Le të shqyrtojmë një sistem të radhës me shumë kanale (n kanale në total), i cili pranon kërkesa me intensitet λ dhe shërbehet me intensitet μ. Një kërkesë që vjen në sistem shërbehet nëse të paktën një kanal është i lirë. Nëse të gjitha kanalet janë të zëna, atëherë kërkesa e radhës e marrë në sistem refuzohet dhe largohet nga QS. Le të numërojmë gjendjet e sistemit me numrin e kanaleve të zëna:
Oriz. 7.24
Në figurën 6.24 është paraqitur grafiku i gjendjes në të cilin Si– numri i kanalit; λ – intensiteti i kërkesave të pranuara; μ
– në përputhje me rrethanat, intensiteti i kërkesave për servisim. Kërkesat hyjnë në sistemin e radhës me intensitet konstant dhe gradualisht zënë kanalet njëra pas tjetrës; kur të gjitha kanalet janë të zëna, kërkesa e radhës që arrin në QS do të refuzohet dhe do të largohet nga sistemi.
Le të përcaktojmë intensitetin e rrjedhave të ngjarjeve që transferojnë sistemin nga gjendja në gjendje kur lëvizin nga e majta në të djathtë dhe nga e djathta në të majtë përgjatë grafikut të gjendjes.
Për shembull, le të jetë sistemi në gjendje S 1, pra një kanal është i zënë, pasi ka një kërkesë në hyrjen e tij. Sapo të përfundojë shërbimi i kërkesës, sistemi do të kalojë në gjendje S 0 .
Për shembull, nëse dy kanale janë të zënë, atëherë fluksi i shërbimit që transferon sistemin nga gjendja S 2 ne gjendje S 1 do të jetë dy herë më intensive: 2-μ; në përputhje me rrethanat, nëse është i zënë k kanalet, intensiteti është k-μ.
Procesi i mirëmbajtjes është një proces i vdekjes dhe riprodhimit. Ekuacionet Kolmogorov për këtë rast të veçantë do të kenë formën e mëposhtme:
(7.25)
Quhen ekuacionet (7.25). Ekuacionet Erlang
.
Për të gjetur vlerat e probabilitetit të gjendjeve R 0 , R 1 , …, Rn, është e nevojshme të përcaktohen kushtet fillestare:
– R 0 (0) = 1, pra ka një kërkesë në hyrje të sistemit;
– R 1 (0) = R 2 (0) = … = Rn(0) = 0, pra në momentin fillestar të kohës sistemi është i lirë.
Pasi kemi integruar sistemin e ekuacioneve diferenciale (7.25), marrim vlerat e probabiliteteve të gjendjes R 0 (t), R 1 (t), … Rn(t).
Por ne jemi shumë më të interesuar për probabilitetet kufizuese të shteteve. Si t → ∞ dhe duke përdorur formulën e marrë kur shqyrtojmë procesin e vdekjes dhe riprodhimit, marrim një zgjidhje për sistemin e ekuacioneve (7.25):
(7.26)
Në këto formula, raporti i intensitetit λ / μ
për rrjedhën e aplikacioneve është e përshtatshme të caktohet ρ
.Kjo sasi quhet duke pasur parasysh intensitetin e rrjedhës së aplikimeve, domethënë, numri mesatar i aplikacioneve që mbërrijnë në QS gjatë kohës mesatare të shërbimit të një aplikacioni.
Duke marrë parasysh shënimin e bërë, sistemi i ekuacioneve (7.26) do të marrë formën e mëposhtme:
(7.27)
Këto formula për llogaritjen e probabiliteteve margjinale quhen Formulat Erlang
.
Duke ditur të gjitha probabilitetet e gjendjeve QS, do të gjejmë karakteristikat e efikasitetit të QS, d.m.th. A, xhiros relative P dhe probabiliteti i dështimit R hapur
Një aplikim i marrë nga sistemi do të refuzohet nëse i gjen të gjitha kanalet të zëna:
.
Probabiliteti që aplikacioni të pranohet për shërbim:
P = 1 – R hapur,
Ku P– përqindja mesatare e aplikacioneve të pranuara të servisuara nga sistemi, ose numri mesatar i aplikacioneve të shërbyera nga QS për njësi kohore, pjesëtuar me numrin mesatar të aplikacioneve të pranuara gjatë kësaj kohe:
A=λ·Q=λ·(1-P e hapur)
Përveç kësaj, një nga karakteristikat më të rëndësishme të një QS me dështime është numri mesatar i kanaleve të zëna. NË n-kanali QS me dështime, ky numër përkon me numrin mesatar të aplikacioneve në QS.
Numri mesatar i kërkesave k mund të llogaritet drejtpërdrejt përmes probabiliteteve të gjendjeve P 0, P 1, ..., P n:
,
d.m.th. ne gjejmë pritshmërinë matematikore të një ndryshoreje të rastësishme diskrete që merr një vlerë nga 0 në n me probabilitete R 0 , R 1 , …, Rn.
Është edhe më e lehtë të shprehësh vlerën e k përmes kapacitetit absolut të QS, d.m.th. A. Vlera A është numri mesatar i aplikacioneve që shërbehen nga sistemi për njësi të kohës. Një kanal i zënë shërben μ kërkesa për njësi të kohës, pastaj numrin mesatar të kanaleve të zënë
Sistemi i ekuacioneve
QS me dështime për një numër të rastësishëm të flukseve të shërbimit; Grafiku, sistemi i ekuacioneve.
Le të paraqesim QS si një vektor, ku k m– numri i aplikacioneve në sistem, secila prej të cilave është e servisuar m pajisje; L= q max - q min +1 – numri i prurjeve hyrëse.
Nëse një kërkesë pranohet për shërbim dhe sistemi hyn në një gjendje me intensitet λ m.
Kur të përfundojë shërbimi i njërës prej kërkesave, sistemi do të kalojë në një gjendje në të cilën koordinata përkatëse ka një vlerë që është një më pak se në gjendjen , = , d.m.th. do të ndodhë tranzicioni i kundërt.
Një shembull i një modeli QS vektoriale për n = 3, L = 3, q min = 1, q max = 3, P(m) = 1/3, λ Σ = λ, intensiteti i mirëmbajtjes së pajisjes – μ.
Duke përdorur grafikun e gjendjes me intensitetet e tranzicionit të grafikuara, përpilohet një sistem ekuacionesh algjebrike lineare. Nga zgjidhja e këtyre ekuacioneve gjenden probabilitetet R(), me të cilin përcaktohen karakteristikat e QS.
QS me një radhë të pafundme për rrjedhat e Poisson. Grafiku, sistemi i ekuacioneve, marrëdhëniet e llogaritura.
Grafiku i sistemit
Sistemi i ekuacioneve
Ku n- numri i kanaleve të shërbimit, l– numri i kanaleve që ndihmojnë reciprokisht
Një QS me një radhë të pafundme dhe ndihmë të pjesshme reciproke për flukse arbitrare. Grafiku, sistemi i ekuacioneve, marrëdhëniet e llogaritura.
Grafiku i sistemit
Sistemi i ekuacioneve
–λ R 0 + nμ R 1 =0,
.………………
–(λ + nμ) P k+ λ P k –1 + nμ P k +1 =0 (k = 1,2, ... , n–1),
……………....
-(λ+ nμ) P n+ λ P n –1 + nμ Р n+1=0,
……………….
-(λ+ nμ) Pn+j+ λ Р n+j –1 + nμ Р n+j+1=0, j=(1,2,….,∞)
Radhë me një radhë të pafund dhe ndihmë të plotë reciproke për fijet arbitrare. Grafiku, sistemi i ekuacioneve, marrëdhëniet e llogaritura.
Grafiku i sistemit
|
Sistemi i ekuacioneve
Një QS me një radhë të kufizuar për rrjedhat e Poisson. Grafiku, sistemi i ekuacioneve, marrëdhëniet e llogaritura.
Grafiku i sistemit
Sistemi i ekuacioneve
Raportet e llogaritjes:
,
UDC 519.248:656.71
MODEL I NJË SISTEM TË RADIT ME RRJEDHJE JO STACIONARE DHE NDIHMË TË PJESSHME TË RECILISHME MIDIS KANALET
© 2011 V. A. Romanenko
Universiteti Shtetëror i Hapësirës Ajrore Samara me emrin Akademik S.P. Korolev (Universiteti Kombëtar i Kërkimit)
Përshkruhet një model dinamik i një sistemi të radhës me shumë kanale me flukse jo stacionare, në pritje në një radhë me gjatësi të kufizuar dhe ndihmë të pjesshme të ndërsjellë të kanaleve, e shprehur në mundësinë e servisimit të njëkohshëm të një kërkese nga dy kanale. Janë dhënë shprehjet për karakteristikat kryesore probabilistiko-kohore të sistemit. Janë përshkruar rezultatet e modelimit të funksionimit të një aeroporti qendror si shembull i sistemit në shqyrtim.
Sistemi i radhës, rrjedha jo-stacionare, ndihma e ndërsjellë ndërmjet kanaleve, aeroporti hub.
Prezantimi
Ne konsiderojmë një sistem të radhës me shumë kanale (QS) me pritje në një radhë me gjatësi të kufizuar. Një tipar i QS-së në shqyrtim është ndihma e pjesshme e ndërsjellë ndërmjet kanaleve, e shprehur në mundësinë e përdorimit të njëkohshëm të dy kanaleve për të shërbyer një kërkesë. Kombinimi i përpjekjeve të kanaleve përgjithësisht çon në një reduktim të kohës mesatare të shërbimit. Supozohet se QS merr një rrjedhë jo-stacionare Poisson të aplikacioneve. Kohëzgjatja e shërbimit të një aplikacioni varet nga koha.
Një shembull tipik i një QS që ka veçoritë e listuara është sistemi i shërbimit të transportit të aeroportit. Përdorimi i njëkohshëm i disa (zakonisht dy) objekteve (sportelet e kontrollit, cisternat e karburantit të aviacionit, automjetet speciale, etj.) për shërbimin e një fluturimi parashikohet nga oraret teknologjike të shërbimit të aeroportit të avionëve të mëdhenj (AC). Në të njëjtën kohë, nevoja për të përmirësuar cilësinë dhe për të zvogëluar kohëzgjatjen e shërbimeve të transportit tokësor, e cila është veçanërisht e rëndësishme për aeroportet e mëdha, çon në faktin se pjesa e operacioneve të kryera jo nga një, por nga disa (dy) mjete është në rritje.
Kjo rritet me rritjen e shkallës së aeroportit. Modeli i përshkruar në artikull u zhvillua për të zgjidhur problemet e analizës dhe optimizimit të funksionimit të komplekseve të prodhimit të aeroporteve qendrore (nyjet), të karakterizuara nga ngopja e objekteve të transportit tokësor me një fluks të theksuar jo të palëvizshëm të pasagjerëve, avionëve dhe ngarkesave dhe mallrave dhe luhatjet në intensitetin e shërbimit të tyre.
Përshkrimi i përgjithshëm i modelit
Modeli synon të përcaktojë varësitë kohore të karakteristikave probabilistike të një sistemi QS që përmban kanale shërbimi N. Numri i aplikimeve në QS nuk duhet të kalojë K, gjë që mund të jetë për shkak të kufizimeve teknike në numrin e hapësirave të parkimit të avionëve të disponueshëm në aeroport, kapacitetin e terminalit ose kompleksit të ngarkesave, etj. Numri i kanaleve të alokuara për shërbimin e një kërkese mund të jetë ose 1 ose 2. Nëse ka të paktën dy kanale falas, kërkesa e marrë me një probabilitet të caktuar huazohet për servisim.
njëri prej tyre dhe - me probabilitet y2 = 1 - y1 - të dy kanalet. Nëse, në momentin e marrjes së një aplikacioni për servisim, QS ka vetëm një kanal falas, atëherë ky aplikacion në çdo rast zë
kanali i vetëm. Nëse nuk ka kanale të pabanuara, një kërkesë e sapoardhur "mbet në radhë" dhe pret shërbimin. Nëse numri i aplikacioneve në radhë është K-N, atëherë aplikacioni i sapoardhur e lë QS-në pa shërbim. Probabiliteti i një ngjarje të tillë duhet të jetë i ulët.
Hyrja QS merr një rrjedhë aplikacionesh Poisson (jo domosdoshmërisht të palëvizshme).
me intensitet l(t). Supozohet se kohëzgjatja e shërbimit të një kërkese nga një kanal Tobsl1 (t) dhe dy -
Tobsl 2 (t) janë funksione të rastësishme të kohës të shpërndara në mënyrë eksponenciale (procese të rastësishme).
Intensiteti i shërbimit të aplikimit
një kanal ^ (t) dhe njëkohësisht dy kanale m 2 (t) përcaktohen si
mi (t) = [Tobsl1 (t)]-1, m2 (t) = [Tobsl2 (t)]-1,
ku Tobsl1 (t) = M [Tobsl1 (t)], Tobsl 2 (t) = M[Tobsl 2 (t)]
Koha mesatare për shërbimin e një kërkese nga një kanal dhe dy kanale, përkatësisht.
Lidhja ndërmjet madhësive m1 (t) dhe m 2 (t) jepet nga relacioni
m2 (t) = ^m1 (t) ,
ku 9 është një koeficient që merr parasysh rritjen relative të intensitetit të shërbimit kur përdoren dy kanale.
Në praktikë, marrëdhënia midis numrit të fondeve të mbledhura dhe intensitetit të shërbimit është mjaft komplekse, e përcaktuar nga karakteristikat e operacionit të shërbimit në fjalë. Për operacionet, kohëzgjatja e të cilave lidhet me vëllimin e punës së kryer (për shembull, karburanti i një avioni me karburant avioni duke përdorur cisterna me karburant, hipja ose zbarkimi i pasagjerëve nga një avion, etj.), varësia e intensitetit të shërbimit nga numri i kanaleve afrohet drejtpërsëdrejti proporcional, por nuk është rreptësisht i tillë për shkak të kohës së nevojshme për përgatitje
por operacionet përfundimtare që nuk ndikohen nga numri i fondeve. Për operacione të tilla, £ 2. Për një numër operacionesh, varësia e kohëzgjatjes së ekzekutimit nga numri i objekteve ose performuesve është më pak e theksuar (për shembull, check-in ose para fluturimit
kontrolli i pasagjerëve). Në këtë rast në »1.
Në një moment arbitrar të kohës I, QS e konsideruar mund të jetë në një nga gjendjet diskrete L+1 - B0, ...,
QYRJE. Kalimi nga shteti në gjendje mund të ndodhë në çdo kohë. Probabiliteti që në momentin unë QS do të jetë në gjendje
kushti i normalizimit 2 р () =1 Di-
Analiza e probabiliteteve P0 (/), PX (t),..., Pb (t) lejon të përcaktohen karakteristika të tilla të rëndësishme virtuale (të menjëhershme) të QS si gjatësia mesatare e radhës, numri mesatar i kanaleve të zënë, numri mesatar i kërkesave të vendosura në QS, etj.
Probabilitetet e gjendjeve p(t) gjenden duke zgjidhur një sistem ekuacionesh diferenciale Kolmogorov, të shkruara përgjithësisht si
=Ё jp(t)P /(t)-P,(t)Z (t).,
r = 0,1,...,b,
Ku<р^ ^) - плотности (интенсивности) вероятностей перехода из состояния с порядковым номером г в состояние с порядковым номером ]. Величины фу (t) определяются по формуле
ku P(/; At) është probabiliteti që QS, i cili ishte në gjendjen B në momentin t, për
koha At do të shkojë nga ajo në shtet
Për të përpiluar ekuacionet Kolmogorov, përdoret një grafik i gjendjes së etiketuar të QS. Në të, intensitetet përkatëse të f janë vendosur mbi shigjetat që çojnë nga B. në B. Derivati i probabilitetit të secilës gjendje përcaktohet si shuma e të gjitha rrjedhave të probabilitetit që vijnë nga gjendjet e tjera në një gjendje të caktuar, minus. shuma e të gjitha rrjedhave të probabilitetit që shkojnë nga një gjendje e caktuar në të tjerat.
Për të krijuar një grafik, prezantohet një sistem shënimesh me tre indeks, në të cilin gjendja e QS në shqyrtim në një moment arbitrar në kohë karakterizohet nga tre parametra: numri i kanaleve të zëna n (n = 0,1,.. .,^), numri i kërkesave të shërbyera k (k = 0,1,...,^) dhe në pritje të shërbimit t (t = 0,1,...,^ - N).
Në Fig. Figura 1 tregon një grafik të gjendjes së etiketuar, të përpiluar duke përdorur rregullat e përshkruara më sipër dhe shënimet e paraqitura, për një QS të zgjedhur si një shembull i thjeshtë.
Për të kursyer hapësirë, në grafikun dhe në sistemin përkatës të ekuacioneve Kolmogorov të dhëna më poshtë, përcaktimet e varësisë funksionale nga koha e intensiteteve 1, m1, m2 dhe probabilitetet e gjendjeve janë lënë jashtë.
^000 /L = -(^1^ + ^2^) P000 + tr10 + t2P210,
= - (t + U-11 + U21) рш + ^Рр000 +
2t1R220 + t2 R320,
LR210 IL = - (t2 + ^11 + ^21) P210 + V2YP000 +
Т1Р320 + 2 ^2Р420,
LR220/L = -(2^1 + ^1^ + ^21) Р220 + ^1Rio +
3 t1Р330 + ^2Р430,
LR32<:)1Л = - (т2 + т1 + ^11 + ^21)р320 +
+^11Р210 + V2ЯP110 + 2t 1Р430 +
LR4yu1L (1 + 2 ^2) Р420 + ^21Р210 + t р30, ЛР330 /Л = -(3т1 + ^1^+ ^21) Р330 + ^11Р220 + +4^1Р440 + Т2р40,
^430 /L = - (2^1 + ^2 + 1) Р430 + ^11Р320 +
+^2^ Р220 + 3т 1р40 + 2^2р31,
LR530/l =-(t + 2t2 + i) p^30+1P420 +
+^2YaP320 + t1P531,
LR440 IL (4t1 + I) R40 + R330 +
5^1р50 + t2р41,
LR540/ l =-(t2 + 3t + i) r540 + yar430 +
+"^2YaP330 + 3 t1P541 + 2 t2P532,
LR531/L = - (^1 + 2^2 + R) R^31 + R530 +
LR550 IL = -(5t1 + Y) R550 + YR440 +
5t1R551 + t2R542,
LR541/ l = - (t2 + 3t + i) p^41 + ya^40 +
LR532/l = -(t1 + 2t2) Р532 + i р531,
LR5511L = - (5t1 + Y)r51 + YR550 + 5t1R552,
lr542 / l = - (3 t + t2) r542 + i r541,
Lp5^^ = 5 t1P552 + i p51.
Nëse në momentin t = 0 nuk ka kërkesa në QS, atëherë kushtet fillestare do të shkruhen në formën
P10 (0) = P210 (0) = P220 (0) =... = P552 (0) = 0.
Zgjidhja e sistemeve me dimensione të mëdha si (1), (2), me vlera të ndryshueshme 1(^, mDO, m2(0) është e mundur vetëm me metoda numerike duke përdorur një kompjuter.
Oriz. 1. Grafiku i gjendjes së QS
Ndërtimi i një modeli QS
Në përputhje me qasjen algoritmike, ne do të shqyrtojmë një teknikë për transformimin e një sistemi të ekuacioneve Kolmogorov me dimension arbitrar në një formë të përshtatshme për llogaritjet kompjuterike. Për të thjeshtuar regjistrimin, ne përdorim në vend të një sistemi të trefishtë një sistem të dyfishtë të shënimeve të gjendjeve QS, në të cilin r është numri i kanaleve të zëna me shërbimin plus gjatësia e radhës,] është numri i aplikacioneve në QS . Marrëdhënia midis sistemeve të shënimeve shprehet me varësi:
r = n + m, r = 0,1,...,K;
] = k + m, ] = 0,1,...,K.
Asnjë gjendje nga grupi formal nuk mund të realizohet
B. (r = 0,1,...,K; ] = 0,1,...,K). Veçanërisht,
brenda kornizës së modelit të përshkruar, shtetet janë të pamundura në të cilat dy ose më shumë kërkesa shërbehen njëkohësisht nga një
kanal, d.m.th. R. (t) = 0 nëse ] > r Le të shënojmë me simbolin 8 bashkësinë e gjendjeve të pranueshme të QS. Shteti B. ekziston, dhe
probabiliteti i tij përkatës P. ^)
mund të jetë jo zero nëse plotësohet një nga kushtet e mëposhtme:
1)] <г< 2], если 2] < N,
2)] <г< ] + Ч - 1 если \ .
y] + H - 1< К,
3)] < г < К, если ] + ч - 1 ^ К,
r = 0,1,...,K; ] = 0,1,...,K,
ku X është numri maksimal i shteteve me numër të ndryshëm kanalesh shërbimi për një numër të caktuar kërkesash, i përcaktuar nga formula
Këtu kllapat tregojnë veprimin e hedhjes së pjesës thyesore. Për shembull,
duke gjykuar nga grafiku i gjendjes i paraqitur në Fig. 1, dy kërkesa mund të shërbehen nga dy, tre ose katër kanale. Prandaj, në shembullin e diskutuar më sipër
H = 5 - = 5 - 2 = 3.
Për të zbatuar llogaritjet kompjuterike duke përdorur një sistem ekuacionesh Kolmogorov me dimension arbitrar, ekuacionet e tij duhet të reduktohen në një formë universale që lejon të shkruhet çdo ekuacion. Për të zhvilluar një formë të tillë, merrni parasysh një fragment të grafikut të gjendjes që shfaq një gjendje arbitrare B] me ato kryesore nga ai
shigjetat e intensitetit. Le të shënojmë me numra romakë shtetet fqinje të lidhura drejtpërdrejt me B., siç tregohet në Fig. 2.
Për çdo gjendje të B. (g = 0.1,...,K; ] = 0.1,...,K), në mënyrë që B. e 8, në kohën t vlerat
p^), p(t), p.^), p(t) pranoj
vlera të ndryshme (përfshirë ato të barabarta me zero). Megjithatë, struktura e ekuacionit
(3) mbetet i pandryshuar, gjë që lejon përdorimin e tij për zbatimin kompjuterik të një sistemi të ekuacioneve Kolmogorov me dimension arbitrar.
Intensitetet fr (t), (р. (t), që tentojnë të transferojnë QS në gjendje me vlera të mëdha të r dhe ], nëse prania e gjendjeve të tilla është e mundur, përcaktohen bazuar në një sërë kushtesh si më poshtë :
o.. ї a or
°(,-+1)0"+1) ї 8'
0(,-+2)(.+1) - 8 i £ N - 2,
o(i+1)(.+1)- 8 ose
°(.+2)а+1)ї 8
O(.+1)(V+1) - 8'
Oriz. 2. Fragment i grafikut të gjendjes QS
Duke marrë parasysh praninë e shteteve fqinje në lidhje me B., ekuacioni për B. do të shkruhet si më poshtë:
-£ = -[P () + P () + P. () +
Рр (tИ Рг, (t) + Рр+1)(.+1) (t) Р(г+1)(.+1) () +
Р(Н(1-1)^)Р(-1)(1 -1)^) +
Р 2)()+1)()Р(г+2)()-+1)() +
РЦ2)(.-1) (t)P(г-2)(.-Г) ().
О(.+1)(.+1)ї 8 ose і > N - 2
Y2X(i), nëse
I(i+1)(.+1) - 8>
O(i+2)(.+1) - 8 ' i £ N - 2,
О(і+1)(.+1)ї 8'
O(i+2)(.+1) - 8'
r = 0,1,...,k, . = 0,1,...,k.
Intensiteti i lumit (), fq..11 (), duke transferuar QS nga gjendja B-. në shtete
me vlera më të vogla të g dhe. (nëse prania e shteteve të tilla është e mundur), janë drejtpërdrejt proporcionale me numrin e kanaleve të përfshira, duke shërbyer kërkesa të llojeve të ndryshme të vendosura në QS (që zënë një ose dy kanale për servisim). Një grup prej dy kanalesh të angazhuar në shërbimin e një kërkese të llojit përkatës mund të konsiderohet si një kanal. Prandaj, në rastin e përgjithshëm
p () = kdM1 () , R. () = ky2^2 () ,
ku k.1 është numri i kërkesave që zënë një kanal të shërbyer nga QS në gjendjen B; k është numri i kërkesave që zënë dy kanale secili, të shërbyer nga QS në shtetin B.
Nëpërmjet g dhe. këto vlera përcaktohen si më poshtë:
G2. - g nëse g< N,
y1 [ N - 2 (r - .), nëse r > N, (4)
për të! 2 = g - . .
Duke marrë parasysh kufizimet e mundësisë së ekzistimit të shprehjes për
p(), R.() kanë formën
^B(g-1)(L) e 8,
Treguesit e efektivitetit të funksionimit të QS
Modeli i përshkruar na lejon të përcaktojmë varësitë kohore të treguesve të mëposhtëm të efikasitetit operacional të QS të konsideruar.
Gjatësia mesatare e radhës:
mund ()=22(g-p) R ().
Numri mesatar i kanaleve të zëna:
Numri mesatar i aplikimeve në CMO:
m, ()=22.R. ().
Probabiliteti i refuzimit të shërbimit:
Є, ()= 2 Р- ().
Mund të merret shpërndarja e kohës virtuale të pritjes nga aplikacioni
shërbim Ж (x,t) = Р ^ож ()< х) , позволяющее характеризовать качество обслуживания рассматриваемой СМО. Поступившая в систему заявка вынуждена ожидать обслуживания в случае, если все каналы заняты обслуживанием заявок, поступивших
më parë. Ekziston një probabilitet Рк=0 (t) për shërbimin e menjëhershëm të një kërkese hyrëse në prani të një kanali të lirë (ose disa kanaleve falas)
B(g-1)(.-1) 8 £,
r = 0,1,...,K, . = 0,1, ..., K.
R. () ° 0, nëse B. 8 £.
Duke marrë parasysh mundësinë e dështimit, vlera e dëshiruar e funksionit të shpërndarjes Ж (х^) do të përcaktohet si
F (x-‘)=(--o(t)
EEZH M (,)) ()
Ru()° 0 nëse °y. ї 8.
Këtu Ж (х,т| (і,./)) është një funksion i kushtëzuar
shpërndarja e kohës së pritjes për një kërkesë të caktuar, me kusht që në momentin e mbërritjes së saj T të gjente QS në gjendjen y.
Në QS në shqyrtim, koha e pritjes për shërbim nga një kërkesë hyrëse varet jo vetëm nga numri i kërkesave tashmë në QS, por edhe nga shpërndarja e kanaleve ndërmjet servisimit grupor dhe individual të kërkesave ekzistuese. Nëse ndihma e ndërsjellë midis kanaleve nuk do të ekzistonte, atëherë QS në shqyrtim do të ishte një QS tradicionale me pritje në një radhë me gjatësi të kufizuar, për të cilën koha totale e pritjes për fillimin e shërbimit nga një pretendim që kapërceu m pretendime të tjera në radhë. në momentin e mbërritjes do të kishte një shpërndarje Erlang E,^) (X) .
Këtu mbishkrimi përmban intensitetin e kërkesave të shërbimit nga të gjitha kanalet N që veprojnë në prani të një radhe; nënshkrimi është rendi i shpërndarjes sipas ligjit të Erlang. Në QS-në e shqyrtuar këtu, ligji i përshkruar është i vlefshëm vetëm për kërkesat që kanë hyrë në QS në shtetet ku të gjitha kanalet janë të zëna, dhe të gjitha ato kryejnë një kërkesë. Për këto gjendje mund të shkruajmë
F (x,t| ^ + m,N + t)) = ^+1() (x).
Le të shënojmë si E^”^1 (x) funksionin e shpërndarjes së ligjit të përgjithësuar Erlan
ha, me rendin 2"r - 1, ku ag është numri
Ja variabla të rastësishme të shpërndara mbi
ligji eksponencial me parametrin y. ME
Duke përdorur shënimin e prezantuar, ne shkruajmë shprehje për funksionin e shpërndarjes së kohës së pritjes në gjendjet e tjera. Krahasuar me (5), këto shprehje kanë një formë më komplekse, e cila nuk ndërhyn në zbatimin e tyre softuerik. Më tej, si shembull, ato janë dhënë vetëm për tre gjendjet e para të zënies së plotë të kanaleve duke përdorur indeksimin e prezantuar më parë me tre karaktere:
F (x,t| (n,k,t)) = F (x,t| (N,N - g,0)) =
= (x), 0 £ g £ d,
ku dhe. = kLt (t)+ku 2M2 (t);
Ж (х,т| (п,к,т)) = Ж (х,т| (N,N - g,l)) =
N ^ ^ - g) Km(T)
F (x,t| - g, 2))
N ^).(N - g) Km(t)
E/^(t),(t-g) ■я(t),(t-g+l)
(N),(N - g) ktM(T)
EI-)(t-g)(x) +
^).(N - g) eH^) (x)
Koha mesatare e pritjes virtuale për një aplikacion Toz () përcaktohet numerikisht si
Identiteti (T) = | ^Х (x,T) .
Mund të përcaktohet gjithashtu shpërndarja e kohës së shërbimit virtual për një kërkesë të zgjedhur në mënyrë arbitrare Tobsl ^).
Meqenëse ndryshimi në Tobsl (t) në QS-në e konsideruar është një proces i rastësishëm, i cili është një përzierje e dy proceseve të rastësishme të shpërndara në mënyrë eksponenciale TobsL1 ^) dhe TobsL2 ^), atëherë shpërndarja
V (x^) = P (Tobsl (t)< х) не будет показательным. С учётом возможности отказа выражение для функции распределения V (х^) запишется в виде
EEU M k,.YR(t)
R.. ^) ° 0, nëse 8. £ 8.
Këtu V (x^| (r,.)) është funksioni i shpërndarjes së kushtëzuar të kohës së shërbimit të një kërkese të caktuar, me kusht që në momentin e mbërritjes së saj të gjente QS në gjendje.
Nëse, në kohën e fillimit të shërbimit të një aplikacioni, QS është në një gjendje në të cilën shërbimi në grup dhe individual është i mundur, atëherë koha e shërbimit është një përzierje e dy pro-
kalimi në shërbimin grupor - nëse kushti është i mundur (Fig. 2). Kështu kemi:
U(M(i--/")) =
y (1 - e-t(t)x) + +y (1 - e^2(t)x),
I О(і+2)(]+1) ї 8, О(і+1)(.+1) - 8,
"2\* ^ І' I ^ +2)(.+1)
i = 0,1,...,N -1, i = 0,1,...,N -1.
Meqenëse, në mungesë të dy kanaleve të lira, çdo kërkesë shërbehet nga një kanal, atëherë probabiliteti aktual ^) i alokimit të një kanali është
det është më i madh se një V Funksioni i dhënë uv ^) përkufizohet si
EEU O", "r(t)
R. (t) ° 0, nëse R. ї 8.
Këtu y1(r,.) është probabiliteti i ndarjes së një pajisjeje për të shërbyer një kërkesë të marrë nga QS në gjendjen:
О(і+1)(.+1) - 8, О(і
2)(}+1) -2)(!+1)
kohëzgjatjet: Tobsl1 (t) dhe Tobsl2 (t), dis- i = 0.1...,K -1, . = 0,1...,K -1.
kufizuar në mënyrë eksponenciale me parametrat ^1 (t) dhe ^2 (t), respektivisht. Nëse në
Në këtë pikë, nuk është e mundur të ndahen dy kanale, atëherë koha për shërbimin e kërkesës shpërndahet në mënyrë eksponenciale me parametrin
t(t). Kur një kërkesë i afrohet kanaleve të shërbimit në shtetin B., kalimi në shërbimin individual lejohet kur
prania e mundësisë së shtetit I(
Kohëzgjatja mesatare e shërbimit të një kërkese të përfshirë në QS në atë kohë
T, mund të përkufizohet përmes uv (T) si
Tbl (t)=uf (t) Tm (t)+ Tbs 2 (t).
Shpërndarja e kohës virtuale të qëndrimit të aplikacionit në QS
dhe (x,t)= P (Tpreb (t)< х)
përcaktohet duke përdorur shprehjet e marra më parë për funksionet e shpërndarjes së kohës së pritjes dhe kohës së shërbimit - =
vaniya si unë,
2^2 (t) Et^^(t)^^) (x) +
EEi M))рї(t)
dhe (x,t| (^ .)) =
1 - e-M1(t)x
y (1 - e-t(t)x)-+y2(1 - e
(1 - e ^t(t)x),
О(і+1)(.+1) - 8, О(і+ 2)(.+1) ї 8’
О(і+1)(.+1) - 8’ О(і+2)(.+1) - 8,
r = 0,1,...^-1, . = 0’l’...’N-1.
Për gjendjet e tjera, formulat për funksionin e shpërndarjes së kushtëzuar shkruhen në analogji me formulat për
Ж (х^| (п,к,т)) duke përdorur indeksimin me tre karaktere. Më poshtë ato janë dhënë për tre gjendjet e para të zënies së plotë të kanalit:
Në momentin e hyrjes, nuk ka radhë, por të gjitha kanalet janë të zëna:
dhe (x^| (n,k,t)) = dhe (x^| (NN - g,0)) =
(x), 0 £ g £ d;
Në kohën kur një aplikacion hyn, ka një aplikacion në radhë:
R. (t) ° 0, nëse R. ї 8.
Këtu dhe (x^| (r,.)) është funksioni i shpërndarjes së kushtëzuar i kohës së kaluar në QS të një kërkese, me kusht që në momentin e mbërritjes së saj t'i gjente sistemin në gjendje.
Për shtetet me kanale falas, koha e qëndrimit në QS përkon me kohën e shërbimit:
Në kohën kur një aplikacion hyn, ka dy aplikacione në radhë:
dhe (x,t | (t,t - ^2))
(t)(t^)H (t)(t^+1)
(t)(t - g) ktsM (t)
(t) (t - g) KtsM (t)
Koha mesatare virtuale e qëndrimit të një aplikacioni në QS përcaktohet si
Tpreb ^) = Tobsl (t) + Toz (t).
Një shembull i përdorimit të modelit QS
Funksionimi i përditshëm i kompleksit të prodhimit të një prej aeroporteve qendrore rajonale të Evropës Lindore simulohet kur kryhet një operacion i veçantë teknologjik për shërbimin e avionëve që vijnë. Si të dhëna fillestare për modelim, varësitë kohore të intensitetit mesatar të fluksit të avionëve që mbërrijnë
për shërbimin, i(t) dhe intensiteti
avion servisues me një mjet t1 (t) .
Siç vijon nga të dhënat e ndërtuara
Grafiku i varësisë së uebsajtit të aeroportit i(t)
(Fig. 3a), furnizimi i BC karakterizohet nga pabarazi të konsiderueshme: gjatë ditës vërehen katër maksimum intensiteti, që korrespondojnë me katër "valë"
ne" mbërritjet dhe nisjet e fluturimeve. Vlerat maksimale prej 1 (t) për "valët" kryesore arrijnë 25-30 VS/h.
Në Fig. 3 dhe gjithashtu shfaq një grafik të varësisë t (t). Supozohet se jo
vetëm intensiteti i rrjedhës së avionëve, por edhe intensiteti i shërbimit të tyre është në funksion të kohës dhe varet nga faza e “valës”. Fakti është se për të reduktuar kohën mesatare të transferimit për pasagjerët, orari i aeroportit qendror është i strukturuar në atë mënyrë që "vala" të inicohet nga mbërritjet e avionëve me pasagjerë të mëdhenj, mirëmbajtja e të cilave kërkon shumë. të kohës, dhe plotësohet me ardhjen e avionëve të vegjël. Në shembull, supozohet se kohëzgjatja mesatare e një operacioni me një mjet, që është 20 minuta për pjesën më të madhe të kohëzgjatjes së ditës, në fazën fillestare të "valës" rritet në 25 minuta. dhe reduktohet në fazën përfundimtare në 15 minuta. Kështu, katër intervale me
niveli i reduktuar t (t) në Fig. 3a korrespondojnë me fazat fillestare të "valëve", kur mbizotërojnë mbërritjet e avionëve të mëdhenj. Nga ana tjetër, katër intervale të rritjes
niveli t^) bien në finale
Fazat "valë" me mbizotërim të avionëve të vegjël.
Më poshtë përshkruajmë rezultatet e simulimit që na lejojnë të vlerësojmë efikasitetin e sistemit. Në Fig. 3b-3d tregojnë varësitë kohore të vlerave mesatare të numrit të kanaleve të zëna Nз ^),
numri total i aplikimeve në sistemin e Ministrisë së Shëndetësisë ^) dhe
gjatësitë e radhës Moz (7) të marra për dy vlera kufizuese të probabilitetit n1 = 0 dhe n1 = 1 me karakteristikat e mëposhtme të projektimit: N = 10; K = 40; në = 1,75. Duke gjykuar nga grafiku i varësisë Nз (t)
(Fig. 3b), gjatë pjesës më të madhe të intervalit kohor ditor, zënia e kanaleve të shërbimit të sistemit mbetet e ulët, gjë që është pasojë e hyrjes jo-stacionare.
rrjedha e avionëve. Ngarkesa e lartë (60-80%) arrihet vetëm gjatë "valës" së dytë të mbërritjeve dhe nisjeve, dhe opsioni n1 = 0 në vlera të mëdha prej 1 (t) shkakton një ngarkesë më të madhe në sistem dhe në vlera të vogla. prej 1 (t) - më pak
krahasuar me opsionin n1 = 1. Për më tepër, si
modelimi tregoi se probabiliteti i dështimit në sistemin në shqyrtim për të dy opsionet është i papërfillshëm.
Krahasimi i grafikëve të varësisë
M3 ^) dhe Mozh ^) (Fig. 3c dhe 3d, respektivisht) na lejon të konkludojmë se në QS me n1 = 0 ka mesatarisht më pak kërkesa dhe pritet të shërbehen më shumë kërkesa sesa me n1 = 1. Kjo kontradiktë shpjegohet me faktin se çdo aplikim i marrë nga QS, i cili në rastin n1 = 0 merr dy.
kanal, lë më pak kanale të lira për kërkesat që e ndjekin, duke i detyruar ata të krijojnë një radhë më të madhe se në rastin.
n1 = 1. Në të njëjtën kohë, përdorimi në grup i kanaleve, duke reduktuar kohën e shërbimit, shkakton një ulje të numrit total të aplikacioneve të servirura dhe në pritje të shërbimit. Pra, në shembullin në shqyrtim, koha mesatare e shërbimit gjatë ditës është
për opsionin p1 = 1 është 20 minuta, dhe për
opsioni p1 = 0 - 11,7 min.
Modeli i diskutuar më sipër bën të mundur zgjidhjen e problemeve që lidhen me kërkimin e menaxhimit optimal të cilësisë së shërbimeve të transportit. Në Fig. 3d, 3f tregojnë disa rezultate të zgjidhjes së këtij lloj problemi, kuptimi i të cilave shpjegohet më tej duke përdorur shembullin e aeroportit në shqyrtim.
Gjatësia mesatare e radhës, e cila është e vogël edhe gjatë ngarkesave maksimale, që nuk i kalon 0,6 avionë në shembullin në shqyrtim (Fig. 3d), nuk garanton që për shumicën dërrmuese të avionëve koha e pritjes në radhë do të jetë e pranueshme. Kohë mesatare e ulët e pritjes me një kohë mesatare të kënaqshme për përfundimin e një operacioni shërbimi
Kjo gjithashtu nuk përjashton mundësinë e ndërprerjes së papranueshme të gjatë gjatë mirëmbajtjes së avionëve individualë. Le të shqyrtojmë një shembull kur cilësia e shërbimit të aeroportit i nënshtrohet kërkesave si për të siguruar vlera të kënaqshme për kohën e pritjes për shërbim dhe për kohën e kaluar në sistem. Ne do të supozojmë se më shumë se 90% e avionëve duhet të jenë të papunë për mirëmbajtje për më pak se 40 minuta, dhe koha e pritjes për mirëmbajtje për të njëjtën pjesë të avionëve duhet të jetë më pak se 5 minuta. Duke përdorur shënimin e paraqitur më sipër, këto kërkesa për cilësinë e shërbimit të aeroportit do të shkruhen në formën e pabarazive:
P (Tpreb (t)< 40мин)>09, P (Identiteti (t)< 5мин)> 09
Në Fig. 3d, 3f tregojnë varësitë kohore të probabiliteteve P (Tpreb (/)< 40мин)
dhe P (Ident. (")< 5 мин) для интервала времени
460-640 min. nga fillimi i ditës së modelit që korrespondon me "valën" e dytë të mbërritjeve.
Siç mund të shihet nga figurat, opsioni n1 = 1 nuk është
siguron besueshmëri të llogaritur për sa i përket kohës së shërbimit: kërkesë për kohën e shërbimit të përcaktuar nga kushti
P (Tpreb (t)< 40мин)>09, kryhet vetëm gjatë një periudhe të shkurtër prej 530560 minutash, që korrespondon me ardhjet e vogla
dielli. Nga ana tjetër, opsioni n1 = 0 nuk siguron besueshmërinë e llogaritur për sa i përket kohës së pritjes në radhë: gjatë intervalit të mbërritjeve të avionëve të mëdhenj (500-510 min.)
Oriz. 3. Rezultatet e simulimit 262
plotësohet kushti P (Iz(t)< 5мин) > 0.9.
Siç ka treguar modelimi, mënyra për të dalë nga kjo situatë mund të jetë zgjedhja
opsioni i kompromisit y1 » 0.2. Në praktikë, ky opsion do të thotë që shërbimet e aeroportit duhet t'i ndahen nga dy fonde secila për të shërbyer jo të gjithë avionët, por vetëm ata të përzgjedhur në bazë të një kriteri të caktuar, për shembull,
kapaciteti i pasagjerëve. Këtu y1 luan një rol
një parametër që ju lejon të kontrolloni treguesit e performancës së QS: kohën e pritjes për një aplikacion në radhë dhe kohën që aplikacioni qëndron në QS ose kohën e shërbimit.
Pra, sistemi i konsideruar, i cili përdor një ose dy kanale njëkohësisht për të shërbyer një kërkesë, është një rast i veçantë, por praktikisht domethënës i një QS me
ndihma reciproke e kanaleve. Përdorimi i një modeli dinamik të një QS të tillë lejon që dikush të parashtrojë dhe zgjidhë optimizime të ndryshme, duke përfshirë shumë kritere, probleme që lidhen me menaxhimin jo vetëm të numrit total të fondeve, por edhe me ndihmën e tyre të ndërsjellë. Problemet e këtij lloji janë veçanërisht të rëndësishme për aeroportet qendrore, të cilat janë të ngopura me objekte shërbimi, me flukset e tyre të fluturimeve jo-stacionare dhe me intensitetin e luhatshëm të shërbimit. Kështu, modeli i QS-së së konsideruar është një mjet për të analizuar dhe optimizuar parametrat e një klase kaq premtuese të aeroporteve si shpërndarës.
Bibliografi
1. Bocharov, P.P. Teoria e radhës [Tekst] / P.P. Bocharov, A.V. Pe-chinkin. - M.: Shtëpia botuese RUDN, 1995. - 529 f.
MODELI I NJË SISTEM TË RADIT ME RRJEDHJE JO STACIONARE DHE NDIHMË TË PJESSHME TË RECILISHME MIDIS KANALET
© 2011 V. A. Romanenko
Universiteti Shtetëror i Hapësirës Ajrore Samara me emrin akademik S. P. Korolyov (Universiteti Kombëtar i Kërkimeve)
Përshkruhet një model dinamik i sistemit të radhës shumëkanalësh me prurje jo të palëvizshme, pritje në një radhë me gjatësi të kufizuar dhe asistencë reciproke të pjesshme të kanaleve të shprehura në mundësinë e shërbimit të njëkohshëm të një klienti nga dy kanale. Janë dhënë shprehjet për karakteristikat bazë probabiliteti-kohë të sistemit. Diskutohen rezultatet e modelimit të funksionimit të një aeroporti qendror si shembull i sistemit.
Sistemi i radhës, rrjedha jo-stacionare, ndihma e ndërsjellë ndërmjet kanaleve, aeroporti hub.
Informacion rreth autorit Vladimir Alekseevich Romanenko, Kandidat i Shkencave Teknike, Profesor i Asociuar, Doktorant i Departamentit të Organizimit dhe Menaxhimit të Transportit të Transportit, Universiteti Shtetëror i Hapësirës Ajrore Samara me emrin Akademik S.P. Korolev (universitet kombëtar i kërkimit). Email: [email i mbrojtur]. Fusha e interesave shkencore: optimizimi dhe modelimi i sistemit të shërbimit të transportit të një aeroporti qendror.
Romanenko Vladimir Alexeevitch, kandidat i shkencave teknike, profesor i asociuar, doktoraturë në departamentin e organizimit dhe menaxhimit të transportit, Universiteti Shtetëror i Hapësirës Ajrore Samara me emrin akademik S. P Korolyov (Universiteti Kërkimor Kombëtar: vla_rom@mail). Fusha e kërkimit: optimizimi dhe simulimi i një sistemi të shërbimit të transportit të aeroportit qendror.
Deri më tani, ne kemi shqyrtuar vetëm QS të tilla në të cilat çdo kërkesë mund të shërbehet nga vetëm një kanal; kanalet e pabanuara nuk mund t'i "ndihmojnë" të zënët në servisim.
Në përgjithësi, nuk është gjithmonë kështu: ka sisteme të radhës ku e njëjta kërkesë mund të shërbehet njëkohësisht nga dy ose më shumë kanale. Për shembull, e njëjta makinë e prishur mund të shërbehet nga dy punëtorë njëherësh. Një "ndihmë e ndërsjellë" e tillë ndërmjet kanaleve mund të bëhet si në QS të hapura ashtu edhe në ato të mbyllura.
Kur shqyrtohet një QS me ndihmën e ndërsjellë ndërkanale, duhet të merren parasysh dy faktorë:
1. Sa shpejt përshpejton shërbimi i një aplikacioni kur në të nuk punojnë njëkohësisht jo një, por disa kanale?
2. Çfarë është “disiplina e ndihmës së ndërsjellë”, d.m.th. kur dhe si marrin përsipër disa kanale shërbimin e së njëjtës kërkesë?
Le të shohim fillimisht pyetjen e parë. Është e natyrshme të supozohet se nëse jo një kanal, por disa kanale janë duke punuar për të shërbyer një aplikacion, intensiteti i fluksit të shërbimit nuk do të ulet me rritjen e k, d.m.th., ai do të përfaqësojë një funksion jo-zvogëlues të numrit k të punës kanalet. Le të shënojmë këtë funksion Një formë e mundshme e funksionit është paraqitur në Fig. 5.11.
Natyrisht, një rritje e pakufizuar në numrin e kanaleve që funksionojnë njëkohësisht jo gjithmonë çon në një rritje proporcionale të shpejtësisë së shërbimit; Është më e natyrshme të supozohet se në një vlerë të caktuar kritike, një rritje e mëtejshme e numrit të kanaleve të zëna nuk e rrit më intensitetin e shërbimit.
Për të analizuar funksionimin e një QS me ndihmën e ndërsjellë midis kanaleve, është e nevojshme, para së gjithash, të vendosni llojin e funksionit.
Rasti më i thjeshtë për t'u studiuar do të jetë rasti kur funksioni rritet në proporcion me k ndërsa dhe mbetet konstant dhe i barabartë (shih Fig. 5.12). Nëse numri i përgjithshëm i kanaleve që mund të ndihmojnë njëri-tjetrin nuk e kalon
Le të ndalemi tani në pyetjen e dytë: disiplina e ndihmës së ndërsjellë. Rastin më të thjeshtë të kësaj disipline do ta quajmë "të gjithë si një". Kjo do të thotë që kur shfaqet një kërkesë, të gjitha kanalet fillojnë ta servisojnë atë menjëherë dhe mbeten të zënë derisa të përfundojë shërbimi i kësaj kërkese; atëherë të gjitha kanalet kalojnë në shërbimin e një kërkese tjetër (nëse ka një) ose presin shfaqjen e saj nëse jo, etj. Natyrisht, në këtë rast, të gjitha kanalet funksionojnë si një, QS bëhet me një kanal, por me një shërbim më të lartë. intensiteti.
Shtrohet pyetja: a është fitimprurëse apo jofitimprurëse futja e një ndihme të tillë reciproke ndërmjet kanaleve? Përgjigja e kësaj pyetjeje varet se cili është intensiteti i fluksit të kërkesave, çfarë lloj funksioni, çfarë lloj QS (me dështime, me radhë), çfarë vlere zgjidhet si karakteristikë e efikasitetit të shërbimit.
Shembulli 1. Ekziston një QS me tre kanale me dështime: intensiteti i fluksit të aplikacioneve (aplikime për minutë), koha mesatare e shërbimit të një kërkese nga një kanal (min), funksioni Pyetja është nëse është e dobishme nga këndvështrimi i xhiros së QS për të futur ndihmën e ndërsjellë ndërmjet kanaleve të tipit “të gjithë si një”? A është kjo e dobishme për sa i përket reduktimit të kohës mesatare që një aplikacion qëndron në sistem?
Zgjidhja a. Pa ndihmë reciproke
Sipas formulave Erlang (shih § 4) kemi:
Kapaciteti relativ i QS;
Qarkullimi absolut:
Koha mesatare që një aplikacion qëndron në QS gjendet si probabilitet që aplikacioni të pranohet për shërbim, shumëzuar me kohën mesatare të shërbimit:
Gsist (min).
Nuk duhet të harrojmë se kjo kohë mesatare vlen për të gjitha aplikacionet - si të servisuara ashtu edhe të pashërbyera Ne gjithashtu mund të jemi të interesuar për kohën mesatare që një aplikacion i servisuar do të qëndrojë në sistem. Kjo kohë është e barabartë me:
6. Me ndihmën e ndërsjellë.
Koha mesatare që një aplikacion qëndron në CMO:
Koha mesatare e shpenzuar nga një aplikacion i servisuar në CMO:
Kështu, në prani të ndihmës së ndërsjellë "të gjithë si një", xhiroja e QS është ulur ndjeshëm. Kjo shpjegohet me një rritje të probabilitetit të refuzimit: ndërsa të gjitha kanalet janë të zënë me shërbimin e një kërkese, kërkesa të tjera mund të vijnë dhe, natyrisht, të refuzohen. Sa i përket kohës mesatare që një aplikacion shpenzon në CMO, ajo, siç pritej, u ul. Nëse, për ndonjë arsye, ne përpiqemi të reduktojmë plotësisht kohën që një aplikacion shpenzon në QS (për shembull, nëse qëndrimi në QS është i rrezikshëm për aplikacionin), mund të rezultojë se, pavarësisht reduktimit të xhiros, ai do të është ende e dobishme për të kombinuar të tre kanalet në një.
Le të shqyrtojmë tani ndikimin e ndihmës reciproke të llojit “të gjithë si një” në punën e QS-së me pritshmëri. Për thjeshtësi, marrim vetëm rastin e një radhe të pakufizuar. Natyrisht, në këtë rast nuk do të ketë ndikim të asistencës së ndërsjellë në qarkullimin e QS-së, pasi në çdo kusht do të shërbehen të gjitha kërkesat e ardhura. Shtrohet pyetja për ndikimin e ndihmës së ndërsjellë në karakteristikat e pritjes: gjatësia mesatare e radhës, koha mesatare e pritjes, koha mesatare e kaluar në shërbim.
Në bazë të formulave (6.13), (6.14) § 6 për shërbim pa ndihmë reciproke, numri mesatar i kërkesave në radhë do të jetë
koha mesatare e pritjes:
dhe koha mesatare e qëndrimit në sistem:
Nëse përdoret ndihma e ndërsjellë e tipit "të gjithë si një", atëherë sistemi do të funksionojë si një kanal i vetëm me parametrat
dhe karakteristikat e tij përcaktohen nga formula (5.14), (5.15) § 5:
Shembulli 2. Ekziston një QS me tre kanale me një radhë të pakufizuar; intensiteti i rrjedhës së aplikacioneve (aplikime për minutë), koha mesatare e shërbimit Funksioni Kuptimi i dobishëm:
Gjatësia mesatare e radhës,
Koha mesatare e pritjes për shërbim,
Koha mesatare që një aplikacion qëndron në CMO
prezantoni ndihmën e ndërsjellë midis kanaleve si "të gjithë si një"?
Zgjidhja a. Asnjë ndihmë reciproke.
Sipas formulave (9.1) - (9.4) kemi
(3-2)
b. Me ndihmën e ndërsjellë
Duke përdorur formulat (9.5) - (9.7) gjejmë;
Kështu, gjatësia mesatare e radhës dhe koha mesatare e pritjes në radhë në rastin e ndihmës së ndërsjellë janë më të mëdha, por koha mesatare e qëndrimit të një aplikacioni në sistem është më e vogël.
Nga shembujt e shqyrtuar, është e qartë se ndihma e ndërsjellë ndërmjet Lloji i parave të gatshme "të gjitha si një", si rregull, nuk kontribuon në rritjen e efikasitetit të shërbimit: koha e qëndrimit të një kërkese në sistemin e shërbimit zvogëlohet, por karakteristikat e tjera të shërbimit përkeqësohen.
Prandaj, është e dëshirueshme të ndryshohet disiplina e shërbimit në mënyrë që ndihma e ndërsjellë ndërmjet kanaleve të mos ndërhyjë në pranimin e kërkesave të reja për shërbim nëse ato shfaqen ndërsa të gjitha kanalet janë të zëna.
Le ta quajmë llojin e mëposhtëm të ndihmës së ndërsjellë "ndihmë reciproke uniforme". Nëse një kërkesë arrin në një kohë kur të gjitha kanalet janë të lira, atëherë të gjitha kanalet pranohen për ta servisuar atë; nëse në momentin e servisimit të një aplikacioni vjen një tjetër, disa nga kanalet kalojnë në servisim të tij; nëse, ndërkohë që këto dy kërkesa janë duke u shërbyer, vjen një tjetër, disa nga kanalet kalojnë në servisim, etj., derisa të zënë të gjitha kanalet; nëse është kështu, aplikacioni i sapoardhur refuzohet (në një QS me refuzime) ose futet në një radhë (në një QS me pritje).
Me këtë disiplinë të ndihmës së ndërsjellë, një aplikim refuzohet ose vendoset në radhë vetëm kur nuk është e mundur shërbimi i tij. Sa i përket "kohës së ndërprerjes" së kanaleve, ajo është minimale në këto kushte: nëse ka të paktën një kërkesë në sistem, të gjitha kanalet janë duke punuar.
Më sipër përmendëm se kur shfaqet një kërkesë e re, disa nga kanalet e zëna lëshohen dhe kalojnë në shërbimin e kërkesës së sapoardhur. Cila pjesë? Varet nga lloji i funksionit nëse ka formën e një lidhjeje lineare, siç tregohet në Fig. 5.12, dhe nuk ka rëndësi se cila pjesë e kanaleve ndahet për të shërbyer një kërkesë të sapo pranuar, për sa kohë që të gjitha kanalet janë të zëna (atëherë intensiteti total i shërbimeve për çdo shpërndarje të kanaleve midis kërkesave do të jetë i barabartë me ). Mund të vërtetohet se nëse kurba është konvekse lart, siç tregohet në Fig. 5.11, atëherë ju duhet të shpërndani kanalet midis kërkesave sa më në mënyrë të barabartë të jetë e mundur.
Le të shqyrtojmë funksionimin e një kanali QS me asistencë të ndërsjellë "uniforme" ndërmjet kanaleve.
Formulimi i problemit. Në hyrje n-kanali QS merr fluksin më të thjeshtë të kërkesave me densitet λ. Dendësia e fluksit më të thjeshtë të shërbimit për çdo kanal është μ. Nëse një kërkesë e marrë për shërbim i gjen të gjitha kanalet të lira, atëherë ajo pranohet për shërbim dhe servisohet në të njëjtën kohë l kanale ( l < n). Në këtë rast, fluksi i shërbimeve për një aplikacion do të ketë një intensitet l.
Nëse një kërkesë e marrë për shërbim gjen një kërkesë në sistem, atëherë kur n ≥ 2l një aplikim i sapoardhur do të pranohet për shërbim dhe do të shërbehet njëkohësisht l kanalet.
Nëse një kërkesë e marrë për shërbim kapet në sistem i aplikacionet ( i= 0.1, ...), ndërsa ( i+ 1)l≤ n, atëherë aplikacioni i marrë do të servisohet l kanale me performancë të përgjithshme l. Nëse një aplikacion i sapo pranuar kapet në sistem j aplikimet dhe në të njëjtën kohë dy pabarazi plotësohen së bashku: ( j + 1)l > n Dhe j < n, atëherë aplikacioni do të pranohet për shërbim. Në këtë rast, disa aplikacione mund të servisohen l kanalet, pjesa tjetër është më e vogël se l, numri i kanaleve, por të gjithë do të jenë të zënë me servisim n kanale që shpërndahen rastësisht ndërmjet aplikacioneve. Nëse një aplikacion i sapo pranuar kapet në sistem n aplikimet, atëherë ai refuzohet dhe nuk do të shërbehet. Një aplikacion i marrë për shërbim shërbehet deri në përfundim (aplikimet "pacient").
Grafiku i gjendjes së një sistemi të tillë është paraqitur në Fig. 3.8.
Oriz. 3.8. Grafiku i gjendjeve të QS me dështime dhe të pjesshme
ndihmë reciproke ndërmjet kanaleve
Vini re se grafiku i gjendjes së sistemit deri në gjendjen x h deri në shënimin e parametrave të rrjedhës, ajo përkon me grafikun e gjendjes së një sistemi klasik të radhës me dështime, të paraqitur në Fig. 3.6.
Prandaj,
(i
= 0, 1, ..., h).
Grafiku i gjendjes së sistemit duke filluar nga gjendja x h dhe duke përfunduar me shtetin x n, përkon, deri në shënim, me grafikun e gjendjes së një QS me ndihmë të plotë reciproke të paraqitur në Fig. 3.7. Kështu,
.
Le të prezantojmë shënimin λ / lμ = ρ l ; λ / nμ = χ, atëherë
Duke marrë parasysh gjendjen e normalizuar, marrim
Le të gjejmë karakteristikat e sistemit.
Numri mesatar i aplikacioneve në sistem është
Numri mesatar i kanaleve të zëna
.
Probabiliteti që një kanal i caktuar do të jetë i zënë
.
Probabiliteti i okupimit të të gjitha kanaleve të sistemit
Formulimi i problemit. Në hyrje n-Sistemi QS i kanaleve merr një rrjedhë heterogjene më të thjeshtë me një intensitet total λ Σ, dhe
λ Σ
=
,
ku λ i– intensiteti i aplikimeve në i th burimi.
Meqenëse fluksi i kërkesave konsiderohet si një mbivendosje e kërkesave nga burime të ndryshme, rrjedha e kombinuar me saktësi të mjaftueshme për praktikë mund të konsiderohet Poisson për N = 5...20 dhe λ i ≈ λ i +1 (i1,N). Intensiteti i shërbimit të një pajisjeje shpërndahet sipas një ligji eksponencial dhe është i barabartë me μ = 1/ t. Pajisjet e servisit për shërbimin e një kërkese lidhen në seri, gjë që është e barabartë me rritjen e kohës së shërbimit aq herë sa numri i pajisjeve të kombinuara për servisim:
t obs = kt, μ obs = 1 / kt = μ/ k,
Ku t obs – kërkesa për kohën e shërbimit; k– numri i pajisjeve të shërbimit; μ obs – intensiteti i shërbimit të kërkesës.
Brenda kuadrit të supozimeve të miratuara në Kapitullin 2, ne paraqesim gjendjen e QS si një vektor, ku k m– numri i aplikacioneve në sistem, secila prej të cilave është e servisuar m pajisje; L = q max - q min +1 – numri i prurjeve hyrëse.
Pastaj numri i pajisjeve të zëna dhe të lira ( n zan ( 
),n sv ( 
)) në gjendje 
përkufizohet si më poshtë:
Nga shteti 
sistemi mund të shkojë në çdo shtet tjetër 
. Meqenëse sistemi funksionon L rrjedhat hyrëse, atëherë nga çdo gjendje është potencialisht e mundur L tranzicione të drejtpërdrejta. Megjithatë, për shkak të burimeve të kufizuara të sistemit, jo të gjitha këto tranzicione janë të realizueshme. Lëreni SMO të jetë në gjendje 
dhe vjen një kërkesë e kërkuar m pajisje. Nëse m≤ n sv ( 
), më pas kërkesa pranohet për shërbim dhe sistemi kalon në gjendje me intensitet λ m. Nëse aplikacioni kërkon më shumë pajisje sesa janë të disponueshme, atëherë do t'i refuzohet shërbimi dhe QS do të mbetet në gjendje 
. Ne se ti mundesh 
ka aplikime që kërkojnë m pajisjet, atëherë secila prej tyre servisohet me intensitet m, dhe intensiteti total i shërbimit të kërkesave të tilla (μ m) përkufizohet si μ m
= k m μ
/ m. Kur të përfundojë shërbimi i njërës prej kërkesave, sistemi do të shkojë në një gjendje në të cilën koordinata përkatëse ka një vlerë që është një më pak se në gjendjen 
,
=, d.m.th. do të ndodhë tranzicioni i kundërt. Në Fig. 3.9 tregon një shembull të një modeli vektorial të një QS për n
= 3, L
= 3, q min = 1, q max = 3, P(m) = 1/3, λ Σ = λ, intensiteti i mirëmbajtjes së pajisjes – μ.
Oriz. 3.9. Një shembull i një grafiku të një modeli vektorial të një QS me dështime të shërbimit
Pra çdo shtet 
karakterizohet nga numri i aplikacioneve të servisuara të një lloji të caktuar. Për shembull, në një shtet 
një kërkesë shërbehet nga një pajisje dhe një kërkesë nga dy pajisje. Në këtë gjendje, të gjitha pajisjet janë të zëna, prandaj, vetëm kalimet e kundërta janë të mundshme (ardhja e çdo kërkese në këtë gjendje çon në një refuzim të shërbimit). Nëse shërbimi i një kërkese të llojit të parë ka përfunduar më herët, sistemi do të kalojë në gjendje 
(0,1,0) me intensitet μ, por nëse shërbimi i një kërkese të tipit të dytë ka përfunduar më herët, atëherë sistemi do të shkojë në gjendje 
(0,1,0) me intensitet μ/2.
Duke përdorur grafikun e gjendjes me intensitetet e tranzicionit të grafikuara, përpilohet një sistem ekuacionesh algjebrike lineare. Nga zgjidhja e këtyre ekuacioneve gjenden probabilitetet R(
), me të cilin përcaktohen karakteristikat e QS.
Merrni parasysh gjetjen R otk (probabiliteti i refuzimit të shërbimit).
,
Ku S– numri i gjendjeve të grafikut të modelit QS vektoriale; R(
) është probabiliteti që sistemi të jetë në gjendje 
.
Numri i shteteve sipas tyre përcaktohet si më poshtë:
,
(3.22)
;
Le të përcaktojmë numrin e gjendjeve të modelit QS vektoriale sipas (3.22) për shembullin e paraqitur në Fig. 3.9.
.
Prandaj, S = 1 + 5 + 1 = 7.
Për të zbatuar kërkesat reale për pajisjet e shërbimit, një numër mjaft i madh i n
(40, ..., 50), dhe kërkesat për numrin e pajisjeve që shërbejnë në një aplikacion në praktikë shtrihen në intervalin 8–16. Me një raport të tillë instrumentesh dhe kërkesash, mënyra e propozuar e gjetjes së probabiliteteve bëhet jashtëzakonisht e rëndë, sepse modeli vektorial i QS ka një numër të madh gjendjesh S(50)
= 1790, S(60)
= 4676, S(70) = = 11075, dhe madhësia e matricës së koeficientit të sistemit të ekuacioneve algjebrike është proporcionale me katrorin S, e cila kërkon një sasi të madhe memorie kompjuteri dhe një sasi të konsiderueshme të kohës kompjuterike. Dëshira për të zvogëluar sasinë e llogaritjeve stimuloi kërkimin e aftësive të llogaritjes së përsëritur R(
) bazuar në format shumëzuese të përfaqësimit të probabiliteteve të gjendjes. Punimi paraqet një qasje për llogaritjen R(
):
(3.23)
Përdorimi i kriterit për ekuivalencën e balancave globale dhe të detajuara të zinxhirëve Markov të propozuar në punim na lejon të zvogëlojmë dimensionin e problemit dhe të kryejmë llogaritjet në një kompjuter me fuqi të mesme duke përdorur përsëritjen e llogaritjeve. Përveç kësaj, është e mundur që:
– kryeni llogaritjet për çdo vlerë n;
– përshpejtoni llogaritjet dhe ulni kostot e kohës së makinës.
Karakteristikat e tjera të sistemit mund të përcaktohen në mënyrë të ngjashme.
