Panagrinėkime kelių kanalų eilių sistemą (iš viso n kanalų), kuri priima užklausas, kurių intensyvumas yra λ, o aptarnaujamas intensyvumu μ. Į sistemą atvykusi užklausa aptarnaujama, jei bent vienas kanalas yra laisvas. Jei visi kanalai užimti, kita į sistemą gauta užklausa atmetama ir paliekama QS. Suskaičiuokime sistemos būsenas pagal užimtų kanalų skaičių:
Ryžiai. 7.24
6.24 paveiksle parodytas būsenos grafikas, kuriame Si– kanalo numeris; λ – gautų užklausų intensyvumas; μ
– atitinkamai aptarnavimo užklausų intensyvumas. Prašymai į eilių sistemą patenka nuolatiniu intensyvumu ir palaipsniui vienas po kito užima kanalus; kai visi kanalai užimti, kita į QS atvykusi užklausa bus atmesta ir išeis iš sistemos.
Nustatykime įvykių srautų, perkeliančių sistemą iš būsenos į būseną, intensyvumus, judant iš kairės į dešinę ir iš dešinės į kairę išilgai būsenos grafiko.
Pavyzdžiui, tegul sistema būna būsenoje S 1, t. y. vienas kanalas užimtas, nes jo įvestyje yra užklausa. Kai tik užklausos aptarnavimas bus baigtas, sistema pereis į būseną S 0 .
Pavyzdžiui, jei užimti du kanalai, tai paslaugų srautas, kuris perduoda sistemą iš būsenos S 2 valstybėje S 1 bus dvigubai intensyvesnis: 2-μ; atitinkamai, jei užimtas k kanalų, intensyvumas k-μ.
Priežiūros procesas yra mirties ir dauginimosi procesas. Šiuo konkrečiu atveju Kolmogorovo lygtys bus tokios formos:
(7.25)
Lygtys (7.25) vadinamos Erlango lygtys
.
Norėdami rasti būsenų tikimybių reikšmes R 0 , R 1 , …, Rn, būtina nustatyti pradines sąlygas:
– R 0 (0) = 1, t. y. sistemos įėjime yra užklausa;
– R 1 (0) = R 2 (0) = … = Rn(0) = 0, ty pradiniu laiko momentu sistema yra laisva.
Integravę diferencialinių lygčių sistemą (7.25), gauname būsenų tikimybių reikšmes R 0 (t), R 1 (t), … Rn(t).
Tačiau mus daug labiau domina ribojančios būsenų tikimybės. Kaip t → ∞ ir naudojant formulę, gautą nagrinėjant mirties ir dauginimosi procesą, gauname lygčių sistemos (7.25) sprendimą:
(7.26)
Šiose formulėse intensyvumo santykis λ / μ
prie programų srauto patogu priskirti ρ
.Šis kiekis vadinamas atsižvelgiant į programų srauto intensyvumą, tai vidutinis į QS gaunamų programų skaičius per vidutinį vienos programos aptarnavimo laiką.
Atsižvelgiant į padarytą žymėjimą, lygčių sistema (7.26) bus tokia:
(7.27)
Šios ribinių tikimybių skaičiavimo formulės vadinamos Erlango formulės
.
Žinodami visas QS būsenų tikimybes, rasime QS efektyvumo, t.y absoliutaus pralaidumo, charakteristikas. A, santykinis pralaidumas K ir nesėkmės tikimybė R atviras
Sistemos gauta paraiška bus atmesta, jei joje visi kanalai bus užimti:
.
Tikimybė, kad paraiška bus priimta aptarnauti:
K = 1 – R atviras,
Kur K– vidutinė sistemos aptarnaujamų gautų prašymų dalis arba vidutinis QS aptarnaujamų prašymų skaičius per laiko vienetą, padalytas iš vidutinio per tą laiką gautų prašymų skaičiaus:
A=λ·Q=λ·(1-P atvira)
Be to, viena iš svarbiausių QS su gedimais savybių yra vidutinis užimtų kanalų skaičius. IN n-kanalo QS su gedimais, šis skaičius sutampa su vidutiniu programų skaičiumi QS.
Vidutinį užklausų skaičių k galima apskaičiuoti tiesiogiai pagal būsenų P 0, P 1, ..., P n tikimybes:
,
y., mes randame matematinį diskretinio atsitiktinio kintamojo, kurio reikšmė yra nuo 0 iki n su tikimybėmis R 0 , R 1 , …, Rn.
Dar lengviau k reikšmę išreikšti per absoliučią QS talpą, t.y. A. Reikšmė A yra vidutinis programų, kurias sistema aptarnauja per laiko vienetą, skaičius. Vienas užimtas kanalas aptarnauja μ užklausų per laiko vienetą, tada vidutinis užimtų kanalų skaičius
Lygčių sistema
QS su gedimais atsitiktiniam aptarnavimo srautų skaičiui Puasono srautų vektorinis modelis. Grafikas, lygčių sistema.
Pavaizduokime QS kaip vektorių, kur k m– aplikacijų skaičius sistemoje, kurių kiekviena aptarnaujama m prietaisai; L= q maksimalus – q min +1 – įvesties srautų skaičius.
Jei prašymas aptarnauti priimamas ir sistema patenka į būseną, kurios intensyvumas yra λ m.
Baigus aptarnauti vieną iš užklausų, sistema pereis į būseną, kurioje atitinkamos koordinatės reikšmė yra viena mažesnė nei būsenoje = , t.y. įvyks atvirkštinis perėjimas.
Vektorinio QS modelio pavyzdys n = 3, L = 3, q min = 1, q maks. = 3, P(m) = 1/3, λ Σ = λ, įrenginio priežiūros intensyvumas – μ.
Naudojant būsenos grafiką su nubraižytais perėjimo intensyvumais, sudaroma tiesinių algebrinių lygčių sistema. Iš šių lygčių sprendinio randamos tikimybės R(), pagal kurį nustatomos QS charakteristikos.
QS su begaline Puasono srautų eile. Grafikas, lygčių sistema, skaičiuojami ryšiai.
Sistemos grafikas
Lygčių sistema
Kur n– paslaugų kanalų skaičius, l– vienas kitą padedančių kanalų skaičius
QS su begaline eile ir daline savitarpio pagalba savavališkiems srautams. Grafikas, lygčių sistema, skaičiuojami ryšiai.
Sistemos grafikas
Lygčių sistema
–λ R 0 + nμ R 1 =0,
.………………
–(λ + nμ) P k+ λ P k –1 + nμ P k +1 =0 (k = 1,2, ... , n–1),
……………....
-(λ+ nμ) P n+ λ P n –1 + nμ Р n+1=0,
……………….
-(λ+ nμ) Pn+j+ λ Р n+j –1 + nμ Р n+j+1=0, j=(1,2,….,∞)
Eilė su begaline eile ir visapusiška savavališkų gijų savitarpio pagalba. Grafikas, lygčių sistema, skaičiuojami ryšiai.
Sistemos grafikas
|
Lygčių sistema
QS su baigtine Puasono srautų eile. Grafikas, lygčių sistema, skaičiuojami ryšiai.
Sistemos grafikas
Lygčių sistema
Skaičiavimo koeficientai:
,
UDC 519.248:656.71
EILĖS SISTEMOS MODELIS SU NESTACINIAIS SRAUTAIS IR DALINĖS KANALŲ SAVIMOSIOS PAGALBOS PAGALBA
© 2011 V. A. Romanenko
Samaros valstybinis aerokosminis universitetas, pavadintas akademiko S.P. Korolevo vardu (nacionalinis tyrimų universitetas)
Aprašytas dinaminis kelių kanalų eilių sistemos modelis su nestacionariais srautais, laukimu riboto ilgio eilėje ir dalinai kanalų pagalba, išreikšta galimybe vienu metu aptarnauti užklausą dviem kanalais. Pateikiamos pagrindinių sistemos tikimybinių laiko charakteristikų išraiškos. Aprašyti centrinio oro uosto funkcionavimo modeliavimo rezultatai kaip nagrinėjamos sistemos pavyzdys.
Eilių sistema, nestacionarus srautas, savitarpio pagalba tarp kanalų, hub oro uostas.
Įvadas
Mes laikome kelių kanalų eilių sistemą (QS) su laukimu riboto ilgio eilėje. Nagrinėjamo QS ypatybė yra dalinė kanalų tarpusavio pagalba, išreikšta galimybe vienu metu naudoti du kanalus vienai užklausai aptarnauti. Sujungus kanalų pastangas paprastai sutrumpėja vidutinis aptarnavimo laikas. Daroma prielaida, kad QS gauna nestacionarų Puasono programų srautą. Programos aptarnavimo trukmė priklauso nuo laiko.
Tipiškas QS, turintis išvardytas funkcijas, pavyzdys yra oro uosto transporto paslaugų sistema. Kelių (dažniausiai dviejų) įrenginių (registracijos langelių, aviacinių degalų tanklaivių, specialiųjų transporto priemonių ir kt.) naudojimą vienu metu vienam skrydžiui aptarnauti numato didelių orlaivių (AC) oro uosto aptarnavimo technologiniai grafikai. Tuo pačiu didiesiems oro uostams ypač aktualus poreikis gerinti antžeminio pervežimo paslaugų kokybę ir trumpinti jų trukmę lemia tai, kad ne viena, o keliomis (dvomis) priemonėmis atliekamų operacijų dalis didėja. didėja.
Tai didėja didėjant oro uosto mastui. Straipsnyje aprašytas modelis buvo sukurtas siekiant išspręsti centrų oro uostų (hubų) gamybos kompleksų, kuriems būdingas antžeminio transporto infrastruktūros perpildymas su ryškiu nestacionariu keleivių, orlaivių ir krovinių srautu, analizės ir veikimo optimizavimo problemas. jų tarnybos intensyvumo svyravimai.
Bendras modelio aprašymas
Modelis skirtas nustatyti QS sistemos, turinčios N aptarnavimo kanalų, tikimybinių charakteristikų priklausomybes nuo laiko. Paraiškų skaičius QS neturėtų viršyti K, o tai gali būti dėl techninių apribojimų, susijusių su orlaivių stovėjimo vietų skaičiumi oro uoste, terminalo ar krovinių komplekso pajėgumais ir kt. Vienai užklausai aptarnauti skiriamas 1 arba 2 kanalų skaičius. Jei yra bent du laisvi kanalai, gauta užklausa su nurodyta tikimybe pasiskolinama aptarnavimui
vienas iš jų ir – su tikimybe y2 = 1 – y1 – abu kanalai. Jei tuo metu, kai gaunama paraiška dėl aptarnavimo, QS turi tik vieną nemokamą kanalą, ši programa bet kuriuo atveju užima turimą
vienintelis kanalas. Jei neužimtų kanalų nėra, naujai gauta užklausa „įkeliama į eilę“ ir laukia aptarnavimo. Jei eilėje esančių programų skaičius yra K-N, tai naujai gauta programa palieka QS neaptarnaujamą. Tokio įvykio tikimybė turėtų būti maža.
QS įvestis gauna Puasono (nebūtinai stacionarų) programų srautą
su intensyvumu l(t). Daroma prielaida, kad užklausos aptarnavimo trukmė tiek vienu kanalu Tobsl1 (t), tiek dviem -
Tobsl 2 (t) yra eksponentiškai paskirstytos atsitiktinės laiko funkcijos (atsitiktiniai procesai).
Taikymo paslaugų intensyvumas
vienas kanalas ^ (t) ir vienu metu du kanalai m 2 (t) apibrėžiami kaip
mi (t) = [Tobsl1 (t)]-1, m2 (t) = [Tobsl2 (t)]-1,
kur Tobsl1 (t) = M [Tobsl1 (t)], Tobsl 2 (t) = M[Tobsl 2 (t)]
Vidutinis užklausos aptarnavimo laikas atitinkamai vienu kanalu ir dviem kanalais.
Ryšys tarp dydžių m1 (t) ir m 2 (t) pateikiamas ryšiu
m2 (t) = ^m1 (t) ,
kur 9 yra koeficientas, kuriame atsižvelgiama į santykinį paslaugų intensyvumo padidėjimą naudojant du kanalus.
Praktikoje ryšys tarp pritrauktų lėšų skaičiaus ir paslaugų teikimo intensyvumo yra gana sudėtingas, nulemtas aptariamos paslaugos veiklos ypatybių. Skrydžiams, kurių trukmė siejama su atliekamų darbų apimtimi (pavyzdžiui, degalų papildymas orlaiviu naudojant reaktyvinių degalų tanklaivius, keleivių įlaipinimas ar išlaipinimas iš orlaivio ir kt.), aptarnavimo intensyvumo priklausomybė nuo kanalų skaičius yra tiesiogiai proporcingas, tačiau tai nėra griežtai dėl laiko, reikalingo pasiruošimui
bet galutinės operacijos, kurioms įtakos neturi lėšų skaičius. Už tokias operacijas 2 GBP. Kai kurių operacijų vykdymo trukmės priklausomybė nuo patalpų ar atlikėjų skaičiaus yra ne tokia ryški (pavyzdžiui, registracija arba prieš skrydį
keleivių patikra). Šiuo atveju »1.
Savavališku laiko momentu I svarstomas QS gali būti vienoje iš L+1 diskrečiųjų būsenų - B0, ...,
SUŠAS. Perėjimas iš būsenos į būseną gali įvykti bet kuriuo metu. Tikimybė, kad tuo metu I QS bus būsenoje
normalizavimo sąlyga 2 р () =1 Žino-
Tikimybių P0 (/), PX (t),..., Pb (t) analizė leidžia nustatyti tokias svarbias virtualias (momentines) QS charakteristikas kaip vidutinis eilės ilgis, vidutinis užimtų kanalų skaičius, vidutinis QS esančių užklausų skaičius ir kt.
Būsenų p(t) tikimybės randamos sprendžiant Kolmogorovo diferencialinių lygčių sistemą, paprastai rašoma kaip
=Ё jp(t)P /(t)-P,(t)Z (t).,
r = 0,1,...,b,
Kur<р^ ^) - плотности (интенсивности) вероятностей перехода из состояния с порядковым номером г в состояние с порядковым номером ]. Величины фу (t) определяются по формуле
čia P(/; At) yra tikimybė, kad QS, kuris momentu t buvo B būsenoje,
laikas At eis iš jo į valstybę
Kolmogorovo lygtims sudaryti naudojamas pažymėtas QS būsenos grafikas. Jame atitinkami f intensyvumai yra virš rodyklių, vedančių iš B į B. Kiekvienos būsenos tikimybės išvestinė apibrėžiama kaip visų tikimybių srautų, ateinančių iš kitų būsenų į tam tikrą būseną, suma, atėmus visų tikimybių srautų, einančių iš tam tikros būsenos į kitas, suma.
Grafui sukurti įvedama trijų indeksų žymėjimo sistema, kurioje nagrinėjamo QS būsena savavališku laiko momentu apibūdinama trimis parametrais: užimtų kanalų skaičiumi n (n = 0,1,.. .,^), aptarnuotų užklausų skaičius k (k = 0,1,...,^) ir laukiamų paslaugos t (t = 0,1,...,^ - N).
Pav. 1 paveiksle parodytas pažymėtas būsenos grafikas, sudarytas naudojant aukščiau aprašytas taisykles ir įvestus žymėjimus, skirtą QS, pasirinktam kaip paprastas pavyzdys.
Siekiant sutaupyti vietos, toliau pateiktoje grafike ir atitinkamoje Kolmogorovo lygčių sistemoje praleisti intensyvumo 1, m1, m2 ir būsenų tikimybių funkcinės priklausomybės nuo laiko žymėjimai.
^000 /L = -(^1^ + ^2^) P000 + tr10 + t2P210,
= - (t + U-11 + U21) рш + ^Рр000 +
2t1R220 + t2 R320,
LR210 IL = – (t2 + ^11 + ^21) P210 + V2YP000 +
Т1Р320 + 2 ^2Р420,
LR220/L = -(2^1 + ^1^ + ^21) Р220 + ^1Rio +
3 t1Р330 + ^2Р430,
LR32<:)1Л = - (т2 + т1 + ^11 + ^21)р320 +
+^11Р210 + V2ЯP110 + 2t 1Р430 +
LR4yu1L (1 + 2 ^2) Р420 + ^21Р210 + t р30, ЛР330 /Л = -(3т1 + ^1^+ ^21) Р330 + ^11Р220 + +4^1Р440 + Т2р40,
^430 /L = - (2^1 + ^2 + 1) Р430 + ^11Р320 +
+^2^ Р220 + 3т 1р40 + 2^2р31,
LR530/l =-(t + 2t2 + i) p^30+1P420 +
+^2YaP320 + t1P531,
LR440 IL (4t1 + I) R40 + R330 +
5^1р50 + t2р41,
LR540/ l =-(t2 + 3t + i) r540 + yar430 +
+"^2YaP330 + 3 t1P541 + 2 t2P532,
LR531/L = – (^1 + 2^2 + R) R^31 + R530 +
LR550 IL = -(5t1 + Y) R550 + YR440 +
5t1R551 + t2R542,
LR541/ l = - (t2 + 3t + i) p^41 + ya^40 +
LR532/l = -(t1 + 2t2) Р532 + i р531,
LR5511L = - (5t1 + Y)r51 + YR550 + 5t1R552,
lr542 / l = - (3 t + t2) r542 + i r541 ,
Lp5^^ = 5 t1P552 + i p51.
Jei šiuo metu t = 0 QS nėra užklausų, pradinės sąlygos bus parašytos formoje
P10 (0) = P210 (0) = P220 (0) =... = P552 (0) = 0.
Didelių matmenų sistemų, tokių kaip (1), (2), su kintamomis reikšmėmis 1(^, mDO, m2(0), sprendimas galimas tik skaitmeniniais metodais naudojant kompiuterį.
Ryžiai. 1. QS būsenos grafikas
QS modelio kūrimas
Pagal algoritminį metodą, mes apsvarstysime būdą, kaip transformuoti savavališko matmens Kolmogorovo lygčių sistemą į formą, tinkamą kompiuteriniams skaičiavimams. Norėdami supaprastinti įrašymą, vietoj trigubos sistemos naudojame dvigubą QS būsenų žymėjimo sistemą, kurioje r yra kanalų, užimtų aptarnavimui, skaičius plius eilės ilgis,] yra programų skaičius QS. . Ryšys tarp žymėjimo sistemų išreiškiamas priklausomybėmis:
r = n + m, r = 0,1,...,K;
] = k + m, ] = 0,1,...,K.
Jokia būsena iš formaliosios aibės negali būti realizuota
B. (r = 0,1,...,K; ] = 0,1,...,K). Visų pirma,
pagal aprašytą modelį neįmanomos būsenos, kai dvi ar daugiau užklausų vienu metu aptarnauja viena
kanalas, t.y. R. (t) = 0, jei ] > r Pažymime 8 leistinų QS būsenų aibę. Valstybė B. egzistuoja, ir
jo atitinkama tikimybė P. ^)
gali būti ne nulis, jei įvykdoma viena iš šių sąlygų:
1)] <г< 2], если 2] < N,
2)] <г< ] + Ч - 1 если \ .
y] + H - 1< К,
3)] < г < К, если ] + ч - 1 ^ К,
r = 0,1,...,K; ] = 0,1,...,K,
kur Х yra didžiausias būsenų su skirtingu aptarnavimo kanalų skaičiumi tam tikram užklausų skaičiui, nustatytas pagal formulę
Čia skliausteliuose nurodoma trupmeninės dalies atmetimo operacija. Pavyzdžiui,
sprendžiant pagal būsenos grafiką, parodytą pav. 1, dvi užklausos gali būti aptarnaujamos dviem, trimis arba keturiais kanalais. Todėl aukščiau aptartame pavyzdyje
H = 5 - = 5 - 2 = 3.
Norint įgyvendinti kompiuterinius skaičiavimus naudojant savavališko matmens Kolmogorovo lygčių sistemą, jos lygtys turi būti sumažintos iki kokios nors universalios formos, leidžiančios užrašyti bet kokią lygtį. Norėdami sukurti tokią formą, apsvarstykite būsenos grafiko fragmentą, rodantį vieną savavališką būseną B] su pirmaujančiomis iš jos
intensyvumo rodyklėmis. Romėniškais skaitmenimis pažymėkime kaimynines valstybes, tiesiogiai susijusias su B., kaip parodyta Fig. 2.
Kiekvienai B. būsenai (g = 0,1,...,K; ] = 0,1,...,K), kad B. e 8, laiko momentu t reikšmės
p^), p(t), p.^), p(t) priimti
įvairios vertės (įskaitant lygias nuliui). Tačiau lygties struktūra
(3) lieka nepakitęs, todėl jį galima panaudoti savavališko matmens Kolmogorovo lygčių sistemos kompiuteriniam įgyvendinimui.
Intensyvumai fr (t), (р. (t), linkę perkelti QS į būsenas su didelėmis r ir ] reikšmėmis, jei tokių būsenų buvimas yra įmanomas, nustatomos remiantis daugybe sąlygų, kaip nurodyta toliau. :
o.. ї a arba
°(,-+1)0"+1) ї 8 '
0(,-+2)(.+1) - 8 i £ N - 2,
o(i+1)(.+1)- 8 arba
°(.+2)а+1)ї 8
O(.+1)(V+1) – 8'
Ryžiai. 2. QS būsenos grafiko fragmentas
Atsižvelgiant į kaimyninių valstybių buvimą B. atžvilgiu, B lygtis bus parašyta taip:
-£ = -[P () + P () + P. () +
Рр (tИ Рг, (t) + Рр+1)(.+1) (t) Р(г+1)(.+1) () +
Р(Н(1-1)^)Р(-1)(1 -1)^) +
Р 2)()+1)()Р(г+2)()-+1)() +
РЦ2)(.-1) (t)P(г-2)(.-Г) ().
О(.+1)(.+1)ї 8 arba і > N - 2
Y2X(i), jei
I(i+1)(.+1) - 8>
O(i+2)(.+1) – 8’ i £ N – 2,
О(і+1)(.+1)ї 8'
O(i+2)(.+1) – 8'
r = 0,1,...,k, . = 0,1,...,k.
Upės intensyvumas (), p..11 (), perkeliant QS iš valstybės B-. valstijose
su mažesnėmis g reikšmėmis ir. (jei tokių būsenų buvimas įmanomas), yra tiesiogiai proporcingi dalyvaujančių kanalų skaičiui, aptarnaujančių įvairaus tipo užklausas, esančias QS (užima vieną ar du kanalus aptarnavimui). Dviejų kanalų grupė, aptarnaujanti vieną atitinkamo tipo užklausą, gali būti laikoma vienu kanalu. Todėl bendru atveju
p () = kdM1 () , R. () = ky2^2 () ,
čia k.1 yra užklausų, užimančių vieną kanalą, aptarnaujamą QS būsenoje B, skaičius; k yra užklausų, užimančių po du kanalus, aptarnaujamų QS būsenoje B, skaičius.
Per g ir. šios vertės nustatomos taip:
G2. - g, jei g< N,
y1 [ N - 2 (r - .), jei r > N, (4)
Kam! 2 = g - . .
Atsižvelgiant į raiškos būsenų egzistavimo apribojimus
p(), R.() turi formą
^B(g-1)(L) e 8,
QS veikimo efektyvumo rodikliai
Aprašytas modelis leidžia nustatyti šių nagrinėjamo QS veiklos efektyvumo rodiklių laiko priklausomybes.
Vidutinis eilės ilgis:
gali ()=22(g-p) R ().
Vidutinis užimtų kanalų skaičius:
Vidutinis paraiškų BRO skaičius:
m, ()=22.R. ().
Atsisakymo teikti paslaugą tikimybė:
Є, ()= 2 Р- ().
Galima gauti virtualaus laukimo laiko paskirstymą pagal programą
paslauga Ж (x,t) = Р ^ож ()< х) , позволяющее характеризовать качество обслуживания рассматриваемой СМО. Поступившая в систему заявка вынуждена ожидать обслуживания в случае, если все каналы заняты обслуживанием заявок, поступивших
anksčiau. Yra tikimybė Рк=0 (t), kad gaunama užklausa bus nedelsiant aptarnauta, kai yra nemokamas kanalas (ar keli nemokami kanalai).
B(g-1)(.-1) 8 GBP,
r = 0,1,...,K, . = 0,1, ..., K.
R. () ° 0, jei B. 8 GBP.
Atsižvelgiant į gedimo galimybę, norima pasiskirstymo funkcijos Ж (х^) reikšmė bus nustatyta kaip
F (x-‘)=(--o(t)
EEZH M (,)) ()
Ru()° 0, jei °y. ї 8.
Čia Ж (х,т| (і,./)) yra sąlyginė funkcija
tam tikros užklausos laukimo laiko paskirstymas, su sąlyga, kad jo gavimo T metu jis rado QS būsenoje y.
Nagrinėjamoje QS įeinančios užklausos aptarnavimo laukimo laikas priklauso ne tik nuo QS jau esančių užklausų skaičiaus, bet ir nuo kanalų pasiskirstymo tarp grupinio ir individualaus esamų užklausų aptarnavimo. Jei abipusės pagalbos tarp kanalų nebūtų, tada svarstomas QS būtų tradicinis QS su laukimu riboto ilgio eilėje, kurio bendras laukimo laikas iki aptarnavimo pradžios pagal pretenziją, aplenkusią m kitų pretenzijų eilėje. atvykimo metu turėtų Erlango skirstinį E,^) (X) .
Čia viršutiniame indekse yra visų N kanalų, veikiančių esant eilei, aptarnavimo užklausų intensyvumas; indeksas yra paskirstymo tvarka pagal Erlango dėsnį. Čia nagrinėjamame QS aprašytas įstatymas galioja tik užklausoms, kurios į QS pateko valstybėse, kuriose visi kanalai yra užimti, ir visi jie aptarnauja vieną užklausą. Šioms būsenoms galime rašyti
F (x,t| ^ + m,N + t)) = ^+1() (x).
Pažymėkime kaip E^”^1 (x) apibendrinto Erlano dėsnio pasiskirstymo funkciją
ha, eilės tvarka 2"r – 1, kur ag yra skaičius
Lo atsitiktiniai kintamieji, paskirstyti
eksponentinis dėsnis su parametru y. SU
Naudodami įvestą žymėjimą rašome laukimo laiko pasiskirstymo funkcijos išraiškas kitose būsenose. Palyginti su (5), šios išraiškos yra sudėtingesnės formos, o tai netrukdo jų programinei įrangai įdiegti. Be to, kaip pavyzdys, jie pateikiami tik pirmosioms trims visiško kanalų užimtumo būsenoms, naudojant anksčiau įvestą trijų simbolių indeksavimą:
F (x,t| (n,k,t)) = F (x,t| (N,N - g,0)) =
= (x), 0 £ g £ d,
kur ir. = kLt (t)+ku 2M2 (t);
Ж (х,т| (п,к,т)) = Ж (х,т| (N,N - g,l)) =
N ^ ^ - g) Km (T)
F (x,t| – g, 2))
N^).(N - g) Km(t)
E/^(t),(t-g) ■я(t),(t-g+l)
(N), (N - g) ktM (T)
EI-)(t-g)(x) +
^).(N - g) eH^) (x)
Vidutinis virtualus programos laukimo laikas Toz () nustatomas skaitiniu būdu kaip
Tapatybė (T) = | ^Х (x, T) .
Taip pat galima nustatyti savavališkai pasirinktos užklausos Tobsl ^) virtualaus aptarnavimo laiko paskirstymą.
Kadangi Tobsl (t) pokytis nagrinėjamame QS yra atsitiktinis procesas, kuris yra dviejų eksponentiškai paskirstytų atsitiktinių procesų TobsL1 ^) ir TobsL2 ^ mišinys), tada pasiskirstymas
V (x^) = P (Tobsl (t)< х) не будет показательным. С учётом возможности отказа выражение для функции распределения V (х^) запишется в виде
EEU M k,.YR(t)
R.. ^) ° 0, jei 8. 8 GBP.
Čia V (x^| (r,.)) yra tam tikros užklausos aptarnavimo laiko sąlyginė paskirstymo funkcija, su sąlyga, kad jos gavimo metu ji rado QS būsenoje.
Jei programos aptarnavimo pradžioje QS yra tokioje būsenoje, kurioje galimas tiek grupinis, tiek individualus aptarnavimas, tada aptarnavimo laikas yra dviejų pro-
perėjimas prie grupinės paslaugos – jei sąlyga yra įmanoma (2 pav.). Taigi mes turime:
U(M(i--/")) =
y (1 – e-t(t)x) + +y (1 – e^2(t)x),
I О(і+2)(]+1) ї 8, О(і+1)(.+1) - 8,
"2\* ^ І' I ^ +2)(.+1)
i = 0,1,...,N -1, i = 0,1,...,N -1.
Kadangi nesant dviejų laisvų kanalų, bet kokia užklausa aptarnaujama vienu kanalu, tada tikroji vieno kanalo paskirstymo tikimybė yra
det yra didesnis už duotą V Funkcija uv ^) apibrėžiama kaip
EEU O","r(t)
R. (t) ° 0, jei R. ї 8.
Čia y1(r,.) yra tikimybė, kad vienas įrenginys bus skirtas aptarnauti QS gautą užklausą būsenoje:
О(і+1)(.+1) - 8, О(і
2)(}+1) -2)(!+1)
trukmės: Tobsl1 (t) ir Tobsl2 (t), dis- i = 0,1...,K -1, . = 0,1...,K -1.
ribojama eksponentiškai atitinkamai parametrais ^1 (t) ir ^2 (t). Jei į
Šiuo metu neįmanoma skirti dviejų kanalų, tada užklausos aptarnavimo laikas paskirstomas eksponentiškai su parametru
t(t). Kai užklausa artėja prie aptarnavimo kanalų būsenoje B, perėjimas prie individualaus aptarnavimo yra leistinas, kai
būsenos galimybės buvimas I(
Vidutinė užklausos, įtrauktos į QS, aptarnavimo trukmė tuo metu
T, gali būti apibrėžtas per uv (T) kaip
Tbl (t) = uf (t) Tm (t) + Tbs 2 (t).
Virtualaus programos buvimo laiko paskirstymas QS
ir (x,t) = P (Tpreb (t)< х)
nustatomas naudojant anksčiau gautas laukimo laiko ir aptarnavimo laiko paskirstymo funkcijų išraiškas - =
tokia kaip aš,
2^2 (t) Et^^(t)^^) (x) +
EEi M))рї(t)
ir (x,t| (^ .)) =
1 - e-M1(t)x
y (1 – e-t(t)x)+y2(1 – e
(1 – e ^t(t)x),
О(і+1)(.+1) – 8, О(і+ 2)(.+1) ї 8’
О(і+1)(.+1) – 8’ О(і+2)(.+1) – 8,
r = 0,1,...^-1, . = 0’l’...’N-1.
Kitoms būsenoms sąlyginio pasiskirstymo funkcijos formulės rašomos pagal analogiją su formulėmis for
Ж (х^| (п,к,т)) naudojant trijų simbolių indeksavimą. Žemiau jie pateikiami pirmoms trims viso kanalo užimtumo būsenoms:
Įėjimo metu eilės nėra, bet visi kanalai užimti:
ir (x^| (n,k,t)) = ir (x^| (NN - g,0)) =
(x), 0 £ g £ d;
Kai programa patenka, eilėje yra viena programa:
R. (t) ° 0, jei R. ї 8.
Čia ir (x^| (r,.)) yra sąlyginė paskirstymo funkcija laiko, praleisto tam tikros užklausos QS, su sąlyga, kad jos gavimo momentu t ji rado sistemą būsenoje.
Valstybėse, kuriose yra nemokami kanalai, buvimo laikas QS sutampa su aptarnavimo laiku:
Kai programa patenka, eilėje yra dvi programos:
ir (x,t | (t,t - ^2))
(t)(t^)H (t)(t^+1)
(t) (t - g) ktsM (t)
(t) (t - g) KtsM (t)
Vidutinis virtualus programos buvimo QS laikas apibrėžiamas kaip
Tpreb ^) = Tobsl (t) + Toz (t).
QS modelio naudojimo pavyzdys
Kasdienis vieno iš Rytų Europos regioninių mazgų oro uostų gamybinio komplekso funkcionavimas imituojamas atliekant atskirą technologinę operaciją atvykstančių orlaivių aptarnavimui. Kaip pradiniai modeliavimo duomenys, atskrendančių orlaivių srauto vidutinio intensyvumo priklausomybės nuo laiko.
aptarnavimui, i(t) ir intensyvumui
orlaivių aptarnavimas vienu būdu t1 (t) .
Kaip matyti iš surinktų duomenų
oro uosto svetainės priklausomybės grafikas i(t)
(3a pav.), BC pasiūla pasižymi dideliu netolygumu: per dieną stebimi keturi intensyvumo maksimumai, atitinkantys keturias „bangas“
mus“ skrydžių atvykimas ir išvykimas. Didžiausios 1(t) vertės pagrindinėms „bangoms“ siekia 25-30 VS/val.
Pav. 3 ir taip pat rodomas priklausomybės t (t) grafikas. Manoma, kad ne
tik orlaivių srauto intensyvumas, bet ir jų aptarnavimo intensyvumas priklauso nuo laiko ir priklauso nuo „bangos“ fazės. Faktas yra tas, kad siekiant sumažinti vidutinį keleivių persėdimo laiką, centrinio oro uosto grafikas sudarytas taip, kad „bangą“ inicijuotų atskridę stambiakeleiviniai orlaiviai, kurių priežiūra reikalauja daug. laiko, o užbaigiamas atvykus mažiems orlaiviams. Pavyzdyje daroma prielaida, kad vidutinė operacijos su vienu įrankiu trukmė, kuri didžiąją dienos dalį yra 20 minučių, pradiniame „bangos“ etape padidėja iki 25 minučių. ir paskutiniame etape sumažinama iki 15 minučių. Taigi, keturi intervalai su
sumažintas lygis t (t) pav. 3a atitinka pradines „bangų“ fazes, kai vyrauja didelių orlaivių atvykimai. Savo ruožtu keturi didėjimo intervalai
lygis t^) patenka į finalą
„bangos“ fazės, kuriose vyrauja maži orlaiviai.
Žemiau aprašome modeliavimo rezultatus, kurie leidžia įvertinti sistemos efektyvumą. Pav. 3b-3d rodo užimtų kanalų skaičiaus Nз ^ vidutinių verčių priklausomybę nuo laiko,
bendras prašymų skaičius Sveikatos apsaugos ministerijos sistemoje ^) ir
eilių ilgiai Moz (7), gauti esant dviem ribinėms tikimybės reikšmėms n1 = 0 ir n1 = 1 su šiomis projektinėmis charakteristikomis: N = 10; K = 40; in = 1,75. Sprendžiant pagal priklausomybės Nз (t) grafiką
(3b pav.), didžiąją dienos laiko intervalo dalį sistemos aptarnaujančių kanalų užimtumas išlieka mažas, o tai yra nestacionarios įvesties pasekmė.
lėktuvų srautas. Didelė apkrova (60-80%) pasiekiama tik antrosios atvykimo ir išvykimo „bangos“ metu, o parinktis n1 = 0 esant didelėms 1(t) reikšmėms sukelia didesnę sistemos apkrovą, o esant mažoms vertėms. iš 1(t) – mažiau
lyginant su galimybe n1 = 1. Be to, kaip
modeliavimas parodė, kad abiejų variantų nagrinėjamos sistemos gedimo tikimybė yra nereikšminga.
Priklausomybių grafikų palyginimas
M3 ^) ir Mozh ^) (atitinkamai 3c ir 3d pav.) leidžia daryti išvadą, kad QS, kai n1 = 0, vidutiniškai yra mažiau užklausų ir tikimasi, kad bus pateikta daugiau užklausų nei su n1 = 1 Šis prieštaravimas paaiškinamas tuo, kad , kad kiekviena QS gauta paraiška, kuri tuo atveju n1 = 0 trunka du.
kanalas, palieka mažiau laisvų kanalų po jo esančioms užklausoms, todėl jie turi sudaryti didesnę eilę nei tuo atveju
n1 = 1. Tuo pačiu metu grupinis kanalų naudojimas, sutrumpėjęs aptarnavimo laikas, sumažina bendrą aptarnaujamų ir laukiančių programų skaičių. Taigi nagrinėjamame pavyzdyje vidutinis aptarnavimo laikas per dieną yra
pasirinkimui p1 = 1 yra 20 minučių, o jei
variantas p1 = 0 - 11,7 min.
Aukščiau aptartas modelis leidžia spręsti problemas, susijusias su optimalaus transportavimo paslaugų kokybės valdymo paieška. Pav. 3d, 3f parodyti kai kurie tokio pobūdžio problemos sprendimo rezultatai, kurių prasmė toliau paaiškinama nagrinėjamo oro uosto pavyzdžiu.
Vidutinis eilės ilgis, kuris net ir apkrovų piko metu yra mažas, nagrinėjamame pavyzdyje neviršija 0,6 orlaivio (3d pav.), negarantuoja, kad didžiajai daugumai orlaivių laukimo laikas eilėje bus priimtinas. Mažas vidutinis laukimo laikas su patenkinamu vidutiniu aptarnavimo operacijos atlikimo laiku
Tai taip pat neatmeta galimybės nepriimtinai ilgų prastovų atliekant atskirų orlaivių techninę priežiūrą. Panagrinėkime pavyzdį, kai oro uosto paslaugų kokybei keliami reikalavimai tiek užtikrinti patenkinamas aptarnavimo laukimo, tiek sistemoje praleisto laiko vertes. Darysime prielaidą, kad daugiau nei 90% orlaivių turėtų būti nenaudojami techninei priežiūrai mažiau nei 40 minučių, o tokios pat dalies orlaivių techninės priežiūros laukimo laikas turėtų būti trumpesnis nei 5 minutės. Naudojant aukščiau pateiktą žymėjimą, šie oro uosto paslaugų kokybės reikalavimai bus parašyti nelygybių forma:
P (Tpreb (t)< 40мин)>09, P (tapatybė (t)< 5мин)> 09
Pav. 3d, 3f rodo tikimybių P priklausomybę nuo laiko (Tpreb (/)< 40мин)
ir P (Ident. (")< 5 мин) для интервала времени
460-640 min. nuo modelio dienos, atitinkančios antrąją atvykėlių „bangą“, pradžios.
Kaip matyti iš paveikslų, variantas n1 = 1 nėra
numato skaičiuojamąjį patikimumą pagal tarnavimo laiką: sąlygoje nurodytą tarnavimo laiko reikalavimą
P (Tpreb (t)< 40мин)>09, atliekamas tik trumpą 530560 minučių laikotarpį, atitinkantį mažų
Saulė. Savo ruožtu variantas n1 = 0 nesuteikia skaičiuojamo patikimumo pagal laukimo laiką eilėje: didelių orlaivių atvykimo intervale (500-510 min.)
Ryžiai. 3. Modeliavimo rezultatai 262
P sąlyga įvykdyta (Iz(t)< 5мин) > 0.9.
Kaip parodė modeliavimas, išeitis iš šios situacijos gali būti pasirinkimas
kompromisinis variantas y1 » 0.2. Praktiškai ši galimybė reiškia, kad oro uosto paslaugoms turėtų būti skirta po dvi lėšas aptarnauti ne visus orlaivius, o tik tuos, kurie atrinkti pagal tam tikrą kriterijų, pvz.
keleivių talpa. Čia y1 vaidina vaidmenį
parametras, leidžiantis valdyti QS veikimo rodiklius: programos laukimo eilėje laiką ir laiką, kai programa lieka QS arba aptarnavimo metu.
Taigi nagrinėjama sistema, kuri vienu ar dviem kanalais vienu metu naudoja užklausai aptarnauti, yra ypatingas, bet praktiškai reikšmingas QS su
kanalų savitarpio pagalba. Tokio QS dinaminio modelio naudojimas leidžia kelti ir spręsti įvairias optimizavimo, įskaitant daugiakriterines, problemas, susijusias su ne tik bendro lėšų skaičiaus, bet ir jų tarpusavio pagalbos valdymu. Tokio pobūdžio problemos ypač aktualios centriniams oro uostams, kurie yra prisotinti aptarnavimo infrastruktūros, su nestacionariais skrydžių srautais ir svyruojančiu paslaugų intensyvumu. Taigi nagrinėjamo QS modelis yra įrankis analizuoti ir optimizuoti tokios perspektyvios klasės oro uostų kaip hubs parametrus.
Bibliografija
1. Bocharovas, P.P. Eilių teorija [Tekstas] / P.P. Bocharovas, A.V. Pe-chinkin. - M.: Leidykla RUDN, 1995. - 529 p.
EILĖS SISTEMOS SU NESTACIALIAIS SRAUTAIS IR DALINĖS KANALŲ SAVIMOSIOS PAGALBOS MODELIS
© 2011 V. A. Romanenko
Samaros valstybinis aerokosminis universitetas, pavadintas akademiko S. P. Koroliovo vardu (Nacionalinis tyrimų universitetas)
Aprašytas dinaminis daugiakanalės eilių sistemos modelis su nestacionariais srautais, laukimu riboto ilgio eilėje ir daline kanalų savitarpio pagalba, išreikšta galimybe vienu metu aptarnauti klientą dviem kanalais. Pateikiamos sistemos pagrindinių tikimybių ir laiko charakteristikų išraiškos. Aptariami centrinio oro uosto funkcionavimo modeliavimo rezultatai kaip sistemos pavyzdys.
Eilių sistema, nestacionarus srautas, savitarpio pagalba tarp kanalų, hub oro uostas.
Informacija apie autorių Vladimiras Aleksejevičius Romanenko, technikos mokslų kandidatas, docentas, Transporto transporto organizavimo ir valdymo katedros doktorantas, Samaros valstybinio aerokosminio universiteto akademiko S.P. Korolevo vardu (nacionalinis mokslinių tyrimų universitetas). El. paštas: [apsaugotas el. paštas]. Mokslinių interesų sritis: centrinio oro uosto transporto paslaugų sistemos optimizavimas ir modeliavimas.
Romanenko Vladimiras Aleksejevičius, technikos mokslų kandidatas, docentas, Samaros valstybinio aerokosminio universiteto akademiko S. P. Koroliovo vardo daktaras El. paštas: vla_rom@mail. Tyrimų sritis: Centrinio oro uosto transporto paslaugų sistemos optimizavimas ir modeliavimas.
Iki šiol mes svarstėme tik tokius QS, kuriuose kiekvieną užklausą gali aptarnauti tik vienas kanalas; neužimti kanalai negali „padėti“ užimtiems aptarnauti.
Apskritai tai ne visada: yra eilių sistemų, kuriose tą pačią užklausą vienu metu gali aptarnauti du ar daugiau kanalų. Pavyzdžiui, tą pačią sugedusią mašiną vienu metu gali prižiūrėti du darbuotojai. Tokia „abipusė pagalba“ tarp kanalų gali vykti tiek atviruose, tiek uždaruose QS.
Svarstant QS su kelių kanalų savitarpio pagalba, reikia atsižvelgti į du veiksnius:
1. Kaip greitai paspartėja programos aptarnavimas, kai joje dirba ne vienas, o keli kanalai vienu metu?
2. Kas yra savitarpio pagalbos disciplina, t. y. kada ir kaip keli kanalai imasi aptarnauti tą patį prašymą?
Pirmiausia pažvelkime į pirmąjį klausimą. Natūralu manyti, kad jei programai aptarnauti dirba ne vienas kanalas, o keli kanalai, paslaugų srauto intensyvumas nesumažės didėjant k, t. kanalai. Pažymime šią funkciją Galima funkcijos forma parodyta Fig. 5.11.
Akivaizdu, kad neribotas vienu metu veikiančių kanalų skaičiaus padidėjimas ne visada lemia proporcingą paslaugų greičio padidėjimą; Natūralesnė prielaida, kad esant tam tikrai kritinei vertei, tolesnis užimtų kanalų skaičiaus padidėjimas nebedidina paslaugos intensyvumo.
Norint išanalizuoti QS veikimą su savitarpio pagalba tarp kanalų, visų pirma būtina nustatyti funkcijos tipą.
Paprasčiausias tyrimas bus atvejis, kai funkcija didėja proporcingai k, o išlieka pastovi ir lygi (žr. 5.12 pav.). Jei bendras kanalų, galinčių vienas kitam padėti, skaičius neviršija
Dabar apsistokime prie antrojo klausimo: savitarpio pagalbos disciplinos. Paprasčiausią šios disciplinos atvejį pavadinsime „visi kaip vienas“. Tai reiškia, kad pasirodžius vienai užklausai visi kanalai pradeda ją aptarnauti iš karto ir lieka užimti, kol baigsis šios užklausos aptarnavimas; tada visi kanalai persijungia į kitos užklausos aptarnavimą (jei tokia yra) arba laukia jos pasirodymo, jei nepasirodo ir tt Akivaizdu, kad tokiu atveju visi kanalai veikia kaip vienas, QS tampa vienkanalu, bet su aukštesne paslauga intensyvumo.
Kyla klausimas: pelninga ar nenaudinga įvesti tokią savitarpio pagalbą tarp kanalų? Atsakymas į šį klausimą priklauso nuo to, koks užklausų srauto intensyvumas, kokio tipo funkcija, kokio tipo QS (su gedimais, su eile), kokia reikšmė pasirinkta kaip paslaugos efektyvumo charakteristika.
1 pavyzdys. Yra trijų kanalų QS su gedimais: programų srauto intensyvumas (aplikacijos per minutę), vidutinis vienos užklausos aptarnavimo laikas vienu kanalu (min), funkcija Klausimas, ar tai naudinga nuo QS pralaidumo požiūriu, siekiant įvesti „visi kaip vienas“ tipo kanalų savitarpio pagalbą? Ar tai naudinga mažinant vidutinį programos buvimo sistemoje laiką?
Sprendimas a. Be abipusės pagalbos
Pagal Erlango formules (žr. § 4) turime:
Santykinis QS pajėgumas;
Absoliutus pralaidumas:
Vidutinis paraiškos buvimo QS laikas nustatomas kaip tikimybė, kad paraiška bus priimta aptarnauti, padauginta iš vidutinio aptarnavimo laiko:
Gsist (min.).
Turime nepamiršti, kad šis vidutinis laikas taikomas visoms programoms – tiek aptarnaujamoms, tiek neaptarnaujamoms. Taip pat galime būti suinteresuoti, kiek vidutiniškai aptarnaujama programa išliks sistemoje. Šis laikas lygus:
6. Su savitarpio pagalba.
Vidutinis paraiškos buvimo BRO laikas:
Vidutinis aptarnaujamos programos BRO praleistas laikas:
Taigi, esant savitarpio pagalbai „visi kaip vienas“, QS pralaidumas pastebimai sumažėjo. Tai paaiškinama padidėjusia atmetimo tikimybė: kol visi kanalai yra užsiėmę vienos užklausos aptarnavimu, kitos užklausos gali atvykti ir, žinoma, būti atmestos. Kalbant apie vidutinį laiką, kurį programa praleidžia BRO, jis, kaip ir buvo galima tikėtis, sumažėjo. Jei dėl kokių nors priežasčių stengiamės visiškai sutrumpinti laiką, kurį programa praleidžia QS (pavyzdžiui, jei buvimas QS yra pavojingas programai), gali pasirodyti, kad nepaisant sumažėjusio pralaidumo, ji vis tiek pravartu sujungti tris kanalus į vieną.
Dabar su lūkesčiais panagrinėkime „visi kaip vienas“ tipo savitarpio pagalbos įtaką QS darbui. Paprastumo dėlei imame tik neribotos eilės atvejį. Natūralu, kad šiuo atveju savitarpio pagalba neturės įtakos QS pralaidumui, nes bet kokiomis sąlygomis bus aptarnaujamos visos gaunamos užklausos. Kyla klausimas apie savitarpio pagalbos įtaką laukimo ypatybėms: vidutinei eilės trukmei, vidutiniam laukimo laikui, vidutiniam tarnyboje praleistam laikui.
Pagal (6.13), (6.14) 6 formules, skirtas įteikimui be savitarpio pagalbos, vidutinis užklausų skaičius eilėje bus
vidutinis laukimo laikas:
ir vidutinis buvimo sistemoje laikas:
Jei naudojama abipusė pagalba „visi kaip vienas“, sistema veiks kaip vieno kanalo su parametrais
o jo charakteristikos nustatomos formulėmis (5.14), (5.15) § 5:
2 pavyzdys. Yra trijų kanalų QS su neribota eile; programų srauto intensyvumas (aplikacijos per minutę), vidutinis aptarnavimo laikas Funkcija Naudinga reikšmė:
Vidutinis eilės ilgis,
Vidutinis paslaugos laukimo laikas,
Vidutinis paraiškos buvimo BRO laikas
įvesti savitarpio pagalbą tarp kanalų, pvz., „visi kaip vienas“?
Sprendimas a. Jokios savitarpio pagalbos.
Pagal (9.1) - (9.4) formules turime
(3-2)
b. Su savitarpio pagalba
Naudodami (9.5) - (9.7) formules randame;
Taigi vidutinė eilės trukmė ir vidutinis laukimo eilėje laikas savitarpio pagalbos atveju yra ilgesnis, tačiau vidutinis programos buvimo sistemoje laikas yra trumpesnis.
Iš nagrinėjamų pavyzdžių akivaizdu, kad abipusė pagalba tarp „Visi kaip vienas“ grynųjų pinigų rūšis, kaip taisyklė, neprisideda prie aptarnavimo efektyvumo didinimo: sutrumpėja užklausos buvimo paslaugų sistemoje laikas, tačiau pablogėja kitos paslaugos savybės.
Todėl pageidautina pakeisti paslaugų teikimo discipliną, kad kanalų tarpusavio pagalba netrukdytų priimti naujų paslaugų užklausų, jei jos atsiranda, kai visi kanalai yra užimti.
Tokį savitarpio pagalbos tipą pavadinkime „vienoda savitarpio pagalba“. Jei užklausa gaunama tuo metu, kai visi kanalai yra laisvi, tada visi kanalai priimami jai aptarnauti; jei programos aptarnavimo metu ateina kita, kai kurie kanalai persijungia į jos aptarnavimą; jei aptarnaujant šias dvi užklausas ateina kita, kai kurie kanalai persijungia į jo aptarnavimą ir pan., kol visi kanalai bus užimti; jei taip, naujai gauta paraiška atmetama (QS su atmetimais) arba įtraukiama į eilę (QS su laukimu).
Taikant šią savitarpio pagalbos drausmę, prašymas atmetamas arba įtraukiamas į eilę tik tada, kai nėra galimybės jo įteikti. Kalbant apie kanalų „prastovas“, esant tokioms sąlygoms, jis yra minimalus: jei sistemoje yra bent viena užklausa, visi kanalai veikia.
Aukščiau minėjome, kad pasirodžius naujai užklausai kai kurie užimti kanalai atleidžiami ir perjungiami į naujai gautos užklausos aptarnavimą. Kuri dalis? Tai priklauso nuo funkcijos tipo, jei ji turi linijinio ryšio formą, kaip parodyta Fig. 5.12, ir nesvarbu, kokia kanalų dalis yra skirta naujai gautai užklausai aptarnauti, kol visi kanalai yra užimti (tuomet bendras paslaugų intensyvumas bet kokiam kanalų paskirstymui tarp užklausų bus lygus ). Galima įrodyti, kad jei kreivė yra išgaubta į viršų, kaip parodyta Fig. 5.11, tuomet turite kuo tolygiau paskirstyti kanalus tarp užklausų.
Panagrinėkime -kanalo QS veikimą su „vienoda“ abipuse pagalba tarp kanalų.
Problemos formulavimas. Prie įėjimo n-channel QS gauna paprasčiausią užklausų srautą, kurio tankis λ. Kiekvieno kanalo paprasčiausio paslaugų srauto tankis yra μ. Jei gautoje užklausoje dėl aptarnavimo visi kanalai yra laisvi, tada jis priimamas aptarnauti ir aptarnaujamas vienu metu l kanalai ( l < n). Tokiu atveju paslaugų srautas vienai programai bus intensyvus l.
Jei gauta užklausa dėl paslaugos randa vieną užklausą sistemoje, tai kada n ≥ 2l naujai gautas prašymas bus priimtas aptarnauti ir bus aptarnaujamas vienu metu l kanalai.
Jei gauta užklausa dėl aptarnavimo užfiksuojama sistemoje i programos ( i= 0,1, ...), o ( i+ 1)l≤ n, tada gauta paraiška bus aptarnauta l kanalai su bendru našumu l. Jei naujai gauta paraiška užfiksuojama sistemoje j paraiškos ir kartu tenkinamos dvi nelygybės: ( j + 1)l > n Ir j < n, tada paraiška bus priimta įteikti. Tokiu atveju kai kurios programos gali būti aptarnaujamos l kanalų, kita dalis mažesnė nei l, kanalų skaičius, bet visi bus užsiėmę aptarnavimu n kanalai, kurie atsitiktinai paskirstomi tarp programų. Jei naujai gauta paraiška užfiksuojama sistemoje n paraiškas, tada jis atmetamas ir nebus aptarnaujamas. Gautas prašymas aptarnauti yra aptarnaujamas iki galo („paciento“ prašymai).
Tokios sistemos būsenos grafikas parodytas fig. 3.8.
Ryžiai. 3.8. QS būsenų su gedimais ir daliniais grafikas
kanalų savitarpio pagalba
Atkreipkite dėmesį, kad sistemos būsenos grafikas iki būsenos x h iki srauto parametrų žymėjimo jis sutampa su klasikinės eilių sistemos su gedimais būsenos grafiku, parodytu fig. 3.6.
Vadinasi,
(i
= 0, 1, ..., h).
Sistemos būsenos grafikas pradedant nuo būsenos x h ir baigiant valstybe x n, iki žymėjimo sutampa su QS būsenos grafiku su visapusiška pagalba, parodyta Fig. 3.7. Taigi,
.
Įveskime žymėjimą λ / lμ = ρ l ; λ / nμ = χ, tada
Atsižvelgdami į normalizuotą būklę, gauname
Raskime sistemos charakteristikas.
Vidutinis programų skaičius sistemoje yra
Vidutinis užimtų kanalų skaičius
.
Tikimybė, kad tam tikras kanalas bus užimtas
.
Visų sistemos kanalų užimtumo tikimybė
Problemos formulavimas. Prie įėjimo n-kanalo QS sistema gauna heterogeninį paprasčiausią srautą, kurio bendras intensyvumas λ Σ , ir
λ Σ
=
,
kur λ i– aplikacijų intensyvumas išaltinį.
Kadangi užklausų srautas laikomas reikalavimų iš įvairių šaltinių superpozicija, kombinuotas srautas, pakankamai tikslus praktikai, gali būti laikomas Puasono. N = 5...20 ir λ i ≈ λ i +1 (i1,N). Vieno įrenginio aptarnavimo intensyvumas paskirstomas pagal eksponentinį dėsnį ir yra lygus μ = 1/ t. Aptarnavimo įrenginiai užklausai aptarnauti jungiami nuosekliai, o tai prilygsta aptarnavimo laiko pailginimui tiek kartų, kiek įrenginių sujungiama aptarnavimui:
t obs = kt, μ obs = 1 / kt = μ/ k,
Kur t obs – prašyti aptarnavimo laiko; k– aptarnavimo įrenginių skaičius; μ obs – užklausos aptarnavimo intensyvumas.
Remdamiesi 2 skyriuje priimtomis prielaidomis, QS būseną reprezentuojame kaip vektoriaus, kur k m– aplikacijų skaičius sistemoje, kurių kiekviena aptarnaujama m prietaisai; L = q maksimalus – q min +1 – įvesties srautų skaičius.
Tada užimtų ir laisvų įrenginių skaičius ( n zan ( 
),n sv ( 
)) gali 
apibrėžiamas taip:
Iš valstybės 
sistema gali pereiti į bet kurią kitą būseną 
. Kadangi sistema veikia Lįvesties srautus, tada iš kiekvienos būsenos tai potencialiai įmanoma L tiesioginiai perėjimai. Tačiau dėl ribotų sistemos išteklių ne visi šie perėjimai yra įmanomi. Tegul SMO yra būsenoje 
ir ateina prašymas reikalaujantis m prietaisai. Jeigu m≤ n sv ( 
), tada užklausa priimama aptarnauti ir sistema pereina į būseną, kurios intensyvumas yra λ m. Jei programai reikia daugiau įrenginių nei yra, tada ją bus atsisakyta aptarnauti, o QS liks būsenoje 
. Jei gali 
yra reikalingų programų mįrenginių, tada kiekvienas iš jų aptarnaujamas intensyvumu m, ir bendras tokių užklausų aptarnavimo intensyvumas (μ m) apibrėžiamas kaip μ m
= k m μ
/ m. Baigus aptarnauti vieną iš užklausų, sistema pereis į būseną, kurioje atitinkamos koordinatės reikšmė yra viena mažesnė nei būsenoje 
,
=, t.y. įvyks atvirkštinis perėjimas. Pav. 3.9 parodytas QS vektorinio modelio pavyzdys n
= 3, L
= 3, q min = 1, q maks. = 3, P(m) = 1/3, λ Σ = λ, įrenginio priežiūros intensyvumas – μ.
Ryžiai. 3.9. QS vektorinio modelio su paslaugų gedimais grafiko pavyzdys
Taigi kiekviena valstybė 
apibūdinamas tam tikro tipo aptarnaujamų programų skaičiumi. Pavyzdžiui, valstybėje 
vieną užklausą aptarnauja vienas įrenginys, o vieną užklausą – du įrenginiai. Šioje būsenoje visi įrenginiai yra užimti, todėl galimi tik atvirkštiniai perėjimai (gavus užklausą šioje būsenoje, paslauga atsisakoma). Jei pirmojo tipo užklausos aptarnavimas baigtas anksčiau, sistema pereis į būseną 
(0,1,0) intensyvumu μ, bet jei antro tipo užklausos aptarnavimas baigtas anksčiau, sistema pereis į būseną 
(0,1,0) su intensyvumu μ/2.
Naudojant būsenos grafiką su nubraižytais perėjimo intensyvumais, sudaroma tiesinių algebrinių lygčių sistema. Iš šių lygčių sprendinio randamos tikimybės R(
), pagal kurią nustatomos QS charakteristikos.
Apsvarstykite galimybę rasti R otk (paslaugos atsisakymo tikimybė).
,
Kur S– vektorinio QS modelio grafiko būsenų skaičius; R(
) yra tikimybė, kad sistema bus būsenoje 
.
Būsenų skaičius nustatomas taip:
,
(3.22)
;
Nustatykime vektorinio QS modelio būsenų skaičių pagal (3.22) pav. parodytam pavyzdžiui. 3.9.
.
Vadinasi, S = 1 + 5 + 1 = 7.
Norint įgyvendinti realius reikalavimus aptarnavimo įrenginiams, pakankamai daug n
(40, ..., 50), o užklausos dėl aptarnaujančių įrenginių skaičiaus programoje praktikoje yra 8–16. Esant tokiam priemonių ir užklausų santykiui, siūlomas tikimybių nustatymo būdas tampa itin sudėtingas, nes QS vektorinis modelis turi daug būsenų S(50)
= 1790, S(60)
= 4676, S(70) = = 11075, o algebrinių lygčių sistemos koeficientų matricos dydis proporcingas kvadratui S, kuriai reikia daug kompiuterio atminties ir nemažai kompiuterio laiko. Noras sumažinti skaičiavimų kiekį paskatino ieškoti pasikartojančių skaičiavimo galimybių R(
) remiantis multiplikatyvinėmis būsenų tikimybių vaizdavimo formomis. Straipsnyje pateikiamas skaičiavimo metodas R(
):
(3.23)
Darbe siūlomo Markovo grandinių globalių ir detaliųjų balansų ekvivalentiškumo kriterijaus panaudojimas leidžia sumažinti problemos dimensiją ir atlikti skaičiavimus vidutinės galios kompiuteriu naudojant skaičiavimų pasikartojimą. Be to, galima:
– atlikti bet kokių verčių skaičiavimus n;
– pagreitinti skaičiavimus ir sumažinti mašinos laiko sąnaudas.
Panašiai galima nustatyti ir kitas sistemos charakteristikas.
