La oss vurdere et flerkanalskøsystem (n kanaler totalt), som mottar forespørsler med intensitet λ og betjenes med intensitet μ. En forespørsel som kommer inn i systemet betjenes hvis minst én kanal er ledig. Hvis alle kanaler er opptatt, avvises den neste forespørselen mottatt i systemet og forlater QS. La oss nummerere systemtilstandene etter antall okkuperte kanaler:
Ris. 7.24
Figur 6.24 viser en tilstandsgraf der SJeg– kanalnummer; λ – intensiteten på mottatte forespørsler; μ
– følgelig intensiteten på serviceforespørsler. Forespørsler går inn i køsystemet med konstant intensitet og okkuperer gradvis kanaler etter hverandre; når alle kanaler er opptatt, vil neste forespørsel som kommer til QS bli avvist og forlate systemet.
La oss bestemme intensiteten til hendelsesstrømmer som overfører systemet fra tilstand til tilstand når vi beveger oss både fra venstre til høyre og fra høyre til venstre langs tilstandsgrafen.
La for eksempel systemet være i staten S 1, dvs. en kanal er opptatt, siden det er en forespørsel ved inngangen. Så snart behandlingen av forespørselen er fullført, vil systemet gå inn i tilstanden S 0 .
For eksempel, hvis to kanaler er opptatt, vil tjenesteflyten som overfører systemet fra staten S 2 i staten S 1 vil være dobbelt så intens: 2-μ; følgelig, hvis opptatt k kanaler, er intensiteten k-μ.
Vedlikeholdsprosessen er en prosess med død og reproduksjon. Kolmogorov-ligningene for dette spesielle tilfellet vil ha følgende form:
(7.25)
Ligninger (7.25) kalles Erlang-ligninger
.
For å finne sannsynlighetsverdiene til stater R 0 , R 1 , …, Rn, er det nødvendig å bestemme de opprinnelige betingelsene:
– R 0 (0) = 1, dvs. det er en forespørsel ved inngangen til systemet;
– R 1 (0) = R 2 (0) = … = Rn(0) = 0, dvs. ved det første tidspunktet er systemet ledig.
Etter å ha integrert systemet med differensialligninger (7.25), får vi verdiene av tilstandssannsynligheter R 0 (t), R 1 (t), … Rn(t).
Men vi er mye mer interessert i de begrensende sannsynlighetene til stater. Som t → ∞ og ved å bruke formelen oppnådd når vi vurderer prosessen med død og reproduksjon, får vi en løsning på ligningssystemet (7.25):
(7.26)
I disse formlene, intensitetsforholdet λ / μ
til strømmen av applikasjoner er det praktisk å utpeke ρ
.Denne mengden kalles gitt intensiteten i strømmen av søknader, det vil si gjennomsnittlig antall søknader som ankommer QS i løpet av den gjennomsnittlige tiden for å betjene én applikasjon.
Med tanke på notasjonen som er laget, vil ligningssystemet (7.26) ha følgende form:
(7.27)
Disse formlene for å beregne marginale sannsynligheter kalles Erlang formler
.
Når vi kjenner alle sannsynlighetene til QS-tilstandene, vil vi finne egenskapene til QS-effektiviteten, dvs. den absolutte gjennomstrømningen EN, relativ gjennomstrømning Q og sannsynlighet for feil Råpen
En søknad mottatt av systemet vil bli avvist hvis den finner alle kanaler opptatt:
.
Sannsynlighet for at søknaden vil bli akseptert for tjeneste:
Q = 1 – Råpen,
Hvor Q– gjennomsnittlig andel av mottatte søknader som betjenes av systemet, eller gjennomsnittlig antall søknader levert av QS per tidsenhet, delt på gjennomsnittlig antall søknader mottatt i løpet av denne tiden:
A=λ·Q=λ·(1-P åpen)
I tillegg er en av de viktigste egenskapene til en QS med feil gjennomsnittlig antall opptatte kanaler. I n-kanal QS med feil, dette tallet sammenfaller med gjennomsnittlig antall applikasjoner i QS.
Gjennomsnittlig antall forespørsler k kan beregnes direkte gjennom sannsynlighetene for tilstander P 0, P 1, ..., P n:
,
dvs. vi finner den matematiske forventningen til en diskret tilfeldig variabel som tar en verdi fra 0 til n med sannsynligheter R 0 , R 1 , …, Rn.
Det er enda lettere å uttrykke verdien av k gjennom den absolutte kapasiteten til QS, dvs. A. Verdi A er gjennomsnittlig antall applikasjoner som betjenes av systemet per tidsenhet. Én opptatt kanal betjener μ forespørsler per tidsenhet, deretter gjennomsnittlig antall opptatte kanaler
System av ligninger
QS med feil for et tilfeldig antall vedlikeholdsstrømmer; Graf, ligningssystem.
La oss representere QS som en vektor, hvor k m– antall applikasjoner i systemet, som hver er betjent m enheter; L= q maks – q min +1 – antall inngangsstrømmer.
Hvis en forespørsel aksepteres for service og systemet går inn i en tilstand med intensitet λ m.
Når betjeningen av en av forespørslene er fullført, vil systemet gå til en tilstand der den tilsvarende koordinaten har en verdi som er én mindre enn i tilstanden , = , dvs. den omvendte overgangen vil skje.
Et eksempel på en vektor QS-modell for n = 3, L = 3, q min = 1, q maks = 3, P(m) = 1/3, λ Σ = λ, intensiteten på vedlikehold av enheten – μ.
Ved å bruke tilstandsgrafen med overgangsintensitetene plottet, kompileres et system med lineære algebraiske ligninger. Fra løsningen av disse ligningene finner man sannsynlighetene R(), der egenskapene til QS bestemmes.
QS med en uendelig kø for Poisson-flyter. Graf, ligningssystem, beregnede sammenhenger.
Systemgraf
System av ligninger
Hvor n– antall tjenestekanaler, l– antall gjensidig assisterende kanaler
En QS med uendelig kø og delvis gjensidig assistanse for vilkårlige flyter. Graf, ligningssystem, beregnede sammenhenger.
Systemgraf
System av ligninger
–λ R 0 + nμ R 1 =0,
.………………
–(λ + nμ) P k+ λ P k –1 + nμ P k +1 =0 (k = 1,2, ... , n–1),
……………....
-(λ+ nμ) P n+ λ P n –1 + nμ Р n+1=0,
……………….
-(λ+ nμ) Pn+j+ λ Р n+j –1 + nμ Р n+j+1=0, j=(1,2,….,∞)
Kø med en uendelig kø og fullstendig gjensidig hjelp for vilkårlige tråder. Graf, ligningssystem, beregnede sammenhenger.
Systemgraf
|
System av ligninger
En QS med en begrenset kø for Poisson flyter. Graf, ligningssystem, beregnede sammenhenger.
Systemgraf
System av ligninger
Beregningsforhold:
,
UDC 519.248:656.71
MODELL AV ET KØSYSTEM MED IKKE-STASJONÆRE STRØMMER OG DELVIS GJENSIDIG HJELP MELLOM KANALER
© 2011 V. A. Romanenko
Samara State Aerospace University oppkalt etter akademiker S.P. Korolev (nasjonalt forskningsuniversitet)
En dynamisk modell av et flerkanalskøsystem med ikke-stasjonære strømmer, venter i en kø med begrenset lengde og delvis gjensidig assistanse av kanaler, uttrykt i muligheten for samtidig betjening av en forespørsel fra to kanaler, er beskrevet. Uttrykk for de viktigste sannsynlighets-tidskarakteristikkene til systemet er gitt. Resultatene av å modellere funksjonen til en knutepunktflyplass som et eksempel på systemet under vurdering er beskrevet.
Køsystem, ikke-stasjonær flyt, gjensidig assistanse mellom kanaler, hub flyplass.
Introduksjon
Vi vurderer et flerkanalskøsystem (QS) med venting i en kø med begrenset lengde. Et trekk ved QS-en som vurderes er delvis gjensidig assistanse mellom kanaler, uttrykt i muligheten for samtidig bruk av to kanaler for å betjene én forespørsel. Kombinasjon av kanalenes innsats fører generelt til en reduksjon i gjennomsnittlig tjenestetid. Det antas at QS mottar en ikke-stasjonær Poisson-strøm av applikasjoner. Varigheten av å betjene en applikasjon avhenger av tid.
Et typisk eksempel på en QS som har de oppførte funksjonene ert. Samtidig bruk av flere (vanligvis to) fasiliteter (innsjekkingsskranker, flydrivstofftankere, spesialkjøretøyer, etc.) for å betjene én flytur er gitt av de teknologiske tidsplanene for flyplassservice av store fly (AC). Samtidig fører behovet for å forbedre kvaliteten og redusere varigheten av bakketransporttjenester, som er spesielt relevant for store flyplasser, til at andelen operasjoner som ikke utføres av én, men av flere (to) midler er økende.
Dette øker etter hvert som flyplassskalaen øker. Modellen beskrevet i artikkelen ble utviklet for å løse problemer med analyse og optimalisering av funksjonen til produksjonskomplekser til knutepunktflyplasser (hubs), preget av metningen av bakketransportanlegg med en uttalt ikke-stasjonær flyt av passasjerer, fly og last og svingninger i intensiteten av tjenesten deres.
Generell beskrivelse av modellen
Modellen er ment å bestemme tidsavhengighetene til de probabilistiske egenskapene til et QS-system som inneholder N serveringskanaler. Antall søknader i QS bør ikke overstige K, noe som kan skyldes tekniske begrensninger på antall flyparkeringsplasser tilgjengelig på flyplassen, kapasiteten til terminalen eller lastekomplekset osv. Antallet kanaler som er tildelt for å betjene en forespørsel kan være enten 1 eller 2. Hvis det er minst to ledige kanaler, lånes den mottatte forespørselen med en gitt sannsynlighet for service
en av dem og - med sannsynlighet y2 = 1 - y1 - begge kanaler. Hvis QS på tidspunktet for mottak av en søknad om service bare har én gratis kanal, opptar denne applikasjonen i alle fall den tilgjengelige
den eneste kanalen. Hvis det ikke er noen ledige kanaler, "står en nylig ankommet forespørsel i kø" og venter på service. Hvis antall applikasjoner i køen er K-N, vil den nylig ankomne applikasjonen forlate QS-en ubetjent. Sannsynligheten for en slik hendelse bør være lav.
QS-inngangen mottar en Poisson (ikke nødvendigvis stasjonær) flyt av applikasjoner
med intensitet l(t). Det antas at varigheten av å betjene en forespørsel fra både en kanal Tobsl1 (t) og to -
Tobsl 2 (t) er eksponentielt fordelte tilfeldige funksjoner av tid (tilfeldige prosesser).
Søknadstjenesteintensitet
en kanal ^ (t) og samtidig to kanaler m 2 (t) er definert som
mi (t) = [Tobsl1 (t)]-1, m2 (t) = [Tobsl2 (t)]-1,
hvor Tobsl1 (t) = M [Tobsl1 (t)], Tobsl 2 (t)= M[Tobsl 2 (t)]
Gjennomsnittlig tid for å betjene en forespørsel med henholdsvis én kanal og to kanaler.
Sammenhengen mellom mengdene m1 (t) og m 2 (t) er gitt av relasjonen
m2 (t) = ^m1 (t) ,
hvor 9 er en koeffisient som tar hensyn til den relative økningen i tjenesteintensitet ved bruk av to kanaler.
I praksis er forholdet mellom antall innsamlede midler og tjenesteintensiteten ganske komplekst, bestemt av egenskapene til den aktuelle tjenesteoperasjonen. For operasjoner, hvis varighet er relatert til volumet av utført arbeid (for eksempel fylling av et fly med jetdrivstoff ved bruk av jetdrivstofftankere, ombordstigning eller avstigning av passasjerer fra et fly, etc.), avhengigheten av tjenesteintensiteten på antall kanaler nærmer seg direkte proporsjonale, men er strengt tatt ikke det på grunn av tiden som kreves for forberedelse
men sluttdrift som ikke påvirkes av antall fond. For slike operasjoner, £ 2. For en rekke operasjoner er avhengigheten av utførelsens varighet av antall fasiliteter eller utøvere mindre uttalt (for eksempel innsjekking eller pre-flight
screening av passasjerer). I dette tilfellet i »1.
På et vilkårlig tidspunkt I, kan den betraktede QS være i en av L+1 diskrete tilstander - B0, ...,
FUKK. Overgangen fra stat til stat kan skje når som helst. Sannsynligheten for at QS på tidspunktet jeg vil være i staten
normaliseringstilstand 2 р () =1 Vet-
Analysen av sannsynlighetene P0 (/), PX (t),..., Pb (t) lar en bestemme slike viktige virtuelle (øyeblikkelige) egenskaper til QS som gjennomsnittlig kølengde, gjennomsnittlig antall opptatte kanaler, gjennomsnittlig antall forespørsler i QS, og så videre.
Sannsynlighetene for tilstander p(t) blir funnet ved å løse et system med Kolmogorov differensialligninger, vanligvis skrevet som
=Ё jp(t)P /(t)-P,(t)Z (t).,
r = 0,1,...,b,
Hvor<р^ ^) - плотности (интенсивности) вероятностей перехода из состояния с порядковым номером г в состояние с порядковым номером ]. Величины фу (t) определяются по формуле
hvor P(/; At) er sannsynligheten for at QS, som var i B-tilstand i øyeblikket t, for
tid At vil gå fra det til staten
For å kompilere Kolmogorov-ligningene, brukes en merket tilstandsgraf av QS. I den er de tilsvarende intensitetene til f-en plassert over pilene som fører fra B. til B. Den deriverte av sannsynligheten for hver tilstand er definert som summen av alle sannsynlighetsstrømmer som kommer fra andre tilstander til en gitt tilstand, minus. summen av alle sannsynlighetsstrømmer som går fra en gitt tilstand til andre.
For å lage en graf introduseres et notasjonssystem med tre indekser, der tilstanden til QS-en som vurderes på et vilkårlig tidspunkt er preget av tre parametere: antall okkuperte kanaler n (n = 0,1,.. .,^), antall forespørsler servert k (k = 0,1,...,^) og venter på tjeneste t (t = 0,1,...,^ - N).
I fig. Figur 1 viser en merket tilstandsgraf, kompilert ved bruk av reglene beskrevet ovenfor og de introduserte notasjonene, for en QS valgt som et enkelt eksempel.
For å spare plass, i grafen og i det tilsvarende systemet med Kolmogorov-ligninger gitt nedenfor, er betegnelsene på funksjonell avhengighet av tid for intensitetene 1, m1, m2 og sannsynlighetene for tilstander utelatt.
^000 /L = -(^1^ + ^2^) P000 + tr10 + t2P210,
= - (t + U-11 + U21) рш + ^Рр000 +
2t1R220 + t2 R320,
LR210 IL = - (t2 + ^11 + ^21) P210 + V2YP000 +
Т1Р320 + 2 ^2Р420,
LR220/L = -(2^1 + ^1^ + ^21) Р220 + ^1Rio +
3 t1Р330 + ^2Р430,
LR32<:)1Л = - (т2 + т1 + ^11 + ^21)р320 +
+^11Р210 + V2ЯP110 + 2t 1Р430 +
LR4yu1L (1 + 2 ^2) Р420 + ^21Р210 + t р30, ЛР330 /Л = -(3т1 + ^1^+ ^21) Р330 + ^11Р220 + +4^1Р440 + Т2р40,
^430 /L = - (2^1 + ^2 + 1) Р430 + ^11Р320 +
+^2^ Р220 + 3т 1р40 + 2^2р31,
LR530/l =-(t + 2t2 + i) p^30+1P420 +
+^2YaP320 + t1P531,
LR440 IL (4t1 + I) R40 + R330 +
5^1р50 + t2р41,
LR540/ l =-(t2 + 3t + i) r540 + yar430 +
+"^2YaP330 + 3 t1P541 + 2 t2P532,
LR531/L = - (^1 + 2^2 + R) R^31 + R530 +
LR550 IL = -(5t1 + Y) R550 + YR440 +
5t1R551 + t2R542,
LR541/ l = - (t2 + 3t + i) p^41 + ya^40 +
LR532/l = -(t1 + 2t2) Р532 + i р531,
LR5511L = - (5t1 + Y)r51 + YR550 + 5t1R552,
lr542 / l = - (3 t + t2) r542 + i r541 ,
Lp5^^ = 5 t1P552 + i p51.
Hvis det for øyeblikket t = 0 ikke er noen forespørsler i QS, vil startbetingelsene bli skrevet i skjemaet
P10 (0) = P210 (0) = P220 (0) =... = P552 (0) = 0.
Løsningen av stordimensjonale systemer som (1), (2), med variable verdier 1(^, mDO, m2(0) er bare mulig med numeriske metoder ved bruk av en datamaskin.
Ris. 1. Oppgi graf for QS
Bygge en QS-modell
I samsvar med den algoritmiske tilnærmingen vil vi vurdere en teknikk for å transformere et system av Kolmogorov-ligninger av vilkårlig dimensjon til en form som er egnet for datamaskinberegninger. For å forenkle innspillingen bruker vi i stedet for et trippelsystem et dobbelt system med notasjon av QS-tilstander, der r er antall kanaler opptatt med service pluss lengden på køen,] er antall applikasjoner i QS. . Forholdet mellom notasjonssystemer uttrykkes ved avhengigheter:
r = n + m, r = 0,1,...,K;
] = k + m, ] = 0,1,...,K.
Ingen tilstand fra det formelle settet kan realiseres
B. (r = 0,1,...,K; ] = 0,1,...,K). Spesielt,
innenfor rammen av den beskrevne modellen, er tilstander umulige der to eller flere forespørsler betjenes samtidig av en
kanal, dvs. R. (t) = 0 hvis ] > r La oss angi med symbol 8 settet med tillatte tilstander til QS. Tilstand B. eksisterer, og
dens tilsvarende sannsynlighet P. ^)
kan være ikke-null hvis en av følgende betingelser er oppfylt:
1)] <г< 2], если 2] < N,
2)] <г< ] + Ч - 1 если \ .
y] + H - 1< К,
3)] < г < К, если ] + ч - 1 ^ К,
r = 0,1,...,K; ] = 0,1,...,K,
hvor Х er det maksimale antallet tilstander med forskjellig antall serveringskanaler for et gitt antall forespørsler, bestemt av formelen
Her angir parentesen operasjonen med å forkaste brøkdelen. For eksempel,
å dømme etter tilstandsgrafen vist i fig. 1, kan to forespørsler betjenes av to, tre eller fire kanaler. Derfor, i eksemplet diskutert ovenfor
H = 5 - = 5 - 2 = 3.
For å implementere datamaskinberegninger ved å bruke et system med Kolmogorov-ligninger av vilkårlig dimensjon, må ligningene reduseres til en universell form som lar enhver ligning skrives. For å utvikle et slikt skjema, vurder et fragment av tilstandsgrafen som viser en vilkårlig tilstand B] med de ledende fra den
intensitetspiler. La oss betegne med romertall nabostatene som er direkte relatert til B., som vist i fig. 2.
For hver tilstand av B. (g = 0.1,...,K; ] = 0.1,...,K), slik at B. e 8, til tiden t verdiene
p^), p(t), s.^), p(t) godta
ulike verdier (inkludert de som er lik null). Imidlertid strukturen av ligningen
(3) forblir uendret, noe som gjør at den kan brukes til datamaskinimplementering av et system med Kolmogorov-ligninger av vilkårlig dimensjon.
Intensitetene fr (t), (р. (t), som har en tendens til å overføre QS til tilstander med store verdier av r og ], hvis tilstedeværelsen av slike tilstander er mulig, bestemmes basert på en rekke forhold som følger :
o.. ї a eller
°(,-+1)0"+1) ї 8 '
0(,-+2)(.+1) - 8 i £ N - 2,
o(i+1)(.+1)- 8 eller
°(.+2)а+1)ї 8
O(.+1)(V+1) - 8'
Ris. 2. Fragment av QS-tilstandsgrafen
Med tanke på tilstedeværelsen av nabostater med hensyn til B., vil ligningen for B. skrives som følger:
-£ = -[P () + P () + P. () +
Рр (tИ Рг, (t) + Рр+1)(.+1) (t) Р(г+1)(.+1) () +
Р(Н(1-1)^)Р(-1)(1 -1)^) +
Р 2)()+1)()Р(г+2)()-+1)() +
РЦ2)(.-1) (t)P(г-2)(.-Г) ().
О(.+1)(.+1)ї 8 eller і > N - 2
Y2X(i), hvis
I(i+1)(.+1) - 8>
O(i+2)(.+1) - 8 ' i £ N - 2,
О(і+1)(.+1)ї 8'
O(i+2)(.+1) - 8'
r = 0,1,...,k, . = 0,1,...,k.
Elveintensitet (), s..11 (), overføring av QS fra tilstand B-. i stater
med mindre verdier på g og. (hvis tilstedeværelsen av slike tilstander er mulig), er direkte proporsjonale med antall involverte kanaler, og betjener forespørsler av forskjellige typer lokalisert i QS (opptar en eller to kanaler for service). En gruppe på to kanaler som er engasjert i å betjene én forespørsel av den tilsvarende typen kan betraktes som én kanal. Derfor, i den generelle saken
p () = kdM1 () , R. () = ky2^2 () ,
hvor k.1 er antallet forespørsler som okkuperer én kanal som betjenes av QS i tilstand B; k er antall forespørsler som opptar to kanaler hver, servert av QS i tilstand B.
Gjennom g og. disse verdiene bestemmes som følger:
G2. - g hvis g< N,
y1 [ N - 2 (r - .), hvis r > N, (4)
Til! 2 = g - . .
Under hensyntagen til begrensningene for muligheten for eksistens av uttrykk sier for
p(), R.() har formen
^B(g-1)(L) e 8,
Indikatorer for effektiviteten av funksjonen til QS
Den beskrevne modellen lar oss bestemme tidsavhengighetene til følgende indikatorer for driftseffektiviteten til den vurderte QS.
Gjennomsnittlig kølengde:
kan ()=22(g-p) R().
Gjennomsnittlig antall opptatte kanaler:
Gjennomsnittlig antall søknader til CMO:
m, ()=22.R. ().
Sannsynlighet for tjenestenekt:
Є, ()= 2 Р- ().
Fordelingen av den virtuelle ventetiden ved søknaden kan fås
tjeneste Ж (x,t) = Р ^ож ()< х) , позволяющее характеризовать качество обслуживания рассматриваемой СМО. Поступившая в систему заявка вынуждена ожидать обслуживания в случае, если все каналы заняты обслуживанием заявок, поступивших
tidligere. Det er en sannsynlighet Рк=0 (t) for umiddelbar service av en innkommende forespørsel i nærvær av en gratis kanal (eller flere gratis kanaler)
B(g-1)(.-1) £ 8,
r = 0,1,...,K, . = 0,1, ..., K.
R. () ° 0, hvis B. £ 8.
Tatt i betraktning muligheten for feil, vil den ønskede verdien av fordelingsfunksjonen Ж (х^) bli bestemt som
F (x-‘)=(--o(t)
EEZH M (,)) ()
Ru()° 0 hvis °y. ї 8.
Her er Ж (х,т| (і,./)) en betinget funksjon
fordeling av ventetiden for en bestemt forespørsel, forutsatt at den ved ankomst T fant QS i tilstand y.
I QS-en som vurderes avhenger ventetiden for service ved en innkommende forespørsel ikke bare av antall forespørsler som allerede er i QS, men også av fordelingen av kanaler mellom gruppe- og individuell betjening av eksisterende forespørsler. Dersom gjensidig bistand mellom kanaler ikke eksisterte, ville QS-en som vurderes være en tradisjonell QS med venting i en kø av begrenset lengde, for hvilken den totale ventetiden for start av tjeneste ved et krav som overtok m andre krav i køen ved ankomst vil ha en Erlang-fordeling E,^) (X) .
Her inneholder overskriften intensiteten av serviceforespørsler fra alle N kanaler som opererer i nærvær av en kø; abonnementet er distribusjonsrekkefølgen i henhold til Erlangs lov. I QS-en som vurderes her, er den beskrevne loven kun gyldig for forespørsler som kom inn i QS-en i stater der alle kanaler er opptatt, og alle betjener én forespørsel. For disse statene kan vi skrive
F (x,t| ^ + m,N + t)) = ^+1() (x).
La oss betegne som E^”^1 (x) fordelingsfunksjonen til den generaliserte Erlan-loven
ha, med rekkefølgen 2"r - 1, der ag er tallet
Lo tilfeldige variabler fordelt over
eksponentiell lov med parameter y. MED
Ved å bruke den introduserte notasjonen skriver vi uttrykk for ventetidsfordelingsfunksjonen i andre stater. Sammenlignet med (5) har disse uttrykkene en mer kompleks form, som ikke forstyrrer programvareimplementeringen. Videre, som et eksempel, er de gitt bare for de tre første tilstandene med fullt belegg av kanaler ved å bruke den tidligere introduserte indekseringen med tre tegn:
F (x,t| (n,k,t)) = F (x,t| (N,N - g,0)) =
= (x), 0 £ g £ d,
hvor og. = kLt (t) + ku 2M2 (t);
Ж (х,т| (п,к,т)) = Ж (х,т| (N,N - g,l)) =
N ^ ^ - g) Km(T)
F (x,t| - g, 2))
N ^).(N - g) Km(t)
E/^(t),(t-g) ■я(t),(t-g+l)
(N),(N - g) ktM(T)
EI-)(t-g)(x)+
^).(N - g) eH^) (x)
Den gjennomsnittlige virtuelle ventetiden for en applikasjon Toz () bestemmes numerisk som
Identitet (T) = | ^Х (x,T) .
Fordelingen av virtuell servicetid for en vilkårlig valgt forespørsel Tobsl ^) kan også bestemmes.
Siden endringen i Tobsl (t) i den betraktede QS er en tilfeldig prosess, som er en blanding av to eksponentielt distribuerte tilfeldige prosesser TobsL1 ^) og TobsL2 ^), så er fordelingen
V (x^) = P (Tobsl (t)< х) не будет показательным. С учётом возможности отказа выражение для функции распределения V (х^) запишется в виде
EEU M k,.YR(t)
R.. ^) ° 0, hvis 8. £ 8.
Her er V (x^| (r,.)) den betingede distribusjonsfunksjonen til tjenestetiden for en viss forespørsel, forutsatt at den på tidspunktet for ankomsten fant QS i tilstanden.
Hvis QS-en på tidspunktet for oppstart av service på en applikasjon er i en tilstand der både gruppe- og individuell service er mulig, er servicetiden en blanding av to pro-
overgang til gruppetjeneste - hvis tilstanden er mulig (fig. 2). Dermed har vi:
U(M(i--/")) =
y (1 - e-t(t)x) + +y (1 - e^2(t)x),
I О(і+2)(]+1) ї 8, О(і+1)(.+1) - 8,
"2\* ^ І’ I ^ +2)(.+1)
i = 0,1,...,N-1, i = 0,1,...,N-1.
Siden, i fravær av to gratis kanaler, blir enhver forespørsel betjent av én kanal, så er den faktiske sannsynligheten ^) for tildeling av én kanal
det er større enn en gitt V Funksjon uv ^) er definert som
EEU O","r(t)
R. (t) ° 0, hvis R. ї 8.
Her er y1(r,.) sannsynligheten for å tildele én enhet for å betjene en forespørsel mottatt av QS i tilstanden:
О(і+1)(.+1) - 8, О(і
2)(}+1) -2)(!+1)
varigheter: Tobsl1 (t) og Tobsl2 (t), dis- i = 0,1...,K -1,. = 0,1...,K -1.
begrenset eksponentielt med parameterne ^1 (t) og ^2 (t), henholdsvis. Hvis i
På dette tidspunktet er det ikke mulig å tildele to kanaler, da blir tiden for å betjene forespørselen fordelt eksponentielt med parameteren
t(t). Når en forespørsel nærmer seg serveringskanalene i tilstand B., er overgangen til individuell service tillatt når
tilstedeværelsen av muligheten for staten I(
Gjennomsnittlig varighet for å betjene en forespørsel inkludert i QS på det tidspunktet
T, kan defineres gjennom uv (T) som
Tbl (t) = uf (t) Tm (t) + Tbs 2 (t).
Distribusjon av applikasjonens virtuelle oppholdstid i QS
og (x,t)= P (Tpreb (t)< х)
bestemmes ved å bruke de tidligere oppnådde uttrykkene for fordelingsfunksjonene ventetid og tjenestetid - =
vaniya som jeg,
2^2 (t) Et^^(t)^^) (x) +
EEi M))рї(t)
og (x,t| (^ .)) =
1 - e-M1(t)x
y(1-e-t(t)x)-+y2(1-e
(1 - e ^t(t)x),
О(і+1)(.+1) - 8, О(і+ 2)(.+1) ї 8'
О(і+1)(.+1) - 8’ О(і+2)(.+1) - 8,
r = 0,1,...^-1, . = 0'l'...'N-1.
For andre stater er formlene for den betingede fordelingsfunksjonen skrevet i analogi med formlene for
Ж (х^| (п,к,т)) ved å bruke tre-tegns indeksering. Nedenfor er de gitt for de tre første tilstandene med full kanalbelegg:
På tidspunktet for innreise er det ingen kø, men alle kanaler er opptatt:
og (x^| (n,k,t)) = og (x^| (NN - g,0)) =
(x), 0 £ g £ d;
Når en applikasjon kommer inn, er det én applikasjon i køen:
R. (t) ° 0, hvis R. ї 8.
Her og (x^| (r,.)) er den betingede fordelingsfunksjonen for tiden brukt i QS for en eller annen forespørsel, forutsatt at den ved ankomsten fant systemet i tilstanden.
For stater med gratis kanaler sammenfaller oppholdstiden i QS med tjenestetiden:
Når en applikasjon kommer inn, er det to applikasjoner i køen:
og (x,t | (t,t - ^2))
(t)(t^)H (t)(t^+1)
(t)(t - g) ktsM (t)
(t)(t - g) KtsM (t)
Gjennomsnittlig virtuell oppholdstid for en applikasjon i QS er definert som
Tpreb ^) = Tobsl (t) + Toz (t).
Et eksempel på bruk av QS-modellen
Den daglige funksjonen til produksjonskomplekset til en av de østeuropeiske regionale knutepunktflyplassene simuleres når man utfører en separat teknologisk operasjon for å betjene ankommende fly. Som innledende data for modellering, tidsavhengighetene til den gjennomsnittlige intensiteten til strømmen av fly som ankommer
for service, i(t) og intensitet
betjene fly med ett middel t1 (t) .
Som følger av dataene som er konstruert
flyplasswebside graf over avhengighet i(t)
(Fig. 3a), tilførselen av BC er preget av betydelige ujevnheter: i løpet av dagen observeres fire intensitetsmaksima, tilsvarende fire "bølger"
oss" flyankomster og -avganger. Toppverdier på 1(t) for de viktigste "bølgene" når 25-30 VS/t.
I fig. 3 og viser også en graf av avhengigheten t (t). Det antas ikke
bare intensiteten av flystrømmen, men også intensiteten av deres tjeneste er en funksjon av tid og avhenger av fasen av "bølgen". Faktum er at for å redusere den gjennomsnittlige overføringstiden for passasjerer, er ruteplanen til knutepunktflyplassen strukturert på en slik måte at "bølgen" initieres av ankomster av store passasjerfly, hvis vedlikehold krever mye av tid, og fullføres ved ankomster av små fly. I eksemplet antas det at den gjennomsnittlige varigheten av en operasjon med ett verktøy, som er 20 minutter for det meste av dagen, i det innledende stadiet av "bølgen" øker til 25 minutter. og reduseres i sluttfasen til 15 minutter. Dermed fire intervaller med
redusert nivå t (t) i fig. 3a tilsvarer de innledende fasene av "bølger", når ankomster av store fly dominerer. I sin tur fire intervaller med økning
nivå t^) falle på finalen
«bølge»-faser med en overvekt av småfly.
Nedenfor beskriver vi simuleringsresultatene som lar oss evaluere effektiviteten til systemet. I fig. 3b-3d viser tidsavhengighetene til gjennomsnittsverdiene for antall okkuperte kanaler Nз ^),
totalt antall søknader i Helsedepartementet systemet ^) og
kølengder Moz (7) oppnådd for to begrensende sannsynlighetsverdier n1 = 0 og n1 = 1 med følgende designkarakteristikker: N = 10; K = 40; inn = 1,75. Å dømme etter grafen for avhengigheten Nз (t)
(fig. 3b), i det meste av det daglige tidsintervallet forblir belegget av systemets serveringskanaler lavt, noe som er en konsekvens av den ikke-stasjonære inngangen
flyt av fly. Høy belastning (60-80%) oppnås bare under den andre "bølgen" av ankomster og avganger, og alternativet n1 = 0 ved store verdier på 1(t) forårsaker en større belastning på systemet, og ved små verdier av 1(t) - mindre
sammenlignet med alternativ n1 = 1. Dessuten, som
modellering viste at sannsynligheten for feil i systemet under vurdering for begge alternativene er ubetydelig.
Sammenligning av avhengighetsgrafer
M3 ^) og Mozh ^) (henholdsvis fig. 3c og 3d) lar oss konkludere med at i QS med n1 = 0 er det i gjennomsnitt færre forespørsler, og flere forespørsler forventes å bli servert enn med n1 = 1 Denne motsetningen forklares av det faktum at hver søknad mottatt av QS, som i tilfellet n1 = 0 tar to.
kanal, etterlater færre gratis kanaler for forespørslene som følger den, og tvinger dem til å opprette en større kø enn i tilfellet
n1 = 1. Samtidig fører gruppebruken av kanaler, som reduserer tjenestetiden, til en nedgang i det totale antallet søknader som betjenes og venter på tjeneste. Så, i eksemplet under vurdering, er gjennomsnittlig tjenestetid i løpet av dagen
for alternativ p1 = 1 er 20 minutter, og for
alternativ p1 = 0 - 11,7 min.
Modellen omtalt ovenfor gjør det mulig å løse problemer knyttet til søket etter optimal styring av kvaliteten på transporttjenestene. I fig. 3d, 3f viser noen resultater av å løse denne typen problemer, hvis betydning er forklart videre ved å bruke eksemplet med flyplassen under vurdering.
Gjennomsnittlig kølengde, som er liten selv under topplast, ikke overstiger 0,6 fly i eksemplet under vurdering (fig. 3d), garanterer ikke at ventetiden i køen for de aller fleste fly vil være akseptabel. Lav gjennomsnittlig ventetid med tilfredsstillende gjennomsnittstid for å gjennomføre en tjenesteoperasjon
Dette utelukker heller ikke muligheten for uakseptabelt lang nedetid under vedlikehold av enkeltfly. La oss se på et eksempel når kvaliteten på flyplasstjenesten er underlagt krav både for å sikre tilfredsstillende verdier for ventetiden på service og for tiden brukt i systemet. Vi vil anta at mer enn 90 % av flyene skal være inaktive for vedlikehold i mindre enn 40 minutter, og ventetiden for vedlikehold for samme andel fly skal være mindre enn 5 minutter. Ved å bruke notasjonen introdusert ovenfor, vil disse kravene til kvaliteten på flyplasstjenesten skrives i form av ulikheter:
P (Tpreb (t)< 40мин)>09, P (Identitet (t)< 5мин)> 09
I fig. 3d, 3f viser tidsavhengighetene til sannsynlighetene P (Tpreb (/)< 40мин)
og P (Ident. (")< 5 мин) для интервала времени
460-640 min. fra begynnelsen av modelldagen tilsvarende den andre "bølgen" av ankomster.
Som det fremgår av figurene, er ikke alternativ n1 = 1
gir beregnet pålitelighet med tanke på tjenestetid: krav til tjenestetid spesifisert av betingelsen
P (Tpreb (t)< 40мин)>09, utføres kun i løpet av en kort periode på 530560 minutter, tilsvarende ankomster av små
Sol. På sin side gir ikke alternativ n1 = 0 den beregnede påliteligheten når det gjelder ventetid i køen: i intervallet med ankomster av store fly (500-510 min.)
Ris. 3. Simuleringsresultater 262
betingelse P er oppfylt (Iz(t)< 5мин) > 0.9.
Som modellering har vist, kan veien ut av denne situasjonen være å velge
kompromissalternativ y1 » 0.2. I praksis betyr dette alternativet at flyplasstjenester skal tildeles to midler hver for å betjene ikke alle fly, men kun de som velges ut fra et bestemt kriterium, f.eks.
passasjerkapasitet. Her spiller y1 en rolle
en parameter som lar deg kontrollere ytelsesindikatorene til QS: ventetiden for en applikasjon i køen og tiden applikasjonen forblir i QS eller tjenestetid.
Så det vurderte systemet, som bruker én eller to kanaler samtidig for å betjene en forespørsel, er et spesielt, men praktisk talt viktig tilfelle av en QS med
gjensidig hjelp av kanaler. Bruken av en dynamisk modell av en slik QS lar en posere og løse ulike optimaliseringer, inkludert multi-kriterier, problemer forbundet med å administrere ikke bare det totale antallet midler, men også deres gjensidige assistanse. Problemer av denne typen er spesielt relevante for knutepunktflyplasser, som er mettet med servicefasiliteter, med sine ikke-stasjonære flystrømmer og varierende tjenesteintensitet. Dermed er modellen til den vurderte QS et verktøy for å analysere og optimalisere parametrene til en så lovende klasse av flyplasser som knutepunkter.
Bibliografi
1. Bocharov, P.P. Køteori [Tekst] / P.P. Bocharov, A.V. Pe-chinkin. - M.: Forlag RUDN, 1995. - 529 s.
MODELL AV ET KØSYSTEM MED IKKE-STASJONÆRE STRØMMER OG DELVIS GJENSIDIG HJELP MELLOM KANALER
© 2011 V. A. Romanenko
Samara State Aerospace University oppkalt etter akademiker S.P. Korolyov (National Research University)
En dynamisk modell av flerkanalskøsystem med ikke-stasjonære strømmer, venting i en begrenset kø og delvis gjensidig assistanse av kanaler uttrykt i muligheten for samtidig service av en kunde med to kanaler er beskrevet. Det er gitt uttrykk for de grunnleggende sannsynlighet-tidskarakteristikkene til systemet. Resultatene av å modellere funksjonen til en knutepunktflyplass som et eksempel på systemet diskuteres.
Køsystem, ikke-stasjonær flyt, gjensidig assistanse mellom kanaler, hub flyplass.
Informasjon om forfatteren Vladimir Alekseevich Romanenko, kandidat for tekniske vitenskaper, førsteamanuensis, doktorgradsstudent ved Institutt for organisasjon og ledelse av transporttransport, Samara State Aerospace University oppkalt etter akademiker S.P. Korolev (nasjonalt forskningsuniversitet). E-post: [e-postbeskyttet]. Område med vitenskapelige interesser: optimering og modellering av transporttjenestesystemet til en knutepunktflyplass.
Romanenko Vladimir Alexeevitch, kandidat for tekniske vitenskaper, førsteamanuensis, doktorgrad ved avdelingen for transportorganisasjon og ledelse, Samara State Aerospace University oppkalt etter akademiker S. P Korolyov (National Research University E-post: vla_rom@mail.). Forskningsområde: optimering og simulering av et knutepunkt for flyplasstransporttjenestesystem.
Til nå har vi kun vurdert slike QSer der hver forespørsel kan betjenes av kun én kanal; ledige kanaler kan ikke "hjelpe" travle med service.
Generelt er dette ikke alltid tilfelle: det er køsystemer der samme forespørsel kan betjenes av to eller flere kanaler samtidig. For eksempel kan den samme ødelagte maskinen betjenes av to arbeidere samtidig. Slik «gjensidig assistanse» mellom kanaler kan skje i både åpne og lukkede QSer.
Når du vurderer en QS med gjensidig assistanse på tvers av kanaler, er det to faktorer å vurdere:
1. Hvor raskt går servicen på en applikasjon raskere når ikke én, men flere kanaler jobber med den samtidig?
2. Hva er «gjensidig bistandsdisiplin», dvs. når og hvordan tar flere kanaler på seg å betjene samme forespørsel?
La oss først se på det første spørsmålet. Det er naturlig å anta at hvis ikke én kanal, men flere kanaler jobber for å betjene en applikasjon, vil intensiteten til tjenesteflyten ikke avta med økende k, dvs. den vil representere en ikke-minkende funksjon av antall k arbeidere kanaler. La oss betegne denne funksjonen En mulig form for funksjonen er vist i fig. 5.11.
Åpenbart fører en ubegrenset økning i antall samtidige kanaler ikke alltid til en proporsjonal økning i tjenestehastigheten; Det er mer naturlig å anta at ved en viss kritisk verdi øker ikke lenger tjenesteintensiteten ved en ytterligere økning i antall opptatte kanaler.
For å analysere driften av en QS med gjensidig hjelp mellom kanaler, er det først og fremst nødvendig å angi typen funksjon
Det enkleste tilfellet å studere vil være tilfellet når funksjonen øker proporsjonalt med k mens og forblir konstant og lik (se fig. 5.12). Hvis det totale antallet kanaler som kan hjelpe hverandre ikke overstiger
La oss nå dvele ved det andre spørsmålet: disiplinen for gjensidig hjelp. Vi vil kalle det enkleste tilfellet av denne disiplinen "alle som en." Dette betyr at når en forespørsel vises, begynner alle kanaler å betjene den på en gang og forblir opptatt til betjeningen av denne forespørselen avsluttes; så bytter alle kanaler til å betjene en annen forespørsel (hvis det er en) eller venter på at den dukker opp hvis den ikke gjør det, osv. I dette tilfellet fungerer selvsagt alle kanalene som én, QS blir enkeltkanal, men med en høyere tjeneste intensitet.
Spørsmålet oppstår: er det lønnsomt eller ulønnsomt å innføre slik gjensidig bistand mellom kanaler? Svaret på dette spørsmålet avhenger av hva intensiteten av strømmen av forespørsler er, hvilken type funksjon, hvilken type QS (med feil, med en kø), hvilken verdi som er valgt som en egenskap for tjenesteeffektivitet.
Eksempel 1. Det er en tre-kanals QS med feil: intensiteten av applikasjonsflyten (applikasjoner per minutt), gjennomsnittlig tid for å betjene én forespørsel med én kanal (min), funksjonen Spørsmålet er om det er fordelaktig fra synspunktet på gjennomstrømmingen til QS for å innføre gjensidig hjelp mellom kanaler av typen "alle som én"? Er dette gunstig med tanke på å redusere den gjennomsnittlige tiden en applikasjon forblir i systemet?
Løsning a. Uten gjensidig hjelp
I henhold til Erlang-formlene (se § 4) har vi:
Relativ kapasitet til QS;
Absolutt gjennomstrømning:
Den gjennomsnittlige tiden en søknad forblir i QS er funnet som sannsynligheten for at søknaden vil bli akseptert for tjeneste multiplisert med gjennomsnittlig tjenestetid:
Gsist (min).
Vi må ikke glemme at denne gjennomsnittstiden gjelder for alle applikasjoner - både betjente og ubetjente. Vi kan også være interessert i den gjennomsnittlige tiden en betjent applikasjon vil bli i systemet. Denne tiden er lik:
6. Med gjensidig hjelp.
Gjennomsnittlig tid en søknad forblir i CMO:
Gjennomsnittlig tid brukt av en betjent applikasjon i CMO:
Således, i nærvær av gjensidig hjelp "alle som en", har gjennomstrømningen av QS merkbart redusert. Dette forklares med en økning i sannsynligheten for avslag: mens alle kanaler er opptatt med å betjene én forespørsel, kan andre forespørsler komme og naturlig nok bli avvist. Når det gjelder den gjennomsnittlige tiden en søknad bruker i CMO, gikk den, som man kunne forvente, ned. Hvis vi av en eller annen grunn bestreber oss på å redusere tiden en applikasjon bruker i QS fullstendig (for eksempel hvis opphold i QS er farlig for applikasjonen), kan det vise seg at det, til tross for reduksjonen i gjennomstrømmingen, vil fortsatt være fordelaktig å kombinere de tre kanalene til én.
La oss nå vurdere innflytelsen av gjensidig bistand av typen "alle som en" på QS-arbeidet med forventning. For enkelhets skyld tar vi bare tilfellet med en ubegrenset kø. Naturligvis vil det i dette tilfellet ikke være noen innflytelse fra gjensidig assistanse på gjennomstrømningen av QS, siden alle innkommende forespørsler vil bli behandlet under alle forhold. Spørsmålet oppstår om gjensidig bistands innflytelse på egenskapene til venting: gjennomsnittlig lengde på køen, gjennomsnittlig ventetid, gjennomsnittlig tid brukt i tjenesten.
I kraft av formlene (6.13), (6.14) § 6 for tjeneste uten gjensidig bistand vil gjennomsnittlig antall forespørsler i køen være
gjennomsnittlig ventetid:
og gjennomsnittlig oppholdstid i systemet:
Hvis gjensidig assistanse av typen "alle som en" brukes, vil systemet fungere som en enkeltkanal med parametrene
og dens egenskaper bestemmes av formlene (5.14), (5.15) § 5:
Eksempel 2. Det er en tre-kanals QS med en ubegrenset kø; intensiteten av applikasjonsflyten (applikasjoner per minutt), gjennomsnittlig brukstid Funksjon Fordelaktig betydning:
Gjennomsnittlig kølengde,
Gjennomsnittlig ventetid på service,
Gjennomsnittlig tid en søknad forblir i CMO
innføre gjensidig hjelp mellom kanaler som «alle som én»?
Løsning a. Ingen gjensidig hjelp.
I henhold til formlene (9.1) - (9.4) har vi
(3-2)
b. Med gjensidig hjelp
Ved å bruke formler (9.5) - (9.7) finner vi;
Dermed er gjennomsnittlig lengde på køen og gjennomsnittlig ventetid i køen ved gjensidig bistand større, men gjennomsnittstiden en søknad oppholder seg i systemet er kortere.
Fra de betraktede eksemplene er det klart at gjensidig bistand mellom "alle som én" type kontanter bidrar som regel ikke til å øke effektiviteten av tjenesten: tiden en forespørsel blir i tjenestesystemet reduseres, men andre tjenesteegenskaper forringes.
Derfor er det ønskelig å endre tjenestedisiplinen slik at gjensidig bistand mellom kanaler ikke forstyrrer å akseptere nye forespørsler om tjeneste dersom de dukker opp mens alle kanaler er opptatt.
La oss kalle følgende type gjensidig hjelp «uniform gjensidig hjelp». Hvis en forespørsel kommer på et tidspunkt da alle kanaler er ledige, godtas alle kanaler for å betjene den; hvis det kommer en annen på tidspunktet for service av en applikasjon, bytter noen av kanalene til å betjene den; hvis, mens disse to forespørslene blir behandlet, en annen kommer, bytter noen av kanalene til å betjene den, osv., inntil alle kanalene er opptatt; hvis dette er tilfelle, blir den nyankomne søknaden avvist (i en QS med avslag) eller blir satt i kø (i en QS med venting).
Med denne disiplinen gjensidig bistand blir en søknad avslått eller satt i kø kun når det ikke er mulig å betjene den. Når det gjelder "nedetid" for kanaler, er den minimal under disse forholdene: hvis det er minst én forespørsel i systemet, fungerer alle kanaler.
Vi nevnte ovenfor at når en ny forespørsel vises, frigis noen av de travle kanalene og går over til å betjene den nylig ankomne forespørselen. Hvilken del? Det avhenger av typen funksjon Hvis den har form av et lineært forhold, som vist i fig. 5.12, og det spiller ingen rolle hvilken del av kanalene som er tildelt for å betjene en nylig mottatt forespørsel, så lenge alle kanalene er okkupert (da vil den totale intensiteten av tjenester for enhver distribusjon av kanaler blant forespørsler være lik ). Det kan bevises at hvis kurven er konveks oppover, som vist i fig. 5.11, så må du fordele kanaler mellom forespørsler så jevnt som mulig.
La oss vurdere driften av en -channel QS med "uniform" gjensidig assistanse mellom kanaler.
Formulering av problemet. Ved inngangen n-channel QS mottar den enkleste flyten av forespørsler med tetthet λ. Tettheten til den enkleste tjenestestrømmen for hver kanal er μ. Hvis en forespørsel mottatt om tjeneste finner alle kanaler ledige, blir den akseptert for service og betjent samtidig l kanaler ( l < n). I dette tilfellet vil flyten av tjenester for én applikasjon ha en intensitet l.
Hvis en forespørsel mottatt om tjeneste finner én forespørsel i systemet, når n ≥ 2l en nylig ankommet søknad vil bli akseptert for service og vil bli behandlet samtidig l kanaler.
Hvis en forespørsel mottatt om service fanges opp i systemet Jeg applikasjoner ( Jeg= 0,1, ...), mens ( Jeg+ 1)l≤ n, så vil den mottatte søknaden bli behandlet l kanaler med total ytelse l. Hvis en nylig mottatt søknad fanges opp i systemet j søknader og samtidig tilfredsstilles to ulikheter i fellesskap: ( j + 1)l > n Og j < n, vil søknaden bli akseptert for tjeneste. I dette tilfellet kan noen applikasjoner betjenes l kanaler, den andre delen er mindre enn l, antall kanaler, men alle vil være opptatt med service n kanaler som er tilfeldig fordelt mellom applikasjoner. Hvis en nylig mottatt søknad fanges opp i systemet n søknader, så blir den avvist og vil ikke bli betjent. En søknad mottatt for service blir behandlet til fullføring ("pasientsøknader").
Tilstandsgrafen til et slikt system er vist i fig. 3.8.
Ris. 3.8. Graf over QS-tilstander med feil og delvis
gjensidig hjelp mellom kanaler
Merk at tilstandsgrafen til systemet opp til tilstanden x h opp til notasjonen av flytparametere faller den sammen med tilstandsgrafen til et klassisk køsystem med feil, vist i fig. 3.6.
Derfor,
(Jeg
= 0, 1, ..., h).
Systemtilstandsgraf som starter fra tilstand x h og slutter med staten x n, sammenfaller, opp til notasjon, med tilstandsgrafen til en QS med fullstendig gjensidig assistanse vist i fig. 3.7. Dermed,
.
La oss introdusere notasjonen λ / lμ = ρ l ; λ / nμ = χ, da
Tar vi hensyn til den normaliserte tilstanden, får vi
La oss finne egenskapene til systemet.
Gjennomsnittlig antall søknader i systemet er
Gjennomsnittlig antall opptatte kanaler
.
Sannsynlighet for at en bestemt kanal vil være opptatt
.
Sannsynlighet for belegg av alle systemkanaler
Formulering av problemet. Ved inngangen n-kanal QS-systemet mottar en heterogen enkleste strømning med en total intensitet λ Σ , og
λ Σ
=
,
hvor λ Jeg– intensiteten av søknader i Jeg kilden.
Siden flyten av forespørsler betraktes som en superposisjon av krav fra ulike kilder, kan den kombinerte flyten med tilstrekkelig nøyaktighet for praksis betraktes som Poisson for N = 5...20 og λ Jeg ≈ λ Jeg +1 (Jeg1,N). Tjenesteintensiteten til en enhet er fordelt i henhold til en eksponentiell lov og er lik μ = 1/ t. Serviceenheter for service av en forespørsel er koblet i serie, noe som tilsvarer å øke servicetiden like mange ganger som antall enheter kombineres for service:
t obs = kt, μ obs = 1 / kt = μ/ k,
Hvor t obs – be om servicetid; k– antall serviceenheter; μ obs – be om serviceintensitet.
Innenfor rammen av forutsetningene vedtatt i kapittel 2, representerer vi tilstanden til QS som en vektor, der k m– antall applikasjoner i systemet, som hver er betjent m enheter; L = q maks – q min +1 – antall inngangsstrømmer.
Deretter antall okkuperte og ledige enheter ( n zan ( 
),n sv ( 
)) i stand 
er definert som følger:
Fra staten 
systemet kan gå til en hvilken som helst annen stat 
. Siden systemet fungerer L inngangsstrømmer, så er det potensielt mulig fra hver tilstand L direkte overganger. På grunn av begrensede systemressurser er imidlertid ikke alle disse overgangene gjennomførbare. La SMO være i en tilstand 
og en forespørsel kommer krevende m enheter. Hvis m≤ n sv ( 
), så blir forespørselen akseptert for service og systemet går inn i en tilstand med intensitet λ m. Hvis applikasjonen krever flere enheter enn tilgjengelig, vil den bli nektet tjeneste, og QS vil forbli i staten 
. Hvis du kan 
det er applikasjoner som krever m enheter, så blir hver av dem betjent med intensitet m, og den totale intensiteten av å betjene slike forespørsler (μ m) er definert som μ m
= k m μ
/ m. Når betjeningen av en av forespørslene er fullført, vil systemet gå inn i en tilstand der den tilsvarende koordinaten har en verdi som er én mindre enn i tilstanden 
,
=, dvs. den omvendte overgangen vil skje. I fig. 3.9 viser et eksempel på en vektormodell av en QS for n
= 3, L
= 3, q min = 1, q maks = 3, P(m) = 1/3, λ Σ = λ, intensiteten på vedlikehold av enheten – μ.
Ris. 3.9. Et eksempel på en graf av en vektormodell av en QS med tjenestefeil
Så hver stat 
preget av antall betjente applikasjoner av en bestemt type. For eksempel i en stat 
én forespørsel betjenes av én enhet og én forespørsel av to enheter. I denne tilstanden er alle enheter opptatt, derfor er bare omvendte overganger mulig (ankomsten av enhver forespørsel i denne tilstanden fører til tjenestenekt). Hvis service av en forespørsel av den første typen er avsluttet tidligere, vil systemet gå inn i tilstanden 
(0,1,0) med intensitet μ, men hvis service av en forespørsel av den andre typen er avsluttet tidligere, vil systemet gå inn i tilstanden 
(0,1,0) med intensitet μ/2.
Ved å bruke tilstandsgrafen med overgangsintensitetene plottet, kompileres et system med lineære algebraiske ligninger. Fra løsningen av disse ligningene finner man sannsynlighetene R(
), hvorved egenskapene til QS bestemmes.
Vurder å finne R otk (sannsynlighet for tjenestenekt).
,
Hvor S– antall tilstander i grafen til vektor QS-modellen; R(
) er sannsynligheten for at systemet er i tilstanden 
.
Antall stater i henhold til bestemmes som følger:
,
(3.22)
;
La oss bestemme antall tilstander til vektor QS-modellen i henhold til (3.22) for eksemplet vist i fig. 3.9.
.
Derfor, S = 1 + 5 + 1 = 7.
For å implementere reelle krav til tjenesteenheter, et tilstrekkelig stort antall n
(40, ..., 50), og forespørsler om antall serveringsenheter i en applikasjon ligger i praksis i området 8–16. Med et slikt forhold mellom instrumenter og forespørsler blir den foreslåtte måten å finne sannsynligheter ekstremt tungvint på, fordi vektormodellen til QS har et stort antall tilstander S(50)
= 1790, S(60)
= 4676, S(70) = = 11075, og størrelsen på koeffisientmatrisen til systemet med algebraiske ligninger er proporsjonal med kvadratet S, som krever en stor mengde datamaskinminne og en betydelig mengde datamaskintid. Ønsket om å redusere mengden beregninger stimulerte søket etter tilbakevendende beregningsevner R(
) basert på multiplikative former for å representere tilstandssannsynligheter. Oppgaven presenterer en tilnærming til beregning R(
):
(3.23)
Ved å bruke kriteriet for ekvivalens av globale og detaljerte balanser av Markov-kjeder foreslått i arbeidet, kan vi redusere dimensjonen av problemet og utføre beregninger på en datamaskin med middels kraft ved å bruke gjentakelse av beregninger. I tillegg er det mulig å:
– utføre beregninger for eventuelle verdier n;
– øke hastigheten på beregningene og redusere maskintidskostnadene.
Andre egenskaper ved systemet kan bestemmes på lignende måte.
