계산 문제의 몇 가지 중요한 특징을 논의한 후, 문제를 컴퓨터에서 구현하기에 편리한 형태로 변환하고 계산 알고리즘을 구성하기 위해 계산 수학에서 사용되는 방법에 주목해 보겠습니다. 우리는 이러한 방법을 전산이라고 부를 것입니다. 어느 정도 관례에 따라 계산 방법은 다음과 같은 클래스로 나눌 수 있습니다. 1) 등가 변환 방법; 2)
근사 방법; 3) 직접적인(정확한) 방법; 4) 반복적인 방법; 5) 통계적 테스트 방법(Monte Carlo 방법). 특정 문제에 대한 해결책을 계산하는 방법은 다소 복잡한 구조를 가질 수 있지만 기본 단계는 일반적으로 지정된 방법을 구현하는 것입니다. 그들에 대한 일반적인 아이디어를 제시해 봅시다.
이러한 방법을 사용하면 원래 문제를 동일한 솔루션이 있는 다른 문제로 바꿀 수 있습니다. 새 문제가 원래 문제보다 간단하거나 더 나은 속성을 가지고 있거나 알려진 해결 방법이 있거나 기성 프로그램이 있는 경우 등가 변환을 수행하는 것이 유용할 수 있습니다.
예제 3.13. 이차 방정식을 등가 변환하여(완전한 제곱 선택) 문제를 제곱근 계산 문제로 줄이고 그 근으로 알려진 공식(3.2)으로 이어집니다.
등가 변환을 사용하면 원래 계산 문제의 해법을 완전히 다른 유형의 계산 문제 해법으로 축소할 수 있는 경우가 있습니다.
예제 3.14. 비선형 방정식의 근을 찾는 문제는 함수의 전역 최소점을 찾는 동등한 문제로 축소될 수 있습니다. 실제로, 이 함수는 음수가 아니며 x에 대해서만 0과 같은 최소값에 도달합니다.
이러한 방법을 사용하면 원래 문제를 다른 문제로 근사화(근사)할 수 있으며, 그 솔루션은 어떤 의미에서 원래 문제의 솔루션에 가깝습니다. 이러한 교체로 인해 발생하는 오류를 근사 오류라고 합니다. 일반적으로 근사 문제에는 근사 오류의 크기를 조정하거나 문제의 다른 속성에 영향을 줄 수 있는 일부 매개변수가 포함되어 있습니다. 방법 매개변수가 특정 제한 값에 가까워지는 경향이 있으므로 근사 오류가 0이 되는 경향이 있으면 근사 방법이 수렴한다고 말하는 것이 관례입니다.
예제 3.15. 적분을 계산하는 가장 간단한 방법 중 하나는 크기가 직사각형인 공식을 기반으로 적분을 근사하는 것입니다.
여기서 단계는 메소드 매개변수입니다. 이는 특수하게 구성된 적분 합이므로 직사각형 방법이 수렴할 때 정적분의 정의에 따라 다음과 같습니다.
예제 3.16. 함수 미분의 정의를 고려하여 대략적인 계산을 위해 다음 공식을 사용할 수 있습니다. 이 수치 미분 공식의 대략적인 오류는 다음과 같은 경우 0이 되는 경향이 있습니다.
일반적인 근사 방법 중 하나는 이산화(discretization)입니다. 즉, 원래 문제를 유한 차원 문제로 대략적으로 대체하는 것입니다. 입력 데이터와 원하는 솔루션이 유한한 숫자 집합으로 고유하게 지정될 수 있는 문제입니다. 유한차원이 아닌 문제의 경우 컴퓨터는 유한한 수의 숫자로만 작동할 수 있으므로 컴퓨터에서 후속 구현을 위해 이 단계가 필요합니다. 위의 실시예 3.15 및 3.16에서는 샘플링이 사용되었습니다. 적분의 정확한 계산에는 무한한 수의 값을 사용하는 것이 포함되지만 (모두에 대해 근사값은 a 지점에서 유한한 수의 값을 사용하여 계산할 수 있습니다) 마찬가지로 미분 계산 문제도 마찬가지입니다. 정확한 솔루션은 한계까지 전달하는 작업을 포함합니다. 따라서 함수의 무한한 수의 값을 사용하면 함수의 두 값에 대한 도함수의 대략적인 계산으로 줄어듭니다.
비선형 문제를 해결할 때 원래 문제를 더 간단한 선형 문제로 대략적으로 대체하는 다양한 선형화 방법이 널리 사용됩니다. 예제 3.17. 간단한 산술 연산을 수행할 수 있는 컴퓨터에서 의 값을 대략적으로 계산해야 합니다. 정의에 따르면 x는 비선형 방정식의 양의 근입니다.
이 접선과 축의 교차점은 더 나은 근사치를 제공하며 이를 풀면 대략적인 공식을 얻습니다.
예를 들어 for를 취하면 정제된 값을 얻게 됩니다.
다양한 종류의 계산 문제를 해결할 때 다양한 근사 방법을 사용할 수 있습니다. 여기에는 잘못된 문제를 해결하기 위한 정규화 방법이 포함됩니다. 정규화 방법은 조건이 나쁜 문제를 해결하는 데 널리 사용됩니다.
유한한 수의 기본 연산을 수행한 후 솔루션을 얻을 수 있는 문제를 직접 해결하는 방법을 직접이라고 합니다.
예제 3.18. 공식을 사용하여 이차 방정식의 근을 계산하는 방법은 직접 방법입니다. 여기서는 네 가지 산술 연산과 제곱근 연산이 기본으로 간주됩니다.
직접법의 기본 연산은 매우 복잡할 수 있습니다(기본 또는 특수 함수의 값 계산, 선형 대수 방정식 시스템 풀기, 정적분 계산 등). 그것이 기본으로 받아들여진다는 사실은 어쨌든 그 구현이 전체 문제에 대한 해결책을 계산하는 것보다 훨씬 간단하다는 것을 의미합니다.
직접 메서드를 구성할 때는 기본 작업 수를 최소화하는 데 상당한 주의를 기울입니다.
예제 3.19(호너 다이어그램) 문제는 다항식의 값을 계산하는 것입니다.
주어진 계수와 인수 x의 값에 따라. 수식(3.12)을 사용하여 직접 다항식을 계산하고 x를 순차적으로 곱하여 구하는 경우 곱셈과 덧셈 연산을 수행해야 합니다.
훨씬 더 경제적인 계산 방법을 Horner 방식이라고 합니다. 이는 다음과 같은 등가 형식으로 다항식을 작성하는 것을 기반으로 합니다.
괄호 배치에 따라 계산 순서는 다음과 같습니다. 여기서 값 계산에는 곱셈과 덧셈 연산만 수행하면 됩니다.
Horner의 방식은 기본 연산의 수 측면에서 최적인 방법의 예를 제공한다는 점에서 흥미롭습니다. 일반적으로 곱셈과 덧셈 연산을 적게 수행한 결과 어떤 방법으로도 값을 얻을 수 없습니다.
때때로 직접적인 방법을 정확하다고 부르는데, 이는 입력 데이터에 오류가 없고 기본 연산이 정확하게 수행되면 결과 결과도 정확하다는 의미입니다. 그러나 컴퓨터에서 방법을 구현할 때 계산 오류가 나타나는 것은 불가피하며 그 크기는 반올림 오류에 대한 방법의 민감도에 따라 달라집니다. 기계 이전 기간에 개발된 많은 직접적인(정확한) 방법은 반올림 오류에 대한 과도한 민감성으로 인해 기계 계산에 적합하지 않은 것으로 나타났습니다. 모든 정확한 방법이 이와 같은 것은 아니지만 "정확한"이라는 용어는 완전히 성공하지 못한 용어가 방법의 이상적인 구현 속성을 특징으로 하지만 실제 계산에서 얻은 결과의 품질을 나타내지는 않는다는 점에 주목할 가치가 있습니다.
이는 문제 해결을 위한 연속적인 근사치를 구성하는 특별한 방법입니다. 이 방법의 적용은 하나 또는 여러 개의 초기 근사값을 선택하는 것으로 시작됩니다. 각각의 후속 근사치를 얻기 위해 이전에 찾은 근사치(반복)를 사용하여 유사한 작업 세트가 수행됩니다. 이 반복 프로세스를 무제한으로 계속하면 이론적으로 솔루션에 대한 무한한 근사 시퀀스를 구성할 수 있습니다.
반복 시퀀스. 이 시퀀스가 문제에 대한 솔루션으로 수렴되면 반복 방법이 수렴된다고 합니다. 방법이 수렴하는 초기 근사값 세트를 방법의 수렴 영역이라고 합니다.
반복 방법은 컴퓨터를 사용하여 다양한 문제를 해결하는 데 널리 사용됩니다.
예제 3.20. 계산을 위해 설계된 잘 알려진 반복 방법을 고려해 보겠습니다(여기서 Newton의 방법. 임의의 초기 근사치를 설정해 보겠습니다. 예제 3.17의 선형화 방법을 사용하여 도출된 공식을 사용하여 다음 근사치를 계산합니다(공식 (3.11) 참조). 이 프로세스를 계속합니다. 또한 반복 공식을 사용하여 다음 근사치가 계산되는 반복 시퀀스를 얻습니다.
이 방법은 초기 근사치에서 수렴하는 것으로 알려져 있으므로 수렴 영역은 모든 양수의 집합입니다.
이를 사용하여 -bit 십진수 컴퓨터에서 값을 계산해 보겠습니다. 설정해 보겠습니다(예제 3.17에서와 같이). 그러면 비트 그리드의 제한된 특성으로 인해 이후의 모든 개선이 동일한 결과를 제공하므로 추가 계산은 의미가 없습니다. 그러나 정확한 값과 비교하면 이미 세 번째 반복에서 6개의 정확한 유효 숫자가 얻어졌음을 알 수 있습니다.
Newton의 방법을 예로 사용하여 반복 방법의 몇 가지 일반적인 문제에 대해 논의합니다(그뿐만 아니라). 반복 방법은 본질적으로 근사치입니다. 결과 근사값 중 어느 것도 해의 정확한 값이 아닙니다. 그러나 수렴 반복 방법을 사용하면 원칙적으로 주어진 정확도로 해를 찾을 수 있습니다. 따라서 반복 방법을 사용할 때는 항상 필요한 정확도가 지정되고 정확도가 달성되는 즉시 반복 프로세스가 중단됩니다.
방법이 수렴된다는 사실은 확실히 중요하지만 실제로 사용하기 위한 방법을 권장하기에는 충분하지 않습니다. 방법이 매우 느리게 수렴하는 경우(예를 들어 1% 정확도의 솔루션을 얻으려면 반복을 수행해야 함) 컴퓨터 계산에 적합하지 않습니다. 뉴턴의 방법을 포함하는 신속하게 수렴하는 방법은 실용적인 가치가 있습니다(단 3번의 반복만으로 계산의 정확성이 달성되었다는 점을 기억하십시오). 반복 방법의 수렴 속도와 적용 조건을 이론적으로 연구하기 위해 소위 선험적 오류 추정이 도출되며, 이를 통해 계산 이전에도 방법의 품질에 대한 결론을 내릴 수 있습니다.
뉴턴의 방법에 대한 두 가지 선험적 추정을 제시해 보겠습니다. 그러면 두 개의 연속적인 근사치의 모든 오류와 오류는 다음 불평등과 관련되어 있음을 알 수 있습니다.
다음은 근사치의 상대 오차를 나타내는 값입니다. 이 부등식은 방법의 매우 높은 2차 수렴률을 나타냅니다. 각 반복에서 "오차"는 제곱됩니다. 초기 근사의 오류를 통해 표현하면 부등식을 얻습니다.
이는 초기 근사값의 좋은 선택의 역할입니다. 값이 작을수록 방법이 더 빨리 수렴됩니다.
반복 방법의 실제 구현은 항상 반복 프로세스를 종료하기 위한 기준을 선택해야 할 필요성과 관련됩니다. 계산은 무한정 계속될 수 없으며 특정 정확도 달성과 관련된 일부 기준에 따라 중단되어야 합니다. 이러한 목적을 위해 선험적 추정을 사용하는 것은 대부분 불가능하거나 효과적이지 않은 것으로 판명됩니다. 방법의 동작을 정성적으로 정확하게 설명하지만 이러한 추정치는 과대평가되어 매우 신뢰할 수 없는 정량적 정보를 제공합니다. 종종 사전 추정치에는 알려지지 않은 내용이 포함되어 있습니다.
수량(예를 들어 추정치 (3.14), (3.15)에는 수량 a가 포함되어 있음) 또는 솔루션에 대한 일부 추가 정보의 존재 및 진지한 사용을 암시합니다. 대부분의 경우 이러한 정보는 사용할 수 없으며 해당 정보 획득은 원본보다 더 복잡한 추가 문제를 해결해야 하는 필요성과 관련됩니다.
주어진 정확도를 달성할 때 종료 기준을 형성하려면 일반적으로 소위 사후 오류 추정이 사용됩니다. 즉, 오류의 크기가 알려진 값 또는 계산 과정에서 얻은 값을 통해 추정되는 불평등입니다. 이러한 추정치는 계산이 시작되기 전에는 사용할 수 없지만 계산 과정에서 불확실성의 구체적인 정량화를 제공합니다.
예를 들어, 뉴턴 방법(3.13)의 경우 다음 사후 추정이 유효합니다.
S. Ulam은 원자로에서 중성자의 거동을 컴퓨터로 시뮬레이션하기 위해 난수를 사용했습니다. 이러한 방법은 대규모 시스템을 모델링할 때 필수 불가결할 수 있지만 자세한 설명에는 확률 이론 및 수학적 통계 장치를 많이 사용하므로 이 책의 범위를 벗어납니다.
1학년 학생을 위한 지침
바제이 알렉산더 아나톨리에비치
오데사 2008
문학
1 헤밍 R.V. 과학자와 엔지니어를 위한 수치적 방법. – M .: Nauka, 1968. – 400p.
2 Blazhko S.N. 구형 천문학 과정. – 모스크바, 레닌그라드, OGIZ, 1948. – 416 p.
3 Shchigolev B.M. 관찰의 수학적 처리. – M .: Nauka, 1969. – 344p.
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10. Fikhtengolts G.M. 미분과 적분의 과정, vol.1-3. – 모스크바, 나우카 1966.
대략적인 계산 2
플로팅 정보
스무딩 10
근사 12
직선화(선형화) 13
최소제곱법 15
보간 24
라그랑주 보간 다항식 26
라그랑주 공식 29의 잔차항
가변 단계가 30인 테이블에 대한 뉴턴의 보간 다항식
34의 일정한 단계를 사용하여 테이블에서 보간
스털링, 베셀, 뉴턴의 보간 다항식 37
두 인수의 함수 테이블에서 보간하기 42
테이블별 차별화 44
방정식의 수치해 46
이분법(이분법) 46
간단한 반복 방법 47
뉴턴의 방법 50
한 변수의 함수의 최소값 찾기 51
황금비율 방법 51
포물선 방법 54
정적분의 계산 56
사다리꼴 공식 59
평균의 공식 또는 직사각형의 공식 61
심슨의 공식 62
상미분 방정식 풀기. 코시 문제 64
고전 오일러법 66
세련된 오일러법 67
예측 및 수정 방법 69
Runge-Kutta 방법 71
고조파 분석 74
직교 함수 시스템 78
방법 12 세로좌표 79
대략적인 계산
간단한 문제를 해결해 보겠습니다. 한 학생이 역에서 1247m 떨어진 곳에 살고 있다고 가정해 보겠습니다. 기차는 17:38에 출발합니다. 학생의 평균 속도가 6km/h라면 기차가 출발하기 얼마 전에 집을 떠나야 합니까?
우리는 즉시 해결책을 얻습니다.
.
그러나 수학적으로 정확한 이 솔루션을 실제로 사용하는 사람은 거의 없으며 그 이유는 다음과 같습니다. 계산은 절대적으로 정확하게 수행되었습니다. 그런데 역까지의 거리는 정확하게 측정되었습니까? 보행자의 경로를 오류 없이 측정하는 것이 가능할까요? 온갖 방향으로 움직이는 사람과 자동차로 가득한 도시에서 보행자가 엄격하게 정의된 선을 따라 걸을 수 있을까요? 그리고 6km/h의 속도는 절대적으로 정확하게 결정됩니까? 등등.
이 경우 모든 사람이 이 문제에 대한 "수학적으로 정확한" 솔루션이 아니라 "실용적인" 솔루션을 선호할 것이라는 점은 매우 분명합니다. 즉, 도보 시간이 12~15분 정도 소요될 것으로 추정하고 몇 가지를 더 추가할 것입니다. 몇 분만 확인하세요.
그렇다면 왜 초와 그 분수를 계산하고 실제로 사용할 수 없는 정도의 정확성을 위해 노력합니까?
수학은 정밀과학이지만 '정밀도'라는 개념 자체에 대한 설명이 필요합니다. 이를 위해서는 계산 결과의 정확성이 숫자의 정확성과 초기 데이터의 신뢰성에 크게 좌우되기 때문에 숫자의 개념부터 시작해야 합니다.
숫자를 얻는 데는 세 가지 소스가 있습니다: 계산, 측정, 다양한 수학 연산 수행
계산할 항목의 수가 적고 시간이 지나도 일정하다면 다음을 얻습니다. 절대적으로 정확하다결과. 예를 들어, 손에는 손가락이 5개 있고, 상자 하나에 베어링이 300개 있습니다. 상황은 다릅니다. 1979년 오데사에는 주민이 1,000,000명 있었습니다. 결국 사람은 태어나고 죽고, 왔다가 갑니다. 숫자는 계산이 완료되는 동안에도 항상 변경됩니다. 그래서 우리가 실제로 의미하는 것은 약 1,000,000명의 주민이 있었다는 것입니다. 어쩌면 999,125명, 1,001,263명 또는 1,000,000명에 가까운 다른 숫자일 수도 있습니다. 이 경우에는 1,000,000명이 제공됩니다. 근사치를 내다도시 거주자 수.
어떤 측정도 절대적으로 정확하게 수행할 수는 없습니다. 각 장치에는 일종의 오류가 발생합니다. 또한 동일한 기기로 동일한 양을 측정하는 두 명의 관찰자가 일반적으로 약간 다른 결과를 얻습니다. 결과가 완전히 일치하는 것은 드문 예외입니다.
눈금자와 같은 간단한 측정 장치에도 "장치 오류"가 있습니다. 눈금자의 가장자리와 평면은 이상적인 직선 및 평면과 다소 다르며 눈금자의 획은 절대적으로 동일한 거리에 적용될 수 없으며 획 자체는 일정한 두께를 가지고; 그래서 측정할 때 스트로크의 두께보다 더 정확한 결과를 얻을 수 없습니다.
테이블의 길이를 측정하고 1360.5mm의 값을 받았다고 해서 테이블의 길이가 정확히 1360.5mm라는 의미는 아닙니다. 이 테이블이 다른 테이블을 측정하거나 측정을 반복하면 다음을 얻을 수 있습니다. 1360.4mm와 1360.6mm의 값입니다. 1360.5mm라는 숫자는 테이블의 길이를 나타냅니다. 약.
모든 수학 연산이 오류 없이 수행될 수 있는 것은 아닙니다. 근을 추출하고, 사인이나 로그를 구하고, 절대 정밀도로 나누는 것조차 항상 가능한 것은 아닙니다.
예외 없이 모든 측정은 측정량의 대략적인 값으로 이어집니다.. 어떤 경우에는 대략적으로 측정한 다음 신중하게 측정하면 큰 오류가 발생하고 오류는 더 작아집니다. 측정의 절대적인 정확도는 결코 달성되지 않습니다.
이제 질문의 두 번째 측면을 고려해 보겠습니다. 실제로 절대적인 정확성이 필요하며 대략적인 결과는 어떤 값입니까?
전력선이나 가스 파이프라인을 계산할 때 지지대 사이의 거리를 밀리미터 정확도로 결정하거나 파이프 직경을 미크론 정확도로 결정하는 사람은 아무도 없습니다. 기술과 구조에서 각 부품이나 구조는 소위 공차에 의해 결정되는 특정 정확도 내에서만 제조될 수 있습니다. 이러한 공차는 부품이나 구조의 재질, 크기, 목적에 따라 미크론 단위부터 밀리미터, 센티미터까지 다양합니다. 따라서 부품의 치수를 결정하기 위해 필요한 것보다 더 높은 정확도로 계산을 수행하는 것은 의미가 없습니다.
1) 계산을 위한 초기 데이터에는 일반적으로 오류가 있습니다. 즉, 대략적인 것입니다.
2) 종종 증가하는 이러한 오류는 계산 결과에 반영됩니다. 그러나 실습에는 정확한 데이터가 필요하지 않지만 허용 가능한 오류가 있는 결과에 만족하며 그 크기는 미리 결정되어야 합니다.
3) 소스 데이터가 충분히 정확하고 계산 자체에서 발생하는 모든 오류가 고려되는 경우에만 결과의 필요한 정확성을 보장할 수 있습니다.
4) 문제 해결 시 최소한의 노동력과 시간 지출을 달성하기 위해 대략적인 숫자를 사용한 계산을 대략적으로 수행해야 합니다.
일반적으로 기술 계산에서 허용되는 오류는 0.1~5%이지만 과학적인 문제에서는 1000분의 1%까지 줄일 수 있습니다. 예를 들어, 달의 첫 번째 인공위성을 발사할 때(1966년 3월 31일), 위성이 달 주위에 진입하기 위해서는 초당 약 11,200m의 발사 속도가 초당 수cm의 정확도를 확보해야 했다. 태양주위 궤도보다.
또한 산술 규칙은 모든 숫자가 정확하다는 가정하에 도출된다는 점에 유의하십시오. 따라서 대략적인 숫자를 사용한 계산이 정확한 숫자와 마찬가지로 수행되면 실제로는 정확도가 없는 위험하고 유해한 정확도의 인상이 생성됩니다. 진정한 과학적, 특히 수학적 정확성은 거의 항상 불가피한 오류의 존재를 지적하고 그 한계를 결정하는 데 있습니다.
2차 및 3차 행렬식의 개념을 바탕으로 유사하게 순서 행렬식의 개념을 소개할 수 있습니다. N. 세 번째보다 높은 차수의 행렬식은 원칙적으로 모든 차수의 행렬식에 유효한 단락 1.3.에 공식화된 행렬식의 속성을 사용하여 계산됩니다.
행렬식 번호 9 0의 속성을 사용하여 4차 행렬식의 정의를 소개합니다.
예시 2.적절한 확장을 사용하여 계산합니다.
마찬가지로, 5차, 6차 등의 행렬식 개념이 도입됩니다. 주문하다. 따라서 차수 n의 행렬식은 다음과 같습니다.
.
앞에서 설명한 2차 및 3차 행렬식의 모든 속성은 n차 행렬식에도 유효합니다.
행렬식을 계산하는 주요 방법을 고려해 봅시다 N-번째 주문.
논평:이 방법을 적용하기 전에 행렬식의 기본 속성을 사용하여 특정 행이나 열의 요소 중 하나를 제외한 모든 요소를 0으로 바꾸는 것이 유용합니다. (효율적인 주문 감소 방법)
삼각형 형태로 축소하는 방법 주대각선의 한쪽에 있는 모든 요소가 0이 될 때 행렬식의 변환으로 구성됩니다. 이 경우 행렬식은 주대각선 요소의 곱과 같습니다.
예시 3.삼각형 형태로 축소하여 계산합니다.
예시 4.효과적인 주문 감소 방법을 사용하여 계산
.
해결책: 4 0 행렬식의 속성에 따라 첫 번째 행에서 인수 10을 꺼낸 다음 두 번째 행에 순차적으로 2, 2, 1을 곱하고 첫 번째, 세 번째, 네 번째 행에 추가합니다. 행(속성 8 0).
.
결과 행렬식은 첫 번째 열의 요소로 확장될 수 있습니다. Sarrus(삼각형) 규칙을 사용하여 계산되는 3차 행렬식으로 축소됩니다.
실시예 5.행렬식을 삼각형 형태로 줄여 계산합니다.
.
예시 3.반복 관계를 사용하여 계산합니다.
.
.
강의 4. 역행렬. 매트릭스 순위.
정의 1. 정사각형 n차 행렬 A를 호출합니다. 비퇴화,행렬식인 경우 | ㅏ| ≠ 0. 다음의 경우 | ㅏ| = 0이면 행렬 A가 호출됩니다. 퇴화하다.
정사각 비특이 행렬 A에 대해서만 역행렬 A -1의 개념이 도입됩니다.
정의 2 . 행렬 A -1이 호출됩니다. 뒤집다정사각 비특이 행렬 A에 대해 A -1 A = AA -1 = E인 경우, 여기서 E는 차수의 단위 행렬입니다. N.
정의 3
.
행렬 
~라고 불리는 부속된그 요소는 대수적 보완입니다 
전치 행렬 
.
, 어디 
.
계산 A -1 A = AA -1 = E의 정확성을 확인합니다. (E는 단위 행렬입니다)
행렬 A와 A -1 역수. 만약에 | ㅏ| = 0이면 역행렬이 존재하지 않습니다.
예시 1.행렬 A가 비특이행렬인지 확인하고 역행렬을 구합니다. 
.
해결책: 
. 따라서 행렬은 비특이 행렬입니다.
역행렬을 찾아보자. 행렬 A의 요소에 대한 대수적 보수를 구성해 보겠습니다.
우리는 얻는다 
.
문제의 초기 데이터와 해결 방법 모두 제시 - 숫자 또는 숫자 집합으로
이는 기술 전문 엔지니어 교육 시스템의 중요한 구성 요소입니다.
계산 방법의 기본은 다음과 같습니다.
위키미디어 재단. 2010.
전기분석화학 방법- 내용 1 전기분석화학의 방법 2 서론 3 이론부분 ... Wikipedia
디지털 신호 코딩 방법- 이 글에는 정보 출처에 대한 링크가 없습니다. 정보는 검증 가능해야 하며, 그렇지 않으면 질문을 받고 삭제될 수 있습니다. 당신은 할 수 있습니다... 위키피디아
가스 역학 수치 방법- 계산 알고리즘을 기반으로 기체 역학 문제를 해결하는 방법. 기체 역학 문제를 해결하기 위한 수치적 방법 이론의 주요 측면을 고려하고, 관성 보존 법칙의 형태로 기체 역학 방정식을 작성합니다... ... 수학백과사전
확산 방법- 동역학을 해결하는 방법. 확산 근사 방정식을 수정하는 중성자(또는 기타 입자) 전달 방정식. 확산 근사는 점근 방정식의 올바른 형태를 제공하기 때문입니다. 전송 방정식 풀기(소스와는 거리가 멀고... ... 수학백과사전
GULISH 함수 최소화 방법- 많은 변수의 함수의 최소값을 찾는 수치적 방법. 아래로부터 유계이고 인수에 대해 두 번 연속으로 미분 가능한 함수가 주어지고 특정 벡터(전치 기호)에 대해 다음이 필요한 것으로 알려져 있습니다. ... 수학백과사전
GOST R 53622-2009: 정보 기술. 정보 및 컴퓨팅 시스템. 수명주기의 단계 및 단계, 문서 유형 및 완전성- 용어 GOST R 53622 2009: 정보 기술. 정보 및 컴퓨팅 시스템. 수명주기의 단계 및 단계, 문서 유형 및 완전성 원본 문서: 3.1 하드웨어 소프트웨어 플랫폼: 통합 도구 세트... ...
응용 컴퓨팅 시스템- 응용 컴퓨팅 시스템(ABC)에는 조합 논리 및 람다 미적분학을 기반으로 하는 객체 미적분학 시스템이 포함됩니다. 이러한 시스템에서 눈에 띄게 발전한 유일한 것은 대상에 대한 아이디어입니다. 에서... ... 위키피디아
GOST 24402-88: 원격 처리 및 컴퓨터 네트워크. 용어 및 정의- 용어 GOST 24402 88: 원격 처리 및 컴퓨터 네트워크. 용어 및 정의 원본 문서: 시스템 및 네트워크 유형 90. 가입자 데이터 처리 시스템 가입자 시스템 가입자 시스템 데이터 처리 시스템,… 규범 및 기술 문서 용어에 대한 사전 참고서
ST SEV 4291-83: 컴퓨팅 기계 및 데이터 처리 시스템. 100MB 및 200MB 용량의 자기 디스크 패키지. 기술 요구 사항 및 테스트 방법- 용어 ST SEV 4291 83: 컴퓨팅 기계 및 데이터 처리 시스템. 100MB 및 200MB 용량의 자기 디스크 패키지. 기술 요구 사항 및 테스트 방법: 8. VTAA 정보 표면의 신호 진폭 전체 평균... 규범 및 기술 문서 용어에 대한 사전 참고서
지구물리학적 탐사 방법- 광물 탐색 및 탐사를 목적으로 물리적 방법을 사용하여 지각 구조를 연구합니다. 탐사 지구물리학은 지구물리학의 필수적인 부분입니다(지구물리학 참조). G.m.r. 물리장 연구를 바탕으로...... 위대한 소련 백과사전
결정 요인
행렬식의 개념
n차 정사각 행렬은 다음과 같은 숫자와 연관될 수 있습니다. 행렬식(행렬)
행렬 A는 다음과 같이 표시됩니다. 
, 또는 , 또는 det A.
1차 행렬의 행렬식, 또는 1차 행렬식은 요소입니다.
2차 행렬식(2차 행렬의 행렬식)은 다음과 같이 계산됩니다.
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따라서 2차 행렬식은 합 2=2입니다! 각 항은 행렬 A의 요소(각 행과 각 열에서 하나씩)라는 2개의 요소의 곱입니다. 용어 중 하나는 "+" 기호로, 다른 하나는 "-" 기호로 사용됩니다.
행렬식 찾기
3차 행렬식(정사각 행렬의 3차 행렬식)은 다음과 같이 지정됩니다.
따라서 3차 행렬식은 합 6=3입니다! 각 항은 행렬 A의 요소(각 행과 각 열에서 하나씩)라는 3가지 요소의 곱입니다. 용어의 절반은 "+" 기호로, 나머지 절반은 "-" 기호로 사용됩니다.
3차 행렬식을 계산하는 주요 방법은 소위 삼각형 법칙 (사루스 규칙): "+" 기호가 있는 합에 포함된 세 항 중 첫 번째 항은 주대각선 요소의 곱이고, 두 번째와 세 번째 항은 두 삼각형의 꼭지점에 위치한 요소의 곱입니다. 밑면은 주대각선과 평행하다; "-" 기호가 있는 합계에 포함된 세 항은 유사하게 정의되지만 두 번째(측면) 대각선을 기준으로 합니다. 다음은 3차 행렬식을 계산하는 2가지 방식입니다.
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쌀. 3차 행렬식 계산 방식
행렬식을 찾으세요:
n차 정사각 행렬(n 4)의 행렬식은 행렬식의 속성을 사용하여 계산됩니다.
행렬식의 기본 속성. 행렬식 계산 방법
행렬 행렬식에는 다음과 같은 기본 속성이 있습니다.
1. 행렬이 전치될 때 행렬식은 변하지 않습니다.
2. 행렬식에서 두 행(또는 열)이 바뀌면 행렬식의 부호가 변경됩니다.
3. 두 개의 비례(특히 동일한) 행(열)을 갖는 행렬식은 0과 같습니다.
4. 행렬식의 행(열)이 0으로 구성되면 행렬식은 0과 같습니다.
5. 모든 행(또는 열) 요소의 공통 인수는 행렬식 기호에서 제외될 수 있습니다.
6. 한 행(또는 열)의 모든 요소에 다른 행(또는 열)의 해당 요소를 추가하고 동일한 숫자를 곱하면 행렬식은 변경되지 않습니다.
7. 대각선 및 삼각형(상부 및 하부) 행렬의 행렬식은 대각선 요소의 곱과 같습니다.
8. 정사각 행렬의 곱의 행렬식은 행렬식의 곱과 같습니다.
