Ostrogradsky-Gauss teorem. Elektrisk induksjonsvektorfluks Elektrostatisk induksjonsvektorfluks

Gauss' teorem for elektrisk induksjon (elektrisk forskyvning)[

For et felt i et dielektrisk medium kan Gauss' elektrostatiske teorem skrives på en annen måte (på en alternativ måte) - gjennom strømmen av den elektriske forskyvningsvektoren (elektrisk induksjon). I dette tilfellet er formuleringen av teoremet som følger: strømmen av den elektriske forskyvningsvektoren gjennom en lukket overflate er proporsjonal med den frie elektriske ladningen inne i denne overflaten:

I differensiell form:

Gauss teorem for magnetisk induksjon

Fluksen til den magnetiske induksjonsvektoren gjennom enhver lukket overflate er null:

eller i differensiell form

Dette tilsvarer det faktum at i naturen er det ingen "magnetiske ladninger" (monopoler) som vil skape et magnetfelt, slik elektriske ladninger skaper et elektrisk felt. Gauss' teorem for magnetisk induksjon viser med andre ord at magnetfeltet er (helt) virvel.

Gauss teorem for Newtonsk gravitasjon

For feltstyrken til Newtonsk gravitasjon (gravitasjonsakselerasjon), faller Gauss' teorem praktisk talt sammen med det i elektrostatikk, med unntak av kun konstanter (men fortsatt avhengig av det vilkårlige valget av enhetssystemet) og, viktigst av alt, tegnet:

Hvor g- gravitasjonsfeltstyrke, M- gravitasjonsladning (dvs. masse) inne i overflaten S, ρ - massetetthet, G- Newtonsk konstant.

Ledere i et elektrisk felt. Felt inne i en leder og på overflaten.

Ledere er kropper som elektriske ladninger kan passere fra et ladet legeme til et uladet. Ledernes evne til å føre elektriske ladninger gjennom seg selv forklares av tilstedeværelsen av gratis ladningsbærere i dem. Ledere - metalllegemer i fast og flytende tilstand, flytende løsninger av elektrolytter. De gratis ladningene til en leder introdusert i et elektrisk felt begynner å bevege seg under dens påvirkning. Omfordelingen av ladninger forårsaker en endring i det elektriske feltet. Når den elektriske feltstyrken i en leder blir null, slutter elektronene å bevege seg. Fenomenet med separasjon av ulik ladning i en leder plassert i et elektrisk felt kalles elektrostatisk induksjon. Det er ikke noe elektrisk felt inne i lederen. Dette brukes til elektrostatisk beskyttelse - beskyttelse ved hjelp av metallledere fra et elektrisk felt. Overflaten til et ledende legeme av enhver form i et elektrisk felt er en ekvipotensialoverflate.

Kondensatorer

For å skaffe enheter som ved et lavt potensial i forhold til mediet ville akkumulere (kondensere) merkbare ladninger på seg selv, bruker de det faktum at den elektriske kapasiteten til en leder øker når andre kropper nærmer seg den. Faktisk, under påvirkning av feltet skapt av ladede ledere, vises induserte (på lederen) eller assosierte (på den dielektriske) ladninger på en kropp brakt til den (fig. 15.5). Ladninger motsatt i fortegn til ladningen til lederen q er plassert nærmere lederen enn de med samme navn med q, og har derfor stor innflytelse på potensialet.

Derfor, når et legeme bringes nær en ladet leder, synker feltstyrken, og følgelig reduseres lederens potensial. I følge ligningen betyr dette en økning i lederkapasitansen.

Kondensatoren består av to ledere (plater) (fig. 15.6), atskilt med et dielektrisk lag. Når en viss potensialforskjell påføres en leder, lades platene med like ladninger med motsatt fortegn. Den elektriske kapasiteten til en kondensator forstås som en fysisk størrelse proporsjonal med ladningen q og omvendt proporsjonal med potensialforskjellen mellom platene

La oss bestemme kapasitansen til en flat kondensator.

Hvis platearealet er S og ladningen på den er q, så er feltstyrken mellom platene

På den annen side kommer potensialforskjellen mellom platene fra

Energi til et system av punktladninger, en ladet leder og en kondensator.

Ethvert system av ladninger har en viss potensiell interaksjonsenergi, som er lik arbeidet som brukes på å lage dette systemet. Energi til et system av punktladninger q 1 , q 2 , q 3 ,… q N er definert som følger:

Hvor φ 1 – potensialet til det elektriske feltet skapt av alle ladninger unntatt q 1 på punktet der ladningen er plassert q 1 osv. Hvis konfigurasjonen av ladningssystemet endres, endres også energien til systemet. For å endre systemkonfigurasjonen må arbeid gjøres.

Den potensielle energien til et system av punktladninger kan beregnes på en annen måte. Potensiell energi av to punktladninger q 1 , q 2 i avstand fra hverandre er lik. Hvis det er flere ladninger, kan den potensielle energien til dette ladningssystemet defineres som summen av de potensielle energiene til alle ladningsparene som kan sammensettes for dette systemet. Så, for et system med tre positive ladninger, er energien til systemet lik

Energi til en ladet enslig leder og kondensator

Hvis en isolert leder har en ladning q, så er det et elektrisk felt rundt den, hvis potensial på overflaten av lederen er lik , og kapasitansen er C. La oss øke ladningen med mengden dq. Ved overføring av ladning dq fra uendelig må det arbeides lik . Men potensialet til det elektrostatiske feltet til en gitt leder ved uendelig er null. Deretter

Når du overfører ladning dq fra en leder til uendelig, gjøres det samme arbeidet av kreftene til det elektrostatiske feltet. Følgelig, når ladningen til lederen øker med en mengde dq, øker den potensielle energien til feltet, dvs.

Ved å integrere dette uttrykket finner vi den potensielle energien til det elektrostatiske feltet til en ladet leder når ladningen øker fra null til q:

Ved å anvende relasjonen kan vi få følgende uttrykk for den potensielle energien W:

For en ladet kondensator er potensialforskjellen (spenningen) derfor lik forholdet for den totale energien til dets elektrostatiske felt:

Loven om elektriske ladningers interaksjon – Coulombs lov – kan formuleres annerledes, i form av det såkalte Gauss-teoremet. Gauss sin teorem er oppnådd som en konsekvens av Coulombs lov og superposisjonsprinsippet. Beviset er basert på den omvendte proporsjonaliteten mellom kraften i samspillet mellom to punktladninger og kvadratet på avstanden mellom dem. Derfor er Gauss' teorem anvendelig på ethvert fysisk felt der den omvendte kvadratloven og superposisjonsprinsippet gjelder for eksempel gravitasjonsfeltet.

Ris. 9. Linjer med elektrisk feltstyrke til en punktladning som skjærer en lukket overflate X

For å formulere Gauss' teorem, la oss gå tilbake til bildet av de elektriske feltlinjene til en stasjonær punktladning. Feltlinjene til en solitær punktladning er symmetrisk plasserte radielle rette linjer (fig. 7). Du kan tegne et hvilket som helst antall slike linjer. La oss betegne deres totale antall med. Da er tettheten av feltlinjer i en avstand fra ladningen, dvs. antall linjer som krysser en enhetsoverflate av en sfære med radius, lik å sammenligne dette forholdet med uttrykket for feltstyrken til en punktladning (4), ser vi at tettheten til linjer er proporsjonal med feltstyrken. Vi kan gjøre disse mengdene numerisk like ved riktig å velge det totale antallet feltlinjer N:

Dermed skjærer overflaten til en kule med en hvilken som helst radius som omslutter en punktladning det samme antall kraftlinjer. Dette betyr at kraftlinjene er kontinuerlige: i intervallet mellom to konsentriske kuler med forskjellige radier, er ingen av linjene brutt og ingen nye blir lagt til. Siden feltlinjene er kontinuerlige, skjærer det samme antall feltlinjer enhver lukket overflate (fig. 9) som dekker ladningen

Kraftlinjer har en retning. I tilfelle av en positiv ladning, kommer de ut fra den lukkede overflaten som omgir ladningen, som vist i fig. 9. Ved negativ ladning går de inn i overflaten. Hvis antall utgående linjer betraktes som positivt og antall innkommende linjer som negative, kan vi i formel (8) utelate tegnet på ladningsmodulen og skrive det i formen

Strøm av spenning. La oss nå introdusere konseptet med feltstyrkevektorstrøm gjennom en overflate. Et vilkårlig felt kan mentalt deles inn i små områder hvor intensiteten endres så lite i størrelse og retning at feltet innenfor dette området kan anses som ensartet. I hvert slikt område er kraftlinjene parallelle rette linjer og har konstant tetthet.

Ris. 10. For å bestemme fluksen til feltstyrkevektoren gjennom stedet

La oss vurdere hvor mange kraftlinjer som trenger inn i et lite område, retningen til normalen som danner en vinkel a med retningen til spenningslinjene (fig. 10). La være en projeksjon på et plan vinkelrett på kraftlinjene. Siden antallet linjer som krysser er det samme, og tettheten til linjene, i henhold til den aksepterte tilstanden, er lik modulen til feltstyrken E, så

Verdien a er projeksjonen av vektoren E på retningen til normalen til stedet

Derfor er antall kraftledninger som krysser området lik

Produktet kalles feltstyrkefluksen gjennom overflaten Formel (10) viser at fluksen til vektor E gjennom overflaten er lik antall feltlinjer som krysser denne overflaten. Legg merke til at fluksen til intensitetsvektoren, som antall kraftlinjer som passerer gjennom overflaten, er en skalar.

Ris. 11. Strøm av spenningsvektoren E gjennom stedet

Strømmens avhengighet av orienteringen til stedet i forhold til kraftlinjene er illustrert i fig.

Feltstyrkefluksen gjennom en vilkårlig overflate er summen av fluksene gjennom de elementære områdene som denne overflaten kan deles inn i. I kraft av relasjonene (9) og (10) kan det angis at strømmen av feltstyrken til en punktladning gjennom enhver lukket overflate 2 som omslutter ladningen (se fig. 9), som antall feltlinjer som kommer ut fra denne overflaten er lik I dette tilfellet skal normalvektoren til de elementære områdene lukket overflate rettes utover. Hvis ladningen inne i overflaten er negativ, kommer feltlinjene inn i denne overflaten og fluksen til feltstyrkevektoren knyttet til ladningen er også negativ.

Hvis det er flere ladninger inne i en lukket overflate, vil strømmene av feltstyrken deres i samsvar med superposisjonsprinsippet legge seg opp. Den totale fluksen vil være lik hvor ved skal forstås som den algebraiske summen av alle ladninger som befinner seg inne i overflaten.

Hvis det ikke er noen elektriske ladninger inne i en lukket overflate eller deres algebraiske sum er null, så er den totale fluksen av feltstyrke gjennom denne overflaten null: ettersom mange kraftlinjer kommer inn i volumet avgrenset av overflaten, går det samme tallet ut.

Nå kan vi endelig formulere Gauss' teorem: strømmen av den elektriske feltstyrkevektoren E i et vakuum gjennom enhver lukket overflate er proporsjonal med den totale ladningen som ligger inne i denne overflaten. Matematisk uttrykkes Gauss sin teorem med samme formel (9), hvor med menes den algebraiske summen av ladninger. I absolutt elektrostatisk

i SGSE-systemet av enheter er koeffisienten og Gauss' teorem skrevet på skjemaet

I SI og spenningsfluksen gjennom en lukket overflate uttrykkes ved formelen

Gauss' teorem er mye brukt i elektrostatikk. I noen tilfeller kan den brukes til å enkelt beregne felt opprettet av symmetrisk plasserte ladninger.

Felt med symmetriske kilder. La oss bruke Gauss' teorem for å beregne intensiteten til det elektriske feltet som er jevnt ladet over overflaten av en kule med radius. For bestemthetens skyld vil vi anta at ladningen er positiv. Fordelingen av ladninger som skaper feltet har sfærisk symmetri. Derfor har feltet også samme symmetri. Kraftlinjene til et slikt felt er rettet langs radiene, og intensitetsmodulen er den samme på alle punkter like langt fra midten av ballen.

For å finne feltstyrken i en avstand fra midten av ballen, la oss mentalt tegne en sfærisk flate med radius konsentrisk med ballen Siden feltstyrken er rettet vinkelrett på overflaten på alle punkter på denne sfæren samme i absolutt verdi, intensitetsstrømmen er ganske enkelt lik produktet av feltstyrken og overflaten til sfæren:

Men denne mengden kan også uttrykkes ved hjelp av Gauss teorem. Hvis vi er interessert i feltet utenfor ballen, det vil si, for eksempel i SI og sammenlignet med (13), finner vi

I systemet med enheter SGSE, åpenbart,

Dermed, utenfor ballen, er feltstyrken den samme som for en punktladning plassert i midten av ballen. Hvis vi er interessert i feltet inne i ballen, det vil si, siden hele ladningen fordelt over ballens overflate er plassert utenfor sfæren, har vi mentalt tegnet. Derfor er det ikke noe felt inne i ballen:

På samme måte kan man ved å bruke Gauss' teorem beregne det elektrostatiske feltet som skapes av en uendelig ladet

plan med konstant tetthet på alle punkter av planet. Av symmetrihensyn kan vi anta at kraftlinjene er vinkelrett på planet, rettet fra det i begge retninger og har samme tetthet overalt. Faktisk, hvis tettheten av feltlinjer på forskjellige punkter var forskjellig, ville flytting av et ladet plan langs seg selv føre til en endring i feltet ved disse punktene, noe som motsier symmetrien til systemet - et slikt skifte bør ikke endre feltet. Med andre ord er feltet til et uendelig jevnt ladet plan enhetlig.

Som en lukket overflate for å anvende Gauss' teorem velger vi overflaten til en sylinder konstruert som følger: generatrisen til sylinderen er parallell med kraftlinjene, og basene har arealer parallelle med det ladede planet og ligger på motsatte sider av det. (Fig. 12). Feltstyrkefluksen gjennom sideflaten er null, så den totale fluksen gjennom den lukkede overflaten er lik summen av fluksene gjennom sylinderens base:

Ris. 12. Mot beregning av feltstyrken til et jevnt ladet plan

I følge Gauss sin teorem er den samme fluksen bestemt av ladningen til den delen av planet som ligger inne i sylinderen, og i SI er den lik Ved å sammenligne disse uttrykkene for fluksen finner vi

I SGSE-systemet er feltstyrken til et jevnt ladet uendelig plan gitt av formelen

For en jevnt ladet plate med endelige dimensjoner er de oppnådde uttrykkene tilnærmet gyldige i et område plassert tilstrekkelig langt fra kantene på platen og ikke for langt fra overflaten. Nær kantene på platen vil feltet ikke lenger være jevnt og feltlinjene vil bli bøyd. Ved svært store avstander sammenlignet med størrelsen på platen avtar feltet med avstanden på samme måte som feltet til en punktladning.

Andre eksempler på felt skapt av symmetrisk distribuerte kilder inkluderer feltet til en jevnt ladet langs lengden av en uendelig rettlinjet tråd, feltet til en jevnt ladet uendelig sirkulær sylinder, feltet til en kule,

jevnt ladet gjennom hele volumet osv. Gauss sin teorem gjør det mulig å enkelt beregne feltstyrken i alle disse tilfellene.

Gauss' teorem gir et forhold mellom feltet og dets kilder, i en eller annen forstand det motsatte av det gitt av Coulombs lov, som lar en bestemme det elektriske feltet ut fra gitte ladninger. Ved å bruke Gauss' teorem kan du bestemme den totale ladningen i ethvert område i rommet der fordelingen av det elektriske feltet er kjent.

Hva er forskjellen mellom begrepene langdistanse og kortdistansehandling når man beskriver samspillet mellom elektriske ladninger? I hvilken grad kan disse konseptene brukes på gravitasjonsinteraksjoner?

Hva er elektrisk feltstyrke? Hva betyr de når det kalles kraftkarakteristikken til det elektriske feltet?

Hvordan kan man bedømme retningen og størrelsen på feltstyrken på et bestemt punkt ut fra mønsteret av feltlinjer?

Kan elektriske feltlinjer krysse hverandre? Begrunn svaret ditt.

Tegn et kvalitativt bilde av de elektrostatiske feltlinjene til to ladninger slik at .

Strømmen av elektrisk feltstyrke gjennom en lukket overflate uttrykkes med forskjellige formler (11) og (12) i GSE- og SI-enhetene. Hvordan kan dette forenes med den geometriske betydningen av flyt, bestemt av antall kraftlinjer som krysser overflaten?

Hvordan bruke Gauss' teorem for å finne den elektriske feltstyrken når ladningene som skaper den er symmetrisk fordelt?

Hvordan bruke formlene (14) og (15) for å beregne feltstyrken til en ball med negativ ladning?

Gauss teorem og geometrien til fysisk rom. La oss se på beviset for Gauss teorem fra et litt annet synspunkt. La oss gå tilbake til formel (7), hvorfra det ble konkludert med at det samme antall kraftlinjer passerer gjennom enhver sfærisk overflate som omgir en ladning. Denne konklusjonen skyldes at det er en reduksjon i nevnerne på begge sider av likestillingen.

På høyre side oppsto det på grunn av det faktum at kraften til interaksjon mellom ladninger, beskrevet av Coulombs lov, er omvendt proporsjonal med kvadratet på avstanden mellom ladningene. På venstre side er utseendet relatert til geometri: overflatearealet til en kule er proporsjonalt med kvadratet av dens radius.

Proporsjonaliteten av overflateareal til kvadratet av lineære dimensjoner er et kjennetegn på euklidisk geometri i tredimensjonalt rom. Faktisk er proporsjonaliteten til arealer nøyaktig til kvadratene av lineære dimensjoner, og ikke til noen annen heltallsgrad, karakteristisk for rommet

tre dimensjoner. Det faktum at denne eksponenten er nøyaktig lik to, og ikke skiller seg fra to, selv med en ubetydelig liten mengde, indikerer at dette tredimensjonale rommet ikke er buet, dvs. at dets geometri er nøyaktig euklidisk.

Dermed er Gauss' teorem en manifestasjon av egenskapene til fysisk rom i den grunnleggende loven om samhandling av elektriske ladninger.

Ideen om en nær forbindelse mellom fysikkens grunnleggende lover og egenskapene til rommet ble uttrykt av mange fremragende sinn lenge før disse lovene selv ble etablert. Således skrev I. Kant, tre tiår før oppdagelsen av Coulombs lov, om egenskapene til rommet: «Tredimensjonalitet oppstår, tilsynelatende, fordi stoffer i den eksisterende verden virker på hverandre på en slik måte at virkningskraften er omvendt proporsjonal med kvadratet på avstanden."

Coulombs lov og Gauss teorem representerer faktisk den samme naturloven uttrykt i forskjellige former. Coulombs lov reflekterer begrepet langdistansehandling, mens Gauss' teorem kommer fra ideen om et kraftfelt som fyller rom, dvs. fra begrepet kortdistansehandling. I elektrostatikk er kilden til kraftfeltet en ladning, og karakteristikken til feltet knyttet til kilden - intensitetsstrømmen - kan ikke endres i tomt rom der det ikke er andre ladninger. Siden strømmen visuelt kan forestilles som et sett med feltlinjer, kommer uforanderligheten til strømmen til uttrykk i kontinuiteten til disse linjene.

Gauss' teorem, basert på den omvendte proporsjonaliteten av interaksjon til kvadratet av avstanden og på prinsippet om superposisjon (additivitet av interaksjon), er anvendelig for ethvert fysisk felt der den omvendte kvadratloven opererer. Spesielt gjelder det også for gravitasjonsfeltet. Det er tydelig at dette ikke bare er en tilfeldighet, men en refleksjon av det faktum at både elektriske og gravitasjonsmessige interaksjoner utspiller seg i tredimensjonalt euklidisk fysisk rom.

Hvilket trekk ved loven om vekselvirkning av elektriske ladninger er Gauss-teoremet basert på?

Bevis, basert på Gauss sin teorem, at den elektriske feltstyrken til en punktladning er omvendt proporsjonal med kvadratet på avstanden. Hvilke egenskaper ved romsymmetri brukes i dette beviset?

Hvordan gjenspeiles geometrien til fysisk rom i Coulombs lov og Gauss teorem? Hvilket trekk ved disse lovene indikerer geometriens euklidiske natur og tredimensjonaliteten til det fysiske rommet?

La oss introdusere konseptet med elektrisk induksjonsvektorstrøm. La oss vurdere et uendelig lite område. I de fleste tilfeller er det nødvendig å vite ikke bare størrelsen på stedet, men også dens orientering i rommet. La oss introdusere konseptet vektor-område. La oss bli enige om at vi med arealvektor mener en vektor rettet vinkelrett på arealet og numerisk lik størrelsen på arealet.

Figur 1 - Mot definisjonen av vektoren - stedet

La oss kalle vektorstrømmen gjennom plattformen
prikkprodukt av vektorer Og
. Dermed,

Strømningsvektor gjennom en vilkårlig overflate finnes ved å integrere alle elementære strømmer

(4)

Hvis feltet er jevnt og overflaten er flat plassert vinkelrett på feltet, da:

. (5)

Det gitte uttrykket bestemmer antall kraftlinjer som gjennomborer stedet per tidsenhet.

Ostrogradsky-Gauss teorem. Divergens i elektrisk feltstyrke

Elektrisk induksjonsvektor strømmer gjennom en vilkårlig lukket overflate lik den algebraiske summen av frie elektriske ladninger , dekket av denne overflaten

(6)

Uttrykk (6) representerer O-G-teoremet i integralform. Teorem 0-Г opererer med integral (total) effekt, dvs. Hvis
det er ukjent om dette betyr fravær av ladninger på alle punkter i den studerte delen av rommet, eller at summen av positive og negative ladninger lokalisert på forskjellige punkter i dette rommet er lik null.

For å finne de lokaliserte ladningene og deres størrelse i et gitt felt, trengs en relasjon som relaterer vektoren til elektrisk induksjon på et gitt punkt med en ladning på samme punkt.

Anta at vi må bestemme tilstedeværelsen av ladning på et punkt EN(Fig.2)

Figur 2 – For å beregne vektordivergens

La oss bruke O-G teoremet. Strømmen av den elektriske induksjonsvektoren gjennom en vilkårlig overflate som begrenser volumet der punktet befinner seg EN, er lik

Den algebraiske summen av ladninger i et volum kan skrives som et volumintegral

(7)

Hvor - ladning per volumenhet ;

- volumelement.

For å oppnå forbindelsen mellom feltet og ladningen på et punkt EN vi vil redusere volumet ved å trekke overflaten sammen til et punkt EN. I dette tilfellet deler vi begge sider av vår likhet med verdien . Når vi beveger oss til grensen, får vi:

.

Høyre side av det resulterende uttrykket er per definisjon den volumetriske ladningstettheten ved det betraktede punktet i rommet. Venstre side representerer grensen for forholdet mellom fluksen til den elektriske induksjonsvektoren gjennom en lukket overflate til volumet avgrenset av denne overflaten, når volumet har en tendens til null. Denne skalarmengden er en viktig egenskap ved det elektriske feltet og kalles vektor divergens .

Dermed:

,

derfor

, (8)

Hvor - volumetrisk ladningstetthet.

Ved å bruke dette forholdet løses det omvendte problemet med elektrostatikk ganske enkelt, dvs. finne fordelte ladninger over et kjent felt.

Hvis vektoren er gitt, noe som betyr at projeksjonene er kjent
,
,
på koordinataksene som funksjon av koordinatene og for å beregne den fordelte tettheten av ladninger som skapte et gitt felt, viser det seg at det er nok å finne summen av tre partielle deriverte av disse projeksjonene med hensyn til de tilsvarende variablene. På de punktene som
ingen kostnader. På punkter hvor
positiv, det er en positiv ladning med volumtetthet lik
, og på de punktene hvor
vil ha en negativ verdi, er det en negativ ladning, hvis tetthet også bestemmes av divergensverdien.

Uttrykk (8) representerer teorem 0-Г i differensialform. I denne formen viser teoremet det at kildene til det elektriske feltet er frie elektriske ladninger; feltlinjene til den elektriske induksjonsvektoren begynner og slutter med henholdsvis positive og negative ladninger.

Det vanskeligste er å studere elektriske fenomener i et uensartet elektrisk miljø. I et slikt medium har ε forskjellige verdier, og endres brått ved den dielektriske grensen. La oss anta at vi bestemmer feltstyrken ved grensesnittet mellom to medier: ε 1 =1 (vakuum eller luft) og ε 2 =3 (væske - olje). Ved grensesnittet, under overgangen fra vakuum til dielektrisk, synker feltstyrken tre ganger, og fluksen til styrkevektoren avtar med samme mengde (fig. 12.25, a). En brå endring i den elektrostatiske feltstyrkevektoren ved grensesnittet mellom to medier skaper visse vanskeligheter ved beregning av felt. Når det gjelder Gauss sin teorem, mister den generelt sin mening under disse forholdene.

Siden polariserbarheten og spenningen til ulik dielektrikum er forskjellig, vil antallet feltlinjer i hvert dielektrikum også være forskjellig. Denne vanskeligheten kan elimineres ved å introdusere en ny fysisk karakteristikk av feltet, elektrisk induksjon D (eller vektor elektrisk forskyvning ).

I henhold til formelen

ε 1 E 1 = ε 2 E 2 =E 0 =konst

Ved å multiplisere alle deler av disse likhetene med den elektriske konstanten ε 0 får vi

ε 0 ε 1 E 1 = ε 0 ε 2 E 2 =ε 0 E 0 =konst.

La oss introdusere notasjonen ε 0 εE=D så vil den nest siste relasjonen ha formen

D 1 = D 2 = D 0 = konst

Vektor D, lik produktet av den elektriske feltstyrken i dielektrikumet og dets absolutte dielektriske konstant, kalleselektrisk forskyvningsvektor

(12.45)

Enhet for elektrisk forskyvning - anheng per kvadratmeter(C/m2).

Elektrisk forskyvning er en vektorstørrelse og kan også uttrykkes som

D = εε 0 E =(1+χ)ε 0 E = ε 0 E + χε 0 E = ε 0 E+P

(12.46)

I motsetning til spenningen E er den elektriske forskyvningen D konstant i alle dielektrikum (fig. 12.25, b). Derfor er det praktisk å karakterisere det elektriske feltet i et inhomogent dielektrisk medium ikke ved intensiteten E, men av forskyvningsvektoren D. Vektor D beskriver det elektrostatiske feltet som skapes av frie ladninger (dvs. i et vakuum), men med deres fordeling i rommet som i nærvær av et dielektrikum, siden bundne ladninger som oppstår i dielektrikum kan forårsake en omfordeling av frie ladninger som skaper feltet.

Vektor felt grafisk representert ved elektriske forskyvningslinjer på samme måte som feltet avbildet med kraftlinjer.

Elektrisk forskyvningslinje - dette er linjer hvis tangenter i hvert punkt faller sammen i retning med den elektriske forskyvningsvektoren.

Linjene til vektor E kan begynne og slutte på alle ladninger - fri og bundet, mens linjene til vektorD- kun mot gratis kostnader. Vektor linjerDI motsetning til spenningslinjer er de kontinuerlige.

Siden den elektriske forskyvningsvektoren ikke opplever en diskontinuitet ved grensesnittet mellom to medier, vil alle induksjonslinjer som kommer fra ladninger omgitt av en lukket overflate penetrere den. Derfor, for den elektriske forskyvningsvektoren, beholder Gauss' teorem fullstendig sin betydning for et inhomogent dielektrisk medium.

Gauss' teorem for det elektrostatiske feltet i et dielektrikum : strømmen av den elektriske forskyvningsvektoren gjennom en vilkårlig lukket overflate er lik den algebraiske summen av ladningene inne i denne overflaten.

(12.47)

Når det er mange ladninger, oppstår det noen vanskeligheter ved beregning av felt.

Gauss teorem hjelper til med å overvinne dem. Essensen Gauss' teorem koker ned til følgende: hvis et vilkårlig antall ladninger er mentalt omgitt av en lukket overflate S, så kan strømmen av elektrisk feltstyrke gjennom et elementært område dS skrives som dФ = Есоsα۰dS hvor α er vinkelen mellom normalen til planet og styrkevektoren . (Fig. 12.7)

Den totale fluksen gjennom hele overflaten vil være lik summen av fluksene fra alle ladninger tilfeldig fordelt inne i den og proporsjonal med størrelsen på denne ladningen

(12.9)

La oss bestemme strømmen av intensitetsvektoren gjennom en sfærisk overflate med radius r, i hvis sentrum en punktladning +q befinner seg (fig. 12.8). Spenningslinjene er vinkelrett på overflaten av sfæren, α = 0, derfor cosα = 1. Da

Hvis feltet er dannet av et system av ladninger, da

Gauss sin teorem: strømmen av den elektrostatiske feltstyrkevektoren i et vakuum gjennom enhver lukket overflate er lik den algebraiske summen av ladningene inne i denne overflaten, delt på den elektriske konstanten.

(12.10)

Hvis det ikke er noen ladninger inne i sfæren, er Ф = 0.

Gauss teorem gjør det relativt enkelt å beregne elektriske felt for symmetrisk fordelte ladninger.

La oss introdusere konseptet med tettheten av distribuerte ladninger.

Lineær tetthet er betegnet τ og karakteriserer ladningen q per lengdeenhet ℓ. Generelt kan det beregnes ved hjelp av formelen

(12.11)

Med en jevn fordeling av ladninger er den lineære tettheten lik

Overflatetetthet er betegnet med σ og karakteriserer ladningen q per arealenhet S. Generelt bestemmes den av formelen

(12.12)

Med en jevn fordeling av ladninger over overflaten er overflatetettheten lik

Volumtetthet er betegnet med ρ og karakteriserer ladningen q per volumenhet V. Generelt bestemmes den av formelen

(12.13)

Med en jevn fordeling av ladninger er den lik
.

Siden ladningen q er jevnt fordelt på sfæren, da

σ = konst. La oss bruke Gauss sin teorem. La oss tegne en kule med radius gjennom punkt A. Strømmen av spenningsvektoren i fig. 12.9 gjennom en kuleformet flate med radius er lik cosα = 1, siden α = 0. I følge Gauss' teorem,
.

eller

(12.14)

Av uttrykk (12.14) følger det at feltstyrken utenfor den ladede sfæren er den samme som feltstyrken til en punktladning plassert i midten av sfæren. På overflaten av sfæren, dvs. r 1 = r 0, spenning
.

Inne i kulen r 1< r 0 (рис.12.9) напряжённость Е = 0, так как сфера радиусом r 2 внутри никаких зарядов не содержит и, по теореме Гаусса, поток вектора сквозь такую сферу равен нулю.

En sylinder med radius r 0 er jevnt ladet med overflatetetthet σ (fig. 12.10). La oss bestemme feltstyrken ved et vilkårlig valgt punkt A. La oss tegne en tenkt sylindrisk overflate med radius R og lengde ℓ gjennom punkt A. På grunn av symmetri vil strømmen bare gå ut gjennom sideflatene til sylinderen, siden ladningene på sylinderen med radius r 0 fordeles jevnt over overflaten, dvs. strekklinjene vil være radielle rette linjer, vinkelrett på sideflatene til begge sylindrene. Siden strømmen gjennom bunnen av sylindrene er null (cos α = 0), og sideflaten til sylinderen er vinkelrett på kraftlinjene (cos α = 1), så

eller

(12.15)

La oss uttrykke verdien av E gjennom σ - overflatetetthet. A-priory,

derfor,

La oss erstatte verdien av q i formel (12.15)

(12.16)

Per definisjon av lineær tetthet,
, hvor
; vi erstatter dette uttrykket med formelen (12.16):

(12.17)

de. Feltstyrken skapt av en uendelig lang ladet sylinder er proporsjonal med den lineære ladningstettheten og omvendt proporsjonal med avstanden.

Feltstyrke skapt av et uendelig jevnt ladet plan

La oss bestemme feltstyrken som skapes av et uendelig jevnt ladet plan i punkt A. La overflateladningstettheten til planet være lik σ. Som en lukket overflate er det praktisk å velge en sylinder hvis akse er vinkelrett på planet, og hvis høyre base inneholder punkt A. Planet deler sylinderen i to. Åpenbart er kraftlinjene vinkelrett på planet og parallelle med sideflaten til sylinderen, så hele strømmen passerer bare gjennom bunnen av sylinderen. På begge basene er feltstyrken den samme, fordi punktene A og B er symmetriske i forhold til planet. Da er strømmen gjennom bunnen av sylinderen lik

I følge Gauss sin teorem,

Fordi
, Det
, hvor

(12.18)

Dermed er feltstyrken til et uendelig ladet plan proporsjonal med overflateladningstettheten og avhenger ikke av avstanden til planet. Derfor er feltet til flyet ensartet.

Feltstyrke skapt av to motsatt jevnt ladede parallelle plan

Det resulterende feltet skapt av to plan bestemmes av prinsippet om feltsuperposisjon:
(Fig. 12.12). Feltet skapt av hvert plan er ensartet, styrken til disse feltene er like store, men motsatte i retning:
. I henhold til superposisjonsprinsippet er den totale feltstyrken utenfor planet null:

Mellom planene har feltstyrkene de samme retningene, så den resulterende styrken er lik

Dermed er feltet mellom to forskjellig ladede plan ensartet og intensiteten er dobbelt så sterk som feltintensiteten skapt av ett plan. Det er ikke noe felt til venstre og høyre for flyene. Feltet med begrensede plan har samme form; Ved å bruke den resulterende formelen kan du beregne feltet mellom platene til en flat kondensator.