

Exponenciální funkce.

Jednou z hlavních elementárních funkcí je exponenciální funkce.

Graf exponenciální funkce, kde a nabývá různých podob v závislosti na hodnotě báze a. Pojďme na to přijít.

Nejprve zvažte případ, kdy základ exponenciální funkce nabývá hodnoty od nuly do jedné, tedy .

Jako příklad uvádíme grafy exponenciální funkce pro a = 1/2 – modrá čára, a = 5/6 – červená čára. Grafy exponenciální funkce mají podobný vzhled pro ostatní hodnoty základu z intervalu.

Vlastnosti exponenciální funkce se základem menším než jedna.

Přejděme k případu, kdy je základ exponenciální funkce větší než jedna, tedy .

Pro ilustraci uvádíme grafy exponenciálních funkcí - modrá čára a - červená čára. Pro jiné hodnoty základu větší než jedna budou mít grafy exponenciální funkce podobný vzhled.

Vlastnosti exponenciální funkce se základem větším než jedna.

Logaritmická funkce.

Další základní elementární funkcí je logaritmická funkce, kde , . Logaritmická funkce je definována pouze pro kladné hodnoty argumentu, tedy pro .

Graf logaritmické funkce má různé podoby v závislosti na hodnotě báze a.

Základní elementární funkce, jejich inherentní vlastnosti a odpovídající grafy jsou jedním ze základů matematických znalostí, podobně jako násobilka. Elementární funkce jsou základem, oporou pro studium všech teoretických otázek.

Yandex.RTB R-A-339285-1

Níže uvedený článek poskytuje klíčový materiál na téma základních elementárních funkcí. Zavedeme pojmy, dáme jim definice; Pojďme si každý typ elementárních funkcí podrobně prostudovat a rozebrat jejich vlastnosti.

Rozlišují se následující typy základních elementárních funkcí:

Definice 1

• konstantní funkce (konstanta);
• n-tý kořen;
• výkonová funkce;
• exponenciální funkce;
• logaritmická funkce;
• goniometrické funkce;
• bratrské goniometrické funkce.

Konstantní funkce je definována vzorcem: y = C (C je určité reálné číslo) a má také název: konstanta. Tato funkce určuje shodu libovolné reálné hodnoty nezávisle proměnné x se stejnou hodnotou proměnné y - hodnotou C.

Graf konstanty je přímka, která je rovnoběžná s osou úsečky a prochází bodem se souřadnicemi (0, C). Pro názornost uvádíme grafy konstantních funkcí y = 5, y = - 2, y = 3, y = 3 (na výkrese vyznačeny černou, červenou a modrou barvou).

Definice 2

Tato elementární funkce je definována vzorcem y = x n (n je přirozené číslo větší než jedna).

Uvažujme dvě varianty funkce.

1. n-tá odmocnina, n – sudé číslo

Pro přehlednost uvádíme výkres, který ukazuje grafy takových funkcí: y = x, y = x 4 a y = x8. Tyto prvky jsou barevně označeny: černá, červená a modrá.

Grafy funkce sudého stupně mají podobný vzhled pro jiné hodnoty exponentu.

Definice 3

Vlastnosti funkce n-té odmocniny, n je sudé číslo

• definiční obor – množina všech nezáporných reálných čísel [ 0 , + ∞) ;
• když x = 0, funkce y = x n má hodnotu rovnou nule;
• tato funkce je funkcí obecného tvaru (není ani sudá, ani lichá);
• rozsah: [ 0 , + ∞) ;
• tato funkce y = x n pro sudé kořenové exponenty roste v celém definičním oboru;
• funkce má konvexnost se směrem nahoru v celém definičním oboru;
• neexistují žádné inflexní body;
• nejsou žádné asymptoty;
• graf funkce pro sudé n prochází body (0; 0) a (1; 1).

1. n-tá odmocnina, n – liché číslo

Taková funkce je definována na celé množině reálných čísel. Pro přehlednost zvažte grafy funkcí y = x 3, y = x 5 a x 9. Na výkresu jsou označeny barvami: černá, červená a modrá jsou barvy křivek, resp.

Další liché hodnoty kořenového exponentu funkce y = x n poskytnou graf podobného typu.

Definice 4

Vlastnosti funkce n-té odmocniny, n je liché číslo

• definiční obor – množina všech reálných čísel;
• tato funkce je lichá;
• rozsah hodnot – množina všech reálných čísel;
• funkce y = x n pro liché kořenové exponenty narůstá v celém definičním oboru;
• funkce má konkávnost na intervalu (- ∞ ; 0 ] a konvexnost na intervalu [ 0 , + ∞);
• inflexní bod má souřadnice (0; 0);
• nejsou žádné asymptoty;
• Graf funkce pro liché n prochází body (- 1 ; - 1), (0 ; 0) a (1 ; 1).

Funkce napájení

Definice 5

Mocninná funkce je definována vzorcem y = x a.

Vzhled grafů a vlastnosti funkce závisí na hodnotě exponentu.

• když má mocninná funkce celočíselný exponent a, pak typ grafu mocninné funkce a její vlastnosti závisí na tom, zda je exponent sudý nebo lichý, a také na tom, jaké má exponent znaménko. Zvažme všechny tyto speciální případy podrobněji níže;
• exponent může být zlomkový nebo iracionální - podle toho se liší i typ grafů a vlastnosti funkce. Budeme analyzovat speciální případy nastavením několika podmínek: 0< a < 1 ; a > 1 ; - 1 < a < 0 и a < - 1 ;
• mocninná funkce může mít nulový exponent, tento případ také podrobněji rozebereme níže.

Pojďme analyzovat mocninnou funkci y = x a, když a je liché kladné číslo, například a = 1, 3, 5...

Pro názornost uvádíme grafy takových mocninných funkcí: y = x (grafická barva černá), y = x 3 (modrá barva grafu), y = x 5 (červená barva grafu), y = x 7 (grafická barva zelená). Když a = 1, dostaneme lineární funkci y = x.

Definice 6

Vlastnosti mocninné funkce, když je exponent lichý kladný

• funkce je rostoucí pro x ∈ (- ∞ ; + ∞) ;
• funkce má konvexnost pro x ∈ (- ∞ ; 0 ] a konkávnost pro x ∈ [ 0 ; + ∞) (s výjimkou lineární funkce);
• inflexní bod má souřadnice (0 ; 0) (s výjimkou lineární funkce);
• nejsou žádné asymptoty;
• body průchodu funkce: (- 1 ; - 1) , (0 ; 0) , (1 ; 1) .

Pojďme analyzovat mocninnou funkci y = x a, když a je sudé kladné číslo, například a = 2, 4, 6...

Pro přehlednost uvádíme grafy takových mocninných funkcí: y = x 2 (grafická barva černá), y = x 4 (modrá barva grafu), y = x 8 (červená barva grafu). Když a = 2, dostaneme kvadratickou funkci, jejímž grafem je kvadratická parabola.

Definice 7

Vlastnosti mocninné funkce, když je exponent dokonce kladný:

• doména definice: x ∈ (- ∞ ; + ∞) ;
• klesající pro x ∈ (- ∞ ; 0 ] ;
• funkce má konkávnost pro x ∈ (- ∞ ; + ∞) ;
• neexistují žádné inflexní body;
• nejsou žádné asymptoty;
• body průchodu funkce: (- 1 ; 1) , (0 ; 0) , (1 ; 1) .

Níže uvedený obrázek ukazuje příklady grafů výkonových funkcí y = x a, když a je liché záporné číslo: y = x - 9 (grafická barva černá); y = x - 5 (modrá barva grafu); y = x - 3 (červená barva grafu); y = x - 1 (grafická barva zelená). Když a = - 1, dostaneme inverzní úměrnost, jejímž grafem je hyperbola.

Definice 8

Vlastnosti mocninné funkce, když je exponent lichý záporný:

Když x = 0, dostaneme diskontinuitu druhého druhu, protože lim x → 0 - 0 x a = - ∞, lim x → 0 + 0 x a = + ∞ pro a = - 1, - 3, - 5, …. Přímka x = 0 je tedy vertikální asymptota;

• rozsah: y ∈ (- ∞ ; 0) ∪ (0 ; + ∞) ;
• funkce je lichá, protože y (- x) = - y (x);
• funkce je klesající pro x ∈ - ∞ ; 0 ∪ (0 ; + ∞) ;
• funkce má konvexnost pro x ∈ (- ∞ ; 0) a konkávnost pro x ∈ (0 ; + ∞) ;
• neexistují žádné inflexní body;

k = lim x → ∞ x a x = 0, b = lim x → ∞ (x a - k x) = 0 ⇒ y = k x + b = 0, když a = - 1, - 3, - 5, . . . .

• body průchodu funkce: (- 1 ; - 1) , (1 ; 1) .

Níže uvedený obrázek ukazuje příklady grafů mocninné funkce y = x a, když a je sudé záporné číslo: y = x - 8 (grafická barva černá); y = x - 4 (modrá barva grafu); y = x - 2 (červená barva grafu).

Definice 9

Vlastnosti mocninné funkce, když je exponent dokonce záporný:

• doména definice: x ∈ (- ∞ ; 0) ∪ (0 ; + ∞) ;

Když x = 0, dostaneme diskontinuitu druhého druhu, protože lim x → 0 - 0 x a = + ∞, lim x → 0 + 0 x a = + ∞ pro a = - 2, - 4, - 6, …. Přímka x = 0 je tedy vertikální asymptota;

• funkce je sudá, protože y(-x) = y(x);
• funkce je rostoucí pro x ∈ (- ∞ ; 0) a klesající pro x ∈ 0; + ∞;
• funkce má konkávnost v x ∈ (- ∞ ; 0) ∪ (0 ; + ∞) ;
• neexistují žádné inflexní body;
• vodorovná asymptota – přímka y = 0, protože:

k = lim x → ∞ x a x = 0, b = lim x → ∞ (x a - k x) = 0 ⇒ y = k x + b = 0, když a = - 2 , - 4 , - 6 , . . . .

• body průchodu funkce: (- 1 ; 1) , (1 ; 1) .

Od samého začátku věnujte pozornost následujícímu aspektu: v případě, kdy a je kladný zlomek s lichým jmenovatelem, berou někteří autoři za definiční obor této mocninné funkce interval - ∞; + ∞ , které stanoví, že exponent a je neredukovatelný zlomek. V současné době autoři mnoha vzdělávacích publikací o algebře a principech analýzy NEDEFINUJÍ mocninné funkce, kde exponent je zlomek s lichým jmenovatelem pro záporné hodnoty argumentu. Dále se budeme držet přesně této pozice: vezmeme množinu [ 0 ; + ∞). Doporučení pro studenty: zjistěte si názor učitele na tento bod, abyste předešli neshodám.

Pojďme se tedy podívat na funkci napájení y = x a , když exponent je racionální nebo iracionální číslo, za předpokladu, že 0< a < 1 .

Znázorněme mocninné funkce pomocí grafů y = x a, když a = 11 12 (grafická barva černá); a = 5 7 (červená barva grafu); a = 1 3 (modrá barva grafu); a = 2 5 (zelená barva grafu).

Jiné hodnoty exponentu a (za předpokladu 0< a < 1) дадут аналогичный вид графика.

Definice 10

Vlastnosti mocninné funkce při 0< a < 1:

• rozsah: y ∈ [ 0 ; + ∞);
• funkce je rostoucí pro x ∈ [ 0 ; + ∞);
• funkce je konvexní pro x ∈ (0 ; + ∞);
• neexistují žádné inflexní body;
• nejsou žádné asymptoty;

Pojďme analyzovat mocninnou funkci y = x a, když exponent je necelé racionální nebo iracionální číslo, za předpokladu, že a > 1.

Znázorněme pomocí grafů mocninnou funkci y = x a za daných podmínek za použití následujících funkcí jako příkladu: y = x 5 4 , y = x 4 3, y = x 7 3, y = x 3 π (černé, červené, modré, zelené grafy).

Ostatní hodnoty exponentu a, za předpokladu a > 1, poskytnou podobný graf.

Definice 11

Vlastnosti mocninné funkce pro a > 1:

• doména definice: x ∈ [ 0 ; + ∞);
• rozsah: y ∈ [ 0 ; + ∞);
• tato funkce je funkcí obecného tvaru (není ani lichá, ani sudá);
• funkce je rostoucí pro x ∈ [ 0 ; + ∞);
• funkce má konkávnost pro x ∈ (0 ; + ∞) (když 1< a < 2) и выпуклость при x ∈ [ 0 ; + ∞) (когда a > 2);
• neexistují žádné inflexní body;
• nejsou žádné asymptoty;
• průchozí body funkce: (0 ; 0) , (1 ; 1) .

Upozorňujeme, že když a je záporný zlomek s lichým jmenovatelem, v dílech některých autorů existuje názor, že doménou definice je v tomto případě interval - ∞; 0 ∪ (0 ; + ∞) s výhradou, že exponent a je ireducibilní zlomek. V současné době autoři výukových materiálů o algebře a principech analýzy NEDEFINUJÍ mocninné funkce s exponentem ve formě zlomku s lichým jmenovatelem pro záporné hodnoty argumentu. Dále se držíme přesně tohoto názoru: množinu (0 ; + ∞) bereme jako doménu definice mocninných funkcí se zlomkovými zápornými exponenty. Doporučení pro studenty: Ujasněte si v tomto bodě vizi svého učitele, abyste předešli neshodám.

Pokračujme v tématu a rozeberme mocninnou funkci y = xa za předpokladu: -1< a < 0 .

Uveďme nákres grafů následujících funkcí: y = x - 5 6, y = x - 2 3, y = x - 1 2 2, y = x - 1 7 (černá, červená, modrá, zelená barva řádky).

Definice 12

Vlastnosti mocninné funkce při -1< a < 0:

lim x → 0 + 0 x a = + ∞ když - 1< a < 0 , т.е. х = 0 – вертикальная асимптота;

• rozsah: y ∈ 0 ; + ∞;
• tato funkce je funkcí obecného tvaru (není ani lichá, ani sudá);
• neexistují žádné inflexní body;

Níže uvedený výkres ukazuje grafy mocninných funkcí y = x - 5 4, y = x - 5 3, y = x - 6, y = x - 24 7 (černá, červená, modrá, zelená barva křivek, v tomto pořadí).

Definice 13

Vlastnosti mocninné funkce pro a< - 1:

• doména definice: x ∈ 0 ; + ∞;

lim x → 0 + 0 x a = + ∞ když a< - 1 , т.е. х = 0 – вертикальная асимптота;

• rozsah: y ∈ (0 ; + ∞) ;
• tato funkce je funkcí obecného tvaru (není ani lichá, ani sudá);
• funkce je klesající pro x ∈ 0; + ∞;
• funkce má konkávnost pro x ∈ 0; + ∞;
• neexistují žádné inflexní body;
• vodorovná asymptota – přímka y = 0;
• bod průchodu funkce: (1; 1) .

Když a = 0 a x ≠ 0, dostaneme funkci y = x 0 = 1, která definuje přímku, ze které je bod (0; 1) vyloučen (bylo dohodnuto, že výraz 0 0 nebude mít žádný význam ).

Exponenciální funkce má tvar y = a x, kde a > 0 a a ≠ 1, a graf této funkce vypadá jinak podle hodnoty základu a. Podívejme se na zvláštní případy.

Nejprve se podívejme na situaci, kdy má báze exponenciální funkce hodnotu od nuly do jedné (0< a < 1) . Dobrým příkladem jsou grafy funkcí pro a = 1 2 (modrá barva křivky) a a = 5 6 (červená barva křivky).

Grafy exponenciální funkce budou mít podobný vzhled pro ostatní hodnoty základu za podmínky 0< a < 1 .

Definice 14

Vlastnosti exponenciální funkce, když je základ menší než jedna:

• rozsah: y ∈ (0 ; + ∞) ;
• tato funkce je funkcí obecného tvaru (není ani lichá, ani sudá);
• exponenciální funkce, jejíž základ je menší než jedna, klesá v celém definičním oboru;
• neexistují žádné inflexní body;
• vodorovná asymptota – přímka y = 0 s proměnnou x směřující k + ∞;

Nyní zvažte případ, kdy je báze exponenciální funkce větší než jedna (a > 1).

Ukažme si tento speciální případ na grafu exponenciálních funkcí y = 3 2 x (modrá barva křivky) a y = e x (červená barva grafu).

Ostatní hodnoty základu, větší jednotky, budou mít podobný vzhled jako graf exponenciální funkce.

Definice 15

Vlastnosti exponenciální funkce, když je základ větší než jedna:

• definiční obor – celá množina reálných čísel;
• rozsah: y ∈ (0 ; + ∞) ;
• tato funkce je funkcí obecného tvaru (není ani lichá, ani sudá);
• exponenciální funkce, jejíž základ je větší než jedna, roste jako x ∈ - ∞; + ∞;
• funkce má konkávnost v x ∈ - ∞; + ∞;
• neexistují žádné inflexní body;
• vodorovná asymptota – přímka y = 0 s proměnnou x směřující k - ∞;
• bod průchodu funkce: (0; 1) .

Logaritmická funkce má tvar y = log a (x), kde a > 0, a ≠ 1.

Taková funkce je definována pouze pro kladné hodnoty argumentu: for x ∈ 0; + ∞ .

Graf logaritmické funkce má různý vzhled podle hodnoty základu a.

Podívejme se nejprve na situaci, kdy 0< a < 1 . Продемонстрируем этот частный случай графиком логарифмической функции при a = 1 2 (синий цвет кривой) и а = 5 6 (красный цвет кривой).

Jiné hodnoty základny, nikoli větší jednotky, poskytnou podobný typ grafu.

Definice 16

Vlastnosti logaritmické funkce, když je základ menší než jedna:

• doména definice: x ∈ 0 ; + ∞ . Protože x má zprava sklon k nule, funkční hodnoty mají sklon k +∞;
• rozsah: y ∈ - ∞ ; + ∞;
• tato funkce je funkcí obecného tvaru (není ani lichá, ani sudá);
• logaritmický
• funkce má konkávnost pro x ∈ 0; + ∞;
• neexistují žádné inflexní body;
• nejsou žádné asymptoty;

Nyní se podívejme na speciální případ, kdy je základ logaritmické funkce větší než jedna: a > 1 . Níže uvedený obrázek ukazuje grafy logaritmických funkcí y = log 3 2 x a y = ln x (modrá a červená barva grafů).

Jiné hodnoty základu větší než jedna poskytnou podobný typ grafu.

Definice 17

Vlastnosti logaritmické funkce, když je základ větší než jedna:

• doména definice: x ∈ 0 ; + ∞ . Protože x má zprava sklon k nule, funkční hodnoty mají sklon k - ∞ ;
• rozsah: y ∈ - ∞ ; + ∞ (celá množina reálných čísel);
• tato funkce je funkcí obecného tvaru (není ani lichá, ani sudá);
• logaritmická funkce je rostoucí pro x ∈ 0; + ∞;
• funkce je konvexní pro x ∈ 0; + ∞;
• neexistují žádné inflexní body;
• nejsou žádné asymptoty;
• bod průchodu funkce: (1; 0) .

Goniometrické funkce jsou sinus, kosinus, tangens a kotangens. Podívejme se na vlastnosti každého z nich a odpovídající grafiku.

Obecně se všechny goniometrické funkce vyznačují vlastností periodicity, tzn. když se hodnoty funkcí opakují pro různé hodnoty argumentu, lišící se od sebe periodou f (x + T) = f (x) (T je perioda). Do seznamu vlastností goniometrických funkcí je tedy přidána položka „nejmenší kladná perioda“. Kromě toho uvedeme hodnoty argumentu, při kterých se odpovídající funkce stane nulou.

1. Funkce sinus: y = sin(x)

Graf této funkce se nazývá sinusovka.

Definice 18

Vlastnosti funkce sinus:

• definiční obor: celá množina reálných čísel x ∈ - ∞ ; + ∞;
• funkce zaniká, když x = π · k, kde k ∈ Z (Z je množina celých čísel);
• funkce je rostoucí pro x ∈ - π 2 + 2 π · k ; π 2 + 2 π · k, k ∈ Z a klesající pro x ∈ π 2 + 2 π · k; 3 π 2 + 2 π · k, k ∈ Z;
• funkce sinus má lokální maxima v bodech π 2 + 2 π · k; 1 a lokální minima v bodech - π 2 + 2 π · k; - 1, k∈ Z;
• funkce sinus je konkávní, když x ∈ - π + 2 π · k ; 2 π · k, k ∈ Z a konvexní, když x ∈ 2 π · k; π + 2 π k, k ∈ Z;
• nejsou žádné asymptoty.

1. Funkce kosinus: y = cos(x)

Graf této funkce se nazývá kosinusová vlna.

Definice 19

Vlastnosti funkce kosinus:

• doména definice: x ∈ - ∞ ; + ∞;
• nejmenší kladná perioda: T = 2 π;
• rozsah: y ∈ - 1; 1;
• tato funkce je sudá, protože y (- x) = y (x);
• funkce je rostoucí pro x ∈ - π + 2 π · k ; 2 π · k, k ∈ Z a klesající pro x ∈ 2 π · k; π + 2 π k, k ∈ Z;
• funkce kosinus má lokální maxima v bodech 2 π · k ; 1, k ∈ Z a lokální minima v bodech π + 2 π · k; - 1, k∈z;
• funkce kosinus je konkávní, když x ∈ π 2 + 2 π · k ; 3 π 2 + 2 π · k , k ∈ Z a konvexní, když x ∈ - π 2 + 2 π · k ; π 2 + 2 π · k, k ∈ Z;
• inflexní body mají souřadnice π 2 + π · k; 0, k ∈ Z
• nejsou žádné asymptoty.

1. Funkce tečny: y = t g (x)

Graf této funkce se nazývá tečna.

Definice 20

Vlastnosti funkce tangens:

• doména definice: x ∈ - π 2 + π · k ; π 2 + π · k, kde k ∈ Z (Z je množina celých čísel);
• Chování funkce tečny na hranici definičního oboru lim x → π 2 + π · k + 0 t g (x) = - ∞ , lim x → π 2 + π · k - 0 t g (x) = + ∞ . Přímky x = π 2 + π · k k ∈ Z jsou tedy vertikální asymptoty;
• funkce zmizí, když x = π · k pro k ∈ Z (Z je množina celých čísel);
• rozsah: y ∈ - ∞ ; + ∞;
• tato funkce je lichá, protože y (- x) = - y (x) ;
• funkce roste jako - π 2 + π · k ; π 2 + π · k, k ∈ Z;
• funkce tečny je konkávní pro x ∈ [π · k; π 2 + π · k), k ∈ Z a konvexní pro x ∈ (- π 2 + π · k ; π · k ] , k ∈ Z ;
• inflexní body mají souřadnice π · k ; 0, k∈Z;

1. Funkce kotangens: y = c t g (x)

Graf této funkce se nazývá kotangentoid. .

Definice 21

Vlastnosti funkce kotangens:

• definiční obor: x ∈ (π · k ; π + π · k), kde k ∈ Z (Z je množina celých čísel);

Chování funkce kotangens na hranici definičního oboru lim x → π · k + 0 t g (x) = + ∞ , lim x → π · k - 0 t g (x) = - ∞ . Přímky x = π · k k ∈ Z jsou tedy vertikální asymptoty;

• nejmenší kladná perioda: T = π;
• funkce zmizí, když x = π 2 + π · k pro k ∈ Z (Z je množina celých čísel);
• rozsah: y ∈ - ∞ ; + ∞;
• tato funkce je lichá, protože y (- x) = - y (x) ;
• funkce je klesající pro x ∈ π · k ; π + π k, k ∈ Z;
• funkce kotangens je konkávní pro x ∈ (π · k; π 2 + π · k ], k ∈ Z a konvexní pro x ∈ [ - π 2 + π · k ; π · k), k ∈ Z ;
• inflexní body mají souřadnice π 2 + π · k; 0, k∈Z;
• Neexistují žádné šikmé nebo horizontální asymptoty.

Inverzní goniometrické funkce jsou arkussinus, arkussinus, arkustangens a arkustangens. Často, kvůli přítomnosti předpony „arc“ v názvu, se inverzní goniometrické funkce nazývají obloukové funkce .

1. Funkce arc sinus: y = a rc sin (x)

Definice 22

Vlastnosti funkce arkussinus:

• tato funkce je lichá, protože y (- x) = - y (x) ;
• funkce arkussinus má konkávnost pro x ∈ 0; 1 a konvexnost pro x ∈ - 1 ; 0;
• inflexní body mají souřadnice (0; 0), což je také nula funkce;
• nejsou žádné asymptoty.

1. Arc cosinus funkce: y = a rc cos (x)

Definice 23

Vlastnosti funkce arc cosinus:

• doména definice: x ∈ - 1 ; 1;
• rozsah: y ∈ 0 ; π;
• tato funkce má obecný tvar (ani sudá, ani lichá);
• funkce klesá v celém definičním oboru;
• funkce arc cosinus má konkávnost v x ∈ - 1; 0 a konvexnost pro x ∈ 0; 1;
• inflexní body mají souřadnice 0; π 2;
• nejsou žádné asymptoty.

1. Funkce arkustangens: y = a r c t g (x)

Definice 24

Vlastnosti funkce arkustangens:

• doména definice: x ∈ - ∞ ; + ∞;
• rozsah hodnot: y ∈ - π 2 ; π 2;
• tato funkce je lichá, protože y (- x) = - y (x) ;
• funkce roste v celém definičním oboru;
• funkce arkustangens má konkávnost pro x ∈ (- ∞ ; 0 ] a konvexnost pro x ∈ [ 0 ; + ∞);
• inflexní bod má souřadnice (0; 0), což je také nula funkce;
• vodorovné asymptoty jsou přímky y = - π 2 jako x → - ∞ a y = π 2 jako x → + ∞ (na obrázku jsou asymptoty zelené čáry).

1. Funkce arkus tangens: y = a r c c t g (x)

Definice 25

Vlastnosti funkce arkotangens:

• doména definice: x ∈ - ∞ ; + ∞;
• rozsah: y ∈ (0; π) ;
• tato funkce má obecný tvar;
• funkce klesá v celém definičním oboru;
• funkce kotangens oblouku má konkávnost pro x ∈ [ 0 ; + ∞) a konvexnost pro x ∈ (- ∞ ; 0 ] ;
• inflexní bod má souřadnice 0; π 2;
• vodorovné asymptoty jsou přímky y = π v x → - ∞ (zelená čára na obrázku) a y = 0 v x → + ∞.

Pokud si všimnete chyby v textu, zvýrazněte ji a stiskněte Ctrl+Enter