Lëkundjet me disa shkallë lirie.
Informacion i shkurtër nga teoria.
Sisteme me n fuqilirinë në dinamikë është zakon të quhen sisteme të tilla, për të rregulluar plotësisht gjendjen gjeometrike të të cilave në çdo moment në kohë është e nevojshme të vendoset P parametrat, për shembull pozicioni (defleksionet) P pikë. Pozicioni i pikave të tjera përcaktohet nga teknikat konvencionale statike.
Një shembull i sistemit me P shkallët e lirisë mund të jenë një rreze ose një kornizë e sheshtë nëse masat e pjesëve ose elementeve të tij individuale konsiderohen kushtimisht (për të lehtësuar llogaritjet dinamike) të përqendruara në P pikë, ose nëse mbart n masa të mëdha (motorë, motorë), në krahasim me të cilat është e mundur të neglizhohet pesha e vet e elementeve. Nëse masat individuale të përqendruara ("pika") munden, kur lëkunden, të lëvizin në dy drejtime, atëherë numri i shkallëve të lirisë së sistemit do të jetë i barabartë me numrin e lidhjeve që duhet t'i imponohen sistemit për të eliminuar zhvendosjet. e të gjitha masave.
Nëse një sistem me n shkallë lirie del nga ekuilibri, ai do të angazhohet dridhje të lira, dhe çdo "pikë" (masë) do të kryejë lëkundje komplekse poliharmonike të tipit:
Konstantet A i dhe B i varen nga kushtet fillestare të lëvizjes (devijimet e masave nga niveli statik dhe shpejtësitë në momentin e kohës t=0). Vetëm në disa raste të veçanta të ngacmimit të lëkundjeve lëvizja poliharmonike për masat individuale mund të kthehet në harmonike, d.m.th. si në një sistem me një shkallë lirie:
Numri i frekuencave natyrore të një sistemi është i barabartë me numrin e shkallëve të lirisë së tij.
Për të llogaritur frekuencat natyrore, është e nevojshme të zgjidhet i ashtuquajturi përcaktues i frekuencës, i shkruar në këtë formë:
Ky kusht në formë të zgjeruar jep ekuacionin P shkalla th për të përcaktuar P vlerat e ω 2, e cila quhet ekuacioni i frekuencës.
Përmes δ 11, δ 12, δ 22, etj. tregohen lëvizjet e mundshme. Kështu, δ 12 është zhvendosja në drejtimin e parë të pikës së vendndodhjes së masës së parë nga një forcë njësi e aplikuar në drejtimin e dytë në pikën e vendndodhjes së masës së dytë, etj.
Me dy shkallë lirie, ekuacioni i frekuencës merr formën:
Ku për dy frekuenca kemi:
Në rastin kur masat individuale M i mund të kryejë edhe lëvizje rrotulluese ose vetëm rrotulluese në kombinim me lëvizje lineare, atëherë i-ajo koordinatë do të jetë këndi i rrotullimit, dhe në përcaktuesin e frekuencës masa
M i duhet të zëvendësohet me momentin e inercisë së masës J i; në përputhje me rrethanat, lëvizjet e mundshme në drejtim i-koordinatat ( δ i 2 , δ i 2 etj.) do të jenë lëvizje këndore.
Nëse ndonjë masë lëkundet në disa drejtime - i-mu dhe k-th (për shembull, vertikale dhe horizontale), atëherë një masë e tillë merr pjesë në përcaktor disa herë nën numrat M i ato k dhe korrespondon me disa lëvizje të mundshme ( δ ii, δ kk, δ ik, etj.).
Vini re se çdo frekuencë natyrore ka formën e saj të veçantë të lëkundjes (natyra e një boshti të lakuar, linja e devijimit, zhvendosja, etj.), e cila në raste individuale, të veçanta mund të rezultojë të jetë një formë e vlefshme lëkundjeje, nëse vetëm e lirë. lëkundjet ngacmohen siç duhet (impulset e duhura të përzgjedhjes, pikat e zbatimit të tyre, etj.). Në këtë rast, sistemi do të lëkundet sipas ligjeve të lëvizjes së sistemit me një shkallë lirie.
Në rastin e përgjithshëm, siç vijon nga shprehja (9.1), sistemi kryen lëkundje poliharmonike, por është e qartë se çdo linjë komplekse elastike, e cila pasqyron ndikimin e të gjitha frekuencave natyrore, mund të zbërthehet në përbërës individualë të formës, secili prej tyre. që i përgjigjet frekuencës së vet Procesi i një zbërthimi të tillë të mënyrës së vërtetë të dridhjeve në komponentë (i cili është i nevojshëm kur zgjidhen probleme komplekse të dinamikës strukturore) quhet zbërthim në mënyrat e dridhjeve natyrore.
Nëse në secilën masë, më saktë - në drejtim të çdo shkalle lirie, zbatohet një forcë shqetësuese, e cila ndryshon në kohë sipas ligjit harmonik.
ose, e cila është indiferente për qëllime të mëtejshme, dhe amplituda e forcave për secilën masë janë të ndryshme, dhe frekuenca dhe fazat janë të njëjta, atëherë me veprim të zgjatur të forcave të tilla shqetësuese sistemi do të kryejë lëkundje të detyruara në gjendje të qëndrueshme me frekuencën të forcës lëvizëse. Amplituda e lëvizjeve në çdo drejtim i-Ajo shkallë në këtë rast do të jetë:ku përcaktorja D shkruhet sipas (9.2) me ω të zëvendësuar me θ dhe, për rrjedhojë, D≠0; D i përcaktohet nga shprehja:
ato. i Kolona e përcaktorit D zëvendësohet me një kolonë të përbërë nga termat e formës: Për rastin e dy shkallëve të lirisë: (9.6)Dhe përkatësisht
Gjatë llogaritjes së dridhjeve të detyruara të trarëve me prerje tërthore konstante që bartin masa të përqendruara (Fig. 9.1).
Sidoqoftë, është më e lehtë të përdoren formulat e mëposhtme për amplitudat e devijimit, këndin e rrotullimit, momentin e përkuljes dhe forcën prerëse në çdo seksion të rrezes:
(9.7)Ku y 0 , φ 0 , M 0 , P 0 – amplituda e devijimit, rrotullimit, momentit dhe forcës prerëse të seksionit fillestar (parametrat fillestarë); M i Dhe J i- masa dhe momenti i saj i inercisë (masat e koncentruara); shenja ∑ vlen për të gjitha forcat dhe masat e përqendruara të vendosura nga seksioni fillestar deri te lënda.
Formulat e treguara (9.7) mund të përdoren gjithashtu gjatë llogaritjes së frekuencave natyrore, për të cilat është e nevojshme të merren parasysh forcat shqetësuese ∑ Ri dhe momentet ∑ Mi baraz me zero, zëvendësoni frekuencën e lëkundjeve të detyruara θ me frekuencën e lëkundjeve natyrore ω dhe, duke supozuar ekzistencën e lëkundjeve (lëkundjet e lira), shkruani shprehjet (9.7) në lidhje me seksionet ku ndodhen masat e përqendruara dhe amplituda janë tashmë të njohura ( seksionet e referencës, boshti i simetrisë, etj.). Ne marrim një sistem ekuacionesh lineare homogjene. Duke barazuar përcaktuesin e këtij sistemi me zero, do të jemi në gjendje të llogarisim frekuencat natyrore.
Rezulton se është e këshillueshme të përdoren shprehjet (9.4) dhe (9.5) për të përcaktuar amplitudat ( y 0 , φ 0 , etj) në X=0, dhe më pas duke përdorur (9.7) llogaritni të gjithë elementët e tjerë të devijimit.
Më kompleks është problemi i llogaritjes së lëvizjeve të një sistemi me disa shkallë lirie nën veprimin e një ngarkese arbitrare që ndryshon me kalimin e kohës dhe zbatohet në masa të ndryshme.
Kur zgjidhni një problem të tillë, duhet të veproni si më poshtë:
a) të përcaktojë frekuencat natyrore dhe mënyrat e dridhjeve natyrore;
b) rigruponi ngarkesën e dhënë midis masave ose, siç thonë ata, zbërthejeni atë sipas mënyrave të dridhjeve natyrore. Numri i grupeve të ngarkesës është i barabartë me numrin e frekuencave natyrore të sistemit;
c) pasi të keni kryer dy veprimet ndihmëse të mësipërme, bëni një llogaritje për çdo grup ngarkesash duke përdorur formula të njohura nga teoria e lëkundjeve të një sistemi me një shkallë lirie dhe frekuenca e lëkundjeve natyrore në këto formula merret si ajo. të cilit i korrespondon ky grup ngarkese;
d) përmblidhen zgjidhjet e pjesshme nga çdo kategori ngarkesash, e cila përcakton zgjidhjen përfundimtare të problemit.
Përcaktimi i frekuencave natyrore kryhet sipas (9.2). Për sa i përket identifikimit të formave të lëkundjeve natyrore, këtu është e nevojshme të udhëhiqemi nga vetia themelore e çdo forme të dridhjeve natyrore, se ajo përfaqëson vijën e ndikimit të devijimit nga forcat (numri i të cilave është i barabartë me numrin e shkallët e lirisë) në përpjesëtim me prodhimin e masave dhe me ordinatat e devijimeve të pikave të lidhjes së masave. Për masa të barabarta, forma e dridhjeve natyrore përfaqëson vijën e devijimit për shkak të forcave proporcionale me ordinatat e devijimit; diagrami i ngarkesës është i ngjashëm me diagramin e devijimit.
Frekuenca më e ulët korrespondon me formën më të thjeshtë të dridhjes. Për trarët, më shpesh kjo formë korrespondon ngushtë me boshtin e lakuar të sistemit nën ndikimin e peshës së vet. Nëse kjo strukturë rezulton të jetë më pak e ngurtë në çdo drejtim, për shembull në horizontale, atëherë për të identifikuar natyrën e boshtit të lakuar të dëshiruar, duhet të aplikoni me kusht peshën e vet në këtë drejtim.
Teoria e lëkundjeve të lira të sistemeve me disa shkallë lirie është ndërtuar në mënyrë të ngjashme me mënyrën se si luhatjet njëdimensionale u konsideruan në § 21.
Lëreni energjinë potenciale të sistemit U, si funksion i koordinatave të përgjithësuara, të ketë një minimum në . Prezantimi i kompensimeve të vogla
dhe duke zgjeruar U për sa i përket tyre deri në terma të rendit të dytë, ne marrim energjinë potenciale në formën e një forme kuadratike të caktuar pozitive.
ku përsëri llogarisim energjinë potenciale nga vlera minimale e saj. Meqenëse koeficientët dhe përfshihen në (23.2) të shumëzuar me të njëjtën vlerë, është e qartë se ata mund të konsiderohen gjithmonë simetrik në indekset e tyre
Në energjinë kinetike, e cila në rastin e përgjithshëm ka formën
(shih (5.5)), e vendosim në koeficientë dhe, duke treguar konstantet me , e marrim në formën e një forme kuadratike të caktuar pozitive.
Kështu, funksioni Lagranzhian i një sistemi që kryen lëkundje të vogla të lira:
Le të hartojmë tani ekuacionet e lëvizjes. Për të përcaktuar derivatet e përfshira në to, shkruajmë diferencialin total të funksionit të Lagranzhit
Meqenëse vlera e shumës nuk varet, natyrisht, nga përcaktimi i indekseve të mbledhjes, ne ndryshojmë në termat e parë dhe të tretë në kllapa i me k, dhe k me i; duke marrë parasysh simetrinë e koeficientëve, marrim:
Nga kjo është e qartë se
Prandaj ekuacionet e Lagranzhit
(23,5)
Ato përfaqësojnë një sistem ekuacionesh diferenciale homogjene lineare me koeficientë konstante.
Sipas rregullave të përgjithshme për zgjidhjen e ekuacioneve të tilla, ne kërkojmë s funksione të panjohura në formë
ku janë disa konstante ende të papërcaktuara. Duke zëvendësuar (23.6) në sistemin (23.5), marrim me reduktim në një sistem ekuacionesh algjebrike homogjene lineare që duhet të plotësohen nga konstantet:
Në mënyrë që ky sistem të ketë zgjidhje jo zero, përcaktori i tij duhet të zhduket
Ekuacioni (23.8) - i ashtuquajturi ekuacion karakteristik është një ekuacion i shkallës s në lidhje me Ai ka, në rastin e përgjithshëm, rrënjë të ndryshme reale pozitive (në raste të veçanta, disa nga këto rrënjë mund të përkojnë). Madhësitë e përcaktuara në këtë mënyrë quhen frekuenca natyrore të sistemit.
Realiteti dhe pozitiviteti i rrënjëve të ekuacionit (23.8) janë tashmë të dukshme nga konsideratat fizike. Në të vërtetë, prania e një pjese imagjinare në y do të nënkuptonte praninë në varësinë kohore të koordinatave (23.6) (dhe bashkë me to edhe shpejtësive) të një faktori në rënie ose në rritje eksponenciale. Por prania e një faktori të tillë në këtë rast është e papranueshme, pasi do të çonte në një ndryshim në energjinë totale të sistemit me kalimin e kohës, në kundërshtim me ligjin e ruajtjes së tij.
E njëjta gjë mund të verifikohet thjesht matematikisht. Duke shumëzuar ekuacionin (23.7) me dhe duke mbledhur me, marrim:
Format kuadratike në numëruesin dhe emëruesin e kësaj shprehjeje janë reale për shkak të realitetit dhe simetrisë së koeficientëve dhe, në të vërtetë,
Ato janë gjithashtu dukshëm pozitive, dhe për këtë arsye pozitive
Pasi të jenë gjetur frekuencat, duke zëvendësuar secilën prej tyre në ekuacionet (23.7), mund të gjenden vlerat përkatëse të koeficientëve nëse të gjitha rrënjët e ekuacionit karakteristik janë të ndryshme, atëherë, siç dihet, koeficientët A janë proporcionale me minoret e përcaktorit (23.8), në të cilin zëvendësimi I shënojmë këto të vogla me vlerën përkatëse përmes Do. Prandaj, një zgjidhje e veçantë për sistemin e ekuacioneve diferenciale (23.5) ka formën
ku është një konstante arbitrare (komplekse).
Zgjidhja e përgjithshme jepet nga shuma e të gjitha zgjidhjeve të veçanta. Duke kaluar në pjesën reale, e shkruajmë në formë
ku kemi futur shënimin
(23,10)
Kështu, ndryshimi në secilën nga koordinatat e sistemit me kalimin e kohës përfaqëson mbivendosjen e lëkundjeve të thjeshta periodike me amplituda dhe faza arbitrare, por me frekuenca të përcaktuara mirë.
Natyrisht lind pyetja: a është e mundur të zgjidhen koordinatat e përgjithësuara në atë mënyrë që secila prej tyre të kryejë vetëm një lëkundje të thjeshtë? Vetë forma e integralit të përgjithshëm (23.9) tregon rrugën drejt zgjidhjes së këtij problemi.
Në fakt, duke i konsideruar relacionet s (23.9) si një sistem ekuacionesh me s madhësi të panjohura, ne, pasi të kemi zgjidhur këtë sistem, mund t'i shprehim madhësitë përmes koordinatave. Prandaj, sasitë mund të konsiderohen si koordinata të reja të përgjithësuara. Këto koordinata quhen normale (ose kryesore), dhe lëkundjet e thjeshta periodike që kryejnë quhen lëkundje normale të sistemit.
Koordinatat normale plotësojnë, siç është e qartë nga përkufizimi i tyre, ekuacionet
(23,11)
Kjo do të thotë që në koordinatat normale ekuacionet e lëvizjes ndahen në s ekuacione të pavarura nga njëra-tjetra. Përshpejtimi i secilës koordinatë normale varet vetëm nga vlera e së njëjtës koordinatë, dhe për të përcaktuar plotësisht varësinë e saj kohore, është e nevojshme të njihen vlerat fillestare vetëm të vetvetes dhe shpejtësisë së saj përkatëse. Me fjalë të tjera, lëkundjet normale të sistemit janë plotësisht të pavarura.
Nga sa më sipër, është e qartë se funksioni i Lagranzhit, i shprehur në terma të koordinatave normale, zbërthehet në një shumë shprehjesh, secila prej të cilave korrespondon me një lëkundje njëdimensionale me një nga frekuencat, d.m.th., ka formën
(23,12)
ku janë konstante pozitive. Nga pikëpamja matematikore, kjo do të thotë se me transformimin (23.9) të dyja format kuadratike - energjia kinetike (23.3) dhe energjia potenciale (23.2) reduktohen njëkohësisht në një formë diagonale.
Në mënyrë tipike, koordinatat normale zgjidhen në mënyrë që koeficientët e shpejtësive në katror në funksionin Lagranzh të jenë të barabartë me 1/2. Për ta bërë këtë, mjafton të përcaktojmë koordinatat normale (tani i shënojmë ato) me barazitë
Të gjitha sa më sipër ndryshojnë pak në rastin kur midis rrënjëve të ekuacionit karakteristik ka rrënjë të shumta. Forma e përgjithshme (23.9), (23.10) e integralit të ekuacioneve të lëvizjes mbetet e njëjtë (me të njëjtin numër s termash) me ndryshimin e vetëm që koeficientët që u korrespondojnë frekuencave të shumta nuk janë më minore të përcaktorit, i cili , siç dihet, kthehen në në këtë rast në zero.
Çdo frekuencë e shumëfishtë (ose, siç thonë ata, e degjeneruar) korrespondon me po aq koordinata të ndryshme normale sa shkalla e shumëfishimit, por zgjedhja e këtyre koordinatave normale nuk është e paqartë. Meqenëse koordinatat normale (me të njëjtat ) hyjnë në energjitë kinetike dhe potenciale në formën e shumave identike të transformueshme, ato mund t'i nënshtrohen çdo transformimi linear që e lë të pandryshueshme shumën e katrorëve.
Është shumë e thjeshtë të gjesh koordinatat normale për dridhjet tredimensionale të një pike materiale të vendosur në një fushë të jashtme konstante. Duke vendosur origjinën e sistemit të koordinatave karteziane në pikën e energjisë minimale potenciale, marrim këtë të fundit në formën e një forme kuadratike të ndryshoreve x, y, z dhe energjinë kinetike.
(m është masa e grimcave) nuk varet nga zgjedhja e drejtimit të boshteve koordinative. Prandaj, me anë të rrotullimit të duhur të boshteve, është e nevojshme vetëm për të sjellë energjinë potenciale në një formë diagonale. Pastaj
dhe dridhjet përgjatë boshteve x, y, z janë ato kryesore me frekuenca
Në rastin e veçantë të një fushe simetrike qendrore, këto tre frekuenca përkojnë (shih problemin 3).
Përdorimi i koordinatave normale bën të mundur reduktimin e problemit të lëkundjeve të detyruara të një sistemi me disa shkallë lirie në problemet e lëkundjeve të detyruara njëdimensionale. Funksioni Lagranzh i sistemit, duke marrë parasysh forcat e jashtme të ndryshueshme që veprojnë mbi të, ka formën
(23,15)
ku është funksioni Lagranzhian i lëkundjeve të lira.
Duke futur koordinata normale në vend të koordinatave, marrim:
ku futet emërtimi
Prandaj, ekuacionet e lëvizjes
(23.17)
1. Përcaktoni lëkundjet e një sistemi me dy shkallë lirie nëse funksioni i tij Lagranzh
Sipas (3.7), sistemi i ekuacioneve për II =2 ka formën:
Meqenëse po flasim për lëkundje të lira, ana e djathtë e sistemit (3.7) merret e barabartë me zero.
Ne po kërkojmë një zgjidhje në formë
Pasi zëvendësojmë (4.23) në (4.22) marrim:
Ky sistem ekuacionesh është i vlefshëm për një arbitrar t, prandaj, shprehjet e mbyllura në kllapa janë të barabarta me zero. Kështu fitojmë një sistem linear ekuacionesh algjebrike për A dhe NË.
Një zgjidhje e dukshme e parëndësishme për këtë sistem L= Oh, B = O sipas (4.23) korrespondon me mungesën e lëkundjeve. Sidoqoftë, së bashku me këtë zgjidhje, ekziston edhe një zgjidhje jo e parëndësishme L * O, V F 0 me kusht që përcaktorja e sistemit A ( te 2) e barabartë me zero:
Kjo përcaktor quhet frekuenca, dhe ekuacioni është relativ k - ekuacioni i frekuencës. Funksioni i zgjeruar A(k 2) mund të përfaqësohet si
Oriz. 4.5
Për YatsYad - ^2 > ® dhe me n ^-4>0 grafikun A (k 2) ka formën e një parabole që pret boshtin e abshisave (Fig. 4.5).
Le të tregojmë se për lëkundjet rreth një pozicioni të qëndrueshëm ekuilibri, pabarazitë e mësipërme plotësohen. Le ta transformojmë shprehjen për energjinë kinetike si më poshtë:
Në q, = 0 kemi T = 0,5a.
Më pas, vërtetojmë se rrënjët e ekuacionit të frekuencës (4.25) janë dy vlera pozitive te 2 dhe tek 2(në teorinë e lëkundjeve, një indeks më i ulët korrespondon me një frekuencë më të ulët, d.m.th. k ( Për këtë qëllim, ne fillimisht prezantojmë konceptin e frekuencës së pjesshme. Ky term kuptohet si frekuenca natyrore e një sistemi me një shkallë lirie, e marrë nga sistemi origjinal duke fiksuar të gjitha koordinatat e përgjithësuara përveç njërës. Kështu, për shembull, nëse në të parën e ekuacioneve të sistemit ne (4.22) pranojmë q 2 = 0, atëherë frekuenca e pjesshme do të jetë p ( =yjc u /a n. Në mënyrë të ngjashme, fiksimi i p 2 ~^c n /a 21.
Që ekuacioni i frekuencës (4.25) të ketë dy rrënjë reale k x Dhe k 2, është e nevojshme dhe e mjaftueshme që, së pari, grafiku i funksionit A (deri në 2) në k = 0 do të kishte një ordinatë pozitive, dhe së dyti, që të presë boshtin x. Rasti i frekuencave të shumta k ( = k. ), si dhe kthimi i frekuencës më të ulët në zero, nuk merret parasysh këtu. E para nga këto kushte plotësohet, pasi d (0) = c„c 22 - me dhe> 0 Është e lehtë të verifikohet vlefshmëria e kushtit të dytë duke zëvendësuar (4.25) k = k = p 2 ; në këtë rast, A(p, 2) Informacioni i këtij lloji në llogaritjet inxhinierike lehtëson parashikimet dhe vlerësimet.
Dy vlerat e frekuencës që rezultojnë te, Dhe tek 2 korrespondojnë me zgjidhje të veçanta të formës (4.23), kështu që zgjidhja e përgjithshme ka formën e mëposhtme:
Kështu, secila nga koordinatat e përgjithësuara merr pjesë në një proces oscilues kompleks, që është shtimi i lëvizjeve harmonike me frekuenca, amplituda dhe faza të ndryshme (Fig. 4.6). Frekuencat k t Dhe tek 2 në rastin e përgjithshëm janë të pakrahasueshme, pra q v c, nuk janë funksione periodike.
Oriz. 4.6
Raporti i amplitudave të dridhjeve të lira në një frekuencë natyrore fikse quhet koeficienti i formës. Për një sistem me dy shkallë lirie, koeficientët e formës (3.= BJA." përcaktohen drejtpërdrejt nga ekuacionet (4.24):
Kështu, koeficientët e formës p, = V 1 /A [ dhe r.,= V.,/A., varen vetëm nga parametrat e sistemit dhe nuk varen nga kushtet fillestare. Koeficientët e formës karakterizohen për frekuencën natyrore në shqyrtim te. shpërndarja e amplitudave përgjatë qarkut oscilues. Kombinimi i këtyre amplitudave formon të ashtuquajturat formë vibrimi.
Një vlerë negative e faktorit të formës do të thotë që lëkundjet janë jashtë fazës.
Kur përdorin programe standarde kompjuterike, ato ndonjëherë përdorin koeficientët e formës së normalizuar. Ky term do të thotë
Në indeksin e koeficientit p' g i korrespondon me numrin koordinativ dhe indeksin G- numri i frekuencës. Është e qartë se 
ose është e lehtë të vërehet se p*
Në sistemin e ekuacioneve (4.28), katër të panjohurat e mbetura A g A 2, oc, cx 2 përcaktohen duke përdorur kushtet fillestare:
Prania e një force rezistence lineare, ashtu si në një sistem me një shkallë lirie, çon në amortizimin e lëkundjeve të lira.
Oriz. 4.7
Shembull. Le të përcaktojmë frekuencat natyrore, frekuencat e pjesshme dhe faktorët e formës për sistemin oscilues të paraqitur në Fig. 4.7, A. Marrja e zhvendosjeve absolute të masës.g si koordinata të përgjithësuara, = q v x 2 = q. r Le të shkruajmë shprehjet për energjitë kinetike dhe potenciale:
Kështu,
Pas zëvendësimit në ekuacionet e frekuencës (4.25) fitojmë
Për më tepër, sipas (4.29)
Në Fig. 4.7, b jepen mënyrat e dridhjeve. Në formën e parë të lëkundjes, masat lëvizin në mënyrë sinkrone në një drejtim, dhe në të dytën, në drejtim të kundërt. Përveç kësaj, në rastin e fundit u shfaq një seksion kryq N, duke mos marrë pjesë në procesin oscilues me frekuencën e vet k r Ky është i ashtuquajturi njësi vibrimi.
MEKANIKA TEORIKE
UDC 531.8:621.8
D.M Kobylyansky, V.F Gorbunov, V.A
Pajtueshmëria e Rrotullimit DHE LIDHJEVE TË TRUPAVE ME NJË SHKALLË LIRI
Le të shqyrtojmë një trup të sheshtë T, mbi të cilin vendosen tre kufizime ideale, duke parandaluar vetëm lëvizjen e trupit në të gjitha drejtimet, siç tregohet në figurën 1a. Lidhjet janë pikat A, B, C, të vendosura në kulmet e një trekëndëshi barabrinjës. Pasi kemi zgjedhur një sistem koordinatash në mënyrë që qendra e tij të përputhet me qendrën e trekëndëshit dhe të jetë në linjë me të (Fig. 1a), kemi koordinatat e lidhjeve: A(0;R), B(^l/3 /2 -R/2), C^-Ld/e/2; -I/2), ku I është distanca nga qendra e trekëndëshit deri në kulmet e tij, domethënë rrezja e rrethit që kalon nëpër pikat A, B, C. Në këtë pozicion, trupi do të ketë një shkallë lirie. vetëm nëse normalet e kufirit të tij në pikat A, B, C kryqëzohen në një pikë, e cila do të jetë qendra e menjëhershme e shpejtësive. Përndryshe, numri i shkallëve të lirisë së trupit është zero dhe ai nuk mund të lëvizë jo vetëm në mënyrë përkthimore, por edhe të kryejë lëvizje rrotulluese. Kur një trup ka një shkallë lirie, ai mund të fillojë të rrotullohet me qendrën e menjëhershme të rrotullimit në pikën e kryqëzimit të normaleve të mësipërme. Le të jetë kjo pikë origjina e koordinatave, pika O. Nëse qendra e menjëhershme e rrotullimit nuk e ndryshon pozicionin e saj, atëherë forma e vetme e mundshme e trupit T është një rreth me rreze R me qendër në pikën O.
Problemi lind: a ka forma të tjera të trupit që e lejojnë atë të rrotullohet në lidhje me një qendër lëvizëse në mënyrë që
a ka kaluar trupi i trupit vazhdimisht nëpër tri pika A, B, C pa i prishur këto lidhje? Në literaturën e njohur për ne, një problem i tillë nuk është konsideruar dhe, me sa duket, po zgjidhet për herë të parë.
Për të zgjidhur këtë problem, së pari ne konsiderojmë lëvizjen e trekëndëshit ABC si një trup i ngurtë, në lidhje me sistemin e koordinatave X1O1Y1 të lidhur me trupin T (Fig. 1b). Pastaj, nëse lëvizja e trekëndëshit ndodh në atë mënyrë që kulmet e tij të qëndrojnë vazhdimisht në kufirin e trupit gjatë një rrotullimi të plotë të trekëndëshit me 360°, atëherë trupi do të kryejë gjithashtu lëvizjen e kërkuar në të kundërt në raport me atë të fiksuar. trekëndëshi ABC dhe sistemi koordinativ shoqërues XOU.
Lëvizjen e trekëndëshit ABC e përkufizojmë si një rrotullim në lidhje me qendrën O dhe një lëvizje të qendrës O përgjatë boshtit OіХі me /(g), përgjatë boshtit OіUі me g(t). Atëherë ekuacioni parametrik i trajektores së pikës A do të ketë formën: x = ryaSh +/(r); уі=г-єо,?ґ +g(t), ґє (1)
Meqenëse në g=0 pika O duhet të përkojë me pikën O1, atëherë duhet të plotësohet kushti /(0)= g(0)=0. Ne kërkojmë që kur rrotullohet përmes një këndi r = 2n/3, pika A të përputhet me pikën B1, pika B të përputhet me pikën C dhe pika C
Me pikën A1. Kur rrotullohet përmes një këndi r = 4n/3, pika A duhet të shkojë në pikën C1, pika B në pikën A1 dhe pika C në pikën B1. Kombinimi i këtyre kërkesave për lëvizjen e kulmeve të trekëndëshit çon në kushte për vlerat e funksioneve të lëvizjes së qendrës së rrotullimit /(0)=/(2 p/3)=/(4 p/3)= 0; g0)=g(2l/3)=g(4l/3)=0. (2) Kushtet (2) plotësohen nga një klasë e gjerë funksionesh, në veçanti funksionet e formës sin(3mt/2), ku m është një numër i plotë dhe kombinimet e tyre lineare me koeficientët përgjithësisht të ndryshueshëm të formës:
H (g) = ^ bt (g) 8Іп(3тґ / 2)
Përveç kësaj, si
Fig.1. Skema llogaritëse: a) - pozicioni i trupit të palëvizshëm dhe lidhjet e tij në sistemin XOU; b) - pozicioni i sistemit fiks X1O1U1 i lidhur me trupin, dhe i sistemit të lëvizshëm XOU i lidhur me trekëndëshin ABC
Mekanika teorike
Fig.2. Format e trupave dhe trajektoret e lëvizjes së qendrave të tyre të rrotullimit
Oriz. 3. Pozicioni i trupit kur rrotullohet në një kënd dhe trajektorja përkatëse e lëvizjes së qendrës së rrotullimit të tij.
Mund të merren funksionet e zhvendosjes, funksionet që përcaktojnë kthesat e mbyllura, si cikloidet, trokoidet, lemniskatet, me parametra të përshtatshëm sipas kushtit (2). Në këtë rast, të gjitha funksionet e mundshme duhet të jenë periodike me një periudhë 2n/3.
Kështu, sistemi i ekuacioneve parametrike (1) me kushte për vlerat e funksioneve /(^, g(t) (2) ose në formën e tyre (3) jep ekuacionin e dëshiruar për kufirin e trupit T. Figura 2 tregon shembuj të formave të mundshme të trupit që plotësojnë kushtet e detyrës Në qendër të secilës figurë tregohet trajektorja e qendrës së rrotullimit O1 dhe lidhjet e pikës A, B, C janë zmadhuar për vizualizimin më të mirë të tyre tregojnë se edhe llojet e thjeshta të funksioneve nga klasa e përcaktuar nga shprehja (3) me koeficientë konstante, kemi një grup mjaft të gjerë kthesash që përshkruajnë kufijtë e trupave që kryejnë rrotullim dhe.
lëkundjet njëkohësisht me vetëm një shkallë lirie. Kurbat kufitare a), c) në figurën 2 korrespondojnë me lëvizjen e qendrës së rrotullimit vetëm përgjatë boshtit horizontal
OіХі sipas ligjit harmonik, dhe siç shihet, ka dy boshte simetrie dhe mund të jetë ose thjesht konveks, ovale (Fig. 2a), ose të kombinojë konveksitetin me konkavitetin (Fig. 2b). Me një ligj harmonik vertikal dhe horizontal me të njëjtën amplitudë lëvizjeje të qendrës së rrotullimit, kthesat kufitare humbasin simetrinë e tyre (Fig. 2 c, d). Ndikimi domethënës i frekuencës së dridhjeve harmonike në formën e lakores kufitare të një trupi është paraqitur në figurën 2 d, f Pa kryer një analizë të plotë të ndikimit të amplitudës dhe frekuencës në formën dhe vetitë gjeometrike të kufirit. kthesat në këtë punë, dua të vërej se shembujt e paraqitur në Fig. 2 tashmë tregojnë aftësinë për të zgjidhur problemet teknike në zgjedhjen e formës së dëshiruar
trupi për të kombinuar lëvizjen e tij rrotulluese me lëkundjet në rrafshin e rrotullimit.
Tani duke marrë parasysh lëvizjen e trupit në lidhje me sistemin e koordinatave fikse XOU të lidhur me trekëndëshin ABC, domethënë, duke lëvizur nga sistemi i koordinatave X1O1U1 në sistemin e koordinatave XOU, marrim ekuacionet parametrike të mëposhtme të kurbës kufitare të trupit në një këndi i dhënë i rrotullimit p x = cosp-
Cosp (4)
ose duke marrë parasysh ekuacionet (1), ekuacionet (4) marrin formën x = cosp-
- [ R cos(t) + g (t) - g (p)] sin p, y = sin p +
Cos f.
Ekuacionet (5) bëjnë të mundur përshkrimin e trajektores së çdo pike të trupit sipas polariteteve të tij të dhëna.
t-g.i m*4<. п-і
t-ÍLÍtWM. d-0
Oriz. 4. Variantet e formave të trupit me numër të ndryshëm lidhjesh, duke siguruar përputhshmërinë e rrotullimit dhe dridhjeve të trupave
koordinatat kombëtare R,t. Në veçanti, në R=0, t=0 kemi një pikë që përkon me origjinën e koordinatave Ob, domethënë qendrën e rrotullimit, trajektorja e së cilës në skemën në shqyrtim përshkruhet nga ekuacionet që vijojnë nga (5) :
*0 = -f (ph) cos ph + g (ph) sin ph, y0 = - f (ph) sin ph- g (ph) cos r.
Figura 3 tregon një shembull të pozicioneve të trupit (Figura 2b) kur ai rrotullohet përmes një këndi φ, dhe në qendër të çdo figure tregohet trajektorja e qendrës së rrotullimit
Oi, që korrespondon me rrotullimin e trupit përmes këtij këndi. Teknikisht nuk është e vështirë të bësh animacion
e lëvizjes së trupit të paraqitur në Fig. 3 në vend të një modeli fizik, megjithatë, kuadri i një artikulli ditar mund ta lejojë këtë vetëm në një version elektronik. Shembulli i treguar ishte ende
Një përgjithësim i problemit të konsideruar është një sistem prej n lidhjesh ideale në formën e pikave të vendosura në kulmet e një trekëndëshi të rregullt, duke parandaluar vetëm lëvizjet përkthimore të trupit. Prandaj, si në rastin e një trekëndëshi, trupi mund të fillojë të rrotullohet në lidhje me qendrën e rrotullimit, e cila është pika e kryqëzimit të normaleve me kufirin e trupit në pikat e lidhjes. Në këtë rast, ekuacioni për trajektoren e një pike të trupit A, i vendosur në boshtin OU dhe i vendosur në distancën H nga qendra e rrotullimit, do të ketë të njëjtën formë si (1). Kushtet për vlerat e funksioneve të lëvizjes së qendrës së rrotullimit (2) në këtë rast do të marrin
Kobylyansky Gorbunov
Dmitry Mikhailovich Valery Fedorovich
Student pasuniversitar i departamentit. stacionare dhe - dok. teknologjisë. shkencave, prof. departamenti njëqind
mjete transporti, mjete stacionare dhe transportuese
f(2kp/p)=g(2kp/p)=0. (7)
Kushti (7) korrespondon me funksionet periodike me një periodë 2n/n, për shembull 8m(n-m4/2), si dhe kombinimet e tyre lineare të formës (3) dhe funksioneve të tjera që përshkruajnë kthesat e mbyllura. Arsyetimi i ngjashëm me atë të përmendur më sipër çon në të njëjtat ekuacione (4-6), të cilat bëjnë të mundur llogaritjen e formës së trupit, pozicionit të tij gjatë rrotullimit dhe trajektores së qendrës së rrotullimit me lëkundjet e trupit në përputhje me rrotullimin. . Një shembull i llogaritjeve të tilla është Fig. 4, në të cilën vija me pika tregon pozicionin fillestar të trupave, vija e fortë tregon pozicionin e trupave kur rrotullohen përmes një këndi l/3, dhe në qendër të çdo figure është trajektorja e plotë e qendrës së rrotullimit gjatë një rrotullimi të plotë të trupit. Dhe megjithëse në këtë shembull merret parasysh vetëm lëvizja horizontale e qendrës së rrotullimit O, si qendër e një këndi n, rezultatet e marra tregojnë një gamë të gjerë të formave të mundshme të një trupi me një shkallë lirie, duke kombinuar lëvizjen rrotulluese. me lëkundje në prani të katër, pesë dhe gjashtë lidhjeve.
Metoda rezultuese për llogaritjen e përputhshmërisë së lëvizjeve të rrotullimit dhe lëkundjes së trupave me një shkallë lirie mund të përdoret gjithashtu pa ndonjë shtesë për trupat hapësinorë për të cilët lëvizjet përgjatë koordinatës së tretë dhe rrotullimet në plane të tjera koordinative janë të ndaluara.
Gogolin Vyacheslav Anatolievich
Dr. teknologjisë. shkencave, prof. departamenti matematikan i aplikuar dhe
