Nejtěžší je studovat elektrické jevy v nestejnoměrném elektrickém prostředí. V takovém prostředí má ε různé hodnoty, které se na hranici dielektrika náhle mění. Předpokládejme, že určíme intenzitu pole na rozhraní dvou médií: ε 1 =1 (vakuum nebo vzduch) a ε 2 =3 (kapalina - olej). Na rozhraní, při přechodu z vakua na dielektrikum, se intenzita pole sníží třikrát a tok vektoru síly se sníží o stejnou hodnotu (obr. 12.25, a). Náhlá změna vektoru síly elektrostatického pole na rozhraní mezi dvěma prostředími vytváří určité potíže při výpočtu polí. Pokud jde o Gaussovu větu, za těchto podmínek obecně ztrácí smysl.
Protože polarizovatelnost a napětí různých dielektrik jsou různé, počet siločar v každém dielektriku se bude také lišit. Tento problém lze odstranit zavedením nové fyzikální charakteristiky pole, elektrické indukce D (neboli vektoru elektrický posun ).
Podle vzorce
ε 1 E 1 = ε 2 E 2 =E 0 = konst
Vynásobením všech částí těchto rovností elektrickou konstantou ε 0 získáme
ε 0 ε 1 E 1 = ε 0 ε 2 E 2 =ε 0 E 0 = konst.
Zaveďme označení ε 0 εE=D, pak bude mít předposlední vztah tvar
D 1 = D 2 = D 0 = konst
Nazývá se vektor D, který se rovná součinu intenzity elektrického pole v dielektriku a jeho absolutní dielektrické konstantyvektor elektrického posunu
(12.45)
Jednotka elektrického výtlaku – přívěsek na metr čtvereční(C/m2).
Elektrický posun je vektorová veličina a lze ji také vyjádřit jako
D = εε 0 E =(1+χ)ε 0 E = ε 0 E + χε 0 E = ε 0 E+P
(12.46)
Na rozdíl od napětí E je elektrický posuv D ve všech dielektrikách konstantní (obr. 12.25, b). Proto je vhodné elektrické pole v nehomogenním dielektrickém prostředí charakterizovat nikoli intenzitou E, ale vektorem posunutí D. Vektor D popisuje elektrostatické pole vytvořené volnými náboji (tedy ve vakuu), ale s jejich rozložením v prostoru jako v přítomnosti dielektrika, protože vázané náboje vznikající v dielektriku mohou způsobit redistribuci volných nábojů vytvářejících pole.
Vektorové pole 
graficky znázorněno elektrickými posuvnými čarami stejným způsobem jako pole 
znázorněno siločárami.
Elektrické výtlačné vedení - jsou to přímky, jejichž tečny se v každém bodě shodují ve směru s vektorem elektrického posunutí.
Čáry vektoru E mohou začínat a končit na libovolném náboji - volném i vázaném, zatímco čáry vektoruD- pouze za bezplatné poplatky. Vektorové čáryDNa rozdíl od napínacích čar jsou spojité.
Protože vektor elektrického posunutí nezažívá diskontinuitu na rozhraní mezi dvěma prostředími, všechny indukční čáry vycházející z nábojů obklopených nějakým uzavřeným povrchem jím proniknou. Proto si pro vektor elektrického posunutí Gaussova věta zcela zachovává svůj význam pro nehomogenní dielektrické prostředí.
Gaussova věta pro elektrostatické pole v dielektriku : tok vektoru elektrického posunutí libovolným uzavřeným povrchem se rovná algebraickému součtu nábojů obsažených uvnitř tohoto povrchu.
(12.47)
Uvažujme, jak se mění hodnota vektoru E na rozhraní mezi dvěma prostředími, například vzduchem (ε 1) a vodou (ε = 81). Síla pole ve vodě se náhle sníží faktorem 81. Toto chování vektoru E vytváří určité nepříjemnosti při výpočtu polí v různých prostředích. Aby se předešlo této nepříjemnosti, je zaveden nový vektor D– vektor indukce nebo elektrického posunutí pole. Vektorové připojení D A E vypadá jako
D = ε ε 0 E.
Je zřejmé, že pro pole bodového náboje bude elektrický posun roven
Je snadné vidět, že elektrický posuv je měřen v C/m2, nezávisí na vlastnostech a je graficky znázorněn čarami podobnými tahovým čarám.
Směr siločar charakterizuje směr pole v prostoru (siločáry samozřejmě neexistují, jsou zavedeny pro názornost) nebo směr vektoru intenzity pole. Pomocí tahových čar můžete charakterizovat nejen směr, ale i velikost intenzity pole. Za tímto účelem bylo dohodnuto, že je budou provádět s určitou hustotou, takže počet napínacích čar prorážejících jednotkový povrch kolmo k napínacím čarám byl úměrný vektorovému modulu E(obr. 78). Potom počet čar procházejících elementární plochou dS, k níž normála n svírá s vektorem úhel α E, se rovná E dScos α = E n dS,
kde E n je vektorová složka E ve směru normálu n. Hodnota dФ E = E n dS = E d S volal proudění vektoru napětí místem d S(d S= dS n).
Pro libovolnou uzavřenou plochu S vektor toku E přes tento povrch je stejný
Podobný výraz má tok vektoru elektrického posunutí Ф D
.
Tato věta nám umožňuje určit tok vektorů E a D z libovolného počtu nábojů. Vezměme bodový náboj Q a definujme tok vektoru E přes kulovou plochu o poloměru r, v jejímž středu se nachází.
Pro kulovou plochu α = 0, cos α = 1, E n = E, S = 4 πr 2 a
Ф E = E · 4 πr 2 .
Dosazením výrazu za E dostaneme
Z každého bodového náboje tedy vzniká tok F E vektoru E rovna Q/ ε 0 . Zobecněním tohoto závěru na obecný případ libovolného počtu bodových nábojů dáme formulaci věty: celkový tok vektoru E přes uzavřenou plochu libovolného tvaru je číselně rovna algebraickému součtu elektrických nábojů obsažených uvnitř této plochy, děleno ε 0, tzn.
Pro vektorový tok elektrického posuvu D můžete získat podobný vzorec
tok indukčního vektoru uzavřeným povrchem se rovná algebraickému součtu elektrických nábojů pokrytých tímto povrchem.
Pokud vezmeme uzavřený povrch, který neobjímá náboj, pak každý řádek E A D překročí tento povrch dvakrát - na vstupu a výstupu, takže celkový tok se ukáže jako nulový. Zde je nutné vzít v úvahu algebraický součet linií vstupujících a vycházejících.
Kulová plocha o poloměru R nese náboj Q, rovnoměrně rozložený po povrchu s plošnou hustotou σ
Vezměme bod A mimo kouli ve vzdálenosti r od středu a v duchu nakreslíme kouli o poloměru r symetricky nabitou (obr. 79). Jeho plocha je S = 4 πr 2. Tok vektoru E bude roven
Podle Ostrogradského-Gaussova teorému 
, tedy, 
vezmeme-li v úvahu, že Q = σ 4 πr 2, dostaneme 
Pro body umístěné na povrchu koule (R = r)
D 
Pro body umístěné uvnitř duté koule (uvnitř koule není žádný náboj), E = 0.
2
. Dutá válcová plocha s poloměrem R a délkou l nabitý s konstantní hustotou povrchového náboje 
(obr. 80). Narýsujme souosou válcovou plochu o poloměru r > R.
Vektor toku E přes tento povrch
Podle Gaussovy věty
Když vyrovnáme pravé strany výše uvedených rovností, dostaneme
.
Pokud je dána lineární hustota náboje válce (nebo tenkého závitu). 
Že
3. Pole nekonečných rovin s hustotou povrchového náboje σ (obr. 81).
Uvažujme pole vytvořené nekonečnou rovinou. Z úvah o symetrii vyplývá, že intenzita v libovolném bodě pole má směr kolmý k rovině.
V symetrických bodech E bude mít stejnou velikost a opačný směr.
Sestrojme mentálně povrch válce se základnou ΔS. Potom bude proudit skrz každou ze základen válce
FE = EAS a celkový průtok válcovou plochou bude roven FE = 2EAS.
Uvnitř povrchu je náboj Q = σ · ΔS. Podle Gaussovy věty to musí být pravda
kde 
Získaný výsledek nezávisí na výšce zvoleného válce. Intenzita pole E v jakékoli vzdálenosti je tedy co do velikosti stejná.
Pro dvě různě nabité roviny se stejnou hustotou povrchového náboje σ je podle principu superpozice mimo prostor mezi rovinami intenzita pole nula E = 0 a v prostoru mezi rovinami 
(obr. 82a). Pokud jsou roviny nabity podobnými náboji se stejnou hustotou povrchového náboje, pozorujeme opačný obrázek (obr. 82b). V prostoru mezi rovinami E = 0 a v prostoru mimo roviny 
.
Obecná formulace: Tok vektoru intenzity elektrického pole libovolným libovolně zvoleným uzavřeným povrchem je úměrný elektrickému náboji obsaženému uvnitř tohoto povrchu.
V systému SGSE:
V soustavě SI:
je tok vektoru intenzity elektrického pole uzavřeným povrchem.
- celkový náboj obsažený v objemu, který omezuje povrch.
- elektrická konstanta.
Tento výraz představuje Gaussovu větu v integrálním tvaru.
V diferenciální formě odpovídá Gaussova věta jedné z Maxwellových rovnic a je vyjádřena následovně
v soustavě SI:
,
v systému SGSE:
Zde je objemová hustota náboje (v případě přítomnosti média celková hustota volného a vázaného náboje) a je operátor nabla.
Pro Gaussovu větu platí princip superpozice, to znamená, že tok vektoru intenzity povrchem nezávisí na rozložení náboje uvnitř povrchu.
Fyzikálním základem Gaussovy věty je Coulombův zákon nebo, jinými slovy, Gaussova věta je integrální formulací Coulombova zákona.
Gaussův teorém pro elektrickou indukci (elektrický posuv).
Pro pole v hmotě lze Gaussův elektrostatický teorém napsat jinak – prostřednictvím toku vektoru elektrického posunutí (elektrická indukce). V tomto případě je formulace věty následující: tok vektoru elektrického posunutí uzavřeným povrchem je úměrný volnému elektrickému náboji obsaženému uvnitř tohoto povrchu:
Uvažujeme-li větu o intenzitě pole v látce, pak jako náboj Q je třeba vzít součet volného náboje umístěného uvnitř povrchu a polarizačního (indukovaného, vázaného) náboje dielektrika:
,
Kde 
,
je polarizační vektor dielektrika.
Tok vektoru magnetické indukce jakýmkoli uzavřeným povrchem je nulový:
.
To je ekvivalentní skutečnosti, že v přírodě neexistují žádné „magnetické náboje“ (monopoly), které by vytvářely magnetické pole, stejně jako elektrické náboje vytvářejí elektrické pole. Jinými slovy, Gaussův teorém pro magnetickou indukci ukazuje, že magnetické pole je vírové.
K výpočtu elektromagnetických polí se používají následující veličiny:
Objemová hustota náboje (viz výše).
Hustota povrchového náboje
kde dS je nekonečně malý povrch.
Lineární hustota náboje
kde dl je délka infinitezimálního segmentu.
Uvažujme pole vytvořené nekonečnou rovnoměrně nabitou rovinou. Nechť je hustota povrchového náboje v rovině stejná a rovna σ. Představme si válec s tvořícími přímkami kolmými k rovině a podstavou ΔS umístěnou symetricky k rovině. Kvůli symetrii. Tok vektoru napětí je roven . Když použijeme Gaussovu větu, dostaneme:
,
z nichž
v systému SSSE
Je důležité poznamenat, že navzdory své univerzálnosti a obecnosti má Gaussova věta v integrálním tvaru relativně omezené použití kvůli nepohodlnosti výpočtu integrálu. V případě symetrického problému se však jeho řešení stává mnohem jednodušším než použití principu superpozice.
Zákon vzájemného působení elektrických nábojů – Coulombův zákon – lze formulovat různě, formou tzv. Gaussovy věty. Gaussova věta je získána jako důsledek Coulombova zákona a principu superpozice. Důkaz je založen na nepřímé úměrnosti síly interakce mezi dvěma bodovými náboji ke druhé mocnině vzdálenosti mezi nimi. Proto je Gaussova věta použitelná pro jakékoli fyzikální pole, kde platí zákon inverzní čtverce a princip superpozice, například pro gravitační pole.
Rýže. 9. Čáry intenzity elektrického pole bodového náboje protínající uzavřenou plochu X
Abychom mohli formulovat Gaussovu větu, vraťme se k obrázku siločar elektrického pole stacionárního bodového náboje. Siločáry osamoceného bodového náboje jsou symetricky umístěné radiální přímky (obr. 7). Takových čar můžete nakreslit libovolný počet. Označme jejich celkový počet Pak hustota siločar ve vzdálenosti od náboje, tj. počet čar protínajících jednotkový povrch koule o poloměru, je roven Porovnání tohoto vztahu s výrazem pro intenzitu pole a bodový náboj (4), vidíme, že hustota čar je úměrná intenzitě pole. Správným výběrem celkového počtu siločar N můžeme tyto veličiny číselně srovnat:
Povrch koule o libovolném poloměru obklopující bodový náboj tedy protíná stejný počet siločar. To znamená, že siločáry jsou spojité: v intervalu mezi libovolnými dvěma soustřednými koulemi o různých poloměrech se žádná z čar nepřeruší a nepřidají se žádné nové. Protože siločáry jsou spojité, stejný počet siločar protíná jakýkoli uzavřený povrch (obr. 9) pokrývající náboj
Siločáry mají směr. V případě kladného náboje vycházejí z uzavřeného povrchu obklopujícího náboj, jak je znázorněno na obr. 9. V případě záporného náboje jdou dovnitř povrchu. Pokud je počet odchozích řádků považován za kladný a počet příchozích za záporný, pak ve vzorci (8) můžeme vynechat znaménko modulu náboje a zapsat jej ve tvaru
Tok napětí. Představme si nyní koncept vektorového toku intenzity pole povrchem. Libovolné pole lze mentálně rozdělit na malé oblasti, ve kterých se intenzita mění ve velikosti a směru tak málo, že v rámci této oblasti lze pole považovat za rovnoměrné. V každé takové oblasti jsou siločáry rovnoběžné přímky a mají konstantní hustotu.
Rýže. 10. Určit tok vektoru intenzity pole místem
Uvažujme, kolik siločar proniká malou oblastí, jejíž směr normály svírá se směrem tahových čar úhel a (obr. 10). Nechť je projekce do roviny kolmé na siločáry. Protože počet křížících se čar je stejný a hustota čar se podle přijatých podmínek rovná modulu intenzity pole E, pak
Hodnota a je projekce vektoru E do směru normály k místu
Počet elektrických vedení procházejících oblastí je tedy roven
Součin se nazývá tok intenzity pole povrchem Vzorec (10) ukazuje, že tok vektoru E povrchem je roven počtu siločar protínajících tento povrch. Všimněte si, že tok vektoru intenzity, stejně jako počet siločar procházejících povrchem, je skalární.
Rýže. 11. Proudění vektoru napětí E místem
Závislost proudění na orientaci místa vzhledem k siločarám je znázorněna na Obr.
Tok intenzity pole libovolným povrchem je součtem toků přes elementární oblasti, na které lze tento povrch rozdělit. Na základě vztahů (9) a (10) lze konstatovat, že tok intenzity pole bodového náboje jakýmkoli uzavřeným povrchem 2 obklopujícím náboj (viz obr. 9), jako počet siločar vycházejících z tento povrch je roven V tomto případě by měl být normálový vektor k uzavřenému povrchu elementárních oblastí směřován ven. Pokud je náboj uvnitř povrchu záporný, pak siločáry vstupují dovnitř tohoto povrchu a tok vektoru intenzity pole spojený s nábojem je také záporný.
Pokud je uvnitř uzavřeného povrchu několik nábojů, pak se v souladu s principem superpozice toky jejich sil pole sčítají. Celkový tok se bude rovnat hodnotě, kde by mělo být chápáno jako algebraický součet všech nábojů umístěných uvnitř povrchu.
Pokud uvnitř uzavřeného povrchu nejsou žádné elektrické náboje nebo je jejich algebraický součet nulový, pak je celkový tok intenzity pole tímto povrchem nulový: kolik siločar vstupuje do objemu ohraničeného povrchem, stejný počet zhasne.
Nyní můžeme konečně formulovat Gaussovu větu: tok vektoru síly elektrického pole E ve vakuu jakýmkoli uzavřeným povrchem je úměrný celkovému náboji umístěnému uvnitř tohoto povrchu. Matematicky je Gaussova věta vyjádřena stejným vzorcem (9), kde se myslí algebraický součet nábojů. V absolutní elektrostatii
v soustavě jednotek SGSE se koeficient a Gaussova věta zapisují ve tvaru
V SI je tok napětí uzavřeným povrchem vyjádřen vzorcem
Gaussův teorém je široce používán v elektrostatice. V některých případech jej lze použít ke snadnému výpočtu polí vytvořených symetricky umístěnými náboji.
Pole symetrických zdrojů. Aplikujme Gaussovu větu k výpočtu intenzity elektrického pole rovnoměrně nabitého na povrchu koule o poloměru . Pro jistotu budeme předpokládat, že jeho náboj je kladný. Rozložení nábojů vytvářejících pole má sférickou symetrii. Proto má pole také stejnou symetrii. Siločáry takového pole směřují podél poloměrů a modul intenzity je stejný ve všech bodech stejně vzdálených od středu koule.
Abychom našli intenzitu pole ve vzdálenosti od středu koule, nakreslime v duchu kulovou plochu o poloměru soustřednou s koulí, protože ve všech bodech této koule je intenzita pole směrována kolmo k jejímu povrchu a je stejný v absolutní hodnotě, tok intenzity se jednoduše rovná součinu intenzity pole a plochy povrchu koule:
Ale toto množství lze také vyjádřit pomocí Gaussovy věty. Pokud nás zajímá pole mimo míč, tedy např. v SI a ve srovnání s (13) najdeme
V systému jednotek SGSE samozřejmě
Vně míče je tedy síla pole stejná jako u bodového náboje umístěného ve středu míče. Pokud nás zajímá pole uvnitř koule, tj. protože celý náboj rozmístěný po povrchu koule se nachází mimo kouli, kterou jsme mentálně nakreslili. Proto uvnitř koule není žádné pole:
Podobně pomocí Gaussovy věty lze vypočítat elektrostatické pole vytvořené nekonečně nabitým
rovina s konstantní hustotou ve všech bodech roviny. Z důvodů symetrie můžeme předpokládat, že siločáry jsou kolmé k rovině, směřují z ní oběma směry a mají všude stejnou hustotu. Pokud by totiž byla hustota siločar v různých bodech různá, pak by pohyb nabité roviny podél sebe vedlo ke změně pole v těchto bodech, což je v rozporu se symetrií systému – takový posun by pole neměl změnit. Jinými slovy, pole nekonečné rovnoměrně nabité roviny je jednotné.
Jako uzavřenou plochu pro aplikaci Gaussovy věty zvolíme povrch válce konstruovaný následovně: tvořící čára válce je rovnoběžná se siločárami a základny mají plochy rovnoběžné s nabitou rovinou a leží na jejích opačných stranách. (obr. 12). Tok intenzity pole bočním povrchem je nulový, takže celkový tok uzavřeným povrchem se rovná součtu toků základnami válce:
Rýže. 12. K výpočtu intenzity pole rovnoměrně nabité roviny
Podle Gaussovy věty je stejný tok určen nábojem té části roviny, která leží uvnitř válce a v SI je roven Porovnáním těchto výrazů pro tok zjistíme
V systému SGSE je intenzita pole rovnoměrně nabité nekonečné roviny dána vzorcem
Pro rovnoměrně nabitou desku konečných rozměrů platí získané výrazy přibližně v oblasti umístěné dostatečně daleko od okrajů desky a nepříliš daleko od jejího povrchu. V blízkosti okrajů desky již nebude pole rovnoměrné a jeho siločáry budou ohnuté. Při velmi velkých vzdálenostech ve srovnání s velikostí desky se pole se vzdáleností zmenšuje stejně jako pole bodového náboje.
Mezi další příklady polí vytvořených symetricky rozloženými zdroji patří pole rovnoměrně nabitého po délce nekonečného přímočarého vlákna, pole rovnoměrně nabitého nekonečného kruhového válce, pole koule,
rovnoměrně nabité v celém objemu atd. Gaussův teorém umožňuje ve všech těchto případech snadno vypočítat intenzitu pole.
Gaussův teorém dává vztah mezi polem a jeho zdroji, v jistém smyslu opak toho, co dává Coulombův zákon, který umožňuje určit elektrické pole z daných nábojů. Pomocí Gaussovy věty můžete určit celkový náboj v jakékoli oblasti prostoru, ve které je známo rozložení elektrického pole.
Jaký je rozdíl mezi koncepty působení na velký a krátký dosah při popisu interakce elektrických nábojů? Do jaké míry lze tyto koncepty aplikovat na gravitační interakce?
Co je síla elektrického pole? Co znamenají, když se tomu říká silová charakteristika elektrického pole?
Jak lze posoudit směr a velikost intenzity pole v určitém bodě ze vzoru siločar?
Mohou se elektrické siločáry protínat? Uveďte důvody své odpovědi.
Nakreslete kvalitativní obrázek elektrostatických siločar dvou nábojů tak, že .
Tok intenzity elektrického pole uzavřeným povrchem je vyjádřen různými vzorci (11) a (12) v jednotkách GSE a SI. Jak to lze uvést do souladu s geometrickým významem proudění, určeným počtem siločar protínajících povrch?
Jak použít Gaussovu větu k nalezení síly elektrického pole, když jsou náboje, které je vytvářejí, rozloženy symetricky?
Jak použít vzorce (14) a (15) k výpočtu intenzity pole koule se záporným nábojem?
Gaussova věta a geometrie fyzického prostoru. Podívejme se na důkaz Gaussovy věty z trochu jiného úhlu pohledu. Vraťme se ke vzorci (7), ze kterého vyplynulo, že stejný počet siločar prochází libovolnou kulovou plochou obklopující náboj. Tento závěr je dán tím, že dochází ke snížení jmenovatelů obou stran rovnosti.
Na pravé straně vznikla díky tomu, že síla interakce mezi náboji, popsaná Coulombovým zákonem, je nepřímo úměrná druhé mocnině vzdálenosti mezi náboji. Na levé straně vzhled souvisí s geometrií: plocha povrchu koule je úměrná druhé mocnině jejího poloměru.
Proporcionalita plochy povrchu ke čtverci lineárních rozměrů je charakteristickým znakem euklidovské geometrie v trojrozměrném prostoru. Ve skutečnosti je pro prostor charakteristická proporcionalita ploch přesně ke čtvercům lineárních rozměrů a ne k jakémukoli jinému celočíselnému stupni.
tři rozměry. Skutečnost, že tento exponent je přesně roven dvěma a neliší se od dvou, byť jen nepatrně, naznačuje, že tento trojrozměrný prostor není zakřivený, tj. že jeho geometrie je přesně euklidovská.
Gaussův teorém je tedy projevem vlastností fyzikálního prostoru v základním zákonu interakce elektrických nábojů.
Myšlenka úzkého spojení mezi základními fyzikálními zákony a vlastnostmi prostoru byla vyjádřena mnoha vynikajícími mozky dlouho předtím, než byly tyto zákony samy stanoveny. Tak I. Kant tři desetiletí před objevem Coulombova zákona o vlastnostech prostoru napsal: „K trojrozměrnosti dochází zřejmě proto, že látky v existujícím světě na sebe působí tak, že síla působení je nepřímo úměrné druhé mocnině vzdálenosti."
Coulombův zákon a Gaussova věta ve skutečnosti představují stejný přírodní zákon vyjádřený v různých formách. Coulombův zákon odráží koncept akce na velkou vzdálenost, zatímco Gaussův teorém pochází z myšlenky silového pole vyplňujícího prostor, tedy z konceptu akce na krátkou vzdálenost. V elektrostatice je zdrojem silového pole náboj a charakteristika pole související se zdrojem - tok intenzity - se nemůže měnit v prázdném prostoru, kde nejsou žádné jiné náboje. Vzhledem k tomu, že proudění si lze vizuálně představit jako soubor siločar, projevuje se neměnnost proudění v kontinuitě těchto siločar.
Gaussova věta, založená na nepřímé úměrnosti interakce ke druhé mocnině vzdálenosti a na principu superpozice (aditivita interakce), je použitelná pro jakékoli fyzikální pole, ve kterém funguje zákon o inverzní čtverci. Zejména to platí také pro gravitační pole. Je jasné, že to není jen náhoda, ale odraz skutečnosti, že elektrické i gravitační interakce se odehrávají v trojrozměrném euklidovském fyzickém prostoru.
Na jaké vlastnosti zákona interakce elektrických nábojů je založena Gaussova věta?
Dokažte na základě Gaussovy věty, že intenzita elektrického pole bodového náboje je nepřímo úměrná druhé mocnině vzdálenosti. Jaké vlastnosti prostorové symetrie jsou použity v tomto důkazu?
Jak se geometrie fyzického prostoru odráží v Coulombově zákoně a Gaussově větě? Jaký rys těchto zákonů ukazuje na euklidovskou povahu geometrie a trojrozměrnost fyzického prostoru?
Vektorový tok síly elektrického pole. Nechte malou platformu DS(obr. 1.2) protínají siločáry elektrického pole, jejichž směr je s normálou n
úhlu k tomuto webu A. Za předpokladu, že vektor napětí E
se na webu nemění DS, pojďme definovat vektorový tok napětí přes platformu DS Jak
DFE =E DS cos A.(1.3)
Protože hustota silových vedení je rovna číselné hodnotě napětí E, pak počet elektrických vedení protínajících oblastDS, bude číselně rovna hodnotě průtokuDFEpřes povrchDS. Představme si pravou stranu výrazu (1.3) jako skalární součin vektorů E ADS= nDS, Kde n– jednotkový vektor kolmý k povrchuDS. Pro základní oblast d S výraz (1.3) má tvar
dFE = E d S
Přes celý web S tok vektoru napětí se vypočítá jako integrál po povrchu
Vektorový tok elektrické indukce. Tok vektoru elektrické indukce se určuje podobně jako tok vektoru síly elektrického pole
dFD = D d S
V definicích toků je určitá nejednoznačnost vzhledem k tomu, že pro každý povrch dva normály v opačném směru. U uzavřeného povrchu je vnější normála považována za kladnou.
Gaussova věta. Uvažujme bod pozitivní elektrický náboj q, umístěný uvnitř libovolného uzavřeného povrchu S(obr. 1.3). d. indukční vektorový tok povrchovým prvkem S rovná se 
(1.4)
Komponenta d S D = d S cos Apovrchový prvek d S ve směru vektoru indukceDpovažován za prvek kulové plochy o poloměru r, v jejímž středu je umístěn nábojq.
|
|
Vzhledem k tomu, že d S D/ r 2 se rovná elementární tělesný roh dw, pod kterým z místa, kde se nachází nábojqpovrchový prvek d viditelný S, převedeme výraz (1.4) do tvaru d FD = q d w / 4 p, odkud po integraci přes celý prostor obklopující náboj, tedy v prostorovém úhlu od 0 do 4p, dostaneme
FD = q.
Tok vektoru elektrické indukce uzavřeným povrchem libovolného tvaru se rovná náboji obsaženému uvnitř tohoto povrchu.
|
|
Je-li libovolný uzavřený povrch S nehradí bodový poplatek q(obr. 1.4), poté, co sestrojíme kuželovou plochu s vrcholem v bodě, kde se nachází náboj, plochu rozdělíme S na dvě části: S 1 a S 2. Vektor toku D přes povrch S najdeme jako algebraický součet toků plochami S 1 a S 2:
.
Oba povrchy z místa, kde se nachází náboj q viditelné z jednoho pevného úhlu w. Proto jsou toky stejné
Jelikož při výpočtu průtoku uzavřenou plochou používáme vnější normál na povrch je snadné vidět, že proud F 1D < 0, тогда как поток Ф2D> 0. Celkový průtok Ф D= 0. To znamená, že tok vektoru elektrické indukce uzavřeným povrchem libovolného tvaru nezávisí na nábojích umístěných mimo tento povrch.
Je-li elektrické pole tvořeno soustavou bodových nábojů q 1 , q 2 ,¼ , qn, který je krytý uzavřeným povrchem S, pak v souladu s principem superpozice je tok indukčního vektoru touto plochou určen jako součet toků vytvořených každým z nábojů. Tok vektoru elektrické indukce uzavřeným povrchem libovolného tvaru se rovná algebraickému součtu nábojů pokrytých tímto povrchem:
Je třeba poznamenat, že poplatky Qi nemusí být bodové, nutnou podmínkou je, že nabitá oblast musí být zcela pokryta povrchem. Pokud v prostoru ohraničeném uzavřenou plochou S, elektrický náboj je distribuován spojitě, pak je třeba předpokládat, že každý elementární objem d PROTI má náboj. V tomto případě je na pravé straně výrazu (1.5) algebraický součet nábojů nahrazen integrací přes objem uzavřený uvnitř uzavřené plochy. S:
(1.6)
Výraz (1.6) je nejobecnější formulací Gaussova věta: tok vektoru elektrické indukce uzavřeným povrchem libovolného tvaru se rovná celkovému náboji v objemu pokrytém tímto povrchem a nezávisí na nábojích umístěných mimo uvažovaný povrch. Gaussův teorém lze také napsat pro tok vektoru síly elektrického pole:
.
Z Gaussovy věty vyplývá důležitá vlastnost elektrického pole: siločáry začínají nebo končí pouze na elektrických nábojích nebo jdou do nekonečna. Zdůrazněme ještě jednou, že i přes to, že síla elektrického pole E a elektrickou indukcí D závisí na umístění všech nábojů v prostoru, toky těchto vektorů libovolnou uzavřenou plochou S jsou pouze určeny ty náboje, které se nacházejí uvnitř povrchu S.
Diferenciální forma Gaussovy věty. Všimněte si, že integrální forma Gaussova věta charakterizuje vztah mezi zdroji elektrického pole (náboje) a charakteristikami elektrického pole (napětí nebo indukce) v obj. PROTI libovolná, ale postačující pro vytvoření integrálních vztahů, vel. Dělením objemu PROTI pro malé objemy V i, dostaneme výraz
platí jak jako celek, tak pro každý termín. Transformujme výsledný výraz takto:
(1.7)
a zvažte hranici, ke které výraz na pravé straně rovnosti, uzavřený ve složených závorkách, směřuje k neomezenému rozdělení objemu PROTI. V matematice se tato limita nazývá divergence vektor (v tomto případě vektor elektrické indukce D):
Vektorová divergence D v kartézských souřadnicích:
Výraz (1.7) se tedy transformuje do tvaru:
.
Uvážíme-li, že při neomezeném dělení přechází součet na levé straně posledního výrazu do objemového integrálu, dostáváme
Výsledný vztah musí být splněn pro libovolný libovolně zvolený objem PROTI. To je možné, pouze pokud jsou hodnoty integrandů v každém bodě prostoru stejné. Proto divergence vektoru D souvisí s hustotou náboje ve stejném bodě pomocí rovnosti
nebo pro vektor intenzity elektrostatického pole
Tyto rovnosti vyjadřují Gaussovu větu v rozdílová forma.
Všimněte si, že v procesu přechodu na diferenciální formu Gaussovy věty se získá vztah, který má obecný charakter:
.
Výraz se nazývá Gauss-Ostrogradského vzorec a spojuje objemový integrál divergence vektoru s tokem tohoto vektoru uzavřeným povrchem ohraničujícím objem.
Otázky
1) Jaký fyzikální význam má Gaussova věta pro elektrostatické pole ve vakuu
2) Ve středu krychle je bodový nábojq. Jaký je tok vektoru? E:
a) přes celou plochu krychle; b) přes jednu ze stěn krychle.
Změní se odpovědi, pokud:
a) náboj není ve středu krychle, ale uvnitř ; b) náboj je mimo krychli.
3) Jaké jsou lineární, povrchové, objemové hustoty náboje.
4) Uveďte vztah mezi objemovou a povrchovou hustotou náboje.
5) Může být pole mimo opačně a rovnoměrně nabité paralelní nekonečné roviny nenulové?
6) Uvnitř uzavřeného povrchu je umístěn elektrický dipól. Jaký je průtok tímto povrchem
