Vaatleme mitme kanaliga järjekorrasüsteemi (kokku n kanalit), mis võtab vastu päringuid intensiivsusega λ ja teenindatakse intensiivsusega μ. Süsteemi saabunud päring teenindatakse, kui vähemalt üks kanal on vaba. Kui kõik kanalid on hõivatud, lükatakse järgmine süsteemi saabunud päring tagasi ja lahkub QS-ist. Nummerdame süsteemi olekud hõivatud kanalite arvu järgi:
Riis. 7.24
Joonisel 6.24 on kujutatud olekugraafik, milles Si- kanali number; λ – vastuvõetud päringute intensiivsus; μ
– vastavalt teenindustaotluste intensiivsus. Päringud sisenevad järjekorrasüsteemi pideva intensiivsusega ja hõivavad järk-järgult kanaleid üksteise järel; kui kõik kanalid on hõivatud, lükatakse järgmine QS-i saabuv päring tagasi ja lahkutakse süsteemist.
Määrakem sündmuste voogude intensiivsused, mis kannavad süsteemi olekust olekusse, liikudes piki olekugraafikut nii vasakult paremale kui ka paremalt vasakule.
Näiteks olgu süsteem olekus S 1, st üks kanal on hõivatud, kuna selle sisendis on päring. Niipea kui päringu teenindamine on lõpetatud, läheb süsteem olekusse S 0 .
Näiteks kui kaks kanalit on hõivatud, siis teenusevoog, mis edastab süsteemi olekust S 2 osariigis S 1 on kaks korda intensiivsem: 2-μ; vastavalt, kui on hõivatud k kanalite puhul on intensiivsus k-μ.
Hooldusprotsess on surma- ja paljunemisprotsess. Selle konkreetse juhtumi Kolmogorovi võrrandid on järgmisel kujul:
(7.25)
Nimetatakse võrrandeid (7.25). Erlangi võrrandid
.
Olekute tõenäosusväärtuste leidmiseks R 0 , R 1 , …, Rn, on vaja kindlaks määrata algtingimused:
– R 0 (0) = 1, st süsteemi sisendis on päring;
– R 1 (0) = R 2 (0) = … = Rn(0) = 0, st algsel ajahetkel on süsteem vaba.
Olles integreerinud diferentsiaalvõrrandi süsteemi (7.25), saame olekutõenäosuste väärtused R 0 (t), R 1 (t), … Rn(t).
Kuid meid huvitavad palju rohkem olekute piiravad tõenäosused. Kui t → ∞ ja kasutades surma ja paljunemise protsessi vaatlemisel saadud valemit, saame võrrandisüsteemi (7.25) lahendi:
(7.26)
Nendes valemites intensiivsuse suhe λ / μ
rakenduste voogu on mugav määrata ρ
.Seda kogust nimetatakse arvestades rakenduste voo intensiivsust, ehk keskmine QS-i saabunud rakenduste arv ühe rakenduse keskmise teenindamise ajal.
Võttes arvesse tehtud märget, on võrrandisüsteem (7.26) järgmine:
(7.27)
Neid piirtõenäosuste arvutamise valemeid nimetatakse Erlangi valemid
.
Teades kõiki QS olekute tõenäosusi, leiame QS efektiivsuse karakteristikud, st absoluutse läbilaskevõime. A, suhteline läbilaskevõime K ja ebaõnnestumise tõenäosus R avatud
Süsteemi saabunud taotlus lükatakse tagasi, kui see leiab, et kõik kanalid on hõivatud:
.
Tõenäosus, et taotlus võetakse teenusesse vastu:
K = 1 – R avatud,
Kus K– süsteemi poolt teenindatavate vastuvõetud taotluste keskmine osakaal või QS-i poolt teenindatavate rakenduste keskmine arv ajaühikus, jagatud selle aja jooksul saadud taotluste keskmise arvuga:
A=λ·Q=λ·(1-P avatud)
Lisaks on riketega QS-i üks olulisemaid omadusi keskmine hõivatud kanalite arv. IN n-kanali QS tõrgetega, see arv langeb kokku QS-i rakenduste keskmise arvuga.
Keskmise taotluste arvu k saab arvutada otse olekute P 0, P 1, ..., P n tõenäosuste kaudu:
,
st leiame diskreetse juhusliku muutuja matemaatilise ootuse, mille väärtus on 0 kuni n tõenäosustega R 0 , R 1 , …, Rn.
Veelgi lihtsam on k väärtust väljendada läbi QS-i absoluutvõimsuse, s.t. A. Väärtus A on keskmine rakenduste arv, mida süsteem ajaühikus teenindab. Üks hõivatud kanal teenindab μ päringut ajaühiku kohta, seejärel keskmine hõivatud kanalite arv
Võrrandisüsteem
QS tõrgetega Poissoni voogude jaoks juhusliku arvu teenindusvoogude vektormudeli jaoks. Graafik, võrrandisüsteem.
Esitame QS-i vektorina, kus k m– rakenduste arv süsteemis, millest igaüks on teenindatud m seadmed; L= q max – q min +1 – sisendvoogude arv.
Kui taotlus võetakse teenindamiseks vastu ja süsteem läheb olekusse intensiivsusega λ m.
Kui ühe päringu teenindamine on lõppenud, liigub süsteem olekusse, kus vastava koordinaadi väärtus on ühe võrra väiksem kui olekus , =, s.t. toimub vastupidine üleminek.
Näide vektori QS mudelist n = 3, L = 3, q min = 1, q max = 3, P(m) = 1/3, λ Σ = λ, seadme hoolduse intensiivsus – μ.
Kasutades olekugraafikut koos üleminekuintensiivsustega, koostatakse lineaarsete algebraliste võrrandite süsteem. Nende võrrandite lahendusest leitakse tõenäosused R(), mille abil määratakse QS omadused.
QS, mille Poissoni voogude järjekord on lõpmatu. Graafik, võrrandisüsteem, arvutatud seosed.
Süsteemi graafik
Võrrandisüsteem
Kus n– teeninduskanalite arv, l– vastastikku abistavate kanalite arv
Lõpmatu järjekorra ja osalise vastastikuse abiga QS suvaliste voogude jaoks. Graafik, võrrandisüsteem, arvutatud seosed.
Süsteemi graafik
Võrrandisüsteem
–λ R 0 + nμ R 1 =0,
.………………
–(λ + nμ) P k+ λ P k –1 + nμ P k +1 =0 (k = 1,2, ... , n–1),
……………....
-(λ+ nμ) Pn+ λ P n –1 + nμ Р n+1=0,
……………….
-(λ+ nμ) Pn+j+ λ Р n+j –1 + nμ Р n+j+1=0, j=(1,2,….,∞)
Järjekord lõpmatu järjekorraga ja täielik vastastikune abi suvaliste lõimede jaoks. Graafik, võrrandisüsteem, arvutatud seosed.
Süsteemi graafik
|
Võrrandisüsteem
QS, millel on Poissoni voogude piiratud järjekord. Graafik, võrrandisüsteem, arvutatud seosed.
Süsteemi graafik
Võrrandisüsteem
Arvutussuhted:
,
UDC 519.248:656.71
MITTESTATSIOONSE VOOLU JA KANALITE VAHEL OSALISE VASTASTIKUSE ABIGA JÄRJERSÜSTEEMI MUDEL
© 2011 V. A. Romanenko
Akadeemik S.P. Korolevi nimeline Samara osariiklik lennundusülikool (riiklik teadusülikool)
Kirjeldatakse mittestatsionaarsete voogudega mitmekanalilise järjekorrasüsteemi dünaamilist mudelit, mis ootab piiratud pikkusega järjekorras ja kanalite osaline vastastikune abi, mis väljendub päringu samaaegse teenindamise võimaluses kahe kanali kaudu. Antud on süsteemi peamiste tõenäosuslike ajakarakteristikute avaldised. Kirjeldatakse vaadeldava süsteemi näitena sõlmlennujaama toimimise modelleerimise tulemusi.
Järjekorrasüsteem, mittestatsionaarne voog, kanalite vastastikune abi, sõlmlennujaam.
Sissejuhatus
Käsitleme mitme kanaliga järjekorrasüsteemi (QS), mille ootamine on piiratud pikkusega järjekorras. Vaadeldava QS-i tunnuseks on osaline vastastikune abi kanalite vahel, mis väljendub kahe kanali samaaegse kasutamise võimaluses ühe päringu teenindamiseks. Kanalite jõupingutuste kombineerimine viib üldjuhul keskmise teenindusaja lühenemiseni. Eeldatakse, et QS võtab vastu mittestatsionaarse Poissoni rakenduste voo. Rakenduse teenindamise kestus sõltub ajast.
Loetletud funktsioonidega QS-i tüüpiline näide on lennujaama transporditeenuste süsteem. Mitme (tavaliselt kahe) rajatise (registreerimisletid, lennukikütuse tankerid, erisõidukid jne) samaaegne kasutamine ühe lennu teenindamiseks on ette nähtud suurte õhusõidukite (AC) lennujaama teenindamise tehnoloogiliste graafikutega. Samas tingib just suurte lennujaamade puhul eriti aktuaalne vajadus parandada maapealse transporditeenuse kvaliteeti ja lühendada nende kestust selleni, et mitte ühe, vaid mitme (kahe) vahendiga teostatavate toimingute osakaal väheneb. suureneb.
See suureneb lennujaama ulatuse suurenedes. Artiklis kirjeldatud mudel töötati välja sõlmlennujaamade tootmiskomplekside (sõlmjaamade) toimimise analüüsi ja optimeerimise probleemide lahendamiseks, mida iseloomustab maismaatranspordirajatiste küllastumine väljendunud mittestatsionaarse reisijate, lennukite ja kaubavooga ning teenuse intensiivsuse kõikumised.
Mudeli üldine kirjeldus
Mudel on mõeldud N teeninduskanalit sisaldava QS-süsteemi tõenäosuslike karakteristikute ajasõltuvuste määramiseks. Taotluste arv QS-is ei tohiks ületada K, mis võib olla tingitud tehnilistest piirangutest lennujaamas saadaolevate lennukite parkimiskohtade arvu, terminali või kaubakompleksi mahutavuse jms osas. Ühe päringu teenindamiseks eraldatud kanalite arv võib olla kas 1 või 2. Kui vaba kanaleid on vähemalt kaks, laenatakse etteantud tõenäosusega saabunud päring teenindamiseks
üks neist ja - tõenäosusega y2 = 1 - y1 - mõlemad kanalid. Kui teenindustaotluse saamise ajal on QS-il ainult üks vaba kanal, siis see rakendus hõivab igal juhul saadaoleva
ainus kanal. Kui hõivamata kanaleid pole, "saab äsja saabunud päring järjekorda" ja ootab teenust. Kui taotluste arv järjekorras on K-N, siis äsja saabunud rakendus jätab QS-i teenindamata. Sellise sündmuse tõenäosus peaks olema väike.
QS-sisend võtab vastu Poissoni (mitte tingimata statsionaarse) rakenduste voo
intensiivsusega l(t). Eeldatakse, et päringu teenindamise kestus nii ühe kanali Tobsl1 (t) kui ka kahe -
Tobsl 2 (t) on aja eksponentsiaalselt jaotatud juhuslikud funktsioonid (juhuslikud protsessid).
Rakendusteenuse intensiivsus
üks kanal ^ (t) ja samaaegselt kaks kanalit m 2 (t) on määratletud kui
mi (t) = [Tobsl1 (t)]-1, m2 (t) = [Tobsl2 (t)]-1,
kus Tobsl1 (t) = M [Tobsl1 (t)], Tobsl 2 (t) = M[Tobsl 2 (t)]
Keskmine päringu teenindamise aeg vastavalt ühe kanali ja kahe kanali kaudu.
Seos suuruste m1 (t) ja m 2 (t) vahel on antud seosega
m2 (t) = ^m1 (t) ,
kus 9 on koefitsient, mis võtab arvesse teenuse intensiivsuse suhtelist kasvu kahe kanali kasutamisel.
Praktikas on kogutud rahaliste vahendite arvu ja teenuse intensiivsuse vaheline seos üsna keeruline, mille määravad kõnealuse teenuse osutamise omadused. Lendude puhul, mille kestus on seotud tehtud töömahuga (näiteks lennuki kütuse tankimine lennukikütuse tankerite abil, reisijate lennukisse sisenemine või sealt mahavõtmine jne), on teenuse intensiivsuse sõltuvus. kanalite arv läheneb otseselt proportsionaalsele, kuid ei ole rangelt nii ettevalmistumiseks kuluva aja tõttu
kuid lõpptoimingud, mida fondide arv ei mõjuta. Selliste toimingute puhul 2 naela. Paljude operatsioonide puhul on teostamise kestuse sõltuvus rajatiste või esinejate arvust vähem väljendunud (näiteks registreerimine või lennueelne
reisijate läbivaatus). Sel juhul »1.
Suvalisel ajahetkel I võib vaadeldav QS olla ühes L+1 diskreetsetest olekutest - B0, ...,
KURT. Üleminek olekust olekusse võib toimuda igal ajal. Tõenäosus, et hetkel I on QS olekus
normaliseerimistingimus 2 р () =1 Tea-
Tõenäosuste P0 (/), PX (t),..., Pb (t) analüüs võimaldab määrata QS selliseid olulisi virtuaalseid (hetkelisi) karakteristikuid nagu keskmine järjekorra pikkus, keskmine hõivatud kanalite arv, QS-is asuvate päringute keskmine arv jne.
Seisundite p(t) tõenäosused leitakse Kolmogorovi diferentsiaalvõrrandi süsteemi lahendamisega, mis tavaliselt kirjutatakse
=Ё jp(t)P /(t)-P, (t)Z (t).,
r = 0,1,...,b,
Kus<р^ ^) - плотности (интенсивности) вероятностей перехода из состояния с порядковым номером г в состояние с порядковым номером ]. Величины фу (t) определяются по формуле
kus P(/; At) on tõenäosus, et QS, mis oli hetkel t olekus B,
aeg At läheb sellest osariiki
Kolmogorovi võrrandite koostamiseks kasutatakse QS-i märgistatud olekugraafikut. Selles on f-i vastavad intensiivsused paigutatud punktist B punkti B viivate noolte kohale. Iga oleku tõenäosuse tuletis on määratletud kõigi teistest olekutest antud olekusse tulevate tõenäosusvoogude summana, millest on maha arvatud. kõigi ühest olekust teistesse suunduvate tõenäosusvoogude summa.
Graafi loomiseks võetakse kasutusele kolmeindeksiline tähistussüsteem, milles vaadeldava QS-i olekut suvalisel ajahetkel iseloomustatakse kolme parameetriga: hõivatud kanalite arv n (n = 0,1,.. .,^), teenindatud päringute arv k (k = 0,1,...,^) ja teenust oodates t (t = 0,1,...,^ - N).
Joonisel fig. Joonisel 1 on kujutatud märgistatud olekugraafik, mis on koostatud ülalkirjeldatud reeglite ja sisseviidud tähistuste abil lihtsa näitena valitud QS jaoks.
Ruumi kokkuhoiu mõttes on allpool toodud graafikul ja vastavas Kolmogorovi võrrandite süsteemis välja jäetud intensiivsuste 1, m1, m2 ja olekute tõenäosuste funktsionaalse sõltuvuse ajast.
^000 /L = -(^1^ + ^2^) P000 + tr10 + t2P210,
= - (t + U-11 + U21) рш + ^Рр000 +
2t1R220 + t2R320,
LR210 IL = - (t2 + ^11 + ^21) P210 + V2YP000 +
Т1Р320 + 2 ^2Р420,
LR220/L = -(2^1 + ^1^ + ^21) Р220 + ^1Rio +
3 t1Р330 + ^2Р430,
LR32<:)1Л = - (т2 + т1 + ^11 + ^21)р320 +
+^11Р210 + V2ЯP110 + 2t 1Р430 +
LR4yu1L (1 + 2 ^2) Р420 + ^21Р210 + t р30, ЛР330 /Л = -(3т1 + ^1^+ ^21) Р330 + ^11Р220 + +4^1Р440 + Т2р40,
^430 /L = - (2^1 + ^2 + 1) Р430 + ^11Р320 +
+^2^ Р220 + 3т 1р40 + 2^2р31,
LR530/l =-(t + 2t2 + i) p^30+1P420 +
+^2YaP320 + t1P531,
LR440 IL (4t1 + I) R40 + R330 +
5^1р50 + t2р41,
LR540/ l =-(t2 + 3t + i) r540 + yar430 +
+"^2YaR330 + 3 t1P541 + 2 t2P532,
LR531/L = - (^1 + 2^2 + R) R^31 + R530 +
LR550 IL = -(5t1 + Y) R550 + YR440 +
5t1R551 + t2R542,
LR541/ l =-(t2 + 3t + i) p^41 + ya^40 +
LR532/l = -(t1 + 2t2) Р532 + i р531,
LR5511L = - (5t1 + Y)r51 + YR550 + 5t1R552,
lr542 / l = - (3 t + t2) r542 + i r541,
Lp5^^ = 5 t1P552 + i p51.
Kui hetkel t = 0 QS-is taotlusi pole, siis kirjutatakse algtingimused kujul
P10 (0) = P210 (0) = P220 (0) =... = P552 (0) = 0.
Suuremõõtmeliste süsteemide nagu (1), (2), muutuvate väärtustega 1(^, mDO, m2(0) lahendamine on võimalik ainult arvuliste meetoditega arvuti abil.
Riis. 1. QS olekugraafik
QS mudeli ehitamine
Kooskõlas algoritmilise lähenemisviisiga käsitleme tehnikat suvalise mõõtmega Kolmogorovi võrrandite süsteemi teisendamiseks arvutiarvutusteks sobivaks vormiks. Salvestamise lihtsustamiseks kasutame kolmekordse süsteemi asemel topelt QS-i olekute tähistussüsteemi, kus r on teenindusega hõivatud kanalite arv pluss järjekorra pikkus,] on rakenduste arv QS-is. . Märgistussüsteemide vahelist seost väljendavad sõltuvused:
r = n + m, r = 0,1,...,K;
] = k + m, ] = 0,1,...,K.
Mitte ühtegi olekut formaalsest hulgast ei saa realiseerida
B. (r = 0,1,...,K; ] = 0,1,...,K). Eriti,
kirjeldatud mudeli raames on võimatud olekud, kus kaks või enam päringut teenindavad samaaegselt üks
kanal, st. R. (t) = 0, kui ] > r Tähistame sümboliga 8 QS lubatavate olekute hulka. Olek B. on olemas ja
selle vastav tõenäosus P. ^)
võib olla nullist erinev, kui on täidetud üks järgmistest tingimustest:
1)] <г< 2], если 2] < N,
2)] <г< ] + Ч - 1 если \ .
y] + H - 1< К,
3)] < г < К, если ] + ч - 1 ^ К,
r = 0,1,...,K; ] = 0,1,...,K,
kus Х on maksimaalne olekute arv erineva teeninduskanalite arvuga antud arvu päringute jaoks, mis on määratud valemiga
Siin tähistavad sulud murdosa kõrvalejätmise toimingut. Näiteks,
otsustades joonisel fig. 1, saab kahte päringut teenindada kahe, kolme või nelja kanali kaudu. Seetõttu eespool käsitletud näites
H = 5 - = 5 - 2 = 3.
Arvutiarvutuste realiseerimiseks suvalise mõõtmega Kolmogorovi võrrandite süsteemi abil tuleb selle võrrandid taandada mingile universaalsele kujule, mis võimaldab kirjutada mis tahes võrrandit. Sellise vormi väljatöötamiseks kaaluge olekugraafiku fragmenti, mis kuvab ühte suvalist olekut B] koos sellest juhtivatega
intensiivsuse nooled. Tähistagem rooma numbritega naaberriigid, mis on otseselt seotud B-ga, nagu on näidatud joonisel fig. 2.
Iga oleku B (g = 0,1,...,K; ] = 0,1,...,K) jaoks, nii et B. e 8, ajahetkel t väärtused
p^), p(t), p.^), p(t) aktsepteerima
erinevad väärtused (sealhulgas need, mis on võrdsed nulliga). Kuid võrrandi struktuur
(3) jääb muutumatuks, mis võimaldab seda kasutada suvalise mõõtmega Kolmogorovi võrrandite süsteemi arvutis realiseerimiseks.
Intensiivsused fr (t), (р. (t), mis kalduvad QS-i üle kandma olekutesse, mille väärtused on suured r ja ], kui selliste olekute olemasolu on võimalik, määratakse mitmete tingimuste alusel järgmiselt. :
o.. ї a või
°(,-+1)0"+1) ї 8 '
0(,-+2)(.+1) - 8 i £ N - 2,
o(i+1)(.+1)- 8 või
°(.+2)а+1)ї 8
O(.+1)(V+1) – 8'
Riis. 2. QS oleku graafiku fragment
Võttes arvesse naaberriikide olemasolu B suhtes, kirjutatakse B võrrand järgmiselt:
-£ = -[P () + P () + P. () +
Рр (tИ Рг, (t) + Рр+1) (.+1) (t) Р(г+1) (.+1) () +
Р(Н(1-1)^)Р(-1)(1 -1)^) +
Р 2)()+1)()Р(г+2)()-+1)() +
РЦ2)(.-1) (t)P(г-2)(.-Г) ().
О(.+1)(.+1)ї 8 või і > N - 2
Y2X(i), kui
I(i+1)(.+1) - 8>
O(i+2)(.+1) – 8’ i £ N – 2,
О(і+1)(.+1)ї 8'
O(i+2)(.+1) – 8'
r = 0,1,...,k, . = 0,1,...,k.
Jõe intensiivsus (), lk..11 (), QS-i ülekandmine olekust B-. osariikides
väiksemate väärtustega g ja. (kui selliste olekute olemasolu on võimalik), on otseselt proportsionaalsed kaasatud kanalite arvuga, mis teenindavad QS-is asuvaid erinevat tüüpi päringuid (kasutades teenindamiseks ühte või kahte kanalit). Üheks kanaliks võib lugeda kahest kanalist koosnevat rühma, mis tegeleb ühe vastavat tüüpi päringu teenindamisega. Seega üldjuhul
p () = kdM1 () , R. () = ky2^2 () ,
kus k.1 on ühte kanalit hõivavate päringute arv, mida teenindab QS olekus B; k on taotluste arv, mis hõivavad kaks kanalit ja mida teenindab QS olekus B.
Läbi g ja. need väärtused määratakse järgmiselt:
G2. - g kui g< N,
y1 [ N - 2 (r - .), kui r > N, (4)
To! 2 = g-. .
Võttes arvesse väljendiseisundite olemasolu võimalikkuse piiranguid
p(), R.() on kujul
^B(g-1)(L) e 8,
QS-i toimimise tõhususe näitajad
Kirjeldatud mudel võimaldab meil määrata vaadeldava QS-i tööefektiivsuse järgmiste näitajate ajasõltuvused.
Keskmine järjekorra pikkus:
saab ()=22(g-p) R ().
Keskmine hõivatud kanalite arv:
Ühise turukorralduse taotluste keskmine arv:
m, () = 22,R. ().
Teenusest keeldumise tõenäosus:
Є, ()= 2 Р- ().
Virtuaalse ooteaja jaotuse rakenduse järgi saab kätte
teenus Ж (x,t) = Р ^ож ()< х) , позволяющее характеризовать качество обслуживания рассматриваемой СМО. Поступившая в систему заявка вынуждена ожидать обслуживания в случае, если все каналы заняты обслуживанием заявок, поступивших
varem. Sissetuleva päringu kohese teenindamise tõenäosus vaba kanali (või mitme tasuta kanali) olemasolul on Рк=0 (t)
B(g-1)(.-1) 8 naela,
r = 0,1,...,K,. = 0,1, ..., K.
R. () ° 0, kui B. 8 £.
Võttes arvesse ebaõnnestumise võimalust, määratakse jaotusfunktsiooni soovitud väärtus Ж (х^) järgmiselt
F (x-')=(--o(t)
EEZH M (,)) ()
Ru()° 0, kui °y. ї 8.
Siin on Ж (х,т| (і,./)) tingimuslik funktsioon
teatud päringu ooteaja jaotus, eeldusel, et selle saabumise hetkel T leidis ta QS olekus y.
Vaadeldavas QS-is ei sõltu sissetuleva päringu teenuse ooteaeg mitte ainult QS-is juba olevate päringute arvust, vaid ka kanalite jaotusest olemasolevate päringute rühma- ja individuaalse teenindamise vahel. Kui kanalite vahelist vastastikust abi ei eksisteeriks, oleks vaatluse all olev QS traditsiooniline piiratud pikkusega järjekorras ootamisega QS, mille teenindamise alustamise ooteaeg on kokku nõudega, mis ületas järjekorras m muud nõuet. saabumise hetkel oleks Erlangi jaotus E,^) (X) .
Siin sisaldab ülaindeks kõigi N kanali teeninduspäringute intensiivsust, mis töötavad järjekorra olemasolul; alaindeksiks on Erlangi seaduse järgi jaotusjärjekord. Siin käsitletud QS-is kehtib kirjeldatud seadus ainult QS-i sisestatud päringutele riikides, kus kõik kanalid on hõivatud ja kõik teenindavad ühte päringut. Nende olekute jaoks võime kirjutada
F (x, t| ^ + m, N + t)) = ^+1() (x).
Tähistame kui E^”^1 (x) üldistatud Erlani seaduse jaotusfunktsiooni
ha, suurusjärgus 2"r – 1, kus ag on arv
Lo juhuslikud muutujad jaotatud
eksponentsiaalseadus parameetriga y. KOOS
Kasutades kasutusele võetud tähistust, kirjutame ooteaja jaotusfunktsiooni avaldised teistes olekutes. Võrreldes (5) on need avaldised keerukama kujuga, mis ei sega nende tarkvara rakendamist. Lisaks on need näitena antud ainult kolme esimese kanalite täieliku hõivatuse oleku kohta, kasutades eelnevalt kasutusele võetud kolmekohalist indekseerimist:
F (x,t| (n,k,t)) = F (x,t| (N,N - g,0)) =
= (x), 0 £ g £ d,
kus ja. = kLt (t)+ku 2M2 (t);
Ж (х,т| (п,к,т)) = Ж (х,т| (N,N - g,l)) =
N ^ ^ - g) km (T)
Ж (х,т| - g, 2))
N ^).(N - g) Km(t)
E/^(t),(t-g) ■я(t),(t-g+l)
(N), (N - g) ktM(T)
EI-)(t-g)(x) +
^).(N - g) eH^) (x)
Rakenduse keskmine virtuaalne ooteaeg Toz () määratakse numbriliselt kui
Identiteet (T) = | ^Х (x, T) .
Samuti saab määrata suvaliselt valitud päringu Tobsl ^) virtuaalse teenindusaja jaotuse.
Kuna Tobsl (t) muutus vaadeldavas QS-is on juhuslik protsess, mis on segu kahest eksponentsiaalselt jaotatud juhuslikust protsessist TobsL1 ^) ja TobsL2 ^), siis jaotus
V (x^) = P (Tobsl (t)< х) не будет показательным. С учётом возможности отказа выражение для функции распределения V (х^) запишется в виде
EEU M k,.YR(t)
R.. ^) ° 0, kui 8. £ 8.
Siin on V (x^| (r,.)) teatud päringu teenindusaja tingimuslik jaotusfunktsioon, eeldusel, et selle saabumise ajal leidis ta QS-i olekus.
Kui rakenduse teenindamise alustamise hetkel on QS olekus, kus on võimalik nii rühma- kui ka individuaalne teenindus, siis on teenindusaeg segu kahest pro-
üleminek grupiteenusele – kui tingimus on võimalik (joon. 2). Seega on meil:
U(M(i--/")) =
y (1 - e-t(t)x) + +y (1 - e^2(t)x),
I О(і+2)(]+1) ї 8, О(і+1)(.+1) - 8,
"2\* ^ І’ I ^ +2)(.+1)
i = 0,1,...,N -1, i = 0,1,...,N -1.
Kuna kahe vaba kanali puudumisel teenindab mis tahes päringut üks kanal, siis on ühe kanali eraldamise tegelik tõenäosus ^)
det on suurem kui antud V Funktsioon uv ^) on defineeritud kui
EEU O","r(t)
R. (t) ° 0, kui R. ї 8.
Siin y1(r,.) on tõenäosus eraldada üks seade QS-i saadud päringu teenindamiseks olekus:
O(i+1)(.+1) - 8, O(i
2)(}+1) -2)(!+1)
kestused: Tobsl1 (t) ja Tobsl2 (t), dis- i = 0,1...,K -1, . = 0,1...,K -1.
piiratud eksponentsiaalselt parameetritega ^1 (t) ja ^2 (t). Kui sisse
Sel hetkel ei ole võimalik kahte kanalit eraldada, siis jaotatakse päringu teenindamise aeg eksponentsiaalselt parameetriga
t(t). Kui päring läheneb teeninduskanalitele olekus B, on üleminek individuaalsele teenindamisele lubatud, kui
oleku võimaluse olemasolu I(
QS-is sisalduva päringu teenindamise keskmine kestus sel ajal
T saab defineerida uv (T) kaudu kui
Tbl (t) = uf (t) Tm (t) + Tbs 2 (t).
QS-is rakendusele kulutatud virtuaalse aja jaotus
ja (x,t) = P (Tpreb (t)< х)
määratakse eelnevalt saadud avaldiste abil ooteaja ja teenindusaja jaotusfunktsioonide jaoks - =
vaniya nagu mina,
2^2 (t) Et^^(t)^^) (x) +
EEi M))рї(t)
ja (x,t| (^ .)) =
1 – e-M1(t)x
y (1 - e-t(t)x)-+y2(1 - e
(1 - e ^t(t)x),
О(і+1)(.+1) – 8, О(і+ 2)(.+1) ї 8’
О(і+1)(.+1) – 8’ О(і+2)(.+1) – 8,
r = 0,1,...^-1,. = 0’l’...’N-1.
Teiste olekute jaoks kirjutatakse tingimusliku jaotusfunktsiooni valemid analoogselt valemitega for
Ж (х^| (п,к,т)), kasutades kolmekohalist indekseerimist. Allpool on toodud need esimese kolme kanali täishõivatuse oleku kohta:
Sisenemise ajal järjekorda ei ole, kuid kõik kanalid on hõivatud:
ja (x^| (n,k,t)) = ja (x^| (NN - g,0)) =
(x), 0 £ g £ d;
Rakenduse sisenemise ajaks on järjekorras üks rakendus:
R. (t) ° 0, kui R. ї 8.
Siin ja (x^| (r,.)) on mõne päringu QS-is veedetud aja tingimuslik jaotusfunktsioon, eeldusel, et selle saabumise hetkel t leidis ta süsteemi olekus.
Tasuta kanalitega osariikide puhul langeb QS-is viibimise aeg kokku teenindusajaga:
Rakenduse sisenemise ajaks on järjekorras kaks rakendust:
ja (x,t | (t,t - ^2))
(t)(t^)H (t)(t^+1)
(t) (t - g) ktsM (t)
(t) (t - g) KtsM (t)
Rakenduse keskmine virtuaalne viibimisaeg QS-is on määratletud kui
Tpreb ^) = Tobsl (t) + Toz (t).
Näide QS mudeli kasutamisest
Saabuvate lennukite teenindamiseks eraldi tehnoloogilise toimingu sooritamisel simuleeritakse ühe Ida-Euroopa regionaalse sõlmlennujaama tootmiskompleksi igapäevast toimimist. Modelleerimise lähteandmetena saabuvate õhusõidukite voolu keskmise intensiivsuse ajasõltuvused
teeninduse jaoks, i(t) ja intensiivsus
õhusõidukite teenindamine ühe vahendiga t1 (t) .
Nagu konstrueeritud andmetest järeldub
lennujaama veebisaidi sõltuvuse graafik i(t)
(joonis 3a) iseloomustab BC pakkumist märkimisväärne ebaühtlus: päeva jooksul täheldatakse nelja intensiivsuse maksimumi, mis vastavad neljale "lainele"
meile" lendude saabumised ja väljumised. Peamiste "lainete" tippväärtused 1(t) ulatuvad 25-30 VS/h.
Joonisel fig. 3 ja kuvab ka sõltuvuse t (t) graafiku. Eeldatakse, et mitte
ainult õhusõiduki voolu intensiivsus, aga ka nende teenindamise intensiivsus on aja funktsioon ja oleneb “laine” faasist. Fakt on see, et reisijate keskmise ümberistumisaja vähendamiseks on sõlmlennujaama sõiduplaan üles ehitatud selliselt, et “laine” algatavad suurreisilennukite saabumised, mille ülalpidamine nõuab palju. aja jooksul ja see lõpeb väikeste lennukite saabumisega. Näites eeldatakse, et ühe tööriistaga toimingu keskmine kestus, mis on suurema osa päevast 20 minutit, pikeneb “laine” algstaadiumis 25 minutini. ja seda vähendatakse viimases etapis 15 minutini. Seega neli intervalli koos
vähendatud tase t (t) joonisel fig. 3a vastavad "lainete" algfaasidele, mil domineerivad suurte lennukite saabumised. Omakorda neli suurendamise intervalli
tase t^) langevad finaali
"laine" faasid, kus ülekaalus on väikesed lennukid.
Allpool kirjeldame simulatsiooni tulemusi, mis võimaldavad hinnata süsteemi efektiivsust. Joonisel fig. 3b-3d näitavad hõivatud kanalite arvu keskmiste väärtuste sõltuvust ajast Nз ^),
taotluste koguarv Tervishoiuministeeriumi süsteemis ^) ja
järjekorra pikkused Moz (7), mis on saadud kahe tõenäosuse piirväärtuse n1 = 0 ja n1 = 1 jaoks järgmiste projekteerimisomadustega: N = 10; K = 40; in = 1,75. Otsustades sõltuvuse Nз (t) graafiku järgi
(joonis 3b), püsib süsteemi teenindavate kanalite hõivatus enamiku päevase ajaintervalli jooksul madalal, mis on mittestatsionaarse sisendi tagajärg.
lennukite voog. Suur koormus (60-80%) saavutatakse ainult saabumiste ja lahkumiste teise "laine" ajal ning valik n1 = 0 suurte väärtuste 1(t) korral põhjustab süsteemile suurema koormuse ja väikeste väärtuste korral. 1 (t) - vähem
võrreldes valikuga n1 = 1. Veelgi enam, nagu
modelleerimine näitas, et mõlema variandi puhul on vaadeldava süsteemi rikke tõenäosus tühine.
Sõltuvusgraafikute võrdlus
M3 ^) ja Mozh ^) (vastavalt joonised 3c ja 3d) võimaldavad järeldada, et QS-is, kus n1 = 0, on keskmiselt vähem päringuid ja oodatakse rohkem päringuid kui n1 = 1 korral See vastuolu on seletatav asjaoluga, et iga QS-i vastuvõetud taotlus, mis juhul n1 = 0 võtab kaks.
kanal jätab sellele järgnevatele päringutele vähem vabu kanaleid, sundides neid looma suuremat järjekorda kui
n1 = 1. Samas põhjustab teenindusaega vähendav kanalite rühmakasutus teenindatavate ja teenust ootavate rakenduste üldarvu vähenemist. Seega on vaadeldavas näites keskmine teenindusaeg päevasel ajal
valiku p1 = 1 puhul on 20 minutit ja puhul
valik p1 = 0 - 11,7 min.
Eelpool käsitletud mudel võimaldab lahendada probleeme, mis on seotud transporditeenuste kvaliteedi optimaalse juhtimise otsimisega. Joonisel fig. 3d, 3f on kujutatud mõningaid sedalaadi ülesande lahendamise tulemusi, mille tähendust selgitatakse edaspidi vaadeldava lennujaama näitel.
Keskmine järjekorra pikkus, mis on väike isegi tippkoormuse ajal, ei ületa vaadeldavas näites 0,6 lennukit (joonis 3d), ei garanteeri, et enamiku lennukite jaoks on ooteaeg järjekorras vastuvõetav. Madal keskmine ooteaeg koos rahuldava keskmise teenindustoimingu lõpetamise ajaga
See ei välista ka lubamatult pikkade seisakute võimalust üksikute lennukite hoolduse ajal. Vaatleme näidet, kui lennujaamateenuse kvaliteedile esitatakse nõuded nii teeninduse ooteaja kui ka süsteemis viibimise aja rahuldavate väärtuste tagamiseks. Eeldame, et üle 90% lennukitest peaks hoolduseks seisma vähem kui 40 minutit ja hoolduse ooteaeg sama osa lennukite puhul peaks olema alla 5 minuti. Kasutades ülaltoodud tähistust, kirjutatakse need lennujaamateenuse kvaliteedi nõuded ebavõrdsuse kujul:
P (Tpreb (t)< 40мин)>09, P (identiteet (t)< 5мин)> 09
Joonisel fig. 3d, 3f näitavad tõenäosuste P ajast sõltuvusi (Tpreb (/)< 40мин)
ja P (ident. (")< 5 мин) для интервала времени
460-640 min. saabumise teisele “lainele” vastava mudelipäeva algusest.
Nagu joonistelt näha, ei ole variant n1 = 1
annab arvestusliku töökindluse teenindusaja osas: tingimusega määratud teenindusaja nõue
P (Tpreb (t)< 40мин)>09, viiakse läbi vaid lühikese ajavahemiku jooksul 530560 minutit, mis vastab väikeste saabujatele
Päike. Valik n1 = 0 ei anna omakorda arvutuslikku usaldusväärsust järjekorras ooteaja osas: suurte lennukite saabumise intervallil (500-510 min.)
Riis. 3. Simulatsiooni tulemused 262
tingimus P on täidetud (Iz(t)< 5мин) > 0.9.
Nagu modelleerimine on näidanud, võib sellest olukorrast väljapääsuks valida
kompromissvariant y1 » 0.2. Praktikas tähendab see variant, et lennujaamateenustele tuleks eraldada kaks raha, et teenindada mitte kõiki õhusõidukeid, vaid ainult neid, mis on valitud teatud kriteeriumi alusel, näiteks
reisijate mahutavus. Siin mängib rolli y1
parameeter, mis võimaldab juhtida QS-i jõudlusnäitajaid: rakenduse ooteaega järjekorras ja aega, mil rakendus jääb QS-i ehk teenindusaega.
Seega on kõnealune süsteem, mis kasutab päringu teenindamiseks ühte või kahte kanalit samaaegselt, eriline, kuid praktiliselt oluline QS-i juhtum.
kanalite vastastikune abi. Sellise QS-i dünaamilise mudeli kasutamine võimaldab püstitada ja lahendada mitmesuguseid optimeerimise, sealhulgas mitme kriteeriumi, probleeme, mis on seotud mitte ainult fondide koguarvu, vaid ka nende vastastikuse abi haldamisega. Seda laadi probleemid on eriti aktuaalsed sõlmlennujaamade puhul, mis on teenindusrajatistest küllastunud, nende mittestatsionaarsete lennuvoogude ja kõikuva teenindusintensiivsusega. Seega on vaadeldava QS-i mudel tööriist sellise paljutõotava klassi lennujaamade kui sõlmpunktide parameetrite analüüsimiseks ja optimeerimiseks.
Bibliograafia
1. Botšarov, P.P. Järjekordade teooria [Tekst] / P.P. Botšarov, A.V. Pe-chinkin. - M.: Kirjastus RUDN, 1995. - 529 lk.
MITTESTATSIOONIDEGA JÄRJESÜSTEEMI MUDEL JA KANALITE VAHELINE OSALINE VASTASTIKUS ABI
© 2011 V. A. Romanenko
Akadeemik S. P. Koroljovi järgi nimetatud Samara osariiklik lennundusülikool (riiklik teadusülikool)
Kirjeldatakse mitmekanalilise järjekorrasüsteemi dünaamilist mudelit mittestatsionaarsete voogudega, piiratud pikkusega järjekorras ootamise ja kanalite osalise vastastikuse abiga, mis väljendub kliendi üheaegse teenindamise võimaluses kahe kanali kaudu. Antud on süsteemi põhitõenäosus-aja karakteristikute avaldised. Käsitletakse sõlmlennujaama toimimise modelleerimise tulemusi süsteemi näitena.
Järjekorrasüsteem, mittestatsionaarne voog, kanalite vastastikune abi, sõlmlennujaam.
Teave autori kohta Vladimir Aleksejevitš Romanenko, tehnikateaduste kandidaat, dotsent, akadeemik S. P. Korolevi (riiklik teadusülikool) nimelise Samara riikliku lennundusülikooli transporditranspordi korraldamise ja juhtimise osakonna doktorant. E-post: [e-postiga kaitstud]. Teaduslike huvide valdkond: sõlmlennujaama transporditeenuste süsteemi optimeerimine ja modelleerimine.
Romanenko Vladimir Aleksejevitš, tehnikateaduste kandidaat, dotsent, Samara Riikliku Kosmoseülikooli transpordikorralduse ja -juhtimise osakonna doktorikraad akadeemik S. P. Koroljovi järgi (Riiklik Teadusülikool E-post: vla_rom@mail). Uurimisvaldkond: sõlmlennujaama transporditeenuste süsteemi optimeerimine ja simuleerimine.
Seni oleme arvestanud ainult selliseid QS-e, kus iga päringut saab teenindada ainult üks kanal; hõivamata kanalid ei saa hõivatud kanaleid teenindada.
Üldiselt see alati nii ei ole: on järjekorrasüsteeme, kus sama päringut saab korraga teenindada kaks või enam kanalit. Näiteks saavad sama katkise masina hooldada kaks töölist korraga. Selline kanalitevaheline “vastastikune abi” võib toimuda nii avatud kui ka suletud QS-is.
Kanaliülese vastastikuse abiga QS-i kaalumisel tuleb arvestada kahe teguriga.
1. Kui kiiresti kiireneb rakenduse teenindamine, kui sellega ei tööta korraga mitte üks, vaid mitu kanalit?
2. Mis on "vastastikuse abistamise distsipliin", st millal ja kuidas võtavad mitu kanalit sama taotluse teenindamist?
Vaatame kõigepealt esimest küsimust. On loomulik eeldada, et kui rakenduse teenindamiseks ei tööta mitte üks kanal, vaid mitu kanalit, siis teenusevoo intensiivsus k suurenemisega ei vähene, st see kujutab endast mingit mittekahanevat funktsiooni arvust k kanalid. Tähistame seda funktsiooni Funktsiooni võimalik vorm on näidatud joonisel fig. 5.11.
Ilmselgelt ei too samaaegselt töötavate kanalite arvu piiramatu suurenemine alati kaasa teenuse kiiruse proportsionaalset suurenemist; Loomulikum on eeldada, et teatud kriitilise väärtuse juures ei suurenda hõivatud kanalite arvu edasine suurenemine enam teenuse intensiivsust.
Kanalite vastastikuse abiga QS-i toimimise analüüsimiseks on vaja kõigepealt määrata funktsiooni tüüp
Lihtsaim uuritav juhtum on juhtum, kui funktsioon suureneb võrdeliselt k-ga ja jääb konstantseks ja võrdseks (vt joonis 5.12). Kui kanalite koguarv, mis üksteist aidata saavad, ei ületa
Peatugem nüüd teisel küsimusel: vastastikuse abistamise distsipliinil. Nimetame selle distsipliini kõige lihtsamat juhtumit "kõik kui üks". See tähendab, et ühe päringu ilmumisel hakkavad kõik kanalid seda korraga teenindama ja jäävad hõivatuks kuni selle päringu teenindamise lõpuni; siis lülituvad kõik kanalid teise päringu teenindamisele (kui see on olemas) või ootavad selle ilmumist, kui seda ei ole jne. Ilmselgelt töötavad sel juhul kõik kanalid ühena, QS muutub ühe kanaliga, kuid kõrgema teenusega intensiivsusega.
Tekib küsimus: kas sellise kanalitevahelise vastastikuse abistamise juurutamine on tulus või kahjumlik? Vastus sellele küsimusele sõltub sellest, milline on päringute voo intensiivsus, mis tüüpi funktsioon, mis tüüpi QS (tõrgetega, järjekorraga), milline väärtus on valitud teenuse efektiivsuse tunnuseks.
Näide 1. On kolme kanaliga QS, millel on tõrkeid: rakenduste voo intensiivsus (rakendused minutis), ühe päringu teenindamise keskmine aeg ühe kanali kaupa (min), funktsioon Küsimus on selles, kas see on kasulik alates QS-i läbilaskevõime seisukohast „kõik kui üks” tüüpi kanalite vahelise vastastikuse abi kasutuselevõtmiseks? Kas see on kasulik rakenduse keskmise süsteemis viibimise aja vähendamiseks?
Lahendus a. Ilma vastastikuse abita
Kasutades Erlangi valemeid (vt § 4) saame:
QS suhteline suutlikkus;
Absoluutne läbilaskevõime:
Taotluse keskmine QS-is viibimise aeg leitakse kui tõenäosus, et taotlus võetakse teenusesse vastu, korrutatuna keskmise teenindusajaga:
Gsist (min).
Me ei tohi unustada, et see keskmine aeg kehtib kõikidele rakendustele – nii hooldatud kui ka teenindamata. Samuti võib meid huvitada keskmine aeg, mille jooksul hooldatud rakendus süsteemis püsib. See aeg on võrdne:
6. Vastastikuse abiga.
Keskmine aeg, mil taotlus viibib ühises turukorralduses:
Keskmine aeg, mille teenindav rakendus ühises turukorralduses kulutab:
Seega on vastastikuse abi “kõik kui üks” olemasolul QS-i läbilaskevõime märgatavalt vähenenud. Seda seletatakse keeldumise tõenäosuse suurenemisega: kui kõik kanalid on hõivatud ühe päringu teenindamisega, võivad saabuda ka teised päringud, mis loomulikult tagasi lükatakse. Mis puudutab rakenduse ühises turukorralduses veedetud keskmist aega, siis see, nagu arvata võiks, vähenes. Kui püüame mingil põhjusel täielikult vähendada aega, mida rakendus QS-is veedab (näiteks kui QS-is viibimine on rakendusele ohtlik), võib selguda, et vaatamata läbilaskevõime vähenemisele siiski kasulik ühendada kolm kanalit üheks.
Vaatleme nüüd ootusega „kõik kui üks” tüüpi vastastikuse abistamise mõju QS-i tööle. Lihtsuse huvides võtame ainult piiramatu järjekorra juhtumi. Loomulikult ei mõjuta vastastikuse abi andmine QS-i läbilaskevõimet, kuna mis tahes tingimustel teenindatakse kõiki sissetulevaid taotlusi. Tekib küsimus vastastikuse abistamise mõjust ootamise tunnustele: järjekorra keskmine pikkus, keskmine ooteaeg, keskmine teenuses viibimise aeg.
Vastastikuse abita kättetoimetamise valemite (6.13), (6.14) § 6 kohaselt on järjekorras olevate päringute keskmine arv
keskmine ooteaeg:
ja keskmine viibimisaeg süsteemis:
Kui kasutatakse "kõik kui üks" tüüpi vastastikust abi, töötab süsteem parameetritega ühe kanalina
ja selle omadused määratakse valemitega (5.14), (5.15) § 5:
Näide 2. On kolme kanaliga QS piiramatu järjekorraga; rakenduste voo intensiivsus (rakendusi minutis), keskmine teenindusaeg Funktsioon Kasulik tähendus:
järjekorra keskmine pikkus,
Keskmine teeninduse ooteaeg,
Keskmine aeg, mil taotlus viibib ühises turukorralduses
kasutusele võtta vastastikuse abistamise kanalite vahel, näiteks "kõik kui üks"?
Lahendus a. Vastastikune abi puudub.
Valemite (9.1) - (9.4) järgi on meil
(3-2)
b. Vastastikuse abiga
Kasutades valemeid (9.5) - (9.7) leiame;
Seega on vastastikuse abistamise korral keskmine järjekorra pikkus ja keskmine ooteaeg järjekorras suurem, kuid rakenduse keskmine süsteemis viibimise aeg on väiksem.
Vaadeldavatest näidetest on selge, et vastastikune abi "Kõik kui üks" sularaha tüüp reeglina ei aita kaasa teenuse efektiivsuse tõstmisele: päringu teenindussüsteemis viibimise aeg väheneb, kuid muud teenuse omadused halvenevad.
Seetõttu on soovitav muuta teenindusdistsipliini nii, et kanalite vastastikune abi ei segaks uute teenusepäringute vastuvõtmist, kui need ilmuvad ajal, mil kõik kanalid on hõivatud.
Nimetagem järgmist vastastikuse abi liiki ühtseks vastastikuseks abiks. Kui päring saabub ajal, mil kõik kanalid on vabad, aktsepteeritakse kõiki kanaleid selle teenindamiseks; kui rakenduse teenindamise ajal saabub teine, lülitub osa kanaleid selle teenindamisele; kui nende kahe päringu teenindamise ajal saabub teine, lülituvad mõned kanalid selle teenindamisele jne, kuni kõik kanalid on hõivatud; kui see on nii, lükatakse äsja saabunud taotlus tagasi (keeldumisega QS-is) või pannakse see järjekorda (ootusega QS-is).
Selle vastastikuse abistamise põhimõtte kohaselt lükatakse taotlus tagasi või pannakse järjekorda ainult siis, kui seda ei ole võimalik kätte toimetada. Mis puudutab kanalite “seisakuid”, siis see on nendel tingimustel minimaalne: kui süsteemis on vähemalt üks päring, siis kõik kanalid töötavad.
Eespool mainisime, et uue päringu ilmumisel vabastatakse osa hõivatud kanaleid ja lülituvad ümber äsja saabunud päringu teenindamiseks. Mis osa? See sõltub funktsiooni tüübist, kui sellel on lineaarne seos, nagu on näidatud joonisel fig. 5.12, ja pole vahet, milline osa kanalitest on eraldatud äsja saabunud päringu teenindamiseks, kui kõik kanalid on hõivatud (siis võrdub teenuste koguintensiivsus kanalite päringute vahel jaotamisel ). Võib tõestada, et kui kõver on ülespoole kumer, nagu on näidatud joonisel fig. 5.11, siis peate kanalid päringute vahel võimalikult ühtlaselt jaotama.
Vaatleme -kanali QS-i toimimist kanalitevahelise "ühtlase" vastastikuse abiga.
Probleemi sõnastamine. Sissepääsu juures n-kanal QS võtab vastu lihtsaima päringute voo tihedusega λ. Lihtsaima teenusevoo tihedus iga kanali jaoks on μ. Kui saadud teenusepäring leiab, et kõik kanalid on vabad, võetakse see hoolduseks ja teenindatakse samaaegselt l kanalid ( l < n). Sel juhul on ühe rakenduse teenuste voog intensiivne l.
Kui saabunud teenusepäring leiab süsteemist ühe päringu, siis millal n ≥ 2läsja saabunud taotlus võetakse teenindusse ja seda teenindatakse samaaegselt l kanalid.
Kui saadud teenindustaotlus on süsteemis kinni i rakendused ( i= 0,1, ...), samas ( i+ 1)l≤ n, siis teenindatakse saabunud taotlust lüldise jõudlusega kanalid l. Kui äsja saabunud taotlus jääb süsteemi vahele j rakendused ja samal ajal rahuldatakse kaks ebavõrdsust ühiselt: ( j + 1)l > n Ja j < n, siis võetakse taotlus kätte. Sel juhul saab mõnda rakendust hooldada l kanalid, teine osa on väiksem kui l, kanalite arvu, kuid kõik on teenindusega hõivatud n kanalid, mis on rakenduste vahel juhuslikult jaotatud. Kui äsja saabunud taotlus jääb süsteemi vahele n rakendusi, lükatakse see tagasi ja seda ei teenindata. Teeninduseks saabunud avaldus teenindatakse lõpuni ("patsiendi" taotlused).
Sellise süsteemi olekugraafik on näidatud joonisel fig. 3.8.
Riis. 3.8. Rikete ja osaliste QS-olekute graafik
kanalite vastastikune abi
Pange tähele, et süsteemi olekugraafik kuni olekuni x h kuni vooluparameetrite märgistuseni kattub see klassikalise riketega järjekorrasüsteemi olekugraafikuga, mis on näidatud joonisel fig. 3.6.
Seega
(i
= 0, 1, ..., h).
Süsteemi oleku graafik alates olekust x h ja lõpetades riigiga x n, langeb kuni märgistuseni kokku täieliku vastastikuse abiga QS-i olekugraafikuga, mis on näidatud joonisel fig. 3.7. Seega
.
Tutvustame tähistust λ / lμ = ρ l ; λ / nμ = χ, siis
Võttes arvesse normaliseeritud seisundit, saame
Leiame süsteemi omadused.
Keskmine rakenduste arv süsteemis on
Keskmine hõivatud kanalite arv
.
Tõenäosus, et konkreetne kanal on hõivatud
.
Kõigi süsteemikanalite hõivatuse tõenäosus
Probleemi sõnastamine. Sissepääsu juures n-kanaliga QS süsteem võtab vastu heterogeense lihtsaima voolu koguintensiivsusega λ Σ ja
λ Σ
=
,
kus λ i– rakenduste intensiivsus i allikas.
Kuna päringute voogu peetakse erinevatest allikatest pärit nõuete superpositsiooniks, võib praktika jaoks piisava täpsusega kombineeritud voogu pidada Poissoni jaoks. N = 5...20 ja λ i ≈ λ i +1 (i1,N). Ühe seadme teenindusintensiivsus on jaotatud vastavalt eksponentsiaalseadusele ja võrdub μ = 1/ t. Päringu teenindamiseks mõeldud teenindusseadmed on ühendatud järjestikku, mis võrdub teenindusaja pikendamisega nii mitu korda, kui palju seadmeid teenindamiseks kombineeritakse:
t obs = kt, μ obs = 1 / kt = μ/ k,
Kus t obs – küsi teenindusaega; k– teenindusseadmete arv; μ obs – taotlege hoolduse intensiivsust.
Peatükis 2 võetud eelduste raames esitame QS-i oleku vektorina, kus k m– rakenduste arv süsteemis, millest igaüks on teenindatud m seadmed; L = q max – q min +1 – sisendvoogude arv.
Seejärel hõivatud ja vabade seadmete arv ( n zan ( 
),n sv ( 
)) võimeline 
on määratletud järgmiselt:
Riigilt 
süsteem võib minna mis tahes muusse olekusse 
. Kuna süsteem töötab L sisendvoogusid, siis igast olekust on see potentsiaalselt võimalik L otsesed üleminekud. Piiratud süsteemiressursside tõttu ei ole aga kõik need üleminekud teostatavad. Olgu SMO seisukorras 
ja saabub nõudlik palve m seadmeid. Kui m≤ n sv ( 
), siis võetakse taotlus teenindamiseks vastu ja süsteem läheb olekusse intensiivsusega λ m. Kui rakendus nõuab rohkem seadmeid, kui on saadaval, keeldutakse selle teenindamisest ja QS jääb olekusse 
. Kui sa saad 
seal on nõutavad rakendused m seadmeid, siis igaüht neist hooldatakse intensiivsusega m ja selliste päringute teenindamise koguintensiivsus (μ m) on määratletud kui μ m
= k m μ
/ m. Kui ühe päringu teenindamine on lõpetatud, läheb süsteem olekusse, kus vastava koordinaadi väärtus on ühe võrra väiksem kui olekus 
,
=, s.t. toimub vastupidine üleminek. Joonisel fig. 3.9 näitab QS-i vektormudeli näidet n
= 3, L
= 3, q min = 1, q max = 3, P(m) = 1/3, λ Σ = λ, seadme hoolduse intensiivsus – μ.
Riis. 3.9. Näide teenusetõrgetega QS vektormudeli graafikust
Nii et iga osariik 
mida iseloomustab teatud tüüpi hooldatud rakenduste arv. Näiteks osariigis 
ühte päringut teenindab üks seade ja ühte päringut kaks seadet. Selles olekus on kõik seadmed hõivatud, seetõttu on võimalikud ainult vastupidised üleminekud (mis tahes päringu saabumine selles olekus toob kaasa teenuse keelamise). Kui esimest tüüpi päringu teenindamine on varem lõppenud, läheb süsteem olekusse 
(0,1,0) intensiivsusega μ, kuid kui teist tüüpi päringu teenindamine on varem lõppenud, läheb süsteem olekusse 
(0,1,0) intensiivsusega μ/2.
Kasutades olekugraafikut koos üleminekuintensiivsustega, koostatakse lineaarsete algebraliste võrrandite süsteem. Nende võrrandite lahendusest leitakse tõenäosused R(
), mille abil määratakse QS-i omadused.
Kaaluge leidmist R otk (teenusest keeldumise tõenäosus).
,
Kus S– vektori QS mudeli graafiku olekute arv; R(
) on tõenäosus, et süsteem on olekus 
.
Olekute arv vastavalt sellele määratakse järgmiselt:
,
(3.22)
;
Määrame vektori QS mudeli olekute arvu vastavalt (3.22) joonisel näidatud näite jaoks. 3.9.
.
Seega S = 1 + 5 + 1 = 7.
Teenindusseadmetele esitatavate tegelike nõuete rakendamiseks piisavalt suur hulk n
(40, ..., 50) ja taotlused teenindavate seadmete arvu kohta rakenduses jäävad praktikas vahemikku 8–16. Sellise instrumentide ja taotluste suhte korral muutub tõenäosuste leidmise väljapakutud viis äärmiselt tülikaks, sest QS vektormudelil on suur hulk olekuid S(50)
= 1790, S(60)
= 4676, S(70) = = 11075 ja algebralise võrrandisüsteemi koefitsiendimaatriksi suurus on võrdeline ruuduga S, mis nõuab palju arvutimälu ja märkimisväärselt palju arvutiaega. Soov arvutuste arvu vähendada ärgitas otsima korduvaid arvutusvõimalusi R(
), mis põhineb olekutõenäosuste esitamise multiplikatiivsetel vormidel. Artiklis esitatakse lähenemine arvutamisele R(
):
(3.23)
Töös välja pakutud Markovi ahelate globaalsete ja detailsete saldode samaväärsuse kriteeriumi kasutamine võimaldab vähendada probleemi dimensiooni ja teha arvutusi keskmise võimsusega arvutil arvutuste korduvuse abil. Lisaks on võimalik:
– tehke arvutused mis tahes väärtuste jaoks n;
– kiirendada arvutusi ja vähendada masina ajakulu.
Sarnasel viisil saab määrata ka teisi süsteemi omadusi.
