Elementaarfunktsioonide kirjeldus. Elementaarne funktsioon

1) Funktsiooni domeen ja funktsioonide vahemik.

Funktsiooni domeen on kõigi kehtivate kehtivate argumentide väärtuste kogum x(muutuja x), mille jaoks funktsioon y = f(x) kindlaks määratud. Funktsiooni vahemik on kõigi reaalväärtuste hulk y, mille funktsioon aktsepteerib.

Elementaarmatemaatikas uuritakse funktsioone ainult reaalarvude hulgal.

2) Funktsiooni nullid.

Funktsioon null on argumendi väärtus, mille korral funktsiooni väärtus võrdub nulliga.

3) Funktsiooni konstantse märgi intervallid.

Funktsiooni konstantse märgi intervallid on argumentide väärtuste komplektid, mille funktsiooni väärtused on ainult positiivsed või ainult negatiivsed.

4) Funktsiooni monotoonsus.

Kasvav funktsioon (teatud intervallis) on funktsioon, milles selle intervalli argumendi suurem väärtus vastab funktsiooni suuremale väärtusele.

Vähenev funktsioon (teatud intervallis) on funktsioon, milles selle intervalli argumendi suurem väärtus vastab funktsiooni väiksemale väärtusele.

5) Paaris (paaritu) funktsioon.

Paarisfunktsioon on funktsioon, mille määratluspiirkond on sümmeetriline lähtekoha suhtes ja mis tahes jaoks X määratlusvaldkonnast võrdsus f(-x) = f(x). Paarisfunktsiooni graafik on ordinaadi suhtes sümmeetriline.

Paaritu funktsioon on funktsioon, mille määratluspiirkond on sümmeetriline lähtekoha suhtes ja mis tahes jaoks X definitsiooni valdkonnast on võrdsus tõene f(-x) = - f(x). Paaritu funktsiooni graafik on algpunkti suhtes sümmeetriline.

6) Piiratud ja piiramatud funktsioonid.

Funktsiooni nimetatakse piiritletuks, kui on olemas positiivne arv M, mille puhul |f(x)| ≤ M kõigi x väärtuste korral. Kui sellist numbrit pole, on funktsioon piiramatu.

7) Funktsiooni perioodilisus.

Funktsioon f(x) on perioodiline, kui on olemas nullist erinev arv T, nii et funktsiooni definitsioonipiirkonna mis tahes x korral kehtib järgmine: f(x+T) = f(x). Seda väikseimat arvu nimetatakse funktsiooni perioodiks. Kõik trigonomeetrilised funktsioonid on perioodilised. (Trigonomeetrilised valemid).

19. Põhilised elementaarfunktsioonid, nende omadused ja graafikud. Funktsioonide rakendamine majanduses.

Põhilised elementaarfunktsioonid. Nende omadused ja graafikud

1. Lineaarne funktsioon.

Lineaarne funktsioon nimetatakse funktsiooniks kujul , kus x on muutuja, a ja b on reaalarvud.

Number A mida nimetatakse sirge kaldeks, on see võrdne selle sirge kaldenurga puutujaga x-telje positiivse suuna suhtes. Lineaarfunktsiooni graafik on sirgjoon. See on määratletud kahe punktiga.

Lineaarse funktsiooni omadused

1. Definitsioonipiirkond – kõigi reaalarvude hulk: D(y)=R

2. Väärtuste hulk on kõigi reaalarvude hulk: E(y)=R

3. Funktsioon võtab nullväärtuse, kui või.

4. Funktsioon suureneb (väheneb) kogu määratluspiirkonna ulatuses.

5. Lineaarfunktsioon on pidev kogu definitsioonipiirkonna ulatuses, diferentseeruv ja .

2. Ruutfunktsioon.

Vormi funktsiooni, kus x on muutuja, koefitsiendid a, b, c on reaalarvud, nimetatakse ruutkeskne

Arvestades keeruka muutuja funktsioone, defineeris Liouville elementaarfunktsioonid mõnevõrra laiemalt. Elementaarne funktsioon y muutuv x- analüütiline funktsioon, mida saab esitada algebralise funktsioonina x ja funktsioonid , ja on mõne algebralise funktsiooni logaritm või eksponent g 1 alates x .

Näiteks patt ( x) – algebraline funktsioon e ix .

Arvestuse üldistust piiramata võime lugeda funktsioone algebraliselt sõltumatuteks, st kui algebraline võrrand on kõigi jaoks täidetud x, siis kõik polünoomi koefitsiendid on võrdsed nulliga.

Elementaarfunktsioonide eristamine

Kus z 1 "(z) võrdub või g 1 " / g 1 või z 1 g 1" sõltuvalt sellest, kas see on logaritm z 1 või eksponentsiaalne jne. Praktikas on mugav kasutada tuletise tabelit.

Elementaarfunktsioonide integreerimine

Liouville'i teoreem on aluseks elementaarfunktsioonide sümboolse integreerimise algoritmide loomisel, mis on realiseeritud nt.

Piirmäärade arvutamine

Liouville’i teooria piirmäärade arvutamisel ei kehti. Pole teada, kas on olemas algoritm, mis elementaarvalemiga antud jada annab vastuse, kas sellel on piir või mitte. Näiteks on lahtine küsimus, kas jada koondub.

Kirjandus

J. Liouville. Mémoire sur l'intégration d'une classe de fonctions transcendantes// J. Reine Angew. matemaatika. Bd. 13, lk. 93-118. (1835)
J.F. Ritt. Integreerimine piiratud tingimustega. N.-Y., 1949 // http://lib.homelinux.org
A. G. Khovansky. Topoloogiline Galois' teooria: võrrandite lahendatavus ja lahendamatus lõplikul kujul Ch. 1. M, 2007

Märkmed

Wikimedia sihtasutus. 2010. aasta.

Elementaarne erutus
Elementaarne tulemus

Vaadake, mis on "elementaarfunktsioon" teistes sõnaraamatutes:

elementaarne funktsioon- Funktsioon, mida väiksemateks funktsioonideks jagatuna ei saa digitaalses edastushierarhias üheselt määratleda. Seetõttu on see võrgu seisukohast jagamatu (ITU T G.806). Teemad: telekommunikatsioon, põhimõisted EN kohanemisfunktsioonA... Tehniline tõlkija juhend

võrgutasandite interaktsiooni funktsioon- elementaarne funktsioon, mis tagab iseloomuliku teabe koostoime kahe võrgukihi vahel. (ITU T G.806). Teemad: telekommunikatsioon, EN kihi põhimõisted... ... Tehniline tõlkija juhend

Teadmised põhilised elementaarfunktsioonid, nende omadused ja graafikud mitte vähem oluline kui korrutustabelite tundmine. Nad on nagu vundament, kõik põhineb neil, kõik on neist üles ehitatud ja kõik taandub neile.

Selles artiklis loetleme kõik peamised elementaarfunktsioonid, esitame nende graafikud ja esitame ilma järelduste või tõenditeta põhiliste elementaarfunktsioonide omadused vastavalt skeemile:

funktsiooni käitumine definitsioonipiirkonna piiridel, vertikaalsed asümptoodid (vajadusel vt funktsiooni katkestuspunktide artikli klassifikatsiooni);
paaris ja paaritu;
kumeruse (kumerus ülespoole) ja nõgususe (kumerus allapoole) intervallid, käändepunktid (vajadusel vt artiklit funktsiooni kumerus, kumeruse suund, käändepunktid, kumeruse ja käände tingimused);
kaldus ja horisontaalsed asümptoodid;
funktsioonide ainsuse punktid;
mõne funktsiooni eriomadused (näiteks trigonomeetriliste funktsioonide väikseim positiivne periood).

Kui olete huvitatud või, siis võite minna nendesse teooria osadesse.

Põhilised elementaarfunktsioonid on: konstantfunktsioon (konstant), n-s juur, astmefunktsioon, eksponentsiaalfunktsioon, logaritmiline funktsioon, trigonomeetrilised ja pöördtrigonomeetrilised funktsioonid.

Leheküljel navigeerimine.

Püsiv funktsioon.

Konstantne funktsioon on defineeritud kõigi reaalarvude hulgal valemiga , kus C on mõni reaalarv. Konstantne funktsioon seostab sõltumatu muutuja x iga reaalväärtuse sõltuva muutuja y sama väärtusega - väärtusega C. Konstantset funktsiooni nimetatakse ka konstandiks.

Konstantse funktsiooni graafik on x-teljega paralleelne ja koordinaatidega (0,C) punkti läbiv sirge. Näiteks näitame konstantsete funktsioonide y=5, y=-2 ja graafikuid, mis alloleval joonisel vastavad vastavalt mustale, punasele ja sinisele joonele.

Konstantse funktsiooni omadused.

Domeen: kogu reaalarvude komplekt.
Konstantne funktsioon on ühtlane.
Väärtuste vahemik: hulk, mis koosneb ainsuse arvust C.
Konstantne funktsioon ei suurene ega kahane (sellepärast on see konstantne).
Konstandi kumerusest ja nõgususest pole mõtet rääkida.
Asümptoote pole.
Funktsioon läbib koordinaattasandi punkti (0,C).

n-s juur.

Vaatleme põhielementaarfunktsiooni, mis on antud valemiga , kus n on ühest suurem naturaalarv.

N-nda astme juur, n on paarisarv.

Alustame n-nda juurfunktsiooniga juureksponenti n paarisväärtuste jaoks.

Siin on näiteks pilt funktsioonigraafikute piltidega ja , need vastavad mustale, punasele ja sinisele joonele.

Paarisastme juurfunktsioonide graafikud on eksponendi teiste väärtuste puhul sarnased.

N-nda juurfunktsiooni omadused paaris n jaoks.

N-s juur n on paaritu arv.

N-s juurfunktsioon paaritu juureksponentiga n on defineeritud kogu reaalarvude hulgas. Näiteks siin on funktsioonide graafikud ja , vastavad mustale, punasele ja sinisele kõverale.

Teiste juureksponenti paaritute väärtuste puhul on funktsioonigraafikud sarnased.

N-nda juurfunktsiooni omadused paaritu n jaoks.

Toitefunktsioon.

Võimsusfunktsioon on antud vormi valemiga .

Vaatleme astmefunktsiooni graafikute kuju ja astefunktsiooni omadusi sõltuvalt astendaja väärtusest.

Alustame astmefunktsiooniga täisarvu astendajaga a. Sel juhul sõltub astmefunktsioonide graafikute välimus ja funktsioonide omadused astendaja ühtlusest või paaritusest, samuti selle märgist. Seetõttu käsitleme esmalt astmefunktsioone eksponendi a paaritute positiivsete väärtuste jaoks, seejärel paaritute positiivsete eksponentide jaoks, seejärel paaritute negatiivsete eksponentide jaoks ja lõpuks paaritu negatiivse a astendaja jaoks.

Murd- ja irratsionaalastendajatega astmefunktsioonide omadused (samuti selliste astmefunktsioonide graafikute tüüp) sõltuvad astendaja a väärtusest. Vaatleme neid esiteks a nullist üheni, teiseks suurema kui ühe jaoks, kolmandaks miinus ühest nullini, neljandaks alla miinus ühe jaoks.

Selle jaotise lõpus kirjeldame täielikkuse huvides nullastendajaga astmefunktsiooni.

Paaritu positiivse eksponendiga võimsusfunktsioon.

Vaatleme paaritu positiivse eksponendiga astmefunktsiooni, st a = 1,3,5,....

Alloleval joonisel on kujutatud võimsusfunktsioonide graafikud - must joon, - sinine joon, - punane joon, - roheline joon. Meil on a=1 jaoks lineaarne funktsioon y=x.

Paaritu positiivse eksponendiga astmefunktsiooni omadused.

Võimsusfunktsioon isegi positiivse astendajaga.

Vaatleme paaris positiivse astendajaga astmefunktsiooni, st a = 2,4,6,....

Näitena toome võimsusfunktsioonide graafikud – must joon, – sinine joon, – punane joon. Kui a=2 on meil ruutfunktsioon, mille graafik on ruutparabool.

Ühtlase positiivse eksponendiga astmefunktsiooni omadused.

Paaritu negatiivse eksponendiga võimsusfunktsioon.

Vaadake astmefunktsiooni graafikuid astendaja paaritute negatiivsete väärtuste jaoks, st a = -1, -3, -5,....

Joonisel on näidetena toodud võimsusfunktsioonide graafikud - must joon, - sinine joon, - punane joon, - roheline joon. Meil on a=-1 jaoks pöördvõrdelisus, mille graafik on hüperbool.

Paaritu negatiivse eksponendiga astmefunktsiooni omadused.

Võimsusfunktsioon isegi negatiivse astendajaga.

Liigume edasi a=-2,-4,-6,… võimsusfunktsiooni juurde.

Joonisel on võimsusfunktsioonide graafikud – must joon, – sinine joon, – punane joon.

Paari negatiivse eksponendiga astmefunktsiooni omadused.

Ratsionaalse või irratsionaalse astendajaga astmefunktsioon, mille väärtus on suurem kui null ja väiksem kui üks.

Märge! Kui a on paaritu nimetajaga positiivne murd, siis peavad mõned autorid astmefunktsiooni definitsioonipiirkonnaks intervalli. On sätestatud, et eksponent a on taandamatu murd. Nüüd EI MÄÄRATA paljude algebra ja analüüsipõhimõtete õpikute autorid argumendi negatiivsete väärtuste jaoks astmefunktsioone astendajaga murdosa kujul, millel on paaritu nimetaja. Järgime täpselt seda seisukohta, st käsitleme hulka positiivsete murdosaliste astendajatega astmefunktsioonide defineerimise valdkondadeks. Eriarvamuste vältimiseks soovitame õpilastel selle peene punkti kohta teada saada õpetaja arvamus.

Vaatleme astmefunktsiooni ratsionaalse või irratsionaalse astendajaga a ja .

Esitame astmefunktsioonide graafikud a=11/12 (must joon), a=5/7 (punane joon), (sinine joon), a=2/5 (roheline joon) jaoks.

Positiivne funktsioon, mille mittetäisarvuline ratsionaalne või irratsionaalne astendaja on suurem kui üks.

Vaatleme võimsusfunktsiooni mittetäisarvulise ratsionaalse või irratsionaalse astendajaga a ja .

Esitame valemitega antud astmefunktsioonide graafikud (vastavalt mustad, punased, sinised ja rohelised jooned).

Eksponendi a muude väärtuste puhul on funktsiooni graafikud sarnased.

Võimsusfunktsiooni omadused .

Positiivne funktsioon, mille tegelik astendaja on suurem kui miinus üks ja väiksem kui null.

Märge! Kui a on paaritu nimetajaga negatiivne murd, siis peavad mõned autorid astmefunktsiooni määratluspiirkonnaks intervalli . On sätestatud, et eksponent a on taandamatu murd. Nüüd EI MÄÄRATA paljude algebra ja analüüsipõhimõtete õpikute autorid argumendi negatiivsete väärtuste jaoks astmefunktsioone astendajaga murdosa kujul, millel on paaritu nimetaja. Järgime täpselt seda seisukohta, st käsitleme murdosa negatiivsete eksponentide astmefunktsioonide määratluspiirkondi vastavalt hulgaks. Eriarvamuste vältimiseks soovitame õpilastel selle peene punkti kohta teada saada õpetaja arvamus.

Liigume edasi võimsusfunktsiooni juurde, jumal.

Et saada hea ettekujutus võimsusfunktsioonide graafikute vormist, toome näiteid funktsioonide graafikutest (vastavalt mustad, punased, sinised ja rohelised kõverad).

Astendiga a, astmefunktsiooni omadused.

Positiivne funktsioon, mille mittetäisarvuline reaalastendaja on väiksem kui miinus üks.

Toome näiteid võimsusfunktsioonide graafikutest , on neid kujutatud vastavalt musta, punase, sinise ja rohelise joonega.

Positiivse astme funktsiooni omadused, mille mittetäisarv negatiivne astendaja on väiksem kui miinus üks.

Kui a = 0, on meil funktsioon - see on sirgjoon, millest punkt (0;1) on välja jäetud (kokkulepitud avaldisele 0 0 mitte mingit tähtsust omistada).

Eksponentfunktsioon.

Üks peamisi elementaarfunktsioone on eksponentsiaalfunktsioon.

Eksponentfunktsiooni graafik, kus ja saab erineva kuju sõltuvalt aluse a väärtusest. Mõtleme selle välja.

Esiteks kaaluge juhtumit, kui eksponentsiaalfunktsiooni alus võtab väärtuse nullist üheni, see tähendab .

Näitena esitame eksponentsiaalfunktsiooni graafikud a = 1/2 – sinine joon, a = 5/6 – punane joon. Eksponentfunktsiooni graafikud on sarnase välimusega ka teiste intervalli aluse väärtuste puhul.

Eksponentfunktsiooni omadused, mille alus on väiksem kui üks.

Liigume edasi juhul, kui eksponentsiaalfunktsiooni alus on suurem kui üks, st .

Näitena esitame eksponentsiaalfunktsioonide graafikud - sinine joon ja - punane joon. Teiste aluse väärtuste korral, mis on suuremad kui üks, on eksponentsiaalfunktsiooni graafikud sarnased.

Ühest suurema baasiga eksponentsiaalfunktsiooni omadused.

Logaritmiline funktsioon.

Järgmine põhielementaarfunktsioon on logaritmiline funktsioon, kus , . Logaritmiline funktsioon on määratletud ainult argumendi positiivsete väärtuste jaoks, see tähendab .

Logaritmilise funktsiooni graafikul on erinevad kujud olenevalt aluse a väärtusest.

Põhilised elementaarfunktsioonid, nendele omased omadused ja vastavad graafikud on matemaatikateadmiste üks põhialuseid, mis on oma tähtsuselt sarnane korrutustabeliga. Elementaarfunktsioonid on kõigi teoreetiliste küsimuste uurimise aluseks, toeks.

Yandex.RTB R-A-339285-1

Allolev artikkel pakub põhimaterjali põhiliste elementaarfunktsioonide teemal. Tutvustame termineid, anname neile definitsioone; Uurime üksikasjalikult igat tüüpi elementaarfunktsioone ja analüüsime nende omadusi.

Eristatakse järgmist tüüpi põhilisi elementaarfunktsioone:

Definitsioon 1

konstantne funktsioon (konstant);
n-s juur;
toitefunktsioon;
eksponentsiaalne funktsioon;
logaritmiline funktsioon;
trigonomeetrilised funktsioonid;
vennalikud trigonomeetrilised funktsioonid.

Konstantne funktsioon defineeritakse valemiga: y = C (C on teatud reaalarv) ja sellel on ka nimi: konstant. See funktsioon määrab sõltumatu muutuja x mis tahes reaalväärtuse vastavuse muutuja y samale väärtusele - C väärtusele.

Konstandi graafik on sirgjoon, mis on paralleelne abstsissteljega ja läbib punkti, mille koordinaadid (0, C). Selguse huvides esitame konstantsete funktsioonide y = 5, y = - 2, y = 3, y = 3 graafikud (joonisel tähistatud vastavalt musta, punase ja sinise värviga).

2. definitsioon

See elementaarfunktsioon on defineeritud valemiga y = x n (n on ühest suurem naturaalarv).

Vaatleme funktsiooni kahte varianti.

n-s juur, n – paarisarv

Selguse huvides näitame joonist, mis näitab selliste funktsioonide graafikuid: y = x, y = x 4 ja y = x8. Need funktsioonid on värvikoodiga: vastavalt must, punane ja sinine.

Paarisastmega funktsiooni graafikud on eksponendi teiste väärtuste puhul sarnased.

3. määratlus

N-nda juurfunktsiooni omadused, n on paarisarv

määratluspiirkond – kõigi mittenegatiivsete reaalarvude hulk [ 0 , + ∞) ;
kui x = 0, siis funktsioon y = x n väärtus on võrdne nulliga;
see funktsioon on üldvormi funktsioon (see pole paaris ega paaritu);
vahemik: [ 0 , + ∞) ;
see paaritute juureksponentidega funktsioon y = x n kasvab kogu definitsioonipiirkonna ulatuses;
funktsioonil on kumerus ülespoole suunatud kogu definitsioonipiirkonna ulatuses;
pöördepunktid puuduvad;
asümptoote pole;
funktsiooni graafik paaris n korral läbib punkte (0; 0) ja (1; 1).

n-s juur, n – paaritu arv

Selline funktsioon on defineeritud kogu reaalarvude hulga kohta. Selguse huvides vaadake funktsioonide graafikuid y = x 3, y = x 5 ja x 9 . Joonisel on need tähistatud värvidega: must, punane ja sinine on vastavalt kõverate värvid.

Funktsiooni y = x n juureksponenti teised paaritud väärtused annavad sarnast tüüpi graafiku.

4. määratlus

N-nda juurfunktsiooni omadused, n on paaritu arv

määratluspiirkond – kõigi reaalarvude hulk;
see funktsioon on paaritu;
väärtuste vahemik – kõigi reaalarvude hulk;
funktsioon y = x n paaritute juureksponentide korral suureneb kogu definitsioonipiirkonna ulatuses;
funktsioonil on intervallil nõgusus (- ∞ ; 0 ] ja kumerus intervallil [ 0 , + ∞);
käändepunktil on koordinaadid (0; 0);
asümptoote pole;
Funktsiooni graafik paaritu n korral läbib punkte (- 1 ; - 1), (0 ; 0) ja (1 ; 1).

Toitefunktsioon

Definitsioon 5

Võimsusfunktsioon defineeritakse valemiga y = x a.

Graafikute välimus ja funktsiooni omadused sõltuvad eksponendi väärtusest.

kui astmefunktsioonil on täisarv astendaja a, siis astmefunktsiooni graafiku tüüp ja omadused sõltuvad sellest, kas astendaja on paaris või paaritu, samuti sellest, milline on astendaja märk. Vaatleme allpool kõiki neid erijuhtumeid üksikasjalikumalt;
eksponent võib olla murdosa või irratsionaalne – olenevalt sellest varieeruvad ka graafikute tüüp ja funktsiooni omadused. Analüüsime erijuhtumeid, seades mitu tingimust: 0< a < 1 ; a > 1 ; - 1 < a < 0 и a < - 1 ;
võimsusfunktsioonil võib olla nullastendaja, analüüsime seda juhtumit ka allpool üksikasjalikumalt.

Analüüsime võimsusfunktsiooni y = x a, kui a on paaritu positiivne arv, näiteks a = 1, 3, 5...

Selguse huvides näitame selliste võimsusfunktsioonide graafikuid: y = x (graafiline värv must), y = x 3 (graafiku sinine värv), y = x 5 (graafiku punane värv), y = x 7 (graafiline värv roheline). Kui a = 1, saame lineaarfunktsiooni y = x.

Definitsioon 6

Positiivse astme funktsiooni omadused, kui astendaja on paaritu positiivne

funktsioon kasvab x ∈ korral (- ∞ ; + ∞) ;
funktsioonil on kumerus x ∈ (- ∞ ; 0 ] ja nõgusus x ∈ [ 0 ; + ∞) korral (v.a lineaarfunktsioon);
käändepunktil on koordinaadid (0 ; 0) (v.a lineaarfunktsioon);
asümptoote pole;
funktsiooni läbimise punktid: (- 1 ; - 1) , (0 ; 0) , (1 ; 1) .

Analüüsime võimsusfunktsiooni y = x a, kui a on paarisarv, näiteks a = 2, 4, 6...

Selguse huvides näitame selliste võimsusfunktsioonide graafikuid: y = x 2 (graafiline värv must), y = x 4 (graafiku sinine värv), y = x 8 (graafiku punane värv). Kui a = 2, saame ruutfunktsiooni, mille graafik on ruutparabool.

Definitsioon 7

Positiivse astme funktsiooni omadused, kui astendaja on isegi positiivne:

määratluspiirkond: x ∈ (- ∞ ; + ∞) ;
väheneb x ∈ jaoks (- ∞ ; 0 ] ;
funktsioonil on nõgusus x ∈ jaoks (- ∞ ; + ∞) ;
pöördepunktid puuduvad;
asümptoote pole;
funktsiooni läbimise punktid: (- 1 ; 1) , (0 ; 0) , (1 ; 1) .

Alloleval joonisel on võimsusfunktsiooni graafikute näited y = x a, kui a on paaritu negatiivne arv: y = x - 9 (graafiline värv must); y = x - 5 (graafiku sinine värv); y = x - 3 (graafiku punane värv); y = x - 1 (graafiline värv roheline). Kui a = - 1, saame pöördvõrdelisuse, mille graafik on hüperbool.

Definitsioon 8

Astmefunktsiooni omadused, kui astendaja on paaritu negatiivne:

Kui x = 0, saame teist tüüpi katkestuse, kuna lim x → 0 - 0 x a = - ∞, lim x → 0 + 0 x a = + ∞ a = - 1, - 3, - 5, … korral. Seega on sirge x = 0 vertikaalne asümptoot;

vahemik: y ∈ (- ∞ ; 0) ∪ (0 ; + ∞) ;
funktsioon on paaritu, sest y (- x) = - y (x);
funktsioon on kahanev x ∈ - ∞ korral; 0 ∪ (0 ; + ∞);
funktsioonil on kumerus x ∈ (- ∞ ; 0) ja nõgusus x ∈ (0 ; + ∞) korral;
pöördepunktid puuduvad;

k = lim x → ∞ x a x = 0, b = lim x → ∞ (x a - k x) = 0 ⇒ y = k x + b = 0, kui a = - 1, - 3, - 5, . . . .

funktsiooni läbimise punktid: (- 1 ; - 1) , (1 ; 1) .

Alloleval joonisel on näiteid astmefunktsiooni y = x a graafikutest, kui a on paarisarv: y = x - 8 (graafiline värv must); y = x - 4 (graafiku sinine värv); y = x - 2 (graafiku punane värv).

Definitsioon 9

Astmefunktsiooni omadused, kui eksponent on isegi negatiivne:

määratluspiirkond: x ∈ (- ∞ ; 0) ∪ (0 ; + ∞) ;

Kui x = 0, saame teist tüüpi katkestuse, kuna lim x → 0 - 0 x a = + ∞, lim x → 0 + 0 x a = + ∞ a = - 2, - 4, - 6, … korral. Seega on sirge x = 0 vertikaalne asümptoot;

funktsioon on paaris, sest y(-x) = y(x);
funktsioon kasvab x ∈ (- ∞ ; 0) ja väheneb x ∈ 0 korral; + ∞ ;
funktsioonil on nõgusus x ∈ (- ∞ ; 0) ∪ (0 ; + ∞) ;
pöördepunktid puuduvad;
horisontaalne asümptoot – sirgjoon y = 0, sest:

k = lim x → ∞ x a x = 0, b = lim x → ∞ (x a - k x) = 0 ⇒ y = k x + b = 0, kui a = - 2 , - 4 , - 6 , . . . .

funktsiooni läbimise punktid: (- 1 ; 1) , (1 ; 1) .

Pöörake algusest peale tähelepanu järgmisele aspektile: juhul, kui a on paaritu nimetajaga positiivne murd, võtavad mõned autorid selle astmefunktsiooni definitsioonipiirkonnaks intervalli - ∞; + ∞ , mis näeb ette, et astendaja a on taandamatu murd. Praegu EI defineeri paljude algebrat ja analüüsipõhimõtteid käsitlevate õppeväljaannete autorid astmefunktsioone, kus eksponendiks on argumendi negatiivsete väärtuste paaritu nimetajaga murd. Edaspidi järgime täpselt seda seisukohta: võtame hulga [ 0 ; + ∞) . Soovitus õpilastele: eriarvamuste vältimiseks uurige õpetaja seisukohta selles küsimuses.

Niisiis, vaatame võimsusfunktsiooni y = x a , kui eksponendiks on ratsionaal- või irratsionaalarv, eeldusel, et 0< a < 1 .

Illustreerime võimsusfunktsioone graafikutega y = x a, kui a = 11 12 (graafiline värv must); a = 5 7 (graafiku punane värv); a = 1 3 (graafiku sinine värv); a = 2 5 (graafiku roheline värv).

Eksponendi a muud väärtused (kui 0< a < 1) дадут аналогичный вид графика.

Definitsioon 10

Võimsusfunktsiooni omadused 0 juures< a < 1:

vahemik: y ∈ [ 0 ; + ∞) ;
funktsioon kasvab x ∈ [ 0 ; + ∞) ;
funktsioon on kumer x ∈ (0 ; + ∞) korral;
pöördepunktid puuduvad;
asümptoote pole;

Analüüsime võimsusfunktsiooni y = x a, kui eksponendiks on mittetäisarvuline ratsionaal- või irratsionaalarv, eeldusel, et a > 1.

Illustreerime graafikutega võimsusfunktsiooni y = x a antud tingimustel, kasutades näitena järgmisi funktsioone: y = x 5 4, y = x 4 3, y = x 7 3, y = x 3 π (graafikute must, punane, sinine, roheline, vastavalt).

Eksponendi a muud väärtused, kui a > 1, annavad sarnase graafiku.

Definitsioon 11

Võimsusfunktsiooni omadused > 1 korral:

määratluspiirkond: x ∈ [ 0 ; + ∞) ;
vahemik: y ∈ [ 0 ; + ∞) ;
see funktsioon on üldvormi funktsioon (see ei ole paaritu ega paaris);
funktsioon kasvab x ∈ [ 0 ; + ∞) ;
funktsioonil on nõgusus x ∈ (0 ; + ∞) jaoks (kui 1< a < 2) и выпуклость при x ∈ [ 0 ; + ∞) (когда a > 2);
pöördepunktid puuduvad;
asümptoote pole;
funktsiooni läbimise punktid: (0 ; 0) , (1 ; 1) .

Pange tähele, kui a on paaritu nimetajaga negatiivne murd, on mõne autori töös arvamus, et definitsioonipiirkond on sel juhul intervall - ∞; 0 ∪ (0 ; + ∞) hoiatusega, et astendaja a on taandamatu murd. Praegu EI MÄÄRATA algebrat ja analüüsipõhimõtteid käsitlevate õppematerjalide autorid argumendi negatiivsete väärtuste jaoks astmefunktsioone astendajaga murdosa kujul, millel on paaritu nimetaja. Lisaks järgime täpselt seda seisukohta: me võtame hulga (0 ; + ∞) murdosa negatiivsete eksponentide astmefunktsioonide definitsioonipiirkonnaks. Soovitus õpilastele: lahkarvamuste vältimiseks täpsustage siinkohal oma õpetaja nägemust.

Jätkame teemat ja analüüsime võimsusfunktsiooni y = x a tingimusel: - 1< a < 0 .

Toome välja järgmiste funktsioonide graafikud: y = x - 5 6, y = x - 2 3, y = x - 1 2 2, y = x - 1 7 (mustad, punased, sinised, rohelised jooned, vastavalt).

Definitsioon 12

Võimsusfunktsiooni omadused – 1< a < 0:

lim x → 0 + 0 x a = + ∞, kui - 1< a < 0 , т.е. х = 0 – вертикальная асимптота;

vahemik: y ∈ 0 ; + ∞ ;
see funktsioon on üldvormi funktsioon (see ei ole paaritu ega paaris);
pöördepunktid puuduvad;

Alloleval joonisel on kujutatud astmefunktsioonide y = x - 5 4, y = x - 5 3, y = x - 6, y = x - 24 7 graafikud (vastavalt must, punane, sinine, kõverate roheline värv).

Definitsioon 13

Võimsusfunktsiooni omadused a jaoks< - 1:

määratluspiirkond: x ∈ 0 ; + ∞ ;

lim x → 0 + 0 x a = + ∞ kui a< - 1 , т.е. х = 0 – вертикальная асимптота;

vahemik: y ∈ (0 ; + ∞) ;
see funktsioon on üldvormi funktsioon (see ei ole paaritu ega paaris);
funktsioon on kahanev x ∈ 0 korral; + ∞ ;
funktsioonil on nõgusus x ∈ 0 korral; + ∞ ;
pöördepunktid puuduvad;
horisontaalne asümptoot – sirge y = 0;
funktsiooni läbimise punkt: (1; 1) .

Kui a = 0 ja x ≠ 0, saame funktsiooni y = x 0 = 1, mis defineerib sirge, millest punkt (0; 1) välja jäetakse (lepiti kokku, et avaldisele 0 0 ei anta mingit tähendust ).

Eksponentfunktsioonil on vorm y = a x, kus a > 0 ja a ≠ 1, ning selle funktsiooni graafik näeb aluse a väärtuse põhjal erinev välja. Vaatleme erijuhtumeid.

Kõigepealt vaatame olukorda, kui eksponentsiaalfunktsiooni baasil on väärtus nullist üheni (0< a < 1) . Hea näide on funktsioonide graafikud a = 1 2 (kõvera sinine värv) ja a = 5 6 (kõvera punane värv) jaoks.

Eksponentfunktsiooni graafikud näevad tingimusel 0 sarnase välja ka teiste baasväärtuste puhul< a < 1 .

Definitsioon 14

Eksponentfunktsiooni omadused, kui alus on väiksem kui üks:

vahemik: y ∈ (0 ; + ∞) ;
see funktsioon on üldvormi funktsioon (see ei ole paaritu ega paaris);
eksponentsiaalne funktsioon, mille baas on väiksem kui üks, väheneb kogu definitsioonipiirkonna ulatuses;
pöördepunktid puuduvad;
horisontaalne asümptoot – sirge y = 0 muutujaga x kaldub + ∞;

Vaatleme nüüd juhtumit, kui eksponentsiaalfunktsiooni alus on suurem kui üks (a > 1).

Illustreerime seda erijuhtumit eksponentsiaalfunktsioonide y = 3 2 x (kõvera sinine värv) ja y = e x (graafiku punane värv) graafikuga.

Teised aluse väärtused, suuremad ühikud, annavad eksponentsiaalfunktsiooni graafikule sarnase välimuse.

Definitsioon 15

Eksponentfunktsiooni omadused, kui alus on suurem kui üks:

määratluspiirkond – reaalarvude kogum;
vahemik: y ∈ (0 ; + ∞) ;
see funktsioon on üldvormi funktsioon (see ei ole paaritu ega paaris);
eksponentsiaalfunktsioon, mille baas on suurem kui üks, kasvab kui x ∈ - ∞; + ∞ ;
funktsioonil on x ∈ - ∞ nõgusus; + ∞ ;
pöördepunktid puuduvad;
horisontaalne asümptoot – sirge y = 0 muutujaga x kaldub - ∞;
funktsiooni läbimise punkt: (0; 1) .

Logaritmiline funktsioon on kujul y = log a (x), kus a > 0, a ≠ 1.

Selline funktsioon on defineeritud ainult argumendi positiivsete väärtuste jaoks: x ∈ 0 korral; + ∞ .

Logaritmilise funktsiooni graafik on aluse a väärtuse alusel teistsuguse välimusega.

Vaatleme esmalt olukorda, kui 0< a < 1 . Продемонстрируем этот частный случай графиком логарифмической функции при a = 1 2 (синий цвет кривой) и а = 5 6 (красный цвет кривой).

Muud aluse väärtused, mitte suuremad ühikud, annavad sarnast tüüpi graafiku.

Definitsioon 16

Logaritmilise funktsiooni omadused, kui alus on väiksem kui üks:

määratluspiirkond: x ∈ 0 ; + ∞ . Kuna x kaldub paremalt nulli, kipuvad funktsiooni väärtused +∞;
vahemik: y ∈ - ∞ ; + ∞ ;
see funktsioon on üldvormi funktsioon (see ei ole paaritu ega paaris);
logaritmiline
funktsioonil on nõgusus x ∈ 0 korral; + ∞ ;
pöördepunktid puuduvad;
asümptoote pole;

Vaatame nüüd erijuhtu, kui logaritmilise funktsiooni alus on suurem kui üks: a > 1 . Alloleval joonisel on kujutatud logaritmiliste funktsioonide y = log 3 2 x ja y = ln x graafikud (vastavalt graafikute sinine ja punane värv).

Teised aluse väärtused, mis on suuremad kui üks, annavad sarnast tüüpi graafiku.

Definitsioon 17

Logaritmilise funktsiooni omadused, kui alus on suurem kui üks:

määratluspiirkond: x ∈ 0 ; + ∞ . Kuna x kaldub paremalt nulli, kipuvad funktsiooni väärtused - ∞ ;
vahemik: y ∈ - ∞ ; + ∞ (kogu reaalarvude hulk);
see funktsioon on üldvormi funktsioon (see ei ole paaritu ega paaris);
logaritmiline funktsioon kasvab x ∈ 0 korral; + ∞ ;
funktsioon on kumer x ∈ 0 korral; + ∞ ;
pöördepunktid puuduvad;
asümptoote pole;
funktsiooni läbimise punkt: (1; 0) .

Trigonomeetrilised funktsioonid on siinus, koosinus, puutuja ja kotangens. Vaatame nende igaühe omadusi ja vastavat graafikat.

Üldiselt iseloomustab kõiki trigonomeetrilisi funktsioone perioodilisuse omadus, s.t. kui funktsioonide väärtusi korratakse argumendi erinevate väärtuste jaoks, mis erinevad üksteisest perioodi f (x + T) = f (x) võrra (T on periood). Seega lisatakse trigonomeetriliste funktsioonide omaduste loendisse üksus “väikseim positiivne periood”. Lisaks näitame argumendi väärtused, mille juures vastav funktsioon muutub nulliks.

Siinusfunktsioon: y = sin(x)

Selle funktsiooni graafikut nimetatakse siinuslaineks.

Definitsioon 18

Siinuse funktsiooni omadused:

määratluspiirkond: kogu reaalarvude hulk x ∈ - ∞ ; + ∞ ;
funktsioon kaob, kui x = π · k, kus k ∈ Z (Z on täisarvude hulk);
funktsioon kasvab x ∈ - π 2 + 2 π · k korral; π 2 + 2 π · k, k ∈ Z ja kahanevalt x ∈ π 2 + 2 π · k korral; 3 π 2 + 2 π · k, k ∈ Z;
siinusfunktsioonil on lokaalsed maksimumid punktides π 2 + 2 π · k; 1 ja kohalikud miinimumid punktides - π 2 + 2 π · k; - 1, k ∈ Z;
siinusfunktsioon on nõgus, kui x ∈ - π + 2 π · k ; 2 π · k, k ∈ Z ja kumer, kui x ∈ 2 π · k; π + 2 π k, k ∈ Z;
asümptoote pole.

Koosinusfunktsioon: y = cos(x)

Selle funktsiooni graafikut nimetatakse koosinuslaineks.

Definitsioon 19

Koosinusfunktsiooni omadused:

määratluspiirkond: x ∈ - ∞ ; + ∞ ;
väikseim positiivne periood: T = 2 π;
väärtuste vahemik: y ∈ - 1 ; 1 ;
see funktsioon on paaris, kuna y (- x) = y (x);
funktsioon kasvab x ∈ - π + 2 π · k korral; 2 π · k, k ∈ Z ja kahanev x ∈ 2 π · k korral; π + 2 π k, k ∈ Z;
koosinusfunktsioonil on lokaalsed maksimumid punktides 2 π · k ; 1, k ∈ Z ja lokaalsed miinimumid punktides π + 2 π · k; - 1, k ∈ z;
koosinusfunktsioon on nõgus, kui x ∈ π 2 + 2 π · k ; 3 π 2 + 2 π · k , k ∈ Z ja kumer kui x ∈ - π 2 + 2 π · k ; π 2 + 2 π · k, k ∈ Z;
käändepunktide koordinaadid on π 2 + π · k; 0, k ∈ Z
asümptoote pole.

Tangensi funktsioon: y = t g (x)

Selle funktsiooni graafikut nimetatakse puutuja.

Definitsioon 20

Tangensi funktsiooni omadused:

määratluspiirkond: x ∈ - π 2 + π · k ; π 2 + π · k, kus k ∈ Z (Z on täisarvude hulk);
Puutujafunktsiooni käitumine definitsioonipiirkonna lim x → π 2 + π · k + 0 t g (x) = - ∞ , lim x → π 2 + π · k - 0 t g (x) = + ∞ piiril . Seega on sirged x = π 2 + π · k k ∈ Z vertikaalsed asümptoodid;
funktsioon kaob, kui x = π · k k ∈ Z korral (Z on täisarvude hulk);
vahemik: y ∈ - ∞ ; + ∞ ;
see funktsioon on paaritu, kuna y (- x) = - y (x) ;
funktsioon kasvab kui - π 2 + π · k ; π 2 + π · k, k ∈ Z;
puutujafunktsioon on nõgus x ∈ [π · k korral; π 2 + π · k) , k ∈ Z ja kumer x ∈ jaoks (- π 2 + π · k ; π · k ] , k ∈ Z ;
käändepunktidel on koordinaadid π · k ; 0, k ∈ Z;

Kotangentne funktsioon: y = c t g (x)

Selle funktsiooni graafikut nimetatakse kotangentoidiks. .

Definitsioon 21

Kootangensfunktsiooni omadused:

määratluspiirkond: x ∈ (π · k ; π + π · k) , kus k ∈ Z (Z on täisarvude hulk);

Kootangensfunktsiooni käitumine definitsioonipiirkonna lim x → π · k + 0 t g (x) = + ∞ piiril, lim x → π · k - 0 t g (x) = - ∞ . Seega sirged x = π · k k ∈ Z on vertikaalsed asümptoodid;

väikseim positiivne periood: T = π;
funktsioon kaob, kui x = π 2 + π · k k ∈ Z korral (Z on täisarvude hulk);
vahemik: y ∈ - ∞ ; + ∞ ;
see funktsioon on paaritu, kuna y (- x) = - y (x) ;
funktsioon on kahanev x ∈ π · k korral; π + π k, k ∈ Z;
kotangentne funktsioon on x ∈ korral nõgus (π k; π 2 + π k ], k ∈ Z ja kumer x ∈ [ - π 2 + π k ; π k ), k ∈ Z korral;
käändepunktide koordinaadid on π 2 + π · k; 0, k ∈ Z;
Puuduvad kaldus või horisontaalsed asümptootid.

Trigonomeetrilised pöördfunktsioonid on arcsinus, arkosiinus, arktangent ja arkotangens. Sageli nimetatakse eesliite "kaar" olemasolu tõttu nimes trigonomeetrilisi pöördfunktsioone kaarefunktsioonideks. .

Kaarsiinuse funktsioon: y = a r c sin (x)

Definitsioon 22

Arsiinuse funktsiooni omadused:

see funktsioon on paaritu, kuna y (- x) = - y (x) ;
arcsinusfunktsioonil on x ∈ 0 korral nõgusus; 1 ja kumerus x ∈ - 1 korral; 0 ;
käändepunktidel on koordinaadid (0; 0), mis on ühtlasi funktsiooni null;
asümptoote pole.

Kaarkoosinuse funktsioon: y = a r c cos (x)

Definitsioon 23

Kaarkoosinusfunktsiooni omadused:

määratluspiirkond: x ∈ - 1 ; 1 ;
vahemik: y ∈ 0 ; π;
see funktsioon on üldkujul (ei paaris ega paaritu);
funktsioon väheneb kogu definitsioonipiirkonna ulatuses;
kaarekoosinusfunktsioonil on x ∈ - 1 nõgusus; 0 ja kumerus x ∈ 0 korral; 1 ;
käändepunktide koordinaadid on 0; π2;
asümptoote pole.

Kaartangensi funktsioon: y = a r c t g (x)

Definitsioon 24

Arktangensi funktsiooni omadused:

määratluspiirkond: x ∈ - ∞ ; + ∞ ;
väärtuste vahemik: y ∈ - π 2 ; π2;
see funktsioon on paaritu, kuna y (- x) = - y (x) ;
funktsioon kasvab kogu definitsioonipiirkonna ulatuses;
arktangensfunktsioonil on x ∈ jaoks nõgusus (- ∞ ; 0 ] ja kumerus x ∈ [ 0 ; + ∞ );
käändepunktil on koordinaadid (0; 0), mis on ühtlasi funktsiooni null;
horisontaalsed asümptoodid on sirged y = - π 2 kui x → - ∞ ja y = π 2 kui x → + ∞ (joonisel on asümptoodid rohelised jooned).

Kaartangensi funktsioon: y = a r c c t g (x)

Definitsioon 25

Arkotangensi funktsiooni omadused:

määratluspiirkond: x ∈ - ∞ ; + ∞ ;
vahemik: y ∈ (0; π) ;
see funktsioon on üldkujul;
funktsioon väheneb kogu definitsioonipiirkonna ulatuses;
kaare kotangensi funktsioonil on nõgusus x ∈ [ 0 ; + ∞) ja kumerus x ∈ jaoks (- ∞ ; 0 ] ;
käändepunkti koordinaadid on 0; π2;
horisontaalsed asümptoodid on sirged y = π punktis x → - ∞ (joonisel roheline joon) ja y = 0 punktis x → + ∞.

Kui märkate tekstis viga, tõstke see esile ja vajutage Ctrl+Enter