Seritë e numrave: përkufizimet, vetitë, shenjat e konvergjencës, shembujt, zgjidhjet. Testi i D'Alembert për konvergjencën e serive pozitive

Testi i konvergjencës së D'Alembert

Jean Leron d'Alembert ishte një matematikan i famshëm francez i shekullit të 18-të. Në përgjithësi, d'Alembert u specializua në ekuacionet diferenciale dhe, bazuar në kërkimet e tij, studioi balistikën në mënyrë që topat e Madhërisë së Tij të fluturonin më mirë. Në të njëjtën kohë, nuk harrova për serinë e numrave, jo më kot radhët e trupave të Napoleonit u konvergjuan dhe u ndanë aq qartë.

Para se të formulojmë vetë shenjën, le të shqyrtojmë një pyetje të rëndësishme: Kur duhet përdorur testi i konvergjencës së D'Alembert?

Le të fillojmë së pari me një rishikim. Le të kujtojmë rastet kur duhet të përdorni më të njohurit kufiri i krahasimit. Kriteri kufizues për krahasim përdoret kur termi i përbashkët i serisë: 1) Emëruesi përmban një polinom. 2) Polinomet janë edhe në numërues edhe në emërues. 3) Një ose të dy polinomet mund të jenë nën rrënjë.

Parakushtet kryesore për aplikimin e testit të d'Alembert janë si më poshtë:

1) Termi i zakonshëm i serisë ("mbushja" e serisë) përfshin një numër në një shkallë, për shembull, etj. Për më tepër, nuk ka fare rëndësi se ku ndodhet kjo gjë, në numërues apo në emërues - ajo që ka rëndësi është se ajo është e pranishme atje.

2) Termi i përbashkët i serisë përfshin faktorialin. Çfarë është faktorial? Asgjë e komplikuar, faktoriali është vetëm një shënim i ngjeshur i punës: ……

! Kur përdorim testin e d'Alembert, do të duhet të përshkruajmë në detaje faktorialin. Ashtu si në paragrafin e mëparshëm, faktoriali mund të vendoset në krye ose në fund të fraksionit.

3) Nëse në termin e përgjithshëm të serisë ekziston një "zinxhir faktorësh", për shembull, . Ky rast është i rrallë, por! Kur studioni një seri të tillë, shpesh bëhet një gabim - shihni Shembullin 6.

Së bashku me fuqitë dhe/ose faktorët, polinomet gjenden shpesh në mbushjen e një serie, kjo nuk e ndryshon situatën - ju duhet të përdorni shenjën e D'Alembert;

Përveç kësaj, në një term të përbashkët të një serie mund të ndodhin njëkohësisht një shkallë dhe një faktorial; mund të ketë dy faktorë, dy shkallë, është e rëndësishme që të ketë të paktën diçka nga pikat e konsideruara - dhe pikërisht ky është parakushti për përdorimin e shenjës së d'Alembert.

Shenja e D'Alembert: Le të shqyrtojmë seritë e numrave pozitivë. Nëse ka një kufi në raportin e anëtarit pasardhës me atë të mëparshëm: atëherë: a) Rendit konvergondivergonshenja nuk jep përgjigje. Duhet të përdorni një shenjë tjetër. Më shpesh, një fitohet në rastin kur përpiqen të aplikojnë testin D'Alembert ku është e nevojshme të përdoret testi i krahasimit kufizues.

Për ata që ende kanë probleme me kufijtë ose keqkuptimet e kufijve, referojuni mësimit Limitet. Shembuj zgjidhjesh. Pa një kuptim të kufirit dhe aftësisë për të zbuluar pasigurinë, për fat të keq, nuk mund të përparohet më tej.

Shenja e radikalit Cauchy

Augustin Louis Cauchy është një matematikan francez edhe më i famshëm. Çdo student i inxhinierisë mund t'ju tregojë biografinë e Cauchy. Në ngjyrat më piktoreske. Nuk është rastësi që ky emër është gdhendur në katin e parë të Kullës Eifel.

Testi i konvergjencës së Cauchy për seritë e numrave pozitivë është disi i ngjashëm me testin e D'Alembert të sapo diskutuar.

Shenja e radikalit Cauchy: Le të shqyrtojmë seritë e numrave pozitivë. Nëse ka një limit:, atëherë: a) Rendit konvergon. Në veçanti, seria konvergon në . b) Rendit divergon. Në veçanti, seria ndryshon në . c) Kur shenja nuk jep përgjigje. Duhet të përdorni një shenjë tjetër. Është interesante të theksohet se nëse testi i Cauchy-t nuk na jep një përgjigje për pyetjen e konvergjencës së një serie, atëherë as testi i D'Alembert nuk do të na japë përgjigje. Por nëse testi i d'Alembert nuk jep një përgjigje, atëherë testi i Cauchy mund të "funksionojë". Kjo do të thotë, shenja Cauchy është në këtë kuptim një shenjë më e fortë.

Kur duhet të përdorni shenjën radikale Cauchy? Testi radikal Cauchy zakonisht përdoret në rastet kur termi i zakonshëm i serisë PLOTËSISHTështë në shkallë në varësi të "en". Ose kur rrënja "e mirë" nxirret nga një anëtar i përbashkët i serisë. Ka edhe raste ekzotike, por ne nuk do të shqetësohemi për to.

Shenjat e konvergjencës së serive.
Shenja e D'Alembert. Shenjat e Cauchy

Puna, puna - dhe mirëkuptimi do të vijë më vonë
J.L. d'Alembert

Urime të gjithëve fillimin e vitit shkollor! Sot është 1 shtatori, dhe për nder të festës, vendosa t'i prezantoj lexuesit me atë që keni pritur me padurim dhe të etur të dini për një kohë të gjatë - shenjat e konvergjencës së serive numerike pozitive. Festa e Parë e Shtatorit dhe urimet e mia janë gjithmonë të rëndësishme, nuk ka problem nëse në të vërtetë është verë jashtë, tani po rimerrni provimin për herë të tretë, studioni nëse e keni vizituar këtë faqe!

Për ata që sapo kanë filluar të studiojnë seritë, ju rekomandoj që së pari të lexoni artikullin Seritë e numrave për dummies. Në fakt, kjo karrocë është një vazhdimësi e banketit. Pra, sot në mësim do të shikojmë shembuj dhe zgjidhje për temat:

Një nga shenjat e zakonshme të krahasimit që gjendet në shembuj praktikë është shenja D'Alembert. Shenjat e Cauchy janë më pak të zakonshme, por edhe shumë të njohura. Si gjithmonë, do të përpiqem ta paraqes materialin thjesht, të kapshëm dhe të kuptueshëm. Tema nuk është më e vështira, dhe të gjitha detyrat janë në një farë mase standarde.

Testi i konvergjencës së D'Alembert

Para se të formulojmë vetë shenjën, le të shqyrtojmë një pyetje të rëndësishme:
Kur duhet përdorur testi i konvergjencës së D'Alembert?

1) Emëruesi përmban një polinom.
2) Polinomet janë edhe në numërues edhe në emërues.
3) Një ose të dy polinomet mund të jenë nën rrënjë.
4) Sigurisht, mund të ketë më shumë polinome dhe rrënjë.

Parakushtet kryesore për aplikimin e testit të d'Alembert janë si më poshtë:

1) Termi i zakonshëm i serisë ("mbushja" e serisë) përfshin një numër në një shkallë, për shembull, , , etj. Për më tepër, nuk ka fare rëndësi se ku ndodhet kjo gjë, në numërues apo në emërues - ajo që ka rëndësi është se ajo është e pranishme atje.

2) Termi i përbashkët i serisë përfshin faktorialin. Kryqëzuam shpatat me faktorialet në mësimin Sekuenca e numrave dhe kufiri i tij. Sidoqoftë, nuk do të dëmtojë të shtrini përsëri mbulesën e tavolinës së montuar vetë:

…

…

! Kur përdorim testin e d'Alembert, do të duhet të përshkruajmë në detaje faktorialin. Ashtu si në paragrafin e mëparshëm, faktoriali mund të vendoset në krye ose në fund të fraksionit.

Së bashku me fuqitë dhe/ose faktorët, polinomet gjenden shpesh në mbushjen e një serie, kjo nuk e ndryshon situatën - ju duhet të përdorni shenjën e D'Alembert;

Shenja e D'Alembert: Le të shqyrtojmë seritë e numrave pozitivë. Nëse ka një kufi në raportin e termit pasues me atë të mëparshëm: , atëherë:
a) Kur rresht konvergon
b) Kur rresht divergon
c) Kur shenja nuk jep përgjigje. Duhet të përdorni një shenjë tjetër. Më shpesh, një fitohet në rastin kur përpiqen të aplikojnë testin D'Alembert ku është e nevojshme të përdoret testi i krahasimit kufizues.

Dhe tani shembujt e shumëpritur.

Shembulli 1

Ne e shohim se në termin e përgjithshëm të serisë kemi , dhe ky është një parakusht i sigurt për të përdorur testin e d'Alembert. Së pari, zgjidhja e plotë dhe modeli i mostrës, komentet më poshtë.

Ne përdorim shenjën e d'Alembert:

konvergon.

(1) Përpilojmë raportin e anëtarit të radhës të serisë me atë të mëparshëm: . Nga kushti shohim që termi i përgjithshëm i serisë është . Për të marrë anëtarin tjetër të serisë është e nevojshme në vend të zëvendësimit: .
Nëse keni përvojë me zgjidhjen, mund ta kaloni këtë hap.
(3) Hapni kllapat në numërues. Në emërues i heqim katërt nga fuqia.
(4) Zvogëloni me . Marrim konstanten përtej kufirit. Në numërues paraqesim terma të ngjashëm në kllapa.
(5) Pasiguria eliminohet në mënyrën standarde - duke pjesëtuar numëruesin dhe emëruesin me "en" në fuqinë më të lartë.
(6) Ne i ndajmë numëruesit sipas termit sipas termit dhe tregojmë termat që priren në zero.
(7) Ne thjeshtojmë përgjigjen dhe vërejmë se me përfundimin se, sipas testit të D’Alembert, seria në studim konvergjon.

Në shembullin e shqyrtuar, në termin e përgjithshëm të serisë kemi hasur në një polinom të shkallës së 2-të. Çfarë duhet të bëni nëse ka një polinom të shkallës 3, 4 ose më të lartë? Fakti është se nëse jepet një polinom i një shkalle më të lartë, atëherë do të shfaqen vështirësi me hapjen e kllapave. Në këtë rast, mund të përdorni metodën e zgjidhjes "turbo".

Shembulli 2

Le të marrim një seri të ngjashme dhe ta shqyrtojmë atë për konvergjencë

Së pari zgjidhja e plotë, pastaj komentet:

Ne përdorim shenjën e d'Alembert:

Kështu, seria në studim konvergon.

(1) Ne krijojmë relacionin .
(2) Ne heqim qafe thyesën katërkatëshe.
(3) Merrni parasysh shprehjen në numërues dhe shprehja në emërues. Shohim që në numërues duhet të hapim kllapat dhe t'i ngremë në fuqinë e katërt: , gjë që absolutisht nuk duam ta bëjmë. Dhe për ata që nuk janë të njohur me binomin e Njutonit, kjo detyrë do të jetë edhe më e vështirë. Le të analizojmë shkallët më të larta: nëse hapim kllapat në krye , atëherë do të marrim një diplomë të lartë. Më poshtë kemi të njëjtën diplomë të lartë: . Për analogji me shembullin e mëparshëm, është e qartë se kur pjesëtojmë termin numërues dhe emërues me term, përfundojmë me një në kufi. Ose, siç thonë matematikanët, polinomet Dhe - e njëjta renditje e rritjes. Kështu, është mjaft e mundur të përvijohet lidhja me një laps të thjeshtë dhe menjëherë tregoni se kjo gjë po priret për një. Ne trajtojmë çiftin e dytë të polinomeve në të njëjtën mënyrë: dhe , edhe ata e njëjta renditje e rritjes, dhe raporti i tyre priret drejt unitetit.

Në fakt, një "hak" i tillë mund të ishte nxjerrë në shembullin nr. 1, por për një polinom të shkallës së dytë, një zgjidhje e tillë ende duket disi e padenjë. Personalisht, unë bëj këtë: nëse ka një polinom (ose polinom) të shkallës së parë ose të dytë, përdor metodën "e gjatë" për zgjidhjen e Shembullit 1. Nëse has në një polinom të shkallës së tretë ose më të lartë, përdor Metoda "turbo" e ngjashme me shembullin 2.

Shembulli 3

Shqyrtoni serinë për konvergjencë

Le të shohim shembuj tipikë me faktorialë:

Shembulli 4

Shqyrtoni serinë për konvergjencë

Termi i përbashkët i serisë përfshin si shkallën ashtu edhe faktorialin. Është e qartë si dita se këtu duhet të përdoret shenja e d'Alembert. Le të vendosim.

Kështu, seria në studim divergon.

(1) Ne krijojmë relacionin . E përsërisim përsëri. Sipas kushtit, termi i zakonshëm i serisë është: . Për të marrë mandatin e ardhshëm në seri, në vend të kësaj ju duhet të zëvendësoni, Kështu: .
(2) Ne heqim qafe thyesën katërkatëshe.
(3) Shkëputni shtatë nga shkalla. Ne i përshkruajmë faktorët në detaje. Si ta bëni këtë - shihni fillimin e mësimit ose artikullin mbi sekuencat e numrave.
(4) Ne presim gjithçka që mund të pritet.
(5) E lëvizim konstanten përtej shenjës kufitare. Hapni kllapat në numërues.
(6) Ne eliminojmë pasigurinë në mënyrën standarde - duke e ndarë numëruesin dhe emëruesin me "en" në fuqinë më të lartë.

Shembulli 5

Shqyrtoni serinë për konvergjencë

Zgjidhja e plotë dhe modelimi i mostrës në fund të mësimit

Shembulli 6

Shqyrtoni serinë për konvergjencë

Ndonjëherë ka seri që përmbajnë një “zinxhir” faktorësh në mbushjen e tyre, ne nuk e kemi marrë ende në konsideratë këtë lloj serie. Si të studiojmë një seri me një "zinxhir" faktorësh? Përdorni shenjën e d'Alembert. Por së pari, për të kuptuar se çfarë po ndodh, le të përshkruajmë serinë në detaje:

Nga zgjerimi shohim se çdo anëtar tjetër i serisë ka një faktor shtesë të shtuar në emërues, pra, nëse anëtari i përbashkët i serisë , pastaj anëtari tjetër i serisë:
. Këtu ata shpesh bëjnë gabim automatikisht, duke shkruar zyrtarisht sipas algoritmit që

Një zgjidhje mostër mund të duket si kjo:

Ne përdorim shenjën e d'Alembert:

Kështu, seria në studim konvergon.

Shenja e radikalit Cauchy

Testi i konvergjencës së Cauchy për seritë e numrave pozitivë është disi i ngjashëm me testin e D'Alembert të sapo diskutuar.

Shenja e radikalit Cauchy: Le të shqyrtojmë seritë e numrave pozitivë. Nëse ka një kufi: , atëherë:
a) Kur rresht konvergon. Në veçanti, seria konvergon në .
b) Kur rresht divergon. Në veçanti, seria ndryshon në .
c) Kur shenja nuk jep përgjigje. Duhet të përdorni një shenjë tjetër. Është interesante të theksohet se nëse testi i Cauchy-t nuk na jep një përgjigje për pyetjen e konvergjencës së një serie, atëherë as testi i D'Alembert nuk do të japë përgjigje. Por nëse testi i d'Alembert nuk jep një përgjigje, atëherë testi i Cauchy mund të "funksionojë". Kjo do të thotë, shenja Cauchy është në këtë kuptim një shenjë më e fortë.

Shembulli 7

Shqyrtoni serinë për konvergjencë

Ne shohim se termi i përgjithshëm i serisë është plotësisht nën një fuqi në varësi të , që do të thotë se duhet të përdorim testin radikal Cauchy:

Kështu, seria në studim divergon.

(1) Ne formulojmë termin e përbashkët të serisë nën rrënjë.
(2) E rishkruajmë të njëjtën gjë, vetëm pa rrënjë, duke përdorur vetinë e shkallëve.
(3) Në tregues, ne e ndajmë numëruesin me emërues termin sipas termit, duke treguar se
(4) Si rezultat, kemi pasiguri. Këtu mund të shkoni në rrugën e gjatë: kubike, kubike, pastaj ndani numëruesin dhe emëruesin me "en" në fuqinë më të lartë. Por në këtë rast, ekziston një zgjidhje më efektive: ju mund të ndani termin numërues dhe emërues me term direkt nën fuqinë konstante. Për të eliminuar pasigurinë, ndani numëruesin dhe emëruesin me (fuqinë më të lartë).
(5) Ne në fakt kryejmë ndarje term-pas-term dhe tregojmë termat që priren në zero.
(6) Ne sjellim në mendje përgjigjen, shënojmë atë që kemi dhe konkludojmë se seria ndryshon.

Këtu është një shembull më i thjeshtë që ju ta zgjidhni vetë:

Shembulli 8

Shqyrtoni serinë për konvergjencë

Dhe disa shembuj më tipikë.

Zgjidhja e plotë dhe modelimi i mostrës në fund të mësimit

Shembulli 9

Shqyrtoni serinë për konvergjencë
Ne përdorim testin radikal Cauchy:

Kështu, seria në studim konvergon.

(1) Vendosni termin e përbashkët të serisë nën rrënjë.
(2) Ne rishkruajmë të njëjtën gjë, por pa rrënjë, ndërsa hapim kllapat duke përdorur formulën e shkurtuar të shumëzimit: .
(3) Në tregues, ne e ndajmë numëruesin me emërues termin me term dhe tregojmë se .
(4) Një pasiguri e formës . Këtu mund ta ndani drejtpërdrejt numëruesin me emëruesin në kllapa me "en" në shkallën më të lartë. Diçka të ngjashme e kemi hasur gjatë studimit kufiri i dytë i mrekullueshëm. Por këtu situata është ndryshe. Nëse koeficientët në fuqi më të larta ishin identike, për shembull: , atëherë mashtrimi me ndarjen term-pas-term nuk do të funksiononte më dhe do të ishte e nevojshme të përdoret kufiri i dytë i shquar. Por ne kemi këta koeficientë të ndryshme(5 dhe 6), prandaj është e mundur (dhe e nevojshme) të ndahet termi me term (nga rruga, përkundrazi - kufiri i dytë i shquar për të ndryshme koeficientët në shkallët më të larta nuk funksionojnë më). Nëse ju kujtohet, këto hollësi u diskutuan në paragrafin e fundit të artikullit Metodat për zgjidhjen e kufijve.
(5) Ne në fakt kryejmë ndarje term-pas-term dhe tregojmë se cilët terma priren në zero.
(6) Pasiguria është eliminuar, na mbetet kufiri më i thjeshtë: . Pse në pafundësisht i madh priret në zero? Sepse baza e shkallës plotëson pabarazinë. Nëse dikush ka dyshime për drejtësinë e kufirit , atëherë nuk do të jem dembel, do të marr një kalkulator:
Nese atehere
Nese atehere
Nese atehere
Nese atehere
Nese atehere
… etj. deri në pafundësi - domethënë në kufi:

Pikërisht ashtu progresion gjeometrik pafundësisht në rënie në gishtat tuaj =)

(7) Ne tregojmë se arrijmë në përfundimin se seria konvergon.

Shembulli 10

Shqyrtoni serinë për konvergjencë

Ky është një shembull që ju duhet ta zgjidhni vetë.

Ndonjëherë një shembull provokues ofrohet për zgjidhje, për shembull:. Këtu në eksponent jo "en", vetëm një konstante. Këtu ju duhet të vendosni numëruesin dhe emëruesin në katror (ju merrni polinome), dhe më pas ndiqni algoritmin nga artikulli Rreshtat për dummies. Në një shembull të tillë, ose testi i nevojshëm për konvergjencën e serisë ose testi kufizues për krahasim duhet të funksionojë.

Testi integral Cauchy

Ose thjesht një shenjë integrale. Do të zhgënjej ata që nuk e kuptuan mirë materialin e kursit të parë. Për të aplikuar testin integral Cauchy, duhet të jeni pak a shumë të sigurt në gjetjen e derivateve, integraleve dhe gjithashtu të keni aftësinë e llogaritjes. integral jo i duhur lloji i parë.

Në tekstet e analizës matematikore test integral Cauchy dhënë matematikisht në mënyrë rigoroze, por shumë konfuze, kështu që unë do ta formuloj shenjën jo shumë rreptësisht, por qartë:

Le të shqyrtojmë seritë e numrave pozitivë. Nëse ka një integral të papërshtatshëm, atëherë seria konvergjon ose divergjent së bashku me këtë integral.

Dhe vetëm disa shembuj për sqarim:

Shembulli 11

Shqyrtoni serinë për konvergjencë

Pothuajse një klasik. Logaritëm natyral dhe disa budallallëqe.

Parakushti kryesor për përdorimin e testit integral Cauchy ështëështë fakti që termi i përgjithshëm i serisë përmban faktorë të ngjashëm me një funksion të caktuar dhe derivatin e tij. Nga tema Derivat ju ndoshta mbani mend gjënë më të thjeshtë të tabelës: , dhe ne kemi vetëm një rast të tillë kanonik.

Ky artikull mbledh dhe strukturon informacionin e nevojshëm për të zgjidhur pothuajse çdo shembull në temën e serive të numrave, nga gjetja e shumës së një serie deri te ekzaminimi i saj për konvergjencë.

Rishikimi i artikullit.

Le të fillojmë me përkufizimet e serive pozitive dhe të alternuara dhe konceptin e konvergjencës. Më pas, ne do të shqyrtojmë seritë standarde, të tilla si seritë harmonike, seritë harmonike të përgjithësuara, dhe të kujtojmë formulën për gjetjen e shumës së një progresion gjeometrik pafundësisht në rënie. Pas kësaj do të kalojmë te vetitë e serive konvergjente, do të ndalemi në kushtin e nevojshëm për konvergjencën e serisë dhe do të vendosim kritere të mjaftueshme për konvergjencën e serisë. Ne do ta hollojmë teorinë me zgjidhje për shembuj tipikë me shpjegime të hollësishme.

Navigimi i faqes.

Përkufizimet dhe konceptet bazë.

Le të kemi një sekuencë numrash ku .

Këtu është një shembull i një sekuence numrash: .

Seria e numraveështë shuma e termave të një sekuence numerike të formës .

Si shembull i një serie numrash, mund të japim shumën e një progresion gjeometrik pafundësisht në rënie me emërues q = -0.5: .

I thirrur anëtar i përbashkët i serisë së numrave ose anëtari i k-të i serisë.

Për shembullin e mëparshëm, termi i përgjithshëm i serisë së numrave ka formën .

Shuma e pjesshme e një serie numrashështë një shumë e formës , ku n është një numër natyror. quhet edhe shuma e pjesshme e n-të e një serie numrash.

Për shembull, shuma e katërt e pjesshme e serisë ka .

Shuma të pjesshme formojnë një sekuencë të pafundme shumash të pjesshme të një serie numrash.

Për serinë tonë, shuma e pjesshme e n-të gjendet duke përdorur formulën për shumën e n termave të parë të një progresion gjeometrik , domethënë, do të kemi sekuencën e mëposhtme të shumave të pjesshme: .

Seria e numrave quhet konvergjente, nëse ka një kufi të fundëm për sekuencën e shumave të pjesshme. Nëse kufiri i sekuencës së shumave të pjesshme të një serie numrash nuk ekziston ose është i pafund, atëherë seria quhet divergjent.

Shuma e një serie numrash konvergjente quhet kufiri i sekuencës së shumave të pjesshme të tij, d.m.th. .

Në shembullin tonë, pra, seria konvergon dhe shuma e tij është e barabartë me gjashtëmbëdhjetë të tretat: .

Një shembull i një serie divergjente është shuma e një progresion gjeometrik me një emërues më të madh se një: . Shuma e n-të e pjesshme përcaktohet nga shprehja , dhe kufiri i shumave të pjesshme është i pafund: .

Një shembull tjetër i një serie numrash divergjente është shuma e formës . Në këtë rast, shuma e n-të e pjesshme mund të llogaritet si . Kufiri i shumës së pjesshme është i pafund .

Shuma e formularit thirrur seri numrash harmonikë.

Shuma e formularit , ku s është një numër real, quhet të përgjithësuara nga seritë e numrave harmonikë.

Përkufizimet e mësipërme janë të mjaftueshme për të justifikuar pohimet e mëposhtme të përdorura shumë shpesh, ne ju rekomandojmë t'i mbani mend ato.

SERIA HARMONIKE ËSHTË DIVERGJENTE.

Le të vërtetojmë divergjencën e serisë harmonike.

Le të supozojmë se seria konvergon. Pastaj ka një kufi të fundëm për shumat e tij të pjesshme. Në këtë rast, ne mund të shkruajmë dhe , që na çon në barazi .

Ne anen tjeter,

Pabarazitë e mëposhtme janë pa dyshim. Kështu,. Pabarazia që rezulton na tregon se barazia nuk mund të arrihet, gjë që bie ndesh me supozimin tonë për konvergjencën e serisë harmonike.

Përfundim: seria harmonike ndryshon.

SHUMA E PROGRESIONIT GJEOMETRIK TË LLOJIT ME Emërues q ËSHTË SERIA NUMERIKE KONVERGJUESE IF , DHE SERIA DIVERGJUESE PËR .

Le ta vërtetojmë.

Ne e dimë se shuma e n termave të parë të një progresion gjeometrik gjendet me formulën .

Kur është e drejtë

që tregon konvergjencën e serisë së numrave.

Për q = 1 kemi serinë e numrave . Shumat e saj të pjesshme gjenden si , dhe kufiri i shumave të pjesshme është i pafund , që tregon divergjencën e serisë në këtë rast.

Nëse q = -1, atëherë seria e numrave do të marrë formën . Shumat e pjesshme marrin vlerë për n tek, dhe për n çift. Nga kjo mund të konkludojmë se nuk ka kufi për shumat e pjesshme dhe seritë divergjentojnë.

Kur është e drejtë

që tregon divergjencën e serisë së numrave.

PËRGJITHSHËM, SERIA HARMONIKE KONVERGJON NË s > 1 DHE DIVERGJON NË .

Dëshmi.

Për s = 1 marrim një seri harmonike dhe më lart vendosëm divergjencën e saj.

Në s pabarazia vlen për të gjitha k natyrore. Për shkak të divergjencës së serisë harmonike, mund të argumentohet se sekuenca e shumave të pjesshme të saj është e pakufizuar (pasi nuk ka kufi të fundëm). Atëherë sekuenca e shumave të pjesshme të një serie numrash është edhe më e pakufizuar (çdo anëtar i kësaj serie është më i madh se anëtari korrespondues i serisë harmonike, prandaj, seria harmonike e përgjithësuar ndryshon si s);

Mbetet për të vërtetuar konvergjencën e serisë për s > 1.

Le të shkruajmë ndryshimin:

Natyrisht, atëherë

Le të shkruajmë pabarazinë që rezulton për n = 2, 4, 8, 16, ...

Duke përdorur këto rezultate, mund të bëni sa më poshtë me serinë origjinale të numrave:

Shprehje është shuma e një progresion gjeometrik, emëruesi i të cilit është . Meqenëse po shqyrtojmë rastin për s > 1, atëherë. Kjo është arsyeja pse
. Kështu, sekuenca e shumave të pjesshme të një serie harmonike të përgjithësuar për s > 1 është në rritje dhe në të njëjtën kohë e kufizuar nga lart me vlerën , prandaj ka një kufi, i cili tregon konvergjencën e serisë. Prova është e plotë.

Seria e numrave quhet shenjë pozitive, nëse të gjitha kushtet e tij janë pozitive, d.m.th. .

Seria e numrave quhet sinjalizues, nëse shenjat e anëtarëve fqinjë të tij janë të ndryshme. Një seri numrash alternative mund të shkruhet si ose , Ku .

Seria e numrave quhet shenjë e alternuar, nëse përmban një numër të pafund termash pozitivë dhe negativë.

Një seri numrash alternative është një rast i veçantë i një serie numrash alternative.

Rreshtat

janë përkatësisht pozitive, të alternuara dhe të alternuara.

Për një seri alternative ekziston koncepti i konvergjencës absolute dhe të kushtëzuar.

absolutisht konvergjente, nëse një seri vlerash absolute të anëtarëve të saj konvergjon, domethënë, një seri numrash pozitive konvergjon.

Për shembull, seritë e numrave Dhe absolutisht konvergojnë, pasi seria konvergon , që është shuma e një progresion gjeometrik pafundësisht në rënie.

Një seri e alternuar quhet konvergjent me kusht, nëse seria divergon dhe seria konvergjon.

Një shembull i një serie numrash konvergjente me kusht është seria . Seria e numrave , i përbërë nga vlerat absolute të termave të serisë origjinale, divergjente, pasi është harmonike. Në të njëjtën kohë, seria origjinale është konvergjente, e cila krijohet lehtësisht duke përdorur . Kështu, shenja numerike është një seri e alternuar konvergjent me kusht.

Vetitë e serive konvergjente të numrave.

Shembull.

Vërtetoni konvergjencën e serisë së numrave.

Zgjidhje.

Le ta shkruajmë serinë në një formë tjetër . Seria e numrave konvergon, pasi seria harmonike e përgjithësuar është konvergjente për s > 1, dhe për shkak të vetive të dytë të serisë së numrave konvergjent, seria me koeficientin numerik gjithashtu do të konvergojë.

Shembull.

A konvergon seria e numrave?

Zgjidhje.

Le të transformojmë serinë origjinale: . Kështu, ne kemi marrë shumën e dy serive numrash dhe , dhe secila prej tyre konvergon (shih shembullin e mëparshëm). Rrjedhimisht, në sajë të vetive të tretë të serisë së numrave konvergjent, seria origjinale gjithashtu konvergon.

Shembull.

Vërtetoni konvergjencën e një serie numrash dhe llogaritni shumën e tij.

Zgjidhje.

Kjo seri numrash mund të përfaqësohet si diferenca e dy serive:

Secila prej këtyre serive përfaqëson shumën e një progresion gjeometrik pafundësisht në rënie dhe për këtë arsye është konvergjente. Vetia e tretë e serive konvergjente na lejon të pohojmë se seria e numrave origjinale konvergon. Le të llogarisim shumën e tij.

Termi i parë i serisë është një, dhe emëruesi i progresionit gjeometrik përkatës është i barabartë me 0.5, prandaj, .

Termi i parë i serisë është 3, dhe emëruesi i progresionit gjeometrik pafundësisht në rënie është 1/3, pra .

Le të përdorim rezultatet e marra për të gjetur shumën e serisë së numrave origjinal:

Një kusht i domosdoshëm për konvergjencën e një serie.

Nëse një seri numrash konvergjon, atëherë kufiri i anëtarit të saj k është i barabartë me zero: .

Kur shqyrtoni çdo seri numrash për konvergjencë, fillimisht duhet të kontrolloni nëse është plotësuar kushti i nevojshëm i konvergjencës. Dështimi për të përmbushur këtë kusht tregon divergjencën e serisë së numrave, domethënë nëse , atëherë seria divergjente.

Nga ana tjetër, duhet të kuptoni se ky kusht nuk është i mjaftueshëm. Kjo do të thotë, përmbushja e barazisë nuk tregon konvergjencën e serisë së numrave. Për shembull, për një seri harmonike plotësohet kushti i nevojshëm për konvergjencë dhe seria divergjente.

Shembull.

Shqyrtoni një seri numrash për konvergjencë.

Zgjidhje.

Le të kontrollojmë kushtin e nevojshëm për konvergjencën e një serie numrash:

Kufiri Termi n i serisë së numrave nuk është i barabartë me zero, prandaj, seria divergon.

Shenja të mjaftueshme të konvergjencës së një serie pozitive.

Kur përdorni veçori të mjaftueshme për të studiuar seritë e numrave për konvergjencë, ju vazhdimisht hasni probleme, ndaj ju rekomandojmë t'i drejtoheni këtij seksioni nëse keni ndonjë vështirësi.

Kusht i domosdoshëm dhe i mjaftueshëm për konvergjencën e një serie numrash pozitive.

Për konvergjencën e një serie numrash pozitive është e nevojshme dhe e mjaftueshme që radha e shumave të pjesshme të saj të jetë e kufizuar.

Le të fillojmë me shenjat e krahasimit të serive. Thelbi i tyre qëndron në krahasimin e serive numerike në studim me një seri konvergjenca ose divergjenca e së cilës dihet.

Shenjat e para, të dyta dhe të treta të krahasimit.

Shenja e parë e krahasimit të serive.

Le të jenë dy seri numrash pozitive dhe pabarazia vlen për të gjitha k = 1, 2, 3, ... Pastaj konvergjenca e serisë nënkupton konvergjencën, dhe divergjenca e serisë nënkupton divergjencën e .

Kriteri i parë i krahasimit përdoret shumë shpesh dhe është një mjet shumë i fuqishëm për studimin e serive të numrave për konvergjencë. Problemi kryesor është zgjedhja e një serie të përshtatshme për krahasim. Një seri për krahasim zakonisht (por jo gjithmonë) zgjidhet në mënyrë që eksponenti i termit k të tij të jetë i barabartë me diferencën midis eksponentëve të numëruesit dhe emëruesit të termit k të serisë numerike në studim. Për shembull, le të jetë diferenca midis eksponentëve të numëruesit dhe emëruesit të barabartë me 2 – 3 = -1, prandaj, për krahasim, zgjedhim një seri me termin k-të, domethënë një seri harmonike. Le të shohim disa shembuj.

Shembull.

Vendosni konvergjencën ose divergjencën e një serie.

Zgjidhje.

Meqenëse kufiri i termit të përgjithshëm të serisë është i barabartë me zero, atëherë kushti i nevojshëm për konvergjencën e serisë është i plotësuar.

Është e lehtë të shihet se pabarazia është e vërtetë për të gjitha k natyrore. Ne e dimë se seria harmonike divergjente, prandaj, sipas kriterit të parë të krahasimit, seria origjinale është gjithashtu divergjente.

Shembull.

Shqyrtoni seritë e numrave për konvergjencë.

Zgjidhje.

Kushti i nevojshëm për konvergjencën e një serie numrash plotësohet, pasi . Pabarazia është e dukshme për çdo vlerë natyrore të k. Seria konvergon, pasi seria harmonike e përgjithësuar është konvergjente për s > 1. Kështu, shenja e parë e krahasimit të serive na lejon të deklarojmë konvergjencën e serisë së numrave origjinal.

Shembull.

Përcaktoni konvergjencën ose divergjencën e një serie numrash.

Zgjidhje.

, pra, plotësohet kushti i nevojshëm për konvergjencën e serisë së numrave. Cilin rresht duhet të zgjedh për krahasim? Një seri numrash sugjeron vetveten, dhe për të vendosur për s, ne shqyrtojmë me kujdes sekuencën e numrave. Termat e një sekuence numrash rriten drejt pafundësisë. Kështu, duke u nisur nga një numër N (përkatësisht, nga N = 1619), termat e kësaj sekuence do të jenë më të mëdha se 2. Duke u nisur nga ky numër N, pabarazia është e vërtetë. Një seri numrash konvergjon për shkak të vetive të parë të serive konvergjente, pasi ajo merret nga një seri konvergjente duke hedhur poshtë termat e parë N – 1. Kështu, sipas kriterit të parë të krahasimit, seria është konvergjente, dhe për shkak të vetive të parë të serive konvergjente të numrave, seria do të konvergojë gjithashtu.

Shenja e dytë e krahasimit.

Le të jetë dhe seri numrash pozitive. Nëse , atëherë konvergjenca e serisë nënkupton konvergjencën e . Nëse , atëherë divergjenca e serisë së numrave nënkupton divergjencën e .

Pasoja.

Nëse dhe , atëherë konvergjenca e një serie nënkupton konvergjencën e tjetrës, dhe divergjenca nënkupton divergjencë.

Ne shqyrtojmë seritë për konvergjencë duke përdorur kriterin e dytë të krahasimit. Si seri marrim një seri konvergjente. Le të gjejmë kufirin e raportit të kth termave të serisë së numrave:

Kështu, sipas kriterit të dytë të krahasimit, nga konvergjenca e një serie numrash, rrjedh konvergjenca e serisë origjinale.

Shembull.

Shqyrtoni konvergjencën e një serie numrash.

Zgjidhje.

Le të kontrollojmë kushtin e nevojshëm për konvergjencën e serisë . Kushti eshte plotesuar. Për të zbatuar kriterin e dytë të krahasimit, le të marrim serinë harmonike. Le të gjejmë kufirin e raportit të kth termave:

Për rrjedhojë, nga divergjenca e serisë harmonike, rrjedh divergjenca e serisë origjinale sipas kriterit të dytë të krahasimit.

Për informacion, ne paraqesim kriterin e tretë për krahasimin e serive.

Shenja e tretë e krahasimit.

Le të jetë dhe seri numrash pozitive. Nëse kushti plotësohet nga një numër N, atëherë konvergjenca e serisë nënkupton konvergjencë, dhe divergjenca e serisë nënkupton divergjencë.

Shenja e D'Alembert.

Komentoni.

Testi i D'Alembert është i vlefshëm nëse kufiri është i pafund, domethënë nëse , atëherë seria konvergjon nëse , atëherë seria ndryshon.

Nëse , atëherë testi i d'Alembert nuk jep informacion në lidhje me konvergjencën ose divergjencën e serisë dhe kërkohet kërkime shtesë.

Shembull.

Shqyrtoni një seri numrash për konvergjencë duke përdorur kriterin e D'Alembert.

Zgjidhje.

Le të kontrollojmë përmbushjen e kushtit të nevojshëm për konvergjencën e një serie numrash, të llogarisim kufirin duke përdorur:

Kushti eshte plotesuar.

Le të përdorim shenjën e d'Alembert:

Kështu, seria konvergon.

Shenja Radikale Cauchy.

Le të jetë një seri numrash pozitive. Nëse , atëherë seria e numrave konvergon, nëse , atëherë seria divergjon.

Komentoni.

Testi radikal i Cauchy-t është i vlefshëm nëse kufiri është i pafund, domethënë nëse , atëherë seria konvergjon nëse , atëherë seria ndryshon.

Nëse , atëherë testi radikal Cauchy nuk jep informacion në lidhje me konvergjencën ose divergjencën e serisë dhe kërkohet kërkime shtesë.

Zakonisht është mjaft e lehtë të dallohen rastet kur është më mirë të përdoret testi radikal Cauchy. Një rast tipik është kur termi i përgjithshëm i një serie numrash është një shprehje e fuqisë eksponenciale. Le të shohim disa shembuj.

Shembull.

Shqyrtoni një seri numrash pozitive për konvergjencë duke përdorur testin radikal Cauchy.

Zgjidhje.

. Duke përdorur testin radikal Cauchy ne marrim .

Prandaj, seria konvergon.

Shembull.

A konvergon seria e numrave? .

Zgjidhje.

Le të përdorim testin radikal Cauchy , pra, seria e numrave konvergon.

Testi integral Cauchy.

Le të jetë një seri numrash pozitive. Le të krijojmë një funksion të argumentit të vazhdueshëm y = f(x) të ngjashëm me funksionin. Le të jetë funksioni y = f(x) pozitiv, i vazhdueshëm dhe në rënie në intervalin , ku ). Pastaj në rast konvergjence integral jo i duhur seria e numrave në studim konvergjon. Nëse integrali i pahijshëm ndryshon, atëherë edhe seria origjinale ndryshon.

Kur kontrolloni uljen e funksionit y = f(x) në një interval, teoria nga seksioni mund të jetë e dobishme për ju.

Shembull.

Shqyrtoni një seri numrash me terma pozitivë për konvergjencë.

Zgjidhje.

Kushti i nevojshëm për konvergjencën e serisë është i plotësuar, pasi . Le të shqyrtojmë funksionin. Është pozitiv, i vazhdueshëm dhe në rënie në interval. Vazhdimësia dhe pozitiviteti i këtij funksioni është pa dyshim, por le të ndalemi pak më në detaje tek rënia. Le të gjejmë derivatin:
. Është negativ në interval, prandaj funksioni zvogëlohet në këtë interval.

Para se të formulojmë vetë shenjën, le të shqyrtojmë një pyetje të rëndësishme:
Kur duhet përdorur testi i konvergjencës së D'Alembert?

Le të fillojmë së pari me një rishikim. Le të kujtojmë rastet kur duhet të përdorni më të njohurit kufiri i krahasimit. Kriteri kufizues për krahasim zbatohet kur në termin e përgjithshëm të serisë:
1) Emëruesi përmban një polinom.
2) Polinomet janë edhe në numërues edhe në emërues.
3) Një ose të dy polinomet mund të jenë nën rrënjë.

Parakushtet kryesore për aplikimin e testit të d'Alembert janë si më poshtë:

1) Termi i zakonshëm i serisë ("mbushja" e serisë) përfshin një numër në një shkallë, për shembull, , etj. Për më tepër, nuk ka fare rëndësi se ku ndodhet kjo gjë, në numërues apo në emërues - ajo që ka rëndësi është se ajo është e pranishme atje.

2) Termi i përbashkët i serisë përfshin faktorialin. Çfarë është faktorial? Asgjë e komplikuar, faktoriali është vetëm një paraqitje e kondensuar e produktit:

…

…

! Kur përdorim testin e d'Alembert, do të duhet të përshkruajmë në detaje faktorialin. Ashtu si në paragrafin e mëparshëm, faktoriali mund të vendoset në krye ose në fund të fraksionit.

Së bashku me fuqitë dhe/ose faktorët, polinomet gjenden shpesh në mbushjen e një serie, kjo nuk e ndryshon situatën - ju duhet të përdorni shenjën e D'Alembert;

Kush ka ende probleme me kufijtë ose keqkuptimet e kufijve, referojuni temës Limitet. Shembuj zgjidhjesh. Pa një kuptim të kufirit dhe aftësisë për të zbuluar pasigurinë, për fat të keq, nuk mund të përparohet më tej. Dhe tani shembujt e shumëpritur.

Shembulli 1
Ne e shohim se në termin e përgjithshëm të serisë kemi , dhe ky është një parakusht i sigurt për të përdorur testin e d'Alembert. Së pari, zgjidhja e plotë dhe modeli i mostrës, komentet më poshtë.

Ne përdorim shenjën e d'Alembert:

konvergon.

(1) Përpilojmë raportin e anëtarit të radhës të serisë me atë të mëparshëm: . Nga kushti shohim që termi i përgjithshëm i serisë është . Për të marrë anëtarin tjetër të serisë është e nevojshme në vend të zëvendësimit: .
(2) Ne heqim qafe thyesën katërkatëshe. Nëse keni përvojë me zgjidhjen, mund ta kaloni këtë hap.
(3) Hapni kllapat në numërues. Në emërues i heqim katërt nga fuqia.
(4) Zvogëloni me . Marrim konstanten përtej kufirit. Në numërues paraqesim terma të ngjashëm në kllapa.
(5) Pasiguria eliminohet në mënyrën standarde - duke pjesëtuar numëruesin dhe emëruesin me "en" në fuqinë më të lartë.
(6) Ne i ndajmë numëruesit sipas termit sipas termit dhe tregojmë termat që priren në zero.
(7) Ne thjeshtojmë përgjigjen dhe vërejmë se me përfundimin se, sipas testit të D’Alembert, seria në studim konvergjon.

Shembulli 2 Le të marrim një seri të ngjashme dhe ta shqyrtojmë atë për konvergjencë
Së pari zgjidhja e plotë, pastaj komentet:

Ne përdorim shenjën e d'Alembert:

Kështu, seria në studim konvergon.

(1) Ne krijojmë relacionin .
(2) Ne heqim qafe thyesën katërkatëshe.
(3) Merrni parasysh shprehjen në numërues dhe shprehja në emërues. Shohim që në numërues duhet të hapim kllapat dhe t'i ngremë në fuqinë e katërt: , gjë që absolutisht nuk duam ta bëjmë. Përveç kësaj, për ata që nuk janë të njohur me binomin e Njutonit, kjo detyrë mund të mos jetë fare e realizueshme. Le të analizojmë shkallët më të larta: nëse hapim kllapat në krye , atëherë do të marrim një diplomë të lartë. Më poshtë kemi të njëjtën diplomë të lartë: . Për analogji me shembullin e mëparshëm, është e qartë se kur pjesëtojmë termin numërues dhe emërues me term, përfundojmë me një në kufi. Ose, siç thonë matematikanët, polinomet Dhe - e njëjta renditje e rritjes. Kështu, është mjaft e mundur të rrethoni raportin me një laps të thjeshtë dhe menjëherë të tregoni se kjo gjë tenton në një. Ne trajtojmë çiftin e dytë të polinomeve në të njëjtën mënyrë: dhe , edhe ata e njëjta renditje e rritjes, dhe raporti i tyre priret drejt unitetit.

Shembulli 3 .

Le të shohim shembuj tipikë me faktorialë:

Shembulli 4 Shqyrtoni serinë për konvergjencë

Termi i përbashkët i serisë përfshin si shkallën ashtu edhe faktorialin. Është e qartë si dita se këtu duhet të përdoret shenja e d'Alembert. Le të vendosim.

Kështu, seria në studim divergon.

(1) Ne krijojmë relacionin . E përsërisim përsëri. Sipas kushtit, termi i zakonshëm i serisë është: . Për të marrë mandatin e ardhshëm në seri, në vend të kësaj ju duhet të zëvendësoni, Kështu: .
(2) Ne heqim qafe thyesën katërkatëshe.
(3) Shkëputni shtatë nga shkalla. Ne i përshkruajmë faktorët në detaje. Si ta bëni këtë - shihni fillimin e mësimit.
(4) Ne presim gjithçka që mund të pritet.
(5) E lëvizim konstanten përtej shenjës kufitare. Hapni kllapat në numërues.
(6) Ne eliminojmë pasigurinë në mënyrën standarde - duke e ndarë numëruesin dhe emëruesin me "en" në fuqinë më të lartë.

Shembulli 5 Shqyrtoni serinë për konvergjencë Zgjidhja e plotë është më poshtë.

Shembulli 6 Shqyrtoni serinë për konvergjencë

Nga zgjerimi shohim se çdo anëtar tjetër i serisë ka një faktor shtesë të shtuar në emërues, prandaj, nëse anëtari i përbashkët i serisë është , atëherë anëtari tjetër i serisë:
. Këtu ata shpesh bëjnë gabim automatikisht, duke shkruar zyrtarisht sipas algoritmit që

Një zgjidhje e përafërt e mostrës mund të duket kështu: Le të përdorim shenjën e D'Alembert:
Kështu, seria në studim konvergon.
SHENJË RADIKALE CAUSY

Testi i konvergjencës së Cauchy për seritë e numrave pozitivë është disi i ngjashëm me testin e D'Alembert të sapo diskutuar.

Shenja e radikalit Cauchy: Le të shqyrtojmë seritë e numrave pozitivë. Nëse ka një kufi: , atëherë:
a) Kur rresht konvergon. Në veçanti, seria konvergon në .
b) Kur rresht divergon. Në veçanti, seria ndryshon në .
c) Kur shenja nuk jep përgjigje. Duhet të përdorni një shenjë tjetër. Është interesante të theksohet se nëse testi i Cauchy-t nuk na jep një përgjigje për pyetjen e konvergjencës së një serie, atëherë as testi i D'Alembert nuk do të na japë përgjigje. Por nëse testi i d'Alembert nuk jep një përgjigje, atëherë testi i Cauchy mund të "funksionojë". Kjo do të thotë, shenja Cauchy është në këtë kuptim një shenjë më e fortë.

Shembulli 7 Shqyrtoni serinë për konvergjencë

Këtu është një shembull më i thjeshtë që ju ta zgjidhni vetë:

Shembulli 8 Shqyrtoni serinë për konvergjencë

Dhe disa shembuj më tipikë.

Zgjidhja e plotë dhe modeli i mostrës janë më poshtë.

Shembulli 9 Shqyrtoni serinë për konvergjencë
Ne përdorim testin radikal Cauchy:

Kështu, seria në studim konvergon.

(1) Vendosni termin e përbashkët të serisë nën rrënjë.
(2) Ne rishkruajmë të njëjtën gjë, por pa rrënjë, ndërsa hapim kllapat duke përdorur formulën e shkurtuar të shumëzimit: .
(3) Në tregues, ne e ndajmë numëruesin me emërues termin me term dhe tregojmë se .
(4) Një pasiguri e formës . Këtu mund ta ndani drejtpërdrejt numëruesin me emëruesin në kllapa me "en" në shkallën më të lartë. Diçka të ngjashme e kemi hasur gjatë studimit kufiri i dytë i mrekullueshëm. Por këtu situata është ndryshe. Nëse koeficientët në fuqi më të larta ishin identike, për shembull: , atëherë mashtrimi me ndarjen term-pas-term nuk do të funksiononte më dhe do të ishte e nevojshme të përdoret kufiri i dytë i shquar. Por ne kemi këta koeficientë të ndryshme(5 dhe 6), prandaj është e mundur (dhe e nevojshme) të ndahet termi me term (nga rruga, përkundrazi - kufiri i dytë i shquar për të ndryshme koeficientët në shkallët më të larta nuk funksionojnë më).
(5) Ne në fakt kryejmë ndarje term-pas-term dhe tregojmë se cilët terma priren në zero.
(6) Pasiguria është eliminuar, kufiri më i thjeshtë mbetet: Pse në pafundësisht i madh priret në zero? Sepse baza e shkallës plotëson pabarazinë. Nëse dikush ka dyshime për drejtësinë e kufirit , atëherë nuk do të jem dembel, do të marr një kalkulator:
Nese atehere
Nese atehere
Nese atehere
Nese atehere
Nese atehere
… etj. deri në pafundësi - domethënë në kufi:
(7) Ne tregojmë se arrijmë në përfundimin se seria konvergon.

Shembulli 10 Shqyrtoni serinë për konvergjencë

Ky është një shembull që ju duhet ta zgjidhni vetë.

Do të zhgënjej ata që nuk e kuptuan mirë materialin e kursit të parë. Për të aplikuar testin integral Cauchy, duhet të jeni pak a shumë të sigurt në gjetjen e derivateve, integraleve dhe gjithashtu të keni aftësinë e llogaritjes. integral jo i duhur lloji i parë. Në tekstet e analizës matematikore, testi integral Cauchy jepet matematikisht në mënyrë strikte, le ta formulojmë testin në një mënyrë shumë primitive, por të kuptueshme. Dhe menjëherë shembuj për sqarim.

Testi integral Cauchy: Le të shqyrtojmë seritë e numrave pozitivë. Kjo seri konvergjon apo ndryshon?

Shembulli 11 Shqyrtoni serinë për konvergjencë

Pothuajse një klasik. Logaritëm natyral dhe disa budallallëqe.

Parakushti kryesor për përdorimin e testit integral Cauchy ështëështë fakti se në termin e përgjithshëm të serisë ekziston një funksion i caktuar dhe derivati i tij. Nga tema Derivat ju ndoshta mbani mend gjënë më të thjeshtë të tabelës: , dhe ne kemi vetëm një rast të tillë kanonik.

Si të përdorim atributin integral? Së pari, marrim ikonën integrale dhe rishkruajmë kufijtë e sipërm dhe të poshtëm nga "numëruesi" i serisë: . Më pas nën integralin e rishkruajmë “mbushjen” e serisë me shkronjën “ai”: . Diçka mungon..., oh, po, duhet të ngjitni edhe një ikonë diferenciale në numërues: .

Tani duhet të llogarisim integralin e gabuar. Në këtë rast, dy raste janë të mundshme:

1) Nëse rezulton se integrali konvergon, atëherë edhe seria jonë do të konvergojë.

2) Nëse rezulton se integrali ndryshon, atëherë edhe seria jonë do të ndryshojë.

E përsëris, nëse materiali neglizhohet, atëherë leximi i paragrafit do të jetë i vështirë dhe i paqartë, pasi përdorimi i një veçori në thelb zbret në llogaritjen integral jo i duhur lloji i parë.

Zgjidhja e plotë dhe formati i shembullit duhet të duket diçka si kjo:

Ne përdorim shenjën integrale:

Kështu, seria në studim divergon së bashku me integralin e papërshtatshëm përkatës.

Shembulli 12 Shqyrtoni serinë për konvergjencë

Zgjidhja dhe modeli i modelit në fund të orës së mësimit

Në shembujt e konsideruar, logaritmi mund të jetë gjithashtu nën rrënjë, kjo nuk do të ndryshonte metodën e zgjidhjes.

Dhe dy shembuj të tjerë për fillim

Shembulli 13 Shqyrtoni serinë për konvergjencë

Sipas "parametrave" të përgjithshëm, termi i përgjithshëm i serisë duket të jetë i përshtatshëm për përdorimin e kriterit kufizues për krahasim. Thjesht duhet të hapësh kllapat dhe t'ia kalosh menjëherë kandidatit për ta krahasuar plotësisht këtë seri me serinë konvergjente. Gjithsesi po mashtroja pak, mund të mos hapen kllapat, por gjithsesi zgjidhja përmes kriterit të krahasimit kufizues do të duket mjaft pretencioze.

Prandaj, ne përdorim testin integral Cauchy:

Funksioni i integrandit është i vazhdueshëm aktiv

konvergon së bashku me integralin e papërshtatshëm përkatës.

! Shënim:numri që rezulton ështënuk eshte shuma e serialit!!!

Shembulli 14 Shqyrtoni serinë për konvergjencë

Zgjidhja dhe dizajni i mostrës janë në fund të seksionit që përfundon.

Për të zotëruar plotësisht dhe në mënyrë të pakthyeshme temën e serive të numrave, vizitoni temat.

Zgjidhje dhe përgjigje:

Shembulli 3:Ne përdorim shenjën e d'Alembert:

Kështu, seria në studim divergon.
Shënim: Ishte gjithashtu e mundur të përdorej metoda e zgjidhjes "turbo": rrethoni menjëherë raportin me laps, tregoni se ka tendencë të unitetit dhe bëni një shënim: "të të njëjtit rend të rritjes".

Shembulli 5: Ne përdorim shenjën e d'Alembert: Kështu, seria në studim konvergon.

Shembulli 8:

Kështu, seria në studim konvergon.

Shembulli 10:
Ne përdorim testin radikal Cauchy.

Kështu, seria në studim divergon.
Shënim: Këtu baza është shkalla, pra

Shembulli 12: Ne përdorim një shenjë integrale.

Përftohet një numër i fundëm, që do të thotë se seria që studiohet është konvergon

Shembulli 14: Përdorim shenjën integrale
Integrandi është i vazhdueshëm në .

Kështu, seria në studim divergon së bashku me integralin e papërshtatshëm përkatës.
Shënim: Një seri gjithashtu mund të ekzaminohet duke përdorurkriter kufizues për krahasim . Për ta bërë këtë, duhet të hapni kllapat nën rrënjë dhe të krahasoni seritë në studim me seritë divergjente.

Rreshta të alternuara. Shenja e Leibniz-it. Shembuj zgjidhjesh

Për të kuptuar shembujt e këtij mësimi, duhet të kuptoni mirë seritë e numrave pozitivë: të kuptoni se çfarë është një seri, të dini shenjën e nevojshme për konvergjencën e një serie, të jeni në gjendje të aplikoni teste krahasuese, testin e d'Alembert. , testi i Cauchy. Tema mund të ngrihet pothuajse nga e para duke studiuar vazhdimisht artikujt Rreshtat për dummies Dhe Shenja e D'Alembert. Shenjat e Cauchy. Logjikisht, ky mësim është i treti me radhë dhe do t'ju lejojë jo vetëm të kuptoni rreshtat e alternuar, por edhe të konsolidoni materialin e mbuluar tashmë! Do të ketë pak risi, dhe zotërimi i rreshtave të alternuar nuk do të jetë i vështirë. Gjithçka është e thjeshtë dhe e arritshme.

Çfarë është një seri alternative? Kjo është e qartë ose pothuajse e qartë nga vetë emri. Vetëm një shembull i thjeshtë Le të shohim serinë dhe ta përshkruajmë atë në mënyrë më të detajuar.

Dhe tani do të ketë një koment vrasës. Anëtarët e një serie të alternuar kanë shenja të alternuara: plus, minus, plus, minus, plus, minus, etj. në pafundësi.
Shtrirja siguron një shumëzues: nëse çift, do të ketë një shenjë plus, nëse është tek, do të ketë një shenjë minus. Në zhargonin matematikor, kjo gjë quhet "flasher". Kështu, një seri alternative "identifikohet" me minus një në shkallën "en".

Në shembuj praktikë, alternimi i termave të serisë mund të sigurohet jo vetëm nga shumëzuesi, por edhe nga vëllezërit e motrat e tij: , , , …. Për shembull:

Gracka është "mashtrimet": , , etj. - shumëzues të tillë mos parashikoni ndryshimin e shenjës. Është absolutisht e qartë se për çdo natyrore: , , . Rreshtat me mashtrime u rrëshqasin jo vetëm studentëve veçanërisht të talentuar, ato lindin herë pas here “vetë” gjatë zgjidhjes seri funksionale.

Si të ekzaminohet një seri alternative për konvergjencë? Përdorni testin e Leibniz-it. Nuk dua të them asgjë për gjigantin gjerman të mendimit Gottfried Wilhelm Leibniz, pasi përveç veprave të tij matematikore, ai shkroi disa vëllime për filozofinë. E rrezikshme për trurin.

Testi i Leibniz-it: Nëse anëtarët e një serie të alternuar në mënyrë monotone zvogëlohet moduli, atëherë seria konvergon. Ose në dy pika:

2) Termat e serisë zvogëlohen në vlerë absolute: . Për më tepër, ato zvogëlohen në mënyrë monotone.

Nëse plotësohet të dyja kushte, atëherë seria konvergon.

Informacion i shkurtër rreth modulit jepet në manualFormula të nxehta për kursin e matematikës në shkollë , por për lehtësi edhe një herë:

Çfarë do të thotë "modulo"? Moduli, siç kujtojmë nga shkolla, "ha" shenjën minus. Le të kthehemi në rresht . Fshini mendërisht të gjitha shenjat me një gomë dhe le të shohim numrat. Ne do ta shohim atë çdo tjetër anëtar i serisë më pak se ai i mëparshmi. Kështu, frazat e mëposhtme nënkuptojnë të njëjtën gjë:

– Anëtarët e serialit pavarësisht nga shenja janë në rënie.
– Anëtarët e serisë ulen modul.
– Anëtarët e serisë ulen në vlerë absolute.
– Moduli termi i zakonshëm i serisë tenton në zero: Fundi i ndihmës

Tani le të flasim pak për monotoninë. Monotonia është qëndrueshmëri e mërzitshme.

Anëtarët e serialit rreptësisht monotone zvogëlohet moduli nëse ÇDO anëtar i radhës i serisë modul MË MË PAKË se i mëparshmi: . Për një rresht Përmbushet monotonia e rreptë e uljes, ajo mund të përshkruhet në detaje:

Ose mund të themi shkurt: çdo anëtar tjetër i serialit modul më pak se ai i mëparshmi: .

Anëtarët e serialit jo rreptësisht monotone zvogëlimi i modulit nëse SECILI ANËTAR I MËPOSHTIM i modulit të serisë NUK është MË I MADH se ai i mëparshmi: . Konsideroni një seri me faktorial: Këtu ka një monotoni të lirë, pasi dy termat e parë të serisë janë identikë në modul. Kjo është, çdo anëtar tjetër i serisë modul jo më shumë se ai i mëparshmi: .

Në kushtet e teoremës së Leibniz-it, monotoniteti në rënie duhet të plotësohet (nuk ka rëndësi nëse është i rreptë apo jo i rreptë). Në këtë rast, anëtarët e serisë mund madje edhe rritje e modulit për disa kohë, por "bishti" i serisë duhet domosdoshmërisht të jetë në rënie monotonike. Nuk ka nevojë të kesh frikë nga ajo që kam grumbulluar, shembujt praktikë do të vendosin gjithçka në vendin e vet:

Shembulli 1 Shqyrtoni serinë për konvergjencë

Termi i zakonshëm i serisë përfshin një faktor, që do të thotë se duhet të përdorni kriterin Leibniz

1) Kontrollimi i rreshtit për alternim. Zakonisht në këtë pikë seria e vendimeve përshkruhet në detaje dhe shqiptoni vendimin "Seriali është i alternuar".

2) A ulen termat e serisë në vlerë absolute? Është e nevojshme të zgjidhet kufiri, i cili më së shpeshti është shumë i thjeshtë.

– termat e serisë nuk ulen në modul. Meqë ra fjala, nuk ka më nevojë të diskutohet për monotoninë e uljes. Përfundim: seria ndryshon.

Si të kuptoni se çfarë është e barabartë? Shume e thjeshte. Siç e dini, moduli shkatërron disavantazhet, kështu që për të krijuar një të tillë, thjesht duhet të hiqni dritën ndezëse nga çatia. Në këtë rast, termi i zakonshëm i serisë është . Ne heqim marrëzi "dritën ndezëse": .

Shembulli 2 Shqyrtoni serinë për konvergjencë

Ne përdorim kriterin e Leibniz:

1) Seriali është i alternuar.

2) – termat e serisë ulen në modul. Çdo anëtar tjetër i serisë është më pak në vlerë absolute se ai i mëparshmi: kështu, ulja është monotone.

Përfundim: seria konvergon.

Gjithçka do të ishte shumë e thjeshtë - por ky nuk është fundi i zgjidhjes!

Nëse një seri konvergjon sipas testit të Leibniz, atëherë thuhet gjithashtu se seria konvergon me kusht.

Nëse një seri e përbërë nga module gjithashtu konvergon, atëherë ata thonë se seria konvergon absolutisht.

Prandaj, në rendin e ditës është faza e dytë e zgjidhjes së një problemi tipik - studimi i shenjës së serisë alternative për konvergjencë absolute.

Nuk është faji im - kjo është vetëm teoria e serive të numrave =)

Le të shqyrtojmë serinë tonë për konvergjencë absolute.
Le të hartojmë një seri modulesh - përsëri thjesht heqim faktorin që siguron alternimin e shenjave: - divergjent (seri harmonike).

Kështu seria jonë nuk është absolutisht konvergjente.
Seri në studim konvergon vetëm me kusht.

Vini re se në shembullin nr. 1 nuk ka nevojë të studiohet konvergjenca jo-absolute, pasi që në hapin e parë u konkludua se seria divergjente.

Ne mbledhim kova, lopata, makina dhe lëmë kutinë e rërës për të parë botën me sy hapur nga kabina e ekskavatorit tim:

Shembulli 3 Shqyrtoni serinë për konvergjencë Ne përdorim kriterin e Leibniz:

1)
Kjo seri është e alternuar.

2) – termat e serisë ulen në modul. Çdo anëtar tjetër i serisë është më pak modul se ai i mëparshmi: , që do të thotë se rënia është monotone. Përfundim: Seria konvergon.

Duke analizuar plotësimin e serisë, arrijmë në përfundimin se këtu është e nevojshme të përdoret kriteri kufizues për krahasim. Është më e përshtatshme të hapësh kllapat në emërues:

Le ta krahasojmë këtë seri me një seri konvergjente. Ne përdorim kriterin kufizues për krahasim.

Përftohet një numër i fundëm i ndryshëm nga zero, që do të thotë se seria konvergjon me serinë. Seri në studim konvergon absolutisht.

Shembulli 4 Shqyrtoni serinë për konvergjencë

Shembulli 5 Shqyrtoni serinë për konvergjencë

Këta janë shembuj për t'i zgjidhur vetë. Zgjidhja e plotë dhe dizajni i mostrës në fund të seksionit.

Siç mund ta shihni, rreshtat e alternuar janë të thjeshtë dhe të mërzitshëm! Por mos nxitoni të mbyllni faqen, në vetëm disa ekrane do të shohim një rast që habit shumë njerëz. Ndërkohë, disa shembuj të tjerë për praktikë dhe përsëritje.

Shembulli 6 Shqyrtoni serinë për konvergjencë

Ne përdorim kriterin e Leibniz-it.
1) Seria është e alternuar.
2)

Kushtet e serisë ulen në modul. Çdo anëtar tjetër i serisë është më pak në vlerë absolute se ai i mëparshmi, që do të thotë se ulja është monotone. Përfundim: seria konvergon.

Ju lutem vini re se nuk i kam përshkruar në detaje anëtarët e serialit. Është gjithmonë e këshillueshme t'i përshkruani ato, por për shkak të dembelizmit të parezistueshëm në raste "të vështira", mund të kufizoheni në shprehjen "Seriali është i alternuar në shenjë". Meqë ra fjala, nuk ka nevojë ta trajtojmë këtë pikë zyrtarisht, ne kontrollojmë gjithmonë(të paktën mendërisht) që seriali në fakt alternon. Një vështrim i shpejtë dështon dhe një gabim bëhet automatikisht. Mos harroni për "mashtrimet", , , nëse ekzistojnë, atëherë duhet t'i heqni qafe ato, duke marrë një seri "të rregullt" me terma pozitivë.

E imta e dytë ka të bëjë me frazën për monotoninë, të cilën edhe unë e shkurtova sa më shumë. Ju mund ta bëni këtë, dhe pothuajse gjithmonë detyra juaj do të pranohet. Unë do të them një gjë krejtësisht të keqe - personalisht, unë shpesh hesht për monotoninë dhe një numër i tillë kalon. Por përgatituni të përshkruani gjithçka në detaje, deri te zinxhirët e detajuar të pabarazive (shih shembullin në fillim të mësimit). Për më tepër, ndonjëherë monotonia nuk është e rreptë, dhe kjo gjithashtu duhet të monitorohet për të zëvendësuar fjalën "më pak" me fjalën "jo më shumë".

Le të shqyrtojmë serinë për konvergjencë absolute: