Uvažujme viackanálový systém radenia (celkom n kanálov), ktorý prijíma požiadavky s intenzitou λ a je obsluhovaný s intenzitou μ. Požiadavka prichádzajúca do systému je obsluhovaná, ak je voľný aspoň jeden kanál. Ak sú všetky kanály obsadené, ďalšia požiadavka prijatá do systému je odmietnutá a opustí QS. Očíslujme stavy systému počtom obsadených kanálov:
Ryža. 7.24
Obrázok 6.24 ukazuje stavový graf, v ktorom Si– číslo kanála; λ – intenzita prijatých požiadaviek; μ
– podľa toho intenzita servisných požiadaviek. Požiadavky vstupujú do systému radenia s konštantnou intenzitou a postupne obsadzujú kanály jeden po druhom; keď sú všetky kanály obsadené, ďalšia požiadavka prichádzajúca do QS bude odmietnutá a opustí systém.
Určme intenzity tokov udalostí, ktoré prenášajú systém zo stavu do stavu pri pohybe zľava doprava a sprava doľava pozdĺž stavového grafu.
Napríklad nech je systém v stave S 1, t.j. jeden kanál je obsadený, pretože na jeho vstupe je požiadavka. Po dokončení obsluhy požiadavky systém prejde do stavu S 0 .
Napríklad, ak sú obsadené dva kanály, potom tok služieb, ktorý prenáša systém zo stavu S 2 v stave S 1 bude dvakrát intenzívnejší: 2-μ; podľa toho, ak je zaneprázdnený k kanálov, intenzita je k-μ.
Proces udržiavania je procesom smrti a reprodukcie. Kolmogorovove rovnice pre tento konkrétny prípad budú mať nasledujúci tvar:
(7.25)
Rovnice (7.25) sa volajú Erlangove rovnice
.
S cieľom nájsť hodnoty pravdepodobnosti stavov R 0 , R 1 , …, Rn, je potrebné určiť počiatočné podmienky:
– R 0 (0) = 1, t.j. na vstupe systému je požiadavka;
– R 1 (0) = R 2 (0) = … = Rn(0) = 0, t.j. v počiatočnom okamihu je systém voľný.
Integráciou systému diferenciálnych rovníc (7.25) získame hodnoty pravdepodobnosti stavu R 0 (t), R 1 (t), … Rn(t).
Oveľa viac nás ale zaujímajú obmedzujúce pravdepodobnosti stavov. Ako t → ∞ a pomocou vzorca získaného pri uvažovaní o procese smrti a reprodukcie dostaneme riešenie systému rovníc (7.25):
(7.26)
V týchto vzorcoch pomer intenzity λ / μ
do toku aplikácií je vhodné určiť ρ
.Táto veličina sa nazýva vzhľadom na intenzitu toku aplikácií, tj priemerný počet aplikácií prichádzajúcich na QS počas priemerného času obsluhy jednej aplikácie.
Ak vezmeme do úvahy urobený zápis, systém rovníc (7.26) bude mať nasledujúci tvar:
(7.27)
Tieto vzorce na výpočet hraničných pravdepodobností sú tzv Erlangove vzorce
.
Keď poznáme všetky pravdepodobnosti stavov QS, nájdeme charakteristiky účinnosti QS, t.j. absolútnu priepustnosť A, relatívna priepustnosť Q a pravdepodobnosť zlyhania R OTVORENÉ
Aplikácia prijatá systémom bude odmietnutá, ak zistí, že všetky kanály sú obsadené:
.
Pravdepodobnosť, že žiadosť bude prijatá do služby:
Q = 1 – R OTVORENÉ,
Kde Q– priemerný podiel prijatých žiadostí obsluhovaných systémom alebo priemerný počet žiadostí obsluhovaných QS za jednotku času vydelený priemerným počtom žiadostí prijatých počas tohto času:
A=λ·Q=λ·(1-P otvorené)
Okrem toho je jednou z najdôležitejších charakteristík QS s poruchami priemerný počet obsadených kanálov. IN n-kanál QS s poruchami, toto číslo sa zhoduje s priemerným počtom aplikácií v QS.
Priemerný počet žiadostí k možno vypočítať priamo prostredníctvom pravdepodobností stavov P 0, P 1, ..., P n:
,
t.j. nájdeme matematické očakávanie diskrétnej náhodnej premennej, ktorá nadobúda hodnotu od 0 do n s pravdepodobnosťami R 0 , R 1 , …, Rn.
Ešte jednoduchšie je vyjadriť hodnotu k prostredníctvom absolútnej kapacity QS, t.j. A. Hodnota A je priemerný počet aplikácií, ktoré systém obsluhuje za jednotku času. Jeden obsadený kanál obsluhuje μ požiadaviek za jednotku času, potom priemerný počet obsadených kanálov
Systém rovníc
QS s poruchami pre náhodný počet servisných tokov; vektorový model pre Poissonove toky; Graf, sústava rovníc.
Predstavme si QS ako vektor, kde k m– počet aplikácií v systéme, z ktorých každá je obsluhovaná m zariadenia; L= q max – q min +1 – počet vstupných tokov.
Ak je prijatá požiadavka na službu a systém sa dostane do stavu s intenzitou λ m.
Po dokončení obsluhy jednej z požiadaviek systém prejde do stavu, v ktorom má zodpovedajúca súradnica hodnotu o jednu menšiu ako v stave , = , t.j. dôjde k spätnému prechodu.
Príklad vektorového QS modelu pre n = 3, L = 3, q min = 1, q max = 3, P(m) = 1/3, λ Σ = λ, intenzita údržby zariadenia – μ.
Pomocou stavového grafu s vykreslenými intenzitami prechodu sa zostaví systém lineárnych algebraických rovníc. Z riešenia týchto rovníc sa zistia pravdepodobnosti R(), ktorým sa určujú charakteristiky QS.
QS s nekonečným frontom pre Poissonove toky. Graf, sústava rovníc, vypočítané vzťahy.
Systémový graf
Systém rovníc
Kde n- počet servisných kanálov, l– počet vzájomne si pomáhajúcich kanálov
QS s nekonečným radom a čiastočnou vzájomnou pomocou pre ľubovoľné toky. Graf, sústava rovníc, vypočítané vzťahy.
Systémový graf
Systém rovníc
–λ R 0 + nμ R 1 =0,
.………………
–(λ + nμ) P k+ λ P k –1 + nμ P k +1 =0 (k = 1,2, ... , n–1),
……………....
-(λ+ nμ) Pn+ λ P n –1 + nμ Р n+1=0,
……………….
-(λ+ nμ) Pn+j+ λ Р n+j –1 + nμ Р n+j+1=0, j=(1,2,….,∞)
Fronta s nekonečným frontom a úplná vzájomná pomoc pre ľubovoľné vlákna. Graf, sústava rovníc, vypočítané vzťahy.
Systémový graf
|
Systém rovníc
QS s konečným frontom pre Poisson toky. Graf, sústava rovníc, vypočítané vzťahy.
Systémový graf
Systém rovníc
Výpočtové pomery:
,
UDC 519.248:656.71
MODEL SYSTÉMU RADY S NESTACIONÁLNYMI TOKMI A ČIASTOČNOU VZÁJOMNOU POMOCOU MEDZI KANÁLMI
© 2011 V. A. Romanenko
Štátna letecká univerzita v Samare pomenovaná po akademikovi S. P. Korolevovi (národná výskumná univerzita)
Je opísaný dynamický model viackanálového zaraďovacieho systému s nestacionárnymi tokmi, čakaním vo fronte obmedzenej dĺžky a čiastočnou vzájomnou pomocou kanálov, vyjadrený v možnosti súčasného vybavovania požiadavky dvoma kanálmi. Sú uvedené výrazy pre hlavné pravdepodobnostno-časové charakteristiky systému. Popísané sú výsledky modelovania fungovania uzla letiska ako príklad uvažovaného systému.
Systém radenia, nestacionárny tok, vzájomná pomoc medzi kanálmi, hubové letisko.
Úvod
Uvažujeme o viackanálovom čakacom systéme (QS) s čakaním vo fronte s obmedzenou dĺžkou. Znakom posudzovaného QS je čiastočná vzájomná pomoc medzi kanálmi, vyjadrená v možnosti súčasného použitia dvoch kanálov na obsluhu jednej požiadavky. Kombinácia úsilia kanálov vo všeobecnosti vedie k zníženiu priemerného servisného času. Predpokladá sa, že QS prijíma nestacionárny Poissonov tok aplikácií. Trvanie servisu aplikácie závisí od času.
Typickým príkladom QS, ktorý má uvedené vlastnosti, je systém letiskových prepravných služieb. Súčasné využitie viacerých (zvyčajne dvoch) zariadení (odbavovacie prepážky, letecké tankery, špeciálne vozidlá a pod.) na obsluhu jedného letu zabezpečujú technologické harmonogramy letiskovej obsluhy veľkých lietadiel (AC). Potreba skvalitnenia a skrátenia trvania pozemných dopravných služieb, čo je relevantné najmä pre veľké letiská, zároveň vedie k tomu, že podiel operácií vykonávaných nie jedným, ale viacerými (dvomi) prostriedkami je zvyšujúci sa.
To sa zvyšuje so zväčšovaním rozsahu letísk. Model opísaný v článku bol vyvinutý na riešenie problémov analýzy a optimalizácie fungovania výrobných komplexov uzlov (hubov), charakterizovaných saturáciou pozemných dopravných zariadení s výrazným nestacionárnym tokom cestujúcich, lietadiel a nákladu a kolísanie intenzity ich služby.
Všeobecný popis modelu
Model je určený na určenie časových závislostí pravdepodobnostných charakteristík systému QS obsahujúceho N obsluhujúcich kanálov. Počet žiadostí v QS by nemal presiahnuť K, čo môže byť spôsobené technickými obmedzeniami počtu parkovacích miest lietadiel na letisku, kapacitou terminálu alebo nákladného komplexu atď. Počet kanálov pridelených na obsluhu jednej požiadavky môže byť 1 alebo 2. Ak sú aspoň dva voľné kanály, prijatá požiadavka sa s danou pravdepodobnosťou požičia na obsluhu
jeden z nich a - s pravdepodobnosťou y2 = 1 - y1 - oba kanály. Ak má QS v čase prijatia žiadosti o servis iba jeden bezplatný kanál, potom táto aplikácia v každom prípade zaberá dostupný
jediný kanál. Ak nie sú žiadne neobsadené kanály, nová požiadavka „zaradí sa do frontu“ a čaká na službu. Ak je počet žiadostí vo fronte K-N, potom novo doručená žiadosť opustí QS bez obsluhy. Pravdepodobnosť takejto udalosti by mala byť nízka.
Vstup QS prijíma Poissonov (nie nevyhnutne stacionárny) tok aplikácií
s intenzitou l(t). Predpokladá sa, že trvanie obsluhy požiadavky jedným kanálom Tobsl1 (t) a dvoma -
Tobsl 2 (t) sú exponenciálne rozdelené náhodné funkcie času (náhodné procesy).
Intenzita aplikačnej služby
jeden kanál ^ (t) a súčasne dva kanály m 2 (t) sú definované ako
mi (t) = [Tobsl1 (t)]-1, m2 (t) = [Tobsl2 (t)]-1,
kde Tobsl1 (t) = M [Tobsl1 (t)], Tobsl 2 (t)= M[Tobsl 2 (t)]
Priemerný čas spracovania požiadavky jedným kanálom a dvoma kanálmi.
Vzťah medzi veličinami m1 (t) a m 2 (t) je daný vzťahom
m2 (t) = ^m1 (t),
kde 9 je koeficient, ktorý zohľadňuje relatívne zvýšenie intenzity služby pri použití dvoch kanálov.
V praxi je vzťah medzi počtom získaných finančných prostriedkov a intenzitou služby pomerne zložitý, determinovaný charakteristikami predmetnej služby. Pri operáciách, ktorých trvanie súvisí s objemom vykonaných prác (napríklad tankovanie leteckého paliva do lietadla pomocou tankerov s leteckým palivom, nastupovanie alebo vystupovanie cestujúcich z lietadla a pod.), je závislosť intenzity služby od počet kanálov sa približuje priamo úmerne, ale nie je to striktne vzhľadom na čas potrebný na prípravu
ale záverečné operácie, ktoré nie sú ovplyvnené množstvom finančných prostriedkov. Pri takýchto operáciách 2 £. Pri viacerých operáciách je závislosť trvania vykonania od počtu zariadení alebo výkonných umelcov menej výrazná (napríklad registrácia alebo predlet
detekčná kontrola cestujúcich). V tomto prípade v »1.
V ľubovoľnom časovom okamihu I môže byť uvažovaný QS v jednom z diskrétnych stavov L+1 - B0, ...,
SÚŤAŤ. Prechod zo stavu do stavu môže nastať kedykoľvek. Pravdepodobnosť, že v čase I bude QS v stave
normalizačná podmienka 2 р () =1 Pozn.
Analýza pravdepodobností P0 (/), PX (t),..., Pb (t) umožňuje určiť také dôležité virtuálne (okamžité) charakteristiky QS, ako je priemerná dĺžka frontu, priemerný počet obsadených kanálov, priemerný počet požiadaviek nachádzajúcich sa v QS atď.
Pravdepodobnosť stavov p(t) sa zistí riešením systému Kolmogorovových diferenciálnych rovníc, všeobecne zapísaných ako
=Ё jp(t)P /(t)-P,(t)Z (t).,
r = 0,1,...,b,
Kde<р^ ^) - плотности (интенсивности) вероятностей перехода из состояния с порядковым номером г в состояние с порядковым номером ]. Величины фу (t) определяются по формуле
kde P(/; At) je pravdepodobnosť, že QS, ktorý bol v okamihu t v stave B, pre
čas At pôjde z nej do stavu
Na zostavenie Kolmogorovových rovníc sa používa označený stavový graf QS. V ňom sú zodpovedajúce intenzity f umiestnené nad šípkami vedúcimi z B. do B. Derivácia pravdepodobnosti každého stavu je definovaná ako súčet všetkých pravdepodobnostných tokov prichádzajúcich z iných stavov do daného stavu mínus hodnota. súčet všetkých pravdepodobnostných tokov smerujúcich z daného stavu do iných .
Na vytvorenie grafu je zavedený trojindexový notačný systém, v ktorom je stav posudzovaného QS v ľubovoľnom časovom bode charakterizovaný tromi parametrami: počtom obsadených kanálov n (n = 0,1,.. .,^), počet doručených požiadaviek k (k = 0,1,...,^) a čakajúcich na doručenie t (t = 0,1,...,^ - N).
Na obr. Obrázok 1 zobrazuje označený stavový graf, zostavený pomocou vyššie opísaných pravidiel a zavedených zápisov pre QS vybraný ako jednoduchý príklad.
Z dôvodu úspory miesta sú v grafe a v príslušnom systéme Kolmogorovových rovníc uvedené nižšie označenia funkčnej závislosti od času intenzít 1, m1, m2 a pravdepodobnosti stavov.
^000 /L = -(^1^ + ^2^) P000 + tr10 + t2P210,
= - (t + U-11 + U21) рш + ^Рр000 +
2t1R220 + t2R320,
LR210 IL = - (t2 + ^11 + ^21) P210 + V2YP000 +
Т1Р320 + 2 ^2Р420,
LR220/L = -(2^1 + ^1^ + ^21) Р220 + ^1Rio +
3 t1Р330 + ^2Р430,
LR32<:)1Л = - (т2 + т1 + ^11 + ^21)р320 +
+^11Р210 + V2ЯP110 + 2t 1Р430 +
LR4yu1L (1 + 2 ^2) Р420 + ^21Р210 + t р30, ЛР330 /Л = -(3т1 + ^1^+ ^21) Р330 + ^11Р220 + +4^1Р240 + Т
^430 /L = - (2^1 + ^2 + 1) Р430 + ^11Р320 +
+^2^ Р220 + 3т 1р40 + 2^2р31,
LR530/l =-(t + 2t2 + i) p^30+1P420 +
+^2YaP320 + t1P531,
LR440 IL (4t1 + I) R40 + R330 +
5^1R50 + t2R41,
LR540/ l =-(t2 + 3t + i) r540 + yar430 +
+"^2YaP330 + 3 t1P541 + 2 t2P532,
LR531/L = - (^1 + 2^2 + R) R^31 + R530 +
LR550 IL = -(5t1 + Y) R550 + YR440 +
5t1R551 + t2R542,
LR541/ l = - (t2 + 3t + i) p^41 + ya^40 +
LR532/l = -(t1 + 2t2) Р532 + i р531,
LR5511L = - (5t1 + Y)r51 + YR550 + 5t1R552,
lr542 / l = - (3 t + t2) r542 + i r541,
Lp5^^ = 5 t1P552 + i p51.
Ak v momente t = 0 nie sú v QS žiadne požiadavky, počiatočné podmienky budú zapísané vo forme
P10 (0) = P210 (0) = P220 (0) =... = P552 (0) = 0.
Riešenie veľkorozmerných systémov ako (1), (2), s premennými hodnotami 1(^, mDO, m2(0) je možné len numerickými metódami pomocou počítača.
Ryža. 1. Stavový graf QS
Vytvorenie modelu QS
V súlade s algoritmickým prístupom budeme uvažovať o technike transformácie systému Kolmogorovových rovníc ľubovoľného rozmeru do formy vhodnej pre počítačové výpočty. Pre zjednodušenie záznamu používame namiesto trojitého systému dvojitý systém zápisu stavov QS, v ktorom r je počet kanálov obsadených obsluhou plus dĺžka fronty,] je počet aplikácií v QS. . Vzťah medzi notačnými systémami je vyjadrený závislosťami:
r = n + m, r = 0,1,..., K;
] = k + m,] = 0,1,...,K.
Nie je možné realizovať žiaden stav z formálneho súboru
B. (r = 0,1,..., K;] = 0,1,..., K). najmä
v rámci opísaného modelu nie sú možné stavy, v ktorých sú dve alebo viaceré požiadavky súčasne obsluhované jednou
kanál, t.j. R. (t) = 0 ak ] > r Označme symbolom 8 množinu prípustných stavov QS. Štát B. existuje, a
jeho zodpovedajúca pravdepodobnosť P. ^)
môže byť nenulové, ak je splnená jedna z nasledujúcich podmienok:
1)] <г< 2], если 2] < N,
2)] <г< ] + Ч - 1 если \ .
y] + H - 1< К,
3)] < г < К, если ] + ч - 1 ^ К,
r = 0,1,..., K; ] = 0,1,...,K,
kde Х je maximálny počet stavov s rôznym počtom obslužných kanálov pre daný počet požiadaviek, určený vzorcom
Tu zátvorky označujú operáciu vyradenia zlomkovej časti. Napríklad,
súdiac podľa stavového grafu znázorneného na obr. 1, dve požiadavky môžu byť obsluhované dvoma, tromi alebo štyrmi kanálmi. Preto v príklade diskutovanom vyššie
H = 5 - = 5 - 2 = 3.
Na implementáciu počítačových výpočtov pomocou systému Kolmogorovových rovníc ľubovoľného rozmeru je potrebné jeho rovnice zredukovať na nejaký univerzálny tvar, ktorý umožňuje napísať akúkoľvek rovnicu. Na vytvorenie takejto formy zvážte fragment grafu stavu zobrazujúci jeden ľubovoľný stav B] s vedúcimi z neho
šípky intenzity. Označme rímskymi číslicami susedné štáty priamo súvisiace s B., ako je znázornené na obr. 2.
Pre každý stav B. (g = 0,1,...,K; ] = 0,1,...,K), takže B. e 8, v čase t hodnoty
p^), p(t), p.^), p(t) prijať
rôzne hodnoty (vrátane tých, ktoré sa rovnajú nule). Avšak štruktúra rovnice
(3) zostáva nezmenený, čo umožňuje jeho použitie na počítačovú implementáciu systému Kolmogorovových rovníc ľubovoľného rozmeru.
Intenzity fr (t), (р. (t), smerujúce k prenosu QS do stavov s veľkými hodnotami r a ], ak je prítomnosť takýchto stavov možná, sa určujú na základe niekoľkých podmienok takto :
o.. ї a alebo
°(,-+1)0"+1) ї 8 '
0(,-+2)(.+1) - 8 i £ N - 2,
o(i+1)(.+1)- 8 alebo
°(.+2)а+1)ї 8
O(.+1)(V+1) - 8'
Ryža. 2. Fragment grafu stavu QS
Berúc do úvahy prítomnosť susedných štátov vzhľadom na B., rovnica pre B. bude napísaná takto:
-£ = -[P () + P () + P. () +
Рр (tИ Рг, (t) + Рр+1)(.+1) (t) Р(г+1)(.+1) () +
Р(Н(1-1)^)Р(-1)(1-1)^) +
Р 2)()+1)()Р(г+2)()-+1)() +
РЦ2)(.-1) (t)P(г-2)(.-Г) ().
О(.+1)(.+1)ї 8 alebo і > N - 2
Y2X(i), ak
I(i+1)(.+1)-8>
O(i+2)(.+1) - 8 ' i £ N - 2,
О(і+1)(.+1)ї 8’
O(i+2)(.+1) - 8'
r = 0,1,...,k,. = 0,1,...,k.
Intenzita rieky (), str..11 (), prevod QS zo stavu B-. v štátoch
s menšími hodnotami g a. (ak je prítomnosť takýchto stavov možná), sú priamo úmerné počtu zapojených kanálov, obsluhujúcich požiadavky rôznych typov umiestnených v QS (zaberajúce jeden alebo dva kanály na obsluhu). Skupinu dvoch kanálov zapojených do obsluhy jednej požiadavky zodpovedajúceho typu možno považovať za jeden kanál. Preto vo všeobecnom prípade
p () = kdM1 () , R. () = ky2^2 (),
kde k.1 je počet žiadostí zaberajúcich jeden kanál obsluhovaný QS v stave B; k je počet žiadostí, ktoré zaberajú každý dva kanály a obsluhuje QS v stave B.
Prostredníctvom g a. tieto hodnoty sa určujú takto:
G2. - g ak g< N,
y1 [ N - 2 (r - .), ak r > N, (4)
Komu! 2 = g-. .
S prihliadnutím na obmedzenia možnosti existencie výrazových stavov pre
p(), R.() majú tvar
^B(g-1)(L) e 8,
Ukazovatele efektívnosti fungovania QS
Opísaný model nám umožňuje určiť časové závislosti nasledujúcich ukazovateľov prevádzkovej efektívnosti uvažovaného QS.
Priemerná dĺžka frontu:
môže ()=22(g-p)R().
Priemerný počet obsadených kanálov:
Priemerný počet žiadostí o SOT:
m, () = 22,R. ().
Pravdepodobnosť odmietnutia služby:
Є, ()= 2 Р- ().
Rozdelenie virtuálnej čakacej doby podľa aplikácie je možné získať
služba Ж (x,t) = Р ^ож ()< х) , позволяющее характеризовать качество обслуживания рассматриваемой СМО. Поступившая в систему заявка вынуждена ожидать обслуживания в случае, если все каналы заняты обслуживанием заявок, поступивших
predtým. Existuje pravdepodobnosť Рк=0 (t) okamžitého spracovania prichádzajúcej požiadavky v prítomnosti voľného kanála (alebo niekoľkých voľných kanálov)
B(g-1)(.-1) £ 8,
r = 0,1,...,K,. = 0,1, ..., K.
R. () ° 0, ak B. £ 8.
S prihliadnutím na možnosť zlyhania sa požadovaná hodnota distribučnej funkcie Ж (х^) určí ako
F (x-‘)=(--o(t)
EEZH M (,)) ()
Ru()° 0, ak je °y. ї 8.
Tu je Ж (х,т| (і,./)) podmienená funkcia
rozloženie čakacej doby na určitú požiadavku za predpokladu, že v čase jej príchodu T našla QS v stave y.
V posudzovanom QS čakacia doba na obsluhu prichádzajúcou požiadavkou závisí nielen od počtu požiadaviek, ktoré sú už v QS, ale aj od rozloženia kanálov medzi skupinovým a individuálnym obsluhou existujúcich požiadaviek. Ak by vzájomná pomoc medzi kanálmi neexistovala, potom by uvažovaný QS bol tradičným QS s čakaním vo fronte s obmedzenou dĺžkou, pre ktorú by celková doba čakania na začatie služby reklamáciou predbehla iné nároky v rade v čase príchodu by mal Erlangovu distribúciu E,^) (X) .
Tu horný index obsahuje intenzitu požiadaviek na obsluhu všetkých N kanálov pracujúcich v prítomnosti frontu; dolný index je poradie distribúcie podľa Erlangovho zákona. V tu uvažovanom QS opísaný zákon platí len pre požiadavky, ktoré vstúpili do QS v štátoch, kde sú všetky kanály obsadené a všetky obsluhujú jednu požiadavku. Pre tieto stavy môžeme písať
F(x,t|^ + m,N + t)) = ^+1() (x).
Označme ako E^”^1 (x) distribučnú funkciu zovšeobecneného Erlanovho zákona
ha, s rádom 2"r - 1, kde ag je číslo
Lo náhodné premenné distribuované cez
exponenciálny zákon s parametrom y. S
Pomocou zavedeného zápisu píšeme výrazy pre funkciu rozdelenia času čakania v iných stavoch. V porovnaní s (5) majú tieto výrazy zložitejšiu formu, ktorá nezasahuje do ich softvérovej implementácie. Ďalej, ako príklad, sú uvedené len pre prvé tri stavy plnej obsadenosti kanálov pomocou predtým zavedeného trojznakového indexovania:
F (x,t| (n,k,t)) = F (x,t| (N,N - g,0)) =
= (x), 0 £ g £ d,
kde a. = kLt (t) + ku2M2 (t);
Ж (х,т| (п,к,т)) = Ж (х,т| (N,N - g,l)) =
N ^ ^ - g) km (T)
F (x,t| - g, 2))
N ^).(N - g) Km(t)
E/^(t),(t-g) ■я(t),(t-g+l)
(N),(N - g) ktM(T)
EI-)(t-g)(x)+
^).(N - g) eH^) (x)
Priemerná virtuálna doba čakania na aplikáciu Toz () je určená číselne ako
Totožnosť (T) = | ^Х (x,T) .
Je možné určiť aj rozdelenie virtuálneho času obsluhy pre ľubovoľne zvolenú požiadavku Tobsl ^).
Keďže zmena Tobsl (t) v uvažovanom QS je náhodný proces, ktorý je zmesou dvoch exponenciálne rozdelených náhodných procesov TobsL1 ^) a TobsL2 ^), potom rozdelenie
V (x^) = P (Tobsl (t)< х) не будет показательным. С учётом возможности отказа выражение для функции распределения V (х^) запишется в виде
EEU M k,.YR(t)
R.. ^) ° 0, ak 8. £ 8.
Tu V (x^| (r,.)) je podmienená distribučná funkcia času obsluhy určitej požiadavky za predpokladu, že v čase jej príchodu našla QS v stave.
Ak je QS v čase začiatku servisu aplikácie v stave, v ktorom je možný skupinový aj individuálny servis, potom je čas servisu zmesou dvoch pro-
prechod na skupinovú službu – ak je podmienka možná (obr. 2). Máme teda:
U(M(i--/")) =
y (1 - e-t(t)x) + +y (1 - e^2(t)x),
I О(і+2)(]+1) ї 8, О(і+1)(.+1) - 8,
"2\* ^ І' I ^ +2) (.+1)
i = 0,1,...,N-1, i = 0,1,...,N-1.
Keďže pri absencii dvoch voľných kanálov je každá požiadavka obsluhovaná jedným kanálom, potom skutočná pravdepodobnosť ^) pridelenia jedného kanála je
det je väčší ako daný V Funkcia uv ^) je definovaná ako
EEU O","r(t)
R. (t) ° 0, ak R. ї 8.
Tu y1(r,.) je pravdepodobnosť pridelenia jedného zariadenia na obsluhu požiadavky prijatej QS v stave:
О(і+1)(.+1) - 8, О(і
2)(}+1) -2)(!+1)
doby trvania: Tobsl1 (t) a Tobsl2 (t), dis- i = 0,1...,K -1,. = 0,1...,K-1.
obmedzené exponenciálne s parametrami ^1 (t) a ^2 (t). Ak v
V tomto bode nie je možné prideliť dva kanály, potom sa čas na obsluhu požiadavky rozdeľuje exponenciálne s parametrom
t(t). Keď sa požiadavka priblíži k obslužným kanálom v stave B, prechod na individuálnu obsluhu je povolený, keď
prítomnosť možnosti stavu I(
Priemerné trvanie obsluhy požiadavky zahrnutej v QS v danom čase
T, možno definovať pomocou uv (T) ako
Tbl (t) = uf (t) Tm (t) + Tbs2 (t).
Rozdelenie virtuálneho času pobytu aplikácie v QS
a (x,t)= P (Tpreb (t)< х)
sa určuje pomocou predtým získaných výrazov pre distribučné funkcie času čakania a času obsluhy - =
vaniya ako ja,
2^2 (t) Et^^(t)^^) (x) +
EEi M))рї(t)
a (x,t| (^.)) =
1 - e-M1(t)x
y(1-e-t(t)x)-+y2(1-e
(1 - e ^t(t)x),
О(і+1)(.+1) - 8, О(і+ 2)(.+1) ї 8’
О(і+1)(.+1) - 8’ О(і+2)(.+1) - 8,
r = 0,1,...^-1,. = 0'l'...'N-1.
Pre ostatné stavy sú vzorce pre funkciu podmieneného rozdelenia napísané analogicky so vzorcami pre
Ж (х^| (п,к,т)) pomocou indexovania troch znakov. Nižšie sú uvedené pre prvé tri stavy plnej obsadenosti kanála:
V čase zadávania nie je žiadny front, ale všetky kanály sú obsadené:
a (x^| (n,k,t)) = a (x^| (NN - g,0)) =
(x), 0 £ g £ d;
V čase, keď aplikácia vstúpi, je vo fronte jedna aplikácia:
R. (t) ° 0, ak R. ї 8.
Tu a (x^| (r,.)) je funkcia podmieneného rozdelenia času stráveného v QS nejakej požiadavky za predpokladu, že v okamihu svojho príchodu t našla systém v stave..
Pre štáty s bezplatnými kanálmi sa čas pobytu v QS zhoduje s časom služby:
V čase, keď aplikácia vstúpi, sú vo fronte dve aplikácie:
a (x,t | (t,t - ^2))
(t)(t^)H (t)(t^+1)
(t)(t – g) ktsM (t)
(t) (t – g) KtsM (t)
Priemerný virtuálny čas zotrvania aplikácie v QS je definovaný ako
Tpreb ^) = Tobsl (t) + Toz (t).
Príklad použitia modelu QS
Pri vykonávaní samostatnej technologickej operácie na obsluhu prilietavajúcich lietadiel je simulované každodenné fungovanie výrobného komplexu jedného z východoeurópskych regionálnych uzlov. Ako počiatočné údaje pre modelovanie sú časové závislosti priemernej intenzity prúdu prilietavajúcich lietadiel
pre službu, i(t) a intenzitu
obsluhu lietadla jedným prostriedkom t1 (t) .
Ako vyplýva z konštruovaných údajov
webová stránka letiska graf závislosti i(t)
(obr. 3a) je zásoba BC charakterizovaná výraznou nerovnomernosťou: počas dňa sú pozorované štyri maximá intenzity zodpovedajúce štyrom „vlnám“
nás“ prílety a odlety. Špičkové hodnoty 1(t) pre hlavné „vlny“ dosahujú 25-30 VS/h.
Na obr. 3 a zobrazí aj graf závislosti t (t). Predpokladá sa, že nie
len intenzita prúdenia lietadiel, ale aj intenzita ich obsluhy je funkciou času a závisí od fázy „vlny“. Faktom je, že s cieľom skrátiť priemerný čas prestupu pre cestujúcich je harmonogram uzla letiska štruktúrovaný tak, že „vlna“ je iniciovaná príletmi veľkých osobných lietadiel, ktorých údržba si vyžaduje veľa. času a je ukončený príletmi malých lietadiel. V príklade sa predpokladá, že priemerné trvanie operácie s jedným nástrojom, ktoré je 20 minút počas väčšiny trvania dňa, sa v počiatočnom štádiu „vlny“ zvýši na 25 minút. a v konečnej fáze sa skráti na 15 minút. Teda štyri intervaly s
znížená hladina t (t) na obr. 3a zodpovedajú počiatočným fázam „vĺn“, keď prevládajú prílety veľkých lietadiel. Postupne štyri intervaly zvyšovania
úroveň t^) padnú na konečnú
„vlnové“ fázy s prevahou malých lietadiel.
Nižšie popisujeme výsledky simulácie, ktoré nám umožňujú vyhodnotiť efektivitu systému. Na obr. 3b-3d ukazujú časové závislosti priemerných hodnôt počtu obsadených kanálov Nз ^),
celkový počet žiadostí v systéme MZ ^) a
dĺžky frontov Moz (7) získané pre dve limitné hodnoty pravdepodobnosti n1 = 0 a n1 = 1 s nasledujúcimi návrhovými charakteristikami: N = 10; K = 40; in = 1,75. Súdiac podľa grafu závislosti Nз (t)
(obr. 3b), počas väčšiny denného časového intervalu zostáva obsadenosť obslužných kanálov systému nízka, čo je dôsledkom nestacionárneho príkonu
prúdenie lietadiel. Vysoké zaťaženie (60-80%) sa dosiahne až počas druhej „vlny“ príchodov a odchodov a možnosť n1 = 0 pri veľkých hodnotách 1(t) spôsobuje väčšie zaťaženie systému a pri malých hodnotách 1 (t) - menej
v porovnaní s možnosťou n1 = 1. Navyše, ako
modelovanie ukázalo, že pravdepodobnosť zlyhania v posudzovanom systéme pre obe možnosti je zanedbateľná.
Porovnanie grafov závislosti
M3 ^) a Mozh ^) (obr. 3c, resp. 3d) nám umožňuje dospieť k záveru, že v QS s n1 = 0 je v priemere menej požiadaviek a očakáva sa, že bude obsluhovaných viac žiadostí ako s n1 = 1 Tento rozpor je vysvetlený skutočnosťou, že každá žiadosť prijatá QS, ktorá v prípade n1 = 0 trvá dve
kanál, ponecháva menej voľných kanálov pre požiadavky, ktoré za ním nasledujú, čo ich núti vytvárať väčšie fronty ako v prípade
n1 = 1. Skupinové využitie kanálov, ktoré znižuje servisný čas, zároveň spôsobuje zníženie celkového počtu obsluhovaných aplikácií a čakajúcich na službu. Takže v uvažovanom príklade je priemerný čas služby počas dňa
pre možnosť p1 = 1 je 20 minút a pre
možnosť p1 = 0 - 11,7 min.
Vyššie diskutovaný model umožňuje riešiť problémy súvisiace s hľadaním optimálneho riadenia kvality prepravných služieb. Na obr. 3d, 3f znázorňujú niektoré výsledky riešenia tohto druhu problému, ktorého význam je ďalej vysvetlený na príklade uvažovaného letiska.
Priemerná dĺžka frontu, ktorá je malá aj pri špičkovom zaťažení, nepresahujúca v uvažovanom príklade 0,6 lietadla (obr. 3d), nezaručuje, že pre veľkú väčšinu lietadiel bude čakacia doba v rade prijateľná. Nízka priemerná čakacia doba s uspokojivým priemerným časom na dokončenie servisnej operácie
To tiež nevylučuje možnosť neprijateľne dlhých prestojov počas údržby jednotlivých lietadiel. Zoberme si príklad, keď kvalita letiskových služieb podlieha požiadavkám tak na zabezpečenie uspokojivých hodnôt pre čakaciu dobu na službu, ako aj pre dobu strávenú v systéme. Budeme predpokladať, že viac ako 90 % lietadiel by malo byť nečinných na údržbu menej ako 40 minút a čakacia doba na údržbu pre rovnaký podiel lietadiel by mala byť menej ako 5 minút. Pomocou vyššie uvedeného zápisu budú tieto požiadavky na kvalitu letiskových služieb zapísané vo forme nerovností:
P (Tpreb (t)< 40мин)>09, P (Identita (t)< 5мин)> 09
Na obr. 3d, 3f znázorňujú časové závislosti pravdepodobností P (Tpreb (/)< 40мин)
a P (Ident. (")< 5 мин) для интервала времени
460-640 min. od začiatku modelového dňa zodpovedajúceho druhej „vlne“ príletov.
Ako je zrejmé z obrázkov, možnosť n1 = 1 nie je
poskytuje vypočítanú spoľahlivosť z hľadiska servisného času: požiadavka na servisný čas špecifikovaný podmienkou
P (Tpreb (t)< 40мин)>09, sa vykonáva len počas krátkej doby 530560 minút, čo zodpovedá príchodom malých
Slnko. Možnosť n1 = 0 zase neposkytuje vypočítanú spoľahlivosť z hľadiska čakacej doby v rade: počas intervalu príletov veľkých lietadiel (500 – 510 min.)
Ryža. 3. Výsledky simulácie 262
podmienka P je splnená (Iz(t)< 5мин) > 0.9.
Ako ukázal modeling, východiskom z tejto situácie môže byť výber
kompromisná možnosť y1 » 0,2. V praxi táto možnosť znamená, že na letiskové služby by sa mali prideliť dva finančné prostriedky na obsluhu nie všetkých lietadiel, ale iba tých, ktoré sú vybrané na základe určitého kritéria, napr.
kapacita cestujúcich. Tu hrá úlohu y1
parameter, ktorý vám umožňuje ovládať ukazovatele výkonu QS: čas čakania na aplikáciu vo fronte a čas, kedy aplikácia zostáva v QS alebo servisný čas.
Takže uvažovaný systém, ktorý používa jeden alebo dva kanály súčasne na obsluhu požiadavky, je špeciálnym, ale prakticky významným prípadom QS s
vzájomná pomoc kanálov. Použitie dynamického modelu takéhoto QS umožňuje klásť a riešiť rôzne optimalizácie, vrátane multikriteriálnych, problémov spojených s riadením nielen celkového počtu finančných prostriedkov, ale aj ich vzájomnej pomoci. Problémy tohto druhu sú obzvlášť dôležité pre uzlové letiská, ktoré sú presýtené servisnými zariadeniami s ich nestacionárnymi letovými tokmi a kolísavou intenzitou služieb. Model uvažovaného QS je teda nástrojom na analýzu a optimalizáciu parametrov takej perspektívnej triedy letísk, akými sú uzly.
Bibliografia
1. Bocharov, P.P. Teória radenia [Text] / P.P. Bocharov, A.V. Pe-chinkin. - M.: Vydavateľstvo RUDN, 1995. - 529 s.
MODEL SYSTÉMU RADY S STACIONÁRNYMI PRÚDMI A ČIASTOČNOU VZÁJOMNOU POMOCOU MEDZI KANÁLMI
© 2011 V. A. Romanenko
Štátna letecká univerzita v Samare pomenovaná po akademikovi S. P. Koroljovovi (Národná výskumná univerzita)
Je popísaný dynamický model viackanálového čakacieho systému s nestacionárnymi tokmi, čakaním vo fronte s obmedzenou dĺžkou a čiastočnou vzájomnou pomocou kanálov vyjadrenou v možnosti simultánneho obsluhovania zákazníka dvoma kanálmi. Sú uvedené výrazy pre základné pravdepodobnostno-časové charakteristiky systému. Diskutované sú výsledky modelovania fungovania hubového letiska ako príklad systému.
Systém radenia, nestacionárny tok, vzájomná pomoc medzi kanálmi, hubové letisko.
Informácie o autorovi Vladimir Alekseevič Romanenko, kandidát technických vied, docent, doktorand Katedry organizácie a riadenia dopravnej dopravy, Štátna letecká univerzita v Samare pomenovaná po akademikovi S.P. Korolevovi (národná výskumná univerzita). Email: [e-mail chránený]. Oblasť vedeckého záujmu: optimalizácia a modelovanie systému dopravných služieb uzla letiska.
Romanenko Vladimir Alexeevitch, kandidát technických vied, docent, doktorát na katedre organizácie a manažmentu dopravy, Štátna letecká univerzita v Samare pomenovaná po akademikovi S. P. Koroljovovi (Národná výskumná univerzita E-mail: vla_rom@mail). Oblasť výskumu: optimalizácia a simulácia systému dopravných služieb uzla letiska.
Doteraz sme brali do úvahy len také QS, v ktorých môže byť každá požiadavka obsluhovaná iba jedným kanálom; neobsadené kanály nemôžu „pomôcť“ zaneprázdneným pri servise.
Vo všeobecnosti to nie je vždy prípad: existujú systémy zaraďovania do fronty, kde rovnakú požiadavku môžu súčasne obsluhovať dva alebo viac kanálov. Napríklad ten istý pokazený stroj môžu obsluhovať dvaja pracovníci naraz. Takáto „vzájomná pomoc“ medzi kanálmi môže prebiehať v otvorených aj uzavretých QS.
Pri zvažovaní QS so vzájomnou pomocou naprieč kanálmi je potrebné zvážiť dva faktory:
1. Ako rýchlo sa zrýchli servis aplikácie, keď na nej nepracuje jeden, ale niekoľko kanálov naraz?
2. Čo je „disciplína vzájomnej pomoci“, t. j. kedy a ako niekoľko kanálov prevezme vybavovanie tej istej žiadosti?
Pozrime sa najprv na prvú otázku. Je prirodzené predpokladať, že ak nie jeden kanál, ale niekoľko kanálov pracuje na obsluhe aplikácie, intenzita toku služieb nebude klesať s rastúcim k, t.j. bude predstavovať nejakú neklesajúcu funkciu počtu k pracovných kanálov. Označme túto funkciu Možná forma funkcie je znázornená na obr. 5.11.
Je zrejmé, že neobmedzené zvýšenie počtu súčasne pracujúcich kanálov nevedie vždy k proporcionálnemu zvýšeniu prevádzkovej rýchlosti; Prirodzenejšie je predpokladať, že pri určitej kritickej hodnote ďalšie zvýšenie počtu vyťažených kanálov už nezvyšuje intenzitu služby.
Aby bolo možné analyzovať fungovanie QS so vzájomnou pomocou medzi kanálmi, je potrebné v prvom rade nastaviť typ funkcie
Najjednoduchším prípadom na štúdium bude prípad, keď funkcia rastie úmerne k while a zostáva konštantná a rovná (pozri obr. 5.12). Ak celkový počet kanálov, ktoré si môžu navzájom pomôcť, nepresiahne
Zastavme sa teraz pri druhej otázke: disciplíne vzájomnej pomoci. Najjednoduchší prípad tejto disciplíny nazveme „všetko ako jeden“. To znamená, že keď sa objaví jedna požiadavka, všetky kanály ju začnú obsluhovať naraz a zostanú zaneprázdnené, kým sa obsluha tejto požiadavky neskončí; potom sa všetky kanály prepnú na obsluhu ďalšej požiadavky (ak existuje) alebo čakajú na jej výskyt, ak nie, atď. V tomto prípade samozrejme všetky kanály fungujú ako jeden, QS sa stáva jednokanálovým, ale s vyššou službou intenzita.
Vynára sa otázka: je výhodné alebo nerentabilné zaviesť takúto vzájomnú pomoc medzi kanálmi? Odpoveď na túto otázku závisí od toho, aká je intenzita toku požiadaviek, aký typ funkcie, aký typ QS (s poruchami, s frontom), aká hodnota je zvolená ako charakteristika efektívnosti služby.
Príklad 1. Existuje trojkanálový QS s poruchami: intenzita toku aplikácií (aplikácií za minútu), priemerný čas obsluhy jednej požiadavky jedným kanálom (min), funkcia Otázkou je, či je výhodné z z pohľadu priepustnosti QS na zavedenie vzájomnej pomoci medzi kanálmi typu „všetko ako jeden“ “? Je to výhodné z hľadiska skrátenia priemerného času, počas ktorého aplikácia zostáva v systéme?
Riešenie a. Bez vzájomnej pomoci
Podľa Erlangových vzorcov (pozri § 4) máme:
Relatívna kapacita QS;
Absolútna priepustnosť:
Priemerný čas, počas ktorého aplikácia zostane v QS, sa zistí ako pravdepodobnosť, že žiadosť bude prijatá do služby, vynásobená priemerným časom služby:
Gsist (min).
Netreba zabúdať, že tento priemerný čas platí pre všetky aplikácie – obsluhované aj neobsluhované Nás môže zaujímať aj priemerný čas, počas ktorého zostane servisovaná aplikácia v systéme. Tento čas sa rovná:
6. So vzájomnou pomocou.
Priemerný čas, počas ktorého aplikácia zostáva v SOT:
Priemerný čas strávený obsluhovanou aplikáciou v SOT:
Takže v prítomnosti vzájomnej pomoci „všetci ako jeden“ sa priepustnosť QS výrazne znížila. Vysvetľuje sa to zvýšením pravdepodobnosti odmietnutia: zatiaľ čo všetky kanály sú zaneprázdnené obsluhou jednej požiadavky, môžu prísť ďalšie požiadavky, ktoré môžu byť, prirodzene, zamietnuté. Pokiaľ ide o priemerný čas, ktorý aplikácia strávi v SOT, tento sa, ako by sa dalo očakávať, znížil. Ak sa z nejakého dôvodu budeme snažiť úplne skrátiť čas, ktorý aplikácia strávi v QS (napríklad ak je pobyt v QS pre aplikáciu nebezpečný), môže sa ukázať, že napriek zníženiu priepustnosti bude stále je výhodné spojiť tri kanály do jedného.
Uvažujme teraz s očakávaním o vplyve vzájomnej pomoci typu „všetci ako jeden“ na prácu QS. Pre jednoduchosť berieme len prípad neobmedzeného radu. Prirodzene, v tomto prípade nebude mať vzájomná pomoc žiadny vplyv na priepustnosť QS, pretože za každých podmienok budú obsluhované všetky prichádzajúce požiadavky. Vzniká otázka o vplyve vzájomnej pomoci na charakteristiky čakania: priemerná dĺžka frontu, priemerný čas čakania, priemerný čas strávený v službe.
Na základe vzorcov (6.13), (6.14) § 6 pre službu bez vzájomnej pomoci bude priemerný počet žiadostí v rade
priemerná čakacia doba:
a priemerný čas zotrvania v systéme:
Ak sa použije vzájomná pomoc typu „všetko ako jeden“, systém bude fungovať ako jednokanálový s parametrami
a jeho charakteristiky sú určené vzorcami (5.14), (5.15) § 5:
Príklad 2. Existuje trojkanálový QS s neobmedzeným radom; intenzita toku aplikácií (aplikácií za minútu), priemerný čas obsluhy Funkcia Užitočný význam:
Priemerná dĺžka frontu,
Priemerná čakacia doba na servis,
Priemerný čas, počas ktorého aplikácia zostáva v SOT
zaviesť vzájomnú pomoc medzi kanálmi ako „všetci ako jeden“?
Riešenie a. Žiadna vzájomná pomoc.
Podľa vzorcov (9.1) - (9.4) máme
(3-2)
b. So vzájomnou pomocou
Pomocou vzorcov (9.5) - (9.7) nájdeme;
Priemerná dĺžka frontu a priemerný čas čakania v rade v prípade vzájomnej pomoci sú teda väčšie, ale priemerný čas zotrvania aplikácie v systéme je kratší.
Z uvažovaných príkladov je zrejmé, že vzájomná pomoc medzi Hotovosť typu „všetko ako jeden“ spravidla neprispieva k zvýšeniu efektívnosti služby: čas, počas ktorého požiadavka zostane v systéme služieb, sa skráti, ale ostatné charakteristiky služby sa zhoršia.
Preto je žiaduce zmeniť disciplínu služieb tak, aby vzájomná pomoc medzi kanálmi nezasahovala do prijímania nových požiadaviek na službu, ak sa objavia, keď sú všetky kanály obsadené.
Nazvime nasledujúci typ vzájomnej pomoci „jednotná vzájomná pomoc“. Ak požiadavka príde v čase, keď sú všetky kanály voľné, všetky kanály sú akceptované na jej obsluhu; ak v čase obsluhy aplikácie príde ďalšia, niektoré kanály prepnú na jej obsluhu; ak počas vybavovania týchto dvoch požiadaviek príde ďalšia, niektoré kanály sa prepnú na jej obsluhu atď., kým nie sú obsadené všetky kanály; ak je to tak, novoprijatá žiadosť je zamietnutá (v QS s odmietnutiami) alebo je zaradená do frontu (v QS s čakaním).
Pri tejto disciplíne vzájomnej pomoci je žiadosť zamietnutá alebo zaradená do radu len vtedy, keď ju nie je možné vybaviť. Pokiaľ ide o „prestoj“ kanálov, za týchto podmienok je minimálny: ak je v systéme aspoň jedna požiadavka, všetky kanály fungujú.
Vyššie sme uviedli, že keď sa objaví nová požiadavka, niektoré z obsadených kanálov sa uvoľnia a prepnú sa na obsluhu novej požiadavky. Ktorá časť? Závisí od typu funkcie Ak má tvar lineárneho vzťahu, ako je znázornené na obr. 5.12 a nezáleží na tom, aká časť kanálov je pridelená na obsluhu novoprijatej požiadavky, pokiaľ sú všetky kanály obsadené (vtedy bude celková intenzita služieb pre akúkoľvek distribúciu kanálov medzi požiadavkami rovná ). Dá sa dokázať, že ak je krivka konvexná smerom nahor, ako je znázornené na obr. 5.11, potom musíte rozdeliť kanály medzi požiadavky čo najrovnomernejšie.
Uvažujme o prevádzke -kanálového QS s „jednotnou“ vzájomnou pomocou medzi kanálmi.
Formulácia problému. Pri vchode n-kanál QS prijíma najjednoduchší tok požiadaviek s hustotou λ. Hustota najjednoduchšieho servisného toku pre každý kanál je μ. Ak žiadosť prijatá na službu nájde všetky kanály voľné, potom je prijatá na službu a súčasne obsluhovaná l kanály ( l < n). V tomto prípade bude mať tok služieb pre jednu aplikáciu intenzitu l.
Ak prijatá požiadavka na službu nájde v systéme jednu požiadavku, potom kedy n ≥ 2l novo doručená žiadosť bude prijatá na servis a bude súčasne obsluhovaná l kanálov.
Ak je v systéme zachytená prijatá požiadavka na službu i aplikácie ( i= 0,1, ...), zatiaľ čo ( i+ 1)l≤ n, potom bude prijatá žiadosť obsluhovaná l kanálov s celkovým výkonom l. Ak je v systéme zachytená novo prijatá žiadosť j aplikácie a súčasne sa uspokoja dve nerovnosti spoločne: ( j + 1)l > n A j < n, potom bude žiadosť prijatá do služby. V tomto prípade je možné vykonať servis niektorých aplikácií l kanálov, druhá časť je menšia ako l, počet kanálov, ale každý bude zaneprázdnený servisom n kanály, ktoré sú náhodne rozdelené medzi aplikácie. Ak je v systéme zachytená novo prijatá žiadosť n aplikácie, potom bude zamietnutá a nebude obsluhovaná. Žiadosť prijatá na servis je vybavená až do konca (žiadosti „pacienta“).
Stavový graf takéhoto systému je znázornený na obr. 3.8.
Ryža. 3.8. Graf stavov QS s poruchami a čiastočnými
vzájomnej pomoci medzi kanálmi
Všimnite si, že stavový graf systému až po stav X h až po zápis parametrov toku sa zhoduje so stavovým grafom klasického systému radenia s poruchami, znázorneným na obr. 3.6.
teda
(i
= 0, 1, ..., h).
Graf stavu systému začínajúci od stavu X h a končiac štátom X n, sa až do notácie zhoduje so stavovým grafom QS s úplnou vzájomnou pomocou znázorneným na obr. 3.7. teda
.
Predstavme si označenie λ / lμ = ρ l ; λ / nμ = χ, teda
Ak vezmeme do úvahy normalizovaný stav, získame
Poďme zistiť vlastnosti systému.
Priemerný počet aplikácií v systéme je
Priemerný počet obsadených kanálov
.
Pravdepodobnosť, že konkrétny kanál bude obsadený
.
Pravdepodobnosť obsadenosti všetkých kanálov systému
Formulácia problému. Pri vchode n-kanálový systém QS prijíma heterogénny najjednoduchší tok s celkovou intenzitou λ Σ a
λ Σ
=
,
kde λ i– intenzita aplikácií v i zdroj.
Keďže tok požiadaviek je považovaný za superpozíciu požiadaviek z rôznych zdrojov, kombinovaný tok s dostatočnou presnosťou pre prax možno považovať za Poissonovu pre N = 5...20 a λ i ≈ λ i +1 (i1,N). Intenzita obsluhy jedného zariadenia je rozdelená podľa exponenciálneho zákona a rovná sa μ = 1/ t. Servisné zariadenia na obsluhu požiadavky sú zapojené do série, čo sa rovná predĺženiu servisného času toľkokrát, koľkokrát sa skombinuje počet zariadení na obsluhu:
t obs = kt, μ obs = 1 / kt = μ/ k,
Kde t obs – čas obsluhy požiadavky; k– počet servisných zariadení; μ obs – požiadavka na intenzitu servisu.
V rámci predpokladov prijatých v kapitole 2 predstavujeme stav QS ako vektor, kde k m– počet aplikácií v systéme, z ktorých každá je obsluhovaná m zariadenia; L = q max – q min +1 – počet vstupných tokov.
Potom počet obsadených a voľných zariadení ( n zan ( 
),n sv ( 
)) schopný 
je definovaný nasledovne:
Od štátu 
systém môže prejsť do akéhokoľvek iného stavu 
. Keďže systém funguje L vstupné prúdy, potom z každého stavu je to potenciálne možné L priame prechody. Z dôvodu obmedzených systémových zdrojov však nie sú všetky tieto prechody realizovateľné. Nech je SMO v stave 
a prichádza požiadavka m zariadení. Ak m≤ n sv ( 
), potom je požiadavka prijatá na obsluhu a systém prejde do stavu s intenzitou λ m. Ak aplikácia vyžaduje viac zariadení, ako je k dispozícii, bude jej služba odmietnutá a QS zostane v stave 
. Ak môžeš 
existujú aplikácie vyžadujúce m zariadení, potom sa každé z nich obsluhuje s intenzitou m a celková intenzita obsluhy takýchto požiadaviek (μ m) je definovaný ako μ m
= k m μ
/ m. Po dokončení obsluhy jednej z požiadaviek systém prejde do stavu, v ktorom má zodpovedajúca súradnica hodnotu o jednu menšiu ako v stave 
,
=, t.j. dôjde k spätnému prechodu. Na obr. 3.9 ukazuje príklad vektorového modelu QS pre n
= 3, L
= 3, q min = 1, q max = 3, P(m) = 1/3, λ Σ = λ, intenzita údržby zariadenia – μ.
Ryža. 3.9. Príklad grafu vektorového modelu QS s poruchami služby
Takže každý štát 
charakterizované počtom obsluhovaných aplikácií určitého typu. Napríklad v štáte 
jednu požiadavku obslúži jedno zariadenie a jednu požiadavku dve zariadenia. V tomto stave sú všetky zariadenia zaneprázdnené, preto sú možné iba spätné prechody (príchod akejkoľvek požiadavky v tomto stave vedie k odmietnutiu služby). Ak sa obsluha požiadavky prvého typu skončila skôr, systém prejde do stavu 
(0,1,0) s intenzitou μ, ale ak sa obsluha požiadavky druhého typu skončila skôr, systém prejde do stavu 
(0,1,0) s intenzitou μ/2.
Pomocou stavového grafu s vykreslenými intenzitami prechodu sa zostaví systém lineárnych algebraických rovníc. Z riešenia týchto rovníc sa zistia pravdepodobnosti R(
), ktorou sa určujú vlastnosti QS.
Zvážte nájdenie R otk (pravdepodobnosť odmietnutia služby).
,
Kde S– počet stavov grafu vektorového QS modelu; R(
) je pravdepodobnosť, že systém je v stave 
.
Počet stavov podľa sa určuje takto:
,
(3.22)
;
Určme počet stavov vektorového QS modelu podľa (3.22) pre príklad znázornený na obr. 3.9.
.
teda S = 1 + 5 + 1 = 7.
Na realizáciu reálnych požiadaviek na servisné zariadenia je potrebný dostatočne veľký počet n
(40, ..., 50) a požiadavky na počet obslužných zariadení v aplikácii sa v praxi pohybujú v rozmedzí 8–16. Pri takomto pomere nástrojov a požiadaviek sa navrhovaný spôsob zisťovania pravdepodobností stáva mimoriadne ťažkopádnym, pretože vektorový model QS má veľký počet stavov S(50)
= 1790, S(60)
= 4676, S(70) = = 11075 a veľkosť matice koeficientov sústavy algebraických rovníc je úmerná štvorcu S, ktorá si vyžaduje veľké množstvo počítačovej pamäte a značné množstvo počítačového času. Túžba znížiť množstvo výpočtov podnietila hľadanie možností opakujúcich sa výpočtov R(
) založené na multiplikatívnych formách reprezentácie stavových pravdepodobností. Článok predstavuje prístup k výpočtu R(
):
(3.23)
Použitie kritéria ekvivalencie globálnych a podrobných bilancií Markovových reťazcov navrhnutého v práci nám umožňuje zmenšiť rozmer problému a vykonať výpočty na stredne výkonnom počítači s použitím opakovania výpočtov. Okrem toho je možné:
– vykonávať výpočty pre akékoľvek hodnoty n;
– urýchliť výpočty a znížiť náklady na strojový čas.
Podobným spôsobom je možné určiť ďalšie charakteristiky systému.
