გაანგარიშების ძირითადი მეთოდები. გაანგარიშების მეთოდები

გამოთვლითი ამოცანების ზოგიერთი მნიშვნელოვანი მახასიათებლის განხილვის შემდეგ, მოდით, ყურადღება მივაქციოთ იმ მეთოდებს, რომლებიც გამოიყენება გამოთვლით მათემატიკაში პრობლემების კომპიუტერზე განხორციელებისთვის ხელსაყრელ ფორმაში გადასაყვანად და გამოთვლითი ალგორითმების აგების საშუალებას. ჩვენ ამ მეთოდებს დავარქმევთ გამოთვლებს. გარკვეული კონვენციით, გამოთვლითი მეთოდები შეიძლება დაიყოს შემდეგ კლასებად: 1) ეკვივალენტური გარდაქმნების მეთოდები; 2)

დაახლოების მეთოდები; 3) პირდაპირი (ზუსტი) მეთოდები; 4) განმეორებითი მეთოდები; 5) სტატისტიკური ტესტირების მეთოდები (მონტე კარლოს მეთოდები). მეთოდს, რომელიც ითვლის კონკრეტული პრობლემის გადაწყვეტას, შეიძლება ჰქონდეს საკმაოდ რთული სტრუქტურა, მაგრამ მისი ელემენტარული ნაბიჯები, როგორც წესი, არის მითითებული მეთოდების განხორციელება. მოდით ზოგადი წარმოდგენა მივცეთ მათ შესახებ.

1. ეკვივალენტური გარდაქმნების მეთოდები.

ეს მეთოდები საშუალებას გაძლევთ შეცვალოთ ორიგინალური პრობლემა სხვათ, რომელსაც აქვს იგივე გადაწყვეტა. ეკვივალენტური ტრანსფორმაციების შესრულება სასარგებლო აღმოჩნდება, თუ ახალი პრობლემა თავდაპირველზე მარტივია ან აქვს უკეთესი თვისებები, ან არსებობს მისი გადაჭრის ცნობილი მეთოდი, ან შესაძლოა მზა პროგრამა.

მაგალითი 3.13. კვადრატული განტოლების ეკვივალენტური ტრანსფორმაცია ფორმაში (სრული კვადრატის არჩევა) პრობლემას ამცირებს კვადრატული ფესვის გამოთვლის პრობლემამდე და მივყავართ ფესვებით ცნობილ ფორმულებამდე (3.2).

ეკვივალენტური გარდაქმნები ზოგჯერ შესაძლებელს ხდის ორიგინალური გამოთვლითი ამოცანის ამოხსნას სრულიად განსხვავებული ტიპის გამოთვლითი ამოცანის ამოხსნამდე.

მაგალითი 3.14. არაწრფივი განტოლების ფესვის პოვნის პრობლემა შეიძლება შემცირდეს ფუნქციის გლობალური მინიმალური წერტილის პოვნის ეკვივალენტურ პრობლემამდე. მართლაც, ფუნქცია არაუარყოფითია და აღწევს მინიმალურ მნიშვნელობას ნულის ტოლი მათთვის და მხოლოდ იმ x-ებისთვის, რომლებისთვისაც

2. მიახლოების მეთოდები.

ეს მეთოდები შესაძლებელს ხდის თავდაპირველი ამოცანის მიახლოებას (დაახლოებას) მეორის მიერ, რომლის გადაწყვეტაც გარკვეული გაგებით ახლოსაა თავდაპირველი პრობლემის გადაწყვეტასთან. ასეთი ჩანაცვლების შედეგად წარმოშობილ შეცდომას მიახლოების შეცდომა ეწოდება. როგორც წესი, მიახლოების პრობლემა შეიცავს რამდენიმე პარამეტრს, რომელიც საშუალებას გაძლევთ შეცვალოთ მიახლოების შეცდომის სიდიდე ან გავლენა მოახდინოთ პრობლემის სხვა თვისებებზე. ჩვეულებრივ უნდა ითქვას, რომ მიახლოების მეთოდი კონვერგირდება, თუ მიახლოების შეცდომა ნულისკენ მიისწრაფვის, რადგან მეთოდის პარამეტრები მიდრეკილია გარკვეულ შეზღუდულ მნიშვნელობამდე.

მაგალითი 3.15. ინტეგრალის გამოთვლის ერთ-ერთი უმარტივესი გზაა ინტეგრალის მიახლოება ზომის ოთხკუთხედების ფორმულის საფუძველზე.

ნაბიჯი აქ მეთოდის პარამეტრია. ვინაიდან ეს არის სპეციალურად აგებული ინტეგრალური ჯამი, განსაზღვრული ინტეგრალის განმარტებიდან გამომდინარეობს, რომ როდესაც მართკუთხედის მეთოდი კონვერგირდება,

მაგალითი 3.16. ფუნქციის წარმოებულის განმარტების გათვალისწინებით, მისი სავარაუდო გაანგარიშებისთვის, შეგიძლიათ გამოიყენოთ ფორმულა ამ რიცხვითი დიფერენციაციის ფორმულის სავარაუდო შეცდომა ნულისკენ მიისწრაფვის, როდესაც

მიახლოების ერთ-ერთი გავრცელებული მეთოდია დისკრეტიზაცია - საწყისი ამოცანის მიახლოებითი ჩანაცვლება სასრული განზომილებიანი ამოცანებით, ე.ი. პრობლემა, რომლის შეყვანის მონაცემები და სასურველი გადაწყვეტა შეიძლება ცალსახად იყოს მითითებული რიცხვების სასრული სიმრავლით. პრობლემებისთვის, რომლებიც არ არის სასრული განზომილებიანი, ეს ნაბიჯი აუცილებელია კომპიუტერზე შემდგომი განხორციელებისთვის, რადგან კომპიუტერს შეუძლია იმუშაოს მხოლოდ რიცხვების სასრული რაოდენობით. მაგალითებში 3.15 და 3.16 ზემოთ გამოყენებული იყო შერჩევის აღება. მიუხედავად იმისა, რომ ინტეგრალის ზუსტი გაანგარიშება მოიცავს უსასრულო რაოდენობის მნიშვნელობების გამოყენებას (ყველასთვის, მისი სავარაუდო მნიშვნელობა შეიძლება გამოითვალოს მნიშვნელობების სასრული რაოდენობის გამოყენებით ა წერტილებში, ანალოგიურად, წარმოებულის გამოთვლის პრობლემა). რომლის ზუსტი გადაწყვეტა გულისხმობს ლიმიტზე გადასვლის ოპერაციას (და, შესაბამისად, ფუნქციის უსასრულო რაოდენობის მნიშვნელობების გამოყენება მცირდება წარმოებულის სავარაუდო გაანგარიშებამდე ფუნქციის ორი მნიშვნელობის მიმართ.

არაწრფივი ამოცანების ამოხსნისას ფართოდ გამოიყენება წრფივი ამოცანების სხვადასხვა მეთოდი, რომელიც შედგება საწყისი ამოცანის მიახლოებით ჩანაცვლებაში უფრო მარტივი წრფივი ამოცანებით. მაგალითი 3.17. მოდით, საჭირო იყოს დაახლოებით გამოთვალოთ მნიშვნელობა კომპიუტერზე, რომელსაც შეუძლია შეასრულოს მარტივი არითმეტიკული მოქმედებები. გაითვალისწინეთ, რომ განმარტებით, x არის არაწრფივი განტოლების დადებითი ფესვი. მოდით, შევცვალოთ პარაბოლა სწორი ხაზით, რომელიც არის მასზე ტანგენტი.

აბსცისის წერტილი ღერძთან გადაკვეთის წერტილი იძლევა უკეთეს მიახლოებას და მისი ამოხსნისას ვიღებთ სავარაუდო ფორმულას

მაგალითად, თუ იღებთ for, თქვენ მიიღებთ დახვეწილ მნიშვნელობას

სხვადასხვა კლასის გამოთვლითი ამოცანების ამოხსნისას შეიძლება გამოვიყენოთ სხვადასხვა მიახლოების მეთოდი; ეს მოიცავს რეგულარიზაციის მეთოდებს ცუდად დასმული პრობლემების გადასაჭრელად. გაითვალისწინეთ, რომ რეგულარიზაციის მეთოდები ფართოდ გამოიყენება არაგანპირობებული პრობლემების გადასაჭრელად.

3. პირდაპირი მეთოდები.

პრობლემის გადაჭრის მეთოდს პირდაპირი ეწოდება, თუ ის საშუალებას აძლევს ადამიანს მიიღოს გამოსავალი ელემენტარული ოპერაციების სასრული რაოდენობის შესრულების შემდეგ.

მაგალითი 3.18. ფორმულების გამოყენებით კვადრატული განტოლების ფესვების გამოთვლის მეთოდი პირდაპირი მეთოდია. ოთხი არითმეტიკული მოქმედება და კვადრატული ფესვის მოქმედება აქ ელემენტარულად ითვლება.

გაითვალისწინეთ, რომ პირდაპირი მეთოდის ელემენტარული ოპერაცია შეიძლება იყოს საკმაოდ რთული ( ელემენტარული ან სპეციალური ფუნქციის მნიშვნელობების გამოთვლა, წრფივი ალგებრული განტოლებების სისტემის ამოხსნა, განსაზღვრული ინტეგრალის გამოთვლა და ა.შ.). ის ფაქტი, რომ იგი მიიღება ელემენტარულად, ნებისმიერ შემთხვევაში გულისხმობს, რომ მისი განხორციელება მნიშვნელოვნად უფრო მარტივია, ვიდრე მთელი პრობლემის გადაწყვეტის გამოთვლა.

პირდაპირი მეთოდების აგებისას მნიშვნელოვანი ყურადღება ეთმობა ელემენტარული ოპერაციების რაოდენობის მინიმიზაციას.

მაგალითი 3.19 (ჰორნერის დიაგრამა). დაე, პრობლემა იყოს მრავალწევრის მნიშვნელობის გამოთვლა

მოცემული კოეფიციენტებისა და x არგუმენტის მნიშვნელობის მიხედვით. თუ მრავალწევრს პირდაპირ გამოთვლით ფორმულით (3.12) და იპოვით მას x-ზე თანმიმდევრული გამრავლებით, მაშინ დაგჭირდებათ გამრავლებისა და შეკრების ოპერაციების შესრულება.

გაცილებით ეკონომიურ გაანგარიშების მეთოდს ჰორნერის სქემა ეწოდება. იგი ეფუძნება მრავალწევრის ჩაწერას შემდეგი ექვივალენტური ფორმით:

ფრჩხილების განთავსება კარნახობს გამოთვლების შემდეგ თანმიმდევრობას: აქ, მნიშვნელობის გამოთვლა საჭიროა მხოლოდ გამრავლებისა და შეკრების ოპერაციების შესასრულებლად.

ჰორნერის სქემა საინტერესოა, რადგან მასში მოცემულია მეთოდის მაგალითი, რომელიც ოპტიმალურია ელემენტარული ოპერაციების რაოდენობის მიხედვით. ზოგადად, მნიშვნელობა ვერ მიიღება არცერთი მეთოდით, ნაკლები გამრავლებისა და შეკრების ოპერაციების შესრულების შედეგად.

ზოგჯერ პირდაპირ მეთოდებს უწოდებენ ზუსტს, რაც იმას ნიშნავს, რომ თუ შეყვანის მონაცემებში არ არის შეცდომები და თუ ელემენტარული ოპერაციები ზუსტად შესრულდება, შედეგად მიღებული შედეგიც ზუსტი იქნება. თუმცა კომპიუტერზე მეთოდის დანერგვისას გარდაუვალია გამოთვლითი შეცდომის გამოჩენა, რომლის სიდიდე დამოკიდებულია მეთოდის მგრძნობელობაზე დამრგვალების შეცდომების მიმართ. მანქანამდელ პერიოდში შემუშავებული მრავალი პირდაპირი (ზუსტი) მეთოდი აღმოჩნდა უვარგისი მანქანური გამოთვლებისთვის ზუსტად დამრგვალების შეცდომებისადმი გადაჭარბებული მგრძნობელობის გამო. ყველა ზუსტი მეთოდი ასე არ არის, მაგრამ აღსანიშნავია, რომ არც თუ ისე წარმატებული ტერმინი "ზუსტი" ახასიათებს მეთოდის იდეალური განხორციელების თვისებებს, მაგრამ არა რეალური გამოთვლებიდან მიღებული შედეგის ხარისხს.

4. განმეორებითი მეთოდები.

ეს არის სპეციალური მეთოდები პრობლემის გადასაჭრელად თანმიმდევრული მიახლოებების შესაქმნელად. მეთოდის გამოყენება იწყება ერთი ან რამდენიმე საწყისი მიახლოების შერჩევით. ყოველი შემდგომი მიახლოების მისაღებად, მოქმედებების მსგავსი ნაკრები ხორციელდება ადრე ნაპოვნი მიახლოებების - გამეორების გამოყენებით. ამ განმეორებითი პროცესის შეუზღუდავი გაგრძელება თეორიულად საშუალებას გვაძლევს ავაშენოთ ამონახსნის მიახლოებათა უსასრულო თანმიმდევრობა.

გამეორების თანმიმდევრობა. თუ ეს თანმიმდევრობა ემთხვევა პრობლემის გადაწყვეტას, მაშინ იტერაციულ მეთოდს ემთხვევა. საწყის მიახლოებათა ერთობლიობას, რომლისთვისაც მეთოდი ერთმანეთს ემთხვევა, მეთოდის კონვერგენციის რეგიონი ეწოდება.

გაითვალისწინეთ, რომ განმეორებითი მეთოდები ფართოდ გამოიყენება კომპიუტერების გამოყენებით მრავალფეროვანი პრობლემების გადასაჭრელად.

მაგალითი 3.20. განვიხილოთ ცნობილი იტერაციული მეთოდი, რომელიც შექმნილია გამოსათვლელად (სადაც ნიუტონის მეთოდი. მოდით დავაყენოთ თვითნებური საწყისი მიახლოება. ჩვენ გამოვთვალოთ შემდეგი მიახლოება ფორმულის გამოყენებით, რომელიც მიღებულია ხაზოვანი მეთოდის გამოყენებით მაგალითში 3.17 (იხ. ფორმულა (3.11)). ამ პროცესის გაგრძელება. შემდგომ, ჩვენ ვიღებთ განმეორებით მიმდევრობას, რომელშიც შემდეგი მიახლოება გამოითვლება განმეორებადი ფორმულის გამოყენებით

ცნობილია, რომ ეს მეთოდი ერთდება ნებისმიერ საწყის მიახლოებაში, ამიტომ მისი კონვერგენციის რეგიონი არის ყველა დადებითი რიცხვის სიმრავლე.

მოდით გამოვიყენოთ ის მნიშვნელობის გამოსათვლელად ბიტიანი ათობითი კომპიუტერზე. დავაყენოთ (როგორც მაგალითში 3.17). შემდეგ შემდგომი გამოთვლები უაზროა, რადგან ბიტის ბადის შეზღუდული ბუნების გამო, ყველა შემდგომი დახვეწა ერთსა და იმავე შედეგს მოგვცემს. თუმცა, ზუსტ მნიშვნელობასთან შედარება გვიჩვენებს, რომ უკვე მესამე გამეორებისას იქნა მიღებული 6 სწორი მნიშვნელოვანი ფიგურა.

ნიუტონის მეთოდის მაგალითის გამოყენებით განვიხილავთ რამდენიმე ტიპურ პრობლემას იტერატიული მეთოდებისთვის (და არა მხოლოდ მათთვის). განმეორებითი მეთოდები არსებითად მიახლოებითია; არცერთი მიღებული მიახლოება არ არის ამოხსნის ზუსტი მნიშვნელობა. თუმცა, კონვერგენციული გამეორების მეთოდი პრინციპში შესაძლებელს ხდის გამოსავლის პოვნას ნებისმიერი მოცემული სიზუსტით, ამიტომ, იტერაციული მეთოდის გამოყენებისას, ყოველთვის მითითებულია საჭირო სიზუსტე და მისი მიღწევისთანავე წყდება განმეორებითი პროცესი.

მიუხედავად იმისა, რომ მეთოდის თანხვედრა, რა თქმა უნდა, მნიშვნელოვანია, არ არის საკმარისი მეთოდის პრაქტიკაში გამოყენების რეკომენდაცია. თუ მეთოდი ძალიან ნელა იყრის თავს (მაგალითად, 1% სიზუსტით ამოხსნის მისაღებად საჭიროა გამეორებების გაკეთება), მაშინ ის შეუფერებელია კომპიუტერული გამოთვლებისთვის. სწრაფად კონვერგენციული მეთოდები, რომლებიც მოიცავს ნიუტონის მეთოდს, პრაქტიკული მნიშვნელობა აქვს (შეგახსენებთ, რომ გაანგარიშების სიზუსტე მიღწეულია მხოლოდ სამ გამეორებაში). დაახლოების სიჩქარისა და განმეორებითი მეთოდების გამოყენების პირობების თეორიული შესასწავლად, მიღებულია ეგრეთ წოდებული აპრიორული შეცდომის შეფასებები, რაც შესაძლებელს ხდის გამოთვლებამდეც კი გამოიტანოს გარკვეული დასკვნა მეთოდის ხარისხის შესახებ.

წარმოვადგინოთ ორი ასეთი აპრიორი შეფასება ნიუტონის მეთოდისთვის. მოდით ვიცოდეთ, რომ მაშინ ყველასთვის და ორი თანმიმდევრული მიახლოების შეცდომები დაკავშირებულია შემდეგი უტოლობით:

აქ არის მნიშვნელობა, რომელიც ახასიათებს მიახლოების შედარებით შეცდომას. ეს უთანასწორობა მიუთითებს მეთოდის ძალიან მაღალ კვადრატულ კონვერგენციის კოეფიციენტზე: ყოველი გამეორებისას „შეცდომა“ კვადრატულია. თუ მას გამოვხატავთ საწყისი მიახლოების შეცდომით, მივიღებთ უტოლობას

საიდანაც არის თავდაპირველი დაახლოების კარგი არჩევანის როლი. რაც უფრო მცირეა მნიშვნელობა, მით უფრო სწრაფად მოხდება მეთოდის დაახლოება.

განმეორებითი მეთოდების პრაქტიკული განხორციელება ყოველთვის ასოცირდება განმეორებითი პროცესის დასრულების კრიტერიუმის შერჩევის აუცილებლობასთან. გამოთვლები არ შეიძლება გაგრძელდეს განუსაზღვრელი ვადით და უნდა შეწყდეს გარკვეული კრიტერიუმის შესაბამისად, რომელიც დაკავშირებულია, მაგალითად, მოცემული სიზუსტის მიღწევასთან. ამ მიზნით აპრიორი შეფასებების გამოყენება ყველაზე ხშირად შეუძლებელი ან არაეფექტური აღმოჩნდება. მიუხედავად იმისა, რომ ხარისხობრივად სწორად აღწერს მეთოდის ქცევას, ასეთი შეფასებები გადაჭარბებულია და იძლევა ძალიან არასანდო რაოდენობრივ ინფორმაციას. ხშირად აპრიორი შეფასებები შეიცავს უცნობებს

რაოდენობები (მაგალითად, შეფასებები (3.14), (3.15) შეიცავს რაოდენობას a), ან გულისხმობს ხსნარის შესახებ დამატებითი ინფორმაციის არსებობას და სერიოზულ გამოყენებას. ყველაზე ხშირად, ასეთი ინფორმაცია არ არის ხელმისაწვდომი და მისი შეძენა დაკავშირებულია დამატებითი პრობლემების გადაჭრის აუცილებლობასთან, ხშირად უფრო რთული ვიდრე ორიგინალური.

მოცემული სიზუსტის მიღწევისას შეწყვეტის კრიტერიუმის ფორმირებისთვის, როგორც წესი, გამოიყენება ეგრეთ წოდებული შეცდომის შეფასებები - უტოლობები, რომლებშიც შეცდომის სიდიდე ფასდება ცნობილი მნიშვნელობებით ან გამოთვლითი პროცესის დროს მიღებული მნიშვნელობებით. მიუხედავად იმისა, რომ ასეთი შეფასებები არ შეიძლება გამოყენებულ იქნას გამოთვლების დაწყებამდე, ისინი უზრუნველყოფენ გაურკვევლობის კონკრეტულ რაოდენობრივ განსაზღვრას გაანგარიშების პროცესში.

მაგალითად, ნიუტონის მეთოდისთვის (3.13) მოქმედებს შემდეგი შეფასება:

ულამმა შემთხვევითი რიცხვები გამოიყენა ბირთვულ რეაქტორში ნეიტრონების ქცევის კომპიუტერული სიმულაციისთვის. ეს მეთოდები შეიძლება იყოს შეუცვლელი დიდი სისტემების მოდელირებისას, მაგრამ მათი დეტალური პრეზენტაცია გულისხმობს ალბათობის თეორიის აპარატის და მათემატიკური სტატისტიკის მნიშვნელოვან გამოყენებას და სცილდება ამ წიგნის ფარგლებს.

სახელმძღვანელო პირველი კურსის სტუდენტებისთვის

ბაზი ალექსანდრე ანატოლიევიჩი

ოდესა 2008 წ

ლიტერატურა

1 ჰემინგი რ.ვ. რიცხვითი მეთოდები მეცნიერებისა და ინჟინრებისთვის. – მ.: ნაუკა, 1968. – 400გვ.

2 ბლაჟკო ს.ნ. სფერული ასტრონომიის კურსი. – მოსკოვი, ლენინგრადი, OGIZ, 1948. – 416გვ.

3 შჩიგოლევი ბ.მ. დაკვირვების მათემატიკური დამუშავება. – მ.: ნაუკა, 1969. – 344გვ.

4 Krylov V.I., Bobkov V.V., Monastyrny P.I. გამოთვლითი მეთოდები. – მ.: ნაუკა, 1977. ტომი I, ტომი II – 400გვ.

5 Hudson D. სტატისტიკა ფიზიკოსებისთვის. – მ.: მირი, 1967. – 244გვ.

6.ბერმანი გ.ნ. ბუღალტრული აღრიცხვის ტექნიკა. – მოსკოვი, 1953. – 88გვ.

7.რუმშინსკი ლ.ზ. ექსპერიმენტული შედეგების მათემატიკური დამუშავება. – მოსკოვი, ნაუკა 1971. – 192გვ.

8. კალიტკინი ნ.ნ. რიცხვითი მეთოდები. – მოსკოვი, ნაუკა 1978. – 512გვ.

9. ფილჩაკოვი პ.ფ. გამოყენებითი მათემატიკის რიცხვითი და გრაფიკული მეთოდები. – კიევი, „ნაუკოვა დუმკა“, 1970. – 800გვ.

10. ფიხტენგოლცი გ.მ. დიფერენციალური და ინტეგრალური გამოთვლების კურსი, ტ.1-3. – მოსკოვი, ნაუკა 1966 წ.

სავარაუდო გამოთვლები 2

შეთქმულების შესახებ

დამარბილებელი 10

დაახლოება 12

გასწორება (ხაზოვანი) 13

მინიმალური კვადრატის მეთოდი 15

ინტერპოლაცია 24

ლაგრანგის ინტერპოლაციის პოლინომი 26

ლაგრანგის ფორმულის ნარჩენი ვადა 29

ნიუტონის ინტერპოლაციის პოლინომი ცხრილისთვის ცვლადი საფეხურით 30

ინტერპოლაცია ცხრილიდან მუდმივი ნაბიჯით 34

სტერლინგის, ბესელის, ნიუტონის ინტერპოლაციის პოლინომები 37

ინტერპოლაცია ორი არგუმენტის ფუნქციის ცხრილიდან 42

დიფერენცირება ცხრილის მიხედვით 44

განტოლებათა რიცხვითი ამოხსნა 46

დიქოტომია (ბისექციის მეთოდი) 46

მარტივი გამეორების მეთოდი 47

ნიუტონის მეთოდი 50

ერთი ცვლადის ფუნქციის მინიმუმის პოვნა 51

ოქროს თანაფარდობის მეთოდი 51

პარაბოლას მეთოდი 54

განსაზღვრული ინტეგრალის გამოთვლა 56

ტრაპეციის ფორმულა 59

საშუალოების ფორმულა ან მართკუთხედების ფორმულა 61

სიმფსონის ფორმულა 62

ჩვეულებრივი დიფერენციალური განტოლებების ამოხსნა. კუშის პრობლემა 64

კლასიკური ეილერის მეთოდი 66

ეილერის დახვეწილი მეთოდი 67

პროგნოზირებისა და კორექტირების მეთოდი 69

რუნგ-კუტას მეთოდები 71

ჰარმონიული ანალიზი 74

ორთოგონალური ფუნქციური სისტემები 78

მეთოდი 12 ორდინატები 79

მიახლოებითი გამოთვლები

მოდით გადავჭრათ მარტივი პრობლემა. ვთქვათ, სტუდენტი ცხოვრობს სადგურიდან 1247 მ მანძილზე. მატარებელი გადის 17:38 საათზე. მატარებლის გამგზავრებამდე რამდენი ხნით ადრე უნდა დატოვოს მოსწავლემ სახლიდან, თუ მისი საშუალო სიჩქარეა 6 კმ/სთ?

ჩვენ დაუყოვნებლივ ვიღებთ გამოსავალს:

.

თუმცა, ნაკლებად სავარაუდოა, რომ ვინმემ გამოიყენოს ეს მათემატიკურად ზუსტი გამოსავალი და აი რატომ. გამოთვლები ჩატარდა აბსოლუტურად ზუსტად, მაგრამ იყო თუ არა ზუსტად გაზომილი მანძილი სადგურამდე? შესაძლებელია თუ არა ფეხით მოსიარულეთა ბილიკის გაზომვა შეცდომის გარეშე? შეუძლია თუ არა ფეხით მოსიარულეს სიარული მკაცრად განსაზღვრული ხაზის გასწვრივ ხალხით სავსე ქალაქში და ყველა მიმართულებით მოძრავი მანქანებით? და სიჩქარე 6 კმ/სთ - არის თუ არა ის აბსოლუტურად ზუსტად განსაზღვრული? Და ასე შემდეგ.

გასაგებია, რომ ამ შემთხვევაში ყველა უპირატესობას მიანიჭებს არა „მათემატიკურად ზუსტს“, არამედ ამ პრობლემის „პრაქტიკულ“ გადაწყვეტას, ანუ შეაფასებენ, რომ გასეირნება 12-15 წუთი დასჭირდება და კიდევ რამდენიმე დაამატებენ. წუთი დარწმუნებული უნდა იყოს.

მაშ, რატომ უნდა გამოვთვალოთ წამები და მათი წილადები და ვცდილობთ სიზუსტის ისეთ ხარისხს, რომლის გამოყენებაც პრაქტიკაში შეუძლებელია?

მათემატიკა ზუსტი მეცნიერებაა, მაგრამ თავად „სიზუსტის“ ცნება დაზუსტებას მოითხოვს. ამისათვის ჩვენ უნდა დავიწყოთ რიცხვის კონცეფციით, ვინაიდან რიცხვების სიზუსტე და საწყისი მონაცემების სანდოობა დიდწილად განსაზღვრავს გაანგარიშების შედეგების სიზუსტეს.

რიცხვების მიღების სამი წყარო არსებობს: დათვლა, გაზომვა და სხვადასხვა მათემატიკური მოქმედებების შესრულება.

თუ დასათვლელი ნივთების რაოდენობა მცირეა და დროთა განმავლობაში მუდმივია, მაშინ მივიღებთ აბსოლუტურად ზუსტიშედეგები. მაგალითად, ხელზე არის 5 თითი, ხოლო ყუთში არის 300 საკისარი. სხვა სიტუაციაა, როცა ამბობენ: ოდესაში 1979 წელს 1 000 000 მოსახლე იყო. ადამიანები ხომ იბადებიან და კვდებიან, მოდიან და მიდიან; მათი რაოდენობა მუდმივად იცვლება, თუნდაც იმ პერიოდის განმავლობაში, რომლის განმავლობაშიც დათვლა სრულდება. სინამდვილეში, ჩვენ ვგულისხმობთ, რომ იყო დაახლოებით 1,000,000 მოსახლე, შესაძლოა 999,125, ან 1,001,263, ან სხვა რიცხვი, რომელიც უახლოვდება 1,000,000 ამ შემთხვევაში, 1,000,000 იძლევა მიახლოებითიქალაქის მცხოვრებთა რაოდენობა.

ნებისმიერი გაზომვა შეუძლებელია აბსოლუტურად ზუსტად შესრულდეს. თითოეული მოწყობილობა იძლევა რაიმე სახის შეცდომას. გარდა ამისა, ორი დამკვირვებელი, რომელიც გაზომავს ერთსა და იმავე რაოდენობას ერთიდაიგივე ინსტრუმენტით, ჩვეულებრივ, შედეგების სრულ შეთანხმებას იღებს.

ასეთ მარტივ საზომ მოწყობილობასაც კი, როგორც სახაზავს, აქვს "მოწყობილობის შეცდომა" - სახაზავის კიდეები და სიბრტყეები გარკვეულწილად განსხვავდება იდეალური სწორი ხაზებისა და სიბრტყეებისგან, სახაზავზე დარტყმები არ შეიძლება გამოყენებულ იქნას აბსოლუტურად თანაბარ მანძილზე და თავად შტრიხები. აქვს გარკვეული სისქე; ასე რომ, გაზომვისას ჩვენ ვერ მივიღებთ უფრო ზუსტ შედეგებს, ვიდრე დარტყმების სისქე.

თუ თქვენ გაზომეთ მაგიდის სიგრძე და მიიღეთ მნიშვნელობა 1360.5 მმ, ეს საერთოდ არ ნიშნავს, რომ მაგიდის სიგრძე არის ზუსტად 1360.5 მმ - თუ ეს ცხრილი ზომავს მეორეს ან გაიმეორებთ გაზომვას, მაშინ შეგიძლიათ მიიღოთ ღირებულება ორივე 1360.4 მმ და 1360.6 მმ. რიცხვი 1360.5 მმ გამოხატავს მაგიდის სიგრძეს დაახლოებით.

ყველა მათემატიკური ოპერაცია არ შეიძლება შესრულდეს შეცდომების გარეშე. ყოველთვის არ არის შესაძლებელი ფესვის ამოღება, სინუსის ან ლოგარითმის პოვნა ან თუნდაც გაყოფა აბსოლუტური სიზუსტით.

გამონაკლისის გარეშე, ყველა გაზომვა იწვევს გაზომილი რაოდენობების სავარაუდო მნიშვნელობებს.. ზოგიერთ შემთხვევაში, გაზომვები ტარდება უხეშად, შემდეგ დიდი შეცდომები მიიღება ფრთხილად გაზომვებით, შეცდომები უფრო მცირეა. გაზომვების აბსოლუტური სიზუსტე არასოდეს მიიღწევა.

ახლა განვიხილოთ კითხვის მეორე მხარე. აუცილებელია თუ არა პრაქტიკაში აბსოლუტური სიზუსტე და რა მნიშვნელობა აქვს მიახლოებით შედეგს?

ელექტროგადამცემი ხაზის ან გაზსადენის გაანგარიშებისას არავინ განსაზღვრავს საყრდენებს შორის მანძილს მილიმეტრის სიზუსტით ან მილის დიამეტრს მიკრონის სიზუსტით. ტექნოლოგიასა და მშენებლობაში, თითოეული ნაწილის ან სტრუქტურის დამზადება შესაძლებელია მხოლოდ გარკვეული სიზუსტით, რაც განისაზღვრება ე.წ. ეს ტოლერანტობა მერყეობს მიკრონის ნაწილებიდან მილიმეტრამდე და სანტიმეტრამდე, რაც დამოკიდებულია ნაწილის ან სტრუქტურის მასალაზე, ზომასა და დანიშნულებაზე. ამიტომ, ნაწილის ზომების დასადგენად, აზრი არ აქვს გამოთვლების ჩატარებას იმაზე მეტი სიზუსტით, ვიდრე საჭიროა.

1) გამოთვლების საწყის მონაცემებს, როგორც წესი, აქვს შეცდომები, ანუ ისინი სავარაუდოა;

2) ეს შეცდომები, ხშირად გაზრდილი, შედის გაანგარიშების შედეგებში. მაგრამ პრაქტიკა არ საჭიროებს ზუსტ მონაცემებს, მაგრამ კმაყოფილია შედეგებით გარკვეული მისაღები შეცდომებით, რომელთა სიდიდე წინასწარ უნდა იყოს განსაზღვრული.

3) შედეგის აუცილებელი სიზუსტის უზრუნველყოფა შესაძლებელია მხოლოდ მაშინ, როდესაც წყაროს მონაცემები საკმარისად ზუსტია და როდესაც მხედველობაში მიიღება თავად გამოთვლებით შემოტანილი ყველა შეცდომა.

4) გამოთვლები სავარაუდო რიცხვებით უნდა შესრულდეს დაახლოებით, პრობლემის გადაჭრისას შრომისა და დროის მინიმალური ხარჯის მიღწევა.

როგორც წესი, ტექნიკური გათვლებით, დასაშვები შეცდომები მერყეობს 0.1-დან 5% -მდე, მაგრამ სამეცნიერო საკითხებში ისინი შეიძლება შემცირდეს პროცენტის მეათასედამდე. მაგალითად, მთვარის პირველი ხელოვნური თანამგზავრის გაშვებისას (1966 წლის 31 მარტი), გაშვების სიჩქარე დაახლოებით 11200 მ/წმ უნდა ყოფილიყო უზრუნველყოფილი რამდენიმე სანტიმეტრი წამში სიზუსტით, რათა თანამგზავრი შემოსულიყო მთვარის ზონაში. ვიდრე ცირკულარული ორბიტა.

გარდა ამისა, გაითვალისწინეთ, რომ არითმეტიკის წესები მიღებულია იმ ვარაუდით, რომ ყველა რიცხვი ზუსტია. მაშასადამე, თუ მიახლოებითი რიცხვებით გამოთვლები შესრულებულია ისევე, როგორც ზუსტი, მაშინ იქმნება სიზუსტის საშიში და მავნე შთაბეჭდილება იქ, სადაც სინამდვილეში არ არსებობს. ჭეშმარიტი მეცნიერული და, კერძოდ, მათემატიკური სიზუსტე მდგომარეობს ზუსტად იმაში, რომ მიუთითოს თითქმის ყოველთვის გარდაუვალი შეცდომების არსებობა და მათი საზღვრების განსაზღვრა.

მეორე და მესამე რიგის დეტერმინანტების ცნებებიდან გამომდინარე, ჩვენ შეგვიძლია ანალოგიურად შემოვიტანოთ რიგის განმსაზღვრელი ცნება. ნ. მესამეზე მაღალი რიგის დეტერმინანტები გამოითვლება, როგორც წესი, 1.3 პუნქტში ჩამოყალიბებული დეტერმინანტების თვისებების გამოყენებით, რომლებიც მოქმედებს ნებისმიერი რიგის განმსაზღვრელებისთვის.

9 0 დეტერმინანტების თვისების გამოყენებით, ჩვენ წარმოგიდგენთ მე-4 რიგის განმსაზღვრელი განმარტებას:

მაგალითი 2.გამოთვალეთ შესაფერისი გაფართოების გამოყენებით.

ანალოგიურად შემოტანილია მე-5-ის, მე-6-ის და ა.შ. განმსაზღვრელი ცნება. შეკვეთა. ასე რომ n რიგის განმსაზღვრელი:

.

მე-2 და მე-3 რიგის განმსაზღვრელთა ყველა თვისება, რომელიც ადრე განვიხილეთ, ასევე მოქმედებს n-ე რიგის დეტერმინანტებზე.

განვიხილოთ დეტერმინანტების გამოთვლის ძირითადი მეთოდები ნ-მეორე შეკვეთა.

კომენტარი:ამ მეთოდის გამოყენებამდე სასარგებლოა დეტერმინანტების ძირითადი თვისებების გამოყენებით ნულზე გადაქცევა გარკვეული მწკრივის ან სვეტის ყველა ელემენტის გარდა ერთისა. (შეკვეთის შემცირების ეფექტური მეთოდი)

სამკუთხა ფორმამდე შემცირების მეთოდი შედგება დეტერმინანტის ისეთ ტრანსფორმაციაში, როდესაც მისი ყველა ელემენტი, რომელიც მდებარეობს მთავარი დიაგონალის ერთ მხარეს, ხდება ნულის ტოლი. ამ შემთხვევაში, განმსაზღვრელი უდრის მისი მთავარი დიაგონალის ელემენტების ნამრავლს.

მაგალითი 3.გამოთვალეთ სამკუთხა ფორმამდე შემცირებით.

მაგალითი 4.გამოთვალეთ შეკვეთის შემცირების ეფექტური მეთოდის გამოყენებით

.

ამოხსნა: 4 0 განმსაზღვრელი თვისების მიხედვით პირველი მწკრივიდან ამოვიღებთ 10 კოეფიციენტს, შემდეგ კი მეორე მწკრივს თანმიმდევრულად გავამრავლებთ 2-ზე, 2-ზე, 1-ზე და დავამატებთ პირველს, მესამეს და მეოთხეს. რიგები, შესაბამისად (საკუთრება 8 0).

.

შედეგად მიღებული განმსაზღვრელი შეიძლება გაფართოვდეს პირველი სვეტის ელემენტებად. ის დაიყვანება მესამე რიგის დეტერმინანტამდე, რომელიც გამოითვლება სარრუსის (სამკუთხედის) წესით.

მაგალითი 5.გამოთვალეთ განმსაზღვრელი სამკუთხა ფორმამდე გადაყვანით.

.

მაგალითი 3.გამოთვალეთ განმეორებითი ურთიერთობების გამოყენებით.

.

.

ლექცია 4. ინვერსიული მატრიცა. მატრიცის რანგი.

1. ინვერსიული მატრიცის ცნება

განმარტება 1. მოედანი n რიგის A მატრიცა ეწოდება არადეგენერატი,თუ მისი განმსაზღვრელი | ა| ≠ 0. იმ შემთხვევაში, როცა | ა| = 0, მატრიცა A ეწოდება დეგენერატი.

მხოლოდ კვადრატული არაერთგულარული მატრიცებისთვის A არის შემოტანილი შებრუნებული მატრიცის A -1 კონცეფცია.

განმარტება 2 . მატრიცა A -1 ეწოდება საპირისპიროკვადრატული არაერთმნიშვნელოვანი A მატრიცისთვის, თუ A -1 A = AA -1 = E, სადაც E არის რიგის ერთეული მატრიცა ნ.

განმარტება 3 . მატრიცა დაურეკა ანექსირებულიმისი ელემენტები არის ალგებრული დანამატები ტრანსპონირებული მატრიცა
.

ინვერსიული მატრიცის გამოთვლის ალგორითმი მიმდებარე მატრიცის მეთოდის გამოყენებით.

, სად
.

ჩვენ ვამოწმებთ გაანგარიშების სისწორეს A -1 A = AA -1 = E. (E არის იდენტურობის მატრიცა)

მატრიცები A და A -1 ორმხრივი. თუ | ა| = 0, მაშინ ინვერსიული მატრიცა არ არსებობს.

მაგალითი 1.მატრიცა A არის მოცემული, დარწმუნდით, რომ ის არაერთგვაროვანია და იპოვეთ შებრუნებული მატრიცა
.

გამოსავალი:
. ამიტომ მატრიცა არ არის სინგულარული.

ვიპოვოთ შებრუნებული მატრიცა. შევადგინოთ A მატრიცის ელემენტების ალგებრული დანამატები.

ვიღებთ

.

პრობლემაში როგორც საწყისი მონაცემების, ასევე მისი გადაწყვეტის პრეზენტაცია - როგორც რიცხვი ან რიცხვების ნაკრები

ეს მნიშვნელოვანი კომპონენტია ტექნიკური სპეციალობების ინჟინრების მომზადების სისტემაში.

გამოთვლითი მეთოდების საფუძველია:

• წრფივი განტოლებათა სისტემების ამოხსნა
• ინტერპოლაცია და ფუნქციის სავარაუდო გამოთვლა
• ჩვეულებრივი დიფერენციალური განტოლებების რიცხვითი ამოხსნა
• ნაწილობრივი დიფერენციალური განტოლებების რიცხვითი ამოხსნა (მათემატიკური ფიზიკის განტოლებები)
• ოპტიმიზაციის პრობლემების გადაჭრა

იხილეთ ასევე

შენიშვნები

ლიტერატურა

• Kalitkin N. N. რიცხვითი მეთოდები. მ., ნაუკა, 1978 წ
• ამოსოვი A.A., Dubinsky Yu A., Kopchenova N.V. "გამოთვლითი მეთოდები ინჟინრებისთვის", 1994 წ
• Fletcher K, Computational Methods in Fluid Dynamics, ed. მსოფლიო, 1991, 504 გვ.
• ე. ალექსეევი „გამოთვლითი მათემატიკის ამოცანების ამოხსნა Mathcad 12, MATLAB 7, Maple 9“ პაკეტებში, 2006 წ., 496 გვერდი.
• ტიხონოვი ა.ნ., გონჩარსკი ა.ვ., სტეპანოვი ვ.ვ., იაგოლა ა.გ. "არასწორად დასმული პრობლემების გადაჭრის რიცხვითი მეთოდები" (1990)
• ბაკუშინსკი A.B., Goncharsky A. V. ცუდად დასმული პრობლემები. რიცხვითი მეთოდები და აპლიკაციები, რედ. მოსკოვის უნივერსიტეტის გამომცემლობა, 1989 წ
• ნ.ნ.კალიტკინი, ა.ბ.ალშინი, ე.ა.ალშინა, ვ.ბ.როგოვი. გამოთვლები კვაზიერთგვაროვან ბადეებზე. Moscow, Nauka, Fizmatlit, 2005, 224 pp.
• რიჟიკოვი "გამოთვლითი მეთოდები" რედ. BHV, 2007, 400 გვ., ISBN 978-5-9775-0137-8
• Computational Methods in Applied Mathematics, International Journal, ISSN 1609-4840

ბმულები

• სამეცნიერო ჟურნალი „გამოთვლითი მეთოდები და პროგრამირება. ახალი გამოთვლითი ტექნოლოგიები"

ფონდი ვიკიმედია. 2010 წელი.

• გამოთვლითი მათემატიკა და მათემატიკური ფიზიკა
• გამოთვლითი მილსადენი

იხილეთ რა არის „გამოთვლითი მეთოდები“ სხვა ლექსიკონებში:

ელექტროანალიტიკური ქიმიის მეთოდები- სარჩევი 1 ელექტროანალიტიკური ქიმიის მეთოდები 2 შესავალი 3 თეორიული ნაწილი ... ვიკიპედია

ციფრული სიგნალის კოდირების მეთოდები- ამ სტატიას აკლია ინფორმაციის წყაროების ბმულები. ინფორმაცია უნდა იყოს გადამოწმებადი, წინააღმდეგ შემთხვევაში შეიძლება დაკითხული იყოს და წაიშალოს. შეგიძლიათ... ვიკიპედია

გაზის დინამიკა რიცხვითი მეთოდები- გაზის დინამიკის ამოცანების გადაჭრის მეთოდები გამოთვლითი ალგორითმების საფუძველზე. განვიხილოთ გაზის დინამიკის ამოცანების ამოხსნის რიცხვითი მეთოდების თეორიის ძირითადი ასპექტები, აირის დინამიკის განტოლებების ჩაწერა კონსერვაციის კანონების სახით ინერციაში... ... მათემატიკური ენციკლოპედია

დიფუზიის მეთოდები- კინეტიკის ამოხსნის მეთოდები. ნეიტრონის (ან სხვა ნაწილაკების) სატრანსპორტო განტოლებები, რომლებიც ცვლის დიფუზიის მიახლოების განტოლებებს. ვინაიდან დიფუზიური მიახლოება იძლევა ასიმპტოტური განტოლების სწორ ფორმას. სატრანსპორტო განტოლების ამოხსნა (წყაროებისგან შორს და... ... მათემატიკური ენციკლოპედია

GULISH ფუნქციების მინიმიზაციის მეთოდები- რიცხვითი მეთოდები მრავალი ცვლადის ფუნქციების მინიმუმის მოსაძებნად. მიეცეს ფუნქცია, ქვემოდან შემოსაზღვრული, ორჯერ განუწყვეტლივ დიფერენცირებადი მისი არგუმენტების მიმართ, რომლისთვისაც ცნობილია, რომ გარკვეული ვექტორისთვის (ტრანსპოზის ნიშანი) სჭირდება... ... მათემატიკური ენციკლოპედია

GOST R 53622-2009: საინფორმაციო ტექნოლოგიები. საინფორმაციო და გამოთვლითი სისტემები. სასიცოცხლო ციკლის ეტაპები და ეტაპები, დოკუმენტების ტიპები და სისრულე- ტერმინოლოგია GOST R 53622 2009: საინფორმაციო ტექნოლოგიები. საინფორმაციო და გამოთვლითი სისტემები. სასიცოცხლო ციკლის ეტაპები და ეტაპები, დოკუმენტების ტიპები და სისრულე ორიგინალური დოკუმენტი: 3.1 აპარატურის პროგრამული პლატფორმა: ინსტრუმენტების ერთიანი ნაკრები... ...

აპლიკაციური გამოთვლითი სისტემები- აპლიკაციური გამოთვლითი სისტემები, ან ABC, მოიცავს ობიექტების გამოთვლის სისტემებს, რომლებიც დაფუძნებულია კომბინატორულ ლოგიკასა და ლამბდა კალკულუსზე. ერთადერთი, რაც მნიშვნელოვნად არის განვითარებული ამ სისტემებში, არის ობიექტის იდეა. ... ... ვიკიპედიაში

GOST 24402-88: ტელეპროცესი და კომპიუტერული ქსელები. ტერმინები და განმარტებები- ტერმინოლოგია GOST 24402 88: ტელეპროცესირება და კომპიუტერული ქსელები. ტერმინები და განმარტებები ორიგინალური დოკუმენტი: სისტემების და ქსელების ტიპები 90. აბონენტთა მონაცემთა დამუშავების სისტემა სააბონენტო სისტემა სააბონენტო სისტემა მონაცემთა დამუშავების სისტემა,… … ნორმატიული და ტექნიკური დოკუმენტაციის ტერმინთა ლექსიკონი-საცნობარო წიგნი

ST SEV 4291-83: გამოთვლითი მანქანები და მონაცემთა დამუშავების სისტემები. მაგნიტური დისკების პაკეტები 100 და 200 მბ ტევადობით. ტექნიკური მოთხოვნები და ტესტის მეთოდები- ტერმინოლოგია ST SEV 4291 83: გამოთვლითი მანქანები და მონაცემთა დამუშავების სისტემები. მაგნიტური დისკების პაკეტები 100 და 200 მბ ტევადობით. ტექნიკური მოთხოვნები და ტესტის მეთოდები: 8. სიგნალის ამპლიტუდა VTAA საინფორმაციო ზედაპირიდან საშუალოდ მთელს ... ნორმატიული და ტექნიკური დოკუმენტაციის ტერმინთა ლექსიკონი-საცნობარო წიგნი

გეოფიზიკური კვლევის მეთოდები- დედამიწის ქერქის სტრუქტურის შესწავლა ფიზიკური მეთოდების გამოყენებით მინერალების ძიებისა და გამოკვლევის მიზნით; საძიებო გეოფიზიკა გეოფიზიკის განუყოფელი ნაწილია (იხ. გეოფიზიკა). გ.მ.რ. ფიზიკური ველების შესწავლაზე დაყრდნობით... ... დიდი საბჭოთა ენციკლოპედია

წიგნები

• გამოთვლითი მეთოდები. სახელმძღვანელო, ანდრეი ავენიროვიჩ ამოსოვი, იული ანდრეევიჩ დუბინინსკი, ნატალია ვასილიევნა კოპჩენოვა. წიგნში განხილულია გამოყენებითი და სამეცნიერო-ტექნიკური გამოთვლების პრაქტიკაში ყველაზე ხშირად გამოყენებული გამოთვლითი მეთოდები: წრფივი ალგებრის ამოცანების ამოხსნის მეთოდები, არაწრფივი განტოლებები,...

განმსაზღვრელი

დეტერმინანტის ცნება

n-ე რიგის ნებისმიერი კვადრატული მატრიცა შეიძლება ასოცირებული იყოს გამოძახებულ რიცხვთან განმსაზღვრელი (განმსაზღვრელი) მატრიცა A და აღინიშნება შემდეგნაირად: , ან , ან დეტ ა.

პირველი რიგის მატრიცის განმსაზღვრელი, ან პირველი რიგის განმსაზღვრელი, არის ელემენტი

მეორე რიგის განმსაზღვრელი(მეორე რიგის მატრიცის განმსაზღვრელი) გამოითვლება შემდეგნაირად:

ამრიგად, მეორე რიგის განმსაზღვრელი არის ჯამი 2=2! ტერმინები, რომელთაგან თითოეული არის 2 ფაქტორის პროდუქტი - A მატრიცის ელემენტები, თითო თითოეული მწკრივიდან და თითოეული სვეტიდან. ერთი ტერმინი აღებულია "+" ნიშნით, მეორე კი "-" ნიშნით.

იპოვნეთ განმსაზღვრელი

მესამე რიგის დეტერმინანტი (კვადრატული მატრიცის მესამე რიგის განმსაზღვრელი) მოცემულია:

ამრიგად, მესამე რიგის განმსაზღვრელი არის ჯამი 6=3! ტერმინები, რომელთაგან თითოეული არის 3 ფაქტორის პროდუქტი - A მატრიცის ელემენტები, თითო თითოეული მწკრივიდან და თითოეული სვეტიდან. ტერმინების ერთი ნახევარი აღებულია "+" ნიშნით, მეორე ნახევარი "-" ნიშნით.

მესამე რიგის დეტერმინანტის გამოთვლის ძირითად მეთოდს წარმოადგენს ე.წ სამკუთხედის წესი (სარუსის წესი): ჯამში შეტანილი სამი ტერმინიდან პირველი "+" ნიშნით არის მთავარი დიაგონალის ელემენტების ნამრავლი, მეორე და მესამე არის ორი სამკუთხედის წვეროებზე მდებარე ელემენტების ნამრავლები. ძირითადი დიაგონალის პარალელურად ფუძეები; ჯამში შემავალი სამი ტერმინი „-“ ნიშნით არის განსაზღვრული ანალოგიურად, მაგრამ მეორე (გვერდითი) დიაგონალთან შედარებით. ქვემოთ მოცემულია 2 სქემა მესამე რიგის დეტერმინანტების გამოსათვლელად

ბ)

ბრინჯი. მე-3 რიგის დეტერმინანტების გამოთვლის სქემები

იპოვნეთ განმსაზღვრელი:

n-ე რიგის კვადრატული მატრიცის განმსაზღვრელი (n 4) გამოითვლება დეტერმინანტების თვისებების გამოყენებით.

დეტერმინანტების ძირითადი თვისებები. დეტერმინანტების გამოთვლის მეთოდები

მატრიცის დეტერმინანტებს აქვთ შემდეგი ძირითადი თვისებები:

1. დეტერმინანტი არ იცვლება მატრიცის ტრანსპონირებისას.

2. თუ ორი მწკრივი (ან სვეტი) შეიცვლება განმსაზღვრელში, განმსაზღვრელი შეიცვლის ნიშანს.

3. ორი პროპორციული (კერძოდ, თანაბარი) მწკრივის (სვეტის) მქონე განმსაზღვრელი ნულის ტოლია.

4. თუ მწკრივი (სვეტი) დეტერმინანტში შედგება ნულებისაგან, მაშინ განმსაზღვრელი ნულის ტოლია.

5. ნებისმიერი მწკრივის (ან სვეტის) ელემენტების საერთო კოეფიციენტი შეიძლება ამოღებულ იქნას განმსაზღვრელი ნიშნიდან.

6. განმსაზღვრელი არ შეიცვლება, თუ ერთი მწკრივის (ან სვეტის) ყველა ელემენტს დავუმატებთ მეორე რიგის (ან სვეტის) შესაბამის ელემენტებს, გამრავლებულს იმავე რიცხვზე.

7. დიაგონალური და სამკუთხა (ზედა და ქვედა) მატრიცების განმსაზღვრელი დიაგონალური ელემენტების ნამრავლის ტოლია.

8. კვადრატული მატრიცების ნამრავლის განმსაზღვრელი ტოლია მათი დეტერმინანტების ნამრავლის.