Setelah membahas beberapa fitur penting dari masalah komputasi, mari kita mengalihkan perhatian kita ke metode yang digunakan dalam matematika komputasi untuk mengubah masalah menjadi bentuk yang mudah untuk diimplementasikan pada komputer dan memungkinkan konstruksi algoritma komputasi. Kami akan menyebut metode ini komputasi. Dengan tingkat konvensi tertentu, metode komputasi dapat dibagi menjadi beberapa kelas berikut: 1) metode transformasi ekuivalen; 2)
metode perkiraan; 3) metode langsung (tepat); 4) metode berulang; 5) metode pengujian statistik (metode Monte Carlo). Suatu metode yang menghitung solusi untuk suatu masalah tertentu mungkin memiliki struktur yang agak rumit, tetapi langkah-langkah dasarnya, sebagai suatu peraturan, adalah implementasi dari metode yang ditentukan. Mari kita beri gambaran umum tentang mereka.
Metode ini memungkinkan Anda mengganti masalah awal dengan masalah lain yang memiliki solusi yang sama. Melakukan transformasi yang setara ternyata berguna jika masalah baru lebih sederhana dari masalah awal atau memiliki sifat yang lebih baik, atau terdapat metode solusi yang diketahui untuk masalah tersebut, atau mungkin program yang sudah jadi.
Contoh 3.13. Transformasi ekuivalen persamaan kuadrat ke bentuk (pemilihan kuadrat lengkap) mereduksi masalah menjadi masalah menghitung akar kuadrat dan mengarah ke rumus (3.2) yang diketahui akarnya.
Transformasi ekuivalen terkadang memungkinkan untuk mereduksi solusi masalah komputasi asli menjadi solusi masalah komputasi yang tipenya sama sekali berbeda.
Contoh 3.14. Masalah mencari akar persamaan nonlinier dapat direduksi menjadi masalah ekuivalen mencari titik minimum global dari suatu fungsi. Memang, fungsinya non-negatif dan mencapai nilai minimum sama dengan nol untuk fungsi tersebut dan hanya untuk x yang mana
Metode-metode ini memungkinkan untuk memperkirakan (memperkirakan) masalah asli dengan masalah lain, yang penyelesaiannya dalam arti tertentu mendekati penyelesaian masalah awal. Kesalahan yang timbul dari penggantian tersebut disebut kesalahan perkiraan. Biasanya, masalah perkiraan berisi beberapa parameter yang memungkinkan Anda menyesuaikan besarnya kesalahan perkiraan atau memengaruhi properti lain dari masalah tersebut. Merupakan kebiasaan untuk mengatakan bahwa suatu metode perkiraan konvergen jika kesalahan perkiraan cenderung nol karena parameter metode cenderung pada nilai batas tertentu.
Contoh 3.15. Salah satu cara paling sederhana untuk menghitung integral adalah dengan memperkirakan integral berdasarkan rumus ukuran persegi panjang
Langkahnya adalah parameter metode di sini. Karena merupakan jumlah integral yang dikonstruksikan secara khusus, maka dari definisi integral tertentu, ketika metode persegi panjang konvergen,
Contoh 3.16. Dengan memperhatikan definisi turunan suatu fungsi, maka untuk perhitungan perkiraannya dapat menggunakan rumus. Kesalahan perkiraan rumus diferensiasi numerik ini cenderung nol ketika
Salah satu metode pendekatan yang umum adalah diskritisasi - perkiraan penggantian masalah asli dengan masalah berdimensi hingga, yaitu. suatu masalah yang data masukan dan solusi yang diinginkan dapat ditentukan secara unik oleh sekumpulan angka yang terbatas. Untuk permasalahan yang tidak berdimensi terbatas, langkah ini diperlukan untuk implementasi selanjutnya pada komputer, karena komputer hanya mampu beroperasi dengan jumlah bilangan yang terbatas. Pada Contoh 3.15 dan 3.16 di atas, sampling digunakan. Meskipun penghitungan pasti integral melibatkan penggunaan nilai yang jumlahnya tak terbatas (untuk semua, nilai perkiraannya dapat dihitung menggunakan sejumlah nilai yang terbatas di titik a). solusi eksak yang melibatkan operasi meneruskan ke batas di (dan oleh karena itu, penggunaan nilai fungsi yang jumlahnya tak terbatas direduksi menjadi perhitungan perkiraan turunan terhadap dua nilai fungsi.
Saat memecahkan masalah nonlinier, berbagai metode linierisasi banyak digunakan, yang terdiri dari penggantian perkiraan masalah asli dengan masalah linier yang lebih sederhana. Contoh 3.17. Misalkan perlu kira-kira menghitung nilai pada komputer yang mampu melakukan operasi aritmatika sederhana. Perhatikan bahwa, menurut definisi, x adalah akar positif dari persamaan nonlinier. Misalkan ada perkiraan yang diketahui. Mari kita ganti parabola dengan garis lurus yang ditarik garis singgungnya di titik tersebut.
titik dengan absis. Titik potong garis singgung ini dengan sumbu memberikan perkiraan yang lebih baik dan ditemukan dari persamaan linier. Dengan menyelesaikannya, kita memperoleh rumus perkiraan
Misalnya, jika Anda mengambilnya, Anda mendapatkan nilai yang halus
Saat menyelesaikan berbagai kelas masalah komputasi, metode perkiraan yang berbeda dapat digunakan; Hal ini mencakup metode-metode untuk mengatur penyelesaian permasalahan-permasalahan yang tidak diinginkan. Perhatikan bahwa metode regularisasi banyak digunakan untuk memecahkan masalah yang tidak terkondisi.
Suatu metode penyelesaian suatu masalah disebut langsung jika metode tersebut memungkinkan seseorang memperoleh solusi setelah melakukan sejumlah operasi dasar yang terbatas.
Contoh 3.18. Cara menghitung akar-akar persamaan kuadrat dengan menggunakan rumus adalah metode langsung. Empat operasi aritmatika dan operasi akar kuadrat dianggap dasar di sini.
Perhatikan bahwa operasi dasar metode langsung bisa sangat rumit (menghitung nilai fungsi dasar atau khusus, menyelesaikan sistem persamaan aljabar linier, menghitung integral tertentu, dll.). Fakta bahwa hal ini diterima sebagai hal yang mendasar menyiratkan, bagaimanapun juga, bahwa implementasinya jauh lebih sederhana daripada menghitung solusi untuk keseluruhan masalah.
Saat membangun metode langsung, perhatian besar diberikan untuk meminimalkan jumlah operasi dasar.
Contoh 3.19 (Diagram Horner). Biarkan masalahnya adalah menghitung nilai polinomial
sesuai dengan koefisien yang diberikan dan nilai argumen x. Jika Anda menghitung polinomial secara langsung menggunakan rumus (3.12), dan menemukannya dengan perkalian berurutan dengan x, maka Anda perlu melakukan operasi perkalian dan penjumlahan.
Metode perhitungan yang lebih ekonomis disebut skema Horner. Hal ini didasarkan pada penulisan polinomial dalam bentuk ekuivalen berikut:
Penempatan tanda kurung menentukan urutan penghitungan berikut: Di sini, penghitungan nilai hanya memerlukan operasi perkalian dan penjumlahan.
Skema Horner menarik karena memberikan contoh metode yang optimal dalam hal jumlah operasi dasar. Secara umum, suatu nilai tidak dapat diperoleh dengan metode apa pun karena operasi perkalian dan penjumlahan yang dilakukan lebih sedikit.
Terkadang metode langsung disebut eksak, artinya jika tidak ada kesalahan pada input data dan jika operasi dasar dilakukan secara akurat, maka hasil yang dihasilkan juga akan akurat. Namun, ketika menerapkan metode ini di komputer, munculnya kesalahan komputasi tidak dapat dihindari, yang besarnya bergantung pada sensitivitas metode terhadap kesalahan pembulatan. Banyak metode langsung (tepat) yang dikembangkan pada periode pra-mesin ternyata tidak cocok untuk perhitungan mesin justru karena sensitivitasnya yang berlebihan terhadap kesalahan pembulatan. Tidak semua metode eksak seperti ini, namun perlu dicatat bahwa istilah "eksak" yang tidak sepenuhnya berhasil mencirikan sifat-sifat penerapan metode yang ideal, tetapi bukan kualitas hasil yang diperoleh dari perhitungan nyata.
Ini adalah metode khusus untuk membangun perkiraan yang berurutan untuk memecahkan suatu masalah. Penerapan metode diawali dengan pemilihan satu atau beberapa pendekatan awal. Untuk mendapatkan setiap perkiraan berikutnya, serangkaian tindakan serupa dilakukan menggunakan perkiraan yang ditemukan sebelumnya - iterasi. Kelanjutan yang tidak terbatas dari proses berulang ini secara teoritis memungkinkan kita untuk membangun rangkaian perkiraan yang tidak terbatas terhadap solusi
urutan iterasi. Jika barisan ini konvergen terhadap penyelesaian masalah, maka metode iteratif dikatakan konvergen. Himpunan pendekatan awal yang konvergensi suatu metode disebut daerah konvergensi metode.
Perhatikan bahwa metode iteratif banyak digunakan dalam memecahkan berbagai macam masalah dengan menggunakan komputer.
Contoh 3.20. Mari kita pertimbangkan metode iteratif terkenal yang dirancang untuk menghitung (di mana metode Newton. Mari kita tetapkan perkiraan awal yang berubah-ubah. Kita menghitung perkiraan berikutnya menggunakan rumus yang diturunkan menggunakan metode linierisasi pada contoh 3.17 (lihat rumus (3.11)). Melanjutkan proses ini selanjutnya, kita memperoleh urutan iteratif di mana perkiraan selanjutnya dihitung menggunakan rumus berulang
Diketahui bahwa metode ini konvergen pada sembarang pendekatan awal, sehingga daerah konvergensinya adalah himpunan semua bilangan positif.
Mari kita gunakan untuk menghitung nilai pada komputer desimal -bit. Mari kita atur (seperti pada contoh 3.17). Maka perhitungan lebih lanjut tidak ada artinya, karena karena terbatasnya sifat bit grid, semua penyempurnaan selanjutnya akan memberikan hasil yang sama. Namun perbandingan dengan nilai eksak menunjukkan bahwa pada iterasi ketiga sudah diperoleh 6 angka signifikan yang benar.
Dengan menggunakan metode Newton sebagai contoh, kita akan membahas beberapa masalah umum untuk metode iteratif (dan tidak hanya untuk metode tersebut). Metode berulang pada dasarnya bersifat perkiraan; tidak satu pun dari perkiraan yang dihasilkan merupakan nilai pasti dari solusi. Namun, metode iterasi konvergen pada prinsipnya memungkinkan untuk menemukan solusi dengan akurasi tertentu. Oleh karena itu, saat menggunakan metode iteratif, akurasi yang diperlukan selalu ditentukan dan proses iteratif dihentikan segera setelah tercapai.
Meskipun fakta bahwa metode tersebut menyatu tentu saja penting, tidaklah cukup untuk merekomendasikan metode tersebut untuk digunakan dalam praktik. Jika suatu metode konvergen sangat lambat (misalnya, untuk mendapatkan solusi dengan akurasi 1% Anda perlu melakukan iterasi), maka metode tersebut tidak cocok untuk perhitungan komputer. Metode konvergen cepat, termasuk metode Newton, memiliki nilai praktis (ingat bahwa keakuratan perhitungan dicapai hanya dalam tiga iterasi). Untuk mempelajari secara teoritis tingkat konvergensi dan kondisi penerapan metode berulang, apa yang disebut estimasi kesalahan apriori diturunkan, yang memungkinkan kita memberikan beberapa kesimpulan tentang kualitas metode bahkan sebelum perhitungan.
Mari kita sajikan dua perkiraan apriori untuk metode Newton. Perlu diketahui bahwa maka untuk semua dan kesalahan dari dua perkiraan yang berurutan dihubungkan oleh pertidaksamaan berikut:
Berikut adalah nilai yang mengkarakterisasi kesalahan relatif dari perkiraan. Ketimpangan ini menunjukkan tingkat konvergensi kuadrat yang sangat tinggi dari metode ini: pada setiap iterasi, “kesalahan” dikuadratkan. Jika kita menyatakannya melalui kesalahan perkiraan awal, kita memperoleh pertidaksamaan
dari situlah peran pilihan perkiraan awal yang baik. Semakin kecil nilainya maka semakin cepat metode tersebut konvergen.
Implementasi praktis dari metode iteratif selalu dikaitkan dengan kebutuhan untuk memilih kriteria untuk mengakhiri proses iteratif. Penghitungan tidak dapat dilanjutkan tanpa batas waktu dan harus dihentikan sesuai dengan beberapa kriteria yang terkait, misalnya, untuk mencapai akurasi tertentu. Penggunaan perkiraan apriori untuk tujuan ini sering kali ternyata tidak mungkin atau tidak efektif. Meskipun secara kualitatif menggambarkan perilaku metode ini dengan benar, perkiraan tersebut terlalu tinggi dan memberikan informasi kuantitatif yang sangat tidak dapat diandalkan. Seringkali perkiraan apriori mengandung hal-hal yang tidak diketahui
kuantitas (misalnya, perkiraan (3.14), (3.15) mengandung kuantitas a), atau menyiratkan adanya dan penggunaan serius beberapa informasi tambahan tentang solusi. Seringkali, informasi tersebut tidak tersedia, dan perolehannya dikaitkan dengan kebutuhan untuk memecahkan masalah tambahan, seringkali lebih kompleks daripada masalah awal.
Untuk membentuk kriteria penghentian setelah mencapai akurasi tertentu, sebagai aturan, apa yang disebut perkiraan kesalahan posteriori digunakan - ketidaksetaraan di mana besarnya kesalahan diperkirakan melalui nilai yang diketahui atau nilai yang diperoleh selama proses komputasi. Meskipun perkiraan tersebut tidak dapat digunakan sebelum penghitungan dimulai, perkiraan tersebut memberikan kuantifikasi konkrit atas ketidakpastian selama proses penghitungan.
Misalnya, untuk metode Newton (3.13) perkiraan a posteriori berikut ini valid:
S. Ulam menggunakan bilangan acak untuk mensimulasikan perilaku neutron dalam reaktor nuklir. Metode-metode ini sangat diperlukan ketika memodelkan sistem yang besar, namun penyajian rincinya melibatkan penggunaan teori probabilitas dan statistik matematika secara signifikan dan berada di luar cakupan buku ini.
Pedoman untuk siswa tahun pertama
Bazey Alexander Anatolyevich
Odessa 2008
LITERATUR
1 Hemming R.V. Metode numerik untuk ilmuwan dan insinyur. – M.: Nauka, 1968. – 400 hal.
2 Blazhko S.N. Kursus astronomi bola. – Moskow, Leningrad, OGIZ, 1948. – 416 hal.
3 Shchigolev B.M. Pemrosesan observasi secara matematis. – M.: Nauka, 1969. – 344 hal.
4 Krylov V.I., Bobkov V.V., Biarawan P.I. Metode komputasi. – M.: Nauka, 1977. jilid I, jilid II – 400 hal.
5 Hudson D. Statistik untuk fisikawan. – M.: Mir, 1967. – 244 hal.
6.Berman G.N. Teknik akuntansi. – Moskow, 1953. – 88 hal.
7.Rumshinsky L.Z. Pemrosesan matematis hasil eksperimen. – Moskow, Nauka 1971. – 192 hal.
8. Kalitkin N.N. Metode numerik. – Moskow, Nauka 1978. – 512 hal.
9. Filchakov P.F. Metode numerik dan grafis matematika terapan. – Kyiv, “Naukova Dumka”, 1970. – 800 hal.
10. Fikhtengolts G.M. Mata kuliah kalkulus diferensial dan integral, vol.1-3. – Moskow, Nauka 1966.
Perkiraan perhitungan 2
Tentang merencanakan
Menghaluskan 10
Perkiraan 12
Pelurusan (linierisasi) 13
Metode kuadrat terkecil 15
Interpolasi 24
Polinomial interpolasi Lagrange 26
Istilah sisa rumus Lagrange 29
Polinomial interpolasi Newton untuk tabel dengan langkah variabel 30
Interpolasi dari tabel dengan langkah konstan 34
Polinomial interpolasi Stirling, Bessel, Newton 37
Interpolasi dari tabel fungsi dua argumen 42
Diferensiasi berdasarkan tabel 44
Solusi numerik persamaan 46
Dikotomi (metode bagi dua) 46
Metode iterasi sederhana 47
Metode Newton 50
Menemukan fungsi minimum dari satu variabel 51
Metode rasio emas 51
Metode parabola 54
Perhitungan integral tertentu 56
Rumus trapesium 59
Rumus rata-rata atau rumus persegi panjang 61
Rumus Simpson 62
Memecahkan persamaan diferensial biasa. Masalah Cauchy 64
Metode Euler Klasik 66
Metode Euler yang disempurnakan 67
Metode peramalan dan koreksi 69
Metode Runge-Kutta 71
Analisis harmonik 74
Sistem fungsi ortogonal 78
Metode 12 ordinat 79
PERHITUNGAN PERKIRAAN
Mari kita selesaikan masalah sederhana. Misalkan seorang siswa tinggal pada jarak 1247 m dari stasiun. Kereta berangkat pukul 17:38. Berapa lama sebelum kereta berangkat seorang siswa harus meninggalkan rumah jika kecepatan rata-ratanya 6 km/jam?
Kami segera mendapatkan solusinya:
.
Namun, kecil kemungkinannya ada orang yang benar-benar menggunakan solusi yang akurat secara matematis ini, dan inilah alasannya. Perhitungannya dilakukan dengan sangat akurat, tetapi apakah jarak ke stasiun diukur secara akurat? Mungkinkah mengukur jalur pejalan kaki tanpa membuat kesalahan? Bisakah pejalan kaki berjalan di sepanjang garis yang ditentukan secara ketat di kota yang penuh dengan orang dan mobil yang bergerak ke segala arah? Dan kecepatan 6 km/jam - apakah ditentukan secara akurat? Dan seterusnya.
Sangat jelas bahwa setiap orang dalam hal ini akan memberikan preferensi bukan pada solusi yang “tepat secara matematis” tetapi pada solusi “praktis” untuk masalah ini, yaitu, mereka akan memperkirakan bahwa perjalanan akan memakan waktu 12-15 menit dan menambahkan beberapa menit lagi. menit untuk memastikannya.
Lalu mengapa menghitung detik dan pecahannya dan berusaha mencapai tingkat akurasi yang tidak dapat digunakan dalam praktik?
Matematika adalah ilmu pasti, namun konsep “presisi” itu sendiri memerlukan klarifikasi. Untuk itu kita harus memulainya dengan konsep bilangan, karena keakuratan angka dan keandalan data awal sangat menentukan keakuratan hasil perhitungan.
Ada tiga sumber untuk memperoleh angka: menghitung, mengukur, dan melakukan berbagai operasi matematika
Jika jumlah benda yang dihitung sedikit dan konstan sepanjang waktu, maka kita peroleh benar-benar akurat hasil. Misalnya, ada 5 jari di tangan, dan ada 300 bantalan di dalam sebuah kotak. Lain halnya jika mereka mengatakan: di Odessa pada tahun 1979 terdapat 1.000.000 jiwa. Bagaimanapun, manusia dilahirkan dan mati, datang dan pergi; jumlahnya berubah sepanjang waktu, bahkan selama periode waktu penghitungan selesai. Jadi yang kami maksud sebenarnya adalah ada sekitar 1.000.000 penduduk, mungkin 999.125, atau 1.001.263, atau angka lain yang mendekati 1.000.000. Dalam hal ini, 1.000.000 memberi perkiraan jumlah penduduk kota.
Pengukuran apa pun tidak dapat dilakukan secara akurat. Setiap perangkat memberikan beberapa jenis kesalahan. Selain itu, dua pengamat yang mengukur besaran yang sama dengan instrumen yang sama biasanya memperoleh hasil yang sedikit berbeda; ini merupakan pengecualian yang jarang terjadi.
Bahkan alat pengukur sederhana seperti penggaris memiliki "kesalahan perangkat" - tepi dan bidang penggaris agak berbeda dari garis dan bidang lurus ideal, guratan pada penggaris tidak dapat diterapkan pada jarak yang benar-benar sama, dan guratan itu sendiri memiliki ketebalan tertentu; jadi saat mengukur kita tidak bisa mendapatkan hasil yang lebih akurat dari ketebalan guratannya.
Jika Anda mengukur panjang meja dan mendapatkan nilai 1360,5 mm, ini tidak berarti bahwa panjang meja tepat 1360,5 mm - jika tabel ini mengukur yang lain atau Anda mengulangi pengukuran, maka Anda bisa mendapatkan a nilai keduanya 1360,4 mm dan 1360,6 mm. Angka 1360,5 mm menyatakan panjang meja sekitar.
Tidak semua operasi matematika dapat dilakukan tanpa kesalahan. Tidak selalu mungkin untuk mengekstrak akar, menemukan sinus atau logaritma, bahkan membagi dengan presisi mutlak.
Tanpa kecuali, semua pengukuran mengarah pada nilai perkiraan besaran yang diukur.. Dalam beberapa kasus, pengukuran dilakukan secara kasar, kemudian diperoleh kesalahan yang besar; dengan pengukuran yang cermat, kesalahannya lebih kecil. Keakuratan mutlak dalam pengukuran tidak pernah tercapai.
Sekarang mari kita pertimbangkan sisi kedua dari pertanyaan ini. Apakah akurasi absolut diperlukan dalam praktik dan berapa nilai hasil perkiraannya?
Saat menghitung saluran listrik atau pipa gas, tidak ada yang akan menentukan jarak antara penyangga dengan akurasi satu milimeter atau diameter pipa dengan akurasi satu mikron. Dalam teknologi dan konstruksi, setiap bagian atau struktur hanya dapat diproduksi dengan akurasi tertentu, yang ditentukan oleh apa yang disebut toleransi. Toleransi ini berkisar dari bagian mikron hingga milimeter dan sentimeter, bergantung pada bahan, ukuran dan tujuan bagian atau struktur tersebut. Oleh karena itu, untuk menentukan dimensi suatu bagian, tidak masuk akal untuk melakukan perhitungan dengan akurasi yang lebih besar dari yang diperlukan.
1) Data awal untuk perhitungan, pada umumnya, mempunyai kesalahan, yaitu perkiraan;
2) Kesalahan ini, yang sering kali meningkat, dimasukkan ke dalam hasil perhitungan. Namun praktiknya tidak memerlukan data yang akurat, namun puas dengan hasil dengan beberapa kesalahan yang dapat diterima, yang besarnya harus ditentukan sebelumnya.
3) Dimungkinkan untuk memastikan keakuratan hasil yang diperlukan hanya jika data awal cukup akurat dan ketika semua kesalahan yang disebabkan oleh perhitungan itu sendiri diperhitungkan.
4) Perhitungan dengan angka perkiraan harus dilakukan kira-kira, berusaha mencapai pengeluaran tenaga dan waktu yang minimal dalam menyelesaikan masalah.
Biasanya, dalam perhitungan teknis, kesalahan yang diperbolehkan berkisar antara 0,1 hingga 5%, namun dalam masalah ilmiah kesalahan tersebut dapat dikurangi hingga seperseribu persen. Misalnya, ketika meluncurkan satelit buatan pertama di Bulan (31 Maret 1966), kecepatan peluncuran sekitar 11.200 m/detik harus dipastikan dengan akurasi beberapa sentimeter per detik agar satelit memasuki orbit mengelilingi bulan. daripada orbit sirkumsolar.
Sebagai tambahan, perhatikan bahwa aturan aritmatika diturunkan dengan asumsi bahwa semua bilangan adalah eksak. Oleh karena itu, jika perhitungan dengan angka perkiraan dilakukan seperti halnya perhitungan eksak, maka timbul kesan akurasi yang berbahaya dan merugikan, padahal kenyataannya tidak ada. Keakuratan ilmiah yang sebenarnya, dan, khususnya, matematis, justru terletak pada menunjukkan adanya kesalahan yang hampir selalu tak terelakkan dan menentukan batas-batasnya.
Berdasarkan konsep determinan orde kedua dan ketiga, kita juga dapat memperkenalkan konsep determinan orde kedua. N. Penentu dengan urutan lebih tinggi dari ketiga dihitung, sebagai suatu peraturan, menggunakan sifat-sifat determinan yang dirumuskan dalam paragraf 1.3., yang berlaku untuk determinan dengan urutan apa pun.
Dengan menggunakan sifat determinan nomor 9 0, kami memperkenalkan definisi determinan orde ke-4:
Contoh 2. Hitung dengan menggunakan pemuaian yang sesuai.
Demikian pula, konsep determinan tanggal 5, 6, dst diperkenalkan. memesan. Jadi determinan orde n:
.
Semua sifat determinan orde ke-2 dan ke-3 yang telah dibahas sebelumnya juga berlaku untuk determinan orde ke-n.
Mari kita pertimbangkan metode utama untuk menghitung determinan N urutan -th.
Komentar: Sebelum menerapkan metode ini, ada gunanya, dengan menggunakan sifat-sifat dasar determinan, untuk mengubah semua kecuali satu elemen dari baris atau kolom tertentu menjadi nol. (Metode pengurangan pesanan yang efisien)
Metode reduksi menjadi bentuk segitiga terdiri dari transformasi determinan ketika semua elemennya yang terletak pada satu sisi diagonal utama menjadi sama dengan nol. Dalam hal ini, determinannya sama dengan hasil kali elemen-elemen diagonal utamanya.
Contoh 3. Hitung dengan mereduksinya menjadi bentuk segitiga.
Contoh 4. Hitung menggunakan metode pengurangan pesanan efektif
.
Penyelesaian: berdasarkan sifat determinan 4 0, kita ambil faktor 10 dari baris pertama, lalu kita kalikan baris kedua secara berurutan dengan 2, dengan 2, dengan 1 dan menjumlahkannya dengan baris pertama, ketiga dan keempat. baris, masing-masing (properti 8 0).
.
Penentu yang dihasilkan dapat diperluas ke elemen kolom pertama. Ini akan direduksi menjadi determinan orde ketiga, yang dihitung menggunakan aturan Sarrus (segitiga).
Contoh 5. Hitung determinannya dengan mereduksinya menjadi bentuk segitiga.
.
Contoh 3. Hitung menggunakan relasi perulangan.
.
.
Kuliah 4. Matriks terbalik. Peringkat matriks.
Definisi 1. Persegi matriks A berorde n disebut tidak merosot, jika determinannya | A| ≠ 0. Dalam hal kapan | A| = 0, matriks A disebut merosot.
Hanya untuk matriks persegi non-tunggal A konsep matriks invers A -1 diperkenalkan.
Definisi 2 . Matriks A -1 disebut balik untuk matriks persegi tak tunggal A, jika A -1 A = AA -1 = E, dimana E adalah matriks satuan orde N.
Definisi 3
.
Matriks 
ditelepon dianeksasi elemen-elemennya adalah komplemen aljabar 
matriks yang ditransposisikan 
.
, Di mana 
.
Kita periksa kebenaran perhitungan A -1 A = AA -1 = E. (E adalah matriks identitas)
Matriks A dan A -1 timbal-balik. Jika | A| = 0, maka matriks inversnya tidak ada.
Contoh 1. Diberikan matriks A. Pastikan matriks tersebut nonsingular dan carilah matriks inversnya 
.
Larutan: 
. Oleh karena itu matriksnya non-singular.
Mari kita cari matriks inversnya. Mari kita menyusun komplemen aljabar dari elemen-elemen matriks A.
Kita mendapatkan 
.
Penyajian data awal masalah dan solusinya - sebagai angka atau kumpulan angka
Ini adalah komponen penting dalam sistem pelatihan insinyur spesialisasi teknis.
Dasar-dasar metode komputasi adalah:
Yayasan Wikimedia. 2010.
Metode kimia elektroanalitik- Daftar Isi 1 Metode kimia elektroanalitik 2 Pendahuluan 3 Bagian teori ... Wikipedia
Metode Pengkodean Sinyal Digital- Artikel ini tidak memiliki tautan ke sumber informasi. Informasi harus dapat diverifikasi, jika tidak maka informasi tersebut dapat dipertanyakan dan dihapus. Anda bisa... Wikipedia
METODE NUMERIK DINAMIKA GAS- metode penyelesaian masalah dinamika gas berdasarkan algoritma komputasi. Mari kita perhatikan aspek utama teori metode numerik untuk menyelesaikan masalah dinamika gas, menuliskan persamaan dinamika gas dalam bentuk hukum kekekalan dalam persamaan inersia... ... Ensiklopedia Matematika
METODE DIFUSI- metode penyelesaian kinetika. persamaan transpor neutron (atau partikel lain) yang mengubah persamaan pendekatan difusi. Karena pendekatan difusi memberikan bentuk persamaan asimtotik yang benar. menyelesaikan persamaan transportasi (jauh dari sumber dan... ... Ensiklopedia Matematika
METODE MINIMISASI FUNGSI GULISH- metode numerik untuk mencari fungsi minimum dari banyak variabel. Misalkan suatu fungsi, dibatasi dari bawah, terdiferensiasi dua kali secara kontinu terhadap argumennya, diberikan yang diketahui bahwa untuk vektor tertentu (tanda transpos) diperlukan... ... Ensiklopedia Matematika
Gost R 53622-2009: Teknologi Informasi. Sistem informasi dan komputasi. Tahapan dan tahapan siklus hidup, jenis dan kelengkapan dokumen- Terminologi GOST R 53622 2009: Teknologi informasi. Sistem informasi dan komputasi. Tahapan dan tahapan siklus hidup, jenis dan kelengkapan dokumen dokumen asli: 3.1 platform perangkat lunak perangkat keras: Seperangkat alat terpadu... ...
Sistem komputasi aplikatif- Sistem komputasi aplikatif, atau ABC, mencakup sistem kalkulus objek berdasarkan logika kombinatorial dan kalkulus lambda. Satu-satunya hal yang berkembang secara signifikan dalam sistem ini adalah gagasan tentang objeknya. Di... ... Wikipedia
GOST 24402-88: Teleprosesing dan jaringan komputer. Istilah dan Definisi- Terminologi GOST 24402 88: Teleprosesing dan jaringan komputer. Istilah dan definisi dokumen asli : JENIS SISTEM DAN JARINGAN 90. Sistem pengolahan data pelanggan Sistem pelanggan Sistem pelanggan Sistem pengolahan data,… … Buku referensi kamus istilah dokumentasi normatif dan teknis
ST SEV 4291-83: Mesin komputasi dan sistem pemrosesan data. Paket magnetic disk dengan kapasitas 100 dan 200 MB. Persyaratan teknis dan metode pengujian- Terminologi ST SEV 4291 83 : Mesin komputasi dan sistem pengolahan data. Paket magnetic disk dengan kapasitas 100 dan 200 MB. Persyaratan teknis dan metode pengujian: 8. Amplitudo sinyal dari permukaan informasi VTAA Rata-rata di seluruh ... Buku referensi kamus istilah dokumentasi normatif dan teknis
Metode eksplorasi geofisika- studi tentang struktur kerak bumi dengan menggunakan metode fisika untuk tujuan pencarian dan eksplorasi mineral; geofisika eksplorasi merupakan bagian integral dari geofisika (Lihat Geofisika). G.m.r. berdasarkan studi bidang fisika... ... Ensiklopedia Besar Soviet
Penentu
Konsep determinan
Setiap matriks persegi orde ke-n dapat diasosiasikan dengan suatu bilangan yang disebut determinan (penentu)
matriks A dan dinotasikan sebagai berikut: 
, atau , atau itu A.
Penentu matriks orde pertama, atau determinan orde pertama, adalah elemennya
Penentu orde kedua(determinan matriks orde kedua) dihitung sebagai berikut:
 |
Jadi, determinan orde kedua adalah jumlah 2=2! suku-suku yang masing-masing merupakan hasil kali 2 faktor - elemen matriks A, satu dari setiap baris dan setiap kolom. Salah satu suku diberi tanda “+”, suku lainnya diberi tanda “-”.
Temukan determinannya
Penentu orde ketiga (determinan orde ketiga matriks persegi) diberikan oleh:
Jadi, determinan orde ketiga adalah jumlah 6=3! suku-suku yang masing-masing merupakan hasil kali 3 faktor - elemen matriks A, satu dari setiap baris dan setiap kolom. Separuh suku diberi tanda “+”, separuh lainnya diberi tanda “-”.
Metode utama untuk menghitung determinan orde ketiga adalah apa yang disebut aturan segitiga (Aturan Sarrus): suku pertama dari tiga suku yang dimasukkan dalam penjumlahan yang bertanda “+” adalah hasil kali elemen-elemen diagonal utama, suku kedua dan ketiga adalah hasil kali unsur-unsur yang terletak pada titik sudut dua segitiga dengan alas sejajar dengan diagonal utama; ketiga suku yang termasuk dalam penjumlahan dengan tanda “-” didefinisikan dengan cara yang sama, tetapi relatif terhadap diagonal (sisi) kedua. Di bawah ini adalah 2 skema untuk menghitung determinan orde ketiga
B)
Beras. Skema untuk menghitung determinan orde ke-3
Temukan determinannya:
Penentu matriks persegi orde ke-n (n 4) dihitung menggunakan sifat-sifat determinan.
Sifat dasar determinan. Metode untuk menghitung determinan
Penentu matriks memiliki sifat dasar sebagai berikut:
1. Penentu tidak berubah ketika matriks ditransposisikan.
2. Jika dua baris (atau kolom) ditukar pada determinan, maka determinannya akan berubah tanda.
3. Penentu dengan dua baris (kolom) yang sebanding (khususnya sama) sama dengan nol.
4. Jika suatu baris (kolom) pada suatu determinan terdiri dari nol, maka determinannya sama dengan nol.
5. Faktor persekutuan unsur-unsur suatu baris (atau kolom) dapat dikeluarkan dari tanda determinannya.
6. Penentunya tidak akan berubah jika ke semua elemen suatu baris (atau kolom) kita menjumlahkan elemen-elemen yang bersesuaian dari baris (atau kolom lain), dikalikan dengan bilangan yang sama.
7. Penentu matriks diagonal dan segitiga (atas dan bawah) sama dengan hasil kali elemen-elemen diagonalnya.
8. Penentu hasil kali matriks persegi sama dengan hasil kali determinannya.
