Skaičių eilutės: apibrėžimai, savybės, konvergencijos ženklai, pavyzdžiai, sprendimai. D'Alemberto testas teigiamų ženklų eilučių konvergencijai

D'Alemberto konvergencijos testas

Jeanas Leronas d'Alembertas buvo garsus XVIII amžiaus prancūzų matematikas. Apskritai d’Alembertas specializavosi diferencialinėse lygtyse ir, remdamasis savo tyrimais, studijavo balistiką, kad Jo Didenybės pabūklų sviediniai geriau skristų. Tuo pačiu nepamiršau ir skaičių serijų, ne veltui vėliau Napoleono karių gretos taip aiškiai susiliejo ir išsiskyrė.

Prieš suformuluodami patį ženklą, apsvarstykime svarbų klausimą: Kada reikia naudoti D'Alemberto konvergencijos testą?

Pirmiausia pradėkime nuo apžvalgos. Prisiminkime atvejus, kai reikia naudoti populiariausius palyginimo riba. Apribojantis palyginimo kriterijus naudojamas, kai bendras serijos terminas: 1) vardiklyje yra daugianario. 2) Polinomai yra ir skaitiklyje, ir vardiklyje. 3) Vienas arba abu daugianariai gali būti po šaknimi.

Pagrindinės d'Alembert testo taikymo sąlygos yra šios:

1) Bendras serijos terminas (serija „užpildymas“) tam tikru laipsniu apima tam tikrą skaičių, pavyzdžiui, ir pan. Be to, visiškai nesvarbu, kur šis daiktas yra, skaitiklyje ar vardiklyje - svarbu, kad jis ten yra.

2) Į bendrąjį serijos terminą įeina faktorialas. Kas yra faktorialus? Nieko sudėtingo, faktorialas yra tik sutrumpintas produkto užrašas: ……

! Naudodami d'Alemberto testą, turėsime detaliai apibūdinti faktorialą. Kaip ir ankstesnėje pastraipoje, faktorialas gali būti trupmenos viršuje arba apačioje.

3) Jei bendrajame serijos termine yra „veiksnių grandinė“, pavyzdžiui, . Šis atvejis yra retas, bet! Studijuojant tokią seriją dažnai daroma klaida – žr. 6 pavyzdį.

Kartu su laipsniais ir (arba) faktoriais, eilutės užpildyme dažnai randami ir polinomai, tai situacijos nekeičia – reikia naudoti D'Alemberto ženklą.

Be to, bendrame serijos termine vienu metu gali atsirasti ir laipsnis, ir faktorialas; gali būti du faktorialai, du laipsniai, svarbu, kad būtų bent kažką iš svarstomų punktų – ir būtent tai yra būtina D'Alemberto ženklo naudojimo sąlyga.

D'Alemberto ženklas: Pasvarstykime teigiamų skaičių serija. Jei paskesnio nario ir ankstesnio nario santykis yra ribojamas: tada: a) Eiliškumas susiliejaskiriasiženklas neduoda atsakymo. Turite naudoti kitą ženklą. Dažniausiai toks gaunamas, kai bandoma taikyti D'Alembert testą, kai reikia naudoti ribojantį palyginimo testą.

Tiems, kurie vis dar turi problemų dėl ribų arba nesupranta ribų, skaitykite pamoką Ribos. Sprendimų pavyzdžiai. Be supratimo apie ribą ir gebėjimo atskleisti netikrumą, deja, toliau eiti į priekį.

Radikalus Koši ženklas

Augustin Louis Cauchy yra dar garsesnis prancūzų matematikas. Bet kuris inžinerijos studentas gali papasakoti Koši biografiją. Pačiomis vaizdingiausiomis spalvomis. Neatsitiktinai šis pavadinimas iškaltas pirmame Eifelio bokšto aukšte.

Cauchy konvergencijos testas teigiamoms skaičių serijoms yra šiek tiek panašus į ką tik aptartą D'Alemberto testą.

Radical Cauchy ženklas: Pasvarstykime teigiamų skaičių serija. Jei yra limitas:, tada: a) Užsakymas susilieja. Visų pirma, serija sutampa ties . b) Užsakymas skiriasi. Visų pirma, serija skiriasi . c) Kada ženklas neduoda atsakymo. Turite naudoti kitą ženklą. Įdomu pastebėti, kad jei Koši testas mums neduos atsakymo į eilučių konvergencijos klausimą, tai D'Alemberto testas taip pat neduos atsakymo. Bet jei d'Alembert testas neduoda atsakymo, tada Cauchy testas gali „veikti“. Tai yra, Košio ženklas šia prasme yra stipresnis ženklas.

Kada turėtumėte naudoti radikalų Koši ženklą? Radikalus Cauchy testas paprastai naudojamas tais atvejais, kai bendras serijos terminas PILNAI yra laipsnyje priklausomai nuo "en". Arba kai šaknis „geras“ išgaunama iš bendro serijos nario. Būna ir egzotiškų atvejų, bet mes dėl jų nesijaudinsime.

Eilučių konvergencijos požymiai.
D'Alemberto ženklas. Koši požymiai

Darbas, darbas – ir supratimas ateis vėliau
J.L. d'Alembertas

Sveikiname visus su mokslo metų pradžia! Šiandien yra rugsėjo 1 d., o šventės garbei nusprendžiau supažindinti skaitytojus su tuo, ko jau seniai laukėte ir troškote sužinoti - skaitinių teigiamų eilučių konvergencijos požymiai. Rugsėjo pirmosios šventės ir mano sveikinimai visada aktualūs, gerai, jei lauke iš tikrųjų vasara, dabar perlaikote egzaminą trečią kartą, mokykitės, jei lankėtės šiame puslapyje!

Tiems, kurie tik pradeda studijuoti serijas, rekomenduoju pirmiausia perskaityti straipsnį Skaičių serija manekenams. Tiesą sakant, šis vežimėlis yra banketo tęsinys. Taigi, šiandien pamokoje apžvelgsime pavyzdžius ir sprendimus šiomis temomis:

Vienas iš įprastų palyginimo ženklų, randamų praktiniuose pavyzdžiuose, yra D'Alembert ženklas. Koši ženklai yra mažiau paplitę, bet taip pat labai populiarūs. Kaip visada, medžiagą stengsiuosi pateikti paprastai, prieinamai ir suprantamai. Tema nėra pati sunkiausia, o visos užduotys tam tikru mastu yra standartinės.

D'Alemberto konvergencijos testas

Prieš suformuluodami patį ženklą, apsvarstykime svarbų klausimą:
Kada reikia naudoti D'Alemberto konvergencijos testą?

Pirmiausia pradėkime nuo apžvalgos. Prisiminkime atvejus, kai reikia naudoti populiariausius palyginimo riba. Ribojantis palyginimo kriterijus taikomas, kai bendrame serijos termine:

1) Vardiklyje yra daugianario.
2) Polinomai yra ir skaitiklyje, ir vardiklyje.
3) Vienas arba abu daugianariai gali būti po šaknimi.
4) Žinoma, gali būti daugiau daugianario ir šaknų.

Pagrindinės d'Alembert testo taikymo sąlygos yra šios:

1) Bendras serijos terminas (eilės „užpildymas“) tam tikru laipsniu apima tam tikrą skaičių, pavyzdžiui, , , ir pan. Be to, visiškai nesvarbu, kur šis daiktas yra, skaitiklyje ar vardiklyje - svarbu, kad jis ten yra.

2) Į bendrąjį serijos terminą įeina faktorialas. Dar pamokoje Skaičių seka ir jos riba sukryžiavome kardus su faktorialais. Tačiau nepakenks dar kartą ištiesti pačių surinktą staltiesę:

…

…

! Naudodami d'Alemberto testą, turėsime detaliai apibūdinti faktorialą. Kaip ir ankstesnėje pastraipoje, faktorialas gali būti trupmenos viršuje arba apačioje.

3) Jei bendrame serijos termine yra „veiksnių grandinė“, pavyzdžiui, . Šis atvejis yra retas, bet! Studijuojant tokią seriją dažnai daroma klaida – žr. 6 pavyzdį.

Kartu su laipsniais ir (arba) faktoriais, eilutės užpildyme dažnai randami ir polinomai, tai situacijos nekeičia – reikia naudoti D'Alemberto ženklą.

Be to, bendrame serijos termine vienu metu gali atsirasti ir laipsnis, ir faktorialas; gali būti du faktorialai, du laipsniai, svarbu, kad būtų bent kažką iš nagrinėjamų taškų – ir būtent tai yra būtina sąlyga norint naudoti D'Alembert ženklą.

D'Alemberto ženklas: Pasvarstykime teigiamų skaičių serija. Jei paskesnio ir ankstesnio termino santykis yra ribojamas: , tada:
a) Kai eilė susilieja
b) Kai eilė skiriasi
c) Kada ženklas neduoda atsakymo. Turite naudoti kitą ženklą. Dažniausiai toks gaunamas, kai bandoma taikyti D'Alembert testą, kai reikia naudoti ribojantį palyginimo testą.

O dabar ilgai laukti pavyzdžiai.

1 pavyzdys

Matome, kad bendrame serijos termine turime , ir tai yra būtina d'Alemberto testo naudojimo sąlyga. Pirma, visas sprendimas ir dizaino pavyzdys, komentarai žemiau.

Mes naudojame d'Alemberto ženklą:

susilieja.

(1) Sudarome kito serijos nario ir ankstesnio nario santykį: . Iš sąlygos matome, kad bendras serijos terminas yra . Norint gauti kitą serijos narį, būtina vietoj to, kad pakeistumėte: .
Jei turite patirties su sprendimu, galite praleisti šį veiksmą.
(3) Atidarykite skaitiklio skliaustus. Vardiklyje iš galios išimame keturis.
(4) Sumažinti iki . Konstantą imame už ribos ženklo. Skaitiklyje panašius terminus pateikiame skliausteliuose.
(5) Neapibrėžtis pašalinama standartiniu būdu – skaitiklį ir vardiklį padalijus iš „en“ iki didžiausios laipsnio.
(6) Mes padalijame skaitiklius pagal terminą ir nurodome terminus, kurie linkę į nulį.
(7) Mes supaprastiname atsakymą ir pažymime, kad darydami išvadą, kad pagal D'Alemberto kriterijų tiriamos eilutės susilieja.

Nagrinėjamame pavyzdyje bendrajame serijos termine susidūrėme su 2-ojo laipsnio daugianario. Ką daryti, jei yra 3, 4 ar aukštesnio laipsnio daugianario? Faktas yra tas, kad jei pateikiamas aukštesnio laipsnio polinomas, atsiras sunkumų atidarant skliaustus. Tokiu atveju galite naudoti „turbo“ sprendimo metodą.

2 pavyzdys

Paimkime panašią eilutę ir panagrinėkime jos konvergenciją

Pirmiausia visas sprendimas, tada komentarai:

Mes naudojame d'Alemberto ženklą:

Taigi, tiriama serija susilieja.

(1) Mes sukuriame ryšį.
(2) Atsikratome keturių aukštų trupmenos.
(3) Apsvarstykite išraišką skaitiklyje ir išraiška vardiklyje. Matome, kad skaitiklyje reikia atidaryti skliaustus ir pakelti juos į ketvirtą laipsnį: , ko visiškai nenorime daryti. O tiems, kurie nėra susipažinę su Niutono binomu, ši užduotis bus dar sunkesnė. Išanalizuokime aukštesnius laipsnius: jei atidarysime skliaustus viršuje , tada gausime aukštąjį išsilavinimą. Žemiau turime tą patį aukštąjį laipsnį: . Analogiškai su ankstesniu pavyzdžiu akivaizdu, kad dalijant skaitiklio ir vardiklio terminą iš termino, riboje gauname vieną. Arba, kaip sako matematikai, daugianariai Ir - ta pati augimo tvarka. Taigi santykį apibūdinti visiškai įmanoma paprastu pieštuku ir iš karto nurodykite, kad šis daiktas linkęs į vieną. Su antrąja daugianario pora elgiamės taip pat: ir , jie taip pat ta pati augimo tvarka, o jų santykis linkęs į vienybę.

Tiesą sakant, toks „nulaužimas“ galėjo būti padarytas pavyzdyje Nr. 1, bet 2-ojo laipsnio daugianario atveju toks sprendimas vis tiek atrodo kažkaip negarbingai. Asmeniškai aš darau taip: jei yra pirmojo ar antrojo laipsnio daugianomas (arba daugianomas), naudoju „ilgąjį“ metodą, kad išspręsčiau 1 pavyzdį. Jei randu 3 ar aukštesnio laipsnio daugianarį, naudoju „Turbo“ metodas panašus į 2 pavyzdį.

3 pavyzdys

Išnagrinėkite eilutes, ar nėra konvergencijos

Pažvelkime į tipinius faktorių pavyzdžius:

4 pavyzdys

Išnagrinėkite eilutes, ar nėra konvergencijos

Bendras serijos terminas apima ir laipsnį, ir faktorialą. Aišku kaip diena, kad čia reikia naudoti d'Alemberto ženklą. Nuspręskime.

Taigi, tiriama serija skiriasi.

(1) Mes sukuriame ryšį. Dar kartą kartojame. Pagal sąlygą bendras serijos terminas yra: . Norėdami gauti kitą serijos kadenciją, vietoj to reikia pakeisti, Taigi: .
(2) Atsikratome keturių aukštų trupmenos.
(3) Nuimkite septynis nuo laipsnio. Mes išsamiai aprašome faktorialus. Kaip tai padaryti – skaitykite pamokos pradžioje arba straipsnyje apie skaičių sekas.
(4) Supjaustome viską, ką galima pjaustyti.
(5) Konstantą perkeliame už ribinio ženklo. Skaitiklyje atidarykite skliaustus.
(6) Neapibrėžtumą pašaliname standartiniu būdu – padalydami skaitiklį ir vardiklį iš „en“ iki didžiausios laipsnio.

5 pavyzdys

Išnagrinėkite eilutes, ar nėra konvergencijos

Visas sprendimas ir dizaino pavyzdys pamokos pabaigoje

6 pavyzdys

Išnagrinėkite eilutes, ar nėra konvergencijos

Kartais yra serijų, kurių užpildyme yra veiksnių „grandinė“, mes dar nesvarstėme tokio tipo serialų. Kaip ištirti seriją su veiksnių „grandine“? Naudokite d'Alemberto ženklą. Bet pirmiausia, norėdami suprasti, kas vyksta, išsamiai apibūdinkime seriją:

Iš išplėtimo matome, kad kiekvienas kitas serijos narys prie vardiklio pridedamas papildomas veiksnys, todėl jei bendras serijos narys , tada kitas serijos narys:
. Čia jie dažnai automatiškai daro klaidą, formaliai rašydami pagal tą algoritmą

Sprendimo pavyzdys gali atrodyti taip:

Mes naudojame d'Alemberto ženklą:

Taigi, tiriama serija susilieja.

Radikalus Koši ženklas

Cauchy konvergencijos testas teigiamoms skaičių serijoms yra šiek tiek panašus į ką tik aptartą D'Alemberto testą.

Radical Cauchy ženklas: Pasvarstykime teigiamų skaičių serija. Jei yra riba: , tada:
a) Kai eilė susilieja. Visų pirma, serija sutampa ties .
b) Kai eilė skiriasi. Visų pirma, serija skiriasi .
c) Kada ženklas neduoda atsakymo. Turite naudoti kitą ženklą. Įdomu pastebėti, kad jei Koši testas neduos atsakymo į eilučių konvergencijos klausimą, tai atsakymo neduos ir D'Alemberto testas. Bet jei d'Alembert testas neduoda atsakymo, tada Cauchy testas gali „veikti“. Tai yra, Košio ženklas šia prasme yra stipresnis ženklas.

7 pavyzdys

Išnagrinėkite eilutes, ar nėra konvergencijos

Matome, kad bendras serijos terminas visiškai priklauso nuo galios, o tai reiškia, kad turime naudoti radikalų Koši testą:

Taigi, tiriama serija skiriasi.

(1) Suformuluojame bendrą serijos terminą po šaknimi.
(2) Perrašome tą patį, tik be šaknies, naudodami laipsnių savybę.
(3) Rodiklyje skaitiklį padalijame iš vardiklio termino, nurodydami, kad
(4) Dėl to turime neapibrėžtumo. Čia galite nueiti ilgą kelią: kubas, kubas, tada skaitiklį ir vardiklį padalinkite iš „en“ iki didžiausios laipsnio. Tačiau šiuo atveju yra veiksmingesnis sprendimas: skaitiklio ir vardiklio terminą galite padalyti iš termino tiesiai pagal nuolatinę galią. Norėdami pašalinti neapibrėžtumą, padalykite skaitiklį ir vardiklį iš (didžiausią laipsnį).
(5) Mes iš tikrųjų atliekame padalijimą po terminus ir nurodome terminus, kurie linkę į nulį.
(6) Prisimename atsakymą, pažymime, ką turime, ir darome išvadą, kad serijos skiriasi.

Štai paprastesnis pavyzdys, kurį galite išspręsti patys:

8 pavyzdys

Išnagrinėkite eilutes, ar nėra konvergencijos

Ir dar pora tipiškų pavyzdžių.

Visas sprendimas ir dizaino pavyzdys pamokos pabaigoje

9 pavyzdys

Išnagrinėkite eilutes, ar nėra konvergencijos
Mes naudojame radikalų Cauchy testą:

Taigi, tiriama serija susilieja.

(1) Įdėkite bendrąjį serijos terminą po šaknimi.
(2) Perrašome tą patį, bet be šaknies, atidarydami skliaustus naudodami sutrumpintą daugybos formulę: .
(3) Rodiklyje skaitiklį padalijame iš vardiklio termino ir nurodome, kad .
(4) Formos neapibrėžtumas . Čia galite tiesiogiai padalyti skaitiklį iš vardiklio skliausteliuose „en“ iki didžiausios laipsnio. Su panašiu susidūrėme studijuodami antra nuostabi riba. Bet čia situacija kitokia. Jei koeficientai prie didesnių galių būtų identiški, pvz.: , tada gudrybė su padalijimu po terminus nebeveiktų ir reikėtų naudoti antrą žymią ribą. Bet mes turime šiuos koeficientus skirtinga(5 ir 6), todėl galima (ir būtina) skirstyti terminą iš termino (beje, priešingai - antra žymi riba skirtinga didesnių galių koeficientai nebeveikia). Jei prisimenate, šios subtilybės buvo aptartos paskutinėje straipsnio pastraipoje Ribų sprendimo būdai.
(5) Mes iš tikrųjų atliekame padalijimą po terminus ir nurodome, kurie terminai yra lygūs nuliui.
(6) Neapibrėžtis pašalinta, mums liko paprasčiausia riba: . Kodėl į be galo didelis linkęs į nulį? Nes laipsnio bazė tenkina nelygybę. Jei kam kyla abejonių dėl limito teisingumo , tada nepatingėsiu, pasiimsiu skaičiuotuvą:
Jei tada
Jei tada
Jei tada
Jei tada
Jei tada
… ir tt iki begalybės – tai yra riboje:

Štai taip be galo mažėjanti geometrinė progresija ant pirštų =)

(7) Nurodome, kad darome išvadą, kad eilutė suartėja.

10 pavyzdys

Išnagrinėkite eilutes, ar nėra konvergencijos

Tai pavyzdys, kurį galite išspręsti patys.

Kartais sprendimui siūlomas provokuojantis pavyzdys, pavyzdžiui:. Čia eksponente ne "en", tik konstanta. Čia reikia padalyti skaitiklį ir vardiklį kvadratu (gaunate polinomus), tada vadovaukitės straipsnyje pateiktu algoritmu Eilės manekenams. Tokiame pavyzdyje turėtų veikti arba būtinas eilučių konvergencijos testas, arba ribinis palyginimo testas.

Integralus Cauchy testas

Arba tiesiog neatsiejamas ženklas. Nuvilsiu tuos, kurie gerai nesuprato pirmosios kurso medžiagos. Norėdami taikyti integralinį Cauchy testą, turite būti daugiau ar mažiau įsitikinę, kad rasite išvestines, integralus, taip pat turite mokėti skaičiuoti netinkamas integralas pirmoji rūšis.

Matematinės analizės vadovėliuose integralus Cauchy testas pateikta matematiškai griežtai, bet per daug painiai, todėl ženklą suformuluosiu ne per griežtai, o aiškiai:

Pasvarstykime teigiamų skaičių serija. Jei yra netinkamas integralas, serija suartėja arba skiriasi kartu su šiuo integralu.

Ir tik keli pavyzdžiai paaiškinimui:

11 pavyzdys

Išnagrinėkite eilutes, ar nėra konvergencijos

Beveik klasika. Natūralus logaritmas ir kažkokia nesąmonė.

Pagrindinė Koši integralo testo naudojimo sąlyga yra yra tai, kad bendrajame serijos termine yra veiksnių, panašių į tam tikrą funkciją ir jos išvestinę. Iš temos Darinys tikriausiai prisimenate paprasčiausią lentelės dalyką: , o mes turime kaip tik tokį kanoninį atvejį.

Šiame straipsnyje renkama ir struktūrizuojama informacija, reikalinga norint išspręsti beveik bet kokį skaičių eilučių pavyzdį, pradedant eilučių sumos nustatymu ir baigiant jos konvergencijos tyrimu.

Straipsnio apžvalga.

Pradėkime nuo teigiamų ir kintamų eilučių apibrėžimų ir konvergencijos sąvokos. Toliau apsvarstysime standartines eilutes, tokias kaip harmoninė seka, apibendrinta harmoninė seka, ir priminsime formulę, kaip rasti be galo mažėjančios geometrinės progresijos sumą. Po to pereisime prie konvergencinių eilučių savybių, apsistosime ties būtinomis eilučių konvergencijos sąlygomis ir pateiksime pakankamus eilučių konvergencijos kriterijus. Teoriją praskiesime sprendimais iki tipinių pavyzdžių su išsamiais paaiškinimais.

Puslapio naršymas.

Pagrindiniai apibrėžimai ir sąvokos.

Suteikime skaičių seką kur .

Štai skaičių sekos pavyzdys: .

Skaičių serija yra formos skaitinės sekos narių suma .

Kaip skaičių serijos pavyzdį galime pateikti be galo mažėjančios geometrinės progresijos, kurios vardiklis q = -0,5, sumą: .

Skambino bendras skaičių serijos narys arba k-asis serijos narys.

Ankstesniame pavyzdyje bendrasis skaičių serijos terminas turi formą .

Dalinė skaičių eilutės suma yra formos suma, kur n yra koks nors natūralusis skaičius. dar vadinama skaičių serijos n-ąja daline suma.

Pavyzdžiui, ketvirtoji dalinė serijos suma Yra .

Dalinės sumos sudaro begalinę skaičių sekos dalinių sumų seką.

Mūsų serijoje n-oji dalinė suma randama naudojant geometrinės progresijos pirmųjų n narių sumos formulę , tai yra, turėsime tokią dalinių sumų seką: .

Skaičių serija vadinama susiliejantis, jei dalinių sumų sekai yra baigtinė riba. Jei skaičių serijos dalinių sumų sekos riba neegzistuoja arba yra begalinė, tai serija vadinama skiriasi.

Konvergentinių skaičių eilutės suma vadinama jos dalinių sumų sekos riba, tai yra, .

Todėl mūsų pavyzdyje serija susilieja, o jo suma lygi šešiolikai trečdalių: .

Divergentinės serijos pavyzdys yra geometrinės progresijos suma, kurios vardiklis didesnis nei vienas: . N-oji dalinė suma nustatoma pagal išraišką , o dalinių sumų riba yra begalinė: .

Kitas skirtingų skaičių serijos pavyzdys yra formos suma . Šiuo atveju n-oji dalinė suma gali būti apskaičiuojama kaip . Dalinės sumos riba yra begalinė .

Formos suma paskambino harmoninių skaičių serija.

Formos suma , kur s yra tikrasis skaičius, vadinamas apibendrinta harmoninių skaičių serijomis.

Aukščiau pateiktų apibrėžimų pakanka, kad pagrįstų šiuos labai dažnai vartojamus teiginius, rekomenduojame juos atsiminti.

HARMONINĖ SERIJA SKIRTINGA.

Įrodykime harmoninių serijų skirtumą.

Tarkime, kad serija susilieja. Tada yra ribota jo dalinių sumų riba. Šiuo atveju galime rašyti ir , o tai mus veda į lygybę .

Kitoje pusėje,

Šios nelygybės nekelia abejonių. Taigi,. Gauta nelygybė mums rodo, kad lygybė negalima pasiekti, o tai prieštarauja mūsų prielaidai apie harmoninių eilučių konvergenciją.

Išvada: harmonikų serija skiriasi.

TOKIOS RŪŠIES GEOMETRINĖS PROGRESIJOS SU VADIKLIU q YRA KONVERGINGOJI SKAIČIŲ EILA IF IR SKIRTINGA EILA FOR .

Įrodykime tai.

Žinome, kad pirmųjų n geometrinės progresijos narių suma randama pagal formulę .

Kai sąžininga

kuri rodo skaičių eilučių konvergenciją.

Jei q = 1, turime skaičių seriją . Jo dalinės sumos randamos kaip , o dalinių sumų riba yra begalinė , kuris šiuo atveju rodo serijos skirtumą.

Jei q = -1, tada skaičių serija įgis tokią formą . Dalinės sumos įgauna nelyginio n vertę, o lyginę n. Iš to galime daryti išvadą, kad dalinėms sumoms nėra jokių apribojimų ir serijos skiriasi.

Kai sąžininga

kuri rodo skaičių serijų divergenciją.

PAGRINDAI HARMONINĖ SERIJA SUJUNGIA s > 1 IR SKIRIASI .

Įrodymas.

Jei s = 1, gauname harmoninę seką, o aukščiau nustatėme jos skirtumą.

At s nelygybė galioja visoms natūralioms k. Dėl harmoninių eilučių divergencijos galima teigti, kad jos dalinių sumų seka yra neribota (nes nėra baigtinės ribos). Tada skaičių serijos dalinių sumų seka yra dar labiau neribota (kiekvienas šios serijos narys yra didesnis už atitinkamą harmonikų serijos narį, todėl apibendrinta harmoninė eilutė skiriasi kaip s).

Belieka įrodyti eilučių konvergenciją, kai s > 1.

Užrašykime skirtumą:

Aišku, tada

Užrašykime gautą nelygybę, kai n = 2, 4, 8, 16, …

Naudodami šiuos rezultatus su pradine skaičių serija galite atlikti šiuos veiksmus:

Išraiška yra geometrinės progresijos suma, kurios vardiklis yra . Kadangi svarstome atvejį, kai s > 1, tada. Štai kodėl
. Taigi apibendrintų harmoninių eilučių dalinių sumų seka, kai s > 1, didėja ir tuo pačiu metu iš viršaus ribojama reikšme , todėl turi ribą, kuri rodo eilučių konvergenciją. Įrodymas baigtas.

Skaičių serija vadinama teigiamas ženklas, jei visi jo terminai yra teigiami, tai yra, .

Skaičių serija vadinama signalinis, jei jo kaimyninių narių ženklai skiriasi. Kintamoji skaičių serija gali būti parašyta kaip arba , Kur .

Skaičių serija vadinama kintamasis ženklas, jei jame yra begalinis skaičius teigiamų ir neigiamų terminų.

Kintamoji skaičių serija yra ypatingas kintamosios skaičių serijos atvejis.

Eilutės

yra atitinkamai teigiami, kintamieji ir kintamieji.

Kintamoje eilutėje yra absoliučios ir sąlyginės konvergencijos sąvoka.

absoliučiai konvergencija, jei jos narių absoliučių verčių serija susilieja, tai yra, teigiamų skaičių serija suartėja.

Pavyzdžiui, skaičių serijos Ir absoliučiai sutampa, nes serija suartėja , kuri yra be galo mažėjančios geometrinės progresijos suma.

Kintamoji serija vadinama sąlyginai konvergencinis, jei serija skiriasi, o eilutė suartėja.

Sąlygiškai konvergencinės skaičių eilutės pavyzdys yra eilutė . Skaičių serija , sudarytas iš absoliučių pradinės serijos terminų verčių, skiriasi, nes yra harmoningas. Tuo pačiu metu pradinė serija yra konvergentinė, kurią lengva nustatyti naudojant . Taigi, skaitinis ženklas yra kintamoji serija sąlyginai konvergencinis.

Konvergencinių skaičių eilučių savybės.

Pavyzdys.

Įrodykite skaičių eilučių konvergenciją.

Sprendimas.

Parašykime seriją kita forma . Skaičių eilutės konverguoja, nes apibendrinta harmoninė eilutė yra konverguojanti, kai s > 1, o dėl antrosios konvergencinių skaičių eilutės savybės suartės ir eilutės su skaitiniu koeficientu.

Pavyzdys.

Ar skaičių eilutės susilieja?

Sprendimas.

Pakeiskime originalią seriją: . Taigi, mes gavome dviejų skaičių eilučių sumą ir , ir kiekviena iš jų suartėja (žr. ankstesnį pavyzdį). Vadinasi, dėl trečiosios konvergencinių skaičių eilučių savybės, pradinė eilutė taip pat suartėja.

Pavyzdys.

Įrodykite skaičių eilutės konvergenciją ir apskaičiuokite jo dydį.

Sprendimas.

Šią skaičių seriją galima pavaizduoti kaip dviejų eilučių skirtumą:

Kiekviena iš šių eilučių parodo be galo mažėjančios geometrinės progresijos sumą ir todėl yra konvergencinė. Trečioji konvergencinių eilučių savybė leidžia teigti, kad pradinė skaičių eilutė konverguoja. Apskaičiuokime jo sumą.

Pirmasis eilutės narys yra vienas, o atitinkamos geometrinės progresijos vardiklis lygus 0,5, todėl .

Pirmasis serijos narys yra 3, o atitinkamos be galo mažėjančios geometrinės progresijos vardiklis yra 1/3, taigi .

Naudodami gautus rezultatus suraskime pradinės skaičių serijos sumą:

Būtina eilutės konvergencijos sąlyga.

Jei skaičių eilutė suartėja, tada jos k-ojo nario riba lygi nuliui: .

Nagrinėjant bet kurią skaičių eilutę konvergencijai, pirmiausia reikia patikrinti, ar įvykdyta būtina konvergencijos sąlyga. Šios sąlygos neįvykdymas rodo skaičių serijų skirtumą, tai yra, jei , tai serija skiriasi.

Kita vertus, jūs turite suprasti, kad šios sąlygos nepakanka. Tai yra, lygybės įvykdymas nerodo skaičių eilučių konvergencijos. Pavyzdžiui, harmoninei eilutei įvykdoma būtina konvergencijos sąlyga, ir eilutė skiriasi.

Pavyzdys.

Išnagrinėkite skaičių eilutes konvergencijai.

Sprendimas.

Patikrinkime būtiną skaičių eilučių konvergencijos sąlygą:

Riba Skaičių eilutės n-asis narys nėra lygus nuliui, todėl eilutė skiriasi.

Pakankami teigiamų eilučių konvergencijos ženklai.

Naudodami pakankamai funkcijų skaičių eilėms tirti konvergencijai, nuolat susiduriate su problemomis, todėl rekomenduojame kreiptis į šį skyrių, jei turite kokių nors sunkumų.

Būtina ir pakankama sąlyga teigiamų skaičių eilučių konvergencijai.

Teigiamų skaičių eilučių konvergencijai būtina ir pakanka, kad jo dalinių sumų seka būtų ribojama.

Pradėkime nuo serijų palyginimo ženklų. Jų esmė yra lyginant tiriamas skaitines eilutes su eilėmis, kurių konvergencija arba skirtumai yra žinomi.

Pirmasis, antrasis ir trečiasis palyginimo ženklai.

Pirmas serialų palyginimo ženklas.

Tegul ir yra dvi teigiamos skaičių eilutės, o nelygybė galioja visiems k = 1, 2, 3, ... Tada eilučių konvergencija reiškia konvergenciją, o eilutės skirtumai reiškia .

Pirmasis palyginimo kriterijus naudojamas labai dažnai ir yra labai galingas įrankis tiriant skaičių eilutes konvergencijai. Pagrindinė problema yra pasirinkti tinkamą seriją palyginimui. Palyginimui įprasta (bet ne visada) parenkama taip, kad jos k-ojo nario rodiklis būtų lygus skirtumui tarp tiriamos skaitinės eilutės k-ojo nario skaitiklio ir vardiklio. Pavyzdžiui, tegul skirtumas tarp skaitiklio ir vardiklio rodiklių yra lygus 2 – 3 = -1, todėl palyginimui pasirenkame eilutę su k-tu nariu, tai yra harmoninę seką. Pažvelkime į kelis pavyzdžius.

Pavyzdys.

Nustatykite serijos konvergenciją arba divergenciją.

Sprendimas.

Kadangi eilutės bendrojo nario riba lygi nuliui, tai būtina eilutės konvergencijos sąlyga yra įvykdyta.

Nesunku pastebėti, kad nelygybė galioja visoms natūralioms k. Žinome, kad harmonikų serija skiriasi, todėl pagal pirmąjį palyginimo kriterijų skiriasi ir pradinė serija.

Pavyzdys.

Išnagrinėkite skaičių eilutes konvergencijai.

Sprendimas.

Būtinoji skaičių eilučių konvergencijos sąlyga yra įvykdyta, nes . Nelygybė akivaizdi bet kuriai gamtinei k vertei. Serija konverguoja, nes apibendrinta harmonikų serija yra konverguojanti, kai s > 1. Taigi pirmasis eilučių palyginimo ženklas leidžia teigti pradinių skaičių serijų konvergenciją.

Pavyzdys.

Nustatykite skaičių eilutės konvergenciją arba divergenciją.

Sprendimas.

, todėl būtina skaičių eilučių konvergencijos sąlyga yra įvykdyta. Kurią eilutę turėčiau pasirinkti palyginimui? Skaičių serija siūlo save ir, norėdami nuspręsti dėl s, atidžiai išnagrinėjame skaičių seką. Skaičių sekos sąlygos didėja link begalybės. Taigi, pradedant nuo kurio nors skaičiaus N (būtent nuo N = 1619), šios sekos sąlygos bus didesnės nei 2. Pradedant nuo šio skaičiaus N, nelygybė yra teisinga. Skaičių eilutė konverguoja dėl pirmosios konvergentinių eilučių savybės, nes ji gaunama iš konvergentinės eilutės atmetus pirmuosius N – 1 narius. Taigi, pagal pirmąjį palyginimo kriterijų, eilutė yra konvergencinė, o pagal pirmąją konvergentinių skaičių eilučių savybę eilutė taip pat suartės.

Antrasis palyginimo ženklas.

Leisti ir būti teigiamų skaičių serija. Jei , tada eilučių konvergencija reiškia konvergenciją . Jei , tada skaičių serijos skirtumai reiškia skirtumą .

Pasekmė.

Jei ir , tai vienos eilutės konvergencija reiškia kitos konvergenciją, o skirtumai reiškia skirtumą.

Konvergencijos eilutes nagrinėjame naudodami antrąjį palyginimo kriterijų. Kaip seriją imame konvergentinę seriją. Raskime skaičių eilutės k-ųjų narių santykio ribą:

Taigi pagal antrąjį palyginimo kriterijų iš skaičių eilučių konvergencijos seka pradinės eilutės konvergencija.

Pavyzdys.

Išnagrinėkite skaičių eilučių konvergenciją.

Sprendimas.

Patikrinkime reikiamą eilučių konvergencijos sąlygą . Sąlyga įvykdyta. Norėdami taikyti antrąjį palyginimo kriterijų, paimkime harmonines eilutes. Raskime k-ųjų narių santykio ribą:

Vadinasi, iš harmonikų eilučių skirtumo išplaukia pradinės serijos divergencija pagal antrąjį palyginimo kriterijų.

Informacijai pateikiame trečiąjį serijų palyginimo kriterijų.

Trečias palyginimo ženklas.

Leisti ir būti teigiamų skaičių serija. Jei sąlyga tenkinama iš kurio nors skaičiaus N, tai eilučių konvergencija reiškia konvergenciją, o eilučių skirtumai reiškia divergenciją.

D'Alemberto ženklas.

komentuoti.

D'Alemberto testas galioja, jei riba yra begalinė, tai yra, jei , tada serija suartėja, jei , tada serija skiriasi.

Jei , tai d'Alembert testas nesuteikia informacijos apie eilučių konvergenciją arba divergenciją, todėl reikia atlikti papildomus tyrimus.

Pavyzdys.

Išnagrinėkite skaičių eilutes konvergencijai pagal D'Alemberto kriterijų.

Sprendimas.

Patikrinkime, ar įvykdyta būtinoji skaičių eilučių konvergencijos sąlyga, apskaičiuokime ribą naudodami:

Sąlyga įvykdyta.

Panaudokime d'Alemberto ženklą:

Taigi serija susilieja.

Radikalus Koši ženklas.

Leisti būti teigiamų skaičių serija. Jei , tada skaičių eilutė suartėja, jei , tada serija skiriasi.

komentuoti.

Koši radikalus testas galioja, jei riba yra begalinė, tai yra, jei , tada serija suartėja, jei , tada serija skiriasi.

Jei , tai radikalus Cauchy testas nesuteikia informacijos apie eilučių konvergenciją ar divergenciją, todėl reikia atlikti papildomus tyrimus.

Paprastai gana lengva atskirti atvejus, kai geriausia naudoti radikalų Cauchy testą. Tipiškas atvejis yra tada, kai bendrasis skaičių eilutės terminas yra eksponentinės galios išraiška. Pažvelkime į kelis pavyzdžius.

Pavyzdys.

Naudodami radikalųjį Koši testą, ištirkite teigiamų skaičių eilutę, ar nėra konvergencijos.

Sprendimas.

. Naudodami radikalų Cauchy testą gauname .

Todėl serija susilieja.

Pavyzdys.

Ar skaičių eilutės susilieja? .

Sprendimas.

Naudokime radikalų Cauchy testą , todėl skaičių eilutė suartėja.

Integralus Cauchy testas.

Leisti būti teigiamų skaičių serija. Sukurkime nuolatinio argumento y = f(x) funkciją, panašią į funkciją. Tegul funkcija y = f(x) yra teigiama, tolydi ir mažėjanti intervale , kur ). Tada konvergencijos atveju netinkamas integralas tiriamos skaičių eilutės suartėja. Jei netinkamas integralas skiriasi, tada skiriasi ir pradinė serija.

Tikrinant funkcijos y = f(x) sumažėjimą intervale, teorija iš skyriaus gali būti jums naudinga.

Pavyzdys.

Išnagrinėkite skaičių eilutes su teigiamais konvergencijos terminais.

Sprendimas.

Būtina eilučių konvergencijos sąlyga įvykdyta, nes . Panagrinėkime funkciją. Jis yra teigiamas, nuolatinis ir mažėjantis intervale. Šios funkcijos tęstinumas ir pozityvumas nekelia abejonių, tačiau pakalbėkime apie sumažėjimą šiek tiek išsamiau. Raskime išvestinę:
. Jis yra neigiamas intervale, todėl funkcija šiame intervale mažėja.

Prieš suformuluodami patį ženklą, apsvarstykime svarbų klausimą:
Kada reikia naudoti D'Alemberto konvergencijos testą?

Pirmiausia pradėkime nuo apžvalgos. Prisiminkime atvejus, kai reikia naudoti populiariausius palyginimo riba. Ribojantis palyginimo kriterijus taikomas, kai bendrame serijos termine:
1) Vardiklyje yra daugianario.
2) Polinomai yra ir skaitiklyje, ir vardiklyje.
3) Vienas arba abu daugianariai gali būti po šaknimi.

Pagrindinės d'Alembert testo taikymo sąlygos yra šios:

1) Įprastas serijos terminas (serijos „įdaras“) tam tikru laipsniu apima tam tikrą skaičių, pavyzdžiui, , ir pan. Be to, visiškai nesvarbu, kur šis daiktas yra, skaitiklyje ar vardiklyje - svarbu, kad jis ten yra.

2) Į bendrąjį serijos terminą įeina faktorialas. Kas yra faktorialus? Nieko sudėtingo, faktorialas yra tik sutrumpintas produkto vaizdas:

…

…

! Naudodami d'Alemberto testą, turėsime detaliai apibūdinti faktorialą. Kaip ir ankstesnėje pastraipoje, faktorialas gali būti trupmenos viršuje arba apačioje.

3) Jei bendrame serijos termine yra „veiksnių grandinė“, pavyzdžiui, . Šis atvejis yra retas, bet! Studijuojant tokią seriją dažnai daroma klaida – žr. 6 pavyzdį.

Kartu su laipsniais ir (arba) faktoriais, eilutės užpildyme dažnai randami ir polinomai, tai situacijos nekeičia – reikia naudoti D'Alemberto ženklą.

Kas vis dar turi problemų dėl ribų ar nesusipratimų dėl ribų, kreipkitės į temą Ribos. Sprendimų pavyzdžiai. Be supratimo apie ribą ir gebėjimo atskleisti netikrumą, deja, toliau eiti į priekį. O dabar ilgai laukti pavyzdžiai.

1 pavyzdys
Matome, kad bendrame serijos termine turime , ir tai yra būtina d'Alemberto testo naudojimo sąlyga. Pirma, visas sprendimas ir dizaino pavyzdys, komentarai žemiau.

Mes naudojame d'Alemberto ženklą:

susilieja.

(1) Sudarome kito serijos nario ir ankstesnio nario santykį: . Iš sąlygos matome, kad bendras serijos terminas yra . Norint gauti kitą serijos narį, būtina vietoj to, kad pakeistumėte: .
(2) Atsikratome keturių aukštų trupmenos. Jei turite patirties su sprendimu, galite praleisti šį veiksmą.
(3) Atidarykite skaitiklio skliaustus. Vardiklyje iš galios išimame keturis.
(4) Sumažinti iki . Konstantą imame už ribos ženklo. Skaitiklyje panašius terminus pateikiame skliausteliuose.
(5) Neapibrėžtis pašalinama standartiniu būdu – skaitiklį ir vardiklį padalijus iš „en“ iki didžiausios laipsnio.
(6) Mes padalijame skaitiklius pagal terminą ir nurodome terminus, kurie linkę į nulį.
(7) Mes supaprastiname atsakymą ir pažymime, kad darydami išvadą, kad pagal D'Alemberto kriterijų tiriamos eilutės susilieja.

2 pavyzdys Paimkime panašią eilutę ir panagrinėkime jos konvergenciją
Pirmiausia visas sprendimas, tada komentarai:

Mes naudojame d'Alemberto ženklą:

Taigi, tiriama serija susilieja.

(1) Mes sukuriame ryšį.
(2) Atsikratome keturių aukštų trupmenos.
(3) Apsvarstykite išraišką skaitiklyje ir išraiška vardiklyje. Matome, kad skaitiklyje reikia atidaryti skliaustus ir pakelti juos į ketvirtą laipsnį: , ko visiškai nenorime daryti. Be to, tiems, kurie nėra susipažinę su Niutono binomu, ši užduotis gali būti visiškai neįgyvendinama. Išanalizuokime aukštesnius laipsnius: jei atidarysime skliaustus viršuje , tada gausime aukštąjį išsilavinimą. Žemiau turime tą patį aukštąjį laipsnį: . Analogiškai su ankstesniu pavyzdžiu akivaizdu, kad dalijant skaitiklio ir vardiklio terminą iš termino, riboje gauname vieną. Arba, kaip sako matematikai, daugianariai Ir - ta pati augimo tvarka. Taigi, santykį galima apibraukti paprastu pieštuku ir iškart nurodyti, kad šis dalykas linkęs į vieną. Su antrąja daugianario pora elgiamės taip pat: ir , jie taip pat ta pati augimo tvarka, o jų santykis linkęs į vienybę.

3 pavyzdys .

Pažvelkime į tipinius faktorių pavyzdžius:

4 pavyzdys Išnagrinėkite eilutes, ar nėra konvergencijos

Bendras serijos terminas apima ir laipsnį, ir faktorialą. Aišku kaip diena, kad čia reikia naudoti d'Alemberto ženklą. Nuspręskime.

Taigi, tiriama serija skiriasi.

(1) Mes sukuriame ryšį. Dar kartą kartojame. Pagal sąlygą bendras serijos terminas yra: . Norėdami gauti kitą serijos kadenciją, vietoj to reikia pakeisti, Taigi: .
(2) Atsikratome keturių aukštų trupmenos.
(3) Nuimkite septynis nuo laipsnio. Mes išsamiai aprašome faktorialus. Kaip tai padaryti – žiūrėkite pamokos pradžioje.
(4) Supjaustome viską, ką galima pjaustyti.
(5) Konstantą perkeliame už ribinio ženklo. Skaitiklyje atidarykite skliaustus.
(6) Neapibrėžtumą pašaliname standartiniu būdu – padalydami skaitiklį ir vardiklį iš „en“ iki didžiausios laipsnio.

5 pavyzdys Išnagrinėkite konvergenciją. Visas sprendimas pateiktas žemiau.

6 pavyzdys Išnagrinėkite eilutes, ar nėra konvergencijos

Iš išplėtimo matome, kad kiekvienas kitas serijos narys prie vardiklio prideda papildomą veiksnį, todėl jei bendras serijos narys yra , tai kitas serijos narys:
. Čia jie dažnai automatiškai daro klaidą, formaliai rašydami pagal tą algoritmą

Apytikslis sprendimo pavyzdys gali atrodyti taip: Naudokime D'Alemberto ženklą:
Taigi, tiriama serija susilieja.
RADIKALUS KAUCHY ŽENKLAS

Cauchy konvergencijos testas teigiamoms skaičių serijoms yra šiek tiek panašus į ką tik aptartą D'Alemberto testą.

Radical Cauchy ženklas: Pasvarstykime teigiamų skaičių serija. Jei yra riba: , tada:
a) Kai eilė susilieja. Visų pirma, serija sutampa ties .
b) Kai eilė skiriasi. Visų pirma, serija skiriasi .
c) Kada ženklas neduoda atsakymo. Turite naudoti kitą ženklą. Įdomu pastebėti, kad jei Koši testas mums neduos atsakymo į eilučių konvergencijos klausimą, tai D'Alemberto testas taip pat neduos atsakymo. Bet jei d'Alembert testas neduoda atsakymo, tada Cauchy testas gali „veikti“. Tai yra, Košio ženklas šia prasme yra stipresnis ženklas.

7 pavyzdys Išnagrinėkite eilutes, ar nėra konvergencijos

Matome, kad bendras serijos terminas visiškai priklauso nuo galios, o tai reiškia, kad turime naudoti radikalų Koši testą:

Taigi, tiriama serija skiriasi.

Štai paprastesnis pavyzdys, kurį galite išspręsti patys:

8 pavyzdys Išnagrinėkite eilutes, ar nėra konvergencijos

Ir dar pora tipiškų pavyzdžių.

Visas sprendimas ir dizaino pavyzdys yra žemiau.

9 pavyzdys Išnagrinėkite eilutes, ar nėra konvergencijos
Mes naudojame radikalų Cauchy testą:

Taigi, tiriama serija susilieja.

(1) Įdėkite bendrąjį serijos terminą po šaknimi.
(2) Perrašome tą patį, bet be šaknies, atidarydami skliaustus naudodami sutrumpintą daugybos formulę: .
(3) Rodiklyje skaitiklį padalijame iš vardiklio termino ir nurodome, kad .
(4) Formos neapibrėžtumas . Čia galite tiesiogiai padalyti skaitiklį iš vardiklio skliausteliuose „en“ iki didžiausios laipsnio. Su panašiu susidūrėme studijuodami antra nuostabi riba. Bet čia situacija kitokia. Jei koeficientai prie didesnių galių būtų identiški, pvz.: , tada gudrybė su padalijimu po terminus nebeveiktų ir reikėtų naudoti antrą žymią ribą. Bet mes turime šiuos koeficientus skirtinga(5 ir 6), todėl galima (ir būtina) skirstyti terminą iš termino (beje, priešingai - antra žymi riba skirtinga didesnių galių koeficientai nebeveikia).
(5) Mes iš tikrųjų atliekame padalijimą po terminus ir nurodome, kurie terminai yra lygūs nuliui.
(6) Neapibrėžtis pašalinta, lieka paprasčiausia riba: Kodėl be galo didelis linkęs į nulį? Nes laipsnio bazė tenkina nelygybę. Jei kam kyla abejonių dėl limito teisingumo , tada nepatingėsiu, pasiimsiu skaičiuotuvą:
Jei tada
Jei tada
Jei tada
Jei tada
Jei tada
… ir tt iki begalybės – tai yra riboje:
(7) Nurodome, kad darome išvadą, kad eilutė suartėja.

10 pavyzdys Išnagrinėkite eilutes, ar nėra konvergencijos

Tai pavyzdys, kurį galite išspręsti patys.

Nuvilsiu tuos, kurie gerai nesuprato pirmosios kurso medžiagos. Norėdami taikyti integralinį Cauchy testą, turite būti daugiau ar mažiau įsitikinę, kad rasite išvestines, integralus, taip pat turite mokėti skaičiuoti netinkamas integralas pirmoji rūšis. Matematinės analizės vadovėliuose integralus Koši testas pateikiamas matematiškai griežtai, suformuluokime testą labai primityviai, bet suprantamai. Ir iš karto pavyzdžiai paaiškinimui.

Integruotas Cauchy testas: Pasvarstykime teigiamų skaičių serija. Ar ši serija susilieja ar skiriasi?

11 pavyzdys Išnagrinėkite eilutes, ar nėra konvergencijos

Beveik klasika. Natūralus logaritmas ir kažkokia nesąmonė.

Pagrindinė Koši integralo testo naudojimo sąlyga yra yra tai, kad bendrajame serijos termine yra tam tikra funkcija ir jos išvestinė. Iš temos Darinys tikriausiai prisimenate paprasčiausią lentelės dalyką: , o mes turime kaip tik tokį kanoninį atvejį.

Kaip naudoti integralo atributą? Pirmiausia paimame integralią piktogramą ir perrašome viršutinę ir apatinę ribas iš serijos „skaitiklio“: . Tada po integralu perrašome serijos „užpildymą“ raide „jis“: . Kažko trūksta..., taip, taip pat reikia įklijuoti diferencialo piktogramą skaitiklyje: .

Dabar turime apskaičiuoti netinkamą integralą. Šiuo atveju galimi du atvejai:

1) Jei paaiškėja, kad integralas susilieja, tada mūsų eilutės taip pat suartės.

2) Jei paaiškėja, kad integralas skiriasi, tada mūsų serija taip pat skirsis.

Kartoju, jei medžiaga bus apleista, tada pastraipą skaityti bus sunku ir neaišku, nes funkcijos naudojimas iš esmės susijęs su skaičiavimu netinkamas integralas pirmoji rūšis.

Visas sprendimas ir pavyzdžio formatas turėtų atrodyti maždaug taip:

Mes naudojame integralinį ženklą:

Taigi, tiriama serija skiriasi kartu su atitinkamu netinkamu integralu.

12 pavyzdys Išnagrinėkite eilutes, ar nėra konvergencijos

Sprendimas ir pavyzdinis dizainas pamokos pabaigoje

Nagrinėjamuose pavyzdžiuose logaritmas taip pat gali būti po šaknimi, tai nepakeistų sprendimo metodo.

Ir dar du pavyzdžiai pradžiai

13 pavyzdys Išnagrinėkite eilutes, ar nėra konvergencijos

Pagal bendruosius „parametrus“ bendrasis serijos terminas atrodo tinkamas naudoti ribinį palyginimo kriterijų. Jums tereikia atidaryti skliaustus ir nedelsdami perduoti juos kandidatui, kad jis nuodugniai palygintų šią seriją su konvergencinėmis serijomis. Tačiau šiek tiek apgavau, skliausteliuose gal ir neatsidaro, bet vis tiek sprendimas per ribojantį palyginimo kriterijų atrodys gana pretenzingai.

Todėl naudojame integruotą Cauchy testą:

Integrand funkcija veikia nuolat

susilieja kartu su atitinkamu netinkamu integralu.

! Pastaba:gautas skaičius yranėra serijos suma!!!

14 pavyzdys Išnagrinėkite eilutes, ar nėra konvergencijos

Sprendimas ir dizaino pavyzdys yra besibaigiančios dalies pabaigoje.

Norėdami visiškai ir neatšaukiamai įvaldyti skaičių serijų temą, apsilankykite temose.

Sprendimai ir atsakymai:

3 pavyzdys:Mes naudojame d'Alemberto ženklą:

Taigi, tiriama serija skiriasi.
Pastaba: Taip pat buvo galima naudoti „turbo“ sprendimo metodą: iš karto pieštuku apibraukite santykį, nurodykite, kad jis linkęs į vienybę, ir pažymėkite: „to paties augimo eilės“.

5 pavyzdys: naudojame d'Alemberto ženklą: Taigi, tiriama serija susilieja.

8 pavyzdys:

Taigi, tiriama serija susilieja.

10 pavyzdys:
Mes naudojame radikalų Cauchy testą.

Taigi, tiriama serija skiriasi.
Pastaba: čia pagrindas yra laipsnis, taigi

12 pavyzdys: Mes naudojame integralinį ženklą.

Gaunamas baigtinis skaičius, kuris reiškia tiriamą eilutę susilieja

14 pavyzdys: Mes naudojame integralinį ženklą
Integrandas yra nuolatinis.

Taigi, tiriama serija skiriasi kartu su atitinkamu netinkamu integralu.
Pastaba: seriją taip pat galima išnagrinėti naudojantribojantis palyginimo kriterijus . Norėdami tai padaryti, turite atidaryti skliaustus po šaknimi ir palyginti tiriamas serijas su skirtingomis serijomis.

Kintamos eilutės. Leibnizo ženklas. Sprendimų pavyzdžiai

Norint suprasti šios pamokos pavyzdžius, reikia gerai suprasti teigiamų skaičių eilutes: suprasti, kas yra eilutė, žinoti reikiamą eilučių konvergencijos ženklą, mokėti taikyti palyginimo testus, d'Alemberto testą. , Koši testas. Nuosekliai studijuojant straipsnius temą galima iškelti beveik nuo nulio Eilės manekenams Ir D'Alemberto ženklas. Koši požymiai. Logiškai mąstant, ši pamoka jau trečia iš eilės ir leis ne tik suprasti besikeičiančias eilutes, bet ir konsoliduoti jau išnagrinėtą medžiagą! Naujovių bus mažai, o įvaldyti kintamąsias eilutes nebus sunku. Viskas paprasta ir prieinama.

Kas yra kintamoji serija? Tai aišku arba beveik aišku iš paties pavadinimo. Pažvelkime į seriją ir apibūdinkime ją išsamiau.

O dabar bus žudikiškas komentaras. Kintamos serijos nariai turi kintamus ženklus: pliusas, minusas, pliusas, minusas, pliusas, minusas ir kt. iki begalybės.
Lygiavimas suteikia daugiklį: jei lyginis, bus pliuso ženklas, jei nelyginis, bus minuso ženklas. Matematiniu žargonu šis dalykas vadinamas „blyksniu“. Taigi, kintamoji serija „identifikuojama“ minus vienetu iki „en“ laipsnio.

Praktiniuose pavyzdžiuose serijos terminų kaitą gali pateikti ne tik daugiklis, bet ir jo broliai ir seserys: , , , …. Pavyzdžiui:

Spąstai yra „apgaulės“: , , ir kt. – tokie daugikliai nepateikite ženklo pakeitimo. Visiškai aišku, kad bet kuriam natūraliam: , , . Eilės su apgavyste nuslysta ne tik ypač gabiems studentams, jos karts nuo karto kyla „savaime“ sprendimo metu. funkcinė serija.

Kaip ištirti kintamą konvergencijos eilutę? Naudokite Leibnizo testą. Nenoriu nieko pasakyti apie vokiečių minties milžiną Gottfriedą Wilhelmą Leibnizą, nes be savo matematinių darbų jis parašė keletą filosofijos tomų. Pavojinga smegenims.

Leibnizo testas: Jei kintamos serijos nariai monotoniškai modulio sumažėjimas, tada eilutė suartėja. Arba dviem punktais:

2) Eilutės sąlygos mažėja absoliučia verte: . Be to, jie mažėja monotoniškai.

Jei baigtas tiek sąlygomis, tada serija suartėja.

Trumpa informacija apie modulį pateikiama vadoveKarštos formulės mokykliniam matematikos kursui , bet dėl patogumo dar kartą:

Ką reiškia "modulis"? Modulis, kaip prisimename iš mokyklos, „suvalgo“ minuso ženklą. Grįžkime prie eilės . Protiškai ištrinkite visus ženklus trintuku ir pažiūrėkime į skaičius. Tai pamatysime kiekvieną kitą serijos narys mažiau nei ankstesnis. Taigi šios frazės reiškia tą patį:

– Serialo nariai nepriklausomai nuo ženklo mažėja.
– Serialo narių mažėja modulo.
– Serialo narių mažėja absoliučia verte.
– Modulis bendras serijos terminas yra nulis: Pagalbos pabaiga

Dabar pakalbėkime šiek tiek apie monotoniją. Monotonija yra nuobodus nuoseklumas.

Serialo nariai griežtai monotoniškas modulio sumažėjimas, jei KIEKVIENAS KITAS serijos narys modulo MAŽIAU nei ankstesnis: . Už eilę Griežtas mažėjimo monotoniškumas gali būti aprašytas išsamiai:

Arba galime pasakyti trumpai: kiekvienas kitas serijos narys modulo mažiau nei ankstesnis: .

Serialo nariai nėra griežtai monotoniškas modulo sumažėjimas, jei KIEKVIENAS SEKANČIAS modulo serijos narys NĖRA DIDESNĖS už ankstesnįjį: . Apsvarstykite seriją su faktorialu: Čia yra laisvas monotoniškumas, nes pirmieji du serijos nariai modulio atžvilgiu yra identiški. Tai yra, kiekvienas kitas serijos narys modulo ne daugiau nei ankstesnis: .

Leibnizo teoremos sąlygomis turi būti patenkintas mažėjantis monotoniškumas (nesvarbu, ar jis griežtas, ar negriežtas). Tokiu atveju serialo nariai gali tam tikrą laiką netgi padidės modulis, tačiau serijos „uodega“ būtinai turi monotoniškai mažėti. Nereikia bijoti to, ką sukaupiau praktiniai pavyzdžiai viską sustatys į savo vietas:

1 pavyzdys Išnagrinėkite eilutes, ar nėra konvergencijos

Bendras serijos terminas apima veiksnį, o tai reiškia, kad reikia naudoti Leibnizo kriterijų

1) Patikrinimas, ar eilutė keičiasi. Paprastai šioje vietoje sprendimų serija aprašoma išsamiai ir paskelbti nuosprendį „Serialas keičiasi“.

2) Ar eilutės sąlygos mažėja absoliučia verte? Būtina išspręsti ribą, kuri dažniausiai būna labai paprasta.

– eilučių sąlygos moduliu nemažėja. Beje, nebereikia diskutuoti apie mažėjimo monotoniją. Išvada: serija skiriasi.

Kaip išsiaiškinti, kas yra lygu? Labai paprasta. Kaip žinia, modulis naikina minusus, tad norint tokį sukurti, tereikia nuimti nuo stogo mirksinčią lemputę. Šiuo atveju bendras serijos terminas yra . Kvailai pašaliname „mirksinčią lemputę“: .

2 pavyzdys Išnagrinėkite eilutes, ar nėra konvergencijos

Mes naudojame Leibnizo kriterijų:

1) Serialas yra pakaitomis.

2) – modulio mažėjimo eilutės sąlygos. Kiekvienas kitas eilutės narys absoliučia verte yra mažesnis nei ankstesnis: taigi mažėjimas yra monotoniškas.

Išvada: serija susilieja.

Viskas būtų labai paprasta – bet tai dar ne sprendimo pabaiga!

Jei serija susilieja pagal Leibnizo kriterijų, tada taip pat sakoma, kad serija suartėja sąlygiškai.

Jei serija, sudaryta iš modulių, taip pat susilieja, jie sako, kad serija absoliučiai susilieja.

Todėl antrasis tipinės problemos sprendimo etapas yra darbotvarkėje - absoliučios konvergencijos kintamos eilutės ženklo tyrimas.

Tai ne aš kaltas – tai tik skaičių serijų teorija =)

Panagrinėkime absoliučios konvergencijos eilutes.
Sudarykime eilę modulių – vėlgi tiesiog pašaliname faktorių, užtikrinantį ženklų kaitaliojimą: – skiriasi (harmoninės serijos).

Taigi mūsų serija nėra absoliučiai konvergentiška.
Tiriamas serialas susilieja tik sąlyginai.

Atkreipkite dėmesį, kad pavyzdyje Nr. 1 nereikia tirti neabsoliučios konvergencijos, nes pirmajame etape buvo padaryta išvada, kad eilutės skiriasi.

Renkame kaušus, kastuvus, mašinas ir paliekame smėlio dėžę plačiomis akimis pažvelgti į pasaulį iš mano ekskavatoriaus kabinos:

3 pavyzdys Išnagrinėkite eilutes, ar nėra konvergencijos Mes naudojame Leibnizo kriterijų:

1)
Ši serija yra kintama.

2) – modulio mažėjimo eilutės sąlygos. Kiekvienas kitas serijos narys yra mažesnis nei ankstesnis: , o tai reiškia, kad sumažėjimas yra monotoniškas. Išvada: serija susilieja.

Analizuodami serijos užpildymą, prieiname prie išvados, kad čia reikia naudoti ribojantį palyginimo kriterijų. Vardiklyje patogiau atidaryti skliaustus:

Palyginkime šią seriją su konvergentine eilute. Palyginimui naudojame ribojantį kriterijų.

Gaunamas baigtinis skaičius, kuris skiriasi nuo nulio, o tai reiškia, kad eilutė suartėja su eilėmis. Tiriamas serialas absoliučiai susilieja.

4 pavyzdys Išnagrinėkite eilutes, ar nėra konvergencijos

5 pavyzdys Išnagrinėkite eilutes, ar nėra konvergencijos

Tai yra pavyzdžiai, kuriuos galite nuspręsti patys. Visas sprendimas ir pavyzdinis dizainas skyriaus pabaigoje.

Kaip matote, kintamos eilutės yra paprastos ir nuobodžios! Tačiau neskubėkite uždaryti puslapio, vos keliuose ekranuose pažvelgsime į daugelį gluminantį atvejį. Tuo tarpu dar pora pavyzdžių praktikai ir pasikartojimui.

6 pavyzdys Išnagrinėkite eilutes, ar nėra konvergencijos

Mes naudojame Leibnizo kriterijų.
1) Serija yra kintama.
2)

Eilučių sąlygos mažėja moduliu. Kiekvienas kitas serijos narys absoliučia verte yra mažesnis nei ankstesnis, o tai reiškia, kad sumažėjimas yra monotoniškas. Išvada: serija susilieja.

Atkreipkite dėmesį, kad aš išsamiai neaprašiau serialo narių. Visada patartina juos apibūdinti, tačiau dėl nenugalimo tinginystės „sunkiais“ atvejais galite apsiriboti fraze „Serialas keičiasi ženklu“. Beje, nereikia šio klausimo traktuoti formaliai, mes visada tikriname(bent jau mintyse), kad serialas iš tikrųjų keičiasi. Greitas žvilgsnis nepavyksta, o klaida padaroma automatiškai. Prisiminkite apie „apgaulę“, , , jei jų yra, tuomet reikia jų atsikratyti ir gauti „įprastą“ seriją su teigiamais terminais.

Antroji subtilybė susijusi su fraze apie monotoniją, kurią taip pat kiek įmanoma sutrumpinau. Galite tai padaryti ir beveik visada jūsų užduotis bus priimta. Pasakysiu kažką visiškai blogo - asmeniškai aš dažnai tyliu apie monotoniją, ir toks skaičius praeina. Tačiau būkite pasirengę viską aprašyti išsamiai, iki detalių nelygybių grandinių (žr. pavyzdį pamokos pradžioje). Be to, kartais monotonija nėra griežta, ir tai taip pat reikia stebėti, kad žodis „mažiau“ būtų pakeistas žodžiu „ne daugiau“.

Nagrinėjame absoliučios konvergencijos eilutes: