Elementariųjų funkcijų aprašymas. Elementari funkcija

1) Funkcijų sritis ir funkcijų diapazonas.

Funkcijos domenas yra visų galiojančių argumentų reikšmių rinkinys x(kintamasis x), kuriai skirta funkcija y = f(x) Atkaklus. Funkcijos diapazonas yra visų realių reikšmių rinkinys y, kurią funkcija priima.

Elementariojoje matematikoje funkcijos tiriamos tik realiųjų skaičių aibėje.

2) Funkcijos nuliai.

Funkcijos nulis yra argumento, kuriame funkcijos reikšmė lygi nuliui, reikšmė.

3) Funkcijos pastovaus ženklo intervalai.

Funkcijos pastovaus ženklo intervalai yra argumentų reikšmių rinkiniai, kurių funkcijos reikšmės yra tik teigiamos arba tik neigiamos.

4) Funkcijos monotoniškumas.

Didėjanti funkcija (tam tikrame intervale) yra funkcija, kurioje didesnė argumento reikšmė iš šio intervalo atitinka didesnę funkcijos reikšmę.

Mažėjanti funkcija (tam tikrame intervale) yra funkcija, kurioje didesnė argumento reikšmė iš šio intervalo atitinka mažesnę funkcijos reikšmę.

5) Lyginė (nelyginė) funkcija.

Lyginė funkcija yra funkcija, kurios apibrėžimo sritis yra simetriška kilmės atžvilgiu ir bet kuriai X iš apibrėžimo srities lygybė f(-x) = f(x). Lyginės funkcijos grafikas yra simetriškas ordinatės atžvilgiu.

Nelyginė funkcija yra funkcija, kurios apibrėžimo sritis yra simetriška kilmės atžvilgiu ir bet kuriai X iš apibrėžimo srities lygybė yra teisinga f(-x) = - f(x). Nelyginės funkcijos grafikas yra simetriškas kilmei.

6) Ribotos ir neribotos funkcijos.

Funkcija vadinama ribota, jei yra teigiamas skaičius M, kad |f(x)| ≤ M visoms x reikšmėms. Jei tokio skaičiaus nėra, tada funkcija yra neribota.

7) Funkcijos periodiškumas.

Funkcija f(x) yra periodinė, jei yra nulinis skaičius T, kad bet kuriam x iš funkcijos apibrėžimo srities galioja: f(x+T) = f(x). Šis mažiausias skaičius vadinamas funkcijos periodu. Visos trigonometrinės funkcijos yra periodinės. (Trigonometrinės formulės).

19. Pagrindinės elementarios funkcijos, jų savybės ir grafikai. Funkcijų taikymas ekonomikoje.

Pagrindinės elementarios funkcijos. Jų savybės ir grafikai

1. Tiesinė funkcija.

Linijinė funkcija vadinama formos funkcija, kur x yra kintamasis, a ir b yra realieji skaičiai.

Skaičius A vadinamas tiesės nuolydžiu, jis lygus šios tiesės polinkio kampo į teigiamą x ašies kryptį liestine. Tiesinės funkcijos grafikas yra tiesi linija. Jis apibrėžiamas dviem taškais.

Tiesinės funkcijos savybės

1. Apibrėžimo sritis – visų realiųjų skaičių aibė: D(y)=R

2. Reikšmių aibė yra visų realiųjų skaičių aibė: E(y)=R

3. Funkcija įgyja nulinę reikšmę, kai arba.

4. Funkcija didėja (mažėja) visoje apibrėžimo srityje.

5. Tiesinė funkcija yra tolydi visoje apibrėžimo srityje, diferencijuota ir .

2. Kvadratinė funkcija.

Formos funkcija, kur x yra kintamasis, koeficientai a, b, c yra realieji skaičiai, vadinama kvadratinis

Atsižvelgdamas į sudėtingo kintamojo funkcijas, Liouville'is elementarias funkcijas apibrėžė kiek plačiau. Elementari funkcija y kintamasis x- analitinė funkcija, kurią galima pavaizduoti kaip algebrinę funkciją x ir funkcijas , ir yra tam tikros algebrinės funkcijos logaritmas arba eksponentas g 1 nuo x .

Pavyzdžiui, nuodėmė ( x) – algebrinė funkcija e ix .

Neribodami svarstymo bendrumo, funkcijas galime laikyti algebriškai nepriklausomomis, tai yra, jei algebrinė lygtis tenkinama visoms x, tada visi daugianario koeficientai yra lygūs nuliui.

Elementariųjų funkcijų diferencijavimas

Kur z 1 "(z) lygus arba g 1 " / g 1 arba z 1 g 1" priklausomai nuo to, ar tai logaritmas z 1 arba eksponentinis ir tt Praktikoje patogu naudoti išvestinę lentelę.

Elementariųjų funkcijų integravimas

Liouville'io teorema yra pagrindas kurti elementariųjų funkcijų simbolinės integracijos algoritmus, įgyvendintus, pvz.

Ribų skaičiavimas

Liouville'io teorija netaikoma apskaičiuojant ribas. Nežinia, ar yra algoritmas, kuris, pateikęs elementariąja formule pateiktą seką, duoda atsakymą, ar ji turi ribą, ar ne. Pavyzdžiui, atviras klausimas, ar seka susilieja.

Literatūra

• J. Liouville. Mémoire sur l'integration d'une classe de fonctions transcendantes// J. Reine Angew. Matematika. Bd. 13, p. 93-118. (1835 m.)
• J.F. Ritt. Integracija baigtinėmis sąlygomis. N.-Y., 1949 // http://lib.homelinux.org
• A. G. Chovanskis. Topologinė Galois teorija: baigtinės formos lygčių išsprendžiamumas ir neišsprendžiamumas Ch. 1. M, 2007 m

Pastabos

Wikimedia fondas. 2010 m.

• Elementarus sužadinimas
• Elementarus rezultatas

Pažiūrėkite, kas yra „pagrindinė funkcija“ kituose žodynuose:

elementarią funkciją- Funkcija, kuri, padalyta į mažesnes funkcijas, negali būti vienareikšmiškai apibrėžta skaitmeninėje perdavimo hierarchijoje. Todėl tinklo požiūriu jis yra nedalomas (ITU T G.806). Temos: telekomunikacijos, pagrindinės sąvokos EN pritaikymo funkcijaA... Techninis vertėjo vadovas

sąveikos tarp tinklo lygių funkcija- Elementari funkcija, užtikrinanti būdingos informacijos sąveiką tarp dviejų tinklo sluoksnių. (ITU T G.806). Temos: telekomunikacijos, pagrindinės EN lygmens sąvokos... ... Techninis vertėjo vadovas

Žinios pagrindinės elementarios funkcijos, jų savybės ir grafikai ne mažiau svarbu, nei žinoti daugybos lenteles. Jie yra kaip pamatai, viskas jais paremta, viskas iš jų pastatyta ir viskas jiems priklauso.

Šiame straipsnyje išvardinsime visas pagrindines elementarias funkcijas, pateiksime jų grafikus ir pateiksime be išvadų ar įrodymų pagrindinių elementariųjų funkcijų savybės pagal schemą:

• funkcijos elgsena apibrėžimo srities ribose, vertikalios asimptotės (jei reikia, žr. straipsnio funkcijos nenutrūkstamų taškų klasifikaciją);
• lyginis ir nelyginis;
• išgaubtumo (išgaubtumo į viršų) ir įdubimo (išgaubtumo žemyn) intervalai, vingio taškai (jei reikia, žr. straipsnį funkcijos išgaubimas, išgaubimo kryptis, vingio taškai, išgaubimo ir linksniavimo sąlygos);
• įstrižai ir horizontalūs asimptotai;
• funkcijų vienetiniai taškai;
• specialios kai kurių funkcijų savybės (pavyzdžiui, mažiausias teigiamas trigonometrinių funkcijų periodas).

Jei jus domina arba, galite eiti į šiuos teorijos skyrius.

Pagrindinės elementarios funkcijos yra: pastovi funkcija (konstanta), n-oji šaknis, laipsnio funkcija, eksponentinė, logaritminė funkcija, trigonometrinės ir atvirkštinės trigonometrinės funkcijos.

Puslapio naršymas.

Nuolatinė funkcija.

Pastovi funkcija visų realiųjų skaičių aibėje apibrėžiama formule , kur C yra tikrasis skaičius. Pastovi funkcija kiekvieną nepriklausomo kintamojo x tikrąją reikšmę susieja su ta pačia priklausomo kintamojo y reikšme – reikšme C. Pastovi funkcija taip pat vadinama konstanta.

Pastovios funkcijos grafikas yra tiesė, lygiagreti x ašiai ir einanti per tašką, kurio koordinatės (0,C). Pavyzdžiui, parodykime pastovių funkcijų y=5, y=-2 ir grafikus, kurie žemiau esančiame paveikslėlyje atitinka atitinkamai juodą, raudoną ir mėlyną linijas.

Pastovios funkcijos savybės.

• Domenas: visas realiųjų skaičių rinkinys.
• Nuolatinė funkcija yra lygi.
• Reikšmių diapazonas: aibė, susidedanti iš vienaskaitos skaičiaus C.
• Pastovi funkcija yra nedidėjanti ir nemažėjanti (todėl ji yra pastovi).
• Nėra prasmės kalbėti apie konstantos išgaubimą ir įgaubimą.
• Asimptotų nėra.
• Funkcija eina per koordinačių plokštumos tašką (0,C).

n-oji šaknis.

Panagrinėkime pagrindinę elementariąją funkciją, kurią pateikia formulė , kur n yra natūralusis skaičius, didesnis už vienetą.

N-ojo laipsnio šaknis, n yra lyginis skaičius.

Pradėkime nuo n-osios šaknies funkcijos lygioms šaknies eksponento n reikšmėms.

Pavyzdžiui, čia yra paveikslėlis su funkcijų grafikų vaizdais ir , jie atitinka juodas, raudonas ir mėlynas linijas.

Lyginio laipsnio šaknies funkcijų grafikai turi panašią išvaizdą kitoms eksponento reikšmėms.

n-osios šaknies funkcijos savybės net n.

N-oji šaknis, n yra nelyginis skaičius.

N-oji šaknies funkcija su nelyginiu šaknies eksponentu n yra apibrėžta visoje realiųjų skaičių aibėje. Pavyzdžiui, čia yra funkcijų grafikai ir , jie atitinka juodas, raudonas ir mėlynas kreives.

Kitoms nelyginėms šaknies eksponento reikšmėms funkcijų grafikai atrodys panašiai.

Nelyginio n n-osios šaknies funkcijos savybės.

Maitinimo funkcija.

Galios funkcija pateikiama formos formule .

Panagrinėkime laipsnio funkcijos grafikų formą ir laipsnio funkcijos savybes, priklausančias nuo eksponento reikšmės.

Pradėkime nuo galios funkcijos su sveikuoju rodikliu a. Šiuo atveju laipsnio funkcijų grafikų išvaizda ir funkcijų savybės priklauso nuo eksponento lygumo ar nelygumo, taip pat nuo jo ženklo. Todėl pirmiausia apsvarstysime nelyginių teigiamų rodiklio a, tada lyginių teigiamų rodiklių, tada nelyginių neigiamų eksponentų ir galiausiai lyginių neigiamų a laipsnių funkcijas.

Laipsninių funkcijų su trupmeniniais ir neracionaliais rodikliais savybės (taip pat ir tokių laipsnių funkcijų grafikų tipas) priklauso nuo laipsnio a reikšmės. Mes juos apsvarstysime, pirma, nuo nulio iki vieno, antra, didesniam nei vienetui, trečia, a nuo minus vieno iki nulio, ketvirta, mažesniam nei minus vienetui.

Šio skyriaus pabaigoje, siekiant išsamumo, apibūdinsime galios funkciją su nuliniu rodikliu.

Galios funkcija su nelyginiu teigiamu eksponentu.

Panagrinėkime laipsnio funkciją su nelyginiu teigiamu eksponentu, ty su a = 1,3,5,....

Žemiau esančiame paveikslėlyje pavaizduoti galios funkcijų grafikai – juoda linija, – mėlyna linija, – raudona linija, – žalia linija. A=1 turime tiesinė funkcija y=x.

Laipsninės funkcijos su nelyginiu teigiamu eksponentu savybės.

Galios funkcija su net teigiamu eksponentu.

Panagrinėkime laipsnio funkciją su lyginiu teigiamu eksponentu, tai yra, jei a = 2,4,6,....

Kaip pavyzdį pateikiame galios funkcijų grafikus – juoda linija, – mėlyna linija, – raudona linija. Jei a=2, turime kvadratinę funkciją, kurios grafikas yra kvadratinė parabolė.

Laipsniškos funkcijos su lygiu teigiamu eksponentu savybės.

Galios funkcija su nelyginiu neigiamu eksponentu.

Pažvelkite į galios funkcijos grafikus nelyginėms neigiamoms eksponento reikšmėms, ty a = -1, -3, -5,....

Paveiksle kaip pavyzdžiai pateikti galios funkcijų grafikai - juoda linija, - mėlyna linija, - raudona linija, - žalia linija. A=-1 turime atvirkštinis proporcingumas, kurio grafikas yra hiperbolė.

Laipsninės funkcijos su nelyginiu neigiamu rodikliu savybės.

Galios funkcija su net neigiamu eksponentu.

Pereikime prie galios funkcijos a=-2,-4,-6,….

Paveiksle parodyti galios funkcijų grafikai – juoda linija, – mėlyna linija, – raudona linija.

Laipsninės funkcijos su lyginiu neigiamu rodikliu savybės.

Laipsnio funkcija su racionaliuoju arba neracionaliuoju rodikliu, kurio reikšmė didesnė už nulį ir mažesnė už vienetą.

Pastaba! Jei a yra teigiama trupmena su nelyginiu vardikliu, tai kai kurie autoriai laipsnio funkcijos apibrėžimo sritį laiko intervalu. Numatyta, kad rodiklis a yra neredukuojama trupmena. Dabar daugelio algebros ir analizės principų vadovėlių autoriai NEAPSIBRĖŽIA galios funkcijų su eksponentu trupmenos su nelyginiu vardikliu neigiamoms argumento reikšmėms. Laikysimės būtent šio požiūrio, tai yra, aibę laikysime galios funkcijų su trupmeniniais teigiamais eksponentais apibrėžimo sritimis. Rekomenduojame mokiniams išsiaiškinti mokytojo nuomonę šiuo subtiliu dalyku, kad nekiltų nesutarimų.

Panagrinėkime galios funkciją su racionaliuoju arba neracionaliuoju rodikliu a ir .

Pateiksime galios funkcijų grafikus a=11/12 (juoda linija), a=5/7 (raudona linija), (mėlyna linija), a=2/5 (žalia linija).

Laipsnio funkcija, kurios racionalusis arba neracionalusis rodiklis yra didesnis nei vienas.

Panagrinėkime galios funkciją su nesveikuoju skaičiumi racionaliuoju arba neracionaliuoju rodikliu a ir .

Pateikiame formulėmis pateiktų galių funkcijų grafikus (atitinkamai juodos, raudonos, mėlynos ir žalios linijos).

>

Kitoms eksponento a reikšmėms funkcijos grafikai atrodys panašiai.

Galios funkcijos savybės esant .

Galios funkcija, kurios tikrasis rodiklis yra didesnis nei minus vienas ir mažesnis už nulį.

Pastaba! Jei a yra neigiama trupmena su nelyginiu vardikliu, tai kai kurie autoriai laipsnio funkcijos apibrėžimo sritį laiko intervalu . Numatyta, kad rodiklis a yra neredukuojama trupmena. Dabar daugelio algebros ir analizės principų vadovėlių autoriai NEAPSIBRĖŽIA galios funkcijų su eksponentu trupmenos su nelyginiu vardikliu neigiamoms argumento reikšmėms. Laikysimės būtent šio požiūrio, tai yra laipsnių funkcijų su trupmeniniais trupmeniniais neigiamais rodikliais apibrėžimo sritis laikysime atitinkamai aibe. Rekomenduojame mokiniams išsiaiškinti mokytojo nuomonę šiuo subtiliu dalyku, kad nekiltų nesutarimų.

Pereikime prie galios funkcijos, kgod.

Norėdami gerai suprasti galios funkcijų grafikų formą, pateikiame funkcijų grafikų pavyzdžius (atitinkamai juodos, raudonos, mėlynos ir žalios kreivės).

Laipsninės funkcijos su eksponentu a, savybės.

Galios funkcija, kurios realusis rodiklis nėra sveikasis skaičius, kuris yra mažesnis nei minus vienas.

Pateiksime galios funkcijų grafikų pavyzdžius , jie pavaizduoti atitinkamai juodomis, raudonomis, mėlynomis ir žaliomis linijomis.

Laipsninės funkcijos, kai ne sveikasis skaičius neigiamas rodiklis yra mažesnis už minus vienetą, savybės.

Kai a = 0, turime funkciją – tai tiesi linija, iš kurios išskiriamas taškas (0;1) (susitarta reiškiniui 0 0 neteikti jokios reikšmės).

Eksponentinė funkcija.

Viena iš pagrindinių elementariųjų funkcijų yra eksponentinė funkcija.

Eksponentinės funkcijos grafikas, kur ir įgauna skirtingas formas, priklausomai nuo bazės a reikšmės. Išsiaiškinkime tai.

Pirmiausia apsvarstykite atvejį, kai eksponentinės funkcijos bazė įgauna reikšmę nuo nulio iki vieneto, tai yra, .

Kaip pavyzdį pateikiame eksponentinės funkcijos grafikus, kai a = 1/2 – mėlyna linija, a = 5/6 – raudona linija. Eksponentinės funkcijos grafikai turi panašią išvaizdą kitoms bazės reikšmėms iš intervalo.

Eksponentinės funkcijos, kurios bazė yra mažesnė už vieną, savybės.

Pereikime prie atvejo, kai eksponentinės funkcijos bazė yra didesnė už vienetą, tai yra, .

Kaip iliustraciją pateikiame eksponentinių funkcijų grafikus – mėlyna linija ir – raudona linija. Kitoms bazės reikšmėms, didesnėms nei viena, eksponentinės funkcijos grafikai atrodys panašiai.

Eksponentinės funkcijos, kurios bazė yra didesnė už vienetą, savybės.

Logaritminė funkcija.

Kita pagrindinė elementari funkcija yra logaritminė funkcija, kur , . Logaritminė funkcija apibrėžiama tik teigiamoms argumento reikšmėms, ty .

Logaritminės funkcijos grafikas įgauna skirtingas formas, priklausomai nuo bazės a reikšmės.

Pagrindinės elementarios funkcijos, joms būdingos savybės ir atitinkami grafikai yra vienas iš matematinių žinių pagrindų, savo svarba panaši į daugybos lentelę. Elementariosios funkcijos yra visų teorinių klausimų tyrimo pagrindas, atrama.

Yandex.RTB R-A-339285-1

Toliau pateiktame straipsnyje pateikiama pagrindinė medžiaga pagrindinių elementarių funkcijų tema. Supažindinsime su terminais, pateiksime jų apibrėžimus; Išsamiai išnagrinėkime kiekvieną elementariųjų funkcijų tipą ir išanalizuokime jų savybes.

Išskiriami šie pagrindinių elementariųjų funkcijų tipai:

1 apibrėžimas

• pastovi funkcija (konstanta);
• n-oji šaknis;
• galios funkcija;
• eksponentinė funkcija;
• logaritminė funkcija;
• trigonometrinės funkcijos;
• broliškos trigonometrinės funkcijos.

Pastovi funkcija apibrėžiama formule: y = C (C yra tam tikras realusis skaičius) ir taip pat turi pavadinimą: konstanta. Ši funkcija nustato bet kurios tikrosios nepriklausomo kintamojo x reikšmės atitikimą tai pačiai kintamojo y reikšmei – C reikšmei.

Konstantos grafikas yra tiesė, lygiagreti abscisių ašiai ir eina per tašką, kurio koordinatės (0, C). Aiškumo dėlei pateikiame pastovių funkcijų y = 5, y = - 2, y = 3, y = 3 grafikus (brėžinyje atitinkamai pažymėtos juoda, raudona ir mėlyna spalva).

2 apibrėžimas

Ši elementari funkcija apibrėžiama formule y = x n (n yra natūralusis skaičius, didesnis už vienetą).

Panagrinėkime du funkcijos variantus.

1. n-oji šaknis, n – lyginis skaičius

Aiškumo dėlei nurodome brėžinį, kuriame pavaizduoti tokių funkcijų grafikai: y = x, y = x 4 ir y = x8. Šios funkcijos žymimos spalvomis: atitinkamai juoda, raudona ir mėlyna.

Lyginio laipsnio funkcijos grafikai turi panašią išvaizdą kitoms eksponento reikšmėms.

3 apibrėžimas

N-osios šaknies funkcijos savybės, n yra lyginis skaičius

• apibrėžimo sritis – visų neneigiamų realiųjų skaičių aibė [ 0 , + ∞) ;
• kai x = 0, funkcija y = x n reikšmė lygi nuliui;
• ši funkcija yra bendrosios formos funkcija (ji nėra nei lyginė, nei nelyginė);
• diapazonas: [ 0 , + ∞) ;
• ši funkcija y = x n lyginiams šaknies eksponentams didėja visoje apibrėžimo srityje;
• funkcija turi išgaubtą kryptį aukštyn visoje apibrėžimo srityje;
• nėra vingio taškų;
• nėra asimptotų;
• funkcijos grafikas lyginiams n eina per taškus (0; 0) ir (1; 1).

1. n-oji šaknis, n – nelyginis skaičius

Tokia funkcija apibrėžiama visoje realiųjų skaičių aibėje. Aiškumo dėlei apsvarstykite funkcijų grafikus y = x 3 , y = x 5 ir x 9 . Brėžinyje jie pažymėti spalvomis: juoda, raudona ir mėlyna yra atitinkamai kreivių spalvos.

Kitos nelyginės funkcijos y = x n šakninio eksponento reikšmės duos panašaus tipo grafiką.

4 apibrėžimas

N-osios šaknies funkcijos savybės, n yra nelyginis skaičius

• apibrėžimo sritis – visų realiųjų skaičių aibė;
• ši funkcija yra nelyginė;
• reikšmių diapazonas – visų realiųjų skaičių rinkinys;
• nelyginių šaknies eksponentų funkcija y = x n didėja visoje apibrėžimo srityje;
• funkcija turi įgaubtą intervale (- ∞ ; 0 ] ir išgaubtą intervale [ 0 , + ∞ );
• vingio taškas turi koordinates (0; 0);
• nėra asimptotų;
• Nelyginio n funkcijos grafikas eina per taškus (- 1 ; - 1), (0 ; 0) ir (1 ; 1).

Maitinimo funkcija

5 apibrėžimas

Galios funkcija apibrėžiama formule y = x a.

Grafikų išvaizda ir funkcijos savybės priklauso nuo eksponento reikšmės.

• kai laipsnio funkcija turi sveikąjį rodiklį a, tai laipsnio funkcijos grafiko tipas ir jo savybės priklauso nuo to, ar rodiklis lyginis ar nelyginis, taip pat nuo to, kokį ženklą turi rodiklis. Toliau išsamiau panagrinėkime visus šiuos ypatingus atvejus;
• eksponentas gali būti trupmeninis arba neracionalus – priklausomai nuo to skiriasi ir grafikų tipas bei funkcijos savybės. Išanalizuosime ypatingus atvejus nustatydami keletą sąlygų: 0< a < 1 ; a > 1 ; - 1 < a < 0 и a < - 1 ;
• laipsnio funkcija gali turėti nulinį rodiklį, mes taip pat išsamiau išanalizuosime šį atvejį.

Išanalizuokime galios funkciją y = x a, kai a yra nelyginis teigiamas skaičius, pavyzdžiui, a = 1, 3, 5...

Aiškumo dėlei nurodome tokių galios funkcijų grafikus: y = x (grafinė spalva juoda), y = x 3 (mėlyna diagramos spalva), y = x 5 (raudona diagramos spalva), y = x 7 (grafinė žalia spalva). Kai a = 1, gauname tiesinę funkciją y = x.

6 apibrėžimas

Laipsninės funkcijos savybės, kai rodiklis yra nelyginis teigiamas

• funkcija didėja, kai x ∈ (- ∞ ; + ∞) ;
• funkcija turi išgaubtą x ∈ (- ∞ ; 0 ] ir įgaubtą x ∈ [ 0 ; + ∞) (išskyrus tiesinę funkciją);
• vingio taškas turi koordinates (0 ; 0) (išskyrus tiesinę funkciją);
• nėra asimptotų;
• funkcijos praėjimo taškai: (- 1 ; - 1) , (0 ; 0) , (1 ; 1) .

Išanalizuokime galios funkciją y = x a, kai a yra lyginis teigiamas skaičius, pavyzdžiui, a = 2, 4, 6...

Aiškumo dėlei nurodome tokių galios funkcijų grafikus: y = x 2 (grafinė juoda spalva), y = x 4 (mėlyna diagramos spalva), y = x 8 (raudona diagramos spalva). Kai a = 2, gauname kvadratinę funkciją, kurios grafikas yra kvadratinė parabolė.

7 apibrėžimas

Laipsninės funkcijos savybės, kai rodiklis yra netgi teigiamas:

• apibrėžimo sritis: x ∈ (- ∞ ; + ∞) ;
• mažėja x ∈ (- ∞ ; 0 ] ;
• funkcija turi įgaubtą x ∈ (- ∞ ; + ∞) ;
• nėra vingio taškų;
• nėra asimptotų;
• funkcijos perėjimo taškai: (- 1 ; 1) , (0 ; 0) , (1 ; 1) .

Toliau pateiktame paveikslėlyje pateikti galios funkcijų grafikų pavyzdžiai y = x a, kai a yra nelyginis neigiamas skaičius: y = x - 9 (grafinė juoda spalva); y = x - 5 (mėlyna grafiko spalva); y = x - 3 (raudona diagramos spalva); y = x - 1 (grafinė žalia spalva). Kai a = - 1, gauname atvirkštinį proporcingumą, kurio grafikas yra hiperbolė.

8 apibrėžimas

Laipsninės funkcijos savybės, kai rodiklis yra nelyginis neigiamas:

Kai x = 0, gauname antrojo tipo nenuoseklumą, nes lim x → 0 - 0 x a = - ∞, lim x → 0 + 0 x a = + ∞, kai a = - 1, - 3, - 5, …. Taigi tiesė x = 0 yra vertikali asimptotė;

• diapazonas: y ∈ (- ∞ ; 0) ∪ (0 ; + ∞) ;
• funkcija nelyginė, nes y (- x) = - y (x);
• funkcija mažėja x ∈ - ∞ ; 0 ∪ (0 ; + ∞);
• funkcija turi išgaubtą x ∈ (- ∞ ; 0) ir įgaubtą x ∈ (0 ; + ∞) ;
• nėra vingio taškų;

k = lim x → ∞ x a x = 0, b = lim x → ∞ (x a - k x) = 0 ⇒ y = k x + b = 0, kai a = - 1, - 3, - 5, . . . .

• funkcijos perėjimo taškai: (- 1 ; - 1) , (1 ; 1) .

Žemiau esančiame paveikslėlyje parodyti laipsnio funkcijos y = x a grafikų pavyzdžiai, kai a yra lyginis neigiamas skaičius: y = x - 8 (grafinė juoda spalva); y = x - 4 (mėlyna grafiko spalva); y = x - 2 (raudona diagramos spalva).

9 apibrėžimas

Laipsninės funkcijos savybės, kai rodiklis yra net neigiamas:

• apibrėžimo sritis: x ∈ (- ∞ ; 0) ∪ (0 ; + ∞) ;

Kai x = 0, gauname antrojo tipo nenuoseklumą, nes lim x → 0 - 0 x a = + ∞, lim x → 0 + 0 x a = + ∞, kai a = - 2, - 4, - 6, …. Taigi tiesė x = 0 yra vertikali asimptotė;

• funkcija lygi, nes y(-x) = y(x);
• funkcija didėja, kai x ∈ (- ∞ ; 0), ir mažėja, kai x ∈ 0; + ∞ ;
• funkcija turi įgaubtą ties x ∈ (- ∞ ; 0) ∪ (0 ; + ∞) ;
• nėra vingio taškų;
• horizontali asimptote – tiesi linija y = 0, nes:

k = lim x → ∞ x a x = 0, b = lim x → ∞ (x a - k x) = 0 ⇒ y = k x + b = 0, kai a = - 2 , - 4 , - 6 , . . . .

• funkcijos praėjimo taškai: (- 1 ; 1) , (1 ; 1) .

Nuo pat pradžių atkreipkite dėmesį į tokį aspektą: tuo atveju, kai a yra teigiama trupmena su nelyginiu vardikliu, kai kurie autoriai laiko intervalą - ∞ kaip šios galios funkcijos apibrėžimo sritį; + ∞ , nurodant, kad rodiklis a yra neredukuojama trupmena. Šiuo metu daugelio mokomųjų publikacijų apie algebrą ir analizės principus autoriai NEAPSIBRĖŽIA galios funkcijų, kur eksponentas yra trupmena su nelyginiu vardikliu neigiamoms argumento reikšmėms. Toliau laikysimės būtent šios pozicijos: imsime aibę [ 0 ; + ∞) . Rekomendacija mokiniams: išsiaiškinkite mokytojo nuomonę šiuo klausimu, kad išvengtumėte nesutarimų.

Taigi, pažiūrėkime į galios funkciją y = x a , kai eksponentas yra racionalusis arba neracionalusis skaičius, su sąlyga, kad 0< a < 1 .

Galios funkcijas pavaizduokime grafikais y = x a, kai a = 11 12 (grafinė juoda spalva); a = 5 7 (raudona diagramos spalva); a = 1 3 (mėlyna diagramos spalva); a = 2 5 (žalia grafiko spalva).

Kitos eksponento a reikšmės (jei 0< a < 1) дадут аналогичный вид графика.

10 apibrėžimas

Galios funkcijos savybės esant 0< a < 1:

• diapazonas: y ∈ [ 0 ; + ∞) ;
• funkcija didėja, kai x ∈ [ 0 ; + ∞) ;
• funkcija yra išgaubta x ∈ (0 ; + ∞);
• nėra vingio taškų;
• nėra asimptotų;

Išanalizuokime galios funkciją y = x a, kai rodiklis yra nesveikasis racionalusis arba neracionalusis skaičius, su sąlyga, kad a > 1.

Grafikais pavaizduokime galios funkciją y = x a tam tikromis sąlygomis, kaip pavyzdį naudojant šias funkcijas: y = x 5 4, y = x 4 3, y = x 7 3, y = x 3 π (juoda, raudona, mėlyna, žalia grafikų spalva, atitinkamai).

Kitos eksponento a reikšmės, jei > 1, duos panašų grafiką.

11 apibrėžimas

Galios funkcijos savybės > 1:

• apibrėžimo sritis: x ∈ [ 0 ; + ∞) ;
• diapazonas: y ∈ [ 0 ; + ∞) ;
• ši funkcija yra bendrosios formos funkcija (ji nėra nei nelyginė, nei lyginė);
• funkcija didėja, kai x ∈ [ 0 ; + ∞) ;
• funkcija turi įgaubtą x ∈ (0 ; + ∞) (kai 1< a < 2) и выпуклость при x ∈ [ 0 ; + ∞) (когда a > 2);
• nėra vingio taškų;
• nėra asimptotų;
• funkcijos praėjimo taškai: (0 ; 0) , (1 ; 1) .

Atkreipkite dėmesį, kai a yra neigiama trupmena su nelyginiu vardikliu, kai kurių autorių darbuose yra nuomonė, kad apibrėžimo sritis šiuo atveju yra intervalas - ∞; 0 ∪ (0 ; + ∞) su įspėjimu, kad eksponentas a yra neredukuojama trupmena. Šiuo metu mokomosios medžiagos apie algebrą ir analizės principus autoriai NEapibrėžia galios funkcijų su eksponentu trupmenos su nelyginiu vardikliu neigiamoms argumento reikšmėms. Be to, laikomės būtent šio požiūrio: laipsniškų funkcijų su trupmeniniais neigiamais eksponentais apibrėžimo sritis laikome aibę (0 ; + ∞). Rekomendacija mokiniams: šiuo metu paaiškinkite savo mokytojo viziją, kad išvengtumėte nesutarimų.

Tęskime temą ir panagrinėkime galios funkciją y = x a, jei: - 1< a < 0 .

Pateikiame šių funkcijų grafikų brėžinį: y = x - 5 6, y = x - 2 3, y = x - 1 2 2, y = x - 1 7 (juoda, raudona, mėlyna, žalia spalva atitinkamai linijos).

12 apibrėžimas

Galios funkcijos savybės ties - 1< a < 0:

lim x → 0 + 0 x a = + ∞, kai – 1< a < 0 , т.е. х = 0 – вертикальная асимптота;

• diapazonas: y ∈ 0 ; + ∞ ;
• ši funkcija yra bendrosios formos funkcija (ji nėra nei nelyginė, nei lyginė);
• nėra vingio taškų;

Žemiau esančiame brėžinyje pavaizduoti galios funkcijų y = x - 5 4, y = x - 5 3, y = x - 6, y = x - 24 7 (atitinkamai juodos, raudonos, mėlynos, žalios kreivių spalvos) grafikai.

13 apibrėžimas

Galios funkcijos savybės a< - 1:

• apibrėžimo sritis: x ∈ 0 ; + ∞ ;

lim x → 0 + 0 x a = + ∞ kai a< - 1 , т.е. х = 0 – вертикальная асимптота;

• diapazonas: y ∈ (0 ; + ∞) ;
• ši funkcija yra bendrosios formos funkcija (ji nėra nei nelyginė, nei lyginė);
• funkcija mažėja, kai x ∈ 0; + ∞ ;
• funkcija turi įgaubtą x ∈ 0; + ∞ ;
• nėra vingio taškų;
• horizontali asimptotė – tiesė y = 0;
• funkcijos praėjimo taškas: (1; 1) .

Kai a = 0 ir x ≠ 0, gauname funkciją y = x 0 = 1, kuri apibrėžia tiesę, iš kurios išskiriamas taškas (0; 1) (sutarta, kad reiškinys 0 0 neturės jokios reikšmės ).

Eksponentinė funkcija turi formą y = a x, kur a > 0 ir a ≠ 1, o šios funkcijos grafikas atrodo kitaip, atsižvelgiant į pagrindo a reikšmę. Panagrinėkime ypatingus atvejus.

Pirmiausia pažvelkime į situaciją, kai eksponentinės funkcijos bazė turi reikšmę nuo nulio iki vieneto (0< a < 1) . Geras pavyzdys yra a = 1 2 (mėlyna kreivės spalva) ir a = 5 6 (raudona kreivės spalva) funkcijų grafikai.

Eksponentinės funkcijos grafikai atrodys panašiai ir kitoms bazės reikšmėms esant sąlygai 0< a < 1 .

14 apibrėžimas

Eksponentinės funkcijos savybės, kai bazė yra mažesnė už vieną:

• diapazonas: y ∈ (0 ; + ∞) ;
• ši funkcija yra bendrosios formos funkcija (ji nėra nei nelyginė, nei lyginė);
• eksponentinė funkcija, kurios bazė yra mažesnė už vieną, mažėja visoje apibrėžimo srityje;
• nėra vingio taškų;
• horizontali asimptotė – tiesė y = 0 su kintamuoju x linkęs į + ∞;

Dabar apsvarstykite atvejį, kai eksponentinės funkcijos bazė yra didesnė už vienetą (a > 1).

Šį ypatingą atvejį pavaizduokime eksponentinių funkcijų grafiku y = 3 2 x (mėlyna kreivės spalva) ir y = e x (raudona grafiko spalva).

Kitos bazės reikšmės, didesni vienetai, atrodys panašiai kaip eksponentinės funkcijos grafikas.

15 apibrėžimas

Eksponentinės funkcijos savybės, kai bazė yra didesnė už vienetą:

• apibrėžimo sritis – visa realiųjų skaičių aibė;
• diapazonas: y ∈ (0 ; + ∞) ;
• ši funkcija yra bendrosios formos funkcija (ji nėra nei nelyginė, nei lyginė);
• eksponentinė funkcija, kurios bazė didesnė už vieną, didėja kaip x ∈ - ∞; + ∞ ;
• funkcija turi įdubimą ties x ∈ - ∞; + ∞ ;
• nėra vingio taškų;
• horizontali asimptotė – tiesė y = 0 su kintamuoju x linkusiu į - ∞;
• funkcijos praėjimo taškas: (0; 1) .

Logaritminė funkcija turi formą y = log a (x), kur a > 0, a ≠ 1.

Tokia funkcija apibrėžiama tik teigiamoms argumento reikšmėms: x ∈ 0; + ∞ .

Logaritminės funkcijos grafikas skiriasi pagal pagrindo a reikšmę.

Pirmiausia panagrinėkime situaciją, kai 0< a < 1 . Продемонстрируем этот частный случай графиком логарифмической функции при a = 1 2 (синий цвет кривой) и а = 5 6 (красный цвет кривой).

Kitos bazės reikšmės, o ne didesni vienetai, duos panašaus tipo grafiką.

16 apibrėžimas

Logaritminės funkcijos savybės, kai bazė yra mažesnė už vieną:

• apibrėžimo sritis: x ∈ 0 ; + ∞ . Kadangi x iš dešinės linkęs į nulį, funkcijos reikšmės linkusios į +∞;
• diapazonas: y ∈ - ∞ ; + ∞ ;
• ši funkcija yra bendrosios formos funkcija (ji nėra nei nelyginė, nei lyginė);
• logaritminis
• funkcija turi įgaubtą x ∈ 0; + ∞ ;
• nėra vingio taškų;
• nėra asimptotų;

Dabar pažiūrėkime į ypatingą atvejį, kai logaritminės funkcijos bazė yra didesnė už vienetą: a > 1 . Žemiau esančiame brėžinyje pavaizduoti logaritminių funkcijų y = log 3 2 x ir y = ln x grafikai (atitinkamai mėlyna ir raudona grafikų spalvos).

Kitos bazės reikšmės, didesnės nei viena, duos panašaus tipo grafiką.

17 apibrėžimas

Logaritminės funkcijos, kai bazė yra didesnė už vienetą, savybės:

• apibrėžimo sritis: x ∈ 0 ; + ∞ . Kadangi x iš dešinės linkęs į nulį, funkcijos reikšmės linkusios į - ∞ ;
• diapazonas: y ∈ - ∞ ; + ∞ (visa realiųjų skaičių aibė);
• ši funkcija yra bendrosios formos funkcija (ji nėra nei nelyginė, nei lyginė);
• logaritminė funkcija didėja, kai x ∈ 0; + ∞ ;
• funkcija yra išgaubta, kai x ∈ 0; + ∞ ;
• nėra vingio taškų;
• nėra asimptotų;
• funkcijos praėjimo taškas: (1; 0) .

Trigonometrinės funkcijos yra sinusas, kosinusas, tangentas ir kotangentas. Pažvelkime į kiekvieno iš jų savybes ir atitinkamą grafiką.

Apskritai visoms trigonometrinėms funkcijoms būdinga periodiškumo savybė, t.y. kai funkcijų reikšmės kartojasi skirtingoms argumento reikšmėms, kurios skiriasi viena nuo kitos periodu f (x + T) = f (x) (T yra periodas). Taigi į trigonometrinių funkcijų savybių sąrašą įtraukiamas punktas „mažiausias teigiamas laikotarpis“. Be to, nurodysime argumento reikšmes, kai atitinkama funkcija tampa nuliu.

1. Sinuso funkcija: y = sin(x)

Šios funkcijos grafikas vadinamas sinusine banga.

18 apibrėžimas

Sinuso funkcijos savybės:

• apibrėžimo sritis: visa realiųjų skaičių aibė x ∈ - ∞ ; + ∞ ;
• funkcija išnyksta, kai x = π · k, kur k ∈ Z (Z yra sveikųjų skaičių aibė);
• funkcija didėja, kai x ∈ - π 2 + 2 π · k ; π 2 + 2 π · k, k ∈ Z ir mažėjant x ∈ π 2 + 2 π · k; 3 π 2 + 2 π · k, k ∈ Z;
• sinuso funkcija turi vietinius maksimumus taškuose π 2 + 2 π · k; 1 ir vietiniai minimumai taškuose - π 2 + 2 π · k; - 1, k ∈ Z;
• sinuso funkcija yra įgaubta, kai x ∈ - π + 2 π · k ; 2 π · k, k ∈ Z ir išgaubtas, kai x ∈ 2 π · k; π + 2 π k, k ∈ Z;
• asimptotų nėra.

1. Kosinuso funkcija: y = cos(x)

Šios funkcijos grafikas vadinamas kosinuso banga.

19 apibrėžimas

Kosinuso funkcijos savybės:

• apibrėžimo sritis: x ∈ - ∞ ; + ∞ ;
• mažiausias teigiamas periodas: T = 2 π;
• reikšmių diapazonas: y ∈ - 1 ; 1 ;
• ši funkcija yra lygi, nes y (- x) = y (x);
• funkcija didėja, kai x ∈ - π + 2 π · k ; 2 π · k, k ∈ Z ir mažėja x ∈ 2 π · k; π + 2 π k, k ∈ Z;
• kosinuso funkcija turi vietinius maksimumus taškuose 2 π · k ; 1, k ∈ Z ir vietiniai minimumai taškuose π + 2 π · k; - 1, k ∈ z;
• kosinuso funkcija yra įgaubta, kai x ∈ π 2 + 2 π · k ; 3 π 2 + 2 π · k , k ∈ Z ir išgaubta, kai x ∈ - π 2 + 2 π · k ; π 2 + 2 π · k, k ∈ Z;
• vingio taškai turi koordinates π 2 + π · k; 0, k ∈ Z
• asimptotų nėra.

1. Tangento funkcija: y = t g (x)

Šios funkcijos grafikas vadinamas liestinė.

20 apibrėžimas

Tangentinės funkcijos savybės:

• apibrėžimo sritis: x ∈ - π 2 + π · k ; π 2 + π · k, kur k ∈ Z (Z sveikųjų skaičių aibė);
• Tangentinės funkcijos elgsena apibrėžimo srities lim x → π 2 + π · k + 0 t g (x) = - ∞ , lim x → π 2 + π · k - 0 t g (x) = + ∞ riboje . Taigi tiesės x = π 2 + π · k k ∈ Z yra vertikalios asimptotės;
• funkcija išnyksta, kai x = π · k k ∈ Z (Z yra sveikųjų skaičių aibė);
• diapazonas: y ∈ - ∞ ; + ∞ ;
• ši funkcija nelyginė, nes y (- x) = - y (x) ;
• funkcija didėja kaip - π 2 + π · k ; π 2 + π · k, k ∈ Z;
• liestinės funkcija yra įgaubta x ∈ [π · k; π 2 + π · k) , k ∈ Z ir išgaubtas x ∈ (- π 2 + π · k ; π · k ] , k ∈ Z ;
• vingio taškai turi koordinates π · k ; 0, k ∈ Z;

1. Kotangento funkcija: y = c t g (x)

Šios funkcijos grafikas vadinamas kotangentoidu. .

21 apibrėžimas

Kotangento funkcijos savybės:

• apibrėžimo sritis: x ∈ (π · k ; π + π · k) , kur k ∈ Z (Z yra sveikųjų skaičių aibė);

Kotangentinės funkcijos elgsena apibrėžimo srities lim x → π · k + 0 t g (x) = + ∞ riboje, lim x → π · k - 0 t g (x) = - ∞ . Taigi tiesės x = π · k k ∈ Z yra vertikalios asimptotės;

• mažiausias teigiamas periodas: T = π;
• funkcija išnyksta, kai x = π 2 + π · k k ∈ Z (Z yra sveikųjų skaičių aibė);
• diapazonas: y ∈ - ∞ ; + ∞ ;
• ši funkcija nelyginė, nes y (- x) = - y (x) ;
• funkcija mažėja x ∈ π · k ; π + π k, k ∈ Z;
• kotangentinė funkcija yra įgaubta x ∈ (π · k; π 2 + π · k ], k ∈ Z ir išgaubta x ∈ [ - π 2 + π · k ; π · k), k ∈ Z ;
• vingio taškai turi koordinates π 2 + π · k; 0, k ∈ Z;
• Nėra įstrižų ar horizontalių asimptočių.

Atvirkštinės trigonometrinės funkcijos yra arkosinė, arkosinė, arktangentė ir arkotangentinė. Dažnai dėl to, kad pavadinime yra priešdėlio „arkas“, atvirkštinės trigonometrinės funkcijos vadinamos lanko funkcijomis. .

1. Sinuso lanko funkcija: y = a r c sin (x)

22 apibrėžimas

Arkosinės funkcijos savybės:

• ši funkcija nelyginė, nes y (- x) = - y (x) ;
• arcsininė funkcija turi įgaubtą x ∈ 0; 1 ir išgaubimas x ∈ - 1 ; 0 ;
• vingio taškai turi koordinates (0; 0), kurios kartu yra ir funkcijos nulis;
• asimptotų nėra.

1. Lanko kosinuso funkcija: y = a r c cos (x)

23 apibrėžimas

Lanko kosinuso funkcijos savybės:

• apibrėžimo sritis: x ∈ - 1 ; 1 ;
• diapazonas: y ∈ 0 ; π;
• ši funkcija yra bendros formos (nei lyginė, nei nelyginė);
• funkcija mažėja visoje apibrėžimo srityje;
• lanko kosinuso funkcija turi įgaubą ties x ∈ - 1; 0 ir išgaubimas, kai x ∈ 0; 1 ;
• vingio taškai turi 0 koordinates; π 2;
• asimptotų nėra.

1. Arktangento funkcija: y = a r c t g (x)

24 apibrėžimas

Arktangento funkcijos savybės:

• apibrėžimo sritis: x ∈ - ∞ ; + ∞ ;
• reikšmių diapazonas: y ∈ - π 2 ; π 2;
• ši funkcija nelyginė, nes y (- x) = - y (x) ;
• funkcija didėja visoje apibrėžimo srityje;
• arctangentinė funkcija turi įgaubtą x ∈ (- ∞ ; 0 ] ir išgaubtą x ∈ [ 0 ; + ∞ );
• vingio taškas turi koordinates (0; 0), kurios kartu yra ir funkcijos nulis;
• horizontalios asimptotės yra tiesės y = - π 2 kaip x → - ∞ ir y = π 2 kaip x → + ∞ (paveiksle asimptotės yra žalios linijos).

1. Lanko liestinės funkcija: y = a r c c t g (x)

25 apibrėžimas

Arkotangento funkcijos savybės:

• apibrėžimo sritis: x ∈ - ∞ ; + ∞ ;
• diapazonas: y ∈ (0; π) ;
• ši funkcija yra bendros formos;
• funkcija mažėja visoje apibrėžimo srityje;
• lanko kotangento funkcija turi įgaubą x ∈ [ 0 ; + ∞) ir išgaubimas x ∈ (- ∞ ; 0 ] ;
• vingio taško koordinatės yra 0; π 2;
• horizontalios asimptotės yra tiesės y = π ties x → - ∞ (žalia linija brėžinyje) ir y = 0 ties x → + ∞.

Jei tekste pastebėjote klaidą, pažymėkite ją ir paspauskite Ctrl+Enter