Beskrivelse av elementære funksjoner. Elementær funksjon

1) Funksjonsdomene og funksjonsområde.

Domenet til en funksjon er settet med alle gyldige gyldige argumentverdier x(variabel x), som funksjonen for y = f(x) fast bestemt. Rekkevidden til en funksjon er settet av alle reelle verdier y, som funksjonen godtar.

I elementær matematikk studeres funksjoner bare på settet med reelle tall.

2) Funksjonsnuller.

Funksjon null er verdien av argumentet der verdien av funksjonen er lik null.

3) Intervaller av konstant fortegn for en funksjon.

Intervaller med konstant fortegn for en funksjon er sett med argumentverdier der funksjonsverdiene bare er positive eller bare negative.

4) Monotonicitet av funksjonen.

En økende funksjon (i et visst intervall) er en funksjon der en større verdi av argumentet fra dette intervallet tilsvarer en større verdi av funksjonen.

En avtagende funksjon (i et visst intervall) er en funksjon der en større verdi av argumentet fra dette intervallet tilsvarer en mindre verdi av funksjonen.

5) Partall (oddelig) funksjon.

En jevn funksjon er en funksjon hvis definisjonsdomene er symmetrisk med hensyn til opprinnelsen og for enhver X fra definisjonsdomenet likheten f(-x) = f(x). Grafen til en jevn funksjon er symmetrisk om ordinaten.

En oddetallsfunksjon er en funksjon hvis definisjonsdomene er symmetrisk med hensyn til opprinnelsen og for evt. X fra definisjonsdomenet er likheten sann f(-x) = - f(x). Grafen til en oddetallsfunksjon er symmetrisk om opprinnelsen.

6) Begrensede og ubegrensede funksjoner.

En funksjon kalles begrenset hvis det er et positivt tall M slik at |f(x)| ≤ M for alle verdier av x. Hvis et slikt nummer ikke eksisterer, er funksjonen ubegrenset.

7) Periodisitet av funksjonen.

En funksjon f(x) er periodisk hvis det er et tall som ikke er null, slik at for enhver x fra definisjonsdomenet til funksjonen gjelder følgende: f(x+T) = f(x). Dette minste tallet kalles funksjonens periode. Alle trigonometriske funksjoner er periodiske. (Trigonometriske formler).

19. Grunnleggende elementære funksjoner, deres egenskaper og grafer. Anvendelse av funksjoner i økonomi.

Grunnleggende elementære funksjoner. Deres egenskaper og grafer

1. Lineær funksjon.

Lineær funksjon kalles en funksjon av formen , der x er en variabel, a og b er reelle tall.

Antall EN kalt helningen til linjen, er den lik tangenten til helningsvinkelen til denne linjen til den positive retningen til x-aksen. Grafen til en lineær funksjon er en rett linje. Det er definert av to punkter.

Egenskaper til en lineær funksjon

1. Definisjonsdomene - settet av alle reelle tall: D(y)=R

2. Settet med verdier er settet av alle reelle tall: E(y)=R

3. Funksjonen tar en nullverdi når eller.

4. Funksjonen øker (minker) over hele definisjonsdomenet.

5. En lineær funksjon er kontinuerlig over hele definisjonsdomenet, differensierbar og .

2. Kvadratisk funksjon.

En funksjon av formen, der x er en variabel, koeffisientene a, b, c er reelle tall, kalles kvadratisk

Med tanke på funksjoner til en kompleks variabel, definerte Liouville elementære funksjoner noe bredere. Elementær funksjon y variabel x- analytisk funksjon, som kan representeres som en algebraisk funksjon av x og funksjoner , og er logaritmen eller eksponenten til en algebraisk funksjon g 1 fra x .

For eksempel synd( x) - algebraisk funksjon av e Jegx .

Uten å begrense allmennheten av hensynet, kan vi betrakte funksjonene som algebraisk uavhengige, det vil si hvis den algebraiske ligningen er tilfredsstilt for alle x, så alle koeffisientene til polynomet er lik null.

Differensiering av elementære funksjoner

Hvor z 1 "(z) er lik eller g 1 " / g 1 eller z 1 g 1" avhengig av om det er en logaritme z 1 eller eksponentiell osv. I praksis er det praktisk å bruke en derivert tabell.

Integrering av elementære funksjoner

Liouvilles teorem er grunnlaget for å lage algoritmer for symbolsk integrasjon av elementære funksjoner, implementert for eksempel i

Beregning av grenser

Liouvilles teori gjelder ikke for beregning av grenser. Det er ikke kjent om det finnes en algoritme som, gitt en sekvens gitt av en elementær formel, gir svar på om den har en grense eller ikke. For eksempel er spørsmålet åpent om sekvensen konvergerer.

Litteratur

J. Liouville. Mémoire sur l'intégration d'une classe de fonctions transcendantes// J. Reine Angew. Matte. Bd. 13, s. 93-118. (1835)
J.F. Ritt. Integrasjon i endelige termer. N.-Y., 1949 // http://lib.homelinux.org
A.G. Khovansky. Topologisk Galois-teori: løsbarhet og uløselighet av likninger i endelig form Ch. 1. M, 2007

Notater

Wikimedia Foundation. 2010.

Elementær eksitasjon
Elementært resultat

Se hva "Elementær funksjon" er i andre ordbøker:

elementær funksjon- En funksjon som, hvis den er delt inn i mindre funksjoner, ikke kan defineres unikt i det digitale overføringshierarkiet. Derfor er det fra nettverkets synspunkt udelelig (ITU T G.806). Emner: telekommunikasjon, grunnleggende konsepter EN tilpasningsfunksjonA... Teknisk oversetterveiledning

funksjon av interaksjon mellom nettverksnivåer- En elementær funksjon som gir interaksjon av karakteristisk informasjon mellom to nettverkslag. (ITU T G.806). Emner: telekommunikasjon, grunnleggende konsepter for EN-lag... ... Teknisk oversetterveiledning

Kunnskap grunnleggende elementære funksjoner, deres egenskaper og grafer ikke mindre viktig enn å kunne multiplikasjonstabellene. De er som grunnlaget, alt er basert på dem, alt er bygget fra dem og alt kommer ned til dem.

I denne artikkelen vil vi liste opp alle de viktigste elementære funksjonene, gi grafene deres og gi uten konklusjon eller bevis egenskaper til grunnleggende elementære funksjoner i henhold til ordningen:

oppførsel av en funksjon ved grensene til definisjonsdomenet, vertikale asymptoter (om nødvendig, se artikkelen klassifisering av diskontinuitetspunkter for en funksjon);
partall og oddetall;
intervaller for konveksitet (konveksitet oppover) og konkavitet (konveksitet nedover), bøyningspunkter (om nødvendig, se artikkelen konveksitet til en funksjon, retning av konveksitet, bøyningspunkter, konveksitets- og bøyningsbetingelser);
skrå og horisontale asymptoter;
enkeltstående punkter av funksjoner;
spesielle egenskaper til noen funksjoner (for eksempel den minste positive perioden med trigonometriske funksjoner).

Hvis du er interessert i eller, kan du gå til disse delene av teorien.

Grunnleggende elementære funksjoner er: konstant funksjon (konstant), n-te rot, potensfunksjon, eksponentiell, logaritmisk funksjon, trigonometriske og inverse trigonometriske funksjoner.

Sidenavigering.

Permanent funksjon.

En konstant funksjon er definert på settet av alle reelle tall av formelen , hvor C er et reelt tall. En konstantfunksjon assosierer hver reelle verdi av den uavhengige variabelen x med samme verdi av den avhengige variabelen y - verdien C. En konstantfunksjon kalles også en konstant.

Grafen til en konstant funksjon er en rett linje parallelt med x-aksen og som går gjennom punktet med koordinater (0,C). La oss for eksempel vise grafer over konstantfunksjonene y=5, y=-2 og, som i figuren nedenfor tilsvarer henholdsvis de svarte, røde og blå linjene.

Egenskaper til en konstant funksjon.

Domene: hele settet med reelle tall.
Konstantfunksjonen er jevn.
Verdiområde: et sett som består av entall C.
En konstant funksjon er ikke-økende og ikke-minskende (det er derfor den er konstant).
Det gir ingen mening å snakke om konveksitet og konkavitet av en konstant.
Det er ingen asymptoter.
Funksjonen går gjennom punktet (0,C) til koordinatplanet.

n-te rot.

La oss vurdere den grunnleggende elementære funksjonen, som er gitt av formelen , hvor n er et naturlig tall større enn én.

Roten av n-te grad, n er et partall.

La oss starte med den n-te rotfunksjonen for jevne verdier av roteksponenten n.

Som et eksempel, her er et bilde med bilder av funksjonsgrafer og , de tilsvarer svarte, røde og blå linjer.

Grafene til rotfunksjoner med jevne grader har et lignende utseende for andre verdier av eksponenten.

Egenskaper til den n-te rotfunksjonen for jevn n.

Den n-te roten, n er et oddetall.

Den n-te rotfunksjonen med en oddetallseksponent n er definert på hele settet med reelle tall. For eksempel, her er funksjonsgrafene og , de tilsvarer svarte, røde og blå kurver.

For andre oddeverdier av roteksponenten vil funksjonsgrafene ha et lignende utseende.

Egenskaper til den n-te rotfunksjonen for odde-n.

Power funksjon.

Potensfunksjonen er gitt av en formel av formen.

La oss vurdere formen til grafer for en potensfunksjon og egenskapene til en potensfunksjon avhengig av verdien til eksponenten.

La oss starte med en potensfunksjon med en heltallseksponent a. I dette tilfellet avhenger utseendet til grafene til maktfunksjoner og egenskapene til funksjonene av eksponentens jevnhet eller oddelighet, så vel som fortegn. Derfor vil vi først vurdere potensfunksjoner for odde positive verdier av eksponenten a, deretter for partall positive eksponenter, deretter for odde negative eksponenter, og til slutt, for partall negativ a.

Egenskapene til potensfunksjoner med brøk- og irrasjonelle eksponenter (så vel som typen grafer for slike potensfunksjoner) avhenger av verdien av eksponenten a. Vi vil vurdere dem for det første for en fra null til én, for det andre for en større enn én, for det tredje for en fra minus én til null, for det fjerde for en mindre enn minus én.

På slutten av denne delen vil vi for fullstendighets skyld beskrive en potensfunksjon med null eksponent.

Potensfunksjon med oddetall positiv eksponent.

La oss vurdere en potensfunksjon med en oddetall positiv eksponent, det vil si med a = 1,3,5,....

Figuren nedenfor viser grafer over potensfunksjoner - svart linje, - blå linje, - rød linje, - grønn linje. For a=1 har vi lineær funksjon y=x.

Egenskaper til en potensfunksjon med en oddetall positiv eksponent.

Power funksjon med jevn positiv eksponent.

La oss vurdere en potensfunksjon med en jevn positiv eksponent, det vil si for a = 2,4,6,....

Som et eksempel gir vi grafer over potensfunksjoner – svart linje, – blå linje, – rød linje. For a=2 har vi en kvadratisk funksjon, grafen som er kvadratisk parabel.

Egenskaper til en potensfunksjon med en jevn positiv eksponent.

Potensfunksjon med oddetall negativ eksponent.

Se på grafene til potensfunksjonen for odde negative verdier av eksponenten, det vil si for a = -1, -3, -5, ....

Figuren viser grafer over potensfunksjoner som eksempler - svart linje, - blå linje, - rød linje, - grønn linje. For a=-1 har vi omvendt proporsjonalitet, hvis graf er hyperbel.

Egenskaper til en potensfunksjon med en oddetall negativ eksponent.

Potensfunksjon med til og med negativ eksponent.

La oss gå videre til strømfunksjonen for a=-2,-4,-6,….

Figuren viser grafer over potensfunksjoner – svart linje, – blå linje, – rød linje.

Egenskaper til en potensfunksjon med en jevn negativ eksponent.

En potensfunksjon med en rasjonell eller irrasjonell eksponent hvis verdi er større enn null og mindre enn én.

Merk! Hvis a er en positiv brøk med en oddetall, så anser noen forfattere at definisjonsdomenet til potensfunksjonen er intervallet. Det er fastsatt at eksponenten a er en irreduserbar brøk. Nå DEFINERER IKKE forfatterne av mange lærebøker om algebra og analyseprinsipper potensfunksjoner med en eksponent i form av en brøkdel med en oddetall for negative verdier av argumentet. Vi vil holde oss til nettopp dette synet, det vil si at vi vil betrakte settet som domenene for definisjon av potensfunksjoner med positive brøkeksponenter. Vi anbefaler at elevene finner ut lærerens mening om dette subtile punktet for å unngå uenighet.

La oss vurdere en potensfunksjon med en rasjonell eller irrasjonell eksponent a, og .

La oss presentere grafer av potensfunksjoner for a=11/12 (svart linje), a=5/7 (rød linje), (blå linje), a=2/5 (grønn linje).

En potensfunksjon med en ikke-heltallsrasjonell eller irrasjonell eksponent større enn én.

La oss vurdere en potensfunksjon med en ikke-heltallsrasjonell eller irrasjonell eksponent a, og .

La oss presentere grafer av potensfunksjoner gitt av formlene (hhv. svarte, røde, blå og grønne linjer).

For andre verdier av eksponenten a, vil grafene til funksjonen ha et lignende utseende.

Egenskaper til strømfunksjonen ved .

En potensfunksjon med en reell eksponent som er større enn minus én og mindre enn null.

Merk! Hvis a er en negativ brøk med en oddetall, så anser noen forfattere at definisjonsdomenet til en potensfunksjon er intervallet . Det er fastsatt at eksponenten a er en irreduserbar brøk. Nå DEFINERER IKKE forfatterne av mange lærebøker om algebra og analyseprinsipper potensfunksjoner med en eksponent i form av en brøkdel med en oddetall for negative verdier av argumentet. Vi vil holde oss til nettopp dette synet, det vil si at vi vil vurdere definisjonsdomenene for potensfunksjoner med brøkdeler negative eksponenter som henholdsvis et sett. Vi anbefaler at elevene finner ut lærerens mening om dette subtile punktet for å unngå uenighet.

La oss gå videre til kraftfunksjonen, kgd.

For å ha en god ide om formen til grafer av potensfunksjoner for , gir vi eksempler på grafer av funksjoner (hhv. svarte, røde, blå og grønne kurver).

Egenskaper til en potensfunksjon med eksponent a, .

En potensfunksjon med en ikke-heltalls reell eksponent som er mindre enn minus én.

La oss gi eksempler på grafer av potensfunksjoner for , de er avbildet med henholdsvis svarte, røde, blå og grønne linjer.

Egenskaper til en potensfunksjon med en ikke-heltall negativ eksponent mindre enn minus én.

Når a = 0, har vi en funksjon - dette er en rett linje som punktet (0;1) er ekskludert fra (det ble avtalt å ikke tillegge uttrykket 0 0 noen betydning).

Eksponentiell funksjon.

En av de viktigste elementære funksjonene er eksponentialfunksjonen.

Grafen til eksponentialfunksjonen, hvor og har forskjellige former avhengig av verdien av grunntallet a. La oss finne ut av dette.

Tenk først på tilfellet når basen til eksponentialfunksjonen tar en verdi fra null til én, det vil si .

Som et eksempel presenterer vi grafer av eksponentialfunksjonen for a = 1/2 – blå linje, a = 5/6 – rød linje. Grafene til eksponentialfunksjonen har et lignende utseende for andre verdier av basen fra intervallet.

Egenskaper til en eksponentiell funksjon med en base mindre enn én.

La oss gå videre til tilfellet når basen til eksponentialfunksjonen er større enn én, det vil si .

Som en illustrasjon presenterer vi grafer av eksponentielle funksjoner - blå linje og - rød linje. For andre verdier av basen større enn én, vil grafene til eksponentialfunksjonen ha et lignende utseende.

Egenskaper til en eksponentiell funksjon med en base større enn én.

Logaritmisk funksjon.

Den neste grunnleggende elementære funksjonen er den logaritmiske funksjonen, der , . Den logaritmiske funksjonen er definert bare for positive verdier av argumentet, det vil si for .

Grafen til en logaritmisk funksjon har forskjellige former avhengig av verdien av grunntallet a.

Grunnleggende elementære funksjoner, deres iboende egenskaper og korresponderende grafer er en av de grunnleggende matematiske kunnskaper, tilsvarende betydningen multiplikasjonstabellen. Elementære funksjoner er grunnlaget, støtten for studiet av alle teoretiske problemstillinger.

Yandex.RTB R-A-339285-1

Artikkelen nedenfor gir nøkkelmateriale om emnet grunnleggende elementære funksjoner. Vi vil introdusere begreper, gi dem definisjoner; La oss studere hver type elementære funksjoner i detalj og analysere egenskapene deres.

Følgende typer grunnleggende elementære funksjoner skilles ut:

Definisjon 1

konstant funksjon (konstant);
nte rot;
makt funksjon;
eksponentiell funksjon;
logaritmisk funksjon;
trigonometriske funksjoner;
broderlige trigonometriske funksjoner.

En konstantfunksjon er definert av formelen: y = C (C er et visst reelt tall) og har også et navn: konstant. Denne funksjonen bestemmer korrespondansen mellom en hvilken som helst reell verdi av den uavhengige variabelen x til samme verdi av variabelen y - verdien av C.

Grafen til en konstant er en rett linje som er parallell med abscisseaksen og går gjennom et punkt som har koordinater (0, C). For klarhetens skyld presenterer vi grafer av konstante funksjoner y = 5, y = - 2, y = 3, y = 3 (angitt i henholdsvis svart, rød og blå farger på tegningen).

Definisjon 2

Denne elementære funksjonen er definert av formelen y = x n (n er et naturlig tall større enn én).

La oss vurdere to varianter av funksjonen.

n-te rot, n – partall

For klarhets skyld indikerer vi en tegning som viser grafer for slike funksjoner: y = x, y = x 4 og y = x8. Disse funksjonene er fargekodet: henholdsvis svart, rød og blå.

Grafene til en funksjon med jevn grad har et lignende utseende for andre verdier av eksponenten.

Definisjon 3

Egenskaper til den n-te rotfunksjonen, n er et partall

definisjonsdomene – settet av alle ikke-negative reelle tall [ 0 , + ∞) ;
når x = 0, funksjonen y = x n har en verdi lik null;
denne funksjonen er en funksjon av generell form (den er verken partall eller oddetall);
område: [ 0 , + ∞) ;
denne funksjonen y = x n med jevne roteksponenter øker gjennom hele definisjonsdomenet;
funksjonen har en konveksitet med en oppadgående retning gjennom hele definisjonsdomenet;
det er ingen bøyningspunkter;
det er ingen asymptoter;
grafen til funksjonen for jevn n går gjennom punktene (0; 0) og (1; 1).

n-te rot, n – oddetall

En slik funksjon er definert på hele settet med reelle tall. For klarhet, vurder grafene til funksjonene y = x 3, y = x 5 og x 9. På tegningen er de angitt med farger: svart, rød og blå er henholdsvis fargene på kurvene.

Andre oddeverdier av roteksponenten til funksjonen y = x n vil gi en graf av lignende type.

Definisjon 4

Egenskaper til den n-te rotfunksjonen, n er et oddetall

definisjonsdomene – settet av alle reelle tall;
denne funksjonen er merkelig;
verdiområde - settet med alle reelle tall;
funksjonen y = x n for odde roteksponenter øker over hele definisjonsdomenet;
funksjonen har konkavitet på intervallet (- ∞ ; 0 ] og konveksitet på intervallet [ 0 , + ∞);
bøyningspunktet har koordinater (0; 0);
det er ingen asymptoter;
Grafen til funksjonen for oddetall n går gjennom punktene (- 1 ; - 1), (0 ; 0) og (1 ; 1).

Power funksjon

Definisjon 5

Potensfunksjonen er definert av formelen y = x a.

Utseendet til grafene og egenskapene til funksjonen avhenger av verdien til eksponenten.

når en potensfunksjon har en heltallseksponent a, så avhenger typen graf til potensfunksjonen og dens egenskaper av om eksponenten er partall eller oddetall, samt hvilket fortegn eksponenten har. La oss vurdere alle disse spesielle tilfellene mer detaljert nedenfor;
eksponenten kan være brøkdel eller irrasjonell - avhengig av dette varierer også typen grafer og funksjonens egenskaper. Vi vil analysere spesielle tilfeller ved å sette flere betingelser: 0< a < 1 ; a > 1 ; - 1 < a < 0 и a < - 1 ;
en potensfunksjon kan ha en null-eksponent, vi vil også analysere dette tilfellet mer detaljert nedenfor.

La oss analysere kraftfunksjonen y = x a, når a er et oddetall, for eksempel, a = 1, 3, 5...

For klarhet angir vi grafene til slike potensfunksjoner: y = x (grafisk farge svart), y = x 3 (blå farge på grafen), y = x 5 (rød farge på grafen), y = x 7 (grafisk farge grønn). Når a = 1, får vi den lineære funksjonen y = x.

Definisjon 6

Egenskaper til en potensfunksjon når eksponenten er oddetall positiv

funksjonen øker for x ∈ (- ∞ ; + ∞) ;
funksjonen har konveksitet for x ∈ (- ∞ ; 0 ] og konkavitet for x ∈ [ 0 ; + ∞) (unntatt den lineære funksjonen);
bøyningspunktet har koordinater (0 ; 0) (unntatt lineær funksjon);
det er ingen asymptoter;
overgangspunkter for funksjonen: (- 1 ; - 1) , (0 ; 0) , (1 ; 1) .

La oss analysere kraftfunksjonen y = x a, når a er et partall positivt tall, for eksempel, a = 2, 4, 6...

For klarhet angir vi grafene for slike potensfunksjoner: y = x 2 (grafisk farge svart), y = x 4 (blå farge på grafen), y = x 8 (rød farge på grafen). Når a = 2, får vi en kvadratisk funksjon, hvis graf er en kvadratisk parabel.

Definisjon 7

Egenskaper til en potensfunksjon når eksponenten til og med er positiv:

definisjonsdomene: x ∈ (- ∞ ; + ∞) ;
avtagende for x ∈ (- ∞ ; 0 ] ;
funksjonen har konkavitet for x ∈ (- ∞ ; + ∞) ;
det er ingen bøyningspunkter;
det er ingen asymptoter;
overgangspunkter for funksjonen: (- 1 ; 1) , (0 ; 0), (1 ; 1) .

Figuren nedenfor viser eksempler på potensfunksjonsgrafer y = x a når a er et negativt oddetall: y = x - 9 (grafisk farge svart); y = x - 5 (blå farge på grafen); y = x - 3 (rød farge på grafen); y = x - 1 (grafisk farge grønn). Når a = - 1, får vi invers proporsjonalitet, grafen som er en hyperbel.

Definisjon 8

Egenskaper til en potensfunksjon når eksponenten er oddetall negativ:

Når x = 0, får vi en diskontinuitet av den andre typen, siden lim x → 0 - 0 x a = - ∞, lim x → 0 + 0 x a = + ∞ for a = - 1, - 3, - 5, …. Dermed er den rette linjen x = 0 en vertikal asymptote;

område: y ∈ (- ∞ ; 0) ∪ (0 ; + ∞) ;
funksjonen er oddetall fordi y (- x) = - y (x);
funksjonen er avtagende for x ∈ - ∞ ; 0 ∪ (0 ; + ∞);
funksjonen har konveksitet for x ∈ (- ∞ ; 0) og konkavitet for x ∈ (0 ; + ∞) ;
det er ingen bøyningspunkter;

k = lim x → ∞ x a x = 0, b = lim x → ∞ (x a - k x) = 0 ⇒ y = k x + b = 0, når a = - 1, - 3, - 5, . . . .

overgangspunkter for funksjonen: (- 1 ; - 1), (1 ; 1) .

Figuren nedenfor viser eksempler på grafer for potensfunksjonen y = x a når a er et partall negativt tall: y = x - 8 (grafisk farge svart); y = x - 4 (blå farge på grafen); y = x - 2 (rød farge på grafen).

Definisjon 9

Egenskaper til en potensfunksjon når eksponenten til og med er negativ:

definisjonsdomene: x ∈ (- ∞ ; 0) ∪ (0 ; + ∞) ;

Når x = 0, får vi en diskontinuitet av den andre typen, siden lim x → 0 - 0 x a = + ∞, lim x → 0 + 0 x a = + ∞ for a = - 2, - 4, - 6, …. Dermed er den rette linjen x = 0 en vertikal asymptote;

funksjonen er partall fordi y(-x) = y(x);
funksjonen øker for x ∈ (- ∞ ; 0) og avtagende for x ∈ 0; + ∞ ;
funksjonen har konkavitet ved x ∈ (- ∞ ; 0) ∪ (0 ; + ∞) ;
det er ingen bøyningspunkter;
horisontal asymptote – rett linje y = 0, fordi:

k = lim x → ∞ x a x = 0 , b = lim x → ∞ (x a - k x) = 0 ⇒ y = k x + b = 0 når a = - 2 , - 4 , - 6 , . . . .

overgangspunkter for funksjonen: (- 1 ; 1) , (1 ; 1) .

Helt fra begynnelsen, vær oppmerksom på følgende aspekt: i tilfellet når a er en positiv brøk med en oddetall, tar noen forfattere intervallet - ∞ som definisjonsdomene for denne potensfunksjonen; + ∞ , som angir at eksponenten a er en irreduserbar brøk. For øyeblikket DEFINERER IKKE forfatterne av mange pedagogiske publikasjoner om algebra og analyseprinsipper potensfunksjoner, der eksponenten er en brøkdel med en odde nevner for negative verdier av argumentet. Videre vil vi holde oss til nøyaktig denne posisjonen: vi tar settet [ 0 ; + ∞). Anbefaling til elever: finn ut lærerens syn på dette punktet for å unngå uenighet.

Så, la oss se på strømfunksjonen y = x a , når eksponenten er et rasjonelt eller irrasjonelt tall, forutsatt at 0< a < 1 .

La oss illustrere potensfunksjonene med grafer y = x a når a = 11 12 (grafisk farge svart); a = 5 7 (rød farge på grafen); a = 1 3 (blå farge på grafen); a = 2 5 (grønn farge på grafen).

Andre verdier av eksponenten a (forutsatt 0< a < 1) дадут аналогичный вид графика.

Definisjon 10

Egenskaper for kraftfunksjonen ved 0< a < 1:

område: y ∈ [ 0 ; + ∞) ;
funksjonen øker for x ∈ [ 0 ; + ∞) ;
funksjonen er konveks for x ∈ (0 ; + ∞);
det er ingen bøyningspunkter;
det er ingen asymptoter;

La oss analysere kraftfunksjonen y = x a, når eksponenten er et ikke-heltallsrasjonalt eller irrasjonelt tall, forutsatt at a > 1.

La oss illustrere potensfunksjonen med grafer y = x a under gitte forhold ved å bruke følgende funksjoner som eksempel: y = x 5 4 , y = x 4 3 , y = x 7 3 , y = x 3 π (svart, rød, blå, grønn farge på grafene, henholdsvis).

Andre verdier av eksponenten a, gitt a > 1, vil gi en lignende graf.

Definisjon 11

Egenskaper for strømfunksjonen for en > 1:

definisjonsdomene: x ∈ [ 0 ; + ∞) ;
område: y ∈ [ 0 ; + ∞) ;
denne funksjonen er en funksjon av generell form (den er verken oddetall eller partall);
funksjonen øker for x ∈ [ 0 ; + ∞) ;
funksjonen har konkavitet for x ∈ (0 ; + ∞) (når 1< a < 2) и выпуклость при x ∈ [ 0 ; + ∞) (когда a > 2);
det er ingen bøyningspunkter;
det er ingen asymptoter;
overgangspunkter for funksjonen: (0 ; 0), (1 ; 1) .

Vær oppmerksom på at når a er en negativ brøk med en odde nevner, er det i verkene til noen forfattere en oppfatning at definisjonsdomenet i dette tilfellet er intervallet - ∞; 0 ∪ (0 ; + ∞) med forbehold om at eksponenten a er en irreduserbar brøk. For øyeblikket DEFINERER IKKE forfatterne av undervisningsmateriell om algebra og analyseprinsipper potensfunksjoner med en eksponent i form av en brøkdel med en oddetall for negative verdier av argumentet. Videre følger vi nøyaktig dette synet: vi tar mengden (0 ; + ∞) som domene for definisjon av potensfunksjoner med negative brøkeksponenter. Anbefaling til elevene: Klargjør lærerens visjon på dette tidspunktet for å unngå uenighet.

La oss fortsette emnet og analysere kraftfunksjonen y = x a gitt: - 1< a < 0 .

La oss presentere en tegning av grafer for følgende funksjoner: y = x - 5 6, y = x - 2 3, y = x - 1 2 2, y = x - 1 7 (svarte, røde, blå, grønne linjer, henholdsvis).

Definisjon 12

Egenskaper for strømfunksjonen ved - 1< a < 0:

lim x → 0 + 0 x a = + ∞ når - 1< a < 0 , т.е. х = 0 – вертикальная асимптота;

område: y ∈ 0 ; + ∞ ;
denne funksjonen er en funksjon av generell form (den er verken oddetall eller partall);
det er ingen bøyningspunkter;

Tegningen under viser grafer av potensfunksjoner y = x - 5 4, y = x - 5 3, y = x - 6, y = x - 24 7 (hhv. svarte, røde, blå, grønne farger på kurvene).

Definisjon 13

Egenskaper til kraftfunksjonen for en< - 1:

definisjonsdomene: x ∈ 0 ; + ∞ ;

lim x → 0 + 0 x a = + ∞ når a< - 1 , т.е. х = 0 – вертикальная асимптота;

område: y ∈ (0 ; + ∞) ;
denne funksjonen er en funksjon av generell form (den er verken oddetall eller partall);
funksjonen er avtagende for x ∈ 0; + ∞ ;
funksjonen har en konkavitet for x ∈ 0; + ∞ ;
det er ingen bøyningspunkter;
horisontal asymptote – rett linje y = 0;
overgangspunkt for funksjonen: (1; 1) .

Når a = 0 og x ≠ 0, får vi funksjonen y = x 0 = 1, som definerer linjen som punktet (0; 1) ekskluderes fra (det ble avtalt at uttrykket 0 0 ikke vil gis noen betydning ).

Eksponentialfunksjonen har formen y = a x, hvor a > 0 og a ≠ 1, og grafen til denne funksjonen ser annerledes ut basert på verdien av grunntallet a. La oss vurdere spesielle tilfeller.

La oss først se på situasjonen når basen til eksponentialfunksjonen har en verdi fra null til én (0< a < 1) . Et godt eksempel er grafene for funksjoner for a = 1 2 (blå farge på kurven) og a = 5 6 (rød farge på kurven).

Grafene til eksponentialfunksjonen vil ha et lignende utseende for andre verdier av basen under betingelsen 0< a < 1 .

Definisjon 14

Egenskaper til eksponentialfunksjonen når basen er mindre enn én:

område: y ∈ (0 ; + ∞) ;
denne funksjonen er en funksjon av generell form (den er verken oddetall eller partall);
en eksponentiell funksjon hvis base er mindre enn én, avtar over hele definisjonsdomenet;
det er ingen bøyningspunkter;
horisontal asymptote – rett linje y = 0 med variabel x som har en tendens til + ∞;

Tenk nå på tilfellet når basisen til eksponentialfunksjonen er større enn én (a > 1).

La oss illustrere dette spesielle tilfellet med en graf av eksponentielle funksjoner y = 3 2 x (blå farge på kurven) og y = e x (rød farge på grafen).

Andre verdier av basen, større enheter, vil gi et lignende utseende som grafen til eksponentialfunksjonen.

Definisjon 15

Egenskaper til eksponentialfunksjonen når basen er større enn én:

definisjonsdomene – hele settet med reelle tall;
område: y ∈ (0 ; + ∞) ;
denne funksjonen er en funksjon av generell form (den er verken oddetall eller partall);
en eksponentiell funksjon hvis base er større enn én øker som x ∈ - ∞; + ∞ ;
funksjonen har en konkavitet ved x ∈ - ∞; + ∞ ;
det er ingen bøyningspunkter;
horisontal asymptote – rett linje y = 0 med variabel x som har en tendens til - ∞;
passasjepunkt for funksjonen: (0; 1) .

Den logaritmiske funksjonen har formen y = log a (x), hvor a > 0, a ≠ 1.

En slik funksjon er definert bare for positive verdier av argumentet: for x ∈ 0; + ∞ .

Grafen til en logaritmisk funksjon har et annet utseende, basert på verdien av grunntallet a.

La oss først vurdere situasjonen når 0< a < 1 . Продемонстрируем этот частный случай графиком логарифмической функции при a = 1 2 (синий цвет кривой) и а = 5 6 (красный цвет кривой).

Andre verdier av basen, ikke større enheter, vil gi en lignende type graf.

Definisjon 16

Egenskaper for en logaritmisk funksjon når grunntallet er mindre enn én:

definisjonsdomene: x ∈ 0 ; + ∞ . Ettersom x har en tendens til null fra høyre, har funksjonsverdiene en tendens til +∞;
område: y ∈ - ∞ ; + ∞ ;
denne funksjonen er en funksjon av generell form (den er verken oddetall eller partall);
logaritmisk
funksjonen har en konkavitet for x ∈ 0; + ∞ ;
det er ingen bøyningspunkter;
det er ingen asymptoter;

La oss nå se på det spesielle tilfellet når basen til den logaritmiske funksjonen er større enn én: a > 1 . Tegningen under viser grafer av logaritmiske funksjoner y = log 3 2 x og y = ln x (henholdsvis blå og røde farger på grafene).

Andre verdier av basen større enn én vil gi en lignende type graf.

Definisjon 17

Egenskaper for en logaritmisk funksjon når grunntallet er større enn én:

definisjonsdomene: x ∈ 0 ; + ∞ . Ettersom x har en tendens til null fra høyre, har funksjonsverdiene en tendens til - ∞ ;
område: y ∈ - ∞ ; + ∞ (hele settet med reelle tall);
denne funksjonen er en funksjon av generell form (den er verken oddetall eller partall);
den logaritmiske funksjonen øker for x ∈ 0; + ∞ ;
funksjonen er konveks for x ∈ 0; + ∞ ;
det er ingen bøyningspunkter;
det er ingen asymptoter;
passasjepunkt for funksjonen: (1; 0) .

De trigonometriske funksjonene er sinus, cosinus, tangens og cotangens. La oss se på egenskapene til hver av dem og den tilhørende grafikken.

Generelt er alle trigonometriske funksjoner preget av egenskapen periodisitet, dvs. når verdiene til funksjonene gjentas for forskjellige verdier av argumentet, forskjellig fra hverandre med perioden f (x + T) = f (x) (T er perioden). Dermed legges elementet "minste positive periode" til listen over egenskaper til trigonometriske funksjoner. I tillegg vil vi indikere verdiene til argumentet der den tilsvarende funksjonen blir null.

Sinusfunksjon: y = sin(x)

Grafen til denne funksjonen kalles en sinusbølge.

Definisjon 18

Egenskaper til sinusfunksjonen:

definisjonsdomene: hele settet med reelle tall x ∈ - ∞ ; + ∞ ;
funksjonen forsvinner når x = π · k, hvor k ∈ Z (Z er settet med heltall);
funksjonen øker for x ∈ - π 2 + 2 π · k ; π 2 + 2 π · k, k ∈ Z og avtagende for x ∈ π 2 + 2 π · k; 3 π 2 + 2 π · k, k ∈ Z;
sinusfunksjonen har lokale maksima i punktene π 2 + 2 π · k; 1 og lokale minima ved punktene - π 2 + 2 π · k; - 1, k ∈ Z;
sinusfunksjonen er konkav når x ∈ - π + 2 π · k ; 2 π · k, k ∈ Z og konveks når x ∈ 2 π · k; π + 2 π k, k ∈ Z;
det er ingen asymptoter.

Cosinus funksjon: y = cos(x)

Grafen til denne funksjonen kalles en cosinusbølge.

Definisjon 19

Egenskaper for cosinusfunksjonen:

definisjonsdomene: x ∈ - ∞ ; + ∞ ;
minste positive periode: T = 2 π;
verdiområde: y ∈ - 1 ; 1 ;
denne funksjonen er partall, siden y (- x) = y (x);
funksjonen øker for x ∈ - π + 2 π · k ; 2 π · k, k ∈ Z og avtagende for x ∈ 2 π · k; π + 2 π k, k ∈ Z;
cosinusfunksjonen har lokale maksima i punktene 2 π · k ; 1, k ∈ Z og lokale minima i punktene π + 2 π · k; - 1, k ∈ z;
cosinusfunksjonen er konkav når x ∈ π 2 + 2 π · k ; 3 π 2 + 2 π · k , k ∈ Z og konveks når x ∈ - π 2 + 2 π · k ; π 2 + 2 π · k, k ∈ Z;
bøyningspunkter har koordinater π 2 + π · k; 0 , k ∈ Z
det er ingen asymptoter.

Tangentfunksjon: y = t g (x)

Grafen til denne funksjonen kalles tangent.

Definisjon 20

Egenskaper til tangentfunksjonen:

definisjonsdomene: x ∈ - π 2 + π · k ; π 2 + π · k, hvor k ∈ Z (Z er settet med heltall);
Oppførselen til tangentfunksjonen på grensen til definisjonsdomenet lim x → π 2 + π · k + 0 t g (x) = - ∞ , lim x → π 2 + π · k - 0 t g (x) = + ∞ . Dermed er de rette linjene x = π 2 + π · k k ∈ Z vertikale asymptoter;
funksjonen forsvinner når x = π · k for k ∈ Z (Z er settet med heltall);
område: y ∈ - ∞ ; + ∞ ;
denne funksjonen er merkelig, siden y (- x) = - y (x) ;
funksjonen øker som - π 2 + π · k ; π 2 + π · k, k ∈ Z;
tangentfunksjonen er konkav for x ∈ [π · k; π 2 + π · k), k ∈ Z og konveks for x ∈ (- π 2 + π · k ; π · k ], k ∈ Z ;
bøyningspunkter har koordinater π · k ; 0, k ∈ Z;

Kotangens funksjon: y = c t g (x)

Grafen til denne funksjonen kalles en cotangentoid. .

Definisjon 21

Egenskaper til cotangensfunksjonen:

definisjonsdomene: x ∈ (π · k ; π + π · k) , hvor k ∈ Z (Z er settet med heltall);

Oppførselen til cotangensfunksjonen på grensen til definisjonsdomenet lim x → π · k + 0 t g (x) = + ∞ , lim x → π · k - 0 t g (x) = - ∞ . Dermed er de rette linjene x = π · k k ∈ Z vertikale asymptoter;

minste positive periode: T = π;
funksjonen forsvinner når x = π 2 + π · k for k ∈ Z (Z er settet med heltall);
område: y ∈ - ∞ ; + ∞ ;
denne funksjonen er merkelig, siden y (- x) = - y (x) ;
funksjonen er avtagende for x ∈ π · k ; π + π k, k ∈ Z;
cotangensfunksjonen er konkav for x ∈ (π k; π 2 + π k ], k ∈ Z og konveks for x ∈ [ - π 2 + π k ; π k), k ∈ Z ;
bøyningspunkter har koordinater π 2 + π · k; 0, k ∈ Z;
Det er ingen skrå eller horisontale asymptoter.

De inverse trigonometriske funksjonene er arcsine, arccosine, arctangent og arccotangent. Ofte, på grunn av tilstedeværelsen av prefikset "bue" i navnet, kalles inverse trigonometriske funksjoner buefunksjoner .

Arc sinus funksjon: y = a r c sin (x)

Definisjon 22

Egenskaper til arcsine-funksjonen:

denne funksjonen er merkelig, siden y (- x) = - y (x) ;
arcsine-funksjonen har en konkavitet for x ∈ 0; 1 og konveksitet for x ∈ - 1 ; 0 ;
bøyningspunkter har koordinater (0; 0), som også er nullpunktet til funksjonen;
det er ingen asymptoter.

Arc cosinus funksjon: y = a r c cos (x)

Definisjon 23

Egenskaper til buekosinusfunksjonen:

definisjonsdomene: x ∈ - 1 ; 1 ;
område: y ∈ 0 ; π;
denne funksjonen er av en generell form (verken partall eller oddetall);
funksjonen avtar over hele definisjonsdomenet;
buekosinusfunksjonen har en konkavitet ved x ∈ - 1; 0 og konveksitet for x ∈ 0; 1 ;
bøyningspunkter har koordinater 0; π 2;
det er ingen asymptoter.

Buetangensfunksjon: y = a r c t g (x)

Definisjon 24

Egenskaper til arctangens-funksjonen:

definisjonsdomene: x ∈ - ∞ ; + ∞ ;
verdiområde: y ∈ - π 2 ; π 2;
denne funksjonen er merkelig, siden y (- x) = - y (x) ;
funksjonen øker over hele definisjonsdomenet;
den arctangent funksjonen har konkavitet for x ∈ (- ∞ ; 0 ] og konveksitet for x ∈ [ 0 ; + ∞);
bøyningspunktet har koordinater (0; 0), som også er nullpunktet til funksjonen;
horisontale asymptoter er rette linjer y = - π 2 som x → - ∞ og y = π 2 som x → + ∞ (i figuren er asymptotene grønne linjer).

Arc tangens funksjon: y = a r c c t g (x)

Definisjon 25

Egenskaper til arccotangens-funksjonen:

definisjonsdomene: x ∈ - ∞ ; + ∞ ;
område: y ∈ (0; π) ;
denne funksjonen er av en generell form;
funksjonen avtar over hele definisjonsdomenet;
bue-cotangens-funksjonen har en konkavitet for x ∈ [ 0 ; + ∞) og konveksitet for x ∈ (- ∞ ; 0 ] ;
bøyningspunktet har koordinater 0; π 2;
horisontale asymptoter er rette linjer y = π ved x → - ∞ (grønn linje på tegningen) og y = 0 ved x → + ∞.

Hvis du oppdager en feil i teksten, merk den og trykk Ctrl+Enter