Analüüsime funktsiooni omadusi skeemi järgi: Analüüsime skeemi järgi: 1. funktsiooni määratluspiirkond 1. funktsiooni määratluspiirkond 2. funktsiooni väärtuste hulk 2. väärtuste hulk funktsiooni 3. funktsiooni nullid 3. funktsiooni nullid 4. funktsiooni konstantse märgi intervallid 4. funktsiooni konstantse märgi intervallid 5. funktsiooni paaris või paaritu 5. paaris või paaritu funktsioon 6. funktsiooni monotoonsus 6. funktsiooni monotoonsus 7. funktsiooni suurimad ja väikseimad väärtused 8. funktsiooni perioodilisus 9. funktsiooni piiritus. funktsioonist
0 x R jaoks. 5) Funktsioon ei ole paaris ega "title=" Eksponentfunktsioon, selle graafik ja omadused y x 1 o 1) Määratluspiirkond on kõigi reaalarvude hulk (D(y)= R). 2) Väärtuste kogum on kõigi positiivsete arvude kogum (E(y)=R +). 3) Nulle pole. 4) y>0 x R korral. 5) Funktsioon ei ole paaris ega" class="link_thumb"> 10 !} Eksponentfunktsioon, selle graafik ja omadused y x 1 o 1) Definitsioonipiirkond on kõigi reaalarvude hulk (D(y)=R). 2) Väärtuste kogum on kõigi positiivsete arvude hulk (E(y)=R +). 3) Nulle pole. 4) y>0 x R korral. 5) Funktsioon ei ole paaris ega paaritu. 6) Funktsioon on monotoonne: see suureneb R võrra, kui a>1 ja väheneb R võrra, kui 0 0 x R puhul. 5) Funktsioon ei ole paaris ega "> 0 x R puhul. 5) Funktsioon ei ole paaris ega paaritu 6) Funktsioon on monotoonne: see suureneb R puhul, kui a>1 ja väheneb R korral, kui 0"> 0 x R jaoks. 5) Funktsioon ei ole paaris ega " title=" Eksponentfunktsioon, selle graafik ja omadused y x 1 o 1) Määratluspiirkond on kõigi reaalarvude hulk (D( y)=R). 2) Väärtuste kogum on kõigi positiivsete arvude kogum (E(y)=R +). 3) Nulle pole. 4) y>0 x R korral. 5) Funktsioon ei ole paaris ega"> title="Eksponentfunktsioon, selle graafik ja omadused y x 1 o 1) Definitsioonipiirkond on kõigi reaalarvude hulk (D(y)=R). 2) Väärtuste kogum on kõigi positiivsete arvude kogum (E(y)=R +). 3) Nulle pole. 4) y>0 x R korral. 5) Funktsioon ei ole paaris ega"> !}
Puidu juurdekasv toimub vastavalt seadusele, kus: A - puidu hulga muutus ajas; A 0 - esialgne puidu kogus; t-aeg, k, a- mingid konstandid. Puidu juurdekasv toimub vastavalt seadusele, kus: A - puidu hulga muutus ajas; A 0 - esialgne puidu kogus; t-aeg, k, a- mingid konstandid. t 0 t0t0 t1t1 t2t2 t3t3 tntn A A0A0 A1A1 A2A2 A3A3 AnAn
Veekeetja temperatuur muutub vastavalt seadusele, kus: T on veekeetja temperatuuri muutus ajas; T 0 - vee keemistemperatuur; t-aeg, k, a- mingid konstandid. Veekeetja temperatuur muutub vastavalt seadusele, kus: T on veekeetja temperatuuri muutus ajas; T 0 - vee keemistemperatuur; t-aeg, k, a- mingid konstandid. t 0 t0t0 t1t1 t2t2 t3t3 tntn T T0T0 T1T1 T2T2 T3T3
Radioaktiivne lagunemine toimub seaduse järgi, kus: Radioaktiivne lagunemine toimub seaduse järgi, kus: N on lagunemata aatomite arv igal ajahetkel t; N 0 - aatomite esialgne arv (hetkel t=0); t-aeg; N on lagunemata aatomite arv mis tahes ajahetkel t; N 0 - aatomite esialgne arv (hetkel t=0); t-aeg; T - poolestusaeg. T - poolestusaeg. t 0 t 1 t 2 N N3N3 N4N4 t4t4 N0N0 t3t3 N2N2 N1N1
C Orgaaniliste protsesside ja koguste muutumise oluline omadus on see, et võrdse aja jooksul muutub koguse väärtus samas suhtes. Puidu juurdekasv Katla temperatuuri muutus Õhurõhu muutus Orgaaniliste koguste muutumise protsessid hõlmavad: Radioaktiivne lagunemine
Võrrelge arve 1,3 34 ja 1,3 40. Näide 1. Võrrelge arve 1,3 34 ja 1,3 40. Üldine lahendusmeetod. 1. Esitage arvud sama alusega astmetena (vajadusel) 1,3 34 ja 1. Uurige, kas eksponentsiaalfunktsioon a = 1,3 kasvab või väheneb; a>1, siis eksponentsiaalfunktsioon suureneb. a = 1,3; a>1, siis eksponentsiaalfunktsioon suureneb. 3. Võrrelge eksponente (või funktsiooni argumente) 34 1, siis eksponentsiaalfunktsioon suureneb. a = 1,3; a>1, siis eksponentsiaalfunktsioon suureneb. 3. Võrrelge eksponente (või funktsiooni argumente) 34"> 
Lahendage graafiliselt võrrand 3 x = 4-x. Näide 2. Lahendage graafiliselt võrrand 3 x = 4-x Lahendus. Võrrandite lahendamiseks kasutame funktsionaal-graafilist meetodit: konstrueerime funktsioonide y=3x ja y=4x graafikud ühes koordinaatsüsteemis. funktsioonide y=3x ja y=4x graafikud. Märkame, et neil on üks ühine punkt (1;3). See tähendab, et võrrandil on üks juur x=1. Vastus: 1 Vastus: 1 y=4
4. Näide 3. Lahendage graafiliselt võrratus 3 x > 4-x. Lahendus. y=4-x Võrratuste lahendamiseks kasutame funktsionaalgraafilist meetodit: 1. Konstrueerime ühes süsteemis 1. Koostame ühes koordinaatsüsteemis funktsioonide " title="Lahendame graafiliselt võrratuse 3 x > graafikud) graafikud 4-x Näide 3. Lahendage graafiliselt võrratus y = 4-x Võrratuste lahendamiseks kasutame funktsionaalset graafilist meetodit: 1. Koostage funktsioonide graafikud." class="link_thumb"> 24 !} Lahendage graafiliselt võrratus 3 x > 4-x. Näide 3. Lahendage graafiliselt võrratus 3 x > 4-x. Lahendus. y=4-x Võrratuste lahendamiseks kasutame funktsionaalgraafilist meetodit: 1. Koostame ühes koordinaatsüsteemis koordinaatide funktsioonide graafikud funktsioonide y=3 x ja y=4-x graafikud. 2. Vali funktsiooni y=3x graafiku osa, mis asub funktsiooni y=4x graafiku kohal (alates märgist >). 3. Märgi x-teljel see osa, mis vastab graafiku valitud osale (teisisõnu: projitseerib valitud graafiku osa x-teljele). 4. Kirjutame vastuse intervallina: Vastus: (1;). Vastus: (1;). 4. Näide 3. Lahendage graafiliselt võrratus 3 x > 4-x. Lahendus. y = 4-x Võrratuste lahendamiseks kasutame funktsionaalgraafilist meetodit: 1. Konstrueerime ühes süsteemis 1. Koostame ühes koordinaatsüsteemis funktsioonide "> 4-x graafikud Näide 3. Lahendame graafiliselt võrratuse 3 x > 4-x Lahendus y =4-x Võrratuste lahendamiseks kasutame funktsionaalset graafilist meetodit: 1. Koostame ühes koordinaatsüsteemis funktsioonide graafikud y=3 x ja y=4-x 2. Valige funktsiooni y=3 graafiku osa, mis asub funktsiooni y=4-x graafiku kohal (alates märgist >). graafikust (teisisõnu: projekteerige graafiku valitud osa x-teljele. Kirjutage vastus intervallina: Vastus: (1;)."> 4. Näide 3. Lahendage graafiliselt võrratus 3 x > 4-x. Lahendus. y=4-x Võrratuste lahendamiseks kasutame funktsionaalgraafilist meetodit: 1. Konstrueerime ühes süsteemis 1. Koostame ühes koordinaatsüsteemis funktsioonide " title="Lahendame graafiliselt võrratuse 3 x > graafikud) graafikud 4-x Näide 3. Lahendage graafiliselt võrratus y = 4-x Võrratuste lahendamiseks kasutame funktsionaalset graafilist meetodit: 1. Koostage funktsioonide graafikud."> title="Lahendage graafiliselt võrratus 3 x > 4-x. Näide 3. Lahendage graafiliselt võrratus 3 x > 4-x. Lahendus. y=4-x Võrratuste lahendamiseks kasutame funktsionaalgraafilist meetodit: 1. Koostame ühes koordinaatsüsteemis funktsioonide graafikud"> !}
Lahendage graafiliselt võrratused: 1) 2 x >1; 2) 2x 1; 2) 2 x "> 1; 2) 2 x "> 1; 2) 2 x " title="Lahendage graafiliselt võrratused: 1) 2 x >1; 2) 2x"> title="Lahendage graafiliselt võrratused: 1) 2 x >1; 2) 2x"> !}
Iseseisev töö (test) 1. Määra eksponentsiaalfunktsioon: 1. Määra eksponentsiaalfunktsioon: 1) y=x 3 ; 2) y = x 5/3; 3) y = 3 x+1; 4) y = 3 x+1. 1) y = x 3; 2) y = x 5/3; 3) y = 3 x+1; 4) y = 3 x+1. 1) y = x2; 2) y=x-1; 3) y = -4+2 x; 4) y = 0,32 x. 1) y = x2; 2) y=x-1; 3) y = -4+2 x; 4) y = 0,32 x. 2. Märkige funktsioon, mis suureneb kogu definitsioonipiirkonna ulatuses: 2. Märkige funktsioon, mis suureneb kogu definitsioonipiirkonna ulatuses: 1) y = (2/3) -x; 2) y=2-x; 3) y = (4/5) x; 4) y = 0,9 x. 1) y = (2/3) -x; 2) y=2-x; 3) y = (4/5) x; 4) y = 0,9 x. 1) y = (2/3) x; 2) y = 7,5 x; 3) y = (3/5) x; 4) y = 0,1 x. 1) y = (2/3) x; 2) y = 7,5 x; 3) y = (3/5) x; 4) y = 0,1 x. 3. Märkige funktsioon, mis väheneb kogu definitsioonipiirkonna ulatuses: 3. Märkige funktsioon, mis väheneb kogu definitsioonipiirkonna ulatuses: 1) y = (3/11) -x; 2) y = 0,4 x; 3) y = (10/7) x; 4) y = 1,5 x. 1) y = (2/17) -x; 2) y = 5,4 x; 3) y = 0,7 x; 4) y = 3 x. 4. Määrake funktsiooni y=3 -2 x -8 väärtuste kogum: 4. Määrake funktsiooni y=2 x+1 +16 väärtuste kogum: 5. Määrake antud väikseim arvud: 5. Määrake antud arvudest väikseim: 1) 3 - 1/3 ; 2) 27 -1/3; 3) (1/3) -1/3 ; 4) 1 -1/3. 1) 3 -1/3; 2) 27 -1/3; 3) (1/3) -1/3 ; 4) 1 -1/3. 5. Määrake neist arvudest suurim: 1) 5 -1/2; 2) 25 -1/2; 3) (1/5) -1/2 ; 4) 1 -1/2. 1) 5 -1/2; 2) 25 -1/2; 3) (1/5) -1/2 ; 4) 1 -1/2. 6. Leia graafiliselt, mitu juurt on võrrandil 2 x = x -1/3 (1/3) x = x 1/2 6. Leia graafiliselt, mitu juurt on võrrandil 2 x = x -1/3 (1 /3) on x = x 1/2 1) 1 juur; 2) 2 juurt; 3) 3 juurt; 4) 4 juurt.
1. Määrake eksponentsiaalfunktsioon: 1) y=x 3; 2) y = x 5/3; 3) y = 3 x+1; 4) y = 3 x+1. 1) y = x 3; 2) y = x 5/3; 3) y = 3 x+1; 4) y=3 x Märkige funktsioon, mis suureneb kogu definitsioonipiirkonna ulatuses: 2. Märkige funktsioon, mis suureneb kogu definitsioonipiirkonna ulatuses: 1) y = (2/3)-x; 2) y = 2-x; 3) y = (4/5)x; 4) y = 0,9 x. 1) y = (2/3)-x; 2) y = 2-x; 3) y = (4/5)x; 4) y = 0,9 x. 3. Märkige funktsioon, mis väheneb kogu definitsioonipiirkonna ulatuses: 3. Märkige funktsioon, mis väheneb kogu definitsioonipiirkonna ulatuses: 1) y = (3/11)-x; 2) y = 0,4 x; 3) y = (10/7)x; 4) y = 1,5 x. 1) y = (3/11)-x; 2) y = 0,4 x; 3) y = (10/7)x; 4) y = 1,5 x. 4. Määrake funktsiooni y=3-2 x-8 väärtuste komplekt: 4. Määrake funktsiooni y=3-2 x-8 väärtuste kogum: 5. Määrake antud väikseim numbrid: 5. Määrake antud arvudest väikseim: 1) 3- 1/3; 2) 27-1/3; 3) (1/3)-1/3; 4) 1-1/3. 1) 3-1/3; 2) 27-1/3; 3) (1/3)-1/3; 4) 1-1/3. 6. Leia graafiliselt, mitu juurt on võrrandil 2 x=x- 1/3 6. Uuri graafiliselt, mitu juurt võrrandil 2 x=x- 1/3 on 1) 1 juur; 2) 2 juurt; 3) 3 juurt; 4) 4 juurt. 1) 1 juur; 2) 2 juurt; 3) 3 juurt; 4) 4 juurt. Testtöö Valige eksponentsiaalfunktsioonid, mis: Valige eksponentsiaalfunktsioonid, mis: Variant I – vähendavad määratluspiirkonda; Variant I – määratlusala vähendamine; II variant – määratlusala suurendamine. II variant – määratlusala suurendamine.
Tähelepanu kontsentratsioon:
Definitsioon. Funktsioon liigiks nimetatakse eksponentsiaalne funktsioon .
Kommenteeri. Baasväärtustest väljajätmine a numbrid 0; 1 ja negatiivsed väärtused a on seletatav järgmiste asjaoludega:
Analüütiline väljend ise a x nendel juhtudel säilitab see oma tähenduse ja seda saab kasutada probleemide lahendamisel. Näiteks väljendi jaoks x y punkt x = 1; y = 1 on vastuvõetavate väärtuste vahemikus.
Koostage funktsioonide graafikud: ja.
 |
 |
| Eksponentfunktsiooni graafik | |
| y= a x, a > 1 | y= a x , 0< a < 1 |
 |
 |
Eksponentfunktsiooni omadused
| Eksponentfunktsiooni omadused | y= a x, a > 1 | y= a x , 0< a < 1 |
|
||
| 2. Funktsioonide ulatus | ||
| 3. Ühikuga võrdlemise intervallid | juures x> 0, a x > 1 | juures x > 0, 0< a x < 1 |
| juures x < 0, 0< a x < 1 | juures x < 0, a x > 1 | |
| 4. Paaris, paaritu. | Funktsioon ei ole paaris ega paaritu (üldkuju funktsioon). | |
| 5. Monotoonsus. | suureneb monotoonselt võrra R | väheneb monotoonselt võrra R |
| 6. Äärmused. | Eksponentfunktsioonil ei ole äärmusi. | |
| 7. Asümptoot | O-telg x on horisontaalne asümptoot. | |
| 8. Mis tahes tegelike väärtuste jaoks x Ja y; |  |
|
Kui tabel on täidetud, lahendatakse ülesandeid paralleelselt täitmisega.
Ülesanne nr 1. (Leia funktsiooni määratluspiirkond).
Millised argumentide väärtused kehtivad funktsioonide jaoks:
Ülesanne nr 2. (Funktsiooni väärtusvahemiku leidmiseks).
Joonisel on kujutatud funktsiooni graafik. Määrake funktsiooni määratluspiirkond ja väärtuste vahemik:
 |
 |
 |
 |
Ülesanne nr 3. (Märkida võrdlusvahemikud ühega).
Võrrelge kõiki järgmisi võimsusi ühega:
Ülesanne nr 4. (Uurida monotoonsuse funktsiooni).
Võrrelge reaalarve suuruse järgi m Ja n Kui:
Ülesanne nr 5. (Uurida monotoonsuse funktsiooni).
Tehke järeldus aluse kohta a, Kui:
y(x) = 10 x; f(x) = 6 x; z(x) – 4 x
Kuidas on eksponentsiaalfunktsioonide graafikud üksteise suhtes x > 0, x = 0, x< 0?
Järgmised funktsioonigraafikud on joonistatud ühel koordinaattasandil:
y(x) = (0,1)x; f(x) = (0,5) x; z(x) = (0,8) x .
Kuidas on eksponentsiaalfunktsioonide graafikud üksteise suhtes x > 0, x = 0, x< 0?
| Number
üks olulisemaid konstante matemaatikas. Definitsiooni järgi see võrdne jada piiriga
piiramatuga
suurendades n
. Määramine e sisenes Leonard Euler
1736. aastal. Ta arvutas selle arvu esimesed 23 numbrit kümnendsüsteemis ja arv ise nimetati Napieri auks "mitte-Pierre'i numbriks".
Number e mängib matemaatilises analüüsis erilist rolli. Eksponentfunktsioon alusega e, nimetatakse eksponendiks ja on määratud y = e x. Esimesed märgid numbrid e lihtne meelde jätta: kaks, koma, seitse, Leo Tolstoi sünniaasta - kaks korda, nelikümmend viis, üheksakümmend, nelikümmend viis. |
 |
Kodutöö:
Kolmogorov lk 35; nr 445-447; 451; 453.
Korrake moodulimärgi all muutujat sisaldavate funktsioonide graafikute koostamise algoritmi.
Esitluse eelvaadete kasutamiseks looge Google'i konto ja logige sisse: https://accounts.google.com
MAOU "Sladkovskaja keskkool" Eksponentfunktsioon, selle omadused ja graafik, klass 10
Funktsiooni kujul y = a x, kus a on antud arv, a > 0, a ≠ 1, x-muutuja, nimetatakse eksponentsiaalseks.
Eksponentfunktsioonil on järgmised omadused: O.O.F: kõigi reaalarvude hulk R; Multivalentne: kõigi positiivsete arvude hulk; Eksponentfunktsioon y=a x kasvab kõigi reaalarvude hulgal, kui a>1 ja väheneb, kui 0
Funktsiooni y=2 x ja y=(½) x 1 graafikud. Funktsiooni y=2 x graafik läbib punkti (0;1) ja asub Ox-telje kohal. a>1 D(y): x є R E(y): y > 0 Suureneb kogu definitsioonipiirkonna ulatuses. 2. Funktsiooni y= graafik läbib samuti punkti (0;1) ja asub Ox-telje kohal.
Kasutades eksponentsiaalfunktsiooni kasvavaid ja kahanevaid omadusi, saate võrrelda numbreid ja lahendada eksponentsiaalvõrratusi. Võrdle: a) 5 3 ja 5 5; b) 4 7 ja 4 3; c) 0,2 2 ja 0,2 6; d) 0,9 2 ja 0,9. Lahenda: a) 2 x >1; b) 13 x+1 0,7; d) 0,04 x a b või a x 1, siis x>b (x
Lahendage graafiliselt võrrandid: 1) 3 x =4-x, 2) 0,5 x =x+3.
Kui eemaldate keeva veekeetja tulelt, jahtub see kõigepealt kiiresti ja seejärel toimub jahtumine palju aeglasemalt, seda nähtust kirjeldatakse valemiga T = (T 1 - T 0) e - kt + T 1 eksponentsiaalne funktsioon elus, teaduses ja tehnoloogias
Puidu juurdekasv toimub vastavalt seadusele: A - puidu hulga muutus ajas; A 0 - esialgne puidu kogus; t - aeg, k, a - mõned konstandid. Õhurõhk väheneb kõrgusega vastavalt seadusele: P on rõhk kõrgusel h, P0 on rõhk merepinnal ja on konstantne.
Rahvastiku kasv Riigi elanike arvu muutust lühikese aja jooksul kirjeldatakse valemiga, kus N 0 on inimeste arv ajahetkel t=0, N on inimeste arv ajahetkel t, a is konstant.
Orgaanilise paljunemise seadus: soodsatel tingimustel (vaenlaste puudumine, suur hulk toitu) paljuneksid elusorganismid vastavalt eksponentsiaalfunktsiooni seadusele. Näiteks: üks toakärbes võib suve jooksul anda 8 x 10 14 järglast. Nende kaal oleks mitu miljonit tonni (ja kärbsepaari järglaste kaal ületaks meie planeedi kaalu), nad võtaksid enda alla tohutu ruumi ja kui nad oleksid ketti rivistatud, oleks selle pikkus suurem kui kaugus Maa ja Päikese vahel. Aga kuna peale kärbeste on palju teisi loomi ja taimi, kellest paljud on kärbeste loomulikud vaenlased, siis nende arv ei küüni ülaltoodud väärtusteni.
Radioaktiivse aine lagunemisel selle kogus väheneb, mõne aja pärast jääb alles pool algsest ainest. Seda ajavahemikku t 0 nimetatakse poolestusajaks. Selle protsessi üldvalem on: m = m 0 (1/2) -t/t 0, kus m 0 on aine algmass. Mida pikem on poolväärtusaeg, seda aeglasemalt aine laguneb. Seda nähtust kasutatakse arheoloogiliste leidude vanuse määramiseks. Raadium näiteks laguneb vastavalt seadusele: M = M 0 e -kt. Selle valemi abil arvutasid teadlased välja Maa vanuse (raadium laguneb umbes aja jooksul, mis on võrdne Maa vanusega).
Integratsiooni kasutamine õppeprotsessis analüüsi- ja loominguliste võimete arendamise viisina....
Ettekanne “Eksponentfunktsioon, selle omadused ja graafik” esitab selgelt selleteemalise õppematerjali. Ettekande käigus käsitletakse üksikasjalikult eksponentsiaalfunktsiooni omadusi, käitumist koordinaatsüsteemis, vaadeldakse näiteid ülesannete lahendamisest funktsiooni omaduste, võrrandite ja võrratuste abil ning uuritakse teemakohaseid olulisi teoreeme. Esitluse abil saab õpetaja parandada matemaatikatunni tulemuslikkust. Materjali elav esitus aitab hoida õpilaste tähelepanu teema uurimisel ning animatsiooniefektid aitavad probleemidele lahendusi selgemalt näidata. Lahenduse mõistete, omaduste ja omaduste kiiremaks meeldejätmiseks kasutatakse värvilist esiletõstmist.
Demonstratsioon algab näidetega eksponentsiaalfunktsioonist y=3 x, millel on erinevad astendajad – positiivsed ja negatiivsed täisarvud, murrud ja kümnendkohad. Iga näitaja jaoks arvutatakse funktsiooni väärtus. Järgmisena koostatakse sama funktsiooni jaoks graafik. Slaidil 2 konstrueeritakse tabel, mis on täidetud funktsiooni y = 3 x graafikusse kuuluvate punktide koordinaatidega. Nende koordinaattasandi punktide põhjal koostatakse vastav graafik. Graafi kõrvale konstrueeritakse sarnased graafikud y=2 x, y=5 x ja y=7 x. Iga funktsioon on esile tõstetud erinevate värvidega. Nende funktsioonide graafikud on tehtud samades värvides. Ilmselgelt muutub graafik eksponentsiaalfunktsiooni aluse suurenedes järsemaks ja on ordinaatteljele lähemal. Sama slaid kirjeldab eksponentsiaalfunktsiooni omadusi. Märgitakse, et definitsioonipiirkonnaks on arvurida (-∞;+∞), Funktsioon ei ole paaris ega paaritu, kõigi definitsioonipiirkondade puhul funktsioon suureneb ja sellel ei ole suurimat ega vähimat väärtust. Eksponentfunktsioon on altpoolt piiratud, kuid mitte ülalpool, pidev definitsioonipiirkonnas ja kumer allapoole. Funktsiooni väärtuste vahemik kuulub intervalli (0;+∞).
Slaid 4 tutvustab funktsiooni y = (1/3) x uuringut. Koostatakse funktsiooni graafik. Selleks täidetakse tabel funktsiooni graafikusse kuuluvate punktide koordinaatidega. Neid punkte kasutades koostatakse ristkülikukujulisele koordinaatsüsteemile graafik. Funktsiooni omadused on kirjeldatud läheduses. Tuleb märkida, et määratluspiirkond on kogu numbritelg. See funktsioon ei ole paaritu ega paaris, väheneb kogu määratluspiirkonna ulatuses ning sellel ei ole maksimaalset ega minimaalset väärtust. Funktsioon y = (1/3) x on altpoolt ja ülalt piiramata, on oma definitsioonipiirkonnas pidev ja allapoole kumerusega. Väärtuste vahemik on positiivne pooltelg (0;+∞).
Kasutades antud funktsiooni y = (1/3) x näidet, saame esile tõsta eksponentsiaalfunktsiooni omadused, mille positiivne alus on väiksem kui üks, ja selgitada selle graafiku ideed. Slaid 5 näitab sellise funktsiooni üldvaadet y = (1/a) x, kus 0 Slaid 6 võrdleb funktsioonide y=(1/3) x ja y=3 x graafikuid. On näha, et need graafikud on ordinaadi suhtes sümmeetrilised. Võrdluse selgemaks muutmiseks on graafikud värvitud funktsioonivalemitega samades värvides. Järgmisena esitatakse eksponentsiaalfunktsiooni definitsioon. Slaidil 7 on kaadris esile tõstetud definitsioon, mis näitab, et funktsiooni kujul y = a x, kus positiivset a, mis ei ole võrdne 1-ga, nimetatakse eksponentsiaalseks. Järgmiseks võrdleme tabelit kasutades eksponentsiaalfunktsiooni, mille alus on suurem kui 1 ja positiivset, mis on väiksem kui 1. Ilmselgelt on peaaegu kõik funktsiooni omadused sarnased, kasvab ainult funktsioon, mille alus on suurem kui a ja kui alus on väiksem kui 1, siis see väheneb. Näidete lahendust käsitletakse allpool. Näites 1 on vaja lahendada võrrand 3 x =9. Võrrand lahendatakse graafiliselt - joonistatakse funktsiooni y=3 x graafik ja funktsiooni y=9 graafik. Nende graafikute lõikepunkt on M(2;9). Vastavalt sellele on võrrandi lahenduseks väärtus x=2. Slaid 10 kirjeldab võrrandi 5 x =1/25 lahendust. Sarnaselt eelmisele näitele määratakse võrrandi lahendus graafiliselt. Näidatud on funktsioonide y=5 x ja y=1/25 graafikute ehitust. Nende graafikute lõikepunktiks on punkt E(-2;1/25), mis tähendab, et võrrandi lahend on x=-2. Järgmisena tehakse ettepanek käsitleda ebavõrdsuse 3 x lahendust<27. Решение выполняется графически - определяется точка пересечения графиков у=3 х и у=27. Затем на плоскости координат хорошо видно, при каких значениях аргумента значения функции у=3 х будут меньшими 27 - это промежуток (-∞;3). Аналогично выполняется решение задания, в котором нужно найти множество решений неравенства (1/4) х <16. На координатной плоскости строятся графики функций, соответствующих правой и левой части неравенства и сравниваются значения. Очевидно, что решением неравенства является промежуток (-2;+∞). Järgmised slaidid esitavad olulisi teoreeme, mis kajastavad eksponentsiaalfunktsiooni omadusi. Teoreem 1 väidab, et positiivse a korral kehtib võrdus a m = a n, kui m = n. Teoreem 2 väidab, et positiivse a korral on funktsiooni y=a x väärtus positiivse x puhul suurem kui 1 ja negatiivse x puhul väiksem kui 1. Väidet kinnitab eksponentsiaalfunktsiooni graafiku kujutis, mis näitab funktsiooni käitumist definitsioonipiirkonna erinevatel intervallidel. Teoreem 3 märgib, et 0 puhul Järgmiseks, et aidata õpilastel materjali omandada, kaalutakse näiteid probleemide lahendamisest uuritud teoreetilise materjali abil. Näites 5 on vaja koostada funktsiooni y=2·2 x +3 graafik. Funktsiooni graafiku koostamise põhimõtet demonstreeritakse, teisendades selle esmalt kujule y = a x + a + b. Koordinaatsüsteemi paralleelne ülekanne viiakse läbi punkti (-1; 3) ja graafikuni funktsioon y = 2 x konstrueeritakse selle algpunkti suhtes. Slaid 18 vaatleb võrrandi 7 x = 8-x graafilist lahendust. Koostatakse sirge y=8x ja funktsiooni y=7x graafik. Graafikute lõikepunkti abstsiss x=1 on võrrandi lahend. Viimane näide kirjeldab võrratuse (1/4) x =x+5 lahendit. Joonistatakse võrratuse mõlema poole graafikud ja märgitakse, et selle lahenduseks on väärtused (-1;+∞), mille juures funktsiooni y=(1/4) x väärtused on alati väiksemad kui väärtused y=x+5. Esitlus “Eksponentfunktsioon, selle omadused ja graafik” on soovitatav kooli matemaatikatunni tulemuslikkuse tõstmiseks. Esitluse materjali selgus aitab kaugtunnis õppeeesmärke saavutada. Esitlust saab pakkuda iseseisvaks tööks õpilastele, kes pole tunnis teemat piisavalt hästi valdanud.
