Uvažujme vícekanálový systém řazení (celkem n kanálů), který přijímá požadavky s intenzitou λ a je obsluhován s intenzitou μ. Požadavek přicházející do systému je obsluhován, pokud je volný alespoň jeden kanál. Pokud jsou všechny kanály obsazeny, je další požadavek přijatý do systému odmítnut a opustí QS. Očíslujme stavy systému počtem obsazených kanálů:
Rýže. 7.24
Obrázek 6.24 ukazuje stavový graf, ve kterém Si– číslo kanálu; λ – intenzita přijatých požadavků; μ
– podle toho intenzita požadavků na servis. Požadavky vstupují do systému front s konstantní intenzitou a postupně obsazují kanály jeden po druhém; když jsou všechny kanály obsazeny, další požadavek dorazí na QS bude odmítnut a opustí systém.
Stanovme intenzity toků událostí, které přenášejí systém ze stavu do stavu při pohybu jak zleva doprava, tak zprava doleva podél stavového grafu.
Například ať je systém ve stavu S 1, tj. jeden kanál je obsazený, protože na jeho vstupu je požadavek. Jakmile bude obsluha požadavku dokončena, systém přejde do stavu S 0 .
Pokud jsou například dva kanály obsazené, pak tok služeb, který přenáší systém ze stavu S 2 ve stavu S 1 bude dvakrát intenzivnější: 2-μ; podle toho, pokud je zaneprázdněn k kanálů, intenzita je k-μ.
Proces údržby je procesem smrti a reprodukce. Kolmogorovovy rovnice pro tento konkrétní případ budou mít následující tvar:
(7.25)
Volají se rovnice (7.25). Erlangovy rovnice
.
Abychom našli pravděpodobnostní hodnoty stavů R 0 , R 1 , …, Rn, je nutné určit počáteční podmínky:
– R 0 (0) = 1, tj. na vstupu systému je požadavek;
– R 1 (0) = R 2 (0) = … = Rn(0) = 0, tj. v počátečním okamžiku je systém volný.
Integrací systému diferenciálních rovnic (7.25) získáme hodnoty stavových pravděpodobností R 0 (t), R 1 (t), … Rn(t).
Mnohem více nás ale zajímají omezující pravděpodobnosti stavů. Jako t → ∞ a pomocí vzorce získaného při uvažování procesu smrti a rozmnožování získáme řešení soustavy rovnic (7.25):
(7.26)
V těchto vzorcích poměr intenzity λ / μ
do toku aplikací je vhodné určit ρ
.Toto množství se nazývá vzhledem k intenzitě toku aplikací, tj. průměrný počet aplikací přicházejících na QS během průměrné doby obsluhy jedné aplikace.
S přihlédnutím k provedenému zápisu bude mít soustava rovnic (7.26) tento tvar:
(7.27)
Tyto vzorce pro výpočet mezních pravděpodobností se nazývají Erlangovy vzorce
.
Když známe všechny pravděpodobnosti stavů QS, najdeme charakteristiky účinnosti QS, tedy absolutní propustnost A, relativní propustnost Q a pravděpodobnost selhání R OTEVŘENO
Aplikace přijatá systémem bude zamítnuta, pokud zjistí, že všechny kanály jsou obsazené:
.
Pravděpodobnost, že žádost bude přijata do služby:
Q = 1 – R OTEVŘENO,
Kde Q– průměrný podíl přijatých žádostí obsluhovaných systémem nebo průměrný počet žádostí obsluhovaných QS za jednotku času vydělený průměrným počtem žádostí přijatých během této doby:
A=λ·Q=λ·(1-P otevřeno)
Kromě toho je jednou z nejdůležitějších charakteristik QS s poruchami průměrný počet obsazených kanálů. V n-kanál QS s poruchami, toto číslo se shoduje s průměrným počtem aplikací v QS.
Průměrný počet požadavků k lze vypočítat přímo prostřednictvím pravděpodobností stavů P 0, P 1, ..., P n:
,
tj. najdeme matematické očekávání diskrétní náhodné proměnné, která nabývá hodnoty od 0 do n s pravděpodobnostmi R 0 , R 1 , …, Rn.
Ještě jednodušší je vyjádřit hodnotu k prostřednictvím absolutní kapacity QS, tzn. A. Hodnota A je průměrný počet aplikací, které systém obsluhuje za jednotku času. Jeden obsazený kanál obslouží μ požadavků za jednotku času, pak průměrný počet obsazených kanálů
Systém rovnic
QS s poruchami pro náhodný počet obslužných toků vektorový model pro Poissonovy toky; Graf, soustava rovnic.
Představme QS jako vektor, kde k m– počet aplikací v systému, z nichž každá je obsluhována m zařízení; L= q max – q min +1 – počet vstupních toků.
Pokud je přijat požadavek na službu a systém přejde do stavu s intenzitou λ m.
Po dokončení obsluhy jednoho z požadavků systém přejde do stavu, ve kterém má příslušná souřadnice hodnotu o jednu menší než ve stavu , = , tzn. dojde k opačnému přechodu.
Příklad vektorového QS modelu pro n = 3, L = 3, q min = 1, q max = 3, P(m) = 1/3, λ Σ = λ, intenzita údržby zařízení – μ.
Pomocí stavového grafu s vykreslenými intenzitami přechodu je sestaven systém lineárních algebraických rovnic. Z řešení těchto rovnic se zjistí pravděpodobnosti R(), kterým se určují vlastnosti QS.
QS s nekonečnou frontou pro Poisson toky. Graf, soustava rovnic, vypočtené vztahy.
Systémový graf
Systém rovnic
Kde n- počet servisních kanálů, l– počet vzájemně si pomáhajících kanálů
QS s nekonečnou frontou a částečnou vzájemnou pomocí pro libovolné toky. Graf, soustava rovnic, vypočtené vztahy.
Systémový graf
Systém rovnic
–λ R 0 + nμ R 1 =0,
.………………
–(λ + nμ) P k+ λ P k –1 + nμ P k +1 =0 (k = 1,2, ... , n–1),
……………....
-(λ+ nμ) P n+ λ P n –1 + nμ Р n+1=0,
……………….
-(λ+ nμ) Pn+j+ λ Р n+j –1 + nμ Р n+j+1=0, j=(1,2,….,∞)
QS s nekonečnou frontou a kompletní vzájemnou pomocí pro libovolná vlákna. Graf, soustava rovnic, vypočtené vztahy.
Systémový graf
|
Systém rovnic
QS s konečnou frontou pro Poisson toky. Graf, soustava rovnic, vypočtené vztahy.
Systémový graf
Systém rovnic
Výpočtové poměry:
,
UDC 519.248:656.71
MODEL SYSTÉMU FRONTY S NESTACIONÁRNÍMI TOKY A ČÁSTEČNOU VZÁJEMNOU POMOCÍ MEZI KANÁLY
© 2011 V. A. Romaněnko
Samara State Aerospace University pojmenovaná po akademikovi S.P. Korolev (národní výzkumná univerzita)
Je popsán dynamický model vícekanálového systému hromadné obsluhy s nestacionárními toky, čekáním ve frontě omezené délky a částečnou vzájemnou pomocí kanálů, vyjádřený v možnosti současného vyřízení požadavku dvěma kanály. Jsou uvedeny výrazy pro hlavní pravděpodobnostně-časové charakteristiky systému. Jsou popsány výsledky modelování fungování hubového letiště jako příklad uvažovaného systému.
Systém front, nestacionární tok, vzájemná pomoc mezi kanály, hubové letiště.
Úvod
Uvažujeme o vícekanálovém systému front (QS) s čekáním ve frontě omezené délky. Charakteristickým rysem uvažovaného QS je částečná vzájemná pomoc mezi kanály, vyjádřená v možnosti současného použití dvou kanálů pro obsluhu jednoho požadavku. Kombinace úsilí kanálů obecně vede ke snížení průměrné doby služby. Předpokládá se, že QS přijímá nestacionární Poissonův tok aplikací. Délka servisu aplikace závisí na čase.
Typickým příkladem QS, který má uvedené vlastnosti, je systém letištních přepravních služeb. Současné využití více (zpravidla dvou) zařízení (odbavovací přepážky, cisterny leteckého paliva, speciální vozidla apod.) k obsluze jednoho letu je zajištěno technologickými plány letištního servisu velkých letadel (AC). Potřeba zkvalitnit a zkrátit dobu služeb pozemní dopravy, což je důležité zejména pro velká letiště, zároveň vede k tomu, že podíl operací prováděných nikoli jedním, ale několika (dvěma) prostředky je vyšší. vzrůstající.
To se zvyšuje s rostoucím rozsahem letiště. Model popsaný v článku byl vyvinut pro řešení problémů analýzy a optimalizace fungování výrobních komplexů uzlových letišť (hubů), vyznačujících se saturací pozemních dopravních zařízení s výrazným nestacionárním tokem cestujících, letadel a nákladu a kolísání intenzity jejich služby.
Obecný popis modelu
Model je určen k určení časových závislostí pravděpodobnostních charakteristik systému QS obsahujícího N obslužných kanálů. Počet aplikací v QS by neměl překročit K, což může být způsobeno technickými omezeními počtu parkovacích míst pro letadla na letišti, kapacitou terminálu nebo nákladního komplexu atd. Počet kanálů přidělených pro obsluhu jednoho požadavku může být 1 nebo 2. Pokud jsou alespoň dva volné kanály, přijatý požadavek se s danou pravděpodobností vypůjčí k obsluze.
jeden z nich a - s pravděpodobností y2 = 1 - y1 - oba kanály. Pokud má QS v době přijetí žádosti o servis pouze jeden volný kanál, pak tato aplikace v každém případě zabírá dostupný
jediný kanál. Pokud nejsou žádné neobsazené kanály, nově příchozí požadavek se „zařadí do fronty“ a čeká na službu. Pokud je počet žádostí ve frontě K-N, pak nově příchozí žádost ponechá QS neobslouženou. Pravděpodobnost takové události by měla být nízká.
Vstup QS přijímá Poissonův (ne nutně stacionární) tok aplikací
s intenzitou l(t). Předpokládá se, že doba obsluhy požadavku jedním kanálem Tobsl1 (t) a dvěma -
Tobsl 2 (t) jsou exponenciálně rozložené náhodné funkce času (náhodné procesy).
Intenzita aplikační služby
jeden kanál ^ (t) a současně dva kanály m 2 (t) jsou definovány jako
mi (t) = [Tobsl1 (t)]-1, m2 (t) = [Tobsl2 (t)]-1,
kde Tobsl1 (t) = M [Tobsl1 (t)], Tobsl 2 (t)= M[Tobsl 2 (t)]
Průměrná doba vyřízení požadavku jedním kanálem a dvěma kanály.
Vztah mezi veličinami m1 (t) a m 2 (t) je dán vztahem
m2 (t) = ^m1 (t),
kde 9 je koeficient, který bere v úvahu relativní nárůst intenzity služby při použití dvou kanálů.
V praxi je vztah mezi počtem získaných finančních prostředků a intenzitou služby poměrně složitý, určovaný charakteristikou dané služby. U operací, jejichž doba trvání souvisí s objemem vykonávané práce (například tankování leteckého paliva do letadla pomocí tankerů s tryskovým palivem, nastupování nebo vystupování cestujících z letadla apod.), je závislost intenzity služby na počet kanálů se blíží přímo úměrně, ale není tomu tak striktně kvůli času potřebnému na přípravu
ale finální operace, které nejsou ovlivněny počtem fondů. U takových operací £ 2. U řady operací je závislost délky provádění na počtu prostředků nebo vykonavatelů méně výrazná (například odbavení nebo předlet
detekční kontrola cestujících). V tomto případě v »1.
V libovolném časovém okamžiku I může být uvažovaný QS v jednom z L+1 diskrétních stavů - B0, ...,
SAKRA. Přechod ze stavu do stavu lze provést kdykoli. Pravděpodobnost, že v čase I bude QS ve stavu
normalizační podmínka 2 р () =1 Know-
Analýza pravděpodobností P0 (/), PX (t),..., Pb (t) umožňuje určit tak důležité virtuální (okamžité) charakteristiky QS, jako je průměrná délka fronty, průměrný počet obsazených kanálů, průměrný počet požadavků umístěných v QS atd.
Pravděpodobnosti stavů p(t) se nalézají řešením systému Kolmogorovových diferenciálních rovnic, obecně zapsaných jako
=Ё jp(t)P /(t)-P,(t)Z (t).,
r = 0,1,...,b,
Kde<р^ ^) - плотности (интенсивности) вероятностей перехода из состояния с порядковым номером г в состояние с порядковым номером ]. Величины фу (t) определяются по формуле
kde P(/; At) je pravděpodobnost, že QS, který byl v okamžiku t ve stavu B, pro
čas At půjde z toho do stavu
Pro sestavení Kolmogorovových rovnic se používá značený graf stavů QS. V něm jsou příslušné intenzity f umístěny nad šipkami vedoucími z B. do B. Derivace pravděpodobnosti každého stavu je definována jako součet všech pravděpodobnostních toků přicházejících z jiných stavů do daného stavu mínus hodnota. součet všech pravděpodobnostních toků jdoucích z daného stavu do jiných .
Pro vytvoření grafu je zaveden tříindexový notační systém, ve kterém je stav uvažovaného QS v libovolném časovém okamžiku charakterizován třemi parametry: počtem obsazených kanálů n (n = 0,1,.. .,^), počet obsloužených požadavků k (k = 0,1,...,^) a čekajících na obsluhu t (t = 0,1,...,^ - N).
Na Obr. Obrázek 1 ukazuje označený stavový graf, sestavený pomocí výše popsaných pravidel a zavedených notací, pro QS vybraný jako jednoduchý příklad.
Z důvodu úspory místa jsou v grafu a v odpovídající soustavě Kolmogorovových rovnic uvedených níže vypuštěna označení funkční závislosti na čase intenzit 1, m1, m2 a pravděpodobnosti stavů.
^000 /L = -(^1^ + ^2^) P000 + tr10 + t2P210,
= - (t + U-11 + U21) рш + ^Рр000 +
2t1R220 + t2 R320,
LR210 IL = - (t2 + ^11 + ^21) P210 + V2YP000 +
Т1Р320 + 2 ^2Р420,
LR220/L = -(2^1 + ^1^ + ^21) Р220 + ^1Rio +
3 t1Р330 + ^2Р430,
LR32<:)1Л = - (т2 + т1 + ^11 + ^21)р320 +
+^11Р210 + V2ЯP110 + 2t 1Р430 +
LR4yu1L (1 + 2 ^2) Р420 + ^21Р210 + t р30, ЛР330 /Л = -(3т1 + ^1^+ ^21) Р330 + ^11Р220 + +4^1Р2р40 + ТР240 +
^430 /L = - (2^1 + ^2 + 1) Р430 + ^11Р320 +
+^2^ Р220 + 3т 1р40 + 2^2р31,
LR530/l =-(t + 2t2 + i) p^30+1P420 +
+^2YaP320 + t1P531,
LR440 IL (4t1 + I) R40 + R330 +
5^1R50 + t2R41,
LR540/ l =-(t2 + 3t + i) r540 + yar430 +
+"^2YaR330 + 3 t1P541 + 2 t2P532,
LR531/L = - (^1 + 2^2 + R) R^31 + R530 +
LR550 IL = -(5t1 + Y) R550 + YR440 +
5t1R551 + t2R542,
LR541/l = - (t2 + 3t + i) p^41 + ya^40 +
LR532/l = -(t1 + 2t2) Р532 + i р531,
LR5511L = - (5t1 + Y)r51 + YR550 + 5t1R552,
lr542 / l = - (3 t + t2) r542 + i r541,
Lp5^^ = 5 t1P552 + i p51.
Pokud v okamžiku t = 0 nejsou v QS žádné požadavky, pak budou počáteční podmínky zapsány ve tvaru
P10 (0) = P210 (0) = P220 (0) =... = P552 (0) = 0.
Řešení velkorozměrných systémů podobných (1), (2), s proměnnými hodnotami 1(^, mDO, m2(0) je možné pouze numerickými metodami pomocí počítače.
Rýže. 1. Stavový graf QS
Vytvoření modelu QS
V souladu s algoritmickým přístupem budeme uvažovat o technice transformace systému Kolmogorovových rovnic libovolné dimenze do tvaru vhodného pro počítačové výpočty. Pro zjednodušení záznamu používáme místo trojitého systému dvojitý systém zápisu stavů QS, ve kterém r je počet kanálů obsazených obsluhou plus délka fronty,] je počet aplikací v QS . Vztah mezi notačními systémy je vyjádřen závislostmi:
r = n + m, r = 0,1,...,K;
] = k + m, ] = 0,1,...,K.
Nelze realizovat žádný stav z formální množiny
B. (r = 0,1,...,K;] = 0,1,...,K). Zejména,
v rámci popsaného modelu jsou nemožné stavy, ve kterých jsou dva nebo více požadavků současně obsluhovány jedním
kanál, tzn. R. (t) = 0, jestliže ] > r Označme symbolem 8 množinu přípustných stavů QS. Stát B. existuje a
jeho odpovídající pravděpodobnost P. ^)
může být nenulové, pokud je splněna jedna z následujících podmínek:
1)] <г< 2], если 2] < N,
2)] <г< ] + Ч - 1 если \ .
y] + H - 1< К,
3)] < г < К, если ] + ч - 1 ^ К,
r = 0,1,..., K; ] = 0,1,...,K,
kde Х je maximální počet stavů s různým počtem obslužných kanálů pro daný počet požadavků, určený vzorcem
Zde závorky označují operaci vyřazení zlomkové části. Například,
soudě podle stavového grafu znázorněného na obr. 1, dva požadavky mohou být obsluhovány dvěma, třemi nebo čtyřmi kanály. Proto ve výše uvedeném příkladu
H = 5 - = 5 - 2 = 3.
Aby bylo možné realizovat počítačové výpočty pomocí systému Kolmogorovových rovnic libovolného rozměru, musí být jeho rovnice zredukovány na nějakou univerzální formu, která umožňuje napsat jakoukoli rovnici. Za účelem vytvoření takové formy zvažte fragment stavového grafu zobrazující jeden libovolný stav B] s předními z něj
šipky intenzity. Označme římskými číslicemi sousední státy přímo související s B., jak je znázorněno na Obr. 2.
Pro každý stav B. (g = 0,1,...,K; ] = 0,1,...,K), takže B. e 8, v čase t hodnoty
p^), p(t), p.^), p(t) přijmout
různé hodnoty (včetně hodnot rovných nule). Nicméně struktura rovnice
(3) zůstává nezměněn, což umožňuje jeho použití pro počítačovou implementaci systému Kolmogorovových rovnic libovolné dimenze.
Intenzity fr (t), (р. (t), které mají tendenci přenášet QS do stavů s velkými hodnotami r a ], pokud je přítomnost takových stavů možná, se určují na základě řady podmínek následovně :
o.. ї a nebo
°(,-+1)0"+1) ї 8 '
0(,-+2)(.+1) - 8 i £ N - 2,
o(i+1)(.+1)- 8 nebo
°(.+2)а+1)ї 8
O(.+1)(V+1) - 8'
Rýže. 2. Fragment grafu stavu QS
S přihlédnutím k přítomnosti sousedních států vzhledem k B. bude rovnice pro B. napsána takto:
-£ = -[P () + P () + P. () +
Рр (tИ Рг, (t) + Рр+1)(.+1) (t) Р(г+1)(.+1) () +
Р(Н(1-1)^)Р(-1)(1-1)^) +
Р 2)()+1)()Р(г+2)()-+1)() +
РЦ2)(.-1) (t)P(г-2)(.-Г) ().
О(.+1)(.+1)ї 8 nebo і > N - 2
Y2X(i), pokud
I(i+1)(.+1)-8>
O(i+2)(.+1) - 8 ' i £ N - 2,
О(і+1)(.+1)ї 8’
О(і+2)(.+1) - 8'
r = 0,1,...,k,. = 0,1,...,k.
Intenzita řeky (), str..11 (), převod QS ze stavu B-. ve státech
s menšími hodnotami g a. (pokud je přítomnost takových stavů možná), jsou přímo úměrné počtu zúčastněných kanálů a obsluhují požadavky různých typů umístěných v QS (zabírající jeden nebo dva kanály pro obsluhu). Skupinu dvou kanálů zapojených do obsluhy jednoho požadavku odpovídajícího typu lze považovat za jeden kanál. Proto v obecném případě
p () = kdM1 () , R. () = ky2^2 (),
kde k.1 je počet požadavků zabírajících jeden kanál, obsluhovaných QS ve stavu B; k je počet požadavků, které každý zabírají dva kanály a obsluhuje QS ve stavu B.
Prostřednictvím g a. tyto hodnoty se určují takto:
G2. - g pokud g< N,
y1 [ N - 2 (r - .), pokud r > N, (4)
Na! 2 = g-. .
S přihlédnutím k omezením možnosti existence výrazových stavů pro
p(), R.() mají tvar
^B(g-1)(L) e 8,
Ukazatele účinnosti fungování QS
Popsaný model umožňuje stanovit časové závislosti následujících ukazatelů provozní účinnosti uvažovaného QS.
Průměrná délka fronty:
can ()=22(g-p)R().
Průměrný počet obsazených kanálů:
Průměrný počet žádostí o SOT:
m, () = 22,R. ().
Pravděpodobnost odmítnutí služby:
Є, ()= 2 Р- ().
Rozdělení virtuální čekací doby aplikací lze získat
služba Ж (x,t) = Р ^ож ()< х) , позволяющее характеризовать качество обслуживания рассматриваемой СМО. Поступившая в систему заявка вынуждена ожидать обслуживания в случае, если все каналы заняты обслуживанием заявок, поступивших
dříve. Existuje pravděpodobnost Рк=0 (t) okamžitého obsloužení příchozího požadavku v přítomnosti volného kanálu (nebo několika volných kanálů)
B(g-1)(.-1) £ 8,
r = 0,1,...,K,. = 0,1, ..., K.
R. () ° 0, pokud B. £ 8.
S přihlédnutím k možnosti selhání bude požadovaná hodnota distribuční funkce Ж(х^) určena jako
F (x-‘)=(--o(t)
EEZH M (,)) ()
Ru()° 0, pokud °y. ї 8.
Zde je Ж (х,т| (і,./)) podmíněná funkce
rozložení čekací doby na určitý požadavek za předpokladu, že v době jeho příchodu T našel QS ve stavu y.
V uvažovaném QS doba čekání na obsluhu příchozího požadavku závisí nejen na počtu požadavků již v QS, ale také na rozdělení kanálů mezi skupinovým a individuálním obsluhováním existujících požadavků. Pokud by vzájemná pomoc mezi kanály neexistovala, pak by uvažovaný QS byl tradičním QS s čekáním ve frontě omezené délky, pro kterou by celková čekací doba na zahájení služby reklamací předběhla m jiných reklamací ve frontě v době příjezdu by měl Erlangovo rozdělení E,^) (X) .
Zde horní index obsahuje intenzitu požadavků na obsluhu všech N kanálů pracujících v přítomnosti fronty; dolní index je pořadí distribuce podle Erlangova zákona. Ve zde uvažovaném QS platí popsaný zákon pouze pro požadavky, které vstoupily do QS ve stavech, kdy jsou všechny kanály obsazeny a všechny obsluhují jeden požadavek. Pro tyto stavy můžeme psát
F(x,t|^ + m,N + t)) = ^+1() (x).
Označme jako E^”^1 (x) distribuční funkci zobecněného Erlanova zákona
ha, mající řád 2"r - 1, kde ag je číslo
Lo náhodné proměnné distribuované přes
exponenciální zákon s parametrem y. S
Pomocí zavedeného zápisu zapisujeme výrazy pro funkci rozdělení doby čekání v jiných stavech. Oproti (5) mají tyto výrazy složitější formu, která nenarušuje jejich softwarovou implementaci. Dále jsou jako příklad uvedeny pouze pro první tři stavy plného obsazení kanálů pomocí dříve zavedeného tříznakového indexování:
F (x,t| (n,k,t)) = F (x,t| (N,N - g,0)) =
= (x), 0 £ g £ d,
kde a. = kLt (t) + ku 2M2 (t);
Ж (х,т| (п,к,т)) = Ж (х,т| (N,N - g,l)) =
N ^ ^ - g) Km(T)
Ж (х,т| - g, 2))
N ^).(N - g) Km(t)
E/^(t),(t-g) ■я(t),(t-g+l)
(N), (N - g) ktM(T)
EI-)(t-g)(x)+
^).(N - g) eH^) (x)
Průměrná virtuální doba čekání na aplikaci Toz () je určena číselně jako
Totožnost (T) = | ^Х (x,T) .
Lze také určit rozložení virtuálního servisního času pro libovolně zvolený požadavek Tobsl ^).
Protože změna Tobsl (t) v uvažovaném QS je náhodný proces, který je směsí dvou exponenciálně rozdělených náhodných procesů TobsL1 ^) a TobsL2 ^), pak rozdělení
V (x^) = P (Tobsl (t)< х) не будет показательным. С учётом возможности отказа выражение для функции распределения V (х^) запишется в виде
EEU M k,.YR(t)
R.. ^) ° 0, je-li 8. £ 8.
Zde V (x^| (r,.)) je podmíněná distribuční funkce doby obsluhy určitého požadavku za předpokladu, že v době svého příchodu našel QS ve stavu.
Pokud je QS v době zahájení servisu aplikace ve stavu, kdy je možný skupinový i individuální servis, je doba servisu směsí dvou pro-
přechod na skupinovou službu - pokud je podmínka možná (obr. 2). Máme tedy:
U(M(i--/")) =
y (1 - e-t(t)x) + +y (1 - e^2(t)x),
I О(і+2)(]+1) ї 8, О(і+1)(.+1) - 8,
"2\* ^ І' I ^ +2) (.+1)
i = 0,1,...,N-1, i = 0,1,...,N-1.
Protože při absenci dvou volných kanálů je jakýkoli požadavek obsluhován jedním kanálem, je skutečná pravděpodobnost ^) přidělení jednoho kanálu
det je větší než dané V Funkce uv ^) je definována jako
EEU O","r(t)
R. (t) ° 0, pokud R. ї 8.
Zde y1(r,.) je pravděpodobnost přidělení jednoho zařízení pro obsluhu požadavku přijatého QS ve stavu:
O(i+1)(.+1)-8, O(i
2)(}+1) -2)(!+1)
doby trvání: Tobsl1 (t) a Tobsl2 (t), dis- i = 0,1...,K -1, . = 0,1...,K-1.
omezena exponenciálně s parametry ^1 (t) a ^2 (t). Pokud v
V tuto chvíli není možné alokovat dva kanály, pak je čas pro obsluhu požadavku rozdělen exponenciálně s parametrem
t(t). Když se požadavek přiblíží obslužným kanálům ve stavu B., přechod na individuální obsluhu je přípustný, když
přítomnost možnosti stavu I(
Průměrná doba obsluhy požadavku zahrnutého v QS v daném okamžiku
T, lze definovat pomocí uv (T) jako
Tbl (t) = uf (t) Tm (t) + Tbs2 (t).
Rozdělení virtuálního času stráveného aplikací v QS
a (x,t)= P (Tpreb (t)< х)
se určí pomocí dříve získaných výrazů pro distribuční funkce doby čekání a doby obsluhy - =
vaniya jako já,
2^2 (t) Et^^(t)^^) (x) +
EEi M))рї(t)
a (x,t| (^.)) =
1 - e-M1(t)x
y(1-e-t(t)x)-+y2(1-e
(1 - e ^t(t)x),
О(і+1)(.+1) - 8, О(і+ 2)(.+1) ї 8’
О(і+1)(.+1) - 8’ О(і+2)(.+1) - 8,
r = 0,1,...^-1,. = 0'l'...'N-1.
Pro ostatní stavy jsou vzorce pro funkci podmíněného rozdělení zapsány analogicky se vzorci pro
Ж (х^| (п,к,т)) pomocí tříznakového indexování. Níže jsou uvedeny pro první tři stavy plné obsazenosti kanálu:
V době vstupu není žádná fronta, ale všechny kanály jsou obsazené:
a (x^| (n,k,t)) = a (x^| (NN - g,0)) =
(x), 0 £ g £ d;
V době, kdy aplikace vstoupí, je ve frontě jedna aplikace:
R. (t) ° 0, pokud R. ї 8.
Zde a (x^| (r,.)) je podmíněná distribuční funkce času stráveného v QS nějakého požadavku za předpokladu, že v okamžiku svého příchodu t našel systém ve stavu..
U států s bezplatnými kanály se doba pobytu v QS shoduje s dobou služby:
V době, kdy aplikace vstoupí, jsou ve frontě dvě aplikace:
a (x,t | (t,t - ^2))
(t)(t^)H (t)(t^+1)
(t)(t – g) ktsM (t)
(t) (t – g) KtsM (t)
Průměrná virtuální doba pobytu aplikace v QS je definována jako
Tpreb ^) = Tobsl (t) + Toz (t).
Příklad použití QS modelu
Při provádění samostatné technologické operace pro obsluhu přilétajících letadel je simulováno každodenní fungování výrobního komplexu jednoho z východoevropských regionálních uzlových letišť. Jako výchozí data pro modelování slouží časové závislosti průměrné intenzity proudu přilétajících letadel
pro službu, i(t) a intenzitu
obsluhu letadla jedním prostředkem t1 (t) .
Jak vyplývá z konstruovaných dat
web letiště graf závislosti i(t)
(obr. 3a) se zásoba BC vyznačuje výraznou nerovnoměrností: během dne jsou pozorována čtyři maxima intenzity, odpovídající čtyřem „vlnám“
nás" přílety a odlety. Špičkové hodnoty 1(t) pro hlavní „vlny“ dosahují 25-30 VS/h.
Na Obr. 3 a také zobrazí graf závislosti t (t). Předpokládá se, že ne
pouze intenzita proudění letadel, ale i intenzita jejich provozu je funkcí času a závisí na fázi „vlny“. Faktem je, že za účelem zkrácení průměrné doby přestupu pro cestující je plán uzlu letiště strukturován tak, že „vlna“ je iniciována přílety velkých osobních letadel, jejichž údržba vyžaduje hodně. času a je ukončen přílety malých letadel. V příkladu se předpokládá, že průměrná doba trvání operace s jedním nástrojem, která je 20 minut po většinu doby trvání dne, se v počáteční fázi „vlny“ zvýší na 25 minut. a v konečné fázi se zkrátí na 15 minut. Tedy čtyři intervaly s
snížená hladina t (t) na Obr. 3a odpovídají počátečním fázím „vln“, kdy převažují přílety velkých letadel. Postupně čtyři intervaly zvýšení
úroveň t^) padnou na fin
„vlnové“ fáze s převahou malých letadel.
Níže popisujeme výsledky simulace, které nám umožňují vyhodnotit účinnost systému. Na Obr. 3b-3d ukazují časové závislosti průměrných hodnot počtu obsazených kanálů Nз ^),
celkový počet žádostí v systému MZ ^) a
délky front Moz (7) získané pro dvě mezní hodnoty pravděpodobnosti n1 = 0 an1 = 1 s následujícími návrhovými charakteristikami: N = 10; K = 40; in = 1,75. Soudě podle grafu závislosti Nз (t)
(obr. 3b), během většiny denního časového intervalu zůstává obsazenost obslužných kanálů systému nízká, což je důsledek nestacionárního vstupu
proudění letadel. Vysokého zatížení (60-80%) je dosaženo pouze během druhé „vlny“ příchodů a odchodů a volba n1 = 0 při velkých hodnotách 1(t) způsobuje větší zatížení systému a při malých hodnotách 1(t) - méně
ve srovnání s možností n1 = 1. Navíc as
modelování ukázalo, že pravděpodobnost selhání uvažovaného systému pro obě varianty je zanedbatelná.
Porovnání grafů závislostí
M3 ^) a Mozh ^) (obr. 3c, resp. 3d) nám umožňuje dospět k závěru, že v QS s n1 = 0 je v průměru méně požadavků a očekává se, že bude obslouženo více požadavků než s n1 = 1 Tento rozpor je vysvětlen skutečností, že každá žádost přijatá QS, která v případě n1 = 0 trvá dva.
kanál, ponechává méně volných kanálů pro požadavky následující za ním, což je nutí vytvářet větší frontu než v případě
n1 = 1. Skupinové použití kanálů, zkrácení doby služby, zároveň způsobí snížení celkového počtu obsluhovaných aplikací a čekajících na službu. Takže v uvažovaném příkladu je průměrná doba služby během dne
pro možnost p1 = 1 je 20 minut a pro
možnost p1 = 0 - 11,7 min.
Výše diskutovaný model umožňuje řešit problémy spojené s hledáním optimálního řízení kvality přepravních služeb. Na Obr. 3d, 3f ukazují některé výsledky řešení tohoto druhu problému, jehož význam je dále vysvětlen na příkladu uvažovaného letiště.
Malá průměrná délka fronty, a to i při špičkovém zatížení, nepřesahující v uvažovaném příkladu 0,6 letadla (obr. 3d), nezaručuje, že pro velkou většinu letadel bude čekací doba ve frontě přijatelná. Nízká průměrná čekací doba s uspokojivou průměrnou dobou pro dokončení servisní operace
To také nevylučuje možnost nepřijatelně dlouhých prostojů při údržbě jednotlivých letadel. Vezměme si příklad, kdy kvalita letištních služeb podléhá požadavkům jak na zajištění uspokojivých hodnot čekací doby na službu, tak doby strávené v systému. Budeme předpokládat, že více než 90 % letadel by mělo být nečinných pro údržbu po dobu kratší než 40 minut a doba čekání na údržbu u stejného podílu letadel by měla být kratší než 5 minut. Pomocí výše uvedeného zápisu budou tyto požadavky na kvalitu letištních služeb zapsány ve formě nerovností:
P (Tpreb (t)< 40мин)>09, P (Identita (t)< 5мин)> 09
Na Obr. 3d, 3f ukazují časové závislosti pravděpodobností P (Tpreb (/)< 40мин)
a P (Ident. (")< 5 мин) для интервала времени
460-640 min. od začátku modelového dne odpovídající druhé „vlně“ příjezdů.
Jak je vidět z obrázků, možnost n1 = 1 není
poskytuje vypočítanou spolehlivost z hlediska doby provozu: požadavek na dobu provozu specifikovanou podmínkou
P (Tpreb (t)< 40мин)>09, se provádí pouze během krátké doby 530560 minut, což odpovídá příjezdům malých
Slunce. Možnost n1 = 0 zase neposkytuje vypočtenou spolehlivost z hlediska čekací doby ve frontě: během intervalu příletů velkých letadel (500-510 min.)
Rýže. 3. Výsledky simulace 262
podmínka P je splněna (Iz(t)< 5мин) > 0.9.
Jak ukázal modeling, východiskem z této situace může být volba
kompromisní varianta y1 » 0,2. V praxi tato možnost znamená, že na letištní služby by měly být přiděleny dva finanční prostředky na obsluhu ne všech letadel, ale pouze těch vybraných na základě určitého kritéria, např.
kapacita cestujících. Zde hraje roli y1
parametr, který vám umožňuje řídit ukazatele výkonu QS: dobu čekání na aplikaci ve frontě a dobu, kdy aplikace zůstane v QS nebo servisní čas.
Uvažovaný systém, který používá jeden nebo dva kanály současně pro obsluhu požadavku, je tedy zvláštním, ale prakticky významným případem QS s
vzájemná pomoc kanálů. Použití dynamického modelu takového QS umožňuje klást a řešit různé optimalizace, včetně multikriteriálních, problémů spojených nejen se správou celkového počtu finančních prostředků, ale také s jejich vzájemnou pomocí. Problémy tohoto druhu se týkají zejména uzlových letišť, která jsou přesycena servisními zařízeními, jejich nestacionárními letovými toky a kolísající intenzitou služeb. Model uvažovaného QS je tedy nástrojem pro analýzu a optimalizaci parametrů tak perspektivní třídy letišť, jako jsou huby.
Bibliografie
1. Bocharov, P.P. Teorie fronty [Text] / P.P. Bocharov, A.V. Pe-chinkin. - M.: Nakladatelství RUDN, 1995. - 529 s.
MODEL FUNKČNÍHO SYSTÉMU S NESTACIONÁRNÍMI TOKY A ČÁSTEČNOU VZÁJEMNOU POMOCÍ MEZI KANÁLY
© 2011 V. A. Romaněnko
Samara State Aerospace University pojmenovaná po akademikovi S. P. Koroljovovi (National Research University)
Je popsán dynamický model vícekanálového systému front s nestacionárními toky, čekáním ve frontě s omezenou délkou a částečnou vzájemnou pomocí kanálů vyjádřenou v možnosti současné obsluhy zákazníka dvěma kanály. Jsou uvedeny výrazy pro základní pravděpodobnostně-časové charakteristiky systému. Jsou diskutovány výsledky modelování fungování hubového letiště jako příkladu systému.
Systém front, nestacionární tok, vzájemná pomoc mezi kanály, hubové letiště.
Informace o autorovi Vladimir Alekseevič Romanenko, kandidát technických věd, docent, doktorand katedry organizace a řízení dopravní dopravy, Samara State Aerospace University pojmenovaná po akademikovi S.P. Korolevovi (národní výzkumná univerzita). E-mailem: [e-mail chráněný]. Oblast vědeckého zájmu: optimalizace a modelování systému dopravní obslužnosti uzlu letiště.
Romanenko Vladimir Alexeevitch, kandidát technických věd, docent, doktorát na katedře organizace a řízení dopravy, Samara State Aerospace University pojmenovaná po akademikovi S. P Koroljovovi (National Research University E-mail: vla_rom@mail). Oblast výzkumu: optimalizace a simulace systému přepravních služeb na letišti.
Doposud jsme uvažovali pouze takové QS, ve kterých může být každý požadavek obsluhován pouze jedním kanálem; neobsazené kanály nemohou „pomoci“ těm obsazeným v servisu.
Obecně tomu tak není vždy: existují systémy řazení do fronty, kde stejný požadavek může být současně obsluhován dvěma nebo více kanály. Například stejný rozbitý stroj mohou obsluhovat dva pracovníci najednou. Taková „vzájemná pomoc“ mezi kanály může probíhat v otevřených i uzavřených QS.
Při zvažování QS se vzájemnou pomocí napříč kanály je třeba zvážit dva faktory:
1. Jak rychle se zrychlí servis aplikace, když na ní nepracuje jeden, ale několik kanálů najednou?
2. Co je to „kázeň vzájemné pomoci“, tj. kdy a jak několik kanálů převezme vyřízení stejné žádosti?
Podívejme se nejprve na první otázku. Je přirozené předpokládat, že pokud ne jeden kanál, ale několik kanálů nepracuje pro obsluhu aplikace, intenzita toku služeb se nebude s rostoucím k snižovat, tj. bude představovat nějakou neklesající funkci počtu k pracujících. kanály. Označme tuto funkci Možný tvar funkce je znázorněn na Obr. 5.11.
Je zřejmé, že neomezené zvýšení počtu současně pracujících kanálů nevede vždy k úměrnému zvýšení rychlosti služby; Je přirozenější předpokládat, že při určité kritické hodnotě další nárůst počtu obsazených kanálů již nezvyšuje intenzitu služby.
Aby bylo možné analyzovat provoz QS se vzájemnou pomocí mezi kanály, je nutné nejprve nastavit typ funkce
Nejjednodušším případem pro studium bude případ, kdy funkce roste úměrně k while a zůstává konstantní a rovná se (viz obr. 5.12). Pokud celkový počet kanálů, které si mohou navzájem pomoci, nepřekročí
Zastavme se nyní u druhé otázky: disciplíny vzájemné pomoci. Nejjednodušší případ této disciplíny nazveme „vše jako jeden“. To znamená, že když se objeví jeden požadavek, všechny kanály jej začnou obsluhovat najednou a zůstanou zaneprázdněny, dokud služba tohoto požadavku neskončí; pak všechny kanály přejdou na obsluhu dalšího požadavku (pokud existuje) nebo čekají na jeho výskyt, pokud ne, atd. Je zřejmé, že v tomto případě všechny kanály fungují jako jeden, QS se stane jednokanálovým, ale s vyšší službou intenzita.
Nabízí se otázka: je výhodné nebo nerentabilní zavádět takovou vzájemnou pomoc mezi kanály? Odpověď na tuto otázku závisí na tom, jaká je intenzita toku požadavků, jaký typ funkce, jaký typ QS (s poruchami, s frontou), jaká hodnota je zvolena jako charakteristika efektivity služby.
Příklad 1. Existuje tříkanálový QS s poruchami: intenzita toku aplikací (aplikací za minutu), průměrná doba obsluhy jednoho požadavku jedním kanálem (min), funkce Otázkou je, zda je přínosné z z pohledu propustnosti QS zavést vzájemnou pomoc mezi kanály typu „vše jako jeden“ “? Je to výhodné z hlediska snížení průměrné doby, po kterou aplikace zůstává v systému?
Řešení a. Bez vzájemné pomoci
Pomocí Erlangových vzorců (viz § 4) máme:
Relativní kapacita QS;
Absolutní propustnost:
Průměrná doba, po kterou aplikace zůstane v QS, se zjistí jako pravděpodobnost, že aplikace bude přijata do služby, vynásobená průměrnou dobou služby:
Gsist (min).
Nesmíme zapomínat, že tato průměrná doba platí pro všechny aplikace – obsluhované i neobsluhované Nás může zajímat i průměrná doba, po kterou obsluhovaná aplikace zůstane v systému. Tento čas se rovná:
6. Se vzájemnou pomocí.
Průměrná doba, po kterou aplikace zůstává v CMO:
Průměrný čas strávený obsluhovanou aplikací v CMO:
Za přítomnosti vzájemné pomoci „všichni jako jeden“ se tedy propustnost QS znatelně snížila. To je vysvětleno zvýšením pravděpodobnosti odmítnutí: zatímco všechny kanály jsou zaneprázdněny obsluhou jednoho požadavku, mohou přijít další požadavky, které mohou být přirozeně odmítnuty. Pokud jde o průměrnou dobu, kterou aplikace stráví v CMO, ta se, jak by se dalo očekávat, snížila. Pokud se z nějakého důvodu budeme snažit zcela zkrátit čas, který aplikace stráví v QS (např. je-li pobyt v QS pro aplikaci nebezpečný), může se ukázat, že i přes snížení propustnosti bude stále je výhodné spojit tyto tři kanály do jednoho.
Uvažujme nyní s očekáváním vliv vzájemné pomoci typu „all as one“ na práci QS. Pro jednoduchost bereme pouze případ neomezené fronty. Přirozeně v tomto případě nebude mít vzájemná pomoc vliv na propustnost QS, protože za jakýchkoli podmínek budou všechny příchozí požadavky vyřízeny. Nabízí se otázka vlivu vzájemné pomoci na vlastnosti čekání: průměrná délka fronty, průměrná doba čekání, průměrná doba strávená ve službě.
Na základě vzorců (6.13), (6.14) § 6 pro obsluhu bez vzájemné pomoci bude průměrný počet požadavků ve frontě
průměrná čekací doba:
a průměrná doba setrvání v systému:
Pokud je použita vzájemná pomoc typu „vše jako jeden“, pak systém bude fungovat jako jednokanálový s parametry
a jeho charakteristiky jsou určeny vzorci (5.14), (5.15) § 5:
Příklad 2. Existuje tříkanálový QS s neomezenou frontou; intenzita toku aplikací (aplikací za minutu), průměrná doba obsluhy Funkce Užitný význam:
Průměrná délka fronty,
Průměrná doba čekání na servis,
Průměrná doba, po kterou aplikace zůstává v CMO
zavést vzájemnou pomoc mezi kanály jako „všichni jako jeden“?
Řešení a. Žádná vzájemná pomoc.
Podle vzorců (9.1) - (9.4) máme
(3-2)
b. Se vzájemnou pomocí
Pomocí vzorců (9.5) - (9.7) najdeme;
Průměrná délka fronty a průměrná doba čekání ve frontě v případě vzájemné pomoci jsou tedy větší, ale průměrná doba setrvání aplikace v systému je kratší.
Z uvažovaných příkladů je zřejmé, že vzájemná pomoc mezi Hotovost typu „vše jako jeden“ zpravidla nepřispívá ke zvýšení efektivity služby: zkrátí se doba, po kterou požadavek zůstane v QS, ale zhorší se ostatní charakteristiky služby.
Proto je žádoucí změnit disciplínu služby tak, aby vzájemná pomoc mezi kanály neinterferovala s přijímáním nových požadavků na službu, pokud se objeví, když jsou všechny kanály obsazeny.
Nazvěme následující typ vzájemné pomoci „jednotná vzájemná pomoc“. Pokud požadavek dorazí v době, kdy jsou všechny kanály volné, jsou všechny kanály přijaty pro jeho obsluhu; pokud v době obsluhy aplikace přijde jiná, některé kanály přejdou na její obsluhu; pokud při obsluhování těchto dvou požadavků přijde další, některé kanály se přepnou na obsluhu atd., dokud nejsou všechny kanály obsazeny; pokud je tomu tak, nově příchozí žádost je zamítnuta (v QS s odmítnutím) nebo je zařazena do fronty (v QS s čekáním).
Při této disciplíně vzájemné pomoci je žádost zamítnuta nebo zařazena do fronty pouze v případě, že ji není možné obsloužit. Pokud jde o „prostoj“ kanálů, je za těchto podmínek minimální: pokud je v systému alespoň jeden požadavek, všechny kanály fungují.
Výše jsme uvedli, že když se objeví nový požadavek, některé z obsazených kanálů jsou uvolněny a přepnuty na obsluhu nově příchozího požadavku. Která část? Záleží na typu funkce Má-li tvar lineárního vztahu, jak je znázorněno na Obr. 5.12 a nezáleží na tom, jaká část kanálů je přidělena pro obsluhu nově přijatého požadavku, pokud jsou všechny kanály obsazeny (pak bude celková intenzita služeb pro jakékoli rozdělení kanálů mezi požadavky rovna ). Lze prokázat, že pokud je křivka konvexní směrem nahoru, jak je znázorněno na Obr. 5.11, pak musíte kanály rozdělit mezi požadavky co nejrovnoměrněji.
Uvažujme fungování -kanálového QS s „jednotnou“ vzájemnou pomocí mezi kanály.
Formulace problému. U vchodu n-channel QS přijímá nejjednodušší tok požadavků s hustotou λ. Hustota nejjednoduššího servisního toku pro každý kanál je μ. Pokud požadavek přijatý na službu zjistí, že všechny kanály jsou volné, je přijat pro službu a současně obsluhován l kanály ( l < n). V tomto případě bude mít tok služeb pro jednu aplikaci intenzitu l.
Pokud požadavek přijatý na službu najde v systému jeden požadavek, pak kdy n ≥ 2l nově doručená žádost bude přijata do služby a bude současně obsluhována l kanály.
Pokud je v systému zachycen požadavek na službu i aplikace ( i= 0,1, ...), zatímco ( i+ 1)l≤ n, pak bude přijatá aplikace obsloužena l kanály s celkovým výkonem l. Pokud je v systému zachycena nově přijatá žádost j aplikace a zároveň jsou uspokojeny dvě nerovnosti společně: ( j + 1)l > n A j < n, pak bude žádost přijata do služby. V tomto případě lze provést servis některých aplikací l kanálů, druhá část je menší než l, počet kanálů, ale všichni budou zaneprázdněni servisem n kanály, které jsou náhodně distribuovány mezi aplikacemi. Pokud je v systému zachycena nově přijatá žádost n aplikací, pak je zamítnut a nebude obsluhován. Žádost přijatá k servisu je obsluhována do konce ("pacientské" žádosti).
Stavový graf takového systému je na Obr. 3.8.
Rýže. 3.8. Graf stavů QS s poruchami a částečnými
vzájemná pomoc mezi kanály
Všimněte si, že graf stavu systému až do stavu X h až po zápis průtokových parametrů se shoduje se stavovým grafem klasického systému hromadné obsluhy s poruchami, znázorněným na Obr. 3.6.
Proto,
(i
= 0, 1, ..., h).
Graf stavu systému počínaje stavem X h a končící státem X n, se až do notace shoduje s grafem stavu QS s kompletní vzájemnou pomocí zobrazeným na Obr. 3.7. Tím pádem,
.
Zaveďme označení λ / lμ = ρ l ; λ / nμ = χ, tedy
S přihlédnutím k normalizovanému stavu získáme
Pojďme zjistit vlastnosti systému.
Průměrný počet aplikací v systému je
Průměrný počet obsazených kanálů
.
Pravděpodobnost, že konkrétní kanál bude zaneprázdněn
.
Pravděpodobnost obsazenosti všech kanálů systému
Formulace problému. U vchodu n-kanálový systém QS přijímá heterogenní nejjednodušší tok s celkovou intenzitou λ Σ a
λ Σ
=
,
kde λ i– intenzita aplikací v i zdroj.
Vzhledem k tomu, že tok požadavků je považován za superpozici požadavků z různých zdrojů, lze kombinovaný tok s dostatečnou přesností pro praxi považovat za Poissonův N = 5...20 a λ i ≈ λ i +1 (i1,N). Intenzita obsluhy jednoho zařízení je rozdělena podle exponenciálního zákona a je rovna μ = 1/ t. Servisní zařízení pro obsluhu požadavku jsou zapojena do série, což odpovídá prodloužení servisního času tolikrát, kolikrát je počet zařízení kombinován pro servis:
t obs = kt, μ obs = 1 / kt = μ/ k,
Kde t obs – doba obsluhy požadavku; k– počet servisních zařízení; μ obs – požadavek na intenzitu servisu.
V rámci předpokladů přijatých v kapitole 2 znázorňujeme stav QS jako vektor, kde k m– počet aplikací v systému, z nichž každá je obsluhována m zařízení; L = q max – q min +1 – počet vstupních toků.
Poté počet obsazených a volných zařízení ( n zan ( 
),n sv ( 
)) schopný 
je definován takto:
Od státu 
systém může přejít do jakéhokoli jiného stavu 
. Protože systém funguje L vstupní proudy, pak z každého stavu je to potenciálně možné L přímé přechody. Kvůli omezeným systémovým zdrojům však nejsou všechny tyto přechody proveditelné. Ať je SMO ve stavu 
a přichází požadavek m zařízení. Li m≤ n sv ( 
), poté je požadavek přijat k obsluze a systém přejde do stavu s intenzitou λ m. Pokud aplikace vyžaduje více zařízení, než je k dispozici, bude služba odmítnuta a QS zůstane ve stavu 
. Jestli můžeš 
existují aplikace, které vyžadují m zařízení, pak je každé z nich obsluhováno s intenzitou m a celkovou intenzitu obsluhy takových požadavků (μ m) je definován jako μ m
= k m μ
/ m. Po dokončení obsluhy jednoho z požadavků systém přejde do stavu, ve kterém má odpovídající souřadnice hodnotu o jednu menší než ve stavu 
,
=, tj. dojde k opačnému přechodu. Na Obr. 3.9 ukazuje příklad vektorového modelu QS for n
= 3, L
= 3, q min = 1, q max = 3, P(m) = 1/3, λ Σ = λ, intenzita údržby zařízení – μ.
Rýže. 3.9. Příklad grafu vektorového modelu QS s poruchami služby
Takže každý stát 
charakterizované počtem obsluhovaných aplikací určitého typu. Například ve státě 
jeden požadavek je obsluhován jedním zařízením a jeden požadavek dvěma zařízeními. V tomto stavu jsou všechna zařízení zaneprázdněna, proto jsou možné pouze zpětné přechody (příchod jakéhokoli požadavku v tomto stavu vede k odmítnutí služby). Pokud obsluha požadavku prvního typu skončila dříve, systém přejde do stavu 
(0,1,0) s intenzitou μ, ale pokud obsluha požadavku druhého typu skončila dříve, pak systém přejde do stavu 
(0,1,0) s intenzitou μ/2.
Pomocí stavového grafu s vykreslenými intenzitami přechodu je sestaven systém lineárních algebraických rovnic. Z řešení těchto rovnic se zjistí pravděpodobnosti R(
), kterým se určují vlastnosti QS.
Zvažte nalezení R otk (pravděpodobnost odmítnutí služby).
,
Kde S– počet stavů grafu vektorového QS modelu; R(
) je pravděpodobnost, že se systém nachází ve stavu 
.
Počet stavů podle se určuje takto:
,
(3.22)
;
Stanovme počet stavů vektorového QS modelu podle (3.22) pro příklad znázorněný na Obr. 3.9.
.
Proto, S = 1 + 5 + 1 = 7.
Pro realizaci skutečných požadavků na servisní zařízení je dostatečně velký počet n
(40, ..., 50) a požadavky na počet obslužných zařízení v aplikaci se v praxi pohybují v rozmezí 8–16. S takovým poměrem nástrojů a požadavků se navrhovaný způsob zjišťování pravděpodobností stává extrémně těžkopádným, protože vektorový model QS má velký počet stavů S(50)
= 1790, S(60)
= 4676, S(70) = = 11075 a velikost matice koeficientů soustavy algebraických rovnic je úměrná druhé mocnině S, která vyžaduje velké množství paměti počítače a značné množství počítačového času. Touha snížit množství výpočtů podnítila hledání možností opakujících se výpočtů R(
) založené na multiplikativních formách reprezentace stavových pravděpodobností. Článek představuje přístup k počítání R(
):
(3.23)
Použití kritéria ekvivalence globálních a detailních bilancí Markovových řetězců navržené v práci nám umožňuje redukovat rozměr problému a provádět výpočty na středně výkonném počítači s využitím opakování výpočtů. Kromě toho je možné:
– provádět výpočty pro libovolné hodnoty n;
– urychlit výpočty a snížit náklady na strojový čas.
Podobným způsobem lze určit i další charakteristiky systému.
