Analizēsim funkcijas īpašības pēc shēmas: Analizēsim pēc shēmas: 1. funkcijas definīcijas domēns 1. funkcijas definīcijas domēns 2. funkcijas vērtību kopa 2. vērtību kopa funkcijas 3. funkcijas nulles 3. funkcijas nulles 4. funkcijas nemainīgās zīmes intervāli 4. funkcijas konstantes zīmes intervāli 5. funkcijas pāra vai nepāra 5. pāra vai nepāra. funkcija 6. funkcijas monotonitāte 7. funkcijas lielākā un mazākā vērtība 8. funkcijas periodiskums 9. funkcijas ierobežojums. no funkcijas
0 x R. 5) Funkcija nav ne pāra, ne "title=" eksponenciāla funkcija, tās grafiks un īpašības y x 1 o 1) Definīcijas apgabals ir visu reālo skaitļu kopa (D(y)= R). 2) Vērtību kopa ir visu pozitīvo skaitļu kopa (E(y)=R +). 3) Nulles nav. 4) y>0 x R. 5) Funkcija nav ne pāra, ne" class="link_thumb"> 10 !} Eksponenciālā funkcija, tās grafiks un īpašības y x 1 o 1) Definīcijas apgabals ir visu reālo skaitļu kopa (D(y)=R). 2) Vērtību kopa ir visu pozitīvo skaitļu kopa (E(y)=R +). 3) Nulles nav. 4) y>0 x R. 5) Funkcija nav ne pāra, ne nepāra. 6) Funkcija ir monotona: tā palielinās par R, ja a>1, un samazinās par R, ja ir 0 0 x R. 5) Funkcija nav ne pāra, ne > 0 x R. 5) Funkcija nav ne pāra, ne nepāra. 6) Funkcija ir monotona: tā palielinās uz R, ja a>1, un samazinās, ja R 0"> 0 x R. 5) Funkcija nav ne pāra, ne " title=" eksponenciāla funkcija, tās grafiks un īpašības y x 1 o 1) Definīcijas apgabals ir visu reālo skaitļu kopa (D( y)=R). 2) Vērtību kopa ir visu pozitīvo skaitļu kopa (E(y)=R +). 3) Nulles nav. 4) y>0 x R. 5) Funkcija nav ne pāra, ne"> title="Eksponenciālā funkcija, tās grafiks un īpašības y x 1 o 1) Definīcijas apgabals ir visu reālo skaitļu kopa (D(y)=R). 2) Vērtību kopa ir visu pozitīvo skaitļu kopa (E(y)=R +). 3) Nulles nav. 4) y>0 x R. 5) Funkcija nav ne pāra, ne"> !}
Koksnes augšana notiek saskaņā ar likumu, kur: A - koksnes daudzuma izmaiņas laika gaitā; A 0 - sākotnējais koksnes daudzums; t-laiks, k, a- dažas konstantes. Koksnes augšana notiek saskaņā ar likumu, kur: A - koksnes daudzuma izmaiņas laika gaitā; A 0 - sākotnējais koksnes daudzums; t-laiks, k, a- dažas konstantes. t 0 t0t0 t1t1 t2t2 t3t3 tntn A A0A0 A1A1 A2A2 A3A3 AnAn
Tējkannas temperatūra mainās saskaņā ar likumu, kur: T ir tējkannas temperatūras izmaiņas laika gaitā; T 0 - ūdens viršanas temperatūra; t-laiks, k, a- dažas konstantes. Tējkannas temperatūra mainās saskaņā ar likumu, kur: T ir tējkannas temperatūras izmaiņas laika gaitā; T 0 - ūdens viršanas temperatūra; t-laiks, k, a- dažas konstantes. t 0 t0t0 t1t1 t2t2 t3t3 tntn T T0T0 T1T1 T2T2 T3T3
Radioaktīvā sabrukšana notiek saskaņā ar likumu, kur: Radioaktīvā sabrukšana notiek saskaņā ar likumu, kur: N ir nesabrukušo atomu skaits jebkurā brīdī t; N 0 - sākotnējais atomu skaits (laikā t=0); t-laiks; N ir nesabrukušo atomu skaits jebkurā brīdī t; N 0 - sākotnējais atomu skaits (laikā t=0); t-laiks; T - pussabrukšanas periods. T - pussabrukšanas periods. t 0 t 1 t 2 N N3N3 N4N4 t4t4 N0N0 t3t3 N2N2 N1N1
C Būtiska organisko procesu un daudzumu izmaiņu īpašība ir tāda, ka vienādos laika periodos daudzuma vērtība mainās vienā un tajā pašā attiecībā. Koksnes augšana Tējkannas temperatūras izmaiņas Gaisa spiediena izmaiņas Organisko daudzumu izmaiņu procesi ietver: Radioaktīvā sabrukšana
Salīdziniet skaitļus 1,3 34 un 1,3 40. Piemērs 1. Salīdziniet skaitļus 1,3 34 un 1,3 40. Vispārējā risinājuma metode. 1. Uzrāda skaitļus kā pakāpes ar vienādu bāzi (ja nepieciešams) 1.3 34 un 1. Noskaidro, vai eksponenciālā funkcija a = 1.3 palielinās vai samazinās; a>1, tad eksponenciālā funkcija palielinās. a = 1,3; a>1, tad eksponenciālā funkcija palielinās. 3. Salīdziniet eksponentus (vai funkcijas argumentus) 34 1, tad eksponenciālā funkcija palielinās. a = 1,3; a>1, tad eksponenciālā funkcija palielinās. 3. Salīdziniet eksponentus (vai funkcijas argumentus) 34"> 
Grafiski atrisiniet vienādojumu 3 x = 4-x. 2. piemērs. Grafiski atrisiniet vienādojumu 3 x = 4-x. Vienādojumu risināšanai izmantojam funkcionāli grafisko metodi: vienā koordinātu sistēmā konstruēsim funkciju y=3x un y=4x grafikus. funkciju y=3x un y=4x grafiki. Mēs novērojam, ka tiem ir viens kopīgs punkts (1;3). Tas nozīmē, ka vienādojumam ir viena sakne x=1. Atbilde: 1 Atbilde: 1 y=4
4. 3. piemērs. Grafiski atrisiniet nevienādību 3 x > 4-x. Risinājums. y=4-x Nevienādību risināšanai izmantojam funkcionāli grafisko metodi: 1. Konstruēsim vienā sistēmā 1. Konstruēsim vienā koordinātu sistēmā funkciju grafikus " title="Grafiski atrisināsim nevienādību 3 x > 4-x Piemērs 3. Atrisināt grafiski nevienādību y = 4-x Nevienādību atrisināšanai izmantojam funkcionāli grafisko metodi: 1. Konstruē funkciju grafikus vienā koordinātu sistēmā." class="link_thumb"> 24 !} Grafiski atrisiniet nevienādību 3 x > 4-x. 3. piemērs. Grafiski atrisiniet nevienādību 3 x > 4-x. Risinājums. y=4-x Nevienādību risināšanai izmantojam funkcionāli grafisko metodi: 1. Konstruēsim vienā koordinātu sistēmā koordinātu funkciju grafikus funkciju y=3 x un y=4-x grafikus. 2. Atlasiet funkcijas y=3x grafika daļu, kas atrodas virs (kopš zīmes >) funkcijas y=4x grafika. 3. Atzīmējiet uz x ass daļu, kas atbilst izvēlētajai grafikas daļai (citiem vārdiem: projicējiet izvēlēto grafika daļu uz x asi). 4. Atbildi rakstīsim kā intervālu: Atbilde: (1;). Atbilde: (1;). 4. 3. piemērs. Grafiski atrisiniet nevienādību 3 x > 4-x. Risinājums. y = 4-x Nevienādību risināšanai izmantojam funkcionāli grafisko metodi: 1. Konstruēsim vienā sistēmā 1. Konstruēsim vienā koordinātu sistēmā funkciju "> 4-x grafikus Piemērs 3. Grafiski atrisināsim nevienādību 3 x > 4-x Risinājums y =4-x Nevienādību atrisināšanai izmantojam funkcionāli grafisko metodi: 1. Konstruēsim vienā koordinātu sistēmā funkciju grafikus y=3 x un y=4-x 2. Izvēlieties funkcijas y=3 grafika daļu, kas atrodas virs (no zīmes >) funkcijas y=4-x grafika 3. Atzīmējiet uz x ass daļu, kas atbilst izvēlētajai daļai grafika (citiem vārdiem: projicējiet izvēlēto grafika daļu uz x-ass. Pierakstiet atbildi kā intervālu: Atbilde: (1;)."> 4.). 3. piemērs. Grafiski atrisiniet nevienādību 3 x > 4-x. Risinājums. y=4-x Nevienādību risināšanai izmantojam funkcionāli grafisko metodi: 1. Konstruēsim vienā sistēmā 1. Konstruēsim vienā koordinātu sistēmā funkciju grafikus " title="Grafiski atrisināsim nevienādību 3 x > 4-x Piemērs 3. Atrisiniet grafiski nevienādību y = 4-x Nevienādību risināšanai izmantojam funkcionāli grafisko metodi: 1. Konstruē funkciju grafikus vienā koordinātu sistēmā."> title="Grafiski atrisiniet nevienādību 3 x > 4-x. 3. piemērs. Grafiski atrisiniet nevienādību 3 x > 4-x. Risinājums. y=4-x Nevienādību risināšanai izmantojam funkcionāli grafisko metodi: 1. Konstruēsim funkciju grafikus vienā koordinātu sistēmā"> !}
Grafiski atrisiniet nevienādības: 1) 2 x >1; 2) 2x 1; 2) 2 x "> 1; 2) 2 x "> 1; 2) 2 x " title="Grafiski atrisiniet nevienādības: 1) 2 x >1; 2) 2x"> title="Grafiski atrisiniet nevienādības: 1) 2 x >1; 2) 2x"> !}
Patstāvīgais darbs (tests) 1. Norādiet eksponenciālo funkciju: 1. Norādiet eksponenciālo funkciju: 1) y=x 3 ; 2) y=x 5/3; 3) y=3 x+1; 4) y=3 x+1. 1) y=x 3; 2) y=x 5/3; 3) y=3 x+1; 4) y=3 x+1. 1) y=x2; 2) y=x-1; 3) y=-4+2 x; 4) y=0,32 x. 1) y=x2; 2) y=x-1; 3) y=-4+2 x; 4) y=0,32 x. 2. Norādiet funkciju, kas palielinās visā definīcijas jomā: 2. Norādiet funkciju, kas palielinās visā definīcijas jomā: 1) y = (2/3) -x; 2) y=2-x; 3) y = (4/5) x; 4) y = 0,9 x. 1) y = (2/3) -x; 2) y=2-x; 3) y = (4/5) x; 4) y = 0,9 x. 1) y = (2/3) x; 2) y=7,5 x; 3) y = (3/5) x; 4) y = 0,1 x. 1) y = (2/3) x; 2) y=7,5 x; 3) y = (3/5) x; 4) y = 0,1 x. 3. Norādiet funkciju, kas samazinās visā definīcijas jomā: 3. Norādiet funkciju, kas samazinās visā definīcijas jomā: 1) y = (3/11) -x; 2) y=0,4 x; 3) y = (10/7) x; 4) y = 1,5 x. 1) y = (2/17) -x; 2) y=5,4 x; 3) y = 0,7 x; 4) y = 3 x. 4. Norādiet funkcijas y=3 -2 x -8 vērtību kopu: 4. Norādiet funkcijas y=2 x+1 +16 vērtību kopu: 5. Norādiet mazāko no dotā skaitļi: 5. Norādiet mazāko no dotajiem skaitļiem: 1) 3 - 1/3 ; 2) 27 -1/3; 3) (1/3) -1/3 ; 4) 1 - 1/3. 1) 3 -1/3; 2) 27 -1/3; 3) (1/3) -1/3 ; 4) 1-1/3. 5. Norādiet lielāko no šiem skaitļiem: 1) 5 -1/2; 2) 25 -1/2; 3) (1/5) -1/2 ; 4) 1 - 1/2. 1) 5 -1/2; 2) 25 -1/2; 3) (1/5) -1/2 ; 4) 1 - 1/2. 6. Grafiski noskaidrojiet, cik sakņu ir vienādojumam 2 x = x -1/3 (1/3) x = x 1/2 6. Grafiski noskaidrojiet, cik sakņu vienādojumam 2 x = x -1/3 (1) /3) ir x = x 1/2 1) 1 sakne; 2) 2 saknes; 3) 3 saknes; 4) 4 saknes.
1. Norādiet eksponenciālo funkciju: 1) y=x 3; 2) y=x 5/3; 3) y=3 x+1; 4) y=3 x+1. 1) y=x 3; 2) y=x 5/3; 3) y=3 x+1; 4) y=3 x Norādiet funkciju, kas palielinās visā definīcijas jomā: 2. Norādiet funkciju, kas palielinās visā definīcijas jomā: 1) y = (2/3)-x; 2) y=2-x; 3) y = (4/5)x; 4) y = 0,9 x. 1) y = (2/3)-x; 2) y=2-x; 3) y = (4/5)x; 4) y = 0,9 x. 3. Norādiet funkciju, kas samazinās visā definīcijas jomā: 3. Norādiet funkciju, kas samazinās visā definīcijas jomā: 1) y = (3/11)-x; 2) y=0,4 x; 3) y = (10/7)x; 4) y = 1,5 x. 1) y = (3/11)-x; 2) y=0,4 x; 3) y = (10/7)x; 4) y = 1,5 x. 4. Norādiet funkcijas y=3-2 x-8 vērtību kopu: 4. Norādiet funkcijas y=3-2 x-8 vērtību kopu: 5. Norādiet mazāko no dotā skaitļi: 5. Norādiet mazāko no dotajiem skaitļiem: 1) 3- 1/3; 2) 27-1/3; 3) (1/3)–1/3; 4) 1-1/3. 1) 3-1/3; 2) 27-1/3; 3) (1/3)–1/3; 4) 1-1/3. 6. Grafiski noskaidrojiet, cik sakņu ir vienādojumam 2 x=x- 1/3 6. Noskaidrojiet grafiski, cik sakņu vienādojumam 2 x=x- 1/3 ir 1) 1 sakne; 2) 2 saknes; 3) 3 saknes; 4) 4 saknes. 1) 1 sakne; 2) 2 saknes; 3) 3 saknes; 4) 4 saknes. Pārbaudes darbs Atlasa eksponenciālās funkcijas, kas: Atlasa eksponenciālās funkcijas, kuras: I iespēja – samazināt definīcijas apgabalu; I variants – definīcijas apgabala samazināšana; II variants – definīcijas apgabala palielināšana. II variants – definīcijas apgabala palielināšana.
Uzmanības koncentrācija:
Definīcija. Funkcija sugas sauc eksponenciālā funkcija .
komentēt. Izslēgšana no bāzes vērtībām a skaitļi 0; 1 un negatīvas vērtības a ir izskaidrojams ar šādiem apstākļiem:
Pati analītiskā izteiksme a xšajos gadījumos tas saglabā savu nozīmi un var tikt izmantots problēmu risināšanā. Piemēram, izteiksmei x g punkts x = 1; y = 1 ir pieļaujamo vērtību diapazonā.
Izveidojiet funkciju grafikus: un.
 |
 |
| Eksponenciālās funkcijas grafiks | |
| y = a x, a > 1 | y = a x , 0< a < 1 |
 |
 |
Eksponenciālās funkcijas īpašības
| Eksponenciālās funkcijas īpašības | y = a x, a > 1 | y = a x , 0< a < 1 |
|
||
| 2. Funkciju diapazons | ||
| 3. Salīdzināšanas intervāli ar mērvienību | plkst x> 0, a x > 1 | plkst x > 0, 0< a x < 1 |
| plkst x < 0, 0< a x < 1 | plkst x < 0, a x > 1 | |
| 4. Pāra, nepāra. | Funkcija nav ne pāra, ne nepāra (vispārīgas formas funkcija). | |
| 5.Monotonija. | monotoni palielinās par R | monotoni samazinās par R |
| 6. Galējības. | Eksponenciālajai funkcijai nav ekstrēmu. | |
| 7.Asimptote | O-ass x ir horizontāla asimptote. | |
| 8. Par jebkurām īstām vērtībām x Un y; |  |
|
Kad tabula ir aizpildīta, paralēli aizpildīšanai tiek risināti uzdevumi.
Uzdevums Nr. 1. (Atrast funkcijas definīcijas apgabalu).
Kādas argumentu vērtības ir derīgas funkcijām:
Uzdevums Nr. 2. (Atrast funkcijas vērtību diapazonu).
Attēlā parādīts funkcijas grafiks. Norādiet funkcijas definīcijas domēnu un vērtību diapazonu:
 |
 |
 |
 |
Uzdevums Nr.3. (Norādīt salīdzināšanas intervālus ar vienu).
Salīdziniet katru no šīm pilnvarām ar vienu:
Uzdevums Nr. 4. (Izpētīt monotonitātes funkciju).
Salīdziniet reālos skaitļus pēc lieluma m Un n Ja:
Uzdevums Nr. 5. (Izpētīt monotonitātes funkciju).
Izdariet secinājumu par pamatu a, Ja:
y(x) = 10 x ; f(x) = 6 x ; z(x) — 4x
Kā eksponenciālo funkciju grafiki ir saistīti viens pret otru, ja x > 0, x = 0, x< 0?
Vienā koordinātu plaknē ir attēloti šādi funkciju grafiki:
y(x) = (0,1) x ; f(x) = (0,5) x ; z(x) = (0,8) x .
Kā eksponenciālo funkciju grafiki ir saistīti viens pret otru, ja x > 0, x = 0, x< 0?
| Numurs
viena no svarīgākajām konstantēm matemātikā. Pēc definīcijas tā vienāds ar secības robežu
ar neierobežotu
palielinot n
. Apzīmējums e ievadīts Leonards Eilers
1736. gadā. Viņš aprēķināja šī skaitļa pirmos 23 ciparus decimāldaļās, un pats skaitlis tika nosaukts par godu Neijēram par "ne-Pjēra skaitli".
Numurs e Tam ir īpaša loma matemātiskajā analīzē. Eksponenciālā funkcija ar pamatni e, sauc par eksponentu un ir norādīts y = e x. Pirmās pazīmes cipariem e viegli atcerēties: divi, komats, septiņi, Ļeva Tolstoja dzimšanas gads - divas reizes, četrdesmit piecas, deviņdesmit, četrdesmit pieci. |
 |
Mājasdarbs:
Kolmogorova 35. punkts; Nr.445-447; 451; 453.
Atkārtojiet algoritmu, lai izveidotu funkciju grafikus, kas satur mainīgo zem moduļa zīmes.
Lai izmantotu prezentāciju priekšskatījumus, izveidojiet Google kontu un piesakieties tajā: https://accounts.google.com
MAOU "Sladkovskas vidusskola" Eksponentfunkcija, tās īpašības un grafiks, 10. klase
Funkciju formā y = a x, kur a ir dots skaitlis, a > 0, a ≠ 1, x mainīgais, sauc par eksponenciālu.
Eksponenciālajai funkcijai ir šādas īpašības: O.O.F: visu reālo skaitļu kopa R; Daudzvērtīgs: visu pozitīvo skaitļu kopa; Eksponenciālā funkcija y=a x palielinās visu reālo skaitļu kopā, ja a>1, un samazinās, ja 0
Funkcijas y=2 x un y=(½) x 1 grafiki. Funkcijas y=2 x grafiks iet caur punktu (0;1) un atrodas virs Ox ass. a>1 D(y): x є R E(y): y > 0 Palielinās visā definīcijas jomā. 2. Funkcijas y= grafiks arī iet caur punktu (0;1) un atrodas virs Ox ass.
Izmantojot eksponenciālās funkcijas pieaugošās un samazinošās īpašības, varat salīdzināt skaitļus un atrisināt eksponenciālās nevienādības. Salīdziniet: a) 5 3 un 5 5; b) 4 7 un 4 3; c) 0,2 2 un 0,2 6; d) 0,9 2 un 0,9. Atrisiniet: a) 2 x >1; b) 13 x+1 0,7; d) 0,04 x a b vai a x 1, pēc tam x > b (x
Grafiski atrisiniet vienādojumus: 1) 3 x =4-x, 2) 0,5 x =x+3.
Ja verdošu tējkannu noņem no uguns, tā vispirms ātri atdziest un pēc tam dzesēšana notiek daudz lēnāk, šo parādību apraksta ar formulu T = (T 1 - T 0) e - kt + T 1 eksponenciāla funkcija dzīvē, zinātnē un tehnoloģijā
Koksnes augšana notiek saskaņā ar likumu: A - koksnes daudzuma izmaiņas laika gaitā; A 0 - sākotnējais koksnes daudzums; t - laiks, k, a - dažas konstantes. Gaisa spiediens samazinās līdz ar augstumu saskaņā ar likumu: P ir spiediens augstumā h, P0 ir spiediens jūras līmenī un ir konstante.
Iedzīvotāju skaita pieaugums Cilvēku skaita izmaiņas valstī īsā laika periodā apraksta ar formulu, kur N 0 ir cilvēku skaits brīdī t=0, N ir cilvēku skaits brīdī t, a is konstante.
Organiskās vairošanās likums: labvēlīgos apstākļos (naidnieku neesamība, liels barības daudzums) dzīvie organismi vairotos pēc eksponenciālās funkcijas likuma. Piemēram: viena mājas muša vasarā var radīt 8 x 10 14 pēcnācējus. To svars būtu vairāki miljoni tonnu (un mušu pāra pēcnācēju svars pārsniegtu mūsu planētas svaru), tie aizņemtu milzīgu vietu, un, ja tos ierindotu ķēdē, tā garums būtu lielāks nekā attālums no Zemes līdz Saulei. Bet, tā kā bez mušām ir arī daudzi citi dzīvnieki un augi, no kuriem daudzi ir mušu dabiskie ienaidnieki, to skaits nesasniedz iepriekš minētās vērtības.
Radioaktīvai vielai sadaloties, tās daudzums samazinās, pēc kāda laika paliek puse no sākotnējās vielas. Šo laika periodu t 0 sauc par pussabrukšanas periodu. Šī procesa vispārīgā formula ir: m = m 0 (1/2) -t/t 0, kur m 0 ir vielas sākotnējā masa. Jo ilgāks pussabrukšanas periods, jo lēnāk viela sadalās. Šo parādību izmanto, lai noteiktu arheoloģisko atradumu vecumu. Rādijs, piemēram, sadalās saskaņā ar likumu: M = M 0 e -kt. Izmantojot šo formulu, zinātnieki aprēķināja Zemes vecumu (rādijs sadalās aptuveni laikā, kas vienāds ar Zemes vecumu).
Integrācijas izmantošana izglītības procesā kā veids, kā attīstīt analītiskās un radošās spējas...
Prezentācijā “Eksponenciālā funkcija, tās īpašības un grafiks” uzskatāmi parādīts izglītojošs materiāls par šo tēmu. Prezentācijas laikā tiek detalizēti apskatītas eksponenciālās funkcijas īpašības, tās uzvedība koordinātu sistēmā, apskatīti uzdevumu risināšanas piemēri, izmantojot funkcijas īpašības, vienādojumi un nevienādības, kā arī pētītas svarīgas teorēmas par tēmu. Ar prezentācijas palīdzību skolotājs var uzlabot matemātikas stundas efektivitāti. Spilgts materiāla izklāsts palīdz noturēt skolēnu uzmanību tēmas apguvei, un animācijas efekti palīdz skaidrāk parādīt problēmu risinājumus. Lai ātrāk iegaumētu risinājuma jēdzienus, īpašības un iezīmes, tiek izmantota krāsu izcelšana.
Demonstrācija sākas ar eksponenciālās funkcijas y=3 x piemēriem ar dažādiem eksponentiem - pozitīviem un negatīviem veseliem skaitļiem, daļām un decimāldaļām. Katram rādītājam tiek aprēķināta funkcijas vērtība. Pēc tam tai pašai funkcijai tiek izveidots grafiks. 2. slaidā tiek konstruēta tabula, kas aizpildīta ar funkcijas y = 3 x grafikam piederošo punktu koordinātām. Pamatojoties uz šiem punktiem koordinātu plaknē, tiek izveidots atbilstošs grafiks. Blakus grafikam tiek konstruēti līdzīgi grafiki y=2 x, y=5 x un y=7 x. Katra funkcija ir izcelta dažādās krāsās. Šo funkciju grafiki ir veidoti tādās pašās krāsās. Acīmredzot, palielinoties eksponenciālās funkcijas bāzei, grafiks kļūst stāvāks un tuvāk ordinātu asij. Tas pats slaids apraksta eksponenciālās funkcijas īpašības. Jāatzīmē, ka definīcijas apgabals ir skaitļu līnija (-∞;+∞), Funkcija nav pāra vai nepāra, visās definīcijas jomās funkcija palielinās un tai nav lielākā vai mazākā vērtība. Eksponenciālā funkcija ir ierobežota zemāk, bet nav ierobežota augšā, nepārtraukta savā definīcijas jomā un izliekta uz leju. Funkcijas vērtību diapazons pieder intervālam (0;+∞).
4. slaids parāda funkcijas y = (1/3) x pētījumu. Tiek izveidots funkcijas grafiks. Lai to izdarītu, tabulu aizpilda ar funkcijas grafikam piederošo punktu koordinātām. Izmantojot šos punktus, uz taisnstūra koordinātu sistēmas tiek izveidots grafiks. Funkcijas īpašības ir aprakstītas tuvumā. Jāatzīmē, ka definīcijas joma ir visa skaitliskā ass. Šī funkcija nav nepāra vai pāra, samazinās visā definīcijas jomā, un tai nav maksimālās vai minimālās vērtības. Funkcija y=(1/3) x ir ierobežota no apakšas un neierobežota no augšas, ir nepārtraukta savā definīcijas jomā un tai ir lejupvērsta izliekums. Vērtību diapazons ir pozitīvā pusass (0;+∞).
Izmantojot doto funkcijas y = (1/3) x piemēru, mēs varam izcelt eksponenciālas funkcijas īpašības ar pozitīvu bāzi, kas ir mazāka par vienu, un precizēt tās grafika ideju. 5. slaids parāda šādas funkcijas vispārīgu skatu y = (1/a) x, kur 0 6. slaids salīdzina funkciju y=(1/3) x un y=3 x grafikus. Var redzēt, ka šie grafiki ir simetriski attiecībā pret ordinātām. Lai salīdzinājums būtu skaidrāks, grafiki ir iekrāsoti tādās pašās krāsās kā funkciju formulas. Tālāk ir sniegta eksponenciālās funkcijas definīcija. 7. slaidā rāmī ir iezīmēta definīcija, kas norāda, ka funkcija y = a x, kur pozitīvs a, kas nav vienāds ar 1, tiek saukts par eksponenciālu. Tālāk, izmantojot tabulu, mēs salīdzinām eksponenciālu funkciju, kuras bāze ir lielāka par 1, un pozitīvā, kas ir mazāka par 1. Acīmredzot gandrīz visas funkcijas īpašības ir līdzīgas, pieaug tikai funkcija, kuras bāze ir lielāka par a, un ja bāze ir mazāka par 1, tas samazinās. Piemēru risinājums ir apskatīts tālāk. 1. piemērā nepieciešams atrisināt vienādojumu 3 x =9. Vienādojums tiek atrisināts grafiski - uzzīmēts funkcijas y=3 x grafiks un funkcijas y=9 grafiks. Šo grafiku krustpunkts ir M(2;9). Attiecīgi vienādojuma risinājums ir vērtība x=2. 10. slaids apraksta vienādojuma 5 x =1/25 risinājumu. Līdzīgi kā iepriekšējā piemērā, vienādojuma risinājums tiek noteikts grafiski. Parādīta funkciju y=5 x un y=1/25 grafiku konstrukcija. Šo grafiku krustpunkts ir punkts E(-2;1/25), kas nozīmē, ka vienādojuma risinājums ir x=-2. Tālāk tiek piedāvāts izskatīt nevienādības 3 x risinājumu<27. Решение выполняется графически - определяется точка пересечения графиков у=3 х и у=27. Затем на плоскости координат хорошо видно, при каких значениях аргумента значения функции у=3 х будут меньшими 27 - это промежуток (-∞;3). Аналогично выполняется решение задания, в котором нужно найти множество решений неравенства (1/4) х <16. На координатной плоскости строятся графики функций, соответствующих правой и левой части неравенства и сравниваются значения. Очевидно, что решением неравенства является промежуток (-2;+∞). Nākamajos slaidos ir parādītas svarīgas teorēmas, kas atspoguļo eksponenciālās funkcijas īpašības. 1. teorēma nosaka, ka pozitīvam a vienādība a m = a n ir spēkā, ja m = n. 2. teorēma nosaka, ka pozitīvam a funkcijas y=a x vērtība pozitīvajam x būs lielāka par 1 un negatīvam x mazāka par 1. Apgalvojumu apstiprina eksponenciālās funkcijas grafika attēls, kas parāda funkcijas uzvedību dažādos definīcijas apgabala intervālos. 3. teorēma atzīmē, ka 0 Tālāk, lai palīdzētu studentiem apgūt materiālu, viņi izskata piemērus problēmu risināšanai, izmantojot apgūto teorētisko materiālu. 5. piemērā nepieciešams izveidot funkcijas y=2·2 x +3 grafiku. Funkcijas grafika konstruēšanas princips tiek demonstrēts, vispirms pārveidojot to formā y = a x + a + b. Tiek veikta paralēla koordinātu sistēmas pārnešana uz punktu (-1;3) un izveidots grafiks funkcija y = 2 x ir konstruēta attiecībā pret šo izcelsmi. 18. slaidā ir aplūkots vienādojuma 7 x = 8-x grafiskais risinājums. Tiek konstruēta taisne y=8x un funkcijas y=7x grafiks. Grafiku krustpunkta abscise x=1 ir vienādojuma atrisinājums. Pēdējais piemērs apraksta nevienādības (1/4) x =x+5 atrisinājumu. Tiek uzzīmēti nevienādības abu pušu grafiki un tiek atzīmēts, ka tās risinājums ir vērtības (-1;+∞), pie kurām funkcijas y=(1/4) x vērtības vienmēr ir mazākas par vērtības y=x+5. Skolas matemātikas stundas efektivitātes paaugstināšanai ieteicama prezentācija “Eksponenciālā funkcija, tās īpašības un grafiks”. Materiāla skaidrība prezentācijā palīdzēs sasniegt mācību mērķus tālmācības stundā. Prezentāciju var piedāvāt patstāvīgam darbam skolēniem, kuri nav pietiekami labi apguvuši tēmu stundā.
