Elementāro funkciju apraksts. Elementāra funkcija

1) Funkciju domēns un funkciju diapazons.

Funkcijas domēns ir visu derīgo derīgo argumentu vērtību kopa x(mainīgs x), kurai funkcija y = f(x) noteikts. Funkcijas diapazons ir visu reālo vērtību kopa y, ko funkcija pieņem.

Elementārajā matemātikā funkcijas tiek pētītas tikai uz reālo skaitļu kopas.

2) Funkcijas nulles.

Funkcija nulle ir argumenta vērtība, pie kuras funkcijas vērtība ir vienāda ar nulli.

3) Funkcijas pastāvīgās zīmes intervāli.

Funkcijas pastāvīgās zīmes intervāli ir argumentu vērtību kopas, kurās funkcijas vērtības ir tikai pozitīvas vai tikai negatīvas.

4) Funkcijas monotoniskums.

Palielinoša funkcija (noteiktā intervālā) ir funkcija, kurā lielāka argumenta vērtība no šī intervāla atbilst lielākai funkcijas vērtībai.

Samazinoša funkcija (noteiktā intervālā) ir funkcija, kurā lielāka argumenta vērtība no šī intervāla atbilst mazākai funkcijas vērtībai.

5) Pāra (nepāra) funkcija.

Pāra funkcija ir funkcija, kuras definīcijas apgabals ir simetrisks attiecībā pret izcelsmi un jebkurai X no definīcijas jomas vienlīdzība f(-x) = f(x). Pāra funkcijas grafiks ir simetrisks attiecībā pret ordinātu.

Nepāra funkcija ir funkcija, kuras definīcijas apgabals ir simetrisks attiecībā pret izcelsmi un jebkurai X no definīcijas jomas vienlīdzība ir patiesa f(-x) = - f(x). Nepāra funkcijas grafiks ir simetrisks attiecībā pret izcelsmi.

6) Ierobežotas un neierobežotas funkcijas.

Funkciju sauc par ierobežotu, ja ir tāds pozitīvs skaitlis M, ka |f(x)| ≤ M visām x vērtībām. Ja šāda numura nav, tad funkcija ir neierobežota.

7) Funkcijas periodiskums.

Funkcija f(x) ir periodiska, ja ir skaitlis T, kas atšķiras no nulles, un jebkuram x no funkcijas definīcijas domēna ir spēkā sekojošais: f(x+T) = f(x). Šo mazāko skaitli sauc par funkcijas periodu. Visas trigonometriskās funkcijas ir periodiskas. (Trigonometriskās formulas).

19. Pamatelementāras funkcijas, to īpašības un grafiki. Funkciju pielietojums ekonomikā.

Pamata elementāras funkcijas. To īpašības un grafiki

1. Lineārā funkcija.

Lineāra funkcija sauc par formas funkciju, kur x ir mainīgais, a un b ir reāli skaitļi.

Numurs A ko sauc par līnijas slīpumu, tas ir vienāds ar šīs līnijas slīpuma leņķa pieskari x ass pozitīvajam virzienam. Lineāras funkcijas grafiks ir taisna līnija. To nosaka divi punkti.

Lineāras funkcijas īpašības

1. Definīcijas joma - visu reālo skaitļu kopa: D(y)=R

2. Vērtību kopa ir visu reālo skaitļu kopa: E(y)=R

3. Funkcija iegūst nulles vērtību, kad vai.

4. Funkcija palielinās (samazinās) visā definīcijas jomā.

5. Lineāra funkcija ir nepārtraukta visā definīcijas jomā, diferencējama un .

2. Kvadrātfunkcija.

Formas funkciju, kur x ir mainīgais, koeficienti a, b, c ir reāli skaitļi, sauc kvadrātveida

Ņemot vērā sarežģītā mainīgā funkcijas, Liouville definēja elementārās funkcijas nedaudz plašāk. Elementāra funkcija y mainīgs x- analītiskā funkcija, ko var attēlot kā algebrisku funkciju x un funkcijas , un ir kādas algebriskas funkcijas logaritms vai eksponents g 1 no x .

Piemēram, grēks ( x) - algebriskā funkcija e ix .

Neierobežojot apsvēruma vispārīgumu, mēs varam uzskatīt funkcijas par algebriski neatkarīgām, tas ir, ja algebriskais vienādojums ir izpildīts visiem x, tad visi polinoma koeficienti ir vienādi ar nulli.

Elementāro funkciju diferenciācija

Kur z 1 "(z) ir vienāds ar vai g 1 " / g 1 vai z 1 g 1" atkarībā no tā, vai tas ir logaritms z 1 vai eksponenciāls utt. Praksē ir ērti izmantot atvasinājumu tabulu.

Elementāro funkciju integrēšana

Liuvila teorēma ir pamats elementāru funkciju simboliskās integrācijas algoritmu izveidei, kas realizēti, piemēram,

Limitu aprēķins

Liouville teorija neattiecas uz ierobežojumu aprēķināšanu. Nav zināms, vai pastāv algoritms, kas, ņemot vērā ar elementāru formulu doto secību, dod atbildi, vai tai ir ierobežojums vai nav. Piemēram, ir atklāts jautājums, vai secība saplūst.

Literatūra

• J. Liuvils. Mémoire sur l'intégration d'une classe de fonctions transcendantes// J. Reine Anžē. Matemātika. Bd. 13. lpp. 93-118. (1835)
• J.F. Ritt. Integrācija ierobežotos noteikumos. N.-Y., 1949 // http://lib.homelinux.org
• A. G. Khovanskis. Topoloģiskā Galois teorija: vienādojumu atrisināmība un neatrisināmība galīgā formā Ch. 1. M, 2007. gads

Piezīmes

Wikimedia fonds. 2010. gads.

• Elementāra uzbudināšana
• Elementārs iznākums

Skatiet, kas ir “elementārā funkcija” citās vārdnīcās:

elementāra funkcija- Funkcija, kuru, sadalot mazākās funkcijās, nevar unikāli definēt digitālās pārraides hierarhijā. Tāpēc no tīkla viedokļa tas ir nedalāms (ITU T G.806). Tēmas: telekomunikācijas, pamatjēdzieni EN adaptācijas funkcijaA... Tehniskā tulkotāja rokasgrāmata

mijiedarbības funkcija starp tīkla līmeņiem- elementāra funkcija, kas nodrošina raksturīgās informācijas mijiedarbību starp diviem tīkla slāņiem. (ITU T G.806). Tēmas: telekomunikācijas, EN slāņa pamatjēdzieni... ... Tehniskā tulkotāja rokasgrāmata

Zināšanas elementāras pamatfunkcijas, to īpašības un grafiki ne mazāk svarīgi kā zināt reizināšanas tabulas. Tie ir kā pamats, viss balstās uz tiem, viss ir no tiem būvēts un viss atnāk pie viņiem.

Šajā rakstā mēs uzskaitīsim visas galvenās elementārās funkcijas, sniegsim to grafikus un sniegsim bez secinājumiem vai pierādījumiem elementāru pamatfunkciju īpašības saskaņā ar shēmu:

• funkcijas uzvedība definīcijas apgabala robežās, vertikālās asimptotes (ja nepieciešams, skatiet funkcijas pārrāvuma punktu klasifikāciju);
• pāra un nepāra;
• izliekuma (izliekuma uz augšu) un ieliekuma (izliekuma uz leju) intervāli, lēciena punkti (ja nepieciešams, skatiet rakstu funkcijas izliekums, izliekuma virziens, lēciena punkti, izliekuma un locījuma nosacījumi);
• slīpi un horizontāli asimptoti;
• funkciju vienskaitļa punkti;
• dažu funkciju īpašās īpašības (piemēram, trigonometrisko funkciju mazākais pozitīvais periods).

Ja jūs interesē vai, tad varat doties uz šīm teorijas sadaļām.

Pamata elementāras funkcijas ir: konstanta funkcija (konstante), n-tā sakne, pakāpju funkcija, eksponenciālā, logaritmiskā funkcija, trigonometriskās un apgrieztās trigonometriskās funkcijas.

Lapas navigācija.

Pastāvīga funkcija.

Pastāvīgu funkciju visu reālo skaitļu kopai definē ar formulu , kur C ir kāds reāls skaitlis. Konstanta funkcija saista katru neatkarīgā mainīgā x reālo vērtību ar to pašu atkarīgā mainīgā y vērtību - vērtību C. Pastāvīgu funkciju sauc arī par konstanti.

Konstantas funkcijas grafiks ir taisne, kas ir paralēla x asij un iet caur punktu ar koordinātām (0,C). Piemēram, parādīsim konstantu funkciju y=5, y=-2 un grafikus, kas attēlā zemāk atbilst attiecīgi melnajai, sarkanajai un zilajai līnijai.

Pastāvīgas funkcijas īpašības.

• Domēns: visa reālo skaitļu kopa.
• Pastāvīgā funkcija ir vienmērīga.
• Vērtību diapazons: kopa, kas sastāv no vienskaitļa skaitļa C.
• Pastāvīga funkcija nepalielinās un nesamazinās (tāpēc tā ir nemainīga).
• Nav jēgas runāt par konstantes izliekumu un ieliekumu.
• Nav asimptotu.
• Funkcija iet caur koordinātu plaknes punktu (0,C).

n-tā sakne.

Apskatīsim elementāro pamatfunkciju, kas tiek dota ar formulu , kur n ir naturāls skaitlis, kas ir lielāks par vienu.

N-tās pakāpes sakne, n ir pāra skaitlis.

Sāksim ar n-to saknes funkciju saknes eksponenta n pāra vērtībām.

Piemēram, šeit ir attēls ar funkciju grafiku attēliem un , tie atbilst melnām, sarkanām un zilām līnijām.

Pāra pakāpes saknes funkciju grafikiem ir līdzīgs izskats citām eksponenta vērtībām.

N-tās saknes funkcijas īpašības pat n.

N-tā sakne n ir nepāra skaitlis.

N-tā saknes funkcija ar nepāra saknes eksponentu n ir definēta visai reālo skaitļu kopai. Piemēram, šeit ir funkciju grafiki un , tie atbilst melnajām, sarkanajām un zilajām līknēm.

Citām saknes eksponenta nepāra vērtībām funkciju grafikiem būs līdzīgs izskats.

N-tās saknes funkcijas īpašības nepāra n.

Jaudas funkcija.

Jaudas funkciju uzrāda formas formula .

Apskatīsim jaudas funkcijas grafiku formu un pakāpes funkcijas īpašības atkarībā no eksponenta vērtības.

Sāksim ar jaudas funkciju ar vesela skaitļa eksponentu a. Šajā gadījumā pakāpju funkciju grafiku izskats un funkciju īpašības ir atkarīgas no eksponenta vienmērīguma vai nepāra, kā arī no tā zīmes. Tāpēc vispirms aplūkosim jaudas funkcijas nepāra pozitīvajām eksponenta a vērtībām, tad pāra pozitīvajiem eksponentiem, tad nepāra negatīvajiem eksponentiem un visbeidzot pāra negatīvajiem a.

Pakāpju funkciju īpašības ar daļskaitļiem un iracionāliem eksponentiem (kā arī šādu pakāpju funkciju grafiku veids) ir atkarīgas no eksponenta a vērtības. Mēs tos uzskatīsim, pirmkārt, par a no nulles līdz vienam, otrkārt, par lielāku par vienu, treškārt, par a no mīnus viens līdz nullei, ceturtkārt, par mazāku par mīnus vienu.

Šīs sadaļas beigās, lai nodrošinātu pilnīgumu, mēs aprakstīsim jaudas funkciju ar nulles eksponentu.

Jaudas funkcija ar nepāra pozitīvu eksponentu.

Apskatīsim jaudas funkciju ar nepāra pozitīvu eksponentu, tas ir, ar a = 1,3,5,....

Zemāk redzamajā attēlā parādīti jaudas funkciju grafiki - melna līnija, - zila līnija, - sarkana līnija, - zaļa līnija. Mums ir a=1 lineārā funkcija y=x.

Jaudas funkcijas ar nepāra pozitīvu eksponentu īpašības.

Jaudas funkcija ar pat pozitīvu eksponentu.

Apskatīsim jaudas funkciju ar vienmērīgu pozitīvu eksponentu, tas ir, ja a = 2,4,6,....

Kā piemēru dodam jaudas funkciju grafikus – melnā līnija, – zilā līnija, – sarkanā līnija. Ja a=2 mums ir kvadrātfunkcija, kuras grafiks ir kvadrātiskā parabola.

Jaudas funkcijas ar vienmērīgu pozitīvu eksponentu īpašības.

Jaudas funkcija ar nepāra negatīvu eksponentu.

Apskatiet jaudas funkcijas grafikus eksponenta nepāra negatīvajām vērtībām, tas ir, a = -1, -3, -5,....

Attēlā kā piemēri parādīti jaudas funkciju grafiki - melna līnija, - zila līnija, - sarkana līnija, - zaļa līnija. Mums ir a=-1 apgrieztā proporcionalitāte, kura grafiks ir hiperbola.

Jaudas funkcijas ar nepāra negatīvu eksponentu īpašības.

Jaudas funkcija ar pat negatīvu eksponentu.

Pārejam pie jaudas funkcijas a=-2,-4,-6,….

Attēlā parādīti jaudas funkciju grafiki – melna līnija, – zila līnija, – sarkana līnija.

Jaudas funkcijas ar vienmērīgu negatīvu eksponentu īpašības.

Jaudas funkcija ar racionālu vai iracionālu eksponentu, kuras vērtība ir lielāka par nulli un mazāka par vienu.

Piezīme! Ja a ir pozitīva daļa ar nepāra saucēju, tad daži autori uzskata, ka jaudas funkcijas definīcijas domēns ir intervāls. Ir noteikts, ka eksponents a ir nereducējama daļa. Tagad daudzu algebras un analīzes principu mācību grāmatu autori NEDEFINĒ pakāpju funkcijas ar eksponentu daļskaitļa formā ar nepāra saucēju argumenta negatīvajām vērtībām. Mēs pieturēsimies tieši pie šī viedokļa, tas ir, uzskatīsim kopu par jaudas funkciju definīcijas domēniem ar daļējiem pozitīviem eksponentiem. Mēs iesakām skolēniem uzzināt jūsu skolotāja viedokli par šo smalko punktu, lai izvairītos no domstarpībām.

Apskatīsim jaudas funkciju ar racionālu vai iracionālu eksponentu a un .

Uzrādīsim jaudas funkciju grafikus a=11/12 (melna līnija), a=5/7 (sarkana līnija), (zila līnija), a=2/5 (zaļa līnija).

Jaudas funkcija, kuras racionālais vai iracionālais eksponents ir lielāks par vienu.

Apskatīsim jaudas funkciju ar racionālu vai iracionālu eksponentu a un .

Iesniegsim ar formulām doto pakāpju funkciju grafikus (attiecīgi melnas, sarkanas, zilas un zaļas līnijas).

>

Citām eksponenta a vērtībām funkcijas grafikiem būs līdzīgs izskats.

Jaudas funkcijas īpašības pie .

Jaudas funkcija ar reālo eksponentu, kas ir lielāks par mīnus viens un mazāks par nulli.

Piezīme! Ja a ir negatīva daļa ar nepāra saucēju, tad daži autori uzskata, ka jaudas funkcijas definīcijas domēns ir intervāls . Ir noteikts, ka eksponents a ir nereducējama daļa. Tagad daudzu algebras un analīzes principu mācību grāmatu autori NEDEFINĒ pakāpju funkcijas ar eksponentu daļskaitļa formā ar nepāra saucēju argumenta negatīvajām vērtībām. Mēs pieturēsimies tieši pie šī skatījuma, tas ir, par kopu uzskatīsim attiecīgi jaudas funkciju definīcijas jomas ar daļskaitļa negatīvajiem eksponentiem. Mēs iesakām skolēniem uzzināt jūsu skolotāja viedokli par šo smalko punktu, lai izvairītos no domstarpībām.

Pāriesim pie jaudas funkcijas, godod.

Lai iegūtu labu priekšstatu par jaudas funkciju grafiku formu, mēs sniedzam funkciju grafiku piemērus (attiecīgi melnas, sarkanas, zilas un zaļas līknes).

Pakāpju funkcijas ar eksponentu a, īpašības.

Jaudas funkcija ar reālo eksponentu, kas nav vesels skaitlis un ir mazāks par mīnus viens.

Sniegsim jaudas funkciju grafiku piemērus for , tie ir attēloti attiecīgi ar melnām, sarkanām, zilām un zaļām līnijām.

Jaudas funkcijas īpašības ar negatīvu eksponentu, kas nav vesels skaitlis, mazāks par mīnus viens.

Kad a = 0, mums ir funkcija - tā ir taisne, no kuras tiek izslēgts punkts (0;1) (vienojās izteiksmei 0 0 nepiešķirt nekādu nozīmi).

Eksponenciālā funkcija.

Viena no galvenajām elementārajām funkcijām ir eksponenciālā funkcija.

Eksponenciālās funkcijas grafiks, kur un iegūst dažādas formas atkarībā no bāzes vērtības a. Noskaidrosim šo.

Pirmkārt, apsveriet gadījumu, kad eksponenciālās funkcijas bāze iegūst vērtību no nulles līdz vienam, tas ir, .

Kā piemēru mēs piedāvājam eksponenciālās funkcijas grafikus a = 1/2 – zila līnija, a = 5/6 – sarkana līnija. Eksponenciālās funkcijas grafikiem ir līdzīgs izskats citām bāzes vērtībām no intervāla.

Eksponenciālas funkcijas īpašības, kuru bāze ir mazāka par vienu.

Pāriesim pie gadījuma, kad eksponenciālās funkcijas bāze ir lielāka par vienu, tas ir, .

Kā ilustrāciju mēs piedāvājam eksponenciālo funkciju grafikus - zilā līnija un - sarkanā līnija. Citām bāzes vērtībām, kas lielākas par vienu, eksponenciālās funkcijas grafikiem būs līdzīgs izskats.

Eksponenciālas funkcijas īpašības, kuru bāze ir lielāka par vienu.

Logaritmiskā funkcija.

Nākamā pamatfunkcija ir logaritmiskā funkcija, kur , . Logaritmiskā funkcija ir definēta tikai argumenta pozitīvajām vērtībām, tas ir, .

Logaritmiskās funkcijas grafiks iegūst dažādas formas atkarībā no bāzes a vērtības.

Pamatelementāras funkcijas, tām raksturīgās īpašības un atbilstošie grafiki ir viens no matemātikas zināšanu pamatiem, pēc nozīmes līdzīgs reizināšanas tabulai. Elementārās funkcijas ir pamats, atbalsts visu teorētisko jautājumu izpētei.

Yandex.RTB R-A-339285-1

Tālāk esošajā rakstā ir sniegti galvenie materiāli par pamata elementārfunkciju tēmu. Ieviesīsim terminus, sniegsim tiem definīcijas; Detalizēti izpētīsim katru elementāro funkciju veidu un analizēsim to īpašības.

Izšķir šādus pamatelementu funkciju veidus:

1. definīcija

• konstanta funkcija (konstante);
• n-tā sakne;
• jaudas funkcija;
• eksponenciālā funkcija;
• logaritmiskā funkcija;
• trigonometriskās funkcijas;
• brālīgās trigonometriskās funkcijas.

Konstantu funkciju definē pēc formulas: y = C (C ir noteikts reāls skaitlis), un tai ir arī nosaukums: konstante. Šī funkcija nosaka jebkuras neatkarīgā mainīgā x reālās vērtības atbilstību vienai un tai pašai mainīgā y vērtībai - C vērtībai.

Konstantes grafiks ir taisna līnija, kas ir paralēla abscisu asij un iet caur punktu ar koordinātām (0, C). Skaidrības labad mēs piedāvājam konstantu funkciju grafikus y = 5, y = - 2, y = 3, y = 3 (zīmējumā norādītas attiecīgi melnā, sarkanā un zilā krāsā).

2. definīcija

Šo elementāro funkciju definē ar formulu y = x n (n ir naturāls skaitlis, kas ir lielāks par vienu).

Apskatīsim divus funkcijas variantus.

1. n-tā sakne, n – pāra skaitlis

Skaidrības labad mēs norādām zīmējumu, kurā parādīti šādu funkciju grafiki: y = x, y = x 4 un y = x8. Šīs funkcijas ir apzīmētas ar krāsu kodiem: attiecīgi melna, sarkana un zila.

Pāra pakāpes funkcijas grafikiem ir līdzīgs izskats citām eksponenta vērtībām.

3. definīcija

N-tās saknes funkcijas īpašības, n ir pāra skaitlis

• definīcijas domēns – visu nenegatīvo reālo skaitļu kopa [ 0 , + ∞) ;
• kad x = 0, funkcija y = x n vērtība ir vienāda ar nulli;
• šī funkcija ir vispārīgas formas funkcija (tā nav ne pāra, ne nepāra);
• diapazons: [ 0 , + ∞) ;
• šī funkcija y = x n ar pāra saknes eksponentiem palielinās visā definīcijas jomā;
• funkcijai ir izliekums ar augšupejošu virzienu visā definīcijas jomā;
• nav lēciena punktu;
• nav asimptotu;
• funkcijas grafiks pat n iet caur punktiem (0; 0) un (1; 1).

1. n-tā sakne, n – nepāra skaitlis

Šāda funkcija ir definēta visai reālo skaitļu kopai. Skaidrības labad apsveriet funkciju grafikus y = x 3, y = x 5 un x 9 . Zīmējumā tās ir apzīmētas ar krāsām: melna, sarkana un zila ir attiecīgi līkņu krāsas.

Citas funkcijas y = x n saknes eksponenta nepāra vērtības sniegs līdzīga veida grafiku.

4. definīcija

N-tās saknes funkcijas īpašības, n ir nepāra skaitlis

• definīcijas domēns – visu reālo skaitļu kopa;
• šī funkcija ir nepāra;
• vērtību diapazons – visu reālo skaitļu kopa;
• funkcija y = x n nepāra saknes eksponentiem palielinās visā definīcijas jomā;
• funkcijai ir ieliekums intervālā (- ∞ ; 0 ] un izliekums intervālā [ 0 , + ∞ );
• lēciena punktam ir koordinātas (0; 0);
• nav asimptotu;
• Funkcijas grafiks nepāra n iet caur punktiem (- 1 ; - 1), (0 ; 0) un (1 ; 1).

Jaudas funkcija

5. definīcija

Jaudas funkciju definē pēc formulas y = x a.

Grafiku izskats un funkcijas īpašības ir atkarīgas no eksponenta vērtības.

• ja pakāpes funkcijai ir vesels skaitļa eksponents a, tad pakāpes funkcijas grafika veids un tās īpašības ir atkarīgas no tā, vai eksponents ir pāra vai nepāra, kā arī no tā, kāda ir eksponenta zīme. Tālāk aplūkosim visus šos īpašos gadījumus sīkāk;
• eksponents var būt daļējs vai iracionāls - atkarībā no tā atšķiras arī grafiku veids un funkcijas īpašības. Mēs analizēsim īpašus gadījumus, uzstādot vairākus nosacījumus: 0< a < 1 ; a > 1 ; - 1 < a < 0 и a < - 1 ;
• jaudu funkcijai var būt nulles eksponents, mēs arī analizēsim šo gadījumu sīkāk.

Analizēsim jaudas funkciju y = x a, kad a ir nepāra pozitīvs skaitlis, piemēram, a = 1, 3, 5...

Skaidrības labad mēs norādām šādu jaudas funkciju grafikus: y = x (grafiskā krāsa melna), y = x 3 (diagrammas zilā krāsa), y = x 5 (diagrammas sarkanā krāsa), y = x 7 (grafiskā krāsa zaļa). Ja a = 1, mēs iegūstam lineāro funkciju y = x.

6. definīcija

Jaudas funkcijas īpašības, ja eksponents ir nepāra pozitīvs

• funkcija pieaug x ∈ (- ∞ ; + ∞) ;
• funkcijai ir izliekums x ∈ (- ∞ ; 0 ] un ieliekums x ∈ [ 0 ; + ∞) (izņemot lineāro funkciju);
• lēciena punktam ir koordinātas (0 ; 0) (izņemot lineāro funkciju);
• nav asimptotu;
• funkcijas pārejas punkti: (- 1 ; - 1) , (0 ; 0) , (1 ; 1) .

Analizēsim jaudas funkciju y = x a, kad a ir pāra pozitīvs skaitlis, piemēram, a = 2, 4, 6...

Skaidrības labad mēs norādām šādu jaudas funkciju grafikus: y = x 2 (grafiskā krāsa melna), y = x 4 (diagrammas zilā krāsa), y = x 8 (diagrammas sarkanā krāsa). Kad a = 2, iegūstam kvadrātfunkciju, kuras grafiks ir kvadrātiskā parabola.

7. definīcija

Jaudas funkcijas īpašības, ja eksponents ir pat pozitīvs:

• definīcijas apgabals: x ∈ (- ∞ ; + ∞) ;
• samazinās par x ∈ (- ∞ ; 0 ] ;
• funkcijai ir ieliekums x ∈ (- ∞ ; + ∞) ;
• nav lēciena punktu;
• nav asimptotu;
• funkcijas pārejas punkti: (- 1 ; 1) , (0 ; 0) , (1 ; 1) .

Zemāk esošajā attēlā ir parādīti jaudas funkciju diagrammu piemēri y = x a, ja a ir nepāra negatīvs skaitlis: y = x - 9 (grafiskā krāsa melna); y = x - 5 (grafikas zilā krāsa); y = x - 3 (diagrammas sarkanā krāsa); y = x - 1 (grafiskā krāsa zaļa). Ja a = - 1, iegūstam apgriezto proporcionalitāti, kuras grafiks ir hiperbola.

8. definīcija

Jaudas funkcijas īpašības, ja eksponents ir nepāra negatīvs:

Ja x = 0, mēs iegūstam otrā veida pārtraukumu, jo lim x → 0 - 0 x a = - ∞, lim x → 0 + 0 x a = + ∞, ja a = - 1, - 3, - 5, …. Tādējādi taisne x = 0 ir vertikāla asimptote;

• diapazons: y ∈ (- ∞ ; 0) ∪ (0 ; + ∞) ;
• funkcija ir nepāra, jo y (- x) = - y (x);
• funkcija samazinās pie x ∈ - ∞ ; 0 ∪ (0 ; + ∞);
• funkcijai ir izliekums x ∈ (- ∞ ; 0) un ieliekums x ∈ (0 ; + ∞) ;
• nav lēciena punktu;

k = lim x → ∞ x a x = 0, b = lim x → ∞ (x a - k x) = 0 ⇒ y = k x + b = 0, kad a = - 1, - 3, - 5, . . . .

• funkcijas pārejas punkti: (- 1 ; - 1) , (1 ; 1) .

Tālāk esošajā attēlā ir parādīti jaudas funkcijas y = x a grafiku piemēri, kad a ir pāra negatīvs skaitlis: y = x - 8 (grafiskā krāsa melna); y = x - 4 (grafikas zilā krāsa); y = x - 2 (diagrammas sarkanā krāsa).

9. definīcija

Jaudas funkcijas īpašības, ja eksponents ir pat negatīvs:

• definīcijas apgabals: x ∈ (- ∞ ; 0) ∪ (0 ; + ∞) ;

Ja x = 0, mēs iegūstam otrā veida pārtraukumu, jo lim x → 0 - 0 x a = + ∞, lim x → 0 + 0 x a = + ∞, ja a = - 2, - 4, - 6, …. Tādējādi taisne x = 0 ir vertikāla asimptote;

• funkcija ir pāra, jo y(-x) = y(x);
• funkcija pieaug pie x ∈ (- ∞ ; 0) un samazinās pie x ∈ 0; + ∞ ;
• funkcijai ir ieliekums pie x ∈ (- ∞ ; 0) ∪ (0 ; + ∞) ;
• nav lēciena punktu;
• horizontālā asimptote – taisna līnija y = 0, jo:

k = lim x → ∞ x a x = 0, b = lim x → ∞ (x a - k x) = 0 ⇒ y = k x + b = 0, ja a = - 2 , - 4 , - 6 , . . . .

• funkcijas pārejas punkti: (- 1 ; 1) , (1 ; 1) .

Jau pašā sākumā pievērsiet uzmanību sekojošam aspektam: gadījumā, ja a ir pozitīva daļdaļa ar nepāra saucēju, daži autori par šīs pakāpes funkcijas definīcijas apgabalu uzskata intervālu - ∞; + ∞ , kas nosaka, ka eksponents a ir nereducējama daļa. Šobrīd daudzu izglītojošu publikāciju par algebru un analīzes principiem autori NEDEFINĒ pakāpju funkcijas, kur eksponents ir daļa ar nepāra saucēju argumenta negatīvajām vērtībām. Tālāk mēs pieturēsimies tieši pie šīs pozīcijas: ņemsim komplektu [ 0 ; + ∞) . Ieteikums skolēniem: noskaidrojiet skolotāja viedokli šajā jautājumā, lai izvairītos no domstarpībām.

Tātad, aplūkosim jaudas funkciju y = x a , ja eksponents ir racionāls vai iracionāls skaitlis, ar nosacījumu, ka 0< a < 1 .

Ilustrēsim jaudas funkcijas ar grafikiem y = x a, ja a = 11 12 (grafiskā krāsa melna); a = 5 7 (diagrammas sarkanā krāsa); a = 1 3 (diagrammas zilā krāsa); a = 2 5 (grafikas zaļā krāsa).

Citas eksponenta a vērtības (ja 0< a < 1) дадут аналогичный вид графика.

10. definīcija

Jaudas funkcijas īpašības pie 0< a < 1:

• diapazons: y ∈ [ 0 ; + ∞) ;
• funkcija pieaug pie x ∈ [ 0 ; + ∞) ;
• funkcija ir izliekta x ∈ (0 ; + ∞);
• nav lēciena punktu;
• nav asimptotu;

Analizēsim jaudas funkciju y = x a, ja eksponents ir racionāls vai iracionāls skaitlis, kas nav vesels skaitlis, ar nosacījumu, ka a > 1.

Ilustrēsim jaudas funkciju ar grafikiem y = x a noteiktos apstākļos, kā piemēru izmantojot šādas funkcijas: y = x 5 4, y = x 4 3, y = x 7 3, y = x 3 π (melna, sarkana, zila, zaļa diagrammu krāsa, attiecīgi).

Citas eksponenta a vērtības, ja > 1, sniegs līdzīgu grafiku.

11. definīcija

Jaudas funkcijas īpašības > 1:

• definīcijas domēns: x ∈ [ 0 ; + ∞) ;
• diapazons: y ∈ [ 0 ; + ∞) ;
• šī funkcija ir vispārīgas formas funkcija (tā nav ne nepāra, ne pāra);
• funkcija pieaug pie x ∈ [ 0 ; + ∞) ;
• funkcijai ir ieliekums x ∈ (0 ; + ∞) (kad 1< a < 2) и выпуклость при x ∈ [ 0 ; + ∞) (когда a > 2);
• nav lēciena punktu;
• nav asimptotu;
• funkcijas pārejas punkti: (0 ; 0) , (1 ; 1) .

Lūdzu, ņemiet vērā, kad a ir negatīvs daļskaitlis ar nepāra saucēju, dažu autoru darbos pastāv uzskats, ka definīcijas apgabals šajā gadījumā ir intervāls - ∞; 0 ∪ (0 ; + ∞) ar brīdinājumu, ka eksponents a ir nereducējama daļa. Šobrīd izglītojošo materiālu par algebru un analīzes principiem autori NEDEFINĒ pakāpju funkcijas ar eksponentu daļskaitļa formā ar nepāra saucēju argumenta negatīvajām vērtībām. Tālāk mēs pieturamies tieši pie šī viedokļa: kopu (0 ; + ∞) mēs ņemam par jaudas funkciju definīcijas apgabalu ar daļējiem negatīviem eksponentiem. Ieteikums skolēniem: šajā brīdī precizējiet skolotāja redzējumu, lai izvairītos no domstarpībām.

Turpināsim tēmu un analizēsim jaudas funkciju y = x a ar nosacījumu: - 1< a < 0 .

Iesniegsim šādu funkciju grafiku zīmējumu: y = x - 5 6, y = x - 2 3, y = x - 1 2 2, y = x - 1 7 (melnas, sarkanas, zilas, zaļas līnijas, attiecīgi).

12. definīcija

Jaudas funkcijas īpašības pie - 1< a < 0:

lim x → 0 + 0 x a = + ∞, kad - 1< a < 0 , т.е. х = 0 – вертикальная асимптота;

• diapazons: y ∈ 0 ; + ∞ ;
• šī funkcija ir vispārīgas formas funkcija (tā nav ne nepāra, ne pāra);
• nav lēciena punktu;

Zemāk esošajā zīmējumā parādīti jaudas funkciju y = x - 5 4, y = x - 5 3, y = x - 6, y = x - 24 7 (attiecīgi melna, sarkana, zila, zaļa līkņu krāsas) grafiki.

13. definīcija

Jaudas funkcijas īpašības a< - 1:

• definīcijas apgabals: x ∈ 0 ; + ∞ ;

lim x → 0 + 0 x a = + ∞, kad a< - 1 , т.е. х = 0 – вертикальная асимптота;

• diapazons: y ∈ (0 ; + ∞) ;
• šī funkcija ir vispārīgas formas funkcija (tā nav ne nepāra, ne pāra);
• funkcija samazinās pie x ∈ 0; + ∞ ;
• funkcijai ir ieliekums x ∈ 0; + ∞ ;
• nav lēciena punktu;
• horizontālā asimptote – taisne y = 0;
• funkcijas pārejas punkts: (1; 1) .

Kad a = 0 un x ≠ 0, iegūstam funkciju y = x 0 = 1, kas definē taisni, no kuras punkts (0; 1) tiek izslēgts (vienojās, ka izteiksmei 0 0 netiks piešķirta nozīme ).

Eksponenciālajai funkcijai ir forma y = a x, kur a > 0 un a ≠ 1, un šīs funkcijas grafiks izskatās savādāk, pamatojoties uz bāzes a vērtību. Apskatīsim īpašus gadījumus.

Vispirms apskatīsim situāciju, kad eksponenciālās funkcijas bāzei ir vērtība no nulles līdz vienam (0< a < 1) . Labs piemērs ir funkciju grafiki a = 1 2 (līknes zilā krāsa) un a = 5 6 (līknes sarkanā krāsa).

Eksponenciālās funkcijas grafikiem būs līdzīgs izskats citām bāzes vērtībām saskaņā ar nosacījumu 0< a < 1 .

14. definīcija

Eksponenciālās funkcijas īpašības, ja bāze ir mazāka par vienu:

• diapazons: y ∈ (0 ; + ∞) ;
• šī funkcija ir vispārīgas formas funkcija (tā nav ne nepāra, ne pāra);
• eksponenciāla funkcija, kuras bāze ir mazāka par vienu, samazinās visā definīcijas jomā;
• nav lēciena punktu;
• horizontālā asimptote – taisne y = 0 ar mainīgo x tendenci uz + ∞;

Tagad apsveriet gadījumu, kad eksponenciālās funkcijas bāze ir lielāka par vienu (a > 1).

Ilustrēsim šo īpašo gadījumu ar eksponenciālo funkciju grafiku y = 3 2 x (līknes zilā krāsa) un y = e x (diagrammas sarkanā krāsa).

Citas bāzes vērtības, lielākas vienības, dos līdzīgu izskatu eksponenciālās funkcijas grafikam.

15. definīcija

Eksponenciālās funkcijas īpašības, ja bāze ir lielāka par vienu:

• definīcijas domēns – visa reālo skaitļu kopa;
• diapazons: y ∈ (0 ; + ∞) ;
• šī funkcija ir vispārīgas formas funkcija (tā nav ne nepāra, ne pāra);
• eksponenciāla funkcija, kuras bāze ir lielāka par vienu, pieaug kā x ∈ - ∞; + ∞ ;
• funkcijai ir ieliekums pie x ∈ - ∞; + ∞ ;
• nav lēciena punktu;
• horizontālā asimptote – taisne y = 0 ar mainīgo x tendenci uz - ∞;
• funkcijas pārejas punkts: (0; 1) .

Logaritmiskajai funkcijai ir forma y = log a (x), kur a > 0, a ≠ 1.

Šāda funkcija ir definēta tikai argumenta pozitīvajām vērtībām: x ∈ 0; + ∞ .

Logaritmiskās funkcijas grafikam ir atšķirīgs izskats, pamatojoties uz bāzes a vērtību.

Vispirms apskatīsim situāciju, kad 0< a < 1 . Продемонстрируем этот частный случай графиком логарифмической функции при a = 1 2 (синий цвет кривой) и а = 5 6 (красный цвет кривой).

Citas bāzes vērtības, nevis lielākas vienības, dos līdzīga veida grafiku.

16. definīcija

Logaritmiskās funkcijas īpašības, ja bāze ir mazāka par vienu:

• definīcijas apgabals: x ∈ 0 ; + ∞ . Tā kā x tiecas uz nulli no labās puses, funkciju vērtībām ir tendence uz +∞;
• diapazons: y ∈ - ∞ ; + ∞ ;
• šī funkcija ir vispārīgas formas funkcija (tā nav ne nepāra, ne pāra);
• logaritmisks
• funkcijai ir ieliekums x ∈ 0; + ∞ ;
• nav lēciena punktu;
• nav asimptotu;

Tagad apskatīsim īpašo gadījumu, kad logaritmiskās funkcijas bāze ir lielāka par vienu: a > 1 . Zemāk esošajā zīmējumā ir parādīti logaritmisko funkciju y = log 3 2 x un y = ln x grafiki (attiecīgi diagrammu zilā un sarkanā krāsā).

Citas bāzes vērtības, kas lielākas par vienu, dos līdzīga veida grafiku.

17. definīcija

Logaritmiskās funkcijas īpašības, ja bāze ir lielāka par vienu:

• definīcijas apgabals: x ∈ 0 ; + ∞ . Tā kā x tiecas uz nulli no labās puses, funkcijas vērtībām ir tendence uz - ∞ ;
• diapazons: y ∈ - ∞ ; + ∞ (visa reālo skaitļu kopa);
• šī funkcija ir vispārīgas formas funkcija (tā nav ne nepāra, ne pāra);
• logaritmiskā funkcija pieaug pie x ∈ 0; + ∞ ;
• funkcija ir izliekta x ∈ 0; + ∞ ;
• nav lēciena punktu;
• nav asimptotu;
• funkcijas pārejas punkts: (1; 0) .

Trigonometriskās funkcijas ir sinuss, kosinuss, tangenss un kotangenss. Apskatīsim katra no tām īpašības un atbilstošo grafiku.

Kopumā visas trigonometriskās funkcijas raksturo periodiskuma īpašība, t.i. kad funkciju vērtības tiek atkārtotas dažādām argumenta vērtībām, kas atšķiras viena no otras ar periodu f (x + T) = f (x) (T ir periods). Tādējādi trigonometrisko funkciju īpašību sarakstam tiek pievienots vienums “mazākais pozitīvais periods”. Turklāt mēs norādīsim argumenta vērtības, pie kurām atbilstošā funkcija kļūst par nulli.

1. Sinusa funkcija: y = sin(x)

Šīs funkcijas grafiku sauc par sinusoidālo vilni.

18. definīcija

Sinusa funkcijas īpašības:

• definīcijas apgabals: visa reālo skaitļu kopa x ∈ - ∞ ; + ∞ ;
• funkcija pazūd, ja x = π · k, kur k ∈ Z (Z ir veselu skaitļu kopa);
• funkcija pieaug pie x ∈ - π 2 + 2 π · k ; π 2 + 2 π · k, k ∈ Z un samazinās pie x ∈ π 2 + 2 π · k; 3 π 2 + 2 π · k, k ∈ Z;
• sinusa funkcijai ir lokālie maksimumi punktos π 2 + 2 π · k; 1 un lokālie minimumi punktos - π 2 + 2 π · k; - 1, k ∈ Z;
• sinusa funkcija ir ieliekta, ja x ∈ - π + 2 π · k ; 2 π · k, k ∈ Z un izliekta, ja x ∈ 2 π · k; π + 2 π k, k ∈ Z;
• nav asimptotu.

1. Kosinusa funkcija: y = cos(x)

Šīs funkcijas grafiku sauc par kosinusa vilni.

19. definīcija

Kosinusa funkcijas īpašības:

• definīcijas apgabals: x ∈ - ∞ ; + ∞ ;
• mazākais pozitīvais periods: T = 2 π;
• vērtību diapazons: y ∈ - 1 ; 1 ;
• šī funkcija ir pāra, jo y (- x) = y (x);
• funkcija pieaug pie x ∈ - π + 2 π · k ; 2 π · k, k ∈ Z un samazinās pie x ∈ 2 π · k; π + 2 π k, k ∈ Z;
• kosinusa funkcijai ir lokālie maksimumi punktos 2 π · k ; 1, k ∈ Z un lokālie minimumi punktos π + 2 π · k; - 1, k ∈ z;
• kosinusa funkcija ir ieliekta, ja x ∈ π 2 + 2 π · k ; 3 π 2 + 2 π · k , k ∈ Z un izliekta, ja x ∈ - π 2 + 2 π · k ; π 2 + 2 π · k, k ∈ Z;
• lēciena punktiem ir koordinātes π 2 + π · k; 0 , k ∈ Z
• nav asimptotu.

1. Pieskares funkcija: y = t g (x)

Šīs funkcijas grafiku sauc pieskares.

20. definīcija

Pieskares funkcijas īpašības:

• definīcijas apgabals: x ∈ - π 2 + π · k ; π 2 + π · k, kur k ∈ Z (Z ir veselu skaitļu kopa);
• Pieskares funkcijas izturēšanās uz definīcijas apgabala robežas lim x → π 2 + π · k + 0 t g (x) = - ∞ , lim x → π 2 + π · k - 0 t g (x) = + ∞ . Tādējādi taisnes x = π 2 + π · k k ∈ Z ir vertikālas asimptotes;
• funkcija pazūd, ja x = π · k k ∈ Z (Z ir veselu skaitļu kopa);
• diapazons: y ∈ - ∞ ; + ∞ ;
• šī funkcija ir nepāra, jo y (- x) = - y (x) ;
• funkcija pieaug kā - π 2 + π · k ; π 2 + π · k, k ∈ Z;
• pieskares funkcija ir ieliekta x ∈ [π · k; π 2 + π · k) , k ∈ Z un izliekta x ∈ (- π 2 + π · k ; π · k ] , k ∈ Z ;
• lēciena punktiem ir koordinātes π · k ; 0, k ∈ Z;

1. Kotangentes funkcija: y = c t g (x)

Šīs funkcijas grafiku sauc par kotangentoīdu. .

21. definīcija

Kotangences funkcijas īpašības:

• definīcijas apgabals: x ∈ (π · k ; π + π · k) , kur k ∈ Z (Z ir veselu skaitļu kopa);

Kotangences funkcijas izturēšanās uz definīcijas apgabala robežas lim x → π · k + 0 t g (x) = + ∞ , lim x → π · k - 0 t g (x) = - ∞ . Tādējādi taisnes x = π · k k ∈ Z ir vertikālas asimptotes;

• mazākais pozitīvais periods: T = π;
• funkcija pazūd, ja x = π 2 + π · k k ∈ Z (Z ir veselu skaitļu kopa);
• diapazons: y ∈ - ∞ ; + ∞ ;
• šī funkcija ir nepāra, jo y (- x) = - y (x) ;
• funkcija samazinās pie x ∈ π · k ; π + π k, k ∈ Z;
• kotangentes funkcija ir ieliekta x ∈ (π k; π 2 + π k ], k ∈ Z un izliekta x ∈ [ - π 2 + π k ; π k ), k ∈ Z ;
• lēciena punktiem ir koordinātas π 2 + π · k; 0, k ∈ Z;
• Nav slīpu vai horizontālu asimptotu.

Apgrieztās trigonometriskās funkcijas ir arkosīns, arkosīns, arktangenss un arkotangenss. Bieži vien prefiksa “loka” klātbūtnes dēļ nosaukumā apgrieztās trigonometriskās funkcijas sauc par loka funkcijām .

1. Arc sinusa funkcija: y = a r c sin (x)

22. definīcija

Arksīna funkcijas īpašības:

• šī funkcija ir nepāra, jo y (- x) = - y (x) ;
• arcsinusa funkcijai ir ieliekums x ∈ 0; 1 un izliekums x ∈ - 1 ; 0 ;
• lēciena punktiem ir koordinātes (0; 0), kas ir arī funkcijas nulle;
• nav asimptotu.

1. Loka kosinusa funkcija: y = a r c cos (x)

23. definīcija

Loka kosinusa funkcijas īpašības:

• definīcijas apgabals: x ∈ - 1 ; 1 ;
• diapazons: y ∈ 0 ; π;
• šai funkcijai ir vispārīga forma (ne pāra, ne nepāra);
• funkcija samazinās visā definīcijas jomā;
• loka kosinusa funkcijai ir ieliekums pie x ∈ - 1; 0 un izliekums x ∈ 0; 1 ;
• lēciena punktiem ir 0 koordinātas; π 2;
• nav asimptotu.

1. Loka tangenses funkcija: y = a r c t g (x)

24. definīcija

Arktangenta funkcijas īpašības:

• definīcijas apgabals: x ∈ - ∞ ; + ∞ ;
• vērtību diapazons: y ∈ - π 2 ; π 2;
• šī funkcija ir nepāra, jo y (- x) = - y (x) ;
• funkcija palielinās visā definīcijas jomā;
• arktangensa funkcijai ir ieliekums x ∈ (- ∞ ; 0 ] un izliekums x ∈ [ 0 ; + ∞ );
• lēciena punktam ir koordinātes (0; 0), kas ir arī funkcijas nulle;
• horizontālās asimptotes ir taisnas līnijas y = - π 2 kā x → - ∞ un y = π 2 kā x → + ∞ (attēlā asimptotes ir zaļas līnijas).

1. Loka pieskares funkcija: y = a r c c t g (x)

25. definīcija

Arkotangenta funkcijas īpašības:

• definīcijas apgabals: x ∈ - ∞ ; + ∞ ;
• diapazons: y ∈ (0; π) ;
• šī funkcija ir vispārīga;
• funkcija samazinās visā definīcijas jomā;
• loka kotangentes funkcijai ir ieliekums x ∈ [ 0 ; + ∞) un izliekums x ∈ (- ∞ ; 0 ] ;
• lēciena punkta koordinātas ir 0; π 2;
• horizontālās asimptotes ir taisnas līnijas y = π pie x → - ∞ (zaļā līnija zīmējumā) un y = 0 pie x → + ∞.

Ja tekstā pamanāt kļūdu, lūdzu, iezīmējiet to un nospiediet Ctrl+Enter