Apskatīsim daudzkanālu rindu sistēmu (kopā n kanāli), kas saņem pieprasījumus ar intensitāti λ un apkalpo ar intensitāti μ. Sistēmā ienākošais pieprasījums tiek apkalpots, ja ir brīvs vismaz viens kanāls. Ja visi kanāli ir aizņemti, nākamais sistēmā saņemtais pieprasījums tiek noraidīts un atstāj QS. Numurēsim sistēmas stāvokļus pēc aizņemto kanālu skaita:
Rīsi. 7.24
6.24. attēlā parādīts stāvokļa grafiks, kurā Si- kanāla numurs; λ – saņemto pieprasījumu intensitāte; μ
– attiecīgi apkalpošanas pieprasījumu intensitāte. Pieprasījumi iekļūst rindu sistēmā ar nemainīgu intensitāti un pamazām aizņem kanālus vienu pēc otra; kad visi kanāli ir aizņemti, nākamais pieprasījums, kas pienāk QS, tiks noraidīts un iziet no sistēmas.
Nosakīsim notikumu plūsmu intensitātes, kas pārnes sistēmu no stāvokļa uz stāvokli, pārvietojoties pa stāvokļu grafiku gan no kreisās puses uz labo, gan no labās uz kreiso.
Piemēram, ļaujiet sistēmai būt stāvoklī S 1, t.i., viens kanāls ir aizņemts, jo tā ievadē ir pieprasījums. Tiklīdz pieprasījuma apkalpošana būs pabeigta, sistēma pāries stāvoklī S 0 .
Piemēram, ja divi kanāli ir aizņemti, tad pakalpojuma plūsma, kas pārsūta sistēmu no stāvokļa S 2 stāvoklī S 1 būs divreiz intensīvāks: 2-μ; attiecīgi, ja aizņemts k kanāliem, intensitāte ir k-μ.
Uzturēšanas process ir nāves un vairošanās process. Kolmogorova vienādojumiem šajā konkrētajā gadījumā būs šāda forma:
(7.25)
Tiek izsaukti vienādojumi (7.25). Erlanga vienādojumi
.
Lai atrastu stāvokļu varbūtības vērtības R 0 , R 1 , …, Rn, ir jānosaka sākotnējie nosacījumi:
– R 0 (0) = 1, t.i., sistēmas ieejā ir pieprasījums;
– R 1 (0) = R 2 (0) = … = Rn(0) = 0, t.i., sākotnējā laika brīdī sistēma ir brīva.
Integrējot diferenciālvienādojumu sistēmu (7.25), iegūstam stāvokļa varbūtību vērtības R 0 (t), R 1 (t), … Rn(t).
Taču mūs daudz vairāk interesē stāvokļu ierobežojošās varbūtības. Kā t → ∞ un izmantojot formulu, kas iegūta, aplūkojot nāves un vairošanās procesu, mēs iegūstam vienādojumu sistēmas (7.25) risinājumu:
(7.26)
Šajās formulās intensitātes attiecība λ / μ
lietojumprogrammu plūsmai ir ērti norādīt ρ
.Šo daudzumu sauc ņemot vērā lietojumprogrammu plūsmas intensitāti, tas ir, vidējais pieteikumu skaits, kas nonāk QS vidējā vienas lietotnes apkalpošanas laikā.
Ņemot vērā veikto apzīmējumu, vienādojumu sistēmai (7.26) būs šāda forma:
(7.27)
Šīs robežas varbūtību aprēķināšanas formulas sauc Erlang formulas
.
Zinot visas QS stāvokļu varbūtības, mēs atradīsim QS efektivitātes raksturlielumus, t.i., absolūto caurlaidspēju. A, relatīvā caurlaidspēja J un neveiksmes varbūtība R atvērts
Sistēmas saņemtais pieteikums tiks noraidīts, ja visi kanāli būs aizņemti:
.
Varbūtība, ka pieteikums tiks pieņemts pakalpojumam:
J = 1 – R atvērts,
Kur J– sistēmas apkalpoto saņemto pieteikumu vidējā daļa vai vidējais QS apkalpoto pieteikumu skaits laika vienībā, dalīts ar vidējo šajā laikā saņemto pieteikumu skaitu:
A=λ·Q=λ·(1-P atvērts)
Turklāt viens no svarīgākajiem QS raksturlielumiem ar kļūmēm ir vidējais aizņemto kanālu skaits. IN n-kanāla QS ar kļūmēm, šis skaitlis sakrīt ar vidējo pieteikumu skaitu QS.
Vidējo pieprasījumu skaitu k var aprēķināt tieši, izmantojot stāvokļu P 0, P 1, ..., P n varbūtības:
,
i., mēs atrodam diskrēta gadījuma lieluma matemātisko cerību, kura vērtība ir no 0 līdz n ar varbūtībām R 0 , R 1 , …, Rn.
Vēl vienkāršāk ir izteikt k vērtību caur QS absolūto kapacitāti, t.i. A. Vērtība A ir vidējais sistēmas apkalpoto lietojumprogrammu skaits laika vienībā. Viens aizņemts kanāls apkalpo μ pieprasījumus laika vienībā, tad vidējais aizņemto kanālu skaits
Vienādojumu sistēma
QS ar atteicēm nejaušam apkalpošanas plūsmu skaitam Puasona plūsmām. Grafiks, vienādojumu sistēma.
Attēlosim QS kā vektoru, kur k m– aplikāciju skaits sistēmā, no kurām katra tiek apkalpota m ierīces; L= q max - q min +1 – ievades straumju skaits.
Ja pieprasījums tiek pieņemts apkalpošanai un sistēma nonāk stāvoklī ar intensitāti λ m.
Kad viena no pieprasījumiem apkalpošana ir pabeigta, sistēma pāries uz stāvokli, kurā atbilstošajai koordinātei ir vērtība, kas ir par vienu mazāka nekā stāvoklī , = , t.i. notiks apgrieztā pāreja.
Vektora QS modeļa piemērs n = 3, L = 3, q min = 1, q max = 3, P(m) = 1/3, λ Σ = λ, ierīces apkopes intensitāte – μ.
Izmantojot stāvokļu grafiku ar uzzīmētām pāreju intensitātēm, tiek sastādīta lineāro algebrisko vienādojumu sistēma. No šo vienādojumu atrisinājuma tiek atrastas varbūtības R(), ar kuru nosaka QS raksturlielumus.
QS ar bezgalīgu rindu Puasona plūsmām. Grafiks, vienādojumu sistēma, aprēķinātās attiecības.
Sistēmas grafiks
Vienādojumu sistēma
Kur n- pakalpojumu kanālu skaits, l– savstarpēji asistējošu kanālu skaits
QS ar bezgalīgu rindu un daļēju savstarpēju palīdzību patvaļīgām plūsmām. Grafiks, vienādojumu sistēma, aprēķinātās attiecības.
Sistēmas grafiks
Vienādojumu sistēma
–λ R 0 + nμ R 1 =0,
.………………
–(λ + nμ) P k+ λ P k –1 + nμ P k +1 =0 (k = 1,2, ... , n–1),
……………....
-(λ+ nμ) P n+ λ P n –1 + nμ Р n+1=0,
……………….
-(λ+ nμ) Pn+j+ λ Р n+j –1 + nμ Р n+j+1=0, j=(1,2,….,∞)
QS ar bezgalīgu rindu un pilnīgu savstarpēju palīdzību patvaļīgiem pavedieniem. Grafiks, vienādojumu sistēma, aprēķinātās attiecības.
Sistēmas grafiks
|
Vienādojumu sistēma
QS ar ierobežotu rindu Puasona plūsmām. Grafiks, vienādojumu sistēma, aprēķinātās attiecības.
Sistēmas grafiks
Vienādojumu sistēma
Aprēķinu attiecības:
,
UDC 519.248:656.71
RINDAS SISTĒMAS MODELIS AR NESTACIONĀRĀM PLŪSMĀM UN DAĻĒJIEM KANĀLIEM Savstarpēju PALĪDZĪBU
© 2011 V. A. Romaņenko
Samaras Valsts aviācijas un kosmosa universitāte nosaukta akadēmiķa S.P. Koroļeva vārdā (Nacionālā pētniecības universitāte)
Aprakstīts daudzkanālu rindu sistēmas dinamisks modelis ar nestacionārām plūsmām, gaidīšanu ierobežota garuma rindā un kanālu daļēju savstarpēju palīdzību, kas izteikta ar iespēju vienlaicīgi apkalpot pieprasījumu pa diviem kanāliem. Sistēmas galveno varbūtības laika raksturlielumu izteiksmes ir dotas. Ir aprakstīti mezgla lidostas funkcionēšanas modelēšanas rezultāti kā aplūkojamās sistēmas piemērs.
Rindas sistēma, nestacionāra plūsma, savstarpēja palīdzība starp kanāliem, mezgla lidosta.
Ievads
Mēs uzskatām daudzkanālu rindas sistēmu (QS) ar gaidīšanu ierobežota garuma rindā. Apskatāmā QS iezīme ir daļēja savstarpēja palīdzība starp kanāliem, kas izpaužas kā iespēja vienlaikus izmantot divus kanālus, lai apkalpotu vienu pieprasījumu. Apvienojot kanālu centienus, parasti tiek samazināts vidējais apkalpošanas laiks. Tiek pieņemts, ka QS saņem nestacionāru Puasona lietojumprogrammu plūsmu. Lietojumprogrammas apkalpošanas ilgums ir atkarīgs no laika.
Tipisks QS piemērs, kam ir uzskaitītās funkcijas, ir lidostas transporta pakalpojumu sistēma. Vairāku (parasti divu) objektu (reģistrācijas letes, aviācijas degvielas tankkuģu, speciālo transportlīdzekļu u.c.) vienlaicīgu izmantošanu viena lidojuma apkalpošanai paredz lielo gaisa kuģu (AC) lidostu apkalpošanas tehnoloģiskie grafiki. Tajā pašā laikā nepieciešamība uzlabot sauszemes pārvadājumu pakalpojumu kvalitāti un samazināt ilgumu, kas īpaši aktuāla lielajām lidostām, noved pie tā, ka tiek palielināta nevis ar vienu, bet gan vairākiem (diviem) līdzekļiem veikto operāciju īpatsvars. pieaug.
Tas palielinās, palielinoties lidostas mērogam. Rakstā aprakstītais modelis tika izstrādāts, lai atrisinātu centrmezglu lidostu ražošanas kompleksu (centrmezglu) darbības analīzes un optimizācijas problēmas, ko raksturo sauszemes transporta iekārtu piesātinājums ar izteiktu nestacionāru pasažieru, lidmašīnu un kravu plūsmu un pakalpojumu intensitātes svārstības.
Modeļa vispārīgs apraksts
Modelis ir paredzēts, lai noteiktu N apkalpojošo kanālu QS sistēmas varbūtības raksturlielumu laika atkarības. Pieteikumu skaits QS nedrīkst pārsniegt K, kas var būt saistīts ar tehniskiem ierobežojumiem lidostā pieejamo gaisa kuģu stāvvietu skaitam, termināļa vai kravas kompleksa kapacitātei utt. Viena pieprasījuma apkalpošanai atvēlēto kanālu skaits var būt 1 vai 2. Ja ir vismaz divi brīvi kanāli, saņemtais pieprasījums ar noteiktu varbūtību tiek aizņemts apkalpošanai.
viens no tiem un - ar varbūtību y2 = 1 - y1 - abi kanāli. Ja apkalpošanas pieteikuma saņemšanas brīdī QS ir tikai viens bezmaksas kanāls, tad šī aplikācija jebkurā gadījumā aizņem pieejamo
vienīgais kanāls. Ja neaizņemtu kanālu nav, tikko saņemtais pieprasījums “notiek rindā” un gaida apkalpošanu. Ja pieteikumu skaits rindā ir K-N, tad tikko saņemtā lietojumprogramma atstāj QS neapkalpotu. Šāda notikuma iespējamībai jābūt zemai.
QS ieeja saņem Puasona (ne vienmēr stacionāru) lietojumprogrammu plūsmu
ar intensitāti l(t). Tiek pieņemts, ka pieprasījuma apkalpošanas ilgums gan vienā kanālā Tobsl1 (t), gan divos -
Tobsl 2 (t) ir eksponenciāli sadalītas nejaušas laika funkcijas (gadījuma procesi).
Lietojumprogrammas pakalpojuma intensitāte
viens kanāls ^ (t) un vienlaikus divi kanāli m 2 (t) ir definēti kā
mi (t) = [Tobsl1 (t)]-1, m2 (t) = [Tobsl2 (t)]-1,
kur Tobsl1 (t) = M [Tobsl1 (t)], Tobsl 2 (t) = M[Tobsl 2 (t)]
Vidējais pieprasījuma apkalpošanas laiks attiecīgi vienam kanālam un diviem kanāliem.
Sakarību starp lielumiem m1 (t) un m 2 (t) nosaka sakarība
m2 (t) = ^m1 (t) ,
kur 9 ir koeficients, kas ņem vērā pakalpojuma intensitātes relatīvo pieaugumu, izmantojot divus kanālus.
Praksē saistība starp piesaistīto līdzekļu skaitu un pakalpojuma intensitāti ir diezgan sarežģīta, ko nosaka attiecīgā pakalpojuma darbības īpatnības. Operācijām, kuru ilgums ir saistīts ar veikto darbu apjomu (piemēram, gaisa kuģa degvielas uzpildīšana ar reaktīvo degvielas tankkuģiem, pasažieru iekāpšana vai izkāpšana no gaisa kuģa u.c.), apkalpošanas intensitātes atkarība no kanālu skaits tuvojas tieši proporcionālam, bet tas nav strikti tāds, jo sagatavošanās laiks ir nepieciešams
bet galīgās operācijas, kuras neietekmē fondu skaits. Par šādām operācijām £ 2. Vairākām operācijām izpildes ilguma atkarība no līdzekļu vai izpildītāju skaita ir mazāk izteikta (piemēram, reģistrācija vai pirmslidojums
pasažieru pārbaude). Šajā gadījumā sadaļā »1.
Patvaļīgā laika momentā I aplūkotais QS var būt vienā no L+1 diskrētajiem stāvokļiem - B0, ...,
Fuck. Pāreju no stāvokļa uz stāvokli var veikt jebkurā laikā. Varbūtība, ka brīdī I QS būs stāvoklī
normalizācijas nosacījums 2 р () =1 Zināt-
Varbūtību P0 (/), PX (t),..., Pb (t) analīze ļauj noteikt tādus svarīgus QS virtuālos (momentānos) raksturlielumus kā vidējo rindas garumu, vidējo aizņemto kanālu skaitu, vidējais pieprasījumu skaits, kas atrodas QS utt.
Stāvokļu p(t) varbūtības tiek atrastas, atrisinot Kolmogorova diferenciālvienādojumu sistēmu, ko parasti raksta kā
=Ё jp(t)P /(t)-P,(t)Z (t).,
r = 0,1,...,b,
Kur<р^ ^) - плотности (интенсивности) вероятностей перехода из состояния с порядковым номером г в состояние с порядковым номером ]. Величины фу (t) определяются по формуле
kur P(/; At) ir varbūtība, ka QS, kas bija B stāvoklī brīdī t,
laiks At dosies no tā uz valsti
Kolmogorova vienādojumu sastādīšanai tiek izmantots marķēts QS stāvokļu grafiks. Tajā f atbilstošās intensitātes ir novietotas virs bultiņām, kas ved no B uz B. Katra stāvokļa varbūtības atvasinājums ir definēts kā visu varbūtības plūsmu summa, kas nāk no citiem stāvokļiem uz noteiktu stāvokli, atskaitot vērtību. visu varbūtību plūsmu summa, kas iet no noteikta stāvokļa uz citiem.
Lai izveidotu grafiku, tiek ieviesta trīs indeksu apzīmējumu sistēma, kurā aplūkojamā QS stāvokli patvaļīgā laika brīdī raksturo trīs parametri: aizņemto kanālu skaits n (n = 0,1,.. .,^), apkalpoto pieprasījumu skaits k (k = 0,1,...,^) un pakalpojumu gaidīšanas skaits t (t = 0,1,...,^ - N).
Attēlā 1. attēlā parādīts marķēts stāvokļa grafiks, kas sastādīts, izmantojot iepriekš aprakstītos noteikumus un ieviestos apzīmējumus QS, kas izvēlēts kā vienkāršs piemērs.
Vietas taupīšanas nolūkos grafikā un atbilstošajā tālāk norādītajā Kolmogorova vienādojumu sistēmā intensitātes 1, m1, m2 un stāvokļu varbūtību funkcionālās atkarības no laika apzīmējumi ir izlaisti.
^000 /L = -(^1^ + ^2^) P000 + tr10 + t2P210,
= - (t + U-11 + U21) рш + ^Рр000 +
2t1R220 + t2R320,
LR210 IL = - (t2 + ^11 + ^21) P210 + V2YP000 +
Т1Р320 + 2 ^2Р420,
LR220/L = -(2^1 + ^1^ + ^21) Р220 + ^1Rio +
3 t1Р330 + ^2Р430,
LR32<:)1Л = - (т2 + т1 + ^11 + ^21)р320 +
+^11Р210 + V2ЯP110 + 2t 1Р430 +
LR4yu1L (1 + 2 ^2) Р420 + ^21Р210 + t р30, ЛР330 /Л = -(3т1 + ^1^+ ^21) Р330 + ^11Р220 + +4^1Р440 + Т2р40,
^430 /L = - (2^1 + ^2 + 1) Р430 + ^11Р320 +
+^2^ Р220 + 3т 1р40 + 2^2р31,
LR530/l =-(t + 2t2 + i) p^30+1P420 +
+^2YaP320 + t1P531,
LR440 IL (4t1 + I) R40 + R330 +
5^1р50 + t2р41,
LR540/ l =-(t2 + 3t + i) r540 + yar430 +
+"^2YaR330 + 3 t1P541 + 2 t2P532,
LR531/L = - (^1 + 2^2 + R) R^31 + R530 +
LR550 IL = -(5t1 + Y) R550 + YR440 +
5t1R551 + t2R542,
LR541/ l = - (t2 + 3t + i) p^41 + ya^40 +
LR532/l = -(t1 + 2t2) Р532 + i р531,
LR5511L = - (5t1 + Y)r51 + YR550 + 5t1R552,
lr542 / l = - (3 t + t2) r542 + i r541,
Lp5^^ = 5 t1P552 + i p51.
Ja uz doto brīdi t = 0 QS nav pieprasījumu, tad sākotnējie nosacījumi tiks ierakstīti formā
P10 (0) = P210 (0) = P220 (0) =... = P552 (0) = 0.
Lieldimensiju sistēmas, kas līdzīgas (1), (2), ar mainīgām vērtībām 1(^, mDO, m2(0) ir iespējamas tikai ar skaitliskām metodēm, izmantojot datoru.
Rīsi. 1. QS stāvokļa grafiks
QS modeļa izveide
Atbilstoši algoritmiskajai pieejai aplūkosim paņēmienu, kā patvaļīgas dimensijas Kolmogorova vienādojumu sistēmu pārveidot datoraprēķiniem piemērotā formā. Lai vienkāršotu ierakstīšanu, trīskāršās sistēmas vietā tiek izmantota dubultā QS stāvokļu pierakstīšanas sistēma, kurā r ir apkalpošanā aizņemto kanālu skaits plus rindas garums,] ir lietojumprogrammu skaits QS. . Attiecības starp apzīmējumu sistēmām izsaka ar atkarībām:
r = n + m, r = 0,1,...,K;
] = k + m, ] = 0,1,...,K.
Nevienu stāvokli no formālās kopas nevar realizēt
B. (r = 0,1,...,K; ] = 0,1,...,K). It īpaši,
aprakstītā modeļa ietvaros nav iespējami stāvokļi, kuros divus vai vairākus pieprasījumus vienlaikus apkalpo viens
kanāls, t.i. R. (t) = 0, ja ] > r Apzīmēsim ar simbolu 8 QS pieļaujamo stāvokļu kopu. Stāvoklis B. pastāv, un
tās atbilstošā varbūtība P. ^)
var būt nulle, ja ir izpildīts viens no šiem nosacījumiem:
1)] <г< 2], если 2] < N,
2)] <г< ] + Ч - 1 если \ .
y] + H - 1< К,
3)] < г < К, если ] + ч - 1 ^ К,
r = 0,1,...,K; ] = 0,1,...,K,
kur Х ir maksimālais stāvokļu skaits ar dažādu apkalpošanas kanālu skaitu noteiktam pieprasījumu skaitam, ko nosaka pēc formulas
Šeit iekavas apzīmē daļējās daļas atmešanas darbību. Piemēram,
spriežot pēc stāvokļa grafika, kas parādīts attēlā. 1, divus pieprasījumus var apkalpot divi, trīs vai četri kanāli. Tāpēc iepriekš apskatītajā piemērā
H = 5 - = 5 - 2 = 3.
Lai realizētu datoraprēķinus, izmantojot patvaļīgas dimensijas Kolmogorova vienādojumu sistēmu, tās vienādojumi ir jāsamazina līdz kādai universālai formai, kas ļauj uzrakstīt jebkuru vienādojumu. Lai izstrādātu šādu formu, aplūkosim stāvokļu grafika fragmentu, kas attēlo vienu patvaļīgu stāvokli B] ar vadošajiem no tā
intensitātes bultiņas. Apzīmēsim ar romiešu cipariem blakus esošos stāvokļus, kas ir tieši saistīti ar B., kā parādīts attēlā. 2.
Katram B. stāvoklim (g = 0,1,...,K; ] = 0,1,...,K), lai B. e 8, brīdī t vērtības
p^), p(t), p.^), p(t) pieņemt
dažādas vērtības (ieskaitot tās, kas vienādas ar nulli). Tomēr vienādojuma struktūra
(3) paliek nemainīgs, kas ļauj to izmantot patvaļīgas dimensijas Kolmogorova vienādojumu sistēmas datorizpildīšanai.
Intensitātes fr (t), (р. (t), kas tiecas pārnest QS uz stāvokļiem ar lielām r un ] vērtībām, ja ir iespējama šādu stāvokļu klātbūtne, nosaka, pamatojoties uz vairākiem nosacījumiem, kā norādīts tālāk. :
o.. ї a vai
°(,-+1)0"+1) ї 8 '
0(,-+2)(.+1) - 8 i £ N - 2,
o(i+1)(.+1)- 8 vai
°(.+2)а+1)ї 8
O(.+1)(V+1) - 8'
Rīsi. 2. QS stāvokļa grafika fragments
Ņemot vērā kaimiņvalstu klātbūtni attiecībā pret B., vienādojums B. tiks rakstīts šādi:
-£ = -[P () + P () + P. () +
Рр (tИ Рг, (t) + Рр+1) (.+1) (t) Р(г+1) (.+1) () +
Р(Н(1-1)^)Р(-1)(1 -1)^) +
Р 2)()+1)()Р(г+2)()-+1)() +
РЦ2)(.-1) (t)P(г-2)(.-Г) ().
О(.+1)(.+1)ї 8 vai і > N - 2
Y2X(i), ja
I(i+1)(.+1) - 8>
O(i+2)(.+1) - 8 'i £ N - 2,
О(і+1)(.+1)ї 8’
О(і+2)(.+1) - 8’
r = 0,1,...,k, . = 0,1,...,k.
Upes intensitāte (), p..11 (), pārceļot QS no stāvokļa B-. štatos
ar mazākām g vērtībām un. (ja ir iespējama šādu stāvokļu klātbūtne), ir tieši proporcionāli iesaistīto kanālu skaitam, kas apkalpo dažāda veida pieprasījumus, kas atrodas QS (aizņem vienu vai divus kanālus apkalpošanai). Divu kanālu grupu, kas nodarbojas ar viena attiecīgā tipa pieprasījuma apkalpošanu, var uzskatīt par vienu kanālu. Tāpēc vispārējā gadījumā
p () = kdM1 () , R. () = ky2^2 () ,
kur k.1 ir pieprasījumu skaits, kas aizņem vienu kanālu un kurus apkalpo QS stāvoklī B; k ir pieprasījumu skaits, kas aizņem divus kanālus un kurus apkalpo QS stāvoklī B.
Caur g un. šīs vērtības nosaka šādi:
G2. - g, ja g< N,
y1 [ N - 2 (r - .), ja r > N, (4)
Uz! 2 = g - . .
Ņemot vērā ierobežojumus attiecībā uz izteiksmes stāvokļu pastāvēšanas iespējamību
p(), R.() ir forma
^B(g-1)(L) e 8,
QS darbības efektivitātes rādītāji
Aprakstītais modelis dod iespēju noteikt sekojošo aplūkojamā QS darbības efektivitātes rādītāju laika atkarības.
Vidējais rindas garums:
var ()=22(g-p) R ().
Vidējais aizņemto kanālu skaits:
Vidējais pieteikumu skaits TKO:
m, ()=22.R. ().
Pakalpojuma atteikuma varbūtība:
Є, ()= 2 Р- ().
Virtuālā gaidīšanas laika sadalījumu pa aplikāciju var iegūt
pakalpojums Ж (x,t) = Р ^ож ()< х) , позволяющее характеризовать качество обслуживания рассматриваемой СМО. Поступившая в систему заявка вынуждена ожидать обслуживания в случае, если все каналы заняты обслуживанием заявок, поступивших
iepriekš. Pastāv iespējamība Рк=0 (t), ka ienākošais pieprasījums tiks nekavējoties apkalpots brīva kanāla (vai vairāku bezmaksas kanālu) klātbūtnē.
B(g-1)(.-1) 8 £,
r = 0,1,...,K, . = 0,1, ..., K.
R. () ° 0, ja B. £ 8.
Ņemot vērā atteices iespējamību, sadales funkcijas Ж(х^) vēlamā vērtība tiks noteikta kā
F (x-’)=(--o(t)
EEZH M (,)) ()
Ru()° 0, ja °y. ї 8.
Šeit Ж (х,т| (і,./)) ir nosacīta funkcija
noteikta pieprasījuma gaidīšanas laika sadalījums ar nosacījumu, ka tā saņemšanas brīdī T tas atrada QS stāvoklī y.
Aplūkojamajā QS gaidīšanas laiks uz ienākošo pieprasījumu apkalpošanu ir atkarīgs ne tikai no QS jau esošo pieprasījumu skaita, bet arī no kanālu sadalījuma starp esošo pieprasījumu grupu un individuālo apkalpošanu. Ja nepastāvētu savstarpēja palīdzība starp kanāliem, tad izskatāmais QS būtu tradicionāls QS ar gaidīšanu ierobežota garuma rindā, kurai kopējais apkalpošanas sākuma gaidīšanas laiks ar pretenziju, kas apsteidza m citas prasības rindā. ierašanās brīdī būtu Erlang sadalījums E,^) (X) .
Šeit augšindekss satur visu N kanālu apkalpošanas pieprasījumu intensitāti, kas darbojas rindas klātbūtnē; apakšindekss ir sadalījuma secība saskaņā ar Erlanga likumu. Šeit aplūkotajā QS aprakstītais likums ir spēkā tikai tiem pieprasījumiem, kas ievadīti QS valstīs, kur visi kanāli ir aizņemti, un tie visi apkalpo vienu pieprasījumu. Par šiem stāvokļiem mēs varam rakstīt
F (x, t| ^ + m, N + t)) = ^+1() (x).
Apzīmēsim kā E^”^1 (x) vispārinātā Erlana likuma sadalījuma funkciju
ha, ar secību 2"r - 1, kur ag ir skaitlis
Lo nejaušie mainīgie sadalīti
eksponenciālais likums ar parametru y. AR
Izmantojot ieviesto apzīmējumu, mēs rakstām izteiksmes gaidīšanas laika sadalījuma funkcijai citos stāvokļos. Salīdzinot ar (5), šīm izteiksmēm ir sarežģītāka forma, kas netraucē to programmatūras ieviešanu. Turklāt, piemēram, tie ir norādīti tikai pirmajiem trim kanālu pilnas noslogošanas stāvokļiem, izmantojot iepriekš ieviesto trīs rakstzīmju indeksēšanu:
F (x,t| (n,k,t)) = F (x,t| (N,N - g,0)) =
= (x), 0 £ g £ d,
kur un. = kLt (t)+ku 2M2 (t);
Ж (х,т| (п,к,т)) = Ж (х,т| (N,N - g,l)) =
N ^ ^ - g) km(T)
Ж (х,т| - g, 2))
N^).(N - g) km(t)
E/^(t),(t-g) ■я(t),(t-g+l)
(N), (N - g) ktM(T)
EI-)(t-g)(x) +
^).(N - g) eH^) (x)
Vidējais lietojumprogrammas virtuālais gaidīšanas laiks Toz () tiek skaitliski noteikts kā
Identitāte (T) = | ^Х (x, T) .
Var noteikt arī virtuālā apkalpošanas laika sadalījumu patvaļīgi izvēlētam pieprasījumam Tobsl ^).
Tā kā Tobsl (t) izmaiņas aplūkotajā QS ir nejaušs process, kas ir divu eksponenciāli sadalītu nejaušu procesu TobsL1 ^) un TobsL2 ^ maisījums, tad sadalījums
V (x^) = P (Tobsl (t)< х) не будет показательным. С учётом возможности отказа выражение для функции распределения V (х^) запишется в виде
EEU M k,.YR(t)
R.. ^) ° 0, ja 8. £ 8.
Šeit V (x^| (r,.)) ir noteikta pieprasījuma apkalpošanas laika nosacītā sadalījuma funkcija ar nosacījumu, ka tā saņemšanas brīdī tā atrada QS stāvoklī.
Ja lietojumprogrammas apkalpošanas uzsākšanas brīdī QS ir stāvoklī, kurā iespējama gan grupu, gan individuāla apkalpošana, tad apkalpošanas laiks ir divu pro-
pāreja uz grupu servisu – ja nosacījums ir iespējams (2. att.). Tādējādi mums ir:
U(M(i--/")) =
y (1 — e-t(t)x) + +y (1 — e^2(t)x),
I О(і+2)(]+1) ї 8, О(і+1)(.+1) - 8,
"2\* ^ І’ I ^ +2)(.+1)
i = 0,1,...,N -1, i = 0,1,...,N -1.
Tā kā, ja nav divu brīvu kanālu, jebkuru pieprasījumu apkalpo viens kanāls, tad faktiskā viena kanāla piešķiršanas iespējamība ^) ir
det ir lielāks par doto V Funkcija uv ^) ir definēta kā
EEU O","r(t)
R. (t) ° 0, ja R. ї 8.
Šeit y1(r,.) ir iespēja piešķirt vienu ierīci, lai apkalpotu pieprasījumu, ko saņēmis QS šādā stāvoklī:
O(i+1)(.+1) - 8, O(i
2)(}+1) -2)(!+1)
ilgums: Tobsl1 (t) un Tobsl2 (t), dis-i = 0,1...,K -1, . = 0,1...,K -1.
eksponenciāli ierobežots ar parametriem ^1 (t) un ^2 (t). Ja iekšā
Šajā brīdī nav iespējams piešķirt divus kanālus, tad pieprasījuma apkalpošanas laiks tiek sadalīts eksponenciāli ar parametru
t(t). Kad pieprasījums tuvojas apkalpošanas kanāliem stāvoklī B, pāreja uz individuālo apkalpošanu ir pieļaujama, ja
stāvokļa iespējamības klātbūtne I(
Vidējais QS ietvertā pieprasījuma apkalpošanas ilgums tajā laikā
T var definēt ar uv (T) kā
Tbl (t)=uf (t) Tm (t)+ Tbs 2 (t).
Virtuālā laika sadalījums, ko pavada aplikācija QS
un (x,t)= P (Tpreb (t)< х)
nosaka, izmantojot iepriekš iegūtās izteiksmes gaidīšanas laika un apkalpošanas laika sadalījuma funkcijām - =
tāda kā es,
2^2 (t) Et^^(t)^^) (x) +
EEi M))рї(t)
un (x,t| (^ .)) =
1 — e-M1(t)x
y (1 — e-t(t)x)-+y2(1 — e
(1 — e ^t(t)x),
О(і+1)(.+1) - 8, О(і+ 2)(.+1) ї 8’
О(і+1)(.+1) - 8’ О(і+2)(.+1) - 8,
r = 0,1,...^-1, . = 0’l’...’N-1.
Citiem stāvokļiem nosacītā sadalījuma funkcijas formulas tiek rakstītas pēc analoģijas ar formulām for
Ж (х^| (п,к,т)), izmantojot trīs rakstzīmju indeksāciju. Zemāk tie ir norādīti pirmajiem trim pilnas kanāla noslogojuma stāvokļiem:
Ieejas brīdī rindas nav, bet visi kanāli ir aizņemti:
un (x^| (n,k,t)) = un (x^| (NN - g,0)) =
(x), 0 £ g £ d;
Līdz brīdim, kad lietojumprogramma tiek ievadīta, rindā ir viena lietojumprogramma:
R. (t) ° 0, ja R. ї 8.
Šeit un (x^| (r,.)) ir kāda pieprasījuma QS pavadītā laika nosacītā sadalījuma funkcija, ja tā saņemšanas brīdī t sistēma atrada stāvoklī.
Valstīs ar bezmaksas kanāliem uzturēšanās laiks QS sakrīt ar apkalpošanas laiku:
Līdz brīdim, kad lietojumprogramma tiek ievadīta, rindā ir divas lietojumprogrammas:
un (x,t | (t,t - ^2))
(t)(t^)H (t)(t^+1)
(t) (t - g) ktsM (t)
(t) (t - g) KtsM (t)
Vidējais lietojumprogrammas virtuālais uzturēšanās laiks QS ir definēts kā
Tpreb ^) = Tobsl (t) + Toz (t).
QS modeļa izmantošanas piemērs
Veicot atsevišķu tehnoloģisko operāciju ielidojošo lidmašīnu apkalpošanai, tiek simulēta vienas no Austrumeiropas reģionālo mezglu lidostu ražošanas kompleksa ikdienas darbība. Kā sākotnējie dati modelēšanai ielidojošo gaisa kuģu plūsmas vidējās intensitātes laika atkarības
apkalpošanai, i(t) un intensitātei
gaisa kuģu apkalpošana ar vienu līdzekli t1 (t) .
Kā izriet no iegūtajiem datiem
lidostas tīmekļa vietnes atkarības grafiks i(t)
(3.a att.), BC piegādi raksturo ievērojams nevienmērīgums: dienas laikā tiek novēroti četri intensitātes maksimumi, kas atbilst četriem “viļņiem”
mums" lidojumu ielidošanas un izlidošanas. Maksimālās vērtības 1(t) galvenajiem “viļņiem” sasniedz 25-30 VS/h.
Attēlā 3 un arī parāda atkarības t (t) grafiku. Tiek pieņemts, ka nē
tikai gaisa kuģu plūsmas intensitāte, bet arī to apkalpošanas intensitāte ir laika funkcija un ir atkarīga no “viļņa” fāzes. Fakts ir tāds, ka, lai samazinātu pasažieru vidējo pārsēšanās laiku, centrmezgla lidostas grafiks ir strukturēts tā, ka "vilni" ierosina liela pasažieru lidmašīnas, kuru uzturēšana prasa daudz. laika, un to pabeidz mazu lidmašīnu ierašanās. Piemērā tiek pieņemts, ka vidējais darbības ilgums ar vienu instrumentu, kas lielāko dienas daļu ir 20 minūtes, “viļņa” sākuma stadijā palielinās līdz 25 minūtēm. un pēdējā posmā tiek samazināts līdz 15 minūtēm. Tādējādi četri intervāli ar
samazināts līmenis t (t) attēlā. 3a atbilst “viļņu” sākuma fāzēm, kad dominē lielu gaisa kuģu ierašanās. Savukārt četri pieauguma intervāli
līmenis t^) kritums uz finālu
“viļņu” fāzes, kurās pārsvarā ir mazie gaisa kuģi.
Zemāk mēs aprakstām simulācijas rezultātus, kas ļauj novērtēt sistēmas efektivitāti. Attēlā 3b-3d parāda aizņemto kanālu skaita vidējo vērtību atkarības no laika Nз ^),
kopējais iesniegumu skaits Veselības ministrijas sistēmā ^) un
rindu garumi Moz (7), kas iegūti divām ierobežojošām varbūtības vērtībām n1 = 0 un n1 = 1 ar šādiem projektēšanas raksturlielumiem: N = 10; K = 40; in = 1,75. Spriežot pēc atkarības grafika Nз (t)
(3.b att.), lielākajā daļā ikdienas laika intervāla sistēmas apkalpojošo kanālu noslogojums saglabājas zems, kas ir nestacionāras ievades sekas.
lidmašīnu plūsma. Liela slodze (60-80%) tiek sasniegta tikai otrā iebraukšanas un izbraukšanas "viļņa" laikā, un opcija n1 = 0 pie lielām vērtībām 1(t) rada lielāku sistēmas slodzi un pie mazām vērtībām. no 1(t) - mazāk
salīdzinot ar variantu n1 = 1. Turklāt kā
modelēšana parādīja, ka atteices iespējamība aplūkotajā sistēmā abām iespējām ir niecīga.
Atkarības grafiku salīdzinājums
M3 ^) un Mozh ^) (attiecīgi 3.c un 3.d attēls) ļauj secināt, ka QS ar n1 = 0 vidēji ir mazāk pieprasījumu un ir paredzēts apkalpot vairāk pieprasījumu nekā ar n1 = 1 Šī pretruna ir izskaidrojama ar to, ka katrs QS saņemtais pieteikums, kas gadījumā n1 = 0 aizņem divus.
kanāls atstāj mazāk brīvu kanālu tiem pieprasījumiem, kas seko tam, liekot tiem izveidot lielāku rindu nekā gadījumā
n1 = 1. Vienlaikus kanālu grupu izmantošana, samazinot apkalpošanas laiku, izraisa kopējā apkalpoto un apkalpošanu gaidošo pieteikumu skaita samazināšanos. Tātad aplūkotajā piemērā vidējais apkalpošanas laiks dienas laikā ir
opcijai p1 = 1 ir 20 minūtes, un par
opcija p1 = 0 - 11,7 min.
Iepriekš apskatītais modelis ļauj risināt problēmas, kas saistītas ar transporta pakalpojumu kvalitātes optimālas vadības meklējumiem. Attēlā 3d, 3f parādīti daži šāda veida problēmas risināšanas rezultāti, kuru nozīme tiek skaidrota tālāk, izmantojot aplūkojamās lidostas piemēru.
Nelielais vidējais rindas garums pat maksimālās slodzes laikā, kas aplūkojamajā piemērā nepārsniedz 0,6 lidmašīnas (3.d att.), negarantē, ka lielākajai daļai lidmašīnu gaidīšanas laiks rindā būs pieņemams. Zems vidējais gaidīšanas laiks ar apmierinošu vidējo apkalpošanas operācijas pabeigšanas laiku
Tas arī neizslēdz nepieņemami ilgas dīkstāves iespēju atsevišķu gaisa kuģu apkopes laikā. Apskatīsim piemēru, kad lidostas pakalpojumu kvalitātei tiek izvirzītas prasības gan nodrošināt apmierinošas apkalpošanas gaidīšanas laika, gan sistēmā pavadītā laika vērtības. Mēs pieņemsim, ka vairāk nekā 90% lidmašīnu apkopes veikšanai vajadzētu būt dīkstāvē mazāk nekā 40 minūtes, un apkopes gaidīšanas laikam tādai pašai gaisa kuģu daļai vajadzētu būt mazākam par 5 minūtēm. Izmantojot iepriekš ieviesto apzīmējumu, šīs lidostas pakalpojumu kvalitātes prasības tiks uzrakstītas nevienādību veidā:
P (Tpreb (t)< 40мин)>09, P (identitāte (t)< 5мин)> 09
Attēlā 3d, 3f parāda varbūtību P laika atkarības (Tpreb (/)< 40мин)
un P (ident. (")< 5 мин) для интервала времени
460-640 min. no modeļa dienas sākuma, kas atbilst otrajam ierašanos “vilnim”.
Kā redzams no attēliem, variants n1 = 1 nav
nodrošina aprēķināto uzticamību ekspluatācijas laika izteiksmē: nosacījumā norādītā prasība pēc ekspluatācijas laika
P (Tpreb (t)< 40мин)>09, tiek veikta tikai īsā laika posmā 530560 minūtes, kas atbilst mazo
Sv. Savukārt variants n1 = 0 nenodrošina aprēķināto uzticamību attiecībā uz gaidīšanas laiku rindā: lielo lidmašīnu ielidošanas intervālā (500-510 min.)
Rīsi. 3. Simulācijas rezultāti 262
nosacījums P ir izpildīts (Iz(t)< 5мин) > 0.9.
Kā parādīja modelēšana, izeja no šīs situācijas var būt izvēle
kompromisa variants y1 » 0.2. Praksē šī iespēja nozīmē, ka lidostas pakalpojumiem ir jāpiešķir divi līdzekļi, lai apkalpotu nevis visas lidmašīnas, bet tikai tās, kas atlasītas pēc noteikta kritērija, piemēram,
pasažieru ietilpība. Šeit y1 spēlē lomu
parametrs, kas ļauj kontrolēt QS veiktspējas rādītājus: lietojumprogrammas gaidīšanas laiku rindā un laiku, kad lietojumprogramma paliek QS jeb apkalpošanas laikā.
Tātad aplūkotā sistēma, kas pieprasījuma apkalpošanai izmanto vienu vai divus kanālus vienlaicīgi, ir īpašs, bet praktiski nozīmīgs QS gadījums ar
kanālu savstarpēja palīdzība. Šāda QS dinamiskā modeļa izmantošana ļauj izvirzīt un risināt dažādas optimizācijas, tostarp daudzkritēriju problēmas, kas saistītas ne tikai ar kopējo fondu skaita pārvaldīšanu, bet arī to savstarpējo palīdzību. Šāda veida problēmas īpaši aktuālas ir ar servisa objektiem piesātinātām centrmezglu lidostām ar to nestacionārajām lidojumu plūsmām un mainīgo pakalpojumu intensitāti. Tādējādi aplūkojamā QS modelis ir rīks tādas perspektīvas klases lidostu kā mezglu parametru analīzei un optimizēšanai.
Bibliogrāfija
1. Bočarovs, P.P. Rindas teorija [Teksts] / P.P. Bočarovs, A.V. Pe-chinkin. - M.: Izdevniecība RUDN, 1995. - 529 lpp.
RINDAS SISTĒMAS MODELIS AR NESTACIONĀRĀM straumēšanām UN DAĻĒJU KANĀLU SAVSTARPĒJO PALĪDZĪBU
© 2011 V. A. Romaņenko
Samaras Valsts aviācijas un kosmosa universitāte, kas nosaukta akadēmiķa S. P. Koroļova vārdā (Nacionālā pētniecības universitāte)
Aprakstīts dinamisks daudzkanālu rindu sistēmas modelis ar nestacionārām straumēm, gaidīšanu ierobežota garuma rindā un kanālu daļēju savstarpēju palīdzību, kas izteikta iespēja vienlaicīgi apkalpot klientu pa diviem kanāliem. Sistēmas pamata varbūtības laika raksturlielumu izteiksmes ir dotas. Kā sistēmas piemērs tiek apskatīti mezgla lidostas funkcionēšanas modelēšanas rezultāti.
Rindas sistēma, nestacionāra plūsma, savstarpēja palīdzība starp kanāliem, mezgla lidosta.
Informācija par autoru Vladimirs Aleksejevičs Romaņenko, tehnisko zinātņu kandidāts, asociētais profesors, Akadēmiķa S.P. Koroļeva vārdā nosauktās Samaras Valsts aviācijas un kosmosa universitātes Transporta transporta organizācijas un vadības katedras doktorants (Nacionālā pētniecības universitāte). E-pasts: [aizsargāts ar e-pastu]. Zinātnisko interešu joma: mezgla lidostas transporta pakalpojumu sistēmas optimizācija un modelēšana.
Romanenko Vladimirs Aleksejevičs, tehnisko zinātņu kandidāts, asociētais profesors, akadēmiķa S. P. Koroļova vārdā nosauktās Samaras Valsts kosmosa universitātes Transporta organizācijas un vadības katedras doktora grāds (Nacionālā pētniecības universitāte). Pētniecības joma: centrmezgla lidostas transporta pakalpojumu sistēmas optimizācija un simulācija.
Līdz šim esam izskatījuši tikai tādus QS, kuros katru pieprasījumu var apkalpot tikai viens kanāls; neaizņemti kanāli nevar “palīdzēt” aizņemtiem kanāliem apkalpošanā.
Kopumā tas ne vienmēr notiek: ir rindas sistēmas, kurās vienu un to pašu pieprasījumu var vienlaikus apkalpot divi vai vairāki kanāli. Piemēram, vienu un to pašu salūzušo mašīnu var apkalpot divi strādnieki vienlaikus. Šāda “savstarpēja palīdzība” starp kanāliem var notikt gan atvērtos, gan slēgtos QS.
Apsverot QS ar starpkanālu savstarpēju palīdzību, jāņem vērā divi faktori:
1. Cik ātri paātrina aplikācijas apkalpošana, ja tajā strādā nevis viens, bet vairāki kanāli vienlaikus?
2. Kas ir “savstarpējās palīdzības disciplīna”, t.i., kad un kā vairāki kanāli uzņemas viena pieprasījuma apkalpošanu?
Vispirms apskatīsim pirmo jautājumu. Ir dabiski pieņemt, ka, ja lietojumprogrammas apkalpošanā strādā nevis viens kanāls, bet vairāki kanāli, pakalpojuma plūsmas intensitāte, palielinoties k, nesamazināsies, t.i., tā attēlos kādu nesamazinošu darba skaitļa k funkciju. kanāliem. Apzīmēsim šo funkciju Iespējamā funkcijas forma ir parādīta attēlā. 5.11.
Acīmredzot neierobežots vienlaikus darbojošos kanālu skaita pieaugums ne vienmēr rada proporcionālu pakalpojuma ātruma pieaugumu; Ir dabiskāk pieņemt, ka pie noteiktas kritiskās vērtības turpmāks aizņemto kanālu skaita pieaugums vairs nepalielina pakalpojuma intensitāti.
Lai analizētu QS darbību ar savstarpēju palīdzību starp kanāliem, vispirms ir jāiestata funkcijas veids
Visvienkāršākais pētījums būs gadījums, kad funkcija palielinās proporcionāli k, bet paliek nemainīga un vienāda (sk. 5.12. att.). Ja kopējais kanālu skaits, kas var palīdzēt viens otram, nepārsniedz
Tagad pakavēsimies pie otrā jautājuma — savstarpējās palīdzības disciplīnas. Šīs disciplīnas vienkāršāko gadījumu mēs sauksim par “visi kā viens”. Tas nozīmē, ka, parādoties vienam pieprasījumam, visi kanāli sāk to apkalpot uzreiz un paliek aizņemti, līdz šī pieprasījuma apkalpošana beidzas; tad visi kanāli pārslēdzas uz cita pieprasījuma apkalpošanu (ja tāds ir) vai gaida tā parādīšanos, ja tā nav utt Acīmredzot šajā gadījumā visi kanāli strādā kā viens, QS kļūst vienkanāla, bet ar augstāku servisu intensitāte.
Rodas jautājums: vai ir izdevīgi vai neizdevīgi ieviest šādu savstarpēju palīdzību starp kanāliem? Atbilde uz šo jautājumu ir atkarīga no tā, kāda ir pieprasījumu plūsmas intensitāte, kāda veida funkcija, kāda veida QS (ar kļūmēm, ar rindu), kāda vērtība ir izvēlēta kā pakalpojuma efektivitātes raksturojums.
Piemērs 1. Ir trīs kanālu QS ar kļūmēm: lietojumprogrammu plūsmas intensitāte (aplikācijas minūtē), vidējais viena pieprasījuma apkalpošanas laiks pa vienu kanālu (min), funkcija Jautājums, vai tas ir izdevīgi no plkst. QS caurlaidspējas viedoklis, lai ieviestu savstarpēju palīdzību starp kanāliem, kas ir “visi kā viens” tipa “? Vai tas ir izdevīgi, lai samazinātu vidējo lietojumprogrammas uzturēšanās laiku sistēmā?
Risinājums a. Bez savstarpējas palīdzības
Izmantojot Erlang formulas (sk. 4. §), mēs iegūstam:
QS relatīvā kapacitāte;
Absolūtā caurlaidspēja:
Vidējais pieteikuma uzturēšanās laiks QS tiek noteikts kā iespējamība, ka pieteikums tiks pieņemts apkalpošanai, reizināts ar vidējo apkalpošanas laiku:
Gsist (min).
Mēs nedrīkstam aizmirst, ka šis vidējais laiks attiecas uz visām lietojumprogrammām – gan apkalpotajām, gan neapkalpotajām Mūs varētu interesēt arī vidējais laiks, cik apkalpotā lietojumprogramma paliks sistēmā. Šis laiks ir vienāds ar:
6. Ar savstarpēju palīdzību.
Vidējais laiks, cik ilgi pieteikums paliek TKO:
Vidējais laiks, ko apkalpoja lietojumprogramma pavada TKO:
Tādējādi, pastāvot savstarpējai palīdzībai “visi kā viens”, QS caurlaidspēja ir manāmi samazinājusies. Tas tiek skaidrots ar atteikuma varbūtības palielināšanos: kamēr visi kanāli ir aizņemti ar viena pieprasījuma apkalpošanu, var pienākt citi pieprasījumi un, protams, tie tiek noraidīti. Kas attiecas uz vidējo laiku, ko lietojumprogramma pavada TKO, tas, kā varētu sagaidīt, samazinājās. Ja kāda iemesla dēļ mēs cenšamies pilnībā samazināt laiku, ko lietojumprogramma pavada QS (piemēram, ja uzturēšanās QS ir bīstama lietojumprogrammai), var izrādīties, ka, neskatoties uz caurlaidspējas samazināšanos, tas joprojām ir izdevīgi apvienot trīs kanālus vienā.
Tagad ar cerībām aplūkosim “visi kā viens” tipa savstarpējās palīdzības ietekmi uz QS darbu. Vienkāršības labad mēs ņemam tikai neierobežotas rindas gadījumu. Protams, šajā gadījumā savstarpēja palīdzība neietekmēs QS caurlaidspēju, jo jebkuros apstākļos tiks apkalpoti visi ienākošie pieprasījumi. Rodas jautājums par savstarpējās palīdzības ietekmi uz gaidīšanas pazīmēm: vidējo rindas ilgumu, vidējo gaidīšanas laiku, vidējo dienestā pavadīto laiku.
Saskaņā ar formulām (6.13), (6.14) 6. § izsniegšanai bez savstarpējas palīdzības vidējais pieprasījumu skaits rindā būs
vidējais gaidīšanas laiks:
un vidējais uzturēšanās laiks sistēmā:
Ja tiek izmantota savstarpēja palīdzība “visi kā viens”, sistēma darbosies kā vienkanāls ar parametriem
un tā raksturlielumus nosaka ar formulām (5.14), (5.15) 5. §:
Piemērs 2. Ir trīs kanālu QS ar neierobežotu rindu; aplikāciju plūsmas intensitāte (aplikācijas minūtē), vidējais apkalpošanas laiks Funkcija Noderīga nozīme:
Vidējais rindas garums,
Vidējais pakalpojuma gaidīšanas laiks,
Vidējais laiks, cik ilgi pieteikums paliek TKO
ieviest savstarpēju palīdzību starp kanāliem, piemēram, “visi kā viens”?
Risinājums a. Nav savstarpējas palīdzības.
Saskaņā ar formulām (9.1) - (9.4) mums ir
(3-2)
b. Ar savstarpēju palīdzību
Izmantojot formulas (9.5) - (9.7) atrodam;
Tādējādi vidējais rindas garums un vidējais gaidīšanas laiks rindā savstarpējās palīdzības gadījumā ir lielāks, bet vidējais pieteikuma uzturēšanās laiks sistēmā ir mazāks.
No aplūkotajiem piemēriem ir skaidrs, ka savstarpēja palīdzība starp Skaidras naudas veids “visi kā viens”, kā likums, neveicina apkalpošanas efektivitātes paaugstināšanu: tiek samazināts pieprasījuma uzturēšanās laiks QS, bet pasliktinās citi pakalpojuma raksturlielumi.
Līdz ar to ir vēlams mainīt apkalpošanas disciplīnu, lai kanālu savstarpējā palīdzība netraucētu pieņemt jaunus apkalpošanas pieprasījumus, ja tie parādās, kamēr visi kanāli ir aizņemti.
Sauksim šādu savstarpējās palīdzības veidu par “vienotu savstarpēju palīdzību”. Ja pieprasījums pienāk laikā, kad visi kanāli ir brīvi, tad tā apkalpošanai tiek pieņemti visi kanāli; ja aplikācijas apkalpošanas laikā pienāk cita, daži kanāli pārslēdzas uz tās apkalpošanu; ja, kamēr šie divi pieprasījumi tiek apkalpoti, pienāk vēl viens, daži kanāli pārslēdzas uz tā apkalpošanu utt., līdz visi kanāli ir aizņemti; ja tas tā ir, tikko saņemtais pieteikums tiek noraidīts (QS ar atteikumiem) vai tiek ievietots rindā (QS ar gaidīšanu).
Ar šo savstarpējās palīdzības disciplīnu iesniegums tiek atteikts vai ievietots rindā tikai tad, kad to nav iespējams apkalpot. Kas attiecas uz kanālu “dīkstāves laiku”, tā šādos apstākļos ir minimāla: ja sistēmā ir vismaz viens pieprasījums, visi kanāli darbojas.
Iepriekš minējām, ka, parādoties jaunam pieprasījumam, daži no aizņemtajiem kanāliem tiek atbrīvoti un tiek pārslēgti uz tikko saņemtā pieprasījuma apkalpošanu. Kura daļa? Tas ir atkarīgs no funkcijas veida, ja tai ir lineāras attiecības forma, kā parādīts attēlā. 5.12, un nav nozīmes tam, kura kanālu daļa ir atvēlēta tikko saņemta pieprasījuma apkalpošanai, ja vien visi kanāli ir aizņemti (tad kopējā pakalpojumu intensitāte jebkuram kanālu sadalījumam starp pieprasījumiem būs vienāda ar ). Var pierādīt, ka, ja līkne ir izliekta uz augšu, kā parādīts attēlā. 5.11, tad jums ir nepieciešams pēc iespējas vienmērīgāk sadalīt kanālus starp pieprasījumiem.
Apskatīsim -kanāla QS darbību ar “vienotu” savstarpēju palīdzību starp kanāliem.
Problēmas formulēšana. Pie ieejas n-kanāls QS saņem vienkāršāko pieprasījumu plūsmu ar blīvumu λ. Vienkāršākās pakalpojuma plūsmas blīvums katram kanālam ir μ. Ja pēc saņemtā pakalpojuma pieprasījuma visi kanāli ir brīvi, tas tiek pieņemts apkalpošanai un apkalpots vienlaicīgi l kanāli ( l < n). Šajā gadījumā pakalpojumu plūsmai vienai lietojumprogrammai būs intensitāte l.
Ja saņemtais pakalpojuma pieprasījums sistēmā atrod vienu pieprasījumu, tad kad n ≥ 2l tikko saņemts pieteikums tiks pieņemts apkalpošanā un tiks apkalpots vienlaicīgi l kanāliem.
Ja sistēmā tiek noķerts saņemtais pakalpojuma pieprasījums i lietojumprogrammas ( i= 0,1, ...), kamēr ( i+ 1)l≤ n, tad saņemtais pieteikums tiks apkalpots l kanāli ar kopējo veiktspēju l. Ja sistēmā tiek noķerts tikko saņemts pieteikums j pieteikumi un tajā pašā laikā tiek apmierinātas divas nevienlīdzības: ( j + 1)l > n Un j < n, tad pieteikums tiks pieņemts apkalpošanai. Šajā gadījumā dažas lietojumprogrammas var apkalpot l kanāliem, otra daļa ir mazāka par l, kanālu skaitu, bet visi būs aizņemti ar apkalpošanu n kanāli, kas tiek nejauši sadalīti starp lietojumprogrammām. Ja sistēmā tiek noķerts tikko saņemts pieteikums n pieteikumus, tad tas tiek noraidīts un netiks apkalpots. Apkalpošanai saņemtais pieteikums tiek apkalpots līdz galam (“pacientu” pieteikumi).
Šādas sistēmas stāvokļa grafiks ir parādīts attēlā. 3.8.
Rīsi. 3.8. QS stāvokļu grafiks ar kļūmēm un daļēju
savstarpēja palīdzība starp kanāliem
Ņemiet vērā, ka sistēmas stāvokļa grafiks līdz stāvoklim x h līdz plūsmas parametru apzīmējumam tas sakrīt ar klasiskās rindu sistēmas stāvokļa grafiku ar atteicēm, kas parādīts att. 3.6.
Tāpēc
(i
= 0, 1, ..., h).
Sistēmas stāvokļa grafiks, sākot no stāvokļa x h un beidzot ar valsti x n, līdz apzīmējumam sakrīt ar QS stāvokļa grafiku ar pilnīgu savstarpēju palīdzību, kas parādīts attēlā. 3.7. Tādējādi
.
Ieviesīsim apzīmējumu λ / lμ = ρ l ; λ / nμ = χ, tad
Ņemot vērā normalizēto stāvokli, mēs iegūstam
Noskaidrosim sistēmas īpašības.
Vidējais pieteikumu skaits sistēmā ir
Vidējais aizņemto kanālu skaits
.
Varbūtība, ka konkrēts kanāls būs aizņemts
.
Visu sistēmas kanālu aizņemtības varbūtība
Problēmas formulēšana. Pie ieejas n-kanāla QS sistēma saņem neviendabīgu vienkāršāko plūsmu ar kopējo intensitāti λ Σ , un
λ Σ
=
,
kur λ i– lietojumu intensitāte i avots.
Tā kā pieprasījumu plūsma tiek uzskatīta par prasību superpozīcija no dažādiem avotiem, apvienoto plūsmu ar pietiekamu precizitāti praksei var uzskatīt par Puasonu. N = 5...20 un λ i ≈ λ i +1 (i1,N). Vienas ierīces apkalpošanas intensitāte ir sadalīta pēc eksponenciāla likuma un ir vienāda ar μ = 1/ t. Servisa ierīces pieprasījuma apkalpošanai ir savienotas virknē, kas ir līdzvērtīga apkalpošanas laika palielināšanai tik reižu, cik ierīču skaits tiek apvienots apkalpošanai:
t obs = kt, μ obs = 1 / kt = μ/ k,
Kur t obs – pieprasīt apkalpošanas laiku; k– apkalpošanas ierīču skaits; μ obs – pieprasījuma apkalpošanas intensitāte.
2. nodaļā pieņemto pieņēmumu ietvaros mēs attēlojam QS stāvokli kā vektoru, kur k m– aplikāciju skaits sistēmā, no kurām katra tiek apkalpota m ierīces; L = q max - q min +1 – ievades straumju skaits.
Pēc tam aizņemto un brīvo ierīču skaits ( n zan ( 
),n sv ( 
)) spēj 
ir definēts šādi:
No valsts 
sistēma var pāriet uz jebkuru citu stāvokli 
. Tā kā sistēma darbojas L ievades straumes, tad no katra stāvokļa tas ir potenciāli iespējams L tiešas pārejas. Tomēr ierobežoto sistēmas resursu dēļ ne visas šīs pārejas ir iespējamas. Lai SMO ir stāvoklī 
un pienāk pieprasījums prasīgs m ierīces. Ja m≤ n sv ( 
), tad pieprasījums tiek pieņemts apkalpošanai un sistēma pāriet stāvoklī ar intensitāti λ m. Ja lietojumprogrammai ir nepieciešams vairāk ierīču, nekā ir pieejams, tā tiks atteikta, un QS paliks stāvoklī 
. Ja vari 
ir nepieciešami pieteikumi m ierīces, tad katra no tām tiek apkalpota ar intensitāti m, un kopējo šādu pieprasījumu apkalpošanas intensitāti (μ m) ir definēts kā μ m
= k m μ
/ m. Kad viena no pieprasījumiem apkalpošana ir pabeigta, sistēma pāries stāvoklī, kurā atbilstošās koordinātas vērtība ir par vienu mazāka nekā stāvoklī 
,
=, t.i. notiks apgrieztā pāreja. Attēlā 3.9 ir parādīts QS vektora modeļa piemērs n
= 3, L
= 3, q min = 1, q max = 3, P(m) = 1/3, λ Σ = λ, ierīces apkopes intensitāte – μ.
Rīsi. 3.9. QS vektora modeļa grafika piemērs ar pakalpojumu kļūmēm
Tātad katrā valstī 
ko raksturo noteikta veida apkalpoto lietojumprogrammu skaits. Piemēram, štatā 
vienu pieprasījumu apkalpo viena ierīce, bet vienu pieprasījumu — divas ierīces. Šajā stāvoklī visas ierīces ir aizņemtas, tāpēc ir iespējamas tikai apgrieztās pārejas (jebkura pieprasījuma saņemšana šajā stāvoklī noved pie pakalpojuma atteikuma). Ja pirmā tipa pieprasījuma apkalpošana ir beigusies agrāk, sistēma pāries stāvoklī 
(0,1,0) ar intensitāti μ, bet, ja otrā tipa pieprasījuma apkalpošana ir beigusies agrāk, tad sistēma pāries stāvoklī 
(0,1,0) ar intensitāti μ/2.
Izmantojot stāvokļu grafiku ar uzzīmētām pāreju intensitātēm, tiek sastādīta lineāro algebrisko vienādojumu sistēma. No šo vienādojumu atrisinājuma tiek atrastas varbūtības R(
), ar kuru nosaka QS raksturlielumus.
Apsveriet atrašanu R otk (pakalpojuma atteikuma varbūtība).
,
Kur S– vektora QS modeļa grafika stāvokļu skaits; R(
) ir varbūtība, ka sistēma atrodas stāvoklī 
.
Stāvokļu skaitu nosaka šādi:
,
(3.22)
;
Noteiksim vektora QS modeļa stāvokļu skaitu atbilstoši (3.22) attēlā redzamajam piemēram. 3.9.
.
Tāpēc S = 1 + 5 + 1 = 7.
Lai ieviestu reālas prasības servisa ierīcēm, pietiekami liels skaits n
(40, ..., 50), un pieprasījumi par apkalpojošo ierīču skaitu lietojumprogrammā praksē ir diapazonā no 8 līdz 16. Ar šādu instrumentu un pieprasījumu attiecību ierosinātais varbūtību noteikšanas veids kļūst ārkārtīgi apgrūtinošs, jo QS vektora modelī ir liels stāvokļu skaits S(50)
= 1790, S(60)
= 4676, S(70) = = 11075, un algebrisko vienādojumu sistēmas koeficientu matricas lielums ir proporcionāls kvadrātam S, kas prasa lielu datora atmiņas apjomu un ievērojamu datora laiku. Vēlme samazināt aprēķinu apjomu rosināja meklēt atkārtotas aprēķinu iespējas R(
), pamatojoties uz stāvokļa varbūtību attēlošanas multiplikatīvajām formām. Rakstā ir sniegta pieeja aprēķinam R(
):
(3.23)
Darbā piedāvātā Markova ķēžu globālo un detalizēto bilanču ekvivalences kritērija izmantošana ļauj samazināt problēmas dimensiju un veikt aprēķinus uz vidējas jaudas datora, izmantojot aprēķinu atkārtošanos. Turklāt ir iespējams:
– veikt aprēķinus jebkurām vērtībām n;
– paātrināt aprēķinus un samazināt mašīnas laika izmaksas.
Līdzīgi var noteikt arī citus sistēmas raksturlielumus.
