Visgrūtāk ir pētīt elektriskās parādības neviendabīgā elektriskā vidē. Šādā vidē ε ir dažādas vērtības, kas pēkšņi mainās pie dielektriskās robežas. Pieņemsim, ka mēs nosakām lauka intensitāti divu vielu saskarnē: ε 1 =1 (vakuums vai gaiss) un ε 2 =3 (šķidrums - eļļa). Interfeisā, pārejot no vakuuma uz dielektrisko, lauka intensitāte samazinās trīs reizes, un stipruma vektora plūsma samazinās par tikpat lielu daudzumu (12.25. att., a). Pēkšņas izmaiņas elektrostatiskā lauka intensitātes vektorā divu mediju saskarnē rada zināmas grūtības lauku aprēķināšanā. Kas attiecas uz Gausa teorēmu, tad šādos apstākļos tā parasti zaudē savu nozīmi.
Tā kā atšķirīgu dielektriķu polarizējamība un spriegums ir atšķirīgi, arī lauka līniju skaits katrā dielektrikā būs atšķirīgs. Šo grūtību var novērst, ieviešot jaunu lauka fizisko raksturlielumu, elektrisko indukciju D (vai vektoru elektriskā nobīde ).
Pēc formulas
ε 1 E 1 = ε 2 E 2 =E 0 =konst
Reizinot visas šo vienādību daļas ar elektrisko konstanti ε 0 iegūstam
ε 0 ε 1 E 1 = ε 0 ε 2 E 2 = ε 0 E 0 = nemainīgs
Ieviesīsim apzīmējumu ε 0 εE=D tad priekšpēdējā sakarība iegūs formu
D 1 = D 2 = D 0 = konst
Vektoru D, kas vienāds ar elektriskā lauka intensitātes reizinājumu dielektrikā un tā absolūtās dielektriskās konstantes reizinājumu, saucelektriskā nobīdes vektors
(12.45)
Elektriskā nobīdes mērvienība - kulons uz kvadrātmetru(C/m2).
Elektriskā nobīde ir vektora lielums, un to var izteikt arī kā
D = εε 0 E = (1+χ)ε 0 E = ε 0 E + χε 0 E = ε 0 E+P
(12.46)
Atšķirībā no sprieguma E elektriskā nobīde D ir nemainīga visos dielektriķos (12.25. att., b). Tāpēc elektrisko lauku nehomogēnā dielektriskā vidē ir ērti raksturot nevis ar intensitāti E, bet gan ar pārvietojuma vektoru D. Vektors D apraksta elektrostatisko lauku, ko rada brīvie lādiņi (t.i. vakuumā), bet ar to sadalījumu telpā kā dielektriķa klātbūtnē, jo dielektriķos radušies saistītie lādiņi var izraisīt brīvo lādiņu pārdali, radot lauku.
Vektoru lauks 
ir grafiski attēlots ar elektriskās nobīdes līnijām tādā pašā veidā kā lauks 
attēlots ar spēka līnijām.
Elektriskā nobīdes līnija - tās ir taisnes, kuru pieskares katrā punktā sakrīt virzienā ar elektriskās nobīdes vektoru.
Vektora E līnijas var sākties un beigties ar jebkādiem lādiņiem - brīviem un saistītiem, savukārt vektora līnijasD- tikai par bezmaksas samaksu. Vektoru līnijasDAtšķirībā no spriegojuma līnijām, tās ir nepārtrauktas.
Tā kā elektriskā nobīdes vektora saskarnē starp diviem nesējiem nav pārtraukumu, visas indukcijas līnijas, kas rodas no lādiņiem, ko ieskauj kāda slēgta virsma, iekļūst tajā. Tāpēc attiecībā uz elektrisko nobīdes vektoru Gausa teorēma pilnībā saglabā savu nozīmi attiecībā uz nehomogēnu dielektrisku vidi.
Gausa teorēma elektrostatiskajam laukam dielektrikā : elektriskā nobīdes vektora plūsma caur patvaļīgu slēgtu virsmu ir vienāda ar šīs virsmas iekšpusē esošo lādiņu algebrisko summu.
(12.47)
Apskatīsim, kā mainās vektora E vērtība divu vides, piemēram, gaisa (ε 1) un ūdens (ε = 81) saskarnē. Lauka stiprums ūdenī strauji samazinās par 81 reizi. Šī vektora uzvedība E rada zināmas neērtības, aprēķinot laukus dažādās vidēs. Lai izvairītos no šīm neērtībām, tiek ieviests jauns vektors D– lauka indukcijas vai elektriskās nobīdes vektors. Vektoru savienojums D Un E izskatās kā
D = ε ε 0 E.
Acīmredzot punktveida lādiņa laukam elektriskā nobīde būs vienāda ar
Ir viegli redzēt, ka elektrisko pārvietojumu mēra C/m2, tas nav atkarīgs no īpašībām un ir grafiski attēlots ar spriegojuma līnijām līdzīgām līnijām.
Lauka līniju virziens raksturo lauka virzienu telpā (lauka līnijas, protams, neeksistē, tās tiek ieviestas ilustrācijas ērtībai) vai lauka intensitātes vektora virzienu. Izmantojot spriegojuma līnijas, varat raksturot ne tikai virzienu, bet arī lauka intensitātes lielumu. Lai to izdarītu, tika nolemts tos veikt ar noteiktu blīvumu, lai spriegojuma līniju skaits, kas caurdur vienības virsmu, kas ir perpendikulāra spriegojuma līnijām, būtu proporcionāls vektora modulim E(78. att.). Tad līniju skaits, kas iekļūst elementārajā apgabalā dS, kura normālā n veido leņķi α ar vektoru E, ir vienāds ar E dScos α = E n dS,
kur E n ir vektora komponents E normālā virzienā n. Vērtība dФ E = E n dS = E d S sauca spriedzes vektora plūsma caur vietu d S(d S= dS n).
Patvaļīgai slēgtai virsmai S vektora plūsma E caur šo virsmu ir vienāda
Līdzīgai izteiksmei ir elektriskā nobīdes vektora Ф D plūsma
.
Šī teorēma ļauj noteikt vektoru E un D plūsmu no jebkura lādiņu skaita. Ņemsim punktveida lādiņu Q un definēsim vektora plūsmu E caur sfērisku virsmu ar rādiusu r, kuras centrā tas atrodas.
Sfēriskai virsmai α = 0, cos α = 1, E n = E, S = 4 πr 2 un
Ф E = E · 4 πr 2 .
Aizstājot izteiksmi ar E, mēs iegūstam
Tādējādi no katra punkta lādiņa parādās F E vektora plūsma E vienāds ar Q/ε 0 . Vispārinot šo secinājumu patvaļīga skaita punktveida lādiņu vispārējam gadījumam, mēs sniedzam teorēmas formulējumu: vektora kopējā plūsma E caur patvaļīgas formas slēgtu virsmu ir skaitliski vienāds ar šīs virsmas iekšpusē esošo elektrisko lādiņu algebrisko summu, kas dalīta ar ε 0, t.i.
Elektriskā nobīdes vektora plūsmai D jūs varat iegūt līdzīgu formulu
indukcijas vektora plūsma caur slēgtu virsmu ir vienāda ar elektrisko lādiņu algebrisko summu, ko sedz šī virsma.
Ja ņemam slēgtu virsmu, kas neaptver lādiņu, tad katra līnija E Un Dšķērsos šo virsmu divas reizes - pie ieejas un izejas, tāpēc kopējā plūsma izrādās nulle. Šeit jāņem vērā ienākošo un izejošo līniju algebriskā summa.
Sfēriskai virsmai ar rādiusu R ir lādiņš Q, kas vienmērīgi sadalīts pa virsmu ar virsmas blīvumu σ
Ņemsim punktu A ārpus sfēras attālumā r no centra un garīgi uzzīmēsim simetriski lādētu sfēru ar rādiusu r (79. att.). Tās laukums ir S = 4 πr 2. Vektora E plūsma būs vienāda ar
Saskaņā ar Ostrogradska-Gausa teorēmu 
, tātad, 
ņemot vērā, ka Q = σ 4 πr 2, iegūstam 
Punktiem, kas atrodas uz sfēras virsmas (R = r)
D 
Punktiem, kas atrodas dobas sfēras iekšpusē (sfēras iekšpusē nav lādiņa), E = 0.
2
. Doba cilindriska virsma ar rādiusu R un garumu l uzlādēts ar nemainīgu virsmas lādiņa blīvumu 
(80. att.). Uzzīmēsim koaksiālu cilindrisku virsmu ar rādiusu r > R.
Plūsmas vektors E caur šo virsmu
Pēc Gausa teorēmas
Pielīdzinot iepriekšminēto vienādību labās puses, mēs iegūstam
.
Ja ir norādīts cilindra (vai tievā vītnes) lineārais lādiņa blīvums 
Tas
3. Bezgalīgu plakņu lauks ar virsmas lādiņa blīvumu σ (81. att.).
Apskatīsim bezgalīgas plaknes radīto lauku. No simetrijas apsvērumiem izriet, ka intensitātei jebkurā lauka punktā ir virziens, kas ir perpendikulārs plaknei.
Simetriskos punktos E būs vienāds pēc lieluma un pretējs virzienā.
Garīgi konstruēsim cilindra virsmu ar bāzi ΔS. Tad caur katru cilindra pamatni iztecēs plūsma
F E = E ΔS, un kopējā plūsma caur cilindrisko virsmu būs vienāda ar F E = 2E ΔS.
Virsmas iekšpusē ir lādiņš Q = σ · ΔS. Saskaņā ar Gausa teorēmu tai ir jābūt patiesai
kur 
Iegūtais rezultāts nav atkarīgs no izvēlētā cilindra augstuma. Tādējādi lauka stiprums E jebkurā attālumā ir vienāds.
Divām atšķirīgi lādētām plaknēm ar vienādu virsmas lādiņa blīvumu σ, pēc superpozīcijas principa ārpus telpas starp plaknēm lauka stiprums ir nulle E = 0, bet telpā starp plaknēm 
(82.a att.). Ja plaknes ir uzlādētas ar līdzīgiem lādiņiem ar vienādu virsmas lādiņa blīvumu, tiek novērota pretēja aina (82.b att.). Telpā starp plaknēm E = 0, un telpā ārpus plaknēm 
.
Vispārīgs formulējums: Elektriskā lauka intensitātes vektora plūsma caur jebkuru patvaļīgi izvēlētu slēgtu virsmu ir proporcionāla elektriskajam lādiņam, kas atrodas šīs virsmas iekšpusē.
SGSE sistēmā:
SI sistēmā:
ir elektriskā lauka intensitātes vektora plūsma caur slēgtu virsmu.
- kopējais lādiņš, kas atrodas tilpumā, kas ierobežo virsmu.
- elektriskā konstante.
Šī izteiksme atspoguļo Gausa teorēmu integrālā formā.
Diferenciālā formā Gausa teorēma atbilst vienam no Maksvela vienādojumiem un tiek izteikta šādi
SI sistēmā:
,
SGSE sistēmā:
Šeit ir tilpuma lādiņa blīvums (vides klātbūtnes gadījumā kopējais brīvo un saistīto lādiņu blīvums), un tas ir nabla operators.
Gausa teorēmai ir spēkā superpozīcijas princips, tas ir, intensitātes vektora plūsma caur virsmu nav atkarīga no lādiņa sadalījuma virsmas iekšienē.
Gausa teorēmas fiziskais pamats ir Kulona likums jeb, citiem vārdiem sakot, Gausa teorēma ir Kulona likuma integrāls formulējums.
Gausa teorēma par elektrisko indukciju (elektrisko nobīdi).
Vielas laukam Gausa elektrostatisko teorēmu var uzrakstīt citādi – caur elektriskā nobīdes vektora plūsmu (elektriskā indukcija). Šajā gadījumā teorēmas formulējums ir šāds: elektriskā nobīdes vektora plūsma caur slēgtu virsmu ir proporcionāla brīvajam elektriskajam lādiņam, kas atrodas šīs virsmas iekšpusē:
Ja ņemam vērā teorēmu par lauka intensitāti vielā, tad par lādiņu Q jāņem virsmas iekšpusē esošā brīvā lādiņa un dielektriķa polarizācijas (inducētā, saistītā) lādiņa summa:
,
Kur 
,
ir dielektriķa polarizācijas vektors.
Magnētiskās indukcijas vektora plūsma caur jebkuru slēgtu virsmu ir nulle:
.
Tas ir līdzvērtīgs faktam, ka dabā nav “magnētisko lādiņu” (monopolu), kas radītu magnētisko lauku, tāpat kā elektriskie lādiņi rada elektrisko lauku. Citiem vārdiem sakot, Gausa teorēma magnētiskajai indukcijai parāda, ka magnētiskais lauks ir virpulis.
Elektromagnētisko lauku aprēķināšanai izmanto šādus lielumus:
Tilpuma lādiņa blīvums (skatīt iepriekš).
Virsmas lādiņa blīvums
kur dS ir bezgalīgi mazs virsmas laukums.
Lineārais lādiņa blīvums
kur dl ir bezgalīgi maza segmenta garums.
Apskatīsim lauku, ko rada bezgalīgi vienmērīga uzlādēta plakne. Lai plaknes virsmas lādiņa blīvums ir vienāds un vienāds ar σ. Iedomāsimies cilindru ar ģenerātrijām, kas ir perpendikulāri plaknei, un bāzi ΔS, kas atrodas simetriski attiecībā pret plakni. Simetrijas dēļ. Sprieguma vektora plūsma ir vienāda ar . Izmantojot Gausa teorēmu, mēs iegūstam:
,
no kuriem
SSSE sistēmā
Ir svarīgi atzīmēt, ka, neskatoties uz tās universālumu un vispārīgumu, Gausa teorēmai integrāļa formā ir salīdzinoši ierobežots pielietojums integrāļa aprēķināšanas neērtību dēļ. Taču simetriskas problēmas gadījumā tās risinājums kļūst daudz vienkāršāks, nekā izmantojot superpozīcijas principu.
Elektrisko lādiņu mijiedarbības likumu - Kulona likumu - var formulēt dažādi, tā sauktās Gausa teorēmas veidā. Gausa teorēma iegūta Kulona likuma un superpozīcijas principa rezultātā. Pierādījums ir balstīts uz divu punktu lādiņu mijiedarbības spēka apgriezto proporcionalitāti attāluma starp tiem kvadrātam. Tāpēc Gausa teorēma ir piemērojama jebkuram fiziskajam laukam, kur apgrieztais kvadrāta likums un superpozīcijas princips attiecas, piemēram, uz gravitācijas lauku.
Rīsi. 9. Punkta lādiņa elektriskā lauka intensitātes līnijas, kas krusto slēgtu virsmu X
Lai formulētu Gausa teorēmu, atgriezīsimies pie stacionāra punktveida lādiņa elektriskā lauka līniju attēla. Viena punktveida lādiņa lauka līnijas ir simetriski izvietotas radiālas taisnes (7. att.). Jūs varat uzzīmēt neierobežotu skaitu šādu līniju. Apzīmēsim to kopējo skaitu ar Tad lauka līniju blīvums attālumā no lādiņa, t.i., līniju skaits, kas šķērso rādiusa sfēras vienības virsmu, ir vienāds ar Salīdzinot šo attiecību ar lauka intensitātes izteiksmi punktu lādiņš (4), mēs redzam, ka līniju blīvums ir proporcionāls lauka intensitātei. Mēs varam šos lielumus padarīt skaitliski vienādus, pareizi izvēloties kopējo lauka līniju skaitu N:
Tādējādi jebkura rādiusa sfēras virsma, kas aptver punktveida lādiņu, krustojas ar tādu pašu spēka līniju skaitu. Tas nozīmē, ka spēka līnijas ir nepārtrauktas: intervālā starp jebkurām divām dažāda rādiusa koncentriskām sfērām neviena no līnijām netiek pārrauta un netiek pievienotas jaunas. Tā kā lauka līnijas ir nepārtrauktas, tikpat daudz lauka līniju šķērso jebkuru slēgtu virsmu (9. att.), kas pārklāj lādiņu.
Spēka līnijām ir virziens. Pozitīva lādiņa gadījumā tie iznāk no slēgtās virsmas, kas ieskauj lādiņu, kā parādīts attēlā. 9. Negatīvā lādiņa gadījumā tie nonāk virsmas iekšpusē. Ja izejošo līniju skaits tiek uzskatīts par pozitīvu un ienākošo līniju skaits ir negatīvs, tad formulā (8) varam izlaist lādiņa moduļa zīmi un ierakstīt to formā
Spriedzes plūsma. Tagad ieviesīsim jēdzienu lauka intensitātes vektora plūsma caur virsmu. Patvaļīgu lauku var mentāli sadalīt mazos apgabalos, kuros intensitāte mainās pēc lieluma un virziena tik maz, ka šajā jomā lauku var uzskatīt par viendabīgu. Katrā šādā zonā spēka līnijas ir paralēlas taisnas līnijas, un tām ir nemainīgs blīvums.
Rīsi. 10. Noteikt lauka intensitātes vektora plūsmu cauri vietai
Apskatīsim, cik spēka līniju iespiežas nelielā apgabalā, uz kuru normālās virziens veido leņķi a ar spriegojuma līniju virzienu (10. att.). Ļaut būt projekcijai plaknē, kas ir perpendikulāra spēka līnijām. Tā kā krustojošo līniju skaits ir vienāds un līniju blīvums saskaņā ar pieņemto nosacījumu ir vienāds ar lauka intensitātes moduli E, tad
Vērtība a ir vektora E projekcija normas virzienā uz vietu
Tāpēc elektropārvades līniju skaits, kas šķērso teritoriju, ir vienāds ar
Produktu sauc par lauka intensitātes plūsmu caur virsmu. Formula (10) parāda, ka vektora E plūsma caur virsmu ir vienāda ar lauka līniju skaitu, kas šķērso šo virsmu. Ņemiet vērā, ka intensitātes vektora plūsma, tāpat kā lauka līniju skaits, kas iet caur virsmu, ir skalārs.
Rīsi. 11. Spriegojuma vektora E plūsma caur vietu
Plūsmas atkarība no vietas orientācijas attiecībā pret spēka līnijām ir parādīta attēlā.
Lauka intensitātes plūsma caur patvaļīgu virsmu ir plūsmu summa caur elementārajām zonām, kurās šo virsmu var sadalīt. Izmantojot sakarības (9) un (10), var apgalvot, ka punktveida lādiņa lauka intensitātes plūsma caur jebkuru slēgtu virsmu 2, kas aptver lādiņu (sk. 9. att.), kā lauka līniju skaits, kas rodas no šī virsma ir vienāda ar. Ja lādiņš virsmas iekšpusē ir negatīvs, tad lauka līnijas ieiet šīs virsmas iekšpusē un arī ar lādiņu saistītā lauka intensitātes vektora plūsma ir negatīva.
Ja slēgtas virsmas iekšpusē ir vairāki lādiņi, tad saskaņā ar superpozīcijas principu to lauka intensitātes plūsmas summējas. Kopējā plūsma būs vienāda ar kur līdz ir jāsaprot kā visu virsmas iekšpusē esošo lādiņu algebriskā summa.
Ja slēgtas virsmas iekšpusē nav elektrisko lādiņu vai to algebriskā summa ir nulle, tad kopējā lauka intensitātes plūsma caur šo virsmu ir nulle: tik daudz spēka līniju ieiet tilpumā, ko ierobežo virsma, tikpat daudz iziet.
Tagad mēs beidzot varam formulēt Gausa teorēmu: elektriskā lauka intensitātes vektora E plūsma vakuumā caur jebkuru slēgtu virsmu ir proporcionāla kopējam lādiņam, kas atrodas šīs virsmas iekšpusē. Matemātiski Gausa teorēmu izsaka ar to pašu formulu (9), kur ar ir domāta lādiņu algebriskā summa. Absolūtā elektrostatiskā stāvoklī
SGSE vienību sistēmā koeficients un Gausa teorēma ir ierakstīti formā
SI un sprieguma plūsmu caur slēgtu virsmu izsaka ar formulu
Gausa teorēma tiek plaši izmantota elektrostatikā. Dažos gadījumos to var izmantot, lai viegli aprēķinātu laukus, ko rada simetriski izvietoti lādiņi.
Simetrisko avotu lauki. Izmantosim Gausa teorēmu, lai aprēķinātu elektriskā lauka intensitāti, kas vienmērīgi uzlādēts virs rādiusa lodes virsmas. Noteiktības labad mēs pieņemsim, ka tā lādiņš ir pozitīvs. Lādiņu sadalījumam, kas rada lauku, ir sfēriska simetrija. Tāpēc arī laukam ir tāda pati simetrija. Šāda lauka spēka līnijas ir vērstas pa rādiusiem, un intensitātes modulis ir vienāds visos punktos, kas atrodas vienādā attālumā no lodes centra.
Lai noteiktu lauka intensitāti attālumā no lodītes centra, uzzīmēsim sfērisku virsmu ar rādiusu, kas ir koncentrisks ar lodi, jo visos šīs sfēras punktos lauka stiprums ir vērsts perpendikulāri tās virsmai un ir absolūtā vērtībā vienāda, intensitātes plūsma ir vienkārši vienāda ar lauka intensitātes un sfēras virsmas laukuma reizinājumu:
Bet šo daudzumu var izteikt arī, izmantojot Gausa teorēmu. Ja mūs interesē laukums ārpus bumbas, t.i., tad, piemēram, SI un, salīdzinot ar (13), atrodam
Acīmredzot SGSE vienību sistēmā
Tādējādi ārpus bumbiņas lauka stiprums ir tāds pats kā punktveida lādiņam, kas novietots bumbiņas centrā. Ja mūs interesē laukums bumbas iekšienē, t.i., tā kā viss lādiņš, kas sadalīts pa bumbiņas virsmu, atrodas ārpus sfēras, mēs esam garīgi uzzīmējuši. Tāpēc bumbas iekšpusē nav lauka:
Līdzīgi, izmantojot Gausa teorēmu, var aprēķināt elektrostatisko lauku, ko rada bezgalīgi lādēts
plakne ar nemainīgu blīvumu visos plaknes punktos. Simetrijas dēļ mēs varam pieņemt, ka spēka līnijas ir perpendikulāras plaknei, ir vērstas no tās abos virzienos un tām ir vienāds blīvums visur. Patiešām, ja lauka līniju blīvums dažādos punktos būtu atšķirīgs, tad lādētas plaknes pārvietošana pa sevi novestu pie lauka izmaiņām šajos punktos, kas ir pretrunā ar sistēmas simetriju - šāda nobīde nedrīkst mainīt lauku. Citiem vārdiem sakot, bezgalīgas vienmērīgi uzlādētas plaknes lauks ir vienmērīgs.
Kā slēgtu virsmu Gausa teorēmas piemērošanai izvēlamies cilindra virsmu, kas konstruēta šādi: cilindra ģenerators ir paralēls spēka līnijām, un bāzēm ir laukumi, kas ir paralēli lādētajai plaknei un atrodas tās pretējās pusēs. (12. att.). Lauka intensitātes plūsma caur sānu virsmu ir nulle, tāpēc kopējā plūsma caur slēgto virsmu ir vienāda ar plūsmu summu caur cilindra pamatnēm:
Rīsi. 12. Ceļā uz vienmērīgi lādētas plaknes lauka intensitātes aprēķināšanu
Saskaņā ar Gausa teorēmu to pašu plūsmu nosaka tās plaknes daļas lādiņš, kas atrodas cilindra iekšpusē, un SI tas ir vienāds ar Salīdzinot šīs plūsmas izteiksmes, mēs atrodam
SGSE sistēmā vienmērīgi uzlādētas bezgalīgas plaknes lauka intensitāti nosaka formula
Vienmērīgi uzlādētai galīgu izmēru plāksnei iegūtās izteiksmes ir aptuveni derīgas apgabalā, kas atrodas pietiekami tālu no plāksnes malām un nav pārāk tālu no tās virsmas. Blakus plāksnes malām lauks vairs nebūs viendabīgs un tā lauka līnijas būs saliektas. Ļoti lielos attālumos, salīdzinot ar plāksnes izmēru, lauks samazinās līdz ar attālumu tāpat kā punktveida lādiņa lauks.
Citi lauku piemēri, ko rada simetriski sadalīti avoti, ietver vienmērīgi lādētu lauku bezgalīgas taisnas vītnes garumā, vienmērīgi lādēta bezgalīga apļveida cilindra lauku, lodītes lauku,
vienmērīgi uzlādēts visā tilpumā utt. Gausa teorēma ļauj viegli aprēķināt lauka intensitāti visos šajos gadījumos.
Gausa teorēma sniedz sakarību starp lauku un tā avotiem, kas savā ziņā ir pretēja Kulona likuma noteiktajam, kas ļauj noteikt elektrisko lauku no dotajiem lādiņiem. Izmantojot Gausa teorēmu, jūs varat noteikt kopējo lādiņu jebkurā telpas reģionā, kurā ir zināms elektriskā lauka sadalījums.
Kāda ir atšķirība starp liela un maza darbības attāluma darbības jēdzieniem, aprakstot elektrisko lādiņu mijiedarbību? Cik lielā mērā šos jēdzienus var attiecināt uz gravitācijas mijiedarbību?
Kas ir elektriskā lauka stiprums? Ko tie nozīmē, ja to sauc par elektriskā lauka raksturīgo spēku?
Kā pēc lauka līniju modeļa var spriest par lauka intensitātes virzienu un lielumu noteiktā punktā?
Vai elektriskā lauka līnijas var krustoties? Norādiet savas atbildes iemeslus.
Uzzīmējiet divu lādiņu elektrostatiskā lauka līniju kvalitatīvu attēlu tā, lai .
Elektriskā lauka intensitātes plūsmu caur slēgtu virsmu izsaka ar dažādām formulām (11) un (12) GSE un SI vienībās. Kā to var saskaņot ar plūsmas ģeometrisko nozīmi, ko nosaka spēku līniju skaits, kas šķērso virsmu?
Kā izmantot Gausa teorēmu, lai atrastu elektriskā lauka intensitāti, kad lādiņi, kas to rada, ir simetriski sadalīti?
Kā pielietot formulas (14) un (15), lai aprēķinātu lauka intensitāti lodei ar negatīvu lādiņu?
Gausa teorēma un fiziskās telpas ģeometrija. Apskatīsim Gausa teorēmas pierādījumu no nedaudz cita skatu punkta. Atgriezīsimies pie formulas (7), no kuras tika secināts, ka caur jebkuru lādiņu ieskaujošu sfērisku virsmu iet vienāds spēka līniju skaits. Šāds secinājums ir saistīts ar faktu, ka abu vienlīdzības pušu saucēji ir samazinājušies.
Labajā pusē tas radās tāpēc, ka lādiņu mijiedarbības spēks, kas aprakstīts Kulona likumā, ir apgriezti proporcionāls attāluma starp lādiņiem kvadrātam. Kreisajā pusē izskats ir saistīts ar ģeometriju: sfēras virsmas laukums ir proporcionāls tās rādiusa kvadrātam.
Virsmas laukuma proporcionalitāte lineāro izmēru kvadrātam ir Eiklīda ģeometrijas pazīme trīsdimensiju telpā. Patiešām, laukumu proporcionalitāte tieši lineāro izmēru kvadrātiem, nevis kādai citai vesela skaitļa pakāpei, ir raksturīga telpai
trīs dimensijas. Fakts, ka šis eksponents ir precīzi vienāds ar divi un neatšķiras no diviem, pat ar niecīgu daudzumu, norāda, ka šī trīsdimensiju telpa nav izliekta, t.i., ka tās ģeometrija ir tieši Eiklīda.
Tādējādi Gausa teorēma ir fiziskās telpas īpašību izpausme elektrisko lādiņu mijiedarbības pamatlikumā.
Ideju par ciešu saikni starp fizikas pamatlikumiem un kosmosa īpašībām izteica daudzi izcili prāti ilgi pirms šo likumu noteikšanas. Tā I. Kants trīs gadu desmitus pirms Kulona likuma atklāšanas rakstīja par telpas īpašībām: “Trīsdimensionalitāte acīmredzot rodas tāpēc, ka esošās pasaules vielas iedarbojas viena uz otru tā, ka darbības spēks ir apgriezti proporcionāls attāluma kvadrātam.
Kulona likums un Gausa teorēma faktiski atspoguļo vienu un to pašu dabas likumu, kas izteikts dažādās formās. Kulona likums atspoguļo liela attāluma darbības jēdzienu, savukārt Gausa teorēma nāk no idejas par spēka lauku, kas aizpilda telpu, t.i., no neliela attāluma darbības jēdziena. Elektrostatikā spēka lauka avots ir lādiņš, un ar avotu saistītā lauka īpašība - intensitātes plūsma - nevar mainīties tukšā vietā, kur nav citu lādiņu. Tā kā plūsmu vizuāli var iedomāties kā lauka līniju kopumu, plūsmas nemainīgums izpaužas šo līniju nepārtrauktībā.
Gausa teorēma, kas balstās uz mijiedarbības apgriezto proporcionalitāti attāluma kvadrātam un superpozīcijas principu (mijiedarbības saskaitāmība), ir piemērojama jebkuram fiziskajam laukam, kurā darbojas apgrieztā kvadrāta likums. Jo īpaši tas attiecas arī uz gravitācijas lauku. Ir skaidrs, ka tā nav tikai sakritība, bet gan fakta atspoguļojums, ka trīsdimensiju Eiklīda fiziskajā telpā notiek gan elektriskā, gan gravitācijas mijiedarbība.
Uz kādu elektrisko lādiņu mijiedarbības likuma pazīmi balstās Gausa teorēma?
Pierādiet, pamatojoties uz Gausa teorēmu, ka punktveida lādiņa elektriskā lauka stiprums ir apgriezti proporcionāls attāluma kvadrātam. Kādas telpas simetrijas īpašības tiek izmantotas šajā pierādījumā?
Kā fiziskās telpas ģeometrija tiek atspoguļota Kulona likumā un Gausa teorēmā? Kāda šo likumu iezīme norāda uz ģeometrijas eiklīda raksturu un fiziskās telpas trīsdimensionalitāti?
Elektriskā lauka intensitātes vektora plūsma.Ļaujiet nelielai platformai DS(1.2. att.) krusto elektriskā lauka līnijas, kuru virziens ir ar normālu n
leņķis pret šo vietni a. Pieņemot, ka spriedzes vektors E
vietnes ietvaros nemainās DS, definēsim spriedzes vektora plūsma caur platformu DS Kā
DFE =E DS cos a.(1.3)
Tā kā elektropārvades līniju blīvums ir vienāds ar sprieguma skaitlisko vērtību E, tad apgabalu šķērsojošo elektropārvades līniju skaitsDS, būs skaitliski vienāds ar plūsmas vērtībuDFEcaur virsmuDS. Izteiksmes (1.3) labo pusi attēlosim kā vektoru skalāro reizinājumu E UnDS= nDS, Kur n– virsmai normāls vienības vektorsDS. Elementāram laukumam d S izteiksme (1.3) iegūst formu
dFE = E d S
Visā vietnē S spriegojuma vektora plūsmu aprēķina kā integrāli virs virsmas
Elektriskās indukcijas vektora plūsma. Elektriskās indukcijas vektora plūsmu nosaka līdzīgi kā elektriskā lauka intensitātes vektora plūsmu
dFD = D d S
Plūsmu definīcijās ir zināmas neskaidrības, jo katrai virsmai ir divi normāli pretējā virzienā. Slēgtai virsmai ārējā norma tiek uzskatīta par pozitīvu.
Gausa teorēma. Apsvērsim punkts pozitīvs elektriskais lādiņš q, kas atrodas patvaļīgas slēgtas virsmas iekšpusē S(1.3. att.). Indukcijas vektora plūsma caur virsmas elementu d S vienāds 
(1.4)
Komponents d S D = d S cos avirsmas elements d S indukcijas vektora virzienāDuzskatīts par rādiusa sfēriskas virsmas elementu r, kura centrā atrodas lādiņšq.
|
|
Ņemot vērā, ka d S D/ r 2 ir vienāds elementārs ķermenis stūris dw, zem kura no vietas, kur atrodas lādiņšqredzams virsmas elements d S, mēs pārveidojam izteiksmi (1.4) formā d FD = q d w / 4 lpp, no kurienes pēc integrācijas pa visu lādiņu aptverošo telpu, t.i., telpiskā leņķī no 0 līdz 4lpp, saņemam
FD = q.
Elektriskās indukcijas vektora plūsma caur patvaļīgas formas slēgtu virsmu ir vienāda ar lādiņu, kas atrodas šīs virsmas iekšpusē.
|
|
Ja patvaļīgi slēgta virsma S nesedz punktu maksu q(1.4. att.), tad, izveidojot konisku virsmu ar virsotni vietā, kur atrodas lādiņš, sadalām virsmu S divās daļās: S 1 un S 2. Plūsmas vektors D caur virsmu S mēs atrodam kā plūsmu caur virsmām algebrisko summu S 1 un S 2:
.
Abas virsmas no vietas, kur atrodas lādiņš q redzams no viena cieta leņķa w. Tāpēc plūsmas ir vienādas
Tā kā, aprēķinot plūsmu caur slēgtu virsmu, mēs izmantojam ārējais normāls uz virsmu, ir viegli redzēt, ka plūsma F 1D < 0, тогда как поток Ф2D> 0. Kopējā plūsma Ф D= 0. Tas nozīmē, ka elektriskās indukcijas vektora plūsma caur patvaļīgas formas slēgtu virsmu nav atkarīga no lādiņiem, kas atrodas ārpus šīs virsmas.
Ja elektrisko lauku rada punktveida lādiņu sistēma q 1 , q 2 ,¼ , qn, ko sedz slēgta virsma S, tad saskaņā ar superpozīcijas principu indukcijas vektora plūsmu caur šo virsmu nosaka kā katras lādiņas radīto plūsmu summu. Elektriskās indukcijas vektora plūsma caur patvaļīgas formas slēgtu virsmu ir vienāda ar šīs virsmas aptverto lādiņu algebrisko summu:
Jāpiebilst, ka maksas qi nav jābūt punktveida, nepieciešams nosacījums ir tas, ka uzlādētā vieta ir pilnībā jānosedz ar virsmu. Ja telpā, ko ierobežo slēgta virsma S, elektriskais lādiņš tiek sadalīts nepārtraukti, tad jāpieņem, ka katrs elementārais tilpums d V ir maksa. Šajā gadījumā izteiksmes labajā pusē (1.5.) lādiņu algebriskā summēšana tiek aizstāta ar integrāciju pa tilpumu, kas atrodas slēgtas virsmas iekšpusē. S:
(1.6)
Izteiksme (1.6) ir visvispārīgākais formulējums Gausa teorēma: elektriskās indukcijas vektora plūsma caur patvaļīgas formas slēgtu virsmu ir vienāda ar kopējo lādiņu tilpumā, ko sedz šī virsma, un nav atkarīga no lādiņiem, kas atrodas ārpus aplūkojamās virsmas. Gausa teorēmu var uzrakstīt arī elektriskā lauka intensitātes vektora plūsmai:
.
No Gausa teorēmas izriet svarīga elektriskā lauka īpašība: spēka līnijas sākas vai beidzas tikai uz elektriskiem lādiņiem vai iet līdz bezgalībai. Vēlreiz uzsvērsim, ka, neskatoties uz to, ka elektriskā lauka stiprums E un elektriskā indukcija D ir atkarīgas no visu lādiņu atrašanās vietas telpā, šo vektoru plūsmas caur patvaļīgu slēgtu virsmu S tiek noteikti tikai tie lādiņi, kas atrodas virsmas iekšpusē S.
Gausa teorēmas diferenciālforma. Pieraksti to neatņemama forma Gausa teorēma raksturo attiecības starp elektriskā lauka avotiem (lādiņiem) un elektriskā lauka raksturlielumiem (spriegums vai indukcija) tilpumā. V patvaļīga, bet pietiekama integrālu attiecību veidošanai, lielums. Dalot skaļumu V maziem apjomiem V i, mēs iegūstam izteiksmi
spēkā gan kopumā, gan katram termiņam. Pārveidosim iegūto izteiksmi šādi:
(1.7)
un apsveriet robežu, līdz kurai izteiksme vienādības labajā pusē, kas ietverta cirtainajās iekavās, tiecas uz neierobežotu skaļuma dalījumu V. Matemātikā šo robežu sauc diverģence vektors (šajā gadījumā elektriskās indukcijas vektors D):
Vektoru novirze D Dekarta koordinātēs:
Tādējādi izteiksme (1.7) tiek pārveidota formā:
.
Ņemot vērā, ka ar neierobežotu dalīšanu pēdējā izteiksmes kreisajā pusē esošā summa nonāk tilpuma integrālī, iegūstam
Rezultātā iegūtā attiecība ir jāapmierina jebkuram patvaļīgi izvēlētam apjomam V. Tas ir iespējams tikai tad, ja integrandu vērtības katrā telpas punktā ir vienādas. Tāpēc vektora diverģence D ir saistīts ar lādiņa blīvumu tajā pašā punktā ar vienādību
vai elektrostatiskā lauka intensitātes vektoram
Šīs vienādības izsaka Gausa teorēmu diferenciālā forma.
Ņemiet vērā, ka pārejas procesā uz Gausa teorēmas diferenciālo formu tiek iegūta sakarība, kurai ir vispārīgs raksturs:
.
Izteiksme tiek saukta par Gausa-Ostrogradska formulu un savieno vektora diverģences tilpuma integrāli ar šī vektora plūsmu caur slēgtu virsmu, kas ierobežo tilpumu.
Jautājumi
1) Kāda ir Gausa teorēmas fiziskā nozīme elektrostatiskajam laukam vakuumā
2) Kuba centrā ir punktveida lādiņšq. Kāda ir vektora plūsma? E:
a) pa visu kuba virsmu; b) caur vienu no kuba skaldnēm.
Vai atbildes mainīsies, ja:
a) lādiņš atrodas nevis kuba centrā, bet gan tā iekšpusē ; b) lādiņš atrodas ārpus kuba.
3) Kas ir lineārie, virsmas, tilpuma lādiņu blīvumi.
4) Norādiet saistību starp tilpuma un virsmas lādiņu blīvumu.
5) Vai lauks ārpus pretēji un vienmērīgi lādētām paralēlām bezgalīgām plaknēm var atšķirties no nulles?
6) Slēgtas virsmas iekšpusē ir ievietots elektriskais dipols. Kāda ir plūsma caur šo virsmu
