आपण मल्टी-चॅनल रांग प्रणाली (एकूण n चॅनेल) विचारात घेऊ या, जी λ तीव्रतेसह विनंत्या प्राप्त करते आणि μ तीव्रतेसह सर्व्ह केली जाते. किमान एक चॅनेल विनामूल्य असल्यास सिस्टममध्ये येणारी विनंती सेवा दिली जाते. सर्व चॅनेल व्यस्त असल्यास, सिस्टममध्ये प्राप्त झालेली पुढील विनंती नाकारली जाते आणि QS सोडते. व्यापलेल्या चॅनेलच्या संख्येनुसार सिस्टीम स्टेटस क्रमांक देऊ:
तांदूळ. ७.२४
आकृती 6.24 राज्य आलेख दाखवते ज्यामध्ये एसi- चॅनेल क्रमांक; λ - प्राप्त झालेल्या विनंत्यांची तीव्रता; μ
- त्यानुसार, सेवा विनंतीची तीव्रता. विनंत्या सतत तीव्रतेसह रांगेत असलेल्या प्रणालीमध्ये प्रवेश करतात आणि हळूहळू एकामागून एक चॅनेल व्यापतात; जेव्हा सर्व चॅनेल व्यस्त असतात, तेव्हा QS वर येणारी पुढील विनंती नाकारली जाईल आणि सिस्टम सोडली जाईल.
राज्य आलेखाच्या बाजूने डावीकडून उजवीकडे आणि उजवीकडून डावीकडे दोन्हीकडे हलवताना घटना प्रवाहाची तीव्रता निश्चित करूया जी प्रणाली एका राज्यातून दुसऱ्या राज्यात हस्तांतरित करते.
उदाहरणार्थ, व्यवस्था राज्यात असू द्या एस 1, म्हणजे एक चॅनेल व्यस्त आहे, कारण त्याच्या इनपुटवर विनंती आहे. विनंतीचे सर्व्हिसिंग पूर्ण होताच, सिस्टम राज्यात जाईल एस 0 .
उदाहरणार्थ, जर दोन चॅनेल व्यस्त असतील, तर सेवा प्रवाह जो राज्यातून सिस्टम हस्तांतरित करतो एसराज्यात 2 एस 1 दुप्पट तीव्र असेल: 2-μ; त्यानुसार, व्यस्त असल्यास kचॅनेल, तीव्रता k-μ आहे.
देखभाल प्रक्रिया ही मृत्यू आणि पुनरुत्पादनाची प्रक्रिया आहे. या विशिष्ट प्रकरणासाठी कोल्मोगोरोव्ह समीकरणांचे खालील स्वरूप असेल:
(7.25)
समीकरणे (7.25) म्हणतात एर्लांग समीकरणे
.
राज्यांची संभाव्यता मूल्ये शोधण्यासाठी आर 0 , आर 1 , …, आरn, प्रारंभिक परिस्थिती निर्धारित करणे आवश्यक आहे:
– आर 0 (0) = 1, म्हणजे सिस्टमच्या इनपुटवर विनंती आहे;
– आर 1 (0) = आर 2 (0) = … = आरn(0) = 0, म्हणजे वेळेच्या सुरुवातीच्या क्षणी सिस्टम विनामूल्य आहे.
भिन्न समीकरणे (7.25) ची प्रणाली एकत्रित केल्यावर, आम्ही राज्य संभाव्यतेची मूल्ये प्राप्त करतो आर 0 (ट), आर 1 (ट), … आरn(ट).
परंतु आम्हाला राज्यांच्या संभाव्यता मर्यादित करण्यात जास्त रस आहे. t → ∞ आणि मृत्यू आणि पुनरुत्पादनाच्या प्रक्रियेचा विचार करताना मिळालेल्या सूत्राचा वापर करून, आम्ही समीकरणांच्या प्रणालीचे समाधान मिळवतो (7.25):
(7.26)
या सूत्रांमध्ये, तीव्रतेचे प्रमाण λ / μ
अनुप्रयोगांच्या प्रवाहासाठी नियुक्त करणे सोयीचे आहे ρ
.या प्रमाणाला म्हणतात अर्जांच्या प्रवाहाची तीव्रता दिली,म्हणजेच, एका अर्जाची सर्व्हिसिंग करताना सरासरी वेळेत QS वर आलेल्या अर्जांची सरासरी संख्या.
तयार केलेली नोटेशन लक्षात घेऊन, समीकरणांची प्रणाली (7.26) खालील फॉर्म घेईल:
(7.27)
सीमांत संभाव्यता मोजण्यासाठी या सूत्रांना म्हणतात एरलांग सूत्रे
.
QS स्थितींच्या सर्व संभाव्यता जाणून घेतल्यावर, आम्हाला QS कार्यक्षमतेची वैशिष्ट्ये, म्हणजे परिपूर्ण थ्रूपुट सापडेल. ए, सापेक्ष थ्रूपुट प्रआणि अयशस्वी होण्याची शक्यता आरउघडा
सिस्टीमद्वारे प्राप्त झालेला अर्ज सर्व चॅनेल व्यस्त आढळल्यास तो नाकारला जाईल:
.
सेवेसाठी अर्ज स्वीकारला जाण्याची शक्यता:
प्र = 1 – आरउघडा
कुठे प्र- सिस्टमद्वारे सर्व्हिस केलेल्या प्राप्त अर्जांचा सरासरी हिस्सा, किंवा प्रत्येक युनिट वेळेच्या QS द्वारे सर्व्ह केलेल्या अनुप्रयोगांची सरासरी संख्या, या वेळी प्राप्त झालेल्या अर्जांच्या सरासरी संख्येने भागून:
A=λ·Q=λ·(1-P उघडे)
याव्यतिरिक्त, अपयशांसह QS चे सर्वात महत्वाचे वैशिष्ट्य आहे व्यस्त चॅनेलची सरासरी संख्या. IN n- चॅनल QS अपयशांसह, ही संख्या QS मधील अनुप्रयोगांच्या सरासरी संख्येशी एकरूप आहे.
विनंत्यांची सरासरी संख्या k ही स्थिती P 0, P 1, ..., P n च्या संभाव्यतेद्वारे थेट मोजली जाऊ शकते:
,
म्हणजे आम्हाला एका वेगळ्या यादृच्छिक चलाची गणितीय अपेक्षा आढळते जी 0 ते मूल्य घेते nसंभाव्यतेसह आर 0 , आर 1 , …, आरn.
QS च्या परिपूर्ण क्षमतेद्वारे k चे मूल्य व्यक्त करणे आणखी सोपे आहे, उदा. A. मूल्य A हे वेळेच्या प्रति युनिट सिस्टमद्वारे सर्व्हिस केलेल्या अनुप्रयोगांची सरासरी संख्या आहे. एक व्यस्त चॅनेल प्रति युनिट वेळेच्या μ विनंत्या, त्यानंतर व्यस्त चॅनेलची सरासरी संख्या देते
समीकरण प्रणाली
पॉसॉन प्रवाहांसाठी यादृच्छिक संख्येच्या सर्व्हिसिंग फ्लोसाठी अपयशांसह QS; आलेख, समीकरणांची प्रणाली.
चला QS चे वेक्टर म्हणून प्रतिनिधित्व करू, कुठे k मी- सिस्टममधील अनुप्रयोगांची संख्या, ज्यापैकी प्रत्येक सेवा दिली जाते मीउपकरणे; एल= qकमाल - qकिमान +1 - इनपुट प्रवाहांची संख्या.
सेवेसाठी विनंती स्वीकारल्यास आणि सिस्टम तीव्रतेच्या स्थितीत प्रवेश करत असल्यास λ मी.
विनंत्यांपैकी एकाची सेवा पूर्ण झाल्यावर, सिस्टम अशा स्थितीत जाईल ज्यामध्ये संबंधित समन्वयाचे मूल्य राज्यापेक्षा एक कमी असेल , = , म्हणजे. उलट संक्रमण होईल.
साठी वेक्टर QS मॉडेलचे उदाहरण n = 3, एल = 3, qमि = १, qकमाल = ३, पी(मी) = 1/3, λ Σ = λ, उपकरण देखभालीची तीव्रता – μ.
प्लॉट केलेल्या संक्रमण तीव्रतेसह राज्य आलेख वापरून, रेखीय बीजगणितीय समीकरणांची एक प्रणाली संकलित केली जाते. या समीकरणांच्या सोल्युशनमधून संभाव्यता शोधल्या जातात आर(), ज्याद्वारे QS ची वैशिष्ट्ये निर्धारित केली जातात.
Poisson प्रवाहासाठी अनंत रांगेसह QS. आलेख, समीकरणांची प्रणाली, गणना केलेले संबंध.
सिस्टम आलेख
समीकरण प्रणाली
कुठे n- सेवा चॅनेलची संख्या, l- परस्पर सहाय्यक चॅनेलची संख्या
अनियंत्रित प्रवाहासाठी अमर्याद रांग आणि आंशिक परस्पर सहाय्यासह एक QS. आलेख, समीकरणांची प्रणाली, गणना केलेले संबंध.
सिस्टम आलेख
समीकरण प्रणाली
–λ आर 0 + nμ आर 1 =0,
.………………
–(λ + nμ) पी k+ λ पी k –1 + nμ पी k +1 =0 (k = 1,2, ... , n–1),
……………....
-(λ+ nμ) पी एन+ λ पी एन –1 + nμ Р n+1=0,
……………….
-(λ+ nμ) Pn+j+ λ Р n+j –1 + nμ Р n+j+1=0, j=(1,2,….,∞)
अनियंत्रित थ्रेडसाठी अनंत रांग आणि संपूर्ण परस्पर सहाय्य असलेली रांग. आलेख, समीकरणांची प्रणाली, गणना केलेले संबंध.
सिस्टम आलेख
|
समीकरण प्रणाली
पॉसॉन प्रवाहासाठी मर्यादित रांगेसह एक QS. आलेख, समीकरणांची प्रणाली, गणना केलेले संबंध.
सिस्टम आलेख
समीकरण प्रणाली
गणना गुणोत्तर:
,
UDC 519.248:656.71
विना-स्थिर प्रवाह आणि चॅनेल दरम्यान आंशिक परस्पर सहाय्यासह रांग प्रणालीचे मॉडेल
© 2011 V. A. Romanenko
समारा स्टेट एरोस्पेस युनिव्हर्सिटीचे नाव ॲकॅडेमिशियन एसपी कोरोलेव्ह (राष्ट्रीय संशोधन विद्यापीठ) यांच्या नावावर आहे.
नॉन-स्टेशनरी फ्लोसह मल्टी-चॅनल रांग प्रणालीचे डायनॅमिक मॉडेल, मर्यादित लांबीच्या रांगेत प्रतीक्षा करणे आणि चॅनेलची आंशिक परस्पर सहाय्य, दोन चॅनेलद्वारे विनंती एकाचवेळी सर्व्हिसिंगची शक्यता व्यक्त केली जाते, वर्णन केले आहे. सिस्टमच्या मुख्य संभाव्य-वेळ वैशिष्ट्यांसाठी अभिव्यक्ती दिली आहेत. विचाराधीन प्रणालीचे उदाहरण म्हणून हब विमानतळाच्या कामकाजाचे मॉडेलिंगचे परिणाम वर्णन केले आहेत.
रांग प्रणाली, स्थिर नसलेला प्रवाह, चॅनेल दरम्यान परस्पर सहाय्य, हब विमानतळ.
परिचय
आम्ही मर्यादित लांबीच्या रांगेत प्रतीक्षा करून मल्टी-चॅनेल रांगेत प्रणाली (QS) विचारात घेतो. विचाराधीन QS चे वैशिष्ट्य म्हणजे चॅनेलमधील आंशिक परस्पर सहाय्य, एका विनंतीसाठी दोन चॅनेल एकाच वेळी वापरण्याची शक्यता व्यक्त केली जाते. चॅनेलच्या प्रयत्नांना एकत्रित केल्याने सामान्यतः सरासरी सेवा वेळेत घट होते. असे गृहीत धरले जाते की QS ला अर्जांचा स्थिर नसलेला पॉसॉन प्रवाह प्राप्त होतो. अर्ज सर्व्हिसिंगचा कालावधी वेळेवर अवलंबून असतो.
सूचीबद्ध वैशिष्ट्ये असलेल्या QS चे एक सामान्य उदाहरण म्हणजे विमानतळ वाहतूक सेवा प्रणाली. एका उड्डाणाची सेवा करण्यासाठी अनेक (सामान्यतः दोन) सुविधांचा (चेक-इन काउंटर, विमान इंधन टँकर, विशेष वाहने इ.) एकाच वेळी वापर मोठ्या विमानांच्या (AC) विमानतळ सर्व्हिसिंगच्या तांत्रिक वेळापत्रकाद्वारे प्रदान केला जातो. त्याच वेळी, गुणवत्ता सुधारण्याची आणि भू-वाहतूक सेवांचा कालावधी कमी करण्याची गरज, जे विशेषतः मोठ्या विमानतळांसाठी संबंधित आहे, या वस्तुस्थितीकडे नेत आहे की ऑपरेशन्सचा वाटा एकाने नव्हे तर अनेक (दोन) मार्गांनी केला जातो. वाढत आहे
विमानतळाचे प्रमाण वाढल्याने हे वाढते. लेखात वर्णन केलेले मॉडेल हब विमानतळ (हब) च्या उत्पादन कॉम्प्लेक्सच्या कार्याचे विश्लेषण आणि ऑप्टिमायझेशनच्या समस्यांचे निराकरण करण्यासाठी विकसित केले गेले होते, ज्यामध्ये प्रवासी, विमाने आणि मालवाहू आणि मालवाहूंच्या स्पष्ट नॉन-स्टेशनरी प्रवाहासह भू-वाहतूक सुविधांच्या संपृक्ततेने वैशिष्ट्यीकृत केले आहे. त्यांच्या सेवेच्या तीव्रतेमध्ये चढउतार.
मॉडेलचे सामान्य वर्णन
N सर्व्हिंग चॅनेल असलेल्या QS प्रणालीच्या संभाव्य वैशिष्ट्यांची वेळ अवलंबित्व निर्धारित करण्यासाठी मॉडेलचा हेतू आहे. QS मधील अर्जांची संख्या K पेक्षा जास्त नसावी, जे विमानतळावर उपलब्ध असलेल्या विमान पार्किंगच्या जागेची संख्या, टर्मिनल किंवा कार्गो कॉम्प्लेक्सची क्षमता इत्यादींवरील तांत्रिक मर्यादांमुळे असू शकते. एका विनंतीची सेवा देण्यासाठी वाटप केलेल्या चॅनेलची संख्या 1 किंवा 2 असू शकते. किमान दोन विनामूल्य चॅनेल असल्यास, दिलेल्या संभाव्यतेसह प्राप्त विनंती सर्व्हिसिंगसाठी उधार घेतली जाते.
त्यापैकी एक आणि - संभाव्यतेसह y2 = 1 - y1 - दोन्ही चॅनेल. जर, सर्व्हिसिंगसाठी अर्ज मिळाल्याच्या वेळी, QS कडे फक्त एक विनामूल्य चॅनेल असेल, तर हा अनुप्रयोग कोणत्याही परिस्थितीत उपलब्ध आहे.
एकमेव चॅनेल. जर तेथे कोणतेही रिकामे चॅनेल नसतील, तर नवीन आलेली विनंती "रांगेत आहे" आणि सेवेची वाट पाहत आहे. जर रांगेतील अर्जांची संख्या K-N असेल, तर नव्याने आलेला अर्ज QS ची सेवा न करता सोडतो. अशा घटनेची शक्यता कमी असावी.
QS इनपुटला ऍप्लिकेशन्सचा पॉसॉन (अपरिहार्यपणे स्थिर नसावा) प्रवाह प्राप्त होतो
तीव्रतेसह l(t). असे गृहित धरले जाते की एक चॅनेल Tobsl1 (t) आणि दोन - दोन्ही द्वारे विनंती सर्व्हिसिंग कालावधी
Tobsl 2 (t) वेळेची यादृच्छिक कार्ये (यादृच्छिक प्रक्रिया) वेगाने वितरित केली जातात.
अनुप्रयोग सेवा तीव्रता
एक चॅनेल ^ (t) आणि एकाच वेळी दोन चॅनेल m 2 (t) म्हणून परिभाषित केले आहेत
mi (t) = [Tobsl1 (t)]-1, m2 (t) = [Tobsl2 (t)]-1,
जेथे Tobsl1 (t) = M [Tobsl1 (t)], Tobsl 2 (t) = M[Tobsl 2 (t)]
अनुक्रमे एका चॅनेल आणि दोन चॅनेलद्वारे विनंतीची सेवा देण्यासाठी सरासरी वेळ.
m1 (t) आणि m 2 (t) या प्रमाणांमधील संबंध संबंधाने दिलेला आहे
m2 (t) = ^m1 (t) ,
जेथे 9 हे गुणांक आहे जे दोन चॅनेल वापरताना सेवेच्या तीव्रतेतील सापेक्ष वाढ लक्षात घेते.
व्यवहारात, उभारलेल्या निधीची संख्या आणि सेवेची तीव्रता यांच्यातील संबंध खूपच जटिल आहे, जो प्रश्नातील सेवा ऑपरेशनच्या वैशिष्ट्यांद्वारे निर्धारित केला जातो. ऑपरेशन्ससाठी, ज्याचा कालावधी पूर्ण केलेल्या कामाच्या प्रमाणाशी संबंधित आहे (उदाहरणार्थ, जेट इंधनाच्या टँकरचा वापर करून जेट इंधनासह विमानात इंधन भरणे, विमानातून प्रवाशांना चढणे किंवा उतरवणे इ.), सेवेच्या तीव्रतेचे अवलंबन चॅनेलची संख्या थेट प्रमाणात पोहोचते, परंतु तयारीसाठी लागणाऱ्या वेळेमुळे ते काटेकोरपणे नाही
परंतु अंतिम ऑपरेशन्स ज्यावर निधीच्या संख्येचा परिणाम होत नाही. अशा ऑपरेशन्ससाठी, £2. अनेक ऑपरेशन्ससाठी, सुविधा किंवा परफॉर्मर्सच्या संख्येवर अंमलबजावणीच्या कालावधीचे अवलंबित्व कमी आहे (उदाहरणार्थ, चेक-इन किंवा प्री-फ्लाइट
प्रवाशांची तपासणी). या प्रकरणात »1 मध्ये.
वेळेच्या एका अनियंत्रित क्षणी I, मानले जाणारे QS L+1 स्वतंत्र स्थितींपैकी एकात असू शकते - B0, ...,
फक. राज्य ते राज्य संक्रमण कधीही होऊ शकते. त्या वेळी I QS राज्यात असण्याची शक्यता
सामान्यीकरण स्थिती 2 р () =1 जाणून घ्या-
P0 (/), PX (t),..., Pb (t) संभाव्यतेचे विश्लेषण एखाद्याला QS ची सरासरी रांगेची लांबी, व्यस्त चॅनेलची सरासरी संख्या यासारखी महत्त्वाची आभासी (तात्काळ) वैशिष्ट्ये निर्धारित करण्यास अनुमती देते. QS मध्ये असलेल्या विनंत्यांची सरासरी संख्या आणि इ.
p(t) राज्यांची संभाव्यता कोल्मोगोरोव्ह विभेदक समीकरणांची प्रणाली सोडवून शोधली जाते, सामान्यतः असे लिहिले जाते
=Ё jp(t)P /(t)-P,(t)Z (t).,
r = 0,1,...,b,
कुठे<р^ ^) - плотности (интенсивности) вероятностей перехода из состояния с порядковым номером г в состояние с порядковым номером ]. Величины фу (t) определяются по формуле
जेथे P(/; At) ही संभाव्यता आहे की QS, जो T या क्षणी B स्थितीत होता, साठी
वेळ त्यावरून राज्यात जाईल
कोल्मोगोरोव्ह समीकरणे संकलित करण्यासाठी, QS चा लेबल केलेला स्थिती आलेख वापरला जातो. त्यामध्ये, f ची संबंधित तीव्रता B. ते B कडे जाणाऱ्या बाणांच्या वर ठेवली आहे. प्रत्येक राज्याच्या संभाव्यतेचे व्युत्पन्न इतर राज्यातून दिलेल्या स्थितीत येणाऱ्या सर्व संभाव्यतेच्या प्रवाहाची बेरीज म्हणून परिभाषित केले आहे. दिलेल्या स्थितीतून इतरांकडे जाणाऱ्या सर्व संभाव्यतेच्या प्रवाहाची बेरीज.
आलेख तयार करण्यासाठी, तीन-इंडेक्स नोटेशन सिस्टम सादर केली जाते, ज्यामध्ये वेळेच्या अनियंत्रित बिंदूवर विचाराधीन QS ची स्थिती तीन पॅरामीटर्सद्वारे दर्शविली जाते: व्यापलेल्या चॅनेलची संख्या n (n = 0,1,.. .,^), सेवा दिलेल्या विनंतींची संख्या k (k = 0,1,...,^) आणि सेवेची प्रतीक्षा t (t = 0,1,...,^ - N).
अंजीर मध्ये. आकृती 1 वर वर्णन केलेल्या नियमांचा वापर करून संकलित केलेला लेबल केलेला स्टेट आलेख दाखवतो आणि एक साधे उदाहरण म्हणून निवडलेल्या QS साठी.
खाली दिलेल्या कोल्मोगोरोव्ह समीकरणांच्या ग्राफमध्ये आणि संबंधित प्रणालीमध्ये जागा वाचवण्यासाठी, 1, m1, m2 तीव्रतेच्या वेळेवर कार्यात्मक अवलंबनाची पदनाम आणि राज्यांच्या संभाव्यता वगळण्यात आल्या आहेत.
^000 /L = -(^1^ + ^2^) P000 + tr10 + t2P210,
= - (t + U-11 + U21) рш + ^Рр000 +
2t1R220 + t2 R320,
LR210 IL = - (t2 + ^11 + ^21) P210 + V2YP000 +
Т1Р320 + 2 ^2R420,
LR220/L = -(2^1 + ^1^ + ^21) Р220 + ^1Rio +
3 t1Р330 + ^2Р430,
LR32<:)1Л = - (т2 + т1 + ^11 + ^21)р320 +
+^11Р210 + V2ЯP110 + 2t 1Р430 +
LR4yu1L (1 + 2 ^2) Р420 + ^21Р210 + t р30, ЛР330 /Л = -(3т1 + ^1^+ ^21) Р330 + ^11Р220 + +4^1Р440 + Т2р40,
^430 /L = - (2^1 + ^2 + 1) Р430 + ^11Р320 +
+^2^ Р220 + 3т 1р40 + 2^2р31,
LR530/l =-(t + 2t2 + i) p^30+1P420 +
+^2YaP320 + t1P531,
LR440 IL (4t1 + I) R40 + R330 +
5^1р50 + t2р41,
LR540/ l =-(t2 + 3t + i) r540 + yar430 +
+"^2YaP330 + 3 t1P541 + 2 t2P532,
LR531/L = - (^1 + 2^2 + R) R^31 + R530 +
LR550 IL = -(5t1 + Y) R550 + YR440 +
5t1R551 + t2R542,
LR541/ l = - (t2 + 3t + i) p^41 + ya^40 +
LR532/l = -(t1 + 2t2) Р532 + i р531,
LR5511L = - (5t1 + Y)r51 + YR550 + 5t1R552,
lr542 / l = - (3 t + t2) r542 + i r541 ,
Lp5^^ = 5 t1P552 + i p51.
जर या क्षणी t = 0 QS मध्ये कोणत्याही विनंत्या नसतील, तर प्रारंभिक अटी फॉर्ममध्ये लिहिल्या जातील.
P10 (0) = P210 (0) = P220 (0) =... = P552 (0) = 0.
(1), (2), व्हेरिएबल व्हॅल्यूज 1(^, mDO, m2(0) सारख्या मोठ्या-आयामी प्रणालींचे निराकरण संगणक वापरून केवळ संख्यात्मक पद्धतींनी शक्य आहे.
तांदूळ. 1. QS चा राज्य आलेख
QS मॉडेल तयार करणे
अल्गोरिदमिक पध्दतीच्या अनुषंगाने, आम्ही कोल्मोगोरोव्ह समीकरणांचे अनियंत्रित परिमाण असलेल्या प्रणालीचे संगणकीय गणनेसाठी योग्य फॉर्ममध्ये रूपांतर करण्याच्या तंत्राचा विचार करू. रेकॉर्डिंग सोपी करण्यासाठी, आम्ही तिहेरी प्रणालीऐवजी QS राज्यांच्या नोटेशनची दुहेरी प्रणाली वापरतो, ज्यामध्ये r म्हणजे सर्व्हिसिंगसह व्यापलेल्या चॅनेलची संख्या अधिक रांगेची लांबी,] QS मधील अनुप्रयोगांची संख्या आहे . नोटेशन सिस्टममधील संबंध अवलंबनांद्वारे व्यक्त केले जातात:
r = n + m, r = 0.1,...,K;
] = k + m, ] = 0.1,...,K.
औपचारिक संचातून कोणतीही अवस्था साकार होऊ शकत नाही
B. (r = 0.1,...,K; ] = 0.1,...,K). विशेषतः,
वर्णन केलेल्या मॉडेलच्या चौकटीत, राज्ये अशक्य आहेत ज्यामध्ये दोन किंवा अधिक विनंत्या एकाच वेळी एकाद्वारे सेवा केल्या जातात
चॅनेल, म्हणजे R. (t) = 0 if ] > r या चिन्हाने QS च्या स्वीकार्य अवस्थांचा संच दर्शवू. राज्य B. अस्तित्वात आहे, आणि
त्याची संबंधित संभाव्यता P. ^)
खालीलपैकी एक अटी पूर्ण झाल्यास शून्य असू शकते:
1)] <г< 2], если 2] < N,
2)] <г< ] + Ч - 1 если \ .
y] + H - 1< К,
3)] < г < К, если ] + ч - 1 ^ К,
r = 0.1,...,K; ] = ०.१,...,के,
जेथे Х ही दिलेल्या संख्येच्या विनंत्यांसाठी विविध सेवा चॅनेल असलेल्या राज्यांची कमाल संख्या आहे, सूत्राद्वारे निर्धारित केली जाते
येथे कंस अंशात्मक भाग टाकून देण्याची क्रिया दर्शवितात. उदाहरणार्थ,
अंजीर मध्ये दर्शविलेल्या राज्य आलेख द्वारे न्याय. 1, दोन, तीन किंवा चार चॅनेलद्वारे दोन विनंत्या दिल्या जाऊ शकतात. म्हणून, वर चर्चा केलेल्या उदाहरणात
H = 5 - = 5 - 2 = 3.
अनियंत्रित परिमाणांच्या कोल्मोगोरोव्ह समीकरणांच्या प्रणालीचा वापर करून संगणक गणना अंमलात आणण्यासाठी, त्याची समीकरणे काही सार्वत्रिक स्वरूपात कमी करणे आवश्यक आहे जे कोणतेही समीकरण लिहिण्याची परवानगी देते. असा फॉर्म विकसित करण्यासाठी, राज्य आलेखाचा एक तुकडा विचारात घ्या ज्यामध्ये एक अनियंत्रित अवस्था B] त्यातील अग्रगण्यांसह प्रदर्शित करा.
तीव्रता बाण. आकृतीमध्ये दाखवल्याप्रमाणे, B शी थेट संबंधित शेजारील राज्ये रोमन अंकांद्वारे दर्शवू. 2.
B. च्या प्रत्येक अवस्थेसाठी (g = 0.1,...,K; ] = 0.1,...,K), जसे की B. e 8, वेळी t मूल्ये
p^), p(t), p.^), p(t) स्वीकारा
विविध मूल्ये (शून्य समानतेसह). तथापि, समीकरणाची रचना
(3) अपरिवर्तित राहते, ज्यामुळे ते अनियंत्रित परिमाणांच्या कोल्मोगोरोव्ह समीकरणांच्या संगणकाच्या अंमलबजावणीसाठी वापरले जाऊ शकते.
तीव्रता fr (t), (р. (t), r आणि ] ची मोठी मूल्ये असलेल्या राज्यांमध्ये QS हस्तांतरित करण्याची प्रवृत्ती, जर अशा राज्यांची उपस्थिती शक्य असेल तर, खालीलप्रमाणे अनेक अटींवर आधारित निर्धारित केले जातात. :
o.. ї a किंवा
°(,-+1)0"+1) ї 8’
0(,-+2)(.+1) - 8 i £ N - 2,
o(i+1)(.+1)- 8 किंवा
°(.+2)а+1)ї 8
O(.+1)(V+1) - 8’
तांदूळ. 2. QS स्थिती आलेखाचा तुकडा
B. संदर्भात शेजारील राज्यांची उपस्थिती लक्षात घेऊन, B. चे समीकरण खालीलप्रमाणे लिहिले जाईल:
-£ = -[P () + P () + P. () +
Рр (tИ Рг, (t) + Рр+1)(.+1) (t) Р(г+1)(.+1) () +
Р(Н(1-1)^)Р(-1)(1 -1)^) +
Р 2)()+1)()Р(г+2)()-+1)() +
РЦ2)(.-1) (t)P(г-2)(.-Г) ().
О(.+1)(.+1)ї 8 किंवा і > N - 2
Y2X(i), जर
I(i+1)(.+1) - 8>
O(i+2)(.+1) - 8 ’ i £N - 2,
ओ(і+1)(.+1)ї 8’
O(i+2)(.+1) - 8’
r = 0.1,...,k, . = ०.१,...,के.
नदीची तीव्रता (), p.11 (), राज्य B- मधून QS हस्तांतरित करणे. राज्यांमध्ये
g आणि च्या लहान मूल्यांसह. (अशा राज्यांची उपस्थिती शक्य असल्यास), ते समाविष्ट असलेल्या चॅनेलच्या संख्येच्या थेट प्रमाणात आहेत, QS मध्ये स्थित विविध प्रकारच्या विनंत्या सर्व्ह करतात (सर्व्हिसिंगसाठी एक किंवा दोन चॅनेल व्यापतात). संबंधित प्रकारच्या एका विनंतीची सेवा करण्यात गुंतलेल्या दोन चॅनेलचा समूह एक चॅनेल मानला जाऊ शकतो. म्हणून, सामान्य बाबतीत
p () = kdM1 () , R. () = ky2^2 () ,
जेथे k.1 ही राज्य B मध्ये QS द्वारे सेवा दिलेल्या एका चॅनेलवर व्यापलेल्या विनंत्यांची संख्या आहे; k ही प्रत्येकी दोन चॅनेल व्यापलेल्या विनंत्यांची संख्या आहे, जी राज्य B मध्ये QS द्वारे दिली जाते.
जी आणि द्वारे. ही मूल्ये खालीलप्रमाणे निर्धारित केली जातात:
G2. - g जर g< N,
y1 [ N - 2 (r -.), जर r > N, (4)
ते! 2 = g - . .
साठी अभिव्यक्ती राज्यांच्या अस्तित्वाच्या संभाव्यतेवरील निर्बंध विचारात घेऊन
p(), R.() फॉर्म आहे
^B(g-1)(L) e 8,
QS च्या कामकाजाच्या प्रभावीतेचे निर्देशक
वर्णन केलेले मॉडेल आम्हाला विचारात घेतलेल्या QS च्या ऑपरेशनल कार्यक्षमतेच्या खालील निर्देशकांची वेळ अवलंबित्व निर्धारित करण्यास अनुमती देते.
रांगेची सरासरी लांबी:
can ()=22(g-p) R ().
व्यस्त चॅनेलची सरासरी संख्या:
CMO कडे अर्जांची सरासरी संख्या:
मी, ()=२२.आर. ().
सेवा नाकारण्याची शक्यता:
Р„, ()= 2 Р- ().
अनुप्रयोगाद्वारे व्हर्च्युअल प्रतीक्षा वेळेचे वितरण प्राप्त केले जाऊ शकते
सेवा Ж (x,t) = Р ^ож ()< х) , позволяющее характеризовать качество обслуживания рассматриваемой СМО. Поступившая в систему заявка вынуждена ожидать обслуживания в случае, если все каналы заняты обслуживанием заявок, поступивших
पूर्वी. विनामूल्य चॅनेल (किंवा अनेक विनामूल्य चॅनेल) च्या उपस्थितीत येणाऱ्या विनंतीची त्वरित सर्व्हिसिंगची संभाव्यता Рк=0 (t) आहे.
B(g-1)(.-1) £8,
r = 0.1,...,K, . = ०.१, ..., के.
R. ()°0, जर B. £8.
अयशस्वी होण्याची शक्यता लक्षात घेऊन, वितरण कार्याचे इच्छित मूल्य Ж (х^) म्हणून निर्धारित केले जाईल
F (x-‘)=(--o(t)
EEZH M (,)) ()
Ru()° 0 जर °y. ї 8.
येथे Ж (х,т| (і,/)) हे सशर्त फंक्शन आहे
विशिष्ट विनंतीसाठी प्रतीक्षा वेळेचे वितरण, प्रदान केले की T च्या आगमनाच्या वेळी त्याला y स्थितीत QS आढळला.
विचाराधीन QS मध्ये, येणाऱ्या विनंतीद्वारे सेवेसाठी प्रतीक्षा वेळ केवळ QS मध्ये आधीपासून असलेल्या विनंत्यांच्या संख्येवर अवलंबून नाही तर विद्यमान विनंत्यांच्या गट आणि वैयक्तिक सर्व्हिसिंगमधील चॅनेलच्या वितरणावर देखील अवलंबून आहे. जर चॅनेलमधील परस्पर सहाय्य अस्तित्वात नसेल, तर विचाराधीन QS मर्यादित लांबीच्या रांगेत वाट पाहत पारंपारिक QS असेल, ज्यासाठी रांगेतील m इतर दाव्यांना मागे टाकून सेवा सुरू होण्यासाठी एकूण प्रतीक्षा वेळ आगमनाच्या वेळी एर्लांग वितरण E,^) (X) असेल.
येथे सुपरस्क्रिप्टमध्ये रांगेच्या उपस्थितीत कार्यरत असलेल्या सर्व N चॅनेलद्वारे सेवा विनंतीची तीव्रता आहे; सबस्क्रिप्ट हा एर्लांगच्या कायद्यानुसार वितरणाचा क्रम आहे. येथे विचारात घेतलेल्या QS मध्ये, वर्णित कायदा फक्त सर्व चॅनेल व्यस्त असलेल्या राज्यांमध्ये QS मध्ये प्रविष्ट केलेल्या विनंत्यांसाठी वैध आहे आणि ते सर्व एक विनंती करतात. या राज्यांसाठी आपण लिहू शकतो
F (x,t| ^ + m,N + t)) = ^+1() (x).
सामान्यीकृत एर्लन-लॉ चे वितरण कार्य E^”^1 (x) म्हणून दर्शवू
ha, 2"r - 1 चा क्रम आहे, जेथे ag ही संख्या आहे
यादृच्छिक चल वर वितरित
पॅरामीटर y सह घातांकीय कायदा. सह
सादर केलेल्या नोटेशनचा वापर करून, आम्ही इतर राज्यांमध्ये प्रतीक्षा वेळ वितरण कार्यासाठी अभिव्यक्ती लिहितो. (5) च्या तुलनेत, या अभिव्यक्तींचे स्वरूप अधिक जटिल आहे, जे त्यांच्या सॉफ्टवेअर अंमलबजावणीमध्ये व्यत्यय आणत नाही. पुढे, उदाहरण म्हणून, ते पूर्वी सादर केलेले तीन-वर्ण अनुक्रमणिका वापरून चॅनेलच्या पूर्ण व्याप्तीच्या पहिल्या तीन राज्यांसाठी दिले आहेत:
F (x,t| (n,k,t)) = F (x,t| (N,N - g,0)) =
= (x), 0 £g £d,
कुठे आणि. = kLt (t)+ku 2M2 (t);
Ж (х,т| (п,к,т)) = Ж (х,т| (N,N - g,l)) =
N ^ ^ - g) किमी(T)
F (x,t| - g, 2))
N ^).(N - g) किमी(t)
E/^(t),(t-g) ■я(t),(t-g+l)
(N), (N - g) ktM(T)
EI-)(t-g)(x) +
^).(N - g) eH^) (x)
Toz () ऍप्लिकेशनसाठी सरासरी व्हर्च्युअल प्रतीक्षा वेळ संख्यानुसार निर्धारित केला जातो
ओळख (T) = | ^Х (x, T) .
अनियंत्रितपणे निवडलेल्या विनंतीसाठी व्हर्च्युअल सर्व्हिसिंग वेळेचे वितरण Tobsl ^) देखील निर्धारित केले जाऊ शकते.
विचारात घेतलेल्या QS मधील Tobsl (t) मधील बदल ही एक यादृच्छिक प्रक्रिया आहे, जी TobsL1 ^) आणि TobsL2 ^) या दोन घातांक वितरीत यादृच्छिक प्रक्रियांचे मिश्रण आहे), नंतर वितरण
V (x^) = P (Tobsl (t)< х) не будет показательным. С учётом возможности отказа выражение для функции распределения V (х^) запишется в виде
EEU M k,.YR(t)
R.. ^) ° 0, जर 8. £8.
येथे V (x^| (r,.)) हे विशिष्ट विनंतीच्या सेवेच्या वेळेचे सशर्त वितरण कार्य आहे, बशर्ते की त्याच्या आगमनाच्या वेळी त्याला राज्यात QS सापडला असेल.
जर, एखाद्या अर्जाची सेवा सुरू करण्याच्या वेळी, QS अशा स्थितीत असेल ज्यामध्ये गट आणि वैयक्तिक दोन्ही सर्व्हिसिंग शक्य असेल, तर सर्व्हिसिंगची वेळ दोन प्रो-चे मिश्रण आहे.
गट सेवेत संक्रमण - जर स्थिती शक्य असेल तर (चित्र 2). अशा प्रकारे आमच्याकडे आहे:
U(M(i--/")) =
y (1 - e-t(t)x) + +y (1 - e^2(t)x),
मी ओ(і+2)(]+1) ї 8, ओ(і+1)(.+1) - 8,
"2\* ^ І’ I ^ +2)(.+1)
i = 0.1,...,N -1, i = 0.1,...,N -1.
कारण, दोन विनामूल्य चॅनेल नसताना, कोणतीही विनंती एका चॅनेलद्वारे दिली जाते, तर एका चॅनेलच्या वाटपाची वास्तविक संभाव्यता ^) आहे
det दिलेल्या V फंक्शनपेक्षा मोठे आहे uv ^) म्हणून परिभाषित केले आहे
EEU O","r(t)
R. (t) ° 0, जर R. ї 8.
येथे y1(r,.) ही राज्यातील QS द्वारे प्राप्त विनंतीची सेवा करण्यासाठी एक डिव्हाइस वाटप करण्याची संभाव्यता आहे:
ओ(і+1)(.+1) - 8, ओ(і
2)(}+1) -2)(!+1)
कालावधी: Tobsl1 (t) आणि Tobsl2 (t), dis- i = 0.1...,K -1, . = ०.१...,के -१.
अनुक्रमे ^1 (t) आणि ^2 (t) पॅरामीटर्ससह घातांकरीत्या मर्यादित. मध्ये असल्यास
या टप्प्यावर, दोन चॅनेल वाटप करणे शक्य नाही, नंतर विनंतीची सेवा करण्याची वेळ पॅरामीटरसह वेगाने वितरीत केली जाते.
t(t). जेव्हा एखादी विनंती राज्य B. मधील सर्व्हिंग चॅनेलशी संपर्क साधते तेव्हा वैयक्तिक सर्व्हिसिंगमध्ये संक्रमण करण्याची परवानगी असते तेव्हा
राज्य I च्या शक्यतेची उपस्थिती (
त्यावेळी QS मध्ये समाविष्ट केलेल्या विनंतीची सेवा करण्याचा सरासरी कालावधी
टी, यूव्ही (टी) द्वारे परिभाषित केले जाऊ शकते
Tbl (t)=uf (t) Tm (t)+ Tbs 2 (t).
QS मध्ये अर्जाच्या मुक्कामाच्या आभासी वेळेचे वितरण
आणि (x,t)= P (Tpreb (t)< х)
प्रतीक्षा वेळ आणि सेवा वेळेच्या वितरण कार्यांसाठी पूर्वी प्राप्त केलेल्या अभिव्यक्ती वापरून निर्धारित केले जाते - =
माझ्यासारखी वानिया,
2^2 (t) Et^^(t)^^) (x) +
EEi M))рї(t)
आणि (x,t| (^.)) =
1 - e-M1(t)x
y (1 - e-t(t)x)-+y2(1 - e
(1 - e ^t(t)x),
ओ(і+1)(.+1) - 8, О(і+ 2)(.+1) ї 8’
ओ(і+1)(.+1) - 8’ ओ(і+2)(.+1) - 8,
r = 0.1,...^-1, . = 0'l'...'N-1.
इतर राज्यांसाठी, सशर्त वितरण कार्याची सूत्रे सूत्रांच्या सादृश्याने लिहिली जातात
Ж (х^| (п,к,т)) तीन-वर्ण अनुक्रमणिका वापरून. खाली ते पूर्ण चॅनेल व्याप्तीच्या पहिल्या तीन राज्यांसाठी दिले आहेत:
प्रवेशाच्या वेळी, रांग नाही, परंतु सर्व चॅनेल व्यस्त आहेत:
आणि (x^| (n,k,t)) = आणि (x^| (NN - g,0)) =
(x), 0 £g £d;
अर्ज दाखल होईपर्यंत, रांगेत एक अर्ज असतो:
R. (t) ° 0, जर R. ї 8.
येथे आणि (x^| (r,.)) हे काही विनंतीच्या QS मध्ये घालवलेल्या वेळेचे सशर्त वितरण कार्य आहे, बशर्ते की त्याच्या आगमनाच्या क्षणी त्याला राज्यात प्रणाली सापडली असेल.
मोफत चॅनेल असलेल्या राज्यांसाठी, QS मधील निवासाची वेळ सेवा वेळेशी जुळते:
अर्ज दाखल होईपर्यंत, रांगेत दोन अर्ज आहेत:
आणि (x,t | (t,t - ^2))
(t)(t^)H (t)(t^+1)
(t)(t - g) ktsM (t)
(t)(t - g) KtsM (t)
QS मध्ये अर्जाचा मुक्काम असण्याची सरासरी आभासी वेळ अशी परिभाषित केली आहे
Tpreb ^) = Tobsl (t) + Toz (t).
QS मॉडेल वापरण्याचे उदाहरण
पूर्व युरोपीय प्रादेशिक हब विमानतळांपैकी एकाच्या उत्पादन संकुलाच्या दैनंदिन कामकाजाचे अनुकरण केले जाते जेव्हा येणाऱ्या विमानांची सेवा देण्यासाठी स्वतंत्र तांत्रिक ऑपरेशन केले जाते. मॉडेलिंगसाठी प्रारंभिक डेटा म्हणून, आगमन विमानाच्या प्रवाहाच्या सरासरी तीव्रतेवर वेळ अवलंबित्व
सेवेसाठी, i(t) आणि तीव्रतेसाठी
एक म्हणजे t1 (t) सह विमानाची सेवा करणे.
तयार केलेल्या डेटावरून खालीलप्रमाणे
विमानतळ वेबसाइट अवलंबित्वाचा आलेख i(t)
(Fig. 3a), BC चा पुरवठा लक्षणीय असमानतेने दर्शविला जातो: दिवसाच्या दरम्यान, चार "लहरी" शी संबंधित, चार तीव्रतेची कमाल पाळली जाते.
us" फ्लाइटचे आगमन आणि निर्गमन. मुख्य “लाटा” साठी 1(t) ची शिखर मूल्ये 25-30 VS/h पर्यंत पोहोचतात.
अंजीर मध्ये. 3 आणि अवलंबन t(t) चा आलेख देखील दाखवतो. नाही असे गृहीत धरले जाते
केवळ विमानाच्या प्रवाहाची तीव्रता, परंतु त्यांच्या सेवेची तीव्रता देखील वेळेचे कार्य आहे आणि "लहर" च्या टप्प्यावर अवलंबून असते. वस्तुस्थिती अशी आहे की प्रवाशांसाठी सरासरी हस्तांतरण वेळ कमी करण्यासाठी, हब विमानतळाचे वेळापत्रक अशा प्रकारे तयार केले गेले आहे की मोठ्या-प्रवासी विमानांच्या आगमनाने "लाट" सुरू होते, ज्याच्या देखभालीसाठी खूप आवश्यक असते. वेळ, आणि लहान विमानांच्या आगमनाने पूर्ण होते. उदाहरणामध्ये, असे गृहीत धरले जाते की एका साधनासह ऑपरेशनचा सरासरी कालावधी, जो दिवसाच्या बहुतेक कालावधीसाठी 20 मिनिटे असतो, "वेव्ह" च्या सुरुवातीच्या टप्प्यावर 25 मिनिटांपर्यंत वाढतो. आणि अंतिम टप्प्यावर 15 मिनिटांपर्यंत कमी केले जाते. अशा प्रकारे, सह चार अंतराल
अंजीर मध्ये कमी पातळी टी (टी). 3a "लाटा" च्या सुरुवातीच्या टप्प्याशी संबंधित आहे, जेव्हा मोठ्या विमानांचे आगमन होते. यामधून, वाढ चार मध्यांतर
स्तर t^) अंतिम फेरीत पडणे
लहान विमानांच्या प्राबल्य असलेले "वेव्ह" टप्पे.
खाली आम्ही सिम्युलेशन परिणामांचे वर्णन करतो जे आम्हाला सिस्टमच्या कार्यक्षमतेचे मूल्यांकन करण्यास अनुमती देतात. अंजीर मध्ये. 3b-3d व्यापलेल्या चॅनेलच्या संख्येच्या सरासरी मूल्यांचे वेळ अवलंबित्व दाखवते Nз ^),
आरोग्य मंत्रालयातील एकूण अर्जांची संख्या ^) आणि
खालील डिझाइन वैशिष्ट्यांसह n1 = 0 आणि n1 = 1 या दोन मर्यादित संभाव्यता मूल्यांसाठी Moz (7) रांगेची लांबी मिळवली: N = 10; के = 40; मध्ये = 1.75. अवलंबन Nз (t) च्या आलेखानुसार
(Fig. 3b), बहुतेक दैनंदिन वेळेच्या मध्यांतरात सिस्टमच्या सर्व्हिंग चॅनेलची व्याप्ती कमी राहते, जे स्थिर नसलेल्या इनपुटचा परिणाम आहे.
विमानांचा प्रवाह. उच्च भार (60-80%) फक्त आगमन आणि निर्गमनांच्या दुसऱ्या "वेव्ह" दरम्यान प्राप्त केला जातो आणि 1(t) च्या मोठ्या मूल्यांवर n1 = 0 पर्यायामुळे सिस्टमवर आणि लहान मूल्यांवर जास्त भार पडतो. 1(t) - कमी
पर्याय n1 = 1 च्या तुलनेत. शिवाय, जसे
मॉडेलिंगने दर्शविले की दोन्ही पर्यायांसाठी विचाराधीन प्रणालीमध्ये अपयशाची संभाव्यता नगण्य आहे.
अवलंबित्व आलेखांची तुलना
M3 ^) आणि Mozh ^) (अनुक्रमे 3c आणि 3d) आम्हाला असा निष्कर्ष काढू देते की n1 = 0 सह QS मध्ये सरासरी, कमी विनंत्या आहेत आणि n1 = 1 पेक्षा जास्त विनंत्या दिल्या जाण्याची अपेक्षा आहे. हा विरोधाभास या वस्तुस्थितीद्वारे स्पष्ट केला आहे की, QS द्वारे प्राप्त झालेल्या प्रत्येक अर्जाला, ज्याच्या बाबतीत n1 = 0 दोन लागतात.
चॅनेल, विनंत्यांसाठी कमी विनामूल्य चॅनेल सोडते, त्यांना केसपेक्षा मोठी रांग तयार करण्यास भाग पाडते
n1 = 1. त्याच वेळी, चॅनेलचा समूह वापर, सेवेचा वेळ कमी केल्यामुळे, सेवा दिलेल्या आणि प्रतीक्षेत असलेल्या अनुप्रयोगांच्या एकूण संख्येत घट होते. तर, विचाराधीन उदाहरणामध्ये, दिवसातील सरासरी सेवा वेळ आहे
पर्याय p1 = 1 साठी 20 मिनिटे आहे, आणि साठी
पर्याय p1 = 0 - 11.7 मि.
वर चर्चा केलेले मॉडेल परिवहन सेवांच्या गुणवत्तेच्या चांगल्या व्यवस्थापनाच्या शोधाशी संबंधित समस्या सोडवणे शक्य करते. अंजीर मध्ये. 3d, 3f या प्रकारची समस्या सोडवण्याचे काही परिणाम दर्शविते, ज्याचा अर्थ विचाराधीन विमानतळाचे उदाहरण वापरून स्पष्ट केला आहे.
सरासरी रांगेची लांबी, जी कमाल भार असतानाही लहान असते, विचाराधीन उदाहरणामध्ये (चित्र 3d) 0.6 पेक्षा जास्त नसलेली विमाने, बहुसंख्य विमानांसाठी रांगेतील प्रतीक्षा वेळ स्वीकार्य असेल याची हमी देत नाही. सेवा ऑपरेशन पूर्ण करण्यासाठी समाधानकारक सरासरी वेळेसह कमी सरासरी प्रतीक्षा वेळ
हे वैयक्तिक विमानाच्या देखभालीदरम्यान अस्वीकार्यपणे दीर्घ डाउनटाइमची शक्यता वगळत नाही. जेव्हा विमानतळ सेवेची गुणवत्ता सेवेसाठी प्रतीक्षा वेळ आणि सिस्टममध्ये घालवलेल्या वेळेसाठी समाधानकारक मूल्ये सुनिश्चित करण्यासाठी दोन्ही आवश्यकतांच्या अधीन असतात तेव्हा एक उदाहरण विचारात घेऊ या. आम्ही असे गृहीत धरू की 90% पेक्षा जास्त विमाने 40 मिनिटांपेक्षा कमी देखभालीसाठी निष्क्रिय असावीत आणि त्याच प्रमाणात विमानाच्या देखभालीसाठी प्रतीक्षा वेळ 5 मिनिटांपेक्षा कमी असावा. वर सादर केलेल्या नोटेशनचा वापर करून, विमानतळ सेवेच्या गुणवत्तेसाठी या आवश्यकता असमानतेच्या स्वरूपात लिहिल्या जातील:
P (Tpreb (t)< 40мин)>09, P (ओळख (टी)< 5мин)> 09
अंजीर मध्ये. 3d, 3f संभाव्यता P (Tpreb (/) ची वेळ अवलंबित्व दर्शवते< 40мин)
आणि P (ओळख. (")< 5 мин) для интервала времени
460-640 मि. आगमनाच्या दुसऱ्या “लहर” शी संबंधित मॉडेल दिवसाच्या सुरुवातीपासून.
आकृत्यांमधून पाहिल्याप्रमाणे, पर्याय n1 = 1 नाही
सेवा वेळेच्या संदर्भात गणना केलेली विश्वासार्हता प्रदान करते: स्थितीद्वारे निर्दिष्ट केलेल्या सेवा वेळेची आवश्यकता
P (Tpreb (t)< 40мин)>09, फक्त 530560 मिनिटांच्या अल्प कालावधीत चालते, लहान आगमनाशी संबंधित
रवि. या बदल्यात, पर्याय n1 = 0 रांगेतील प्रतीक्षा वेळेच्या संदर्भात गणना केलेली विश्वासार्हता प्रदान करत नाही: मोठ्या विमानांच्या आगमनाच्या मध्यांतरात (500-510 मि.)
तांदूळ. 3. अनुकरण परिणाम 262
अट P पूर्ण झाली आहे (Iz(t)< 5мин) > 0.9.
मॉडेलिंगने दाखवल्याप्रमाणे, या परिस्थितीतून बाहेर पडण्याचा मार्ग निवडणे असू शकते
तडजोड पर्याय y1 » 0.2. व्यवहारात, या पर्यायाचा अर्थ असा आहे की विमानतळ सेवांना प्रत्येकी दोन निधी सर्व विमानांच्या सेवांसाठी वाटप केले जावेत, परंतु विशिष्ट निकषांवर आधारित निवडलेल्यांनाच, उदाहरणार्थ,
प्रवासी क्षमता. येथे y1 भूमिका बजावते
एक पॅरामीटर जो तुम्हाला QS चे कार्यप्रदर्शन निर्देशक नियंत्रित करण्यास अनुमती देतो: रांगेतील अर्जाची प्रतीक्षा वेळ आणि अनुप्रयोग QS मध्ये राहण्याची वेळ किंवा सेवा वेळ.
म्हणून, विचारात घेतलेली प्रणाली, जी विनंती पूर्ण करण्यासाठी एकाच वेळी एक किंवा दोन चॅनेल वापरते, ही QS चे एक विशेष, परंतु व्यावहारिकदृष्ट्या महत्त्वपूर्ण प्रकरण आहे.
चॅनेलची परस्पर मदत. अशा QS च्या डायनॅमिक मॉडेलचा वापर एखाद्याला अनेक-निकषांसह विविध ऑप्टिमायझेशन मांडण्यास आणि सोडविण्यास अनुमती देतो, केवळ निधीची एकूण संख्याच नव्हे तर त्यांचे परस्पर सहाय्य देखील व्यवस्थापित करण्याशी संबंधित समस्या. या प्रकारच्या समस्या विशेषत: हब विमानतळांसाठी संबंधित आहेत, जे सेवा सुविधांनी परिपूर्ण आहेत, त्यांचे स्थिर नसलेले उड्डाण प्रवाह आणि चढ-उतार सेवा तीव्रतेसह. अशाप्रकारे, विचारात घेतलेल्या QS चे मॉडेल हब सारख्या आशादायक श्रेणीच्या विमानतळांच्या पॅरामीटर्सचे विश्लेषण आणि ऑप्टिमाइझ करण्यासाठी एक साधन आहे.
संदर्भग्रंथ
1. बोचारोव्ह, पी.पी. रांगेतील सिद्धांत [मजकूर] / पी.पी. बोचारोव्ह, ए.व्ही. पे-चिंकिन. - एम.: पब्लिशिंग हाऊस आरयूडीएन, 1995. - 529 पी.
नॉन-स्टेशनरी स्ट्रीम्स आणि चॅनेल दरम्यान आंशिक परस्पर सहाय्यासह रांगेतील प्रणालीचे मॉडेल
© 2011 V. A. Romanenko
समारा स्टेट एरोस्पेस युनिव्हर्सिटीचे नामकरण शिक्षणतज्ज्ञ एस. पी. कोरोलिओव्ह (राष्ट्रीय संशोधन विद्यापीठ) यांच्या नावावर करण्यात आले आहे.
नॉन-स्टेशनरी स्ट्रीमसह मल्टीचॅनल रांग प्रणालीचे डायनॅमिक मॉडेल, मर्यादित-लांबीच्या रांगेत प्रतीक्षा करणे आणि दोन चॅनेलद्वारे ग्राहकांच्या एकाचवेळी सेवेच्या संधीमध्ये व्यक्त केलेल्या चॅनेलचे आंशिक परस्पर सहाय्य वर्णन केले आहे. प्रणालीच्या मूलभूत संभाव्यता-वेळ वैशिष्ट्यांसाठी अभिव्यक्ती दिली आहेत. सिस्टीमचे उदाहरण म्हणून हब विमानतळाच्या कामकाजाचे मॉडेलिंग करण्याच्या परिणामांवर चर्चा केली आहे.
रांग प्रणाली, स्थिर नसलेला प्रवाह, चॅनेल दरम्यान परस्पर सहाय्य, हब विमानतळ.
लेखक व्लादिमीर अलेक्सेविच रोमानेन्को, तांत्रिक विज्ञानाचे उमेदवार, सहयोगी प्राध्यापक, परिवहन वाहतूक व्यवस्था आणि व्यवस्थापन विभागाचे डॉक्टरेट विद्यार्थी, समारा स्टेट एरोस्पेस युनिव्हर्सिटी, ॲकॅडेमिशियन एस.पी. कोरोलेव्ह (राष्ट्रीय संशोधन विद्यापीठ) यांच्या नावाची माहिती. ईमेल: [ईमेल संरक्षित]. वैज्ञानिक स्वारस्यांचे क्षेत्र: हब विमानतळाच्या वाहतूक सेवा प्रणालीचे ऑप्टिमायझेशन आणि मॉडेलिंग.
रोमानेन्को व्लादिमीर अलेक्सेविच, तांत्रिक विज्ञानाचे उमेदवार, सहयोगी प्राध्यापक, परिवहन संस्था आणि व्यवस्थापन विभागातील डॉक्टरची पदवी, समारा स्टेट एरोस्पेस युनिव्हर्सिटीचे नाव ॲकॅडमीशियन एस. पी कोरोलीओव्ह (नॅशनल रिसर्च युनिव्हर्सिटी: vla_rom@mail). संशोधनाचे क्षेत्र: हब विमानतळ वाहतूक सेवा प्रणालीचे ऑप्टिमायझेशन आणि सिम्युलेशन.
आत्तापर्यंत, आम्ही फक्त अशा QS चा विचार केला आहे ज्यामध्ये प्रत्येक विनंती फक्त एका चॅनेलद्वारे दिली जाऊ शकते; काम न केलेले चॅनेल सर्व्हिसिंगमध्ये व्यस्त असलेल्यांना "मदत" करू शकत नाहीत.
सर्वसाधारणपणे, हे नेहमीच नसते: रांगेत असलेल्या प्रणाली आहेत जिथे समान विनंती एकाच वेळी दोन किंवा अधिक चॅनेलद्वारे दिली जाऊ शकते. उदाहरणार्थ, एकाच तुटलेल्या मशीनची एकाच वेळी दोन कामगारांद्वारे सेवा केली जाऊ शकते. चॅनेलमधील अशी "परस्पर सहाय्य" खुल्या आणि बंद अशा दोन्ही QS मध्ये होऊ शकते.
क्रॉस-चॅनल म्युच्युअल सहाय्यासह क्यूएसचा विचार करताना, विचारात घेण्यासाठी दोन घटक आहेत:
1. एक नाही तर अनेक चॅनेल एकाच वेळी त्यावर काम करत असताना ॲप्लिकेशन सर्व्हिसिंगचा वेग किती वाढतो?
2. "म्युच्युअल सहाय्य शिस्त" म्हणजे काय, म्हणजे एकाच विनंतीवर अनेक चॅनेल केव्हा आणि कसे काम करतात?
प्रथम पहिला प्रश्न पाहू. असे गृहीत धरणे स्वाभाविक आहे की जर एक चॅनेल नाही तर अनेक चॅनेल एखाद्या अनुप्रयोगाची सेवा देण्यासाठी कार्यरत असतील, तर सेवेच्या प्रवाहाची तीव्रता k वाढल्याने कमी होणार नाही, म्हणजेच, ते कार्यरत असलेल्या k संख्येचे काही कमी न होणारे कार्य दर्शवेल. चॅनेल हे फंक्शन दाखवू या. ५.११.
साहजिकच, एकाच वेळी कार्यरत चॅनेलच्या संख्येत अमर्यादित वाढ केल्याने नेहमी सेवेच्या गतीमध्ये आनुपातिक वाढ होत नाही; हे गृहीत धरणे अधिक साहजिक आहे की एका विशिष्ट महत्त्वपूर्ण मूल्यावर, व्यस्त चॅनेलच्या संख्येत आणखी वाढ केल्याने यापुढे सेवेची तीव्रता वाढत नाही.
चॅनेलमधील परस्पर सहाय्याने QS च्या ऑपरेशनचे विश्लेषण करण्यासाठी, सर्व प्रथम, कार्याचा प्रकार सेट करणे आवश्यक आहे.
अभ्यासासाठी सर्वात सोपी केस असेल जेव्हा फंक्शन k च्या प्रमाणात वाढते आणि स्थिर आणि समान राहते (चित्र 5.12 पहा). जर एकमेकांना मदत करू शकतील अशा एकूण चॅनेलची संख्या ओलांडली नाही
आता आपण दुसऱ्या प्रश्नावर राहू या: परस्पर सहाय्याची शिस्त. आम्ही या शिस्तीच्या सर्वात सोप्या केसला "सर्व एकसारखे" म्हणू. याचा अर्थ असा की जेव्हा एक विनंती दिसते, तेव्हा सर्व चॅनेल एकाच वेळी त्याची सेवा सुरू करतात आणि या विनंतीची सेवा पूर्ण होईपर्यंत व्यस्त राहतात; नंतर सर्व चॅनेल दुसऱ्या विनंतीची सेवा करण्यासाठी स्विच करतात (एखादी असल्यास) किंवा ती नसल्यास ती दिसण्याची प्रतीक्षा करा, इ. साहजिकच, या प्रकरणात, सर्व चॅनेल एक म्हणून कार्य करतात, QS सिंगल-चॅनेल बनते, परंतु उच्च सेवेसह तीव्रता
प्रश्न उद्भवतो: चॅनेल दरम्यान अशी परस्पर सहाय्य सुरू करणे फायदेशीर आहे की गैरफायदा? या प्रश्नाचे उत्तर विनंत्यांच्या प्रवाहाची तीव्रता काय आहे, कोणत्या प्रकारचे कार्य आहे, कोणत्या प्रकारचे QS (अपयशांसह, रांगेसह), सेवा कार्यक्षमतेचे वैशिष्ट्य म्हणून कोणते मूल्य निवडले आहे यावर अवलंबून आहे.
उदाहरण 1. अपयशांसह तीन-चॅनेल QS आहे: अनुप्रयोगांच्या प्रवाहाची तीव्रता (अनुप्रयोग प्रति मिनिट), एका चॅनेलद्वारे एका विनंतीची सेवा करण्याची सरासरी वेळ (मिनिट), कार्य फायद्याचे आहे की नाही हा प्रश्न आहे क्यूएसच्या थ्रूपुटचा दृष्टिकोन “सर्व एकच” प्रकाराच्या चॅनेलमध्ये परस्पर सहाय्य सुरू करण्यासाठी? अर्जाचा सिस्टीममध्ये राहण्याचा सरासरी वेळ कमी करण्याच्या दृष्टीने हे फायदेशीर आहे का?
उपाय अ. परस्पर मदतीशिवाय
एर्लांग सूत्रांनुसार (§ 4 पहा) आमच्याकडे आहे:
QS ची सापेक्ष क्षमता;
परिपूर्ण थ्रुपुट:
अर्जाचा QS मध्ये राहण्याचा सरासरी वेळ सेवेसाठी अर्ज स्वीकारला जाण्याची संभाव्यता सरासरी सेवा वेळेने गुणाकार केली जाते:
Gsist (मि).
आम्ही हे विसरू नये की ही सरासरी वेळ सर्व ऍप्लिकेशन्सना लागू होते - सर्व्हिस केलेले आणि न केलेले दोन्ही वेळ आम्हाला सर्व्हिस केलेला ऍप्लिकेशन सिस्टीममध्ये राहील यातही रस असू शकतो. ही वेळ समान आहे:
6. परस्पर सहाय्याने.
अर्जाचा CMO मध्ये राहण्याचा सरासरी वेळ:
CMO मध्ये सर्व्हिस केलेल्या ऍप्लिकेशनने घालवलेला सरासरी वेळ:
अशा प्रकारे, परस्पर सहाय्याच्या उपस्थितीत “सर्व एक म्हणून”, QS चे थ्रूपुट लक्षणीयरीत्या कमी झाले आहे. हे नकाराच्या संभाव्यतेच्या वाढीद्वारे स्पष्ट केले आहे: सर्व चॅनेल एका विनंतीची सेवा करण्यात व्यस्त असताना, इतर विनंत्या येऊ शकतात आणि स्वाभाविकपणे, नाकारल्या जाऊ शकतात. CMO मध्ये अर्जाचा सरासरी वेळ, एखाद्याच्या अपेक्षेप्रमाणे तो कमी झाला. जर, काही कारणास्तव, आम्ही क्यूएसमध्ये एखादे ॲप्लिकेशन घालवलेला वेळ पूर्णपणे कमी करण्याचा प्रयत्न करत असल्यास (उदाहरणार्थ, जर क्यूएसमध्ये राहणे ॲप्लिकेशनसाठी धोकादायक असेल), तर असे होऊ शकते की, थ्रूपुटमध्ये कपात करूनही, तरीही तीन चॅनेल एकामध्ये एकत्र करणे फायदेशीर ठरेल.
आता QS च्या कामावर "सर्व एकसारखे" प्रकारच्या परस्पर सहाय्याच्या प्रभावाचा विचार करूया. साधेपणासाठी, आम्ही केवळ अमर्यादित रांगेची केस घेतो. स्वाभाविकच, या प्रकरणात QS च्या थ्रूपुटवर परस्पर सहाय्याचा कोणताही प्रभाव राहणार नाही, कारण कोणत्याही परिस्थितीत सर्व येणाऱ्या विनंत्या पूर्ण केल्या जातील. प्रतीक्षा करण्याच्या वैशिष्ट्यांवर परस्पर सहाय्याच्या प्रभावाबद्दल प्रश्न उद्भवतो: रांगेची सरासरी लांबी, सरासरी प्रतीक्षा वेळ, सेवेमध्ये घालवलेला सरासरी वेळ.
परस्पर सहाय्याशिवाय सेवेसाठी (6.13), (6.14) § 6 सूत्रांच्या आधारे, रांगेतील विनंत्यांची सरासरी संख्या असेल
सरासरी प्रतीक्षा वेळ:
आणि सिस्टममधील सरासरी निवास वेळ:
जर "सर्व एक म्हणून" प्रकारची परस्पर सहाय्य वापरली गेली, तर सिस्टम पॅरामीटर्ससह एकल-चॅनेल म्हणून कार्य करेल.
आणि त्याची वैशिष्ट्ये सूत्रांद्वारे निर्धारित केली जातात (5.14), (5.15) § 5:
उदाहरण 2. अमर्यादित रांगेसह तीन-चॅनेल QS आहे; अनुप्रयोगांच्या प्रवाहाची तीव्रता (अनुप्रयोग प्रति मिनिट), सरासरी सेवा वेळ कार्य फायदेशीर अर्थ:
रांगेची सरासरी लांबी,
सेवेसाठी सरासरी प्रतीक्षा वेळ,
अर्जाचा सीएमओमध्ये राहण्याचा सरासरी वेळ
"सर्व एकसारखे" सारख्या चॅनेलमध्ये परस्पर सहाय्य सुरू करायचे?
उपाय अ. परस्पर सहाय्य नाही.
(9.1) - (9.4) सूत्रांनुसार आपल्याकडे आहे
(3-2)
b परस्पर सहकार्याने
सूत्रे वापरून (9.5) - (9.7) आम्ही शोधतो;
अशा प्रकारे, रांगेची सरासरी लांबी आणि परस्पर सहाय्याच्या बाबतीत रांगेतील सरासरी प्रतीक्षा वेळ जास्त आहे, परंतु अनुप्रयोग प्रणालीमध्ये राहण्याचा सरासरी वेळ कमी आहे.
विचारात घेतलेल्या उदाहरणांवरून, हे स्पष्ट होते की परस्पर सहाय्य "सर्व एक म्हणून" रोख प्रकार, नियमानुसार, सेवेची कार्यक्षमता वाढवण्यास हातभार लावत नाही: विनंती सेवा प्रणालीमध्ये राहण्याचा वेळ कमी होतो, परंतु इतर सेवा वैशिष्ट्ये खराब होतात.
म्हणून, सेवा शिस्त बदलणे इष्ट आहे जेणेकरून चॅनेलमधील परस्पर सहाय्य सर्व चॅनेल व्यस्त असताना दिसल्यास सेवेसाठी नवीन विनंत्या स्वीकारण्यात व्यत्यय आणू नये.
आपण खालील प्रकारच्या परस्पर सहाय्याला “एकसमान परस्पर सहाय्य” म्हणू या. सर्व चॅनेल विनामूल्य असताना विनंती आल्यास, सर्व चॅनेल सर्व्हिसिंगसाठी स्वीकारले जातात; जर, एखादा अनुप्रयोग सर्व्हिसिंगच्या वेळी, दुसरा आला तर, काही चॅनेल त्याच्या सर्व्हिसिंगवर स्विच करतात; जर, या दोन विनंत्या सर्व्हिस केल्या जात असताना, दुसरी आली, सर्व चॅनेल व्यापले जाईपर्यंत काही चॅनेल सर्व्हिसिंगवर स्विच करतात, इ. असे असल्यास, नवीन आलेला अर्ज नाकारला जाईल (नकारासह QS मध्ये) किंवा रांगेत उभा केला जाईल (प्रतिक्षा असलेल्या QS मध्ये).
परस्पर सहाय्याच्या या शिस्तीने, अर्ज नाकारला जातो किंवा त्याची सेवा करणे शक्य नसते तेव्हाच त्याला रांगेत उभे केले जाते. चॅनेलच्या "डाउनटाइम" साठी, या परिस्थितीत ते कमी आहे: सिस्टममध्ये किमान एक विनंती असल्यास, सर्व चॅनेल कार्यरत आहेत.
आम्ही वर नमूद केले आहे की जेव्हा एखादी नवीन विनंती दिसते तेव्हा काही व्यस्त चॅनेल रिलीझ केले जातात आणि नवीन आलेल्या विनंतीची सेवा करण्यासाठी स्विच केले जातात. कोणता भाग? अंजीर मध्ये दर्शविल्याप्रमाणे, रेखीय संबंधाचे स्वरूप असल्यास ते कार्याच्या प्रकारावर अवलंबून असते. 5.12, आणि जोपर्यंत सर्व चॅनेल व्यापलेले आहेत तोपर्यंत चॅनेलचा कोणता भाग नव्याने प्राप्त झालेल्या विनंतीसाठी वाटप केला गेला आहे हे महत्त्वाचे नाही (नंतर विनंत्यांमधील कोणत्याही चॅनेलच्या वितरणासाठी सेवांची एकूण तीव्रता समान असेल). हे सिद्ध केले जाऊ शकते की वक्र वरच्या दिशेने बहिर्गोल असल्यास, अंजीर मध्ये दर्शविल्याप्रमाणे. 5.11, नंतर तुम्हाला विनंत्यांमध्ये शक्य तितक्या समान रीतीने चॅनेल वितरित करणे आवश्यक आहे.
चॅनेल दरम्यान "एकसमान" परस्पर सहाय्यासह -चॅनेल QS च्या ऑपरेशनचा विचार करूया.
समस्येचे सूत्रीकरण.प्रवेशद्वारावर n-चॅनेल QS घनतेसह विनंत्यांचा सर्वात सोपा प्रवाह प्राप्त करतो. प्रत्येक चॅनेलसाठी सर्वात सोप्या सेवा प्रवाहाची घनता μ आहे. सेवेसाठी प्राप्त झालेल्या विनंतीस सर्व चॅनेल विनामूल्य आढळल्यास, ते सेवेसाठी स्वीकारले जाते आणि एकाच वेळी सेवा दिली जाते l चॅनेल ( l < n). या प्रकरणात, एका अनुप्रयोगासाठी सेवांच्या प्रवाहाची तीव्रता असेल l.
सेवेसाठी प्राप्त झालेल्या विनंतीस सिस्टममध्ये एक विनंती आढळल्यास, नंतर केव्हा n ≥ 2lनवीन आलेला अर्ज सेवेसाठी स्वीकारला जाईल आणि त्याच वेळी सर्व्हिस केला जाईल lचॅनेल
सेवेसाठी प्राप्त केलेली विनंती सिस्टममध्ये पकडली गेल्यास iअनुप्रयोग ( i= ०.१, ...), तर ( i+ 1)l≤ n, त्यानंतर प्राप्त अर्जाची सेवा केली जाईल lएकूण कामगिरीसह चॅनेल l. जर नवीन प्राप्त झालेला अर्ज सिस्टीममध्ये पकडला गेला तर jअर्ज आणि त्याच वेळी दोन असमानता संयुक्तपणे समाधानी आहेत: ( j + 1)l > nआणि j < n, त्यानंतर सेवेसाठी अर्ज स्वीकारला जाईल. या प्रकरणात, काही अनुप्रयोग सर्व्ह केले जाऊ शकतात lचॅनेल, दुसरा भाग पेक्षा लहान आहे l, चॅनेलची संख्या आहे, परंतु प्रत्येकजण सर्व्हिसिंगमध्ये व्यस्त असेल nचॅनेल जे यादृच्छिकपणे अनुप्रयोगांमध्ये वितरीत केले जातात. नवीन प्राप्त झालेला अर्ज सिस्टीममध्ये अडकल्यास nअर्ज, नंतर ते नाकारले जातात आणि सर्व्ह केले जाणार नाहीत. सर्व्हिसिंगसाठी प्राप्त झालेला अर्ज पूर्ण होईपर्यंत सर्व्हिस केला जातो ("रुग्ण" अनुप्रयोग).
अशा प्रणालीचा राज्य आलेख अंजीर मध्ये दर्शविला आहे. ३.८.
तांदूळ. ३.८. अयशस्वी आणि आंशिक QS राज्यांचा आलेख
चॅनेल दरम्यान परस्पर सहाय्य
राज्यापर्यंतच्या प्रणालीचा राज्य आलेख लक्षात घ्या x hफ्लो पॅरामीटर्सच्या नोटेशनपर्यंत, ते अयशस्वी असलेल्या शास्त्रीय रांग प्रणालीच्या राज्य आलेखाशी जुळते, अंजीर मध्ये दर्शविलेले आहे. ३.६.
त्यामुळे,
(i
= 0, 1, ..., h).
राज्यापासून सुरू होणारा प्रणाली स्थिती आलेख x hआणि राज्यासह समाप्त x n, अंजीर मध्ये दर्शविलेल्या संपूर्ण परस्पर सहाय्यासह QS च्या स्टेट आलेखाशी, नोटेशन पर्यंत एकरूप होतो. ३.७. अशा प्रकारे,
.
चला नोटेशन ओळखूया λ / lμ = ρ l ; λ / nμ = χ, नंतर
सामान्य स्थिती लक्षात घेऊन, आम्ही प्राप्त करतो
चला सिस्टमची वैशिष्ट्ये शोधूया.
सिस्टीममधील अर्जांची सरासरी संख्या आहे
व्यस्त चॅनेलची सरासरी संख्या
.
विशिष्ट चॅनेल व्यस्त असण्याची शक्यता
.
सर्व सिस्टम चॅनेलच्या व्यापण्याची शक्यता
समस्येचे सूत्रीकरण.प्रवेशद्वारावर n-चॅनेल QS प्रणालीला एकूण तीव्रतेसह एक विषम साधा प्रवाह प्राप्त होतो λ Σ , आणि
λ Σ
=
,
जेथे λ i- मध्ये अनुप्रयोगांची तीव्रता iवा स्रोत.
विनंत्यांचा प्रवाह हा विविध स्त्रोतांकडून आवश्यकतेचा वरचष्मा मानला जात असल्याने, सरावासाठी पुरेशा अचूकतेसह एकत्रित प्रवाहासाठी पॉसॉन मानले जाऊ शकते. एन = 5...20 आणि λ i ≈ λ i +1 (i1,एन). एका उपकरणाची सेवा तीव्रता घातांकीय कायद्यानुसार वितरीत केली जाते आणि μ = 1/ च्या बरोबरीची असते. ट. विनंती सर्व्ह करण्यासाठी सर्व्हिसिंग डिव्हाइसेस मालिकेत जोडलेले आहेत, जे सर्व्हिसिंगसाठी डिव्हाइसेसची संख्या जितक्या वेळा एकत्रित केली जाते तितक्या वेळा सेवा वेळ वाढवण्याइतकी आहे:
ट obs = kt, μ obs = 1 / kt = μ/ k,
कुठे ट obs - सर्व्हिसिंग वेळेची विनंती करा; k- सेवा उपकरणांची संख्या; μ obs - सेवा तीव्रतेची विनंती करा.
धडा 2 मध्ये स्वीकारलेल्या गृहितकांच्या चौकटीत, आम्ही QS चे राज्य वेक्टर म्हणून प्रस्तुत करतो, जेथे k मी- सिस्टममधील अनुप्रयोगांची संख्या, ज्यापैकी प्रत्येक सेवा दिली जाते मीउपकरणे; एल = qकमाल - qकिमान +1 - इनपुट प्रवाहांची संख्या.
मग व्यापलेल्या आणि विनामूल्य उपकरणांची संख्या ( nझान ( 
),n sv ( 
)) सक्षम 
खालीलप्रमाणे परिभाषित केले आहे:
राज्यातून 
प्रणाली इतर कोणत्याही राज्यात जाऊ शकते 
. यंत्रणा कार्यरत असल्याने एलइनपुट प्रवाह, नंतर प्रत्येक राज्यातून ते संभाव्यपणे शक्य आहे एलथेट संक्रमणे. तथापि, मर्यादित प्रणाली संसाधनांमुळे, ही सर्व संक्रमणे व्यवहार्य नाहीत. एसएमओची अवस्था होऊ द्या 
आणि मागणी करणारी विनंती येते मीउपकरणे तर मी≤ n sv ( 
), नंतर सेवेसाठी विनंती स्वीकारली जाते आणि सिस्टम तीव्रतेच्या स्थितीत जाते λ मी. ऍप्लिकेशनला उपलब्ध आहे त्यापेक्षा जास्त उपकरणांची आवश्यकता असल्यास, ती सेवा नाकारली जाईल आणि QS राज्यातच राहील 
. जमलं तर 
आवश्यक अर्ज आहेत मीउपकरणे, नंतर त्या प्रत्येकाची तीव्रतेने सेवा केली जाते मी, आणि अशा विनंत्या पूर्ण करण्याची एकूण तीव्रता (μ मी) ची व्याख्या μ म्हणून केली जाते मी
= k मी μ
/ मी. विनंत्यांपैकी एक पूर्ण झाल्यावर, सिस्टम अशा स्थितीत जाईल ज्यामध्ये संबंधित समन्वयाचे मूल्य राज्यापेक्षा एक कमी असेल. 
,
=, म्हणजे उलट संक्रमण होईल. अंजीर मध्ये. 3.9 साठी QS च्या वेक्टर मॉडेलचे उदाहरण दाखवते n
= 3, एल
= 3, qमि = १, qकमाल = ३, पी(मी) = 1/3, λ Σ = λ, उपकरण देखभालीची तीव्रता – μ.
तांदूळ. ३.९. सेवा अपयशासह QS च्या वेक्टर मॉडेलच्या आलेखाचे उदाहरण
त्यामुळे प्रत्येक राज्य 
विशिष्ट प्रकारच्या सेवा केलेल्या अनुप्रयोगांच्या संख्येद्वारे वैशिष्ट्यीकृत. उदाहरणार्थ, एखाद्या राज्यात 
एक विनंती एका उपकरणाद्वारे आणि एक विनंती दोन उपकरणांद्वारे दिली जाते. या स्थितीत, सर्व उपकरणे व्यस्त आहेत, म्हणूनच, केवळ उलट संक्रमण शक्य आहे (या राज्यात कोणत्याही विनंतीचे आगमन सेवेला नकार देते). पहिल्या प्रकारच्या विनंतीचे सर्व्हिसिंग आधी संपले असल्यास, सिस्टम राज्यात जाईल 
(0,1,0) तीव्रतेसह μ, परंतु जर दुसऱ्या प्रकारच्या विनंतीची सर्व्हिसिंग आधी संपली असेल, तर सिस्टम राज्यात जाईल 
(0,1,0) तीव्रतेसह μ/2.
प्लॉट केलेल्या संक्रमण तीव्रतेसह राज्य आलेख वापरून, रेखीय बीजगणितीय समीकरणांची एक प्रणाली संकलित केली जाते. या समीकरणांच्या सोल्युशनमधून संभाव्यता शोधल्या जातात आर(
), ज्याद्वारे QS ची वैशिष्ट्ये निर्धारित केली जातात.
शोधण्याचा विचार करा आर otk (सेवा नाकारण्याची शक्यता).
,
कुठे एस- वेक्टर QS मॉडेलच्या आलेखाच्या राज्यांची संख्या; आर(
) ही प्रणाली राज्यात असण्याची शक्यता आहे 
.
त्यानुसार राज्यांची संख्या खालीलप्रमाणे निर्धारित केली जाते:
,
(3.22)
;
अंजीर मध्ये दर्शविलेल्या उदाहरणासाठी (3.22) नुसार वेक्टर QS मॉडेलच्या अवस्थांची संख्या निश्चित करू. ३.९.
.
त्यामुळे, एस = 1 + 5 + 1 = 7.
सेवा उपकरणांसाठी वास्तविक आवश्यकता लागू करण्यासाठी, पुरेशी मोठ्या संख्येने n
(40, ..., 50), आणि व्यवहारात अनुप्रयोगातील सर्व्हिंग डिव्हाइसेसच्या संख्येसाठी विनंत्या 8-16 च्या श्रेणीत आहेत. साधने आणि विनंत्या अशा गुणोत्तराने, संभाव्यता शोधण्याचा प्रस्तावित मार्ग अत्यंत त्रासदायक बनतो, कारण QS च्या वेक्टर मॉडेलमध्ये मोठ्या प्रमाणात राज्ये आहेत एस(50)
= 1790, एस(60)
= 4676, एस(70) = = 11075, आणि बीजगणितीय समीकरणांच्या प्रणालीच्या गुणांक मॅट्रिक्सचा आकार वर्गाच्या प्रमाणात आहे एस, ज्यासाठी मोठ्या प्रमाणात संगणक मेमरी आणि संगणकीय वेळेची महत्त्वपूर्ण रक्कम आवश्यक आहे. गणनेचे प्रमाण कमी करण्याच्या इच्छेने आवर्ती गणना क्षमता शोधण्यास उत्तेजन दिले. आर(
) राज्य संभाव्यता दर्शविण्याच्या गुणाकार स्वरूपांवर आधारित. पेपर गणना करण्यासाठी एक दृष्टीकोन सादर करते आर(
):
(3.23)
कामामध्ये प्रस्तावित केलेल्या मार्कोव्ह चेनच्या जागतिक आणि तपशीलवार समतोलतेच्या निकषाचा वापर केल्याने आम्हाला समस्येचे परिमाण कमी करण्यास आणि गणनांच्या पुनरावृत्तीचा वापर करून मध्यम-शक्तीच्या संगणकावर गणना करण्यास अनुमती मिळते. याव्यतिरिक्त, हे शक्य आहे:
- कोणत्याही मूल्यांसाठी गणना करा n;
- गणना वेगवान करा आणि मशीनच्या वेळेचा खर्च कमी करा.
प्रणालीची इतर वैशिष्ट्ये अशाच प्रकारे निर्धारित केली जाऊ शकतात.
