Popis elementárnych funkcií. Elementárna funkcia

1) Funkčná oblasť a funkčný rozsah.

Doména funkcie je množina všetkých platných hodnôt argumentov X(premenná X), pre ktoré je funkcia y = f(x) určený. Rozsah funkcie je množina všetkých reálnych hodnôt r, ktoré funkcia akceptuje.

V elementárnej matematike sa funkcie študujú iba na množine reálnych čísel.

2) Funkčné nuly.

Funkcia nula je hodnota argumentu, pri ktorej sa hodnota funkcie rovná nule.

3) Intervaly konštantného znamienka funkcie.

Intervaly konštantného znamienka funkcie sú množiny hodnôt argumentov, v ktorých sú hodnoty funkcie iba kladné alebo iba záporné.

4) Monotónnosť funkcie.

Rastúca funkcia (v určitom intervale) je funkcia, v ktorej väčšia hodnota argumentu z tohto intervalu zodpovedá väčšej hodnote funkcie.

Klesajúca funkcia (v určitom intervale) je funkcia, v ktorej väčšej hodnote argumentu z tohto intervalu zodpovedá menšia hodnota funkcie.

5) Párna (nepárna) funkcia.

Párna funkcia je funkcia, ktorej definičný obor je symetrický vzhľadom na pôvod a pre ľubovoľný X z oblasti definície rovnosti f(-x) = f(x). Graf párnej funkcie je symetrický podľa ordináty.

Nepárna funkcia je funkcia, ktorej definičný obor je symetrický vzhľadom na pôvod a pre ľubovoľný X z oblasti definície platí rovnosť f(-x) = - f(x). Graf nepárnej funkcie je symetrický podľa pôvodu.

6) Obmedzené a neobmedzené funkcie.

Funkcia sa nazýva ohraničená, ak existuje kladné číslo M také, že |f(x)| ≤ M pre všetky hodnoty x. Ak takéto číslo neexistuje, funkcia je neobmedzená.

7) Periodicita funkcie.

Funkcia f(x) je periodická, ak existuje nenulové číslo T také, že pre ľubovoľné x z definičného oboru funkcie platí: f(x+T) = f(x). Toto najmenšie číslo sa nazýva perióda funkcie. Všetky goniometrické funkcie sú periodické. (trigonometrické vzorce).

19. Základné elementárne funkcie, ich vlastnosti a grafy. Aplikácia funkcií v ekonomike.

Základné elementárne funkcie. Ich vlastnosti a grafy

1. Lineárna funkcia.

Lineárna funkcia sa nazýva funkcia tvaru , kde x je premenná, a a b sú reálne čísla.

číslo A nazývaná sklon priamky, rovná sa dotyčnici uhla sklonu tejto priamky ku kladnému smeru osi x. Graf lineárnej funkcie je priamka. Je definovaný dvoma bodmi.

Vlastnosti lineárnej funkcie

1. Definičný obor - množina všetkých reálnych čísel: D(y)=R

2. Množina hodnôt je množina všetkých reálnych čísel: E(y)=R

3. Funkcia nadobúda nulovú hodnotu, keď alebo.

4. Funkcia rastie (klesá) v celom definičnom obore.

5. Lineárna funkcia je spojitá v celom definičnom obore, diferencovateľná a .

2. Kvadratická funkcia.

Volá sa funkcia tvaru, kde x je premenná, koeficienty a, b, c sú reálne čísla kvadratický

Pokiaľ ide o funkcie komplexnej premennej, Liouville definoval elementárne funkcie o niečo širšie. Elementárna funkcia r premenlivý X- analytická funkcia, ktorú možno znázorniť ako algebraickú funkciu X a funkcie a je logaritmus alebo exponent nejakej algebraickej funkcie g 1 od X .

Napríklad hriech( X) - algebraická funkcia e iX .

Bez obmedzenia všeobecnosti úvahy môžeme funkcie považovať za algebraicky nezávislé, teda ak je algebraická rovnica splnená pre všetky X, potom všetky koeficienty polynómu sa rovnajú nule.

Diferenciácia elementárnych funkcií

Kde z 1 "(z) sa rovná alebo g 1 " / g 1 alebo z 1 g 1" v závislosti od toho, či ide o logaritmus z 1 alebo exponenciálna atď. V praxi je vhodné použiť derivačnú tabuľku.

Integrácia elementárnych funkcií

Liouvillov teorém je základom pre tvorbu algoritmov pre symbolickú integráciu elementárnych funkcií, implementovaných napr.

Výpočet limitov

Liouvilleova teória neplatí pre výpočet limitov. Nie je známe, či existuje algoritmus, ktorý pri danej postupnosti zadanej elementárnym vzorcom dáva odpoveď, či má limitu alebo nie. Napríklad je otvorená otázka, či postupnosť konverguje.

Literatúra

J. Liouville. Mémoire sur l'integration d'une classe de fonctions transcendantes// J. Reine Angew. Matematika Bd. 13, str. 93-118. (1835)
J.F. Ritt. Integrácia v konečných podmienkach. N.-Y., 1949 // http://lib.homelinux.org
A. G. Chovanskij. Topologická Galoisova teória: riešiteľnosť a neriešiteľnosť rovníc v konečnej forme Ch. 1. M, 2007

Poznámky

Nadácia Wikimedia. 2010.

Elementárna excitácia
Elementárny výsledok

Pozrite si, čo je „Elementárna funkcia“ v iných slovníkoch:

elementárna funkcia- Funkcia, ktorá, ak je rozdelená na menšie funkcie, nemôže byť jednoznačne definovaná v hierarchii digitálneho prenosu. Preto je z pohľadu siete nedeliteľná (ITU T G.806). Témy: telekomunikácie, základné pojmy EN adaptačná funkciaA... Technická príručka prekladateľa

funkcia interakcie medzi sieťovými úrovňami- Elementárna funkcia, ktorá poskytuje interakciu charakteristických informácií medzi dvoma sieťovými vrstvami. (ITU T G.806). Témy: telekomunikácie, základné pojmy EN vrstvy... ... Technická príručka prekladateľa

Vedomosti základné elementárne funkcie, ich vlastnosti a grafy nemenej dôležité ako poznať násobilku. Sú ako základ, všetko je založené na nich, všetko sa z nich stavia a všetko sa od nich odvíja.

V tomto článku uvedieme všetky hlavné základné funkcie, poskytneme ich grafy a uvedieme ich bez záverov alebo dôkazov vlastnosti základných elementárnych funkcií podľa schémy:

správanie funkcie na hraniciach definičného oboru, vertikálne asymptoty (v prípade potreby pozri článok klasifikácia bodov nespojitosti funkcie);
párne a nepárne;
intervaly konvexnosti (konvexnosť smerom nahor) a konkávnosti (konvexnosť smerom nadol), inflexné body (v prípade potreby pozri článok konvexnosť funkcie, smer konvexnosti, inflexné body, podmienky konvexnosti a inflexie);
šikmé a horizontálne asymptoty;
singulárne body funkcií;
špeciálne vlastnosti niektorých funkcií (napríklad najmenšia kladná perióda goniometrických funkcií).

Ak máte záujem alebo, potom môžete prejsť na tieto časti teórie.

Základné elementárne funkcie sú: konštantná funkcia (konštanta), n-tá odmocnina, mocninná funkcia, exponenciálna, logaritmická funkcia, goniometrické a inverzné goniometrické funkcie.

Navigácia na stránke.

Trvalá funkcia.

Konštantná funkcia je definovaná na množine všetkých reálnych čísel vzorcom , kde C je nejaké reálne číslo. Konštantná funkcia spája každú reálnu hodnotu nezávisle premennej x s rovnakou hodnotou závisle premennej y – hodnotou C. Konštantná funkcia sa tiež nazýva konštanta.

Graf konštantnej funkcie je priamka rovnobežná s osou x a prechádzajúca bodom so súradnicami (0,C). Ako príklad si ukážeme grafy konštantných funkcií y=5, y=-2 a, ktoré na obrázku nižšie zodpovedajú čiernej, červenej a modrej čiare.

Vlastnosti konštantnej funkcie.

Doména: celá množina reálnych čísel.
Konštantná funkcia je rovnomerná.
Rozsah hodnôt: množina pozostávajúca z jednotného čísla C.
Konštantná funkcia je nerastúca a neklesajúca (preto je konštantná).
Nemá zmysel hovoriť o konvexnosti a konkávnosti konštanty.
Neexistujú žiadne asymptoty.
Funkcia prechádza bodom (0,C) súradnicovej roviny.

n-tý koreň.

Uvažujme základnú elementárnu funkciu, ktorá je daná vzorcom , kde n je prirodzené číslo väčšie ako jedna.

Odmocnina n-tého stupňa, n je párne číslo.

Začnime s n-tou odmocninou funkciou pre párne hodnoty koreňového exponentu n.

Ako príklad uvádzame obrázok s obrázkami funkčných grafov a , zodpovedajú čiernym, červeným a modrým čiaram.

Grafy odmocninových funkcií párneho stupňa majú podobný vzhľad pre iné hodnoty exponentu.

Vlastnosti funkcie n-tej odmocniny pre párne n.

N-tá odmocnina, n je nepárne číslo.

Funkcia n-tej odmocniny s nepárnym koreňovým exponentom n je definovaná na celej množine reálnych čísel. Tu sú napríklad grafy funkcií a , zodpovedajú čiernym, červeným a modrým krivkám.

Pre ostatné nepárne hodnoty koreňového exponentu budú mať funkčné grafy podobný vzhľad.

Vlastnosti funkcie n-tej odmocniny pre nepárne n.

Funkcia napájania.

Mocninná funkcia je daná vzorcom v tvare .

Uvažujme o forme grafov mocninnej funkcie a vlastnostiach mocninnej funkcie v závislosti od hodnoty exponentu.

Začnime mocninnou funkciou s celočíselným exponentom a. V tomto prípade závisí vzhľad grafov mocninných funkcií a vlastnosti funkcií od párnosti alebo nepárnosti exponentu, ako aj od jeho znamienka. Preto najprv zvážime mocninné funkcie pre nepárne kladné hodnoty exponentu a, potom pre párne kladné exponenty, potom pre nepárne záporné exponenty a nakoniec pre párne záporné a.

Vlastnosti mocninných funkcií so zlomkovými a iracionálnymi exponentmi (ako aj typ grafov takýchto mocninných funkcií) závisia od hodnoty exponentu a. Budeme ich uvažovať po prvé pre a od nuly do jedna, po druhé, pre väčšie ako jedna, po tretie, pre a od mínus jedna po nulu, po štvrté, pre menej ako mínus jedna.

Na konci tejto časti si pre úplnosť popíšeme mocninnú funkciu s nulovým exponentom.

Mocninná funkcia s nepárnym kladným exponentom.

Uvažujme mocninnú funkciu s nepárnym kladným exponentom, teda s a = 1,3,5,....

Na obrázku nižšie sú znázornené grafy mocninových funkcií – čierna čiara, – modrá čiara, – červená čiara, – zelená čiara. Pre a=1 máme lineárna funkcia y=x.

Vlastnosti mocninnej funkcie s nepárnym kladným exponentom.

Mocninná funkcia s párnym kladným exponentom.

Uvažujme mocninnú funkciu s párnym kladným exponentom, teda pre a = 2,4,6,....

Ako príklad uvádzame grafy mocninných funkcií – čierna čiara, – modrá čiara, – červená čiara. Pre a=2 máme kvadratickú funkciu, ktorej graf je kvadratická parabola.

Vlastnosti mocninnej funkcie s párnym kladným exponentom.

Mocninná funkcia s nepárnym záporným exponentom.

Pozrite sa na grafy mocninnej funkcie pre nepárne záporné hodnoty exponentu, to znamená pre a = -1, -3, -5,....

Na obrázku sú znázornené grafy výkonových funkcií ako príklady - čierna čiara, - modrá čiara, - červená čiara, - zelená čiara. Pre a=-1 máme inverzná úmernosť, ktorej graf je hyperbola.

Vlastnosti mocninnej funkcie s nepárnym záporným exponentom.

Mocninná funkcia s párnym záporným exponentom.

Prejdime na mocninovú funkciu pri a=-2,-4,-6,….

Na obrázku sú znázornené grafy mocninných funkcií – čierna čiara, – modrá čiara, – červená čiara.

Vlastnosti mocninnej funkcie s párnym záporným exponentom.

Mocninná funkcia s racionálnym alebo iracionálnym exponentom, ktorej hodnota je väčšia ako nula a menšia ako jedna.

Poznámka! Ak a je kladný zlomok s nepárnym menovateľom, potom niektorí autori považujú doménu definície mocninnej funkcie za interval. Je stanovené, že exponent a je neredukovateľný zlomok. Teraz autori mnohých učebníc o algebre a princípoch analýzy NEDEFINUJÚ mocninné funkcie s exponentom vo forme zlomku s nepárnym menovateľom pre záporné hodnoty argumentu. Budeme sa držať práve tohto názoru, to znamená, že množinu budeme považovať za oblasti definície mocninných funkcií s zlomkovými kladnými exponentmi. Odporúčame študentom, aby si na tento jemný bod zistili názor vášho učiteľa, aby sa predišlo nezhodám.

Uvažujme mocninnú funkciu s racionálnym alebo iracionálnym exponentom a, a .

Uveďme grafy mocninných funkcií pre a=11/12 (čierna čiara), a=5/7 (červená čiara), (modrá čiara), a=2/5 (zelená čiara).

Mocninná funkcia s neceločíselným racionálnym alebo iracionálnym exponentom väčším ako jedna.

Uvažujme mocninnú funkciu s neceločíselným racionálnym alebo iracionálnym exponentom a, a .

Uveďme grafy mocninných funkcií dané vzorcami (čierne, červené, modré a zelené čiary).

Pre ostatné hodnoty exponentu a budú mať grafy funkcie podobný vzhľad.

Vlastnosti mocninovej funkcie pri .

Mocninná funkcia so skutočným exponentom väčším ako mínus jedna a menším ako nula.

Poznámka! Ak a je záporný zlomok s nepárnym menovateľom, potom niektorí autori považujú doménu definície mocninovej funkcie za interval . Je stanovené, že exponent a je neredukovateľný zlomok. Teraz autori mnohých učebníc o algebre a princípoch analýzy NEDEFINUJÚ mocninné funkcie s exponentom vo forme zlomku s nepárnym menovateľom pre záporné hodnoty argumentu. Budeme sa držať práve tohto názoru, to znamená, že budeme považovať domény definície mocninných funkcií so zlomkovými zlomkovými zápornými exponentmi za množinu, resp. Odporúčame študentom, aby si na tento jemný bod zistili názor vášho učiteľa, aby sa predišlo nezhodám.

Prejdime k funkcii napájania, kgod.

Aby ste mali dobrú predstavu o forme grafov mocninových funkcií pre , uvádzame príklady grafov funkcií (čierne, červené, modré a zelené krivky).

Vlastnosti mocninnej funkcie s exponentom a, .

Mocninná funkcia s neceločíselným reálnym exponentom, ktorý je menší ako mínus jedna.

Uveďme príklady grafov mocninových funkcií pre , sú znázornené čiernou, červenou, modrou a zelenou čiarou.

Vlastnosti mocninnej funkcie s neceločíselným záporným exponentom menším ako mínus jedna.

Keď a = 0, máme funkciu - je to priamka, z ktorej je vylúčený bod (0;1) (bolo dohodnuté, že výrazu 0 0 sa nepripisuje žiadny význam).

Exponenciálna funkcia.

Jednou z hlavných elementárnych funkcií je exponenciálna funkcia.

Graf exponenciálnej funkcie, kde a nadobúda rôzne podoby v závislosti od hodnoty bázy a. Poďme na to.

Najprv zvážte prípad, keď základ exponenciálnej funkcie nadobudne hodnotu od nuly do jednej, teda .

Ako príklad uvádzame grafy exponenciálnej funkcie pre a = 1/2 – modrá čiara, a = 5/6 – červená čiara. Grafy exponenciálnej funkcie majú podobný vzhľad pre ostatné hodnoty základne z intervalu.

Vlastnosti exponenciálnej funkcie so základom menším ako jedna.

Prejdime k prípadu, keď je základ exponenciálnej funkcie väčší ako jedna, teda .

Pre ilustráciu uvádzame grafy exponenciálnych funkcií - modrá čiara a - červená čiara. Pre ostatné hodnoty základne väčšie ako jedna budú mať grafy exponenciálnej funkcie podobný vzhľad.

Vlastnosti exponenciálnej funkcie so základom väčším ako jedna.

Logaritmická funkcia.

Ďalšou základnou elementárnou funkciou je logaritmická funkcia, kde , . Logaritmická funkcia je definovaná iba pre kladné hodnoty argumentu, teda pre .

Graf logaritmickej funkcie má rôzne podoby v závislosti od hodnoty bázy a.

Základné elementárne funkcie, ich inherentné vlastnosti a zodpovedajúce grafy sú jedným zo základov matematických vedomostí, podobne ako násobilka. Elementárne funkcie sú základom, oporou pre štúdium všetkých teoretických otázok.

Yandex.RTB R-A-339285-1

Nasledujúci článok poskytuje kľúčový materiál na tému základných elementárnych funkcií. Zavedieme pojmy, dáme im definície; Pozrime sa podrobne na každý typ elementárnych funkcií a analyzujme ich vlastnosti.

Rozlišujú sa tieto typy základných elementárnych funkcií:

Definícia 1

konštantná funkcia (konštantná);
n-tý koreň;
výkonová funkcia;
exponenciálna funkcia;
logaritmická funkcia;
goniometrické funkcie;
bratské goniometrické funkcie.

Konštantná funkcia je definovaná vzorcom: y = C (C je určité reálne číslo) a má aj názov: konštanta. Táto funkcia určuje zhodu akejkoľvek reálnej hodnoty nezávislej premennej x s rovnakou hodnotou premennej y - hodnotou C.

Graf konštanty je priamka, ktorá je rovnobežná s osou x a prechádza bodom so súradnicami (0, C). Pre prehľadnosť uvádzame grafy konštantných funkcií y = 5, y = - 2, y = 3, y = 3 (na výkrese vyznačené čiernou, červenou a modrou farbou).

Definícia 2

Táto elementárna funkcia je definovaná vzorcom y = x n (n je prirodzené číslo väčšie ako jedna).

Uvažujme o dvoch variantoch funkcie.

n-tá odmocnina, n – párne číslo

Pre prehľadnosť uvádzame nákres, ktorý zobrazuje grafy takýchto funkcií: y = x, y = x 4 a y = x8. Tieto prvky sú farebne odlíšené: čierna, červená a modrá.

Grafy funkcie párneho stupňa majú podobný vzhľad pre iné hodnoty exponentu.

Definícia 3

Vlastnosti funkcie n-tej odmocniny, n je párne číslo

definičný obor – množina všetkých nezáporných reálnych čísel [ 0 , + ∞) ;
keď x = 0, funkcia y = x n má hodnotu rovnú nule;
táto funkcia je funkciou všeobecného tvaru (nie je ani párna, ani nepárna);
rozsah: [ 0 , + ∞) ;
táto funkcia y = x n pre párne koreňové exponenty sa zvyšuje v celej oblasti definície;
funkcia má konvexnosť so smerom nahor v celej oblasti definície;
neexistujú žiadne inflexné body;
nie sú žiadne asymptoty;
graf funkcie pre párne n prechádza bodmi (0; 0) a (1; 1).

n-tá odmocnina, n – nepárne číslo

Takáto funkcia je definovaná na celej množine reálnych čísel. Pre prehľadnosť zvážte grafy funkcií y = x3, y = x5 a x 9. Na výkrese sú označené farbami: čierna, červená a modrá sú farby kriviek, resp.

Ostatné nepárne hodnoty koreňového exponentu funkcie y = x n poskytnú graf podobného typu.

Definícia 4

Vlastnosti funkcie n-tej odmocniny, n je nepárne číslo

doména definície – množina všetkých reálnych čísel;
táto funkcia je nepárna;
rozsah hodnôt - množina všetkých reálnych čísel;
funkcia y = x n pre nepárne koreňové exponenty narastá v celom definičnom obore;
funkcia má konkávnosť na intervale (- ∞ ; 0 ] a konvexnosť na intervale [ 0 , + ∞);
inflexný bod má súradnice (0; 0);
nie sú žiadne asymptoty;
Graf funkcie pre nepárne n prechádza bodmi (- 1 ; - 1), (0 ; 0) a (1 ; 1).

Funkcia napájania

Definícia 5

Mocninná funkcia je definovaná vzorcom y = x a.

Vzhľad grafov a vlastnosti funkcie závisia od hodnoty exponentu.

keď má mocninová funkcia celočíselný exponent a, potom typ grafu mocninnej funkcie a jej vlastnosti závisia od toho, či je exponent párny alebo nepárny, ako aj od toho, aké znamienko má exponent. Pozrime sa na všetky tieto špeciálne prípady podrobnejšie nižšie;
exponent môže byť zlomkový alebo iracionálny - v závislosti od toho sa líši aj typ grafov a vlastnosti funkcie. Budeme analyzovať špeciálne prípady nastavením niekoľkých podmienok: 0< a < 1 ; a > 1 ; - 1 < a < 0 и a < - 1 ;
mocninná funkcia môže mať nulový exponent; tento prípad tiež podrobnejšie rozoberieme nižšie.

Poďme analyzovať výkonovú funkciu y = x a, keď a je nepárne kladné číslo, napríklad a = 1, 3, 5...

Pre názornosť uvádzame grafy takýchto mocninových funkcií: y = x (grafická farba čierna), y = x 3 (modrá farba grafu), y = x 5 (červená farba grafu), y = x 7 (grafická farba zelená). Keď a = 1, dostaneme lineárnu funkciu y = x.

Definícia 6

Vlastnosti mocninnej funkcie, keď je exponent nepárny kladný

funkcia je rastúca pre x ∈ (- ∞ ; + ∞) ;
funkcia má konvexnosť pre x ∈ (- ∞ ; 0 ] a konkávnosť pre x ∈ [ 0 ; + ∞) (okrem lineárnej funkcie);
inflexný bod má súradnice (0 ; 0) (okrem lineárnej funkcie);
nie sú žiadne asymptoty;
body prechodu funkcie: (- 1 ; - 1) , (0 ; 0) , (1 ; 1) .

Poďme analyzovať výkonovú funkciu y = x a, keď a je párne kladné číslo, napríklad a = 2, 4, 6...

Pre prehľadnosť uvádzame grafy takýchto výkonových funkcií: y = x 2 (grafická farba čierna), y = x 4 (modrá farba grafu), y = x 8 (červená farba grafu). Keď a = 2, dostaneme kvadratickú funkciu, ktorej grafom je kvadratická parabola.

Definícia 7

Vlastnosti mocninovej funkcie, keď je exponent dokonca kladný:

doména definície: x ∈ (- ∞ ; + ∞) ;
klesajúce pre x ∈ (- ∞ ; 0 ] ;
funkcia má konkávnosť pre x ∈ (- ∞ ; + ∞) ;
neexistujú žiadne inflexné body;
nie sú žiadne asymptoty;
body prechodu funkcie: (- 1 ; 1) , (0 ; 0) , (1 ; 1) .

Na obrázku nižšie sú príklady grafov výkonových funkcií y = x a, keď a je nepárne záporné číslo: y = x - 9 (grafická farba čierna); y = x - 5 (modrá farba grafu); y = x - 3 (červená farba grafu); y = x - 1 (grafická farba zelená). Keď a = - 1, dostaneme inverznú úmernosť, ktorej grafom je hyperbola.

Definícia 8

Vlastnosti mocninovej funkcie, keď je exponent nepárny záporný:

Keď x = 0, dostaneme diskontinuitu druhého druhu, pretože lim x → 0 - 0 x a = - ∞, lim x → 0 + 0 x a = + ∞ pre a = - 1, - 3, - 5, …. Teda priamka x = 0 je vertikálna asymptota;

rozsah: y ∈ (- ∞ ; 0) ∪ (0 ; + ∞) ;
funkcia je nepárna, pretože y (- x) = - y (x);
funkcia je klesajúca pre x ∈ - ∞ ; 0 ∪ (0 ; + ∞);
funkcia má konvexnosť pre x ∈ (- ∞ ; 0) a konkávnosť pre x ∈ (0 ; + ∞) ;
neexistujú žiadne inflexné body;

k = lim x → ∞ x a x = 0, b = lim x → ∞ (x a - k x) = 0 ⇒ y = k x + b = 0, keď a = - 1, - 3, - 5, . . . .

body prechodu funkcie: (- 1 ; - 1) , (1 ; 1) .

Obrázok nižšie ukazuje príklady grafov mocninnej funkcie y = x a, keď a je párne záporné číslo: y = x - 8 (grafická farba čierna); y = x - 4 (modrá farba grafu); y = x - 2 (červená farba grafu).

Definícia 9

Vlastnosti mocninnej funkcie, keď je exponent dokonca záporný:

doména definície: x ∈ (- ∞ ; 0) ∪ (0 ; + ∞) ;

Keď x = 0, dostaneme diskontinuitu druhého druhu, pretože lim x → 0 - 0 x a = + ∞, lim x → 0 + 0 x a = + ∞ pre a = - 2, - 4, - 6, …. Teda priamka x = 0 je vertikálna asymptota;

funkcia je párna, pretože y(-x) = y(x);
funkcia je rastúca pre x ∈ (- ∞ ; 0) a klesajúca pre x ∈ 0; + ∞;
funkcia má konkávnosť v x ∈ (- ∞ ; 0) ∪ (0 ; + ∞) ;
neexistujú žiadne inflexné body;
horizontálna asymptota – priamka y = 0, pretože:

k = lim x → ∞ x a x = 0, b = lim x → ∞ (x a - k x) = 0 ⇒ y = k x + b = 0, keď a = - 2 , - 4 , - 6 , . . . .

body prechodu funkcie: (- 1 ; 1) , (1 ; 1) .

Hneď na začiatku si všímajte nasledovné hľadisko: v prípade, že a je kladný zlomok s nepárnym menovateľom, niektorí autori berú ako definičný obor tejto mocninnej funkcie interval - ∞; + ∞ , pričom exponent a je neredukovateľný zlomok. V súčasnosti autori mnohých vzdelávacích publikácií o algebre a princípoch analýzy NEDEFINUJÚ mocninné funkcie, kde exponent je zlomok s nepárnym menovateľom pre záporné hodnoty argumentu. Ďalej sa budeme držať presne tejto polohy: vezmeme množinu [ 0 ; + ∞). Odporúčanie pre študentov: zistite si názor učiteľa na tento bod, aby ste sa vyhli nezhodám.

Pozrime sa teda na funkciu napájania y = x a , keď exponent je racionálne alebo iracionálne číslo, za predpokladu, že 0< a < 1 .

Znázornime mocninné funkcie pomocou grafov y = x a, keď a = 11 12 (grafická farba čierna); a = 5 7 (červená farba grafu); a = 1 3 (modrá farba grafu); a = 2 5 (zelená farba grafu).

Ostatné hodnoty exponentu a (za predpokladu, že 0< a < 1) дадут аналогичный вид графика.

Definícia 10

Vlastnosti mocninovej funkcie pri 0< a < 1:

rozsah: y ∈ [ 0 ; + ∞);
funkcia je rastúca pre x ∈ [ 0 ; + ∞);
funkcia je konvexná pre x ∈ (0 ; + ∞);
neexistujú žiadne inflexné body;
nie sú žiadne asymptoty;

Poďme analyzovať výkonovú funkciu y = x a, keď exponent je necelé racionálne alebo iracionálne číslo, za predpokladu, že a > 1.

Znázornime pomocou grafov mocninovú funkciu y = x a za daných podmienok s použitím nasledujúcich funkcií ako príkladu: y = x 5 4 , y = x 4 3, y = x 7 3, y = x 3 π (čierne, červené, modré, zelené grafy).

Ostatné hodnoty exponentu a, ak a > 1, poskytnú podobný graf.

Definícia 11

Vlastnosti mocninovej funkcie pre a > 1:

doména definície: x ∈ [ 0 ; + ∞);
rozsah: y ∈ [ 0 ; + ∞);
táto funkcia je funkciou všeobecného tvaru (nie je ani nepárna, ani párna);
funkcia je rastúca pre x ∈ [ 0 ; + ∞);
funkcia má konkávnosť pre x ∈ (0 ; + ∞) (keď 1< a < 2) и выпуклость при x ∈ [ 0 ; + ∞) (когда a > 2);
neexistujú žiadne inflexné body;
nie sú žiadne asymptoty;
prechádzajúce body funkcie: (0 ; 0) , (1 ; 1) .

Upozorňujeme, že keď a je záporný zlomok s nepárnym menovateľom, v prácach niektorých autorov existuje názor, že doménou definície je v tomto prípade interval - ∞; 0 ∪ (0 ; + ∞) s výhradou, že exponent a je neredukovateľný zlomok. V súčasnosti autori vzdelávacích materiálov o algebre a princípoch analýzy NEDEFINUJÚ mocninné funkcie s exponentom vo forme zlomku s nepárnym menovateľom pre záporné hodnoty argumentu. Ďalej sa držíme presne tohto názoru: množinu (0 ; + ∞) berieme ako doménu definície mocninných funkcií s zlomkovými zápornými exponentmi. Odporúčanie pre študentov: Ujasnite si v tomto bode víziu svojho učiteľa, aby ste sa vyhli nezhodám.

Pokračujme v téme a rozoberme si mocenskú funkciu y = x a za predpokladu: - 1< a < 0 .

Uveďme nákres grafov nasledujúcich funkcií: y = x - 5 6, y = x - 2 3, y = x - 1 2 2, y = x - 1 7 (čierna, červená, modrá, zelená farba linky).

Definícia 12

Vlastnosti mocninovej funkcie pri - 1< a < 0:

lim x → 0 + 0 x a = + ∞ keď - 1< a < 0 , т.е. х = 0 – вертикальная асимптота;

rozsah: y ∈ 0 ; + ∞;
táto funkcia je funkciou všeobecného tvaru (nie je ani nepárna, ani párna);
neexistujú žiadne inflexné body;

Na obrázku nižšie sú znázornené grafy mocninných funkcií y = x - 5 4, y = x - 5 3, y = x - 6, y = x - 24 7 (čierne, červené, modré, zelené farby kriviek).

Definícia 13

Vlastnosti mocninovej funkcie pre a< - 1:

doména definície: x ∈ 0 ; + ∞;

lim x → 0 + 0 x a = + ∞ keď a< - 1 , т.е. х = 0 – вертикальная асимптота;

rozsah: y ∈ (0 ; + ∞) ;
táto funkcia je funkciou všeobecného tvaru (nie je ani nepárna, ani párna);
funkcia je klesajúca pre x ∈ 0; + ∞;
funkcia má konkávnosť pre x ∈ 0; + ∞;
neexistujú žiadne inflexné body;
horizontálna asymptota – priamka y = 0;
bod prechodu funkcie: (1; 1) .

Keď a = 0 a x ≠ 0, dostaneme funkciu y = x 0 = 1, ktorá definuje priamku, z ktorej je bod (0; 1) vylúčený (bolo dohodnuté, že výraz 0 0 nebude mať žiadny význam ).

Exponenciálna funkcia má tvar y = a x, kde a > 0 a a ≠ 1 a graf tejto funkcie vyzerá odlišne na základe hodnoty bázy a. Uvažujme o špeciálnych prípadoch.

Najprv sa pozrime na situáciu, keď má základ exponenciálnej funkcie hodnotu od nuly do jednej (0< a < 1) . Dobrým príkladom sú grafy funkcií pre a = 1 2 (modrá farba krivky) a a = 5 6 (červená farba krivky).

Grafy exponenciálnej funkcie budú mať podobný vzhľad pre ostatné hodnoty základne pod podmienkou 0< a < 1 .

Definícia 14

Vlastnosti exponenciálnej funkcie, keď je základňa menšia ako jedna:

rozsah: y ∈ (0 ; + ∞) ;
táto funkcia je funkciou všeobecného tvaru (nie je ani nepárna, ani párna);
exponenciálna funkcia, ktorej základ je menší ako jedna, klesá v celom definičnom obore;
neexistujú žiadne inflexné body;
horizontálna asymptota – priamka y = 0 s premennou x smerujúcou k + ∞;

Teraz zvážte prípad, keď je základ exponenciálnej funkcie väčší ako jedna (a > 1).

Ilustrujme tento špeciálny prípad grafom exponenciálnych funkcií y = 3 2 x (modrá farba krivky) a y = e x (červená farba grafu).

Ostatné hodnoty základne, väčšie jednotky, budú mať podobný vzhľad ako graf exponenciálnej funkcie.

Definícia 15

Vlastnosti exponenciálnej funkcie, keď je základ väčší ako jedna:

doména definície – celá množina reálnych čísel;
rozsah: y ∈ (0 ; + ∞) ;
táto funkcia je funkciou všeobecného tvaru (nie je ani nepárna, ani párna);
exponenciálna funkcia, ktorej základ je väčší ako jedna, rastie ako x ∈ - ∞; + ∞;
funkcia má konkávnosť v x ∈ - ∞; + ∞;
neexistujú žiadne inflexné body;
horizontálna asymptota – priamka y = 0 s premennou x smerujúcou k - ∞;
bod prechodu funkcie: (0; 1) .

Logaritmická funkcia má tvar y = log a (x), kde a > 0, a ≠ 1.

Takáto funkcia je definovaná iba pre kladné hodnoty argumentu: pre x ∈ 0; + ∞ .

Graf logaritmickej funkcie má rôzny vzhľad na základe hodnoty základu a.

Uvažujme najskôr o situácii, keď 0< a < 1 . Продемонстрируем этот частный случай графиком логарифмической функции при a = 1 2 (синий цвет кривой) и а = 5 6 (красный цвет кривой).

Iné hodnoty základne, nie väčšie jednotky, poskytnú podobný typ grafu.

Definícia 16

Vlastnosti logaritmickej funkcie, keď je základ menší ako jedna:

doména definície: x ∈ 0 ; + ∞ . Keďže x smeruje sprava k nule, funkčné hodnoty majú sklon k +∞;
rozsah: y ∈ - ∞ ; + ∞;
táto funkcia je funkciou všeobecného tvaru (nie je ani nepárna, ani párna);
logaritmický
funkcia má konkávnosť pre x ∈ 0; + ∞;
neexistujú žiadne inflexné body;
nie sú žiadne asymptoty;

Teraz sa pozrime na špeciálny prípad, keď je základ logaritmickej funkcie väčší ako jedna: a > 1 . Na obrázku nižšie sú znázornené grafy logaritmických funkcií y = log 3 2 x a y = ln x (modrá a červená farba grafov).

Ostatné hodnoty základne väčšie ako jedna poskytnú podobný typ grafu.

Definícia 17

Vlastnosti logaritmickej funkcie, keď je základ väčší ako jedna:

doména definície: x ∈ 0 ; + ∞ . Keďže x smeruje sprava k nule, funkčné hodnoty majú sklon k - ∞ ;
rozsah: y ∈ - ∞ ; + ∞ (celá množina reálnych čísel);
táto funkcia je funkciou všeobecného tvaru (nie je ani nepárna, ani párna);
logaritmická funkcia je rastúca pre x ∈ 0; + ∞;
funkcia je konvexná pre x ∈ 0; + ∞;
neexistujú žiadne inflexné body;
nie sú žiadne asymptoty;
bod prechodu funkcie: (1; 0) .

Goniometrické funkcie sú sínus, kosínus, tangens a kotangens. Pozrime sa na vlastnosti každého z nich a zodpovedajúcu grafiku.

Vo všeobecnosti sa všetky goniometrické funkcie vyznačujú vlastnosťou periodicity, t.j. keď sa hodnoty funkcií opakujú pre rôzne hodnoty argumentu, ktoré sa navzájom líšia periódou f (x + T) = f (x) (T je perióda). Do zoznamu vlastností goniometrických funkcií sa tak pridáva položka „najmenšia kladná perióda“. Okrem toho uvedieme hodnoty argumentu, pri ktorých sa zodpovedajúca funkcia stane nulou.

Funkcia sínus: y = sin(x)

Graf tejto funkcie sa nazýva sínusová vlna.

Definícia 18

Vlastnosti funkcie sínus:

doména definície: celá množina reálnych čísel x ∈ - ∞ ; + ∞;
funkcia zaniká, keď x = π · k, kde k ∈ Z (Z je množina celých čísel);
funkcia je rastúca pre x ∈ - π 2 + 2 π · k ; π 2 + 2 π · k, k ∈ Z a klesajúce pre x ∈ π 2 + 2 π · k; 3 π 2 + 2 π · k, k ∈ Z;
sínusová funkcia má lokálne maximá v bodoch π 2 + 2 π · k; 1 a lokálne minimá v bodoch - π 2 + 2 π · k; - 1, k∈ Z;
funkcia sínus je konkávna, keď x ∈ - π + 2 π · k ; 2 π · k, k ∈ Z a konvexné, keď x ∈ 2 π · k; π + 2 π k, k ∈ Z;
nie sú žiadne asymptoty.

Funkcia kosínus: y = cos (x)

Graf tejto funkcie sa nazýva kosínusová vlna.

Definícia 19

Vlastnosti kosínusovej funkcie:

doména definície: x ∈ - ∞ ; + ∞;
najmenšia kladná perióda: T = 2 π;
rozsah: y ∈ - 1; 1;
táto funkcia je párna, pretože y (- x) = y (x);
funkcia je rastúca pre x ∈ - π + 2 π · k ; 2 π · k, k ∈ Z a klesajúce pre x ∈ 2 π · k; π + 2 π k, k ∈ Z;
kosínusová funkcia má lokálne maximá v bodoch 2 π · k ; 1, k ∈ Z a lokálne minimá v bodoch π + 2 π · k; - 1, k∈z;
funkcia kosínus je konkávna, keď x ∈ π 2 + 2 π · k ; 3 π 2 + 2 π · k, k ∈ Z a konvexné, keď x ∈ - π 2 + 2 π · k ; π 2 + 2 π · k, k ∈ Z;
inflexné body majú súradnice π 2 + π · k; 0, k∈ Z
nie sú žiadne asymptoty.

Funkcia dotyčnice: y = t g (x)

Graf tejto funkcie sa nazýva dotyčnica.

Definícia 20

Vlastnosti funkcie dotyčnice:

doména definície: x ∈ - π 2 + π · k ; π 2 + π · k, kde k ∈ Z (Z je množina celých čísel);
Správanie funkcie dotyčnice na hranici definičného oboru lim x → π 2 + π · k + 0 t g (x) = - ∞ , lim x → π 2 + π · k - 0 t g (x) = + ∞ . Priame čiary x = π 2 + π · k k ∈ Z sú teda vertikálne asymptoty;
funkcia zmizne, keď x = π · k pre k ∈ Z (Z je množina celých čísel);
rozsah: y ∈ - ∞ ; + ∞;
táto funkcia je nepárna, keďže y (- x) = - y (x) ;
funkcia rastie ako - π 2 + π · k ; π 2 + π · k, k ∈ Z;
funkcia dotyčnice je pre x ∈ [π · k konkávna; π 2 + π · k), k ∈ Z a konvexné pre x ∈ (- π 2 + π · k ; π · k ], k ∈ Z ;
inflexné body majú súradnice π · k ; 0, k∈Z;

Funkcia kotangens: y = c t g (x)

Graf tejto funkcie sa nazýva kotangentoid. .

Definícia 21

Vlastnosti kotangens funkcie:

doména definície: x ∈ (π · k ; π + π · k), kde k ∈ Z (Z je množina celých čísel);

Správanie kotangensovej funkcie na hranici definičného oboru lim x → π · k + 0 t g (x) = + ∞ , lim x → π · k - 0 t g (x) = - ∞ . Priamky x = π · k k ∈ Z sú teda vertikálne asymptoty;

najmenšia kladná perióda: T = π;
funkcia zmizne, keď x = π 2 + π · k pre k ∈ Z (Z je množina celých čísel);
rozsah: y ∈ - ∞ ; + ∞;
táto funkcia je nepárna, keďže y (- x) = - y (x) ;
funkcia je klesajúca pre x ∈ π · k ; π + π k, k ∈ Z;
funkcia kotangens je pre x ∈ konkávna (π · k; π 2 + π · k ], k ∈ Z a konvexná pre x ∈ [ - π 2 + π · k ; π · k), k ∈ Z ;
inflexné body majú súradnice π 2 + π · k; 0, k∈Z;
Neexistujú žiadne šikmé alebo horizontálne asymptoty.

Inverzné goniometrické funkcie sú arksínus, arkkozín, arktangens a arkkotangens. V dôsledku prítomnosti predpony „oblúk“ v názve sa inverzné goniometrické funkcie často nazývajú oblúkové funkcie .

Funkcia oblúkového sínusu: y = a rc sin (x)

Definícia 22

Vlastnosti funkcie arcsínus:

táto funkcia je nepárna, keďže y (- x) = - y (x) ;
funkcia arcsínus má konkávnosť pre x ∈ 0; 1 a konvexnosť pre x ∈ - 1; 0;
inflexné body majú súradnice (0; 0), ktoré sú zároveň nulou funkcie;
nie sú žiadne asymptoty.

Arc cosine funkcia: y = a rc cos (x)

Definícia 23

Vlastnosti arc cosínusovej funkcie:

doména definície: x ∈ - 1 ; 1;
rozsah: y ∈ 0 ; π;
táto funkcia má všeobecnú formu (ani párna, ani nepárna);
funkcia klesá v celej oblasti definície;
funkcia kosínus oblúka má konkávnosť pri x ∈ - 1; 0 a konvexnosť pre x ∈ 0; 1;
inflexné body majú súradnice 0; π 2;
nie sú žiadne asymptoty.

Arktangens funkcia: y = a r c t g (x)

Definícia 24

Vlastnosti funkcie arkustangens:

doména definície: x ∈ - ∞ ; + ∞;
rozsah hodnôt: y ∈ - π 2 ; π 2;
táto funkcia je nepárna, keďže y (- x) = - y (x) ;
funkcia sa zvyšuje v celej oblasti definície;
funkcia arkustangens má konkávnosť pre x ∈ (- ∞ ; 0 ] a konvexnosť pre x ∈ [ 0 ; + ∞);
inflexný bod má súradnice (0; 0), ktoré sú zároveň nulou funkcie;
vodorovné asymptoty sú priame čiary y = - π 2 ako x → - ∞ a y = π 2 ako x → + ∞ (na obrázku sú asymptoty zelené čiary).

Funkcia oblúkovej tangenty: y = a r c c t g (x)

Definícia 25

Vlastnosti funkcie arkotangens:

doména definície: x ∈ - ∞ ; + ∞;
rozsah: y ∈ (0; π) ;
táto funkcia má všeobecnú formu;
funkcia klesá v celej oblasti definície;
funkcia kotangens oblúka má konkávnosť pre x ∈ [ 0 ; + ∞) a konvexnosť pre x ∈ (- ∞ ; 0 ] ;
inflexný bod má súradnice 0; π 2;
vodorovné asymptoty sú priame čiary y = π v bode x → - ∞ (zelená čiara na výkrese) a y = 0 v bode x → + ∞.

Ak si všimnete chybu v texte, zvýraznite ju a stlačte Ctrl+Enter