อนุกรมตัวเลข: คำจำกัดความ คุณสมบัติ สัญญาณของการบรรจบกัน ตัวอย่าง วิธีแก้ไข การทดสอบของ D'Alembert สำหรับการบรรจบกันของซีรีส์เชิงบวก

การทดสอบการลู่เข้าของดาล็องแบร์

Jean Leron d'Alembert เป็นนักคณิตศาสตร์ชาวฝรั่งเศสผู้มีชื่อเสียงแห่งศตวรรษที่ 18 โดยทั่วไปแล้ว d'Alembert เชี่ยวชาญด้านสมการเชิงอนุพันธ์ และจากการวิจัยของเขา เขาได้ศึกษาขีปนาวุธเพื่อที่ลูกกระสุนปืนใหญ่ของพระบาทสมเด็จพระเจ้าอยู่หัวจะบินได้ดีขึ้น ในเวลาเดียวกันฉันไม่ลืมเกี่ยวกับซีรี่ส์ตัวเลขไม่ใช่เพื่ออะไรเลยที่กองทหารของนโปเลียนมาบรรจบกันและแยกทางกันอย่างชัดเจนในเวลาต่อมา

ก่อนที่จะกำหนดเครื่องหมาย ลองพิจารณาคำถามสำคัญ: เมื่อใดจึงควรใช้การทดสอบการลู่เข้าของ D'Alembert

มาเริ่มกันที่รีวิวกันก่อนเลย จำกรณีที่คุณต้องการใช้สิ่งที่ได้รับความนิยมสูงสุด ขีดจำกัดของการเปรียบเทียบ- เกณฑ์จำกัดสำหรับการเปรียบเทียบจะใช้เมื่อคำศัพท์ทั่วไปของอนุกรม: 1) ตัวส่วนประกอบด้วยพหุนาม 2) พหุนามมีทั้งตัวเศษและส่วน 3) พหุนามหนึ่งหรือทั้งสองสามารถอยู่ใต้รากได้

ข้อกำหนดเบื้องต้นหลักสำหรับการสมัครแบบทดสอบ d'Alembert มีดังนี้:

1) คำทั่วไปของอนุกรม (“การเติม” ของอนุกรม) รวมถึงตัวเลขในระดับหนึ่ง เป็นต้น ยิ่งกว่านั้น มันไม่สำคัญเลยที่สิ่งนี้จะอยู่ที่ใด ในตัวเศษหรือในตัวส่วน - สิ่งที่สำคัญคือมันอยู่ที่นั่น

2) คำทั่วไปของอนุกรมนี้รวมถึงแฟกทอเรียลด้วย แฟกทอเรียลคืออะไร? ไม่มีอะไรซับซ้อน แฟกทอเรียลเป็นเพียงสัญลักษณ์ย่อของงาน: ……

! เมื่อใช้การทดสอบของดาล็องแบร์ เราจะต้องอธิบายแฟกทอเรียลโดยละเอียด เช่นเดียวกับในย่อหน้าก่อน แฟกทอเรียลสามารถอยู่ที่ด้านบนหรือด้านล่างของเศษส่วนได้

3) หากในแง่ทั่วไปของอนุกรมมี “สายโซ่ของปัจจัย” เช่น เคสนี้หายากแต่! เมื่อศึกษาซีรีส์ดังกล่าวมักเกิดข้อผิดพลาด - ดูตัวอย่างที่ 6

นอกจากกำลังและ/หรือแฟกทอเรียลแล้ว ยังพบพหุนามในการเติมอนุกรมด้วย ซึ่งจะไม่เปลี่ยนสถานการณ์ คุณต้องใช้เครื่องหมายดาล็องแบร์

นอกจากนี้ ในแง่ทั่วไปของอนุกรมทั้งดีกรีและแฟกทอเรียลสามารถเกิดขึ้นพร้อมกันได้ อาจมีสองแฟคทอเรียล สององศา สิ่งสำคัญคือต้องมี อย่างน้อยก็มีอะไรบางอย่างจากประเด็นที่พิจารณา - และนี่คือข้อกำหนดเบื้องต้นสำหรับการใช้สัญลักษณ์ของ d’Alembert

สัญลักษณ์ของดาล็องแบร์: ลองพิจารณาดูครับ อนุกรมจำนวนบวก- หากมีการจำกัดอัตราส่วนของสมาชิกลำดับถัดไปต่อสมาชิกก่อนหน้า: ดังนั้น: ก) คำสั่งซื้อ มาบรรจบกันแตกต่างป้ายไม่ให้คำตอบ- คุณต้องใช้สัญลักษณ์อื่น ส่วนใหญ่มักจะได้รับในกรณีที่พยายามใช้การทดสอบ D'Alembert โดยที่จำเป็นต้องใช้การทดสอบเปรียบเทียบแบบจำกัด

สำหรับผู้ที่ยังมีปัญหาเกี่ยวกับขีดจำกัดหรือความเข้าใจผิดเกี่ยวกับขีดจำกัด โปรดดูบทเรียน ขีดจำกัด ตัวอย่างการแก้ปัญหา- หากปราศจากความเข้าใจในขีดจำกัดและความสามารถในการเปิดเผยความไม่แน่นอน น่าเสียดาย เราก็ไม่สามารถก้าวหน้าต่อไปได้

สัญลักษณ์ของ Radical Cauchy

Augustin Louis Cauchy เป็นนักคณิตศาสตร์ชาวฝรั่งเศสที่มีชื่อเสียงมากยิ่งขึ้น นักศึกษาวิศวะคนไหนก็สามารถเล่าประวัติของคอชี่ให้คุณได้ฟัง ในสีสันที่งดงามที่สุด ไม่ใช่เรื่องบังเอิญที่ชื่อนี้จะถูกสลักไว้บนชั้นหนึ่งของหอไอเฟล

การทดสอบการบรรจบกันของคอชีสำหรับอนุกรมจำนวนบวกค่อนข้างคล้ายกับการทดสอบของดาล็องแบร์ที่เพิ่งอภิปรายไป

สัญลักษณ์ของ Radical Cauchy:ลองพิจารณาดู อนุกรมจำนวนบวก- หากมีขีดจำกัด: จากนั้น: ก) คำสั่งซื้อ มาบรรจบกัน- โดยเฉพาะชุดนี้มาบรรจบกันที่ ชายแดน แตกต่าง- โดยเฉพาะซีรีส์นี้มีความแตกต่างกันที่ ค) เมื่อใด ป้ายไม่ให้คำตอบ- คุณต้องใช้สัญลักษณ์อื่น เป็นที่น่าสนใจที่จะสังเกตว่า ถ้าการทดสอบของ Cauchy ไม่ได้ให้คำตอบสำหรับคำถามเกี่ยวกับการบรรจบกันของอนุกรม การทดสอบของ D'Alembert ก็จะไม่ให้คำตอบแก่เราเช่นกัน แต่ถ้าการทดสอบของดาล็องแบร์ไม่ได้ให้คำตอบ การทดสอบของคอชีก็อาจจะ "ได้ผล" นั่นคือสัญญาณ Cauchy ในแง่นี้เป็นสัญญาณที่แข็งแกร่งกว่า

เมื่อใดที่คุณควรใช้เครื่องหมาย Cauchy หัวรุนแรง?การทดสอบ Radical Cauchy มักใช้ในกรณีที่คำศัพท์ทั่วไปของอนุกรมนี้ อย่างเต็มที่อยู่ในระดับ ขึ้นอยู่กับ "en"- หรือเมื่อมีการแยกราก “ดี” ออกจากสมาชิกทั่วไปของซีรีส์ นอกจากนี้ยังมีกรณีที่แปลกใหม่ แต่เราจะไม่กังวลเกี่ยวกับพวกเขา

สัญญาณของการบรรจบกันของซีรีส์
สัญลักษณ์ของดาล็องแบร์ สัญญาณของคอชี่

งาน งาน - และความเข้าใจจะมาทีหลัง
เจ.แอล. ดาล็องแบร์

ขอแสดงความยินดีกับทุกคนในช่วงต้นปีการศึกษา! วันนี้คือวันที่ 1 กันยายน และเพื่อเป็นเกียรติแก่วันหยุด ฉันจึงตัดสินใจแนะนำผู้อ่านให้รู้จักกับสิ่งที่คุณรอคอยและอยากรู้มานาน - สัญญาณของการบรรจบกันของอนุกรมบวกเชิงตัวเลข- วันหยุดแรกของเดือนกันยายนและขอแสดงความยินดีด้วยเสมอ ไม่เป็นไรถ้าข้างนอกเป็นฤดูร้อนจริงๆ ตอนนี้คุณกำลังสอบใหม่เป็นครั้งที่สาม ศึกษาให้ดีว่าคุณเคยเยี่ยมชมหน้านี้หรือไม่!

สำหรับผู้ที่เพิ่งเริ่มเรียนซีรีส์แนะนำให้อ่านบทความก่อนครับ ชุดตัวเลขสำหรับหุ่น- จริงๆแล้วรถเข็นคันนี้เป็นการเลี้ยงต่อ ดังนั้นวันนี้ในบทเรียนเราจะดูตัวอย่างและวิธีแก้ปัญหาในหัวข้อ:

สัญญาณการเปรียบเทียบทั่วไปประการหนึ่งที่พบในตัวอย่างเชิงปฏิบัติคือสัญลักษณ์ดาล็องแบร์ อาการของ Cauchy พบได้น้อย แต่ก็ได้รับความนิยมอย่างมากเช่นกัน และเช่นเคย ฉันจะพยายามนำเสนอเนื้อหาที่เรียบง่าย เข้าถึงได้ และเข้าใจได้ หัวข้อนี้ไม่ใช่เรื่องยากที่สุด และงานทั้งหมดก็มีมาตรฐานในระดับหนึ่ง

การทดสอบการลู่เข้าของดาล็องแบร์

Jean Leron d'Alembert เป็นนักคณิตศาสตร์ชาวฝรั่งเศสผู้มีชื่อเสียงแห่งศตวรรษที่ 18 โดยทั่วไปแล้ว d’Alembert เชี่ยวชาญด้านสมการเชิงอนุพันธ์ และจากการวิจัยของเขา เขาได้ศึกษาขีปนาวุธเพื่อให้ลูกกระสุนปืนใหญ่ของพระองค์บินได้ดีขึ้น ในเวลาเดียวกันฉันไม่ลืมเกี่ยวกับซีรี่ส์ตัวเลขไม่ใช่เพื่ออะไรที่กองทหารของนโปเลียนมาบรรจบกันและแยกทางกันอย่างชัดเจนในภายหลัง

ก่อนที่จะกำหนดเครื่องหมาย ลองพิจารณาคำถามสำคัญ:
เมื่อใดจึงควรใช้การทดสอบการลู่เข้าของ D'Alembert

1) ตัวส่วนประกอบด้วยพหุนาม
2) พหุนามมีทั้งตัวเศษและตัวส่วน
3) พหุนามหนึ่งหรือทั้งสองสามารถอยู่ใต้รากได้
4) แน่นอนว่าอาจมีพหุนามและรากได้มากกว่า

ข้อกำหนดเบื้องต้นหลักสำหรับการสมัครแบบทดสอบ d'Alembert มีดังนี้:

1) คำทั่วไปของอนุกรม (“การเติม” ของอนุกรม) รวมถึงตัวเลขในระดับหนึ่ง เช่น , , และอื่นๆ ยิ่งกว่านั้น มันไม่สำคัญเลยที่สิ่งนี้จะอยู่ที่ใด ในตัวเศษหรือในตัวส่วน - สิ่งที่สำคัญคือมันอยู่ที่นั่น

2) คำทั่วไปของอนุกรมนี้รวมถึงแฟกทอเรียลด้วย เราไขว้ดาบกับแฟกทอเรียลในบทเรียน ลำดับหมายเลขและขีดจำกัดของมัน อย่างไรก็ตาม กางผ้าปูโต๊ะที่ประกอบเองออกอีกครั้งก็ไม่เสียหาย:

…

…

3) หากในแง่ทั่วไปของอนุกรมมี “สายโซ่ของปัจจัย” เช่น - เคสนี้หายากแต่! เมื่อศึกษาซีรีส์ดังกล่าว มักเกิดข้อผิดพลาด - ดูตัวอย่างที่ 6

สัญลักษณ์ของดาล็องแบร์: ลองพิจารณาดูครับ อนุกรมจำนวนบวก- หากมีการจำกัดอัตราส่วนของคำถัดไปต่อคำก่อนหน้า: จากนั้น:
ก) เมื่อแถว มาบรรจบกัน
b) เมื่อแถว แตกต่าง
ค) เมื่อใด ป้ายไม่ให้คำตอบ- คุณต้องใช้สัญลักษณ์อื่น ส่วนใหญ่มักจะได้รับในกรณีที่พยายามใช้การทดสอบ D'Alembert โดยที่จำเป็นต้องใช้การทดสอบเปรียบเทียบแบบจำกัด

และตอนนี้ตัวอย่างที่รอคอยมานาน

ตัวอย่างที่ 1

เราเห็นว่าในแง่ทั่วไปของอนุกรมนี้เรามี และนี่คือข้อกำหนดเบื้องต้นที่แน่นอนสำหรับการใช้การทดสอบของดาล็องแบร์ ขั้นแรก โซลูชันแบบเต็มและการออกแบบตัวอย่าง มีความคิดเห็นด้านล่าง

เราใช้สัญลักษณ์ดาล็องแบร์:

มาบรรจบกัน

(1) เราเขียนอัตราส่วนของสมาชิกถัดไปของซีรีส์ต่ออัตราส่วนก่อนหน้า: . จากเงื่อนไขเราจะเห็นว่าคำศัพท์ทั่วไปของอนุกรมคือ เพื่อที่จะได้สมาชิกคนต่อไปของซีรีส์จึงเป็นสิ่งจำเป็น แทนที่จะทดแทน: .
หากคุณมีประสบการณ์กับวิธีแก้ปัญหานี้มาก่อน คุณสามารถข้ามขั้นตอนนี้ได้
(3) เปิดวงเล็บในตัวเศษ ในตัวส่วนเราจะเอาสี่ออกจากกำลัง.
(4) ลดโดย . เราหาค่าคงที่เกินเครื่องหมายจำกัด ในตัวเศษเราแสดงพจน์ที่คล้ายกันในวงเล็บ
(5) ความไม่แน่นอนจะถูกกำจัดออกไปด้วยวิธีมาตรฐาน - โดยการหารตัวเศษและส่วนด้วย "en" ให้เป็นกำลังสูงสุด
(6) เราหารตัวเศษตามเทอม และระบุเทอมที่มีแนวโน้มเป็นศูนย์
(7) เราทำให้คำตอบง่ายขึ้นและจดบันทึกไว้ด้วยข้อสรุปว่า จากการทดสอบของดาล็องแบร์ ซีรีส์ที่กำลังศึกษามาบรรจบกัน

จากตัวอย่างที่พิจารณา ในแง่ทั่วไปของอนุกรม เราพบพหุนามของดีกรีที่ 2 จะทำอย่างไรถ้ามีพหุนามระดับที่ 3, 4 หรือสูงกว่า? ความจริงก็คือว่าหากได้รับพหุนามในระดับที่สูงกว่าก็จะเกิดปัญหาขึ้นเมื่อเปิดวงเล็บ ในกรณีนี้ คุณสามารถใช้วิธีแก้ไขปัญหาแบบ "เทอร์โบ" ได้

ตัวอย่างที่ 2

ลองใช้ซีรี่ส์ที่คล้ายกันแล้วตรวจสอบการลู่เข้ากัน

ขั้นแรกให้แก้ปัญหาโดยสมบูรณ์ จากนั้นแสดงความคิดเห็น:

เราใช้สัญลักษณ์ดาล็องแบร์:

ดังนั้นซีรีส์ที่กำลังศึกษาอยู่ มาบรรจบกัน.

(1) เราสร้างความสัมพันธ์
(2) เรากำจัดเศษส่วนสี่ชั้นออกไป
(3) พิจารณาการแสดงออก ในตัวเศษและนิพจน์ในตัวส่วน เราเห็นว่าในตัวเศษเราต้องเปิดวงเล็บแล้วยกกำลังสี่: ซึ่งเราไม่ต้องการทำเลย และสำหรับผู้ที่ไม่คุ้นเคยกับทวินามของนิวตัน งานนี้จะยิ่งยากขึ้นอีก มาวิเคราะห์ระดับที่สูงกว่ากัน: ถ้าเราเปิดวงเล็บที่ด้านบน แล้วเราจะได้ปริญญาขั้นสูง ด้านล่างเรามีวุฒิการศึกษาระดับสูงเหมือนกัน: . จากการเปรียบเทียบกับตัวอย่างก่อนหน้านี้ เห็นได้ชัดว่าเมื่อหารเทอมทั้งเศษและส่วนทีละเทอม เราจะได้ 1 ในขีดจำกัด หรืออย่างที่นักคณิตศาสตร์พูดว่าพหุนาม และ - ลำดับการเติบโตเดียวกัน- ดังนั้นจึงค่อนข้างเป็นไปได้ที่จะสรุปความสัมพันธ์ ด้วยดินสอง่ายๆ แล้วระบุทันทีว่าสิ่งนี้กำลังพุ่งเข้าหาสิ่งหนึ่ง เราจัดการกับพหุนามคู่ที่สองด้วยวิธีเดียวกัน และ ด้วยเช่นกัน ลำดับการเติบโตเดียวกันและอัตราส่วนของพวกเขามีแนวโน้มที่จะเป็นเอกภาพ

ในความเป็นจริง "แฮ็ก" ดังกล่าวอาจถูกดึงออกไปในตัวอย่างที่ 1 แต่สำหรับพหุนามของระดับที่ 2 วิธีแก้ปัญหาดังกล่าวยังคงดูไม่น่าเชื่อถือ โดยส่วนตัวแล้ว ฉันทำสิ่งนี้: ถ้ามีพหุนาม (หรือพหุนาม) ของดีกรีที่ 1 หรือ 2 ฉันจะใช้วิธี "ยาว" ในการแก้ตัวอย่างที่ 1 หากฉันเจอพหุนามของดีกรีที่ 3 หรือสูงกว่า ฉันจะใช้ วิธี "เทอร์โบ" คล้ายกับตัวอย่างที่ 2

ตัวอย่างที่ 3

ตรวจสอบซีรีส์สำหรับการลู่เข้า

ลองดูตัวอย่างทั่วไปที่มีแฟกทอเรียล:

ตัวอย่างที่ 4

ตรวจสอบซีรีส์สำหรับการลู่เข้า

คำศัพท์ทั่วไปของอนุกรมนี้มีทั้งดีกรีและแฟกทอเรียล เห็นได้ชัดเจนว่าต้องใช้สัญลักษณ์ของ d'Alembert ที่นี่ มาตัดสินใจกัน

ดังนั้นซีรีส์ที่กำลังศึกษาอยู่ แตกต่าง.

(1) เราสร้างความสัมพันธ์ เราทำซ้ำอีกครั้ง ตามเงื่อนไข คำศัพท์ทั่วไปของซีรีส์นี้คือ: - เพื่อที่จะได้ภาคต่อของซีรีส์นี้ คุณต้องเปลี่ยนแทน, ดังนั้น: .
(2) เรากำจัดเศษส่วนสี่ชั้นออกไป
(3) หยิกเจ็ดออกจากระดับ เราอธิบายแฟกทอเรียลโดยละเอียด- วิธีการทำเช่นนี้ - ดูตอนต้นบทเรียนหรือบทความเกี่ยวกับลำดับตัวเลข
(4) เราตัดทุกอย่างที่สามารถตัดได้
(5) เราย้ายค่าคงที่เกินเครื่องหมายจำกัด เปิดวงเล็บในตัวเศษ
(6) เรากำจัดความไม่แน่นอนด้วยวิธีมาตรฐาน - โดยการหารตัวเศษและส่วนด้วย "en" ให้เป็นกำลังสูงสุด

ตัวอย่างที่ 5

ตรวจสอบซีรีส์สำหรับการลู่เข้า

วิธีแก้ปัญหาแบบเต็มและการออกแบบตัวอย่างในตอนท้ายของบทเรียน

ตัวอย่างที่ 6

ตรวจสอบซีรีส์สำหรับการลู่เข้า

บางครั้งมีซีรีส์ที่มี "สายโซ่" ของปัจจัยในการเติม เรายังไม่ได้พิจารณาซีรีส์ประเภทนี้ จะศึกษาอนุกรมที่มี "สายโซ่" ของปัจจัยได้อย่างไร ใช้สัญลักษณ์ดาล็องแบร์ แต่ก่อนอื่น เพื่อทำความเข้าใจว่าเกิดอะไรขึ้น เรามาอธิบายซีรีส์นี้โดยละเอียดกันก่อน:

จากการขยายเราจะเห็นว่าสมาชิกลำดับถัดไปแต่ละตัวมีตัวประกอบเพิ่มเข้ามาในตัวส่วน ดังนั้น ถ้าสมาชิกร่วมของอนุกรมนี้ จากนั้นสมาชิกคนถัดไปของซีรีส์:
- นี่คือจุดที่พวกเขามักจะทำผิดพลาดโดยอัตโนมัติ โดยเขียนอย่างเป็นทางการตามอัลกอริทึมนั้น

โซลูชันตัวอย่างอาจมีลักษณะดังนี้:

เราใช้สัญลักษณ์ดาล็องแบร์:

ดังนั้นซีรีส์ที่กำลังศึกษาอยู่ มาบรรจบกัน

สัญลักษณ์ของ Radical Cauchy

สัญลักษณ์ของ Radical Cauchy:ลองพิจารณาดู อนุกรมจำนวนบวก- หากมีขีดจำกัด: แล้ว:
ก) เมื่อแถว มาบรรจบกัน- โดยเฉพาะชุดนี้มาบรรจบกันที่
b) เมื่อแถว แตกต่าง- โดยเฉพาะซีรีส์นี้มีความแตกต่างกันที่
ค) เมื่อใด ป้ายไม่ให้คำตอบ- คุณต้องใช้สัญลักษณ์อื่น เป็นที่น่าสนใจที่จะสังเกตว่า ถ้าการทดสอบของ Cauchy ไม่ได้ให้คำตอบสำหรับคำถามเกี่ยวกับการบรรจบกันของอนุกรม การทดสอบของ D'Alembert ก็จะไม่ให้คำตอบเช่นกัน แต่ถ้าการทดสอบของดาล็องแบร์ไม่ได้ให้คำตอบ การทดสอบของคอชีก็อาจจะ "ได้ผล" นั่นคือสัญญาณ Cauchy ในแง่นี้เป็นสัญญาณที่แข็งแกร่งกว่า

ตัวอย่างที่ 7

ตรวจสอบซีรีส์สำหรับการลู่เข้า

เราจะเห็นว่าคำศัพท์ทั่วไปของอนุกรมนี้อยู่ภายใต้กำลังโดยสมบูรณ์ ขึ้นอยู่กับ ซึ่งหมายความว่าเราจำเป็นต้องใช้การทดสอบ Cauchy แบบรุนแรง:

ดังนั้นซีรีส์ที่กำลังศึกษาอยู่ แตกต่าง.

(1) เรากำหนดคำศัพท์ทั่วไปของอนุกรมใต้ราก
(2) เราเขียนสิ่งเดียวกันใหม่ โดยไม่ต้องรูทเท่านั้น โดยใช้คุณสมบัติขององศา
(3) ในตัวบ่งชี้เราหารตัวเศษด้วยเทอมตัวส่วนโดยเทอมแสดงว่า
(4) เป็นผลให้เรามีความไม่แน่นอน ที่นี่คุณสามารถไปได้ไกล: ลูกบาศก์, ลูกบาศก์, จากนั้นหารทั้งเศษและส่วนด้วย "en" ให้เป็นกำลังสูงสุด แต่ในกรณีนี้ มีวิธีแก้ไขที่มีประสิทธิภาพมากกว่า: คุณสามารถหารเทอมของทั้งเศษและส่วนด้วยเทอมได้โดยตรงภายใต้กำลังคงที่ เพื่อขจัดความไม่แน่นอน ให้หารทั้งเศษและส่วนด้วย (กำลังสูงสุด)
(5) จริงๆ แล้ว เราทำการหารแบบเทอมต่อเทอม และระบุเทอมที่มีแนวโน้มเป็นศูนย์
(6) เรานำคำตอบมาสู่ใจ ทำเครื่องหมายสิ่งที่เรามี และสรุปว่าซีรีส์นี้แตกต่างออกไป

นี่เป็นตัวอย่างที่ง่ายกว่าสำหรับคุณในการแก้ปัญหาด้วยตัวเอง:

ตัวอย่างที่ 8

ตรวจสอบซีรีส์สำหรับการลู่เข้า

และตัวอย่างทั่วไปอีกสองสามตัวอย่าง

วิธีแก้ปัญหาแบบเต็มและการออกแบบตัวอย่างในตอนท้ายของบทเรียน

ตัวอย่างที่ 9

ตรวจสอบซีรีส์สำหรับการลู่เข้า
เราใช้การทดสอบ Cauchy แบบรุนแรง:

ดังนั้นซีรีส์ที่กำลังศึกษาอยู่ มาบรรจบกัน.

(1) ใส่คำทั่วไปของอนุกรมไว้ใต้ราก
(2) เราเขียนสิ่งเดียวกันใหม่ แต่ไม่มีรูท ในขณะที่เปิดวงเล็บโดยใช้สูตรการคูณแบบย่อ: .
(3) ในตัวบ่งชี้ เราหารตัวเศษด้วยเทอมของส่วนด้วยเทอม แล้วระบุว่า .
(4) ความไม่แน่นอนของแบบฟอร์ม ที่นี่คุณสามารถหารตัวเศษด้วยตัวส่วนในวงเล็บได้โดยตรงด้วย "en" ไปจนถึงระดับสูงสุด เราเจอเรื่องคล้ายๆ กันตอนเรียน ขีด จำกัด ที่ยอดเยี่ยมที่สอง- แต่ที่นี่สถานการณ์แตกต่างออกไป ถ้าสัมประสิทธิ์ที่กำลังสูงกว่าได้ เหมือนกันตัวอย่างเช่น: ดังนั้นกลอุบายของการหารแบบเทอมต่อเทอมจะไม่ได้ผลอีกต่อไป และจำเป็นต้องใช้ขีดจำกัดที่น่าทึ่งตัวที่สอง แต่เรามีค่าสัมประสิทธิ์พวกนี้ แตกต่าง(5 และ 6) ดังนั้นจึงเป็นไปได้ (และจำเป็น) ที่จะแบ่งคำศัพท์ทีละเทอม (ในทางกลับกัน - ขีดจำกัดที่น่าทึ่งประการที่สองสำหรับ แตกต่างค่าสัมประสิทธิ์ที่ระดับที่สูงกว่าจะไม่ทำงานอีกต่อไป) หากคุณจำได้ว่ารายละเอียดปลีกย่อยเหล่านี้ถูกกล่าวถึงในย่อหน้าสุดท้ายของบทความ วิธีการแก้ไขขีดจำกัด.
(5) จริงๆ แล้ว เราทำการแบ่งแบบเทอมต่อเทอมและระบุว่าเทอมใดมีแนวโน้มเป็นศูนย์
(6) ความไม่แน่นอนได้ถูกขจัดออกไปแล้ว เราเหลือเพียงขีดจำกัดที่ง่ายที่สุด: เข้ามาทำไม. ใหญ่อนันต์มีแนวโน้มที่จะเป็นศูนย์ใช่ไหม? เพราะฐานของปริญญาสนองความไม่เท่าเทียมกัน หากใครมีข้อสงสัยเกี่ยวกับความเป็นธรรมของวงเงิน แล้วฉันจะไม่ขี้เกียจ ฉันจะหยิบเครื่องคิดเลข:
ถ้าอย่างนั้น
ถ้าอย่างนั้น
ถ้าอย่างนั้น
ถ้าอย่างนั้น
ถ้าอย่างนั้น
… ฯลฯ ถึงอนันต์ - นั่นคืออยู่ในขอบเขต:

เป็นแบบนั้น ความก้าวหน้าทางเรขาคณิตลดลงอย่างไม่สิ้นสุดบนนิ้วของคุณ =)

(7) เราระบุว่าเราสรุปได้ว่าอนุกรมมาบรรจบกัน

ตัวอย่างที่ 10

ตรวจสอบซีรีส์สำหรับการลู่เข้า

นี่คือตัวอย่างให้คุณแก้ด้วยตัวเอง

บางครั้งมีการเสนอตัวอย่างที่เร้าใจสำหรับวิธีแก้ปัญหาเช่น: ที่นี่ในรูปเลขชี้กำลัง ไม่มี "en"มีเพียงค่าคงที่เท่านั้น ที่นี่คุณต้องยกกำลังสองทั้งเศษและส่วน (คุณจะได้พหุนาม) จากนั้นทำตามอัลกอริทึมจากบทความ แถวสำหรับหุ่น- ในตัวอย่างนี้ การทดสอบที่จำเป็นสำหรับการลู่เข้าของอนุกรมหรือการทดสอบขีดจำกัดสำหรับการเปรียบเทียบควรจะได้ผล

การทดสอบอินทิกรัลคอชี่

หรือเป็นเพียงเครื่องหมายอินทิกรัล ฉันจะทำให้คนที่ไม่เข้าใจเนื้อหาหลักสูตรแรกดีนัก ในการใช้การทดสอบอินทิกรัล Cauchy คุณต้องมีความมั่นใจไม่มากก็น้อยในการหาอนุพันธ์ ปริพันธ์ และมีทักษะในการคำนวณด้วย อินทิกรัลที่ไม่เหมาะสมชนิดแรก

ในตำราการวิเคราะห์ทางคณิตศาสตร์ การทดสอบอินทิกรัลของ Cauchyให้ไว้ตามหลักคณิตศาสตร์อย่างเคร่งครัดแต่สับสนเกินไป ดังนั้น ผมจะกำหนดเครื่องหมายไม่เข้มงวดเกินไปแต่ชัดเจน:

ลองพิจารณาดู อนุกรมจำนวนบวก- หากมีอินทิกรัลที่ไม่เหมาะสม อนุกรมก็จะมาบรรจบกันหรือแยกออกพร้อมกับอินทิกรัลนี้

และเป็นเพียงตัวอย่างบางส่วนเพื่อความกระจ่าง:

ตัวอย่างที่ 11

ตรวจสอบซีรีส์สำหรับการลู่เข้า

เกือบจะคลาสสิก ลอการิทึมธรรมชาติและเรื่องไร้สาระบางอย่าง

ข้อกำหนดเบื้องต้นหลักสำหรับการใช้การทดสอบอินทิกรัลของ Cauchy คือคือข้อเท็จจริงที่ว่าคำศัพท์ทั่วไปของอนุกรมประกอบด้วยปัจจัยที่คล้ายกับฟังก์ชันและอนุพันธ์ของมัน จากหัวข้อ อนุพันธ์คุณอาจจำสิ่งตารางที่ง่ายที่สุดได้: และเราก็มีกรณีที่เป็นที่ยอมรับ

บทความนี้รวบรวมและจัดโครงสร้างข้อมูลที่จำเป็นในการแก้ตัวอย่างเกือบทุกหัวข้อในหัวข้ออนุกรมจำนวน ตั้งแต่การค้นหาผลรวมของอนุกรมไปจนถึงการตรวจสอบหาลู่เข้า

ทบทวนบทความ

เริ่มต้นด้วยคำจำกัดความของอนุกรมเชิงบวกและอนุกรมสลับและแนวคิดของการลู่เข้า ต่อไป เราจะพิจารณาอนุกรมมาตรฐาน เช่น อนุกรมฮาร์มอนิก อนุกรมฮาร์มอนิกทั่วไป และจำสูตรสำหรับการค้นหาผลรวมของความก้าวหน้าทางเรขาคณิตที่ลดลงอย่างไม่สิ้นสุด หลังจากนี้ เราจะมาดูคุณสมบัติของอนุกรมลู่เข้า พิจารณาเงื่อนไขที่จำเป็นสำหรับการลู่เข้าของอนุกรม และระบุเกณฑ์ที่เพียงพอสำหรับการลู่เข้าของอนุกรม เราจะเจือจางทฤษฎีด้วยคำตอบของตัวอย่างทั่วไปพร้อมคำอธิบายโดยละเอียด

การนำทางหน้า

คำจำกัดความและแนวคิดพื้นฐาน

ขอให้เรามีลำดับตัวเลขโดยที่ .

นี่คือตัวอย่างลำดับตัวเลข: .

ชุดตัวเลขคือผลรวมของเงื่อนไขของลำดับตัวเลขของแบบฟอร์ม .

จากตัวอย่างอนุกรมตัวเลข เราสามารถหาผลรวมของความก้าวหน้าทางเรขาคณิตที่ลดลงอย่างไม่สิ้นสุดโดยมีตัวส่วน q = -0.5: .

เรียกว่า สมาชิกร่วมของชุดตัวเลขหรือสมาชิกคนที่สิบของซีรีส์

สำหรับตัวอย่างก่อนหน้านี้ คำศัพท์ทั่วไปของชุดตัวเลขจะมีรูปแบบ

ผลรวมบางส่วนของชุดตัวเลขคือผลรวมของรูปแบบ โดยที่ n คือจำนวนธรรมชาติ เรียกอีกอย่างว่าผลบวกส่วนที่ n ของอนุกรมจำนวน

ตัวอย่างเช่น ผลรวมส่วนที่สี่ของอนุกรม มี.

จำนวนเงินบางส่วน สร้างลำดับอนันต์ของผลรวมบางส่วนของชุดตัวเลข

สำหรับอนุกรมของเรา ผลรวมส่วนที่ n หาได้โดยใช้สูตรสำหรับผลรวมของเทอม n แรกของความก้าวหน้าทางเรขาคณิต นั่นคือเราจะมีลำดับผลรวมบางส่วนดังต่อไปนี้: .

อนุกรมตัวเลขเรียกว่า มาบรรจบกันถ้ามีขีดจำกัดลำดับของผลรวมบางส่วน ถ้าขีดจำกัดของลำดับผลรวมบางส่วนของชุดตัวเลขไม่มีอยู่หรือไม่มีที่สิ้นสุด อนุกรมนั้นจะถูกเรียก แตกต่าง

ผลรวมของอนุกรมจำนวนมาบรรจบกันเรียกว่าลิมิตของลำดับผลรวมย่อย กล่าวคือ .

ในตัวอย่างของเรา ซีรีส์นี้ มาบรรจบกันและผลรวมเท่ากับสิบหกในสาม: .

ตัวอย่างของอนุกรมลู่ออกคือผลรวมของความก้าวหน้าทางเรขาคณิตที่มีตัวส่วนมากกว่าหนึ่ง: - ผลรวมบางส่วนที่ n ถูกกำหนดโดยนิพจน์ และขีดจำกัดของผลรวมบางส่วนนั้นไม่มีที่สิ้นสุด: .

อีกตัวอย่างหนึ่งของอนุกรมเลขลู่ออกคือผลรวมของแบบฟอร์ม - ในกรณีนี้ ผลรวมบางส่วนที่ n สามารถคำนวณได้เป็น ขีดจำกัดผลรวมบางส่วนไม่มีที่สิ้นสุด .

ผลรวมของแบบฟอร์ม เรียกว่า อนุกรมเลขฮาร์มอนิก.

ผลรวมของแบบฟอร์ม โดยที่ s คือจำนวนจริง เรียกว่า สรุปโดยอนุกรมเลขฮาร์มอนิก.

คำจำกัดความข้างต้นเพียงพอที่จะพิสูจน์ให้เห็นถึงข้อความที่ใช้บ่อยมากต่อไปนี้ เราขอแนะนำให้คุณจำไว้

ซีรีส์ฮาร์โมนิกมีความแตกต่างกัน

ให้เราพิสูจน์ความแตกต่างของอนุกรมฮาร์มอนิก

สมมติว่าซีรีส์มาบรรจบกัน จากนั้น ผลรวมบางส่วนของมันก็มีขีดจำกัดจำกัด ในกรณีนี้ เราสามารถเขียน และ ซึ่งนำเราไปสู่ความเท่าเทียมกัน .

อีกด้านหนึ่ง

ความไม่เท่าเทียมกันต่อไปนี้ไม่ต้องสงสัยเลย ดังนั้น, . ความไม่เท่าเทียมกันที่เกิดขึ้นบ่งบอกให้เราเห็นว่าความเท่าเทียมกัน ไม่สามารถทำได้ ซึ่งขัดแย้งกับสมมติฐานของเราเกี่ยวกับการบรรจบกันของอนุกรมฮาร์มอนิก

สรุป: อนุกรมฮาร์มอนิกแตกต่าง

ผลรวมของความก้าวหน้าทางเรขาคณิตของชนิดที่มีตัวส่วน q เป็นอนุกรมตัวเลขที่บรรจบกัน IF และอนุกรมที่ผันแปรสำหรับ

มาพิสูจน์กัน

เรารู้ว่าผลรวมของเทอม n แรกของความก้าวหน้าทางเรขาคณิตนั้นพบได้จากสูตร .

เมื่อยุติธรรม

ซึ่งบ่งบอกถึงการบรรจบกันของชุดตัวเลข

สำหรับ q = 1 เรามีชุดตัวเลข - ผลรวมบางส่วนของมันจะพบเป็น และขีดจำกัดของผลรวมบางส่วนนั้นไม่มีที่สิ้นสุด ซึ่งบ่งบอกถึงความแตกต่างของซีรีส์ในกรณีนี้

ถ้า q = -1 ชุดตัวเลขจะอยู่ในรูปแบบ - ผลรวมบางส่วนใช้ค่าของเลขคี่ n และเลขคู่ n จากนี้เราสามารถสรุปได้ว่าไม่มีขีดจำกัดสำหรับผลรวมบางส่วนและอนุกรมแยกออก

เมื่อยุติธรรม

ซึ่งบ่งบอกถึงความแตกต่างของชุดตัวเลข

โดยทั่วไป อนุกรมฮาร์โมนิกจะมาบรรจบกันที่ s > 1 และแตกต่างที่

การพิสูจน์.

สำหรับ s = 1 เราได้อนุกรมฮาร์มอนิก และเหนือไปกว่านั้นเราได้สร้างไดเวอร์เจนต์ของมันแล้ว

ที่ คือความไม่เท่าเทียมกันสำหรับ k ตามธรรมชาติทั้งหมด เนื่องจากความแตกต่างของอนุกรมฮาร์มอนิก จึงสามารถโต้แย้งได้ว่าลำดับของผลรวมบางส่วนของอนุกรมนั้นไม่มีขีดจำกัด (เนื่องจากไม่มีขีดจำกัดจำกัด) จากนั้นลำดับของผลบวกบางส่วนของอนุกรมตัวเลขจะมีจำนวนจำกัดมากขึ้น (สมาชิกของอนุกรมนี้แต่ละตัวมีค่ามากกว่าสมาชิกของอนุกรมฮาร์มอนิกที่สอดคล้องกัน) ดังนั้น อนุกรมฮาร์มอนิกทั่วไปจึงแยกออกเป็น s

ยังคงต้องพิสูจน์การบรรจบกันของอนุกรมสำหรับ s > 1

มาเขียนความแตกต่างกัน:

เห็นได้ชัดว่าแล้ว

ให้เราเขียนความไม่เท่าเทียมกันที่เกิดขึ้นสำหรับ n = 2, 4, 8, 16, …

เมื่อใช้ผลลัพธ์เหล่านี้ คุณจะสามารถทำสิ่งต่อไปนี้กับชุดหมายเลขเดิมได้:

การแสดงออก คือผลรวมของความก้าวหน้าทางเรขาคณิตที่มีตัวส่วนเป็น เนื่องจากเรากำลังพิจารณากรณีของ s > 1 ดังนั้น นั่นเป็นเหตุผล
- ดังนั้น ลำดับของผลรวมบางส่วนของอนุกรมฮาร์มอนิกทั่วไปสำหรับ s > 1 จะเพิ่มขึ้นและในเวลาเดียวกันก็จำกัดจากด้านบนด้วยค่า ดังนั้นจึงมีขีดจำกัด ซึ่งบ่งชี้ถึงการบรรจบกันของอนุกรม หลักฐานเสร็จสมบูรณ์

อนุกรมตัวเลขเรียกว่า สัญญาณบวกถ้าเงื่อนไขทั้งหมดเป็นบวก นั่นคือ .

อนุกรมตัวเลขเรียกว่า การส่งสัญญาณหากสัญญาณของสมาชิกข้างเคียงแตกต่างกัน ชุดตัวเลขสลับกันสามารถเขียนได้เป็น หรือ , ที่ไหน .

อนุกรมตัวเลขเรียกว่า เครื่องหมายสลับถ้ามันมีจำนวนพจน์ทั้งบวกและลบเป็นจำนวนอนันต์

อนุกรมเลขสลับกันเป็นกรณีพิเศษของอนุกรมเลขสลับกัน

แถว

เป็นบวก สลับและสลับกันตามลำดับ

สำหรับอนุกรมแบบสลับจะมีแนวคิดเรื่องการลู่เข้าแบบสัมบูรณ์และแบบมีเงื่อนไข

บรรจบกันอย่างแน่นอนถ้าชุดของค่าสัมบูรณ์ของสมาชิกมาบรรจบกัน นั่นคือชุดจำนวนบวกมาบรรจบกัน

เช่น อนุกรมตัวเลข และ มาบรรจบกันอย่างแน่นอนเนื่องจากซีรีส์มาบรรจบกัน ซึ่งเป็นผลรวมของความก้าวหน้าทางเรขาคณิตที่ลดลงอย่างไม่สิ้นสุด

เรียกว่าซีรีส์สลับกัน บรรจบกันอย่างมีเงื่อนไขถ้าอนุกรมแยกและอนุกรมมาบรรจบกัน

ตัวอย่างของอนุกรมตัวเลขลู่เข้าแบบมีเงื่อนไขคืออนุกรม - ชุดตัวเลข ประกอบด้วยค่าสัมบูรณ์ของเงื่อนไขของซีรีย์ดั้งเดิม แตกต่าง เนื่องจากมันเป็นฮาร์มอนิก ในขณะเดียวกัน ซีรีส์ดั้งเดิมก็มาบรรจบกัน ซึ่งสร้างได้ง่ายโดยใช้ ดังนั้น เครื่องหมายตัวเลขจึงเป็นอนุกรมสลับกัน บรรจบกันอย่างมีเงื่อนไข

คุณสมบัติของอนุกรมจำนวนมาบรรจบกัน

ตัวอย่าง.

พิสูจน์การบรรจบกันของอนุกรมจำนวน

สารละลาย.

มาเขียนซีรีส์ในรูปแบบอื่นกันเถอะ - อนุกรมจำนวนมาบรรจบกัน เนื่องจากอนุกรมฮาร์มอนิกทั่วไปมาบรรจบกันที่ s > 1 และเนื่องจากคุณสมบัติที่สองของอนุกรมตัวเลขมาบรรจบกัน อนุกรมที่มีค่าสัมประสิทธิ์ตัวเลขก็จะมาบรรจบกันด้วย

ตัวอย่าง.

อนุกรมตัวเลขมาบรรจบกันหรือไม่?

สารละลาย.

มาเปลี่ยนซีรีย์ดั้งเดิมกันเถอะ: - ดังนั้นเราจึงได้ผลรวมของชุดตัวเลขสองชุด และ และแต่ละชุดมาบรรจบกัน (ดูตัวอย่างก่อนหน้า) ดังนั้น โดยอาศัยคุณสมบัติที่สามของอนุกรมเลขมาบรรจบกัน อนุกรมดั้งเดิมจึงมาบรรจบกันด้วย

ตัวอย่าง.

พิสูจน์การบรรจบกันของอนุกรมจำนวน และคำนวณจำนวนเงิน

สารละลาย.

ชุดตัวเลขนี้สามารถแสดงเป็นผลต่างของชุดข้อมูลสองชุดได้:

แต่ละชุดแสดงถึงผลรวมของความก้าวหน้าทางเรขาคณิตที่ลดลงอย่างไม่สิ้นสุด และด้วยเหตุนี้จึงมาบรรจบกัน คุณสมบัติที่สามของอนุกรมลู่เข้าช่วยให้เรายืนยันได้ว่าอนุกรมตัวเลขเดิมมาบรรจบกัน มาคำนวณผลรวมของมันกัน

เทอมแรกของอนุกรมคือ 1 และตัวส่วนของความก้าวหน้าทางเรขาคณิตที่สอดคล้องกันจะเท่ากับ 0.5 ดังนั้น .

เทอมแรกของอนุกรมนี้คือ 3 และตัวหารของความก้าวหน้าทางเรขาคณิตที่ลดลงอย่างไม่สิ้นสุดที่สอดคล้องกันคือ 1/3 ดังนั้น .

ลองใช้ผลลัพธ์ที่ได้เพื่อหาผลรวมของชุดตัวเลขเดิม:

เงื่อนไขที่จำเป็นสำหรับการบรรจบกันของอนุกรม

หากชุดตัวเลขมาบรรจบกัน ขีดจำกัดของเทอม k จะเท่ากับศูนย์:

เมื่อตรวจสอบชุดตัวเลขใดๆ สำหรับการลู่เข้า คุณควรตรวจสอบก่อนว่าตรงตามเงื่อนไขการลู่เข้าที่จำเป็นหรือไม่ การไม่ปฏิบัติตามเงื่อนไขนี้บ่งชี้ถึงความแตกต่างของชุดตัวเลข กล่าวคือ ถ้า แสดงว่าอนุกรมนั้นแยกออก

ในทางกลับกัน คุณต้องเข้าใจว่าเงื่อนไขนี้ไม่เพียงพอ นั่นคือการเติมเต็มความเท่าเทียมกันไม่ได้บ่งบอกถึงการบรรจบกันของชุดตัวเลข ตัวอย่างเช่น สำหรับอนุกรมฮาร์มอนิก เงื่อนไขที่จำเป็นสำหรับการลู่เข้าจะเป็นที่พอใจ และอนุกรมนั้นแยกออก

ตัวอย่าง.

ตรวจสอบชุดตัวเลขสำหรับการลู่เข้า

สารละลาย.

ตรวจสอบเงื่อนไขที่จำเป็นสำหรับการลู่เข้าของชุดตัวเลข:

ขีดจำกัด เทอมที่ n ของอนุกรมตัวเลขไม่เท่ากับศูนย์ ดังนั้นอนุกรมจึงแยกออก

สัญญาณที่เพียงพอของการบรรจบกันของอนุกรมเชิงบวก

เมื่อใช้คุณลักษณะที่เพียงพอเพื่อศึกษาชุดตัวเลขสำหรับการลู่เข้า คุณจะประสบปัญหาอยู่ตลอดเวลา ดังนั้น เราขอแนะนำให้คุณดูส่วนนี้หากคุณมีปัญหาใดๆ

เงื่อนไขที่จำเป็นและเพียงพอสำหรับการลู่เข้าของอนุกรมจำนวนบวก

สำหรับการบรรจบกันของอนุกรมจำนวนบวก มีความจำเป็นและเพียงพอในการผูกลำดับของผลรวมบางส่วนของมัน

เริ่มจากสัญญาณการเปรียบเทียบซีรีย์กันก่อน สาระสำคัญอยู่ที่การเปรียบเทียบอนุกรมตัวเลขที่กำลังศึกษากับอนุกรมที่ทราบการบรรจบกันหรือความแตกต่าง

สัญญาณเปรียบเทียบที่หนึ่ง สอง และสาม

สัญญาณแรกของการเปรียบเทียบซีรีส์

อนุญาต และ เป็นอนุกรมจำนวนบวกสองตัว และความไม่เท่าเทียมกันคงอยู่สำหรับ k = 1, 2, 3, ... จากนั้นการบรรจบกันของอนุกรมแสดงถึงการลู่เข้า และความแตกต่างของอนุกรมแสดงถึงความแตกต่างของ

เกณฑ์การเปรียบเทียบแรกมีการใช้บ่อยมากและเป็นเครื่องมือที่มีประสิทธิภาพมากสำหรับการศึกษาชุดตัวเลขสำหรับการลู่เข้า ปัญหาหลักคือการเลือกซีรีย์ที่เหมาะสมมาเปรียบเทียบ โดยปกติชุดข้อมูลสำหรับการเปรียบเทียบ (แต่ไม่เสมอไป) จะเลือกเพื่อให้เลขชี้กำลังของเทอมที่ k เท่ากับผลต่างระหว่างเลขชี้กำลังของตัวเศษและตัวส่วนของเทอมที่ k ของอนุกรมตัวเลขที่กำลังศึกษาอยู่ ตัวอย่างเช่น ให้ความแตกต่างระหว่างเลขยกกำลังของเศษและส่วนเท่ากับ 2 – 3 = -1 ดังนั้น สำหรับการเปรียบเทียบ เราจึงเลือกอนุกรมที่มีเทอม k นั่นคืออนุกรมฮาร์มอนิก ลองดูตัวอย่างบางส่วน

ตัวอย่าง.

สร้างการบรรจบกันหรือความแตกต่างของอนุกรม

สารละลาย.

เนื่องจากขีดจำกัดของเทอมทั่วไปของอนุกรมมีค่าเท่ากับศูนย์ ดังนั้นเงื่อนไขที่จำเป็นสำหรับการลู่เข้าของอนุกรมจึงเป็นที่พอใจ

มันง่ายที่จะเห็นว่าอสมการเป็นจริงสำหรับ k ตามธรรมชาติทั้งหมด เรารู้ว่าอนุกรมฮาร์มอนิกมีความแตกต่าง ดังนั้นอนุกรมดั้งเดิมจึงต่างกันเช่นกันตามเกณฑ์แรกของการเปรียบเทียบ

ตัวอย่าง.

ตรวจสอบชุดตัวเลขสำหรับการลู่เข้า

สารละลาย.

เงื่อนไขที่จำเป็นสำหรับการลู่เข้าของชุดตัวเลขนั้นเป็นไปตามเงื่อนไขตั้งแต่นั้นมา - ความไม่เท่าเทียมกันนั้นชัดเจน สำหรับค่าธรรมชาติใดๆ ของ k อนุกรมมาบรรจบกัน เนื่องจากอนุกรมฮาร์มอนิกทั่วไปมาบรรจบกันที่ s > 1 ดังนั้น สัญญาณแรกของการเปรียบเทียบอนุกรมทำให้เราสามารถระบุการบรรจบกันของอนุกรมตัวเลขดั้งเดิมได้

ตัวอย่าง.

กำหนดลู่เข้าหรือลู่ออกของชุดตัวเลข

สารละลาย.

ดังนั้นจึงเป็นไปตามเงื่อนไขที่จำเป็นสำหรับการลู่เข้าของชุดตัวเลข ฉันควรเลือกแถวไหนเพื่อเปรียบเทียบ? ชุดตัวเลขแนะนำตัวมันเอง และเพื่อที่จะตัดสินใจเลือก s เราจะตรวจสอบลำดับตัวเลขอย่างรอบคอบ เงื่อนไขของลำดับตัวเลขเพิ่มขึ้นไปสู่อนันต์ ดังนั้น เริ่มต้นจากจำนวน N จำนวนหนึ่ง (กล่าวคือ จาก N = 1619) เงื่อนไขของลำดับนี้จะมากกว่า 2 เริ่มต้นจากเลข N นี้ อสมการจะเป็นจริง อนุกรมจำนวนมาบรรจบกันเนื่องจากคุณสมบัติแรกของอนุกรมลู่เข้า เนื่องจากได้มาจากอนุกรมลู่เข้าโดยการละทิ้งเทอม N - 1 ตัวแรก ดังนั้น ตามเกณฑ์แรกของการเปรียบเทียบ อนุกรมก็จะมาบรรจบกัน และเนื่องจากคุณสมบัติแรกของอนุกรมเลขมาบรรจบกัน อนุกรมก็จะมาบรรจบกันด้วย

สัญญาณที่สองของการเปรียบเทียบ

อนุญาต และ เป็นอนุกรมจำนวนบวก ถ้า แล้วการบรรจบกันของอนุกรมหมายถึงการลู่เข้าของ ถ้า แล้วความแตกต่างของอนุกรมตัวเลขแสดงถึงความแตกต่างของ

ผลที่ตามมา

ถ้า และ แล้วการบรรจบกันของอนุกรมหนึ่งแสดงถึงการลู่เข้าของอนุกรมอื่น และการลู่ออกหมายถึงการลู่ออก

เราตรวจสอบอนุกรมสำหรับการลู่เข้าโดยใช้เกณฑ์การเปรียบเทียบที่สอง เนื่องจากเป็นซีรีส์ เราจึงนำซีรีส์มาบรรจบกัน มาหาขีดจำกัดของอัตราส่วนของเทอม k ของชุดตัวเลขกัน:

ดังนั้น ตามเกณฑ์ที่สองของการเปรียบเทียบ จากการบรรจบกันของชุดตัวเลข การบรรจบกันของอนุกรมดั้งเดิมจะตามมา

ตัวอย่าง.

ตรวจสอบการบรรจบกันของอนุกรมจำนวน

สารละลาย.

ให้เราตรวจสอบเงื่อนไขที่จำเป็นสำหรับการบรรจบกันของอนุกรม - ตรงตามเงื่อนไข หากต้องการใช้เกณฑ์การเปรียบเทียบที่สอง ลองใช้อนุกรมฮาร์มอนิกกัน มาหาขีดจำกัดของอัตราส่วนของเทอม k:

ดังนั้น จากความแตกต่างของอนุกรมฮาร์มอนิก ความแตกต่างของอนุกรมดั้งเดิมตามเกณฑ์การเปรียบเทียบที่สองจึงตามมา

สำหรับข้อมูล เราจะนำเสนอเกณฑ์ที่สามสำหรับการเปรียบเทียบซีรี่ส์

สัญญาณที่สามของการเปรียบเทียบ

อนุญาต และ เป็นอนุกรมจำนวนบวก หากเงื่อนไขเป็นไปตามจำนวน N จำนวนหนึ่ง การลู่เข้าของอนุกรมหมายถึงการลู่เข้า และความแตกต่างของอนุกรมหมายถึงการลู่ออก

สัญลักษณ์ของดาล็องแบร์

ความคิดเห็น

การทดสอบของดาล็องแบร์นั้นใช้ได้ถ้าขีดจำกัดนั้นไม่มีที่สิ้นสุด นั่นคือถ้า แล้วอนุกรมจะมาบรรจบกันถ้า แล้วซีรีส์ก็แยกออกไป

ถ้า การทดสอบของดาล็องแบร์ไม่ได้ให้ข้อมูลเกี่ยวกับการลู่เข้าหรือความแตกต่างของอนุกรม และจำเป็นต้องมีการวิจัยเพิ่มเติม

ตัวอย่าง.

ตรวจสอบชุดตัวเลขสำหรับการลู่เข้าโดยใช้เกณฑ์ของดาล็องแบร์

สารละลาย.

ตรวจสอบการปฏิบัติตามเงื่อนไขที่จำเป็นสำหรับการลู่เข้าของชุดตัวเลข คำนวณขีด จำกัด โดยใช้:

ตรงตามเงื่อนไข

ลองใช้สัญลักษณ์ดาล็องแบร์:

ดังนั้นซีรีส์จึงมาบรรจบกัน

สัญญาณคอชี่หัวรุนแรง

อนุญาต เป็นอนุกรมจำนวนบวก. ถ้า แล้วอนุกรมจำนวนจะมาบรรจบกัน ถ้า แล้วอนุกรมจะแยกออกจากกัน

ความคิดเห็น

การทดสอบรากของ Cauchy นั้นใช้ได้ถ้าขีดจำกัดนั้นไม่มีที่สิ้นสุด นั่นคือถ้า แล้วอนุกรมจะมาบรรจบกันถ้า แล้วซีรีส์ก็แยกออกไป

ถ้า ดังนั้นการทดสอบ Radical Cauchy จะไม่ให้ข้อมูลเกี่ยวกับการลู่เข้าหรือความแตกต่างของอนุกรม และจำเป็นต้องมีการวิจัยเพิ่มเติม

โดยปกติจะค่อนข้างง่ายที่จะแยกแยะกรณีที่ควรใช้การทดสอบ Cauchy แบบรุนแรง กรณีทั่วไปคือเมื่อคำศัพท์ทั่วไปของชุดตัวเลขคือนิพจน์กำลังเลขชี้กำลัง ลองดูตัวอย่างบางส่วน

ตัวอย่าง.

ตรวจสอบอนุกรมจำนวนบวกสำหรับการลู่เข้าโดยใช้การทดสอบคอชีแบบราก

สารละลาย.

- จากการใช้การทดสอบ Cauchy แบบรุนแรงที่เราได้รับ .

ดังนั้นซีรีส์จึงมาบรรจบกัน

ตัวอย่าง.

อนุกรมตัวเลขมาบรรจบกันหรือไม่? .

สารละลาย.

ให้เราใช้การทดสอบคอชีแบบหัวรุนแรง ดังนั้นชุดตัวเลขจึงมาบรรจบกัน

การทดสอบอินทิกรัลคอชี่

อนุญาต เป็นอนุกรมจำนวนบวก. เรามาสร้างฟังก์ชันอาร์กิวเมนต์ต่อเนื่อง y = f(x) คล้ายกับฟังก์ชันกันดีกว่า ปล่อยให้ฟังก์ชัน y = f(x) เป็นบวก ต่อเนื่องและลดลงตามช่วงเวลา โดยที่ ) แล้วในกรณีที่เกิดการบรรจบกัน อินทิกรัลที่ไม่เหมาะสมชุดตัวเลขที่กำลังศึกษามาบรรจบกัน หากอินทิกรัลที่ไม่เหมาะสมเบี่ยงเบนไป อนุกรมดั้งเดิมก็จะลู่ออกด้วย

เมื่อตรวจสอบการลดลงของฟังก์ชัน y = f(x) ในช่วงเวลาหนึ่ง ทฤษฎีจากส่วนนี้อาจเป็นประโยชน์สำหรับคุณ

ตัวอย่าง.

ตรวจสอบชุดตัวเลขที่มีเงื่อนไขเชิงบวกสำหรับการลู่เข้า

สารละลาย.

เงื่อนไขที่จำเป็นสำหรับการบรรจบกันของซีรีส์เป็นที่พอใจตั้งแต่นั้นมา - ลองพิจารณาฟังก์ชันดู เป็นบวก ต่อเนื่อง และลดลงตามช่วงเวลา ความต่อเนื่องและแง่บวกของฟังก์ชันนี้ไม่ต้องสงสัยเลย แต่ให้เราพิจารณาการลดลงในรายละเอียดอีกสักหน่อย มาหาอนุพันธ์กัน:
- มันเป็นค่าลบในช่วงเวลา ดังนั้น ฟังก์ชันจะลดลงในช่วงเวลานี้

ก่อนที่จะกำหนดเครื่องหมาย ลองพิจารณาคำถามสำคัญ:
เมื่อใดจึงควรใช้การทดสอบการลู่เข้าของ D'Alembert

มาเริ่มกันที่รีวิวกันก่อนเลย จำกรณีที่คุณต้องการใช้สิ่งที่ได้รับความนิยมสูงสุด ขีดจำกัดของการเปรียบเทียบ- เกณฑ์จำกัดสำหรับการเปรียบเทียบจะใช้เมื่ออยู่ในเงื่อนไขทั่วไปของอนุกรม:
1) ตัวส่วนประกอบด้วยพหุนาม
2) พหุนามมีทั้งตัวเศษและตัวส่วน
3) พหุนามหนึ่งหรือทั้งสองสามารถอยู่ใต้รากได้

ข้อกำหนดเบื้องต้นหลักสำหรับการสมัครแบบทดสอบ d'Alembert มีดังนี้:

1) คำทั่วไปของซีรีส์ (“การบรรจุ” ของซีรีส์) รวมถึงตัวเลขในระดับหนึ่ง เช่น , และอื่นๆ ยิ่งกว่านั้น มันไม่สำคัญเลยที่สิ่งนี้จะอยู่ที่ใด ในตัวเศษหรือในตัวส่วน - สิ่งที่สำคัญคือมันอยู่ที่นั่น

2) คำทั่วไปของอนุกรมนี้รวมถึงแฟกทอเรียลด้วย แฟกทอเรียลคืออะไร? ไม่มีอะไรซับซ้อน แฟกทอเรียลเป็นเพียงการแสดงผลิตภัณฑ์อย่างย่อ:

…

…

ใครที่ยังประสบปัญหาเกี่ยวกับขีดจำกัดหรือความเข้าใจผิดเกี่ยวกับขีดจำกัด โปรดดูหัวข้อ ขีดจำกัด ตัวอย่างการแก้ปัญหา- หากปราศจากความเข้าใจในขีดจำกัดและความสามารถในการเปิดเผยความไม่แน่นอน น่าเสียดาย เราก็ไม่สามารถก้าวหน้าต่อไปได้ และตอนนี้ตัวอย่างที่รอคอยมานาน

ตัวอย่างที่ 1
เราเห็นว่าในแง่ทั่วไปของอนุกรมนี้เรามี และนี่คือข้อกำหนดเบื้องต้นที่แน่นอนสำหรับการใช้การทดสอบของดาล็องแบร์ ขั้นแรก โซลูชันแบบเต็มและการออกแบบตัวอย่าง มีความคิดเห็นด้านล่าง

เราใช้สัญลักษณ์ดาล็องแบร์:

มาบรรจบกัน

(1) เราเขียนอัตราส่วนของสมาชิกถัดไปของซีรีส์ต่ออัตราส่วนก่อนหน้า: . จากเงื่อนไขเราจะเห็นว่าคำศัพท์ทั่วไปของอนุกรมคือ เพื่อที่จะได้สมาชิกคนต่อไปของซีรีส์จึงเป็นสิ่งจำเป็น แทนที่จะทดแทน: .
(2) เรากำจัดเศษส่วนสี่ชั้นออกไป หากคุณมีประสบการณ์กับวิธีแก้ปัญหานี้มาก่อน คุณสามารถข้ามขั้นตอนนี้ได้
(3) เปิดวงเล็บในตัวเศษ ในตัวส่วนเราจะเอาสี่ออกจากกำลัง.
(4) ลดโดย . เราหาค่าคงที่เกินเครื่องหมายจำกัด ในตัวเศษเราแสดงพจน์ที่คล้ายกันในวงเล็บ
(5) ความไม่แน่นอนจะถูกกำจัดออกไปด้วยวิธีมาตรฐาน - โดยการหารตัวเศษและส่วนด้วย "en" ให้เป็นกำลังสูงสุด
(6) เราหารตัวเศษตามเทอม และระบุเทอมที่มีแนวโน้มเป็นศูนย์
(7) เราทำให้คำตอบง่ายขึ้นและจดบันทึกไว้ด้วยข้อสรุปว่า จากการทดสอบของดาล็องแบร์ ซีรีส์ที่กำลังศึกษามาบรรจบกัน

ตัวอย่างที่ 2 ลองใช้ซีรี่ส์ที่คล้ายกันแล้วตรวจสอบการลู่เข้ากัน
ขั้นแรกให้แก้ปัญหาโดยสมบูรณ์ จากนั้นแสดงความคิดเห็น:

(1) เราสร้างความสัมพันธ์
(2) เรากำจัดเศษส่วนสี่ชั้นออกไป
(3) พิจารณาการแสดงออก ในตัวเศษและนิพจน์ในตัวส่วน เราเห็นว่าในตัวเศษเราต้องเปิดวงเล็บแล้วยกกำลังสี่: ซึ่งเราไม่ต้องการทำเลย นอกจากนี้ สำหรับผู้ที่ไม่คุ้นเคยกับทวินามของนิวตัน งานนี้อาจเป็นไปไม่ได้เลย มาวิเคราะห์ระดับที่สูงกว่ากัน: ถ้าเราเปิดวงเล็บที่ด้านบน แล้วเราจะได้ปริญญาขั้นสูง ด้านล่างเรามีวุฒิการศึกษาระดับสูงเหมือนกัน: . จากการเปรียบเทียบกับตัวอย่างก่อนหน้านี้ เห็นได้ชัดว่าเมื่อหารเทอมทั้งเศษและส่วนทีละเทอม เราจะได้ 1 ในขีดจำกัด หรืออย่างที่นักคณิตศาสตร์พูดว่าพหุนาม และ - ลำดับการเติบโตเดียวกัน- ดังนั้นจึงค่อนข้างเป็นไปได้ที่จะวนอัตราส่วนด้วยดินสอธรรมดาแล้วระบุทันทีว่าสิ่งนี้มีแนวโน้มที่จะเป็นหนึ่ง เราจัดการกับพหุนามคู่ที่สองด้วยวิธีเดียวกัน และ ด้วยเช่นกัน ลำดับการเติบโตเดียวกันและอัตราส่วนของพวกเขามีแนวโน้มที่จะเป็นเอกภาพ

ตัวอย่างที่ 3 .

ลองดูตัวอย่างทั่วไปที่มีแฟกทอเรียล:

ตัวอย่างที่ 4 ตรวจสอบซีรีส์สำหรับการลู่เข้า

ดังนั้นซีรีส์ที่กำลังศึกษาอยู่ แตกต่าง.

(1) เราสร้างความสัมพันธ์ เราทำซ้ำอีกครั้ง ตามเงื่อนไข คำศัพท์ทั่วไปของซีรีส์นี้คือ: - เพื่อที่จะได้ภาคต่อของซีรีส์นี้ คุณต้องเปลี่ยนแทน, ดังนั้น: .
(2) เรากำจัดเศษส่วนสี่ชั้นออกไป
(3) หยิกเจ็ดออกจากระดับ เราอธิบายแฟกทอเรียลโดยละเอียด- วิธีการทำเช่นนี้ - ดูจุดเริ่มต้นของบทเรียน
(4) เราตัดทุกอย่างที่สามารถตัดได้
(5) เราย้ายค่าคงที่เกินเครื่องหมายจำกัด เปิดวงเล็บในตัวเศษ
(6) เรากำจัดความไม่แน่นอนด้วยวิธีมาตรฐาน - โดยการหารตัวเศษและส่วนด้วย "en" ให้เป็นกำลังสูงสุด

ตัวอย่างที่ 5ตรวจสอบซีรี่ส์สำหรับการลู่เข้า วิธีแก้ปัญหาแบบเต็มอยู่ด้านล่าง

ตัวอย่างที่ 6ตรวจสอบซีรีส์สำหรับการลู่เข้า

จากส่วนขยาย เราจะเห็นว่าสมาชิกถัดไปของซีรีส์นี้จะมีปัจจัยเพิ่มเติมเพิ่มเข้าไปในตัวส่วน ดังนั้น หากสมาชิกร่วมของซีรีส์คือ สมาชิกถัดไปของซีรีส์นี้:
- นี่คือจุดที่พวกเขามักจะทำผิดพลาดโดยอัตโนมัติ โดยเขียนอย่างเป็นทางการตามอัลกอริทึมนั้น

สารละลายตัวอย่างโดยประมาณอาจมีลักษณะดังนี้ ลองใช้เครื่องหมายดาล็องแบร์:
ดังนั้นซีรีส์ที่กำลังศึกษาอยู่ มาบรรจบกัน
สัญญาณ CAUCHY ที่รุนแรง

สัญลักษณ์ของ Radical Cauchy:ลองพิจารณาดู อนุกรมจำนวนบวก- หากมีขีดจำกัด: แล้ว:
ก) เมื่อแถว มาบรรจบกัน- โดยเฉพาะชุดนี้มาบรรจบกันที่
b) เมื่อแถว แตกต่าง- โดยเฉพาะซีรีส์นี้มีความแตกต่างกันที่
ค) เมื่อใด ป้ายไม่ให้คำตอบ- คุณต้องใช้สัญลักษณ์อื่น เป็นที่น่าสนใจที่จะสังเกตว่า ถ้าการทดสอบของ Cauchy ไม่ได้ให้คำตอบสำหรับคำถามเกี่ยวกับการบรรจบกันของอนุกรม การทดสอบของ D'Alembert ก็จะไม่ให้คำตอบแก่เราเช่นกัน แต่ถ้าการทดสอบของดาล็องแบร์ไม่ได้ให้คำตอบ การทดสอบของคอชีก็อาจจะ "ได้ผล" นั่นคือสัญญาณ Cauchy ในแง่นี้เป็นสัญญาณที่แข็งแกร่งกว่า

ตัวอย่างที่ 7ตรวจสอบซีรีส์สำหรับการลู่เข้า

นี่เป็นตัวอย่างที่ง่ายกว่าสำหรับคุณในการแก้ปัญหาด้วยตัวเอง:

ตัวอย่างที่ 8 ตรวจสอบซีรีส์สำหรับการลู่เข้า

และตัวอย่างทั่วไปอีกสองสามตัวอย่าง

โซลูชันทั้งหมดและการออกแบบตัวอย่างอยู่ด้านล่างนี้

ตัวอย่างที่ 9 ตรวจสอบซีรีส์สำหรับการลู่เข้า
เราใช้การทดสอบ Cauchy แบบรุนแรง:

ดังนั้นซีรีส์ที่กำลังศึกษาอยู่ มาบรรจบกัน.

(1) ใส่คำทั่วไปของอนุกรมไว้ใต้ราก
(2) เราเขียนสิ่งเดียวกันใหม่ แต่ไม่มีรูท ในขณะที่เปิดวงเล็บโดยใช้สูตรการคูณแบบย่อ: .
(3) ในตัวบ่งชี้ เราหารตัวเศษด้วยเทอมของส่วนด้วยเทอม แล้วระบุว่า .
(4) ความไม่แน่นอนของแบบฟอร์ม ที่นี่คุณสามารถหารตัวเศษด้วยตัวส่วนในวงเล็บได้โดยตรงด้วย "en" ไปจนถึงระดับสูงสุด เราเจอเรื่องคล้ายๆ กันตอนเรียน ขีด จำกัด ที่ยอดเยี่ยมที่สอง- แต่ที่นี่สถานการณ์แตกต่างออกไป ถ้าสัมประสิทธิ์ที่กำลังสูงกว่าได้ เหมือนกันตัวอย่างเช่น: ดังนั้นกลอุบายของการหารแบบเทอมต่อเทอมจะไม่ได้ผลอีกต่อไป และจำเป็นต้องใช้ขีดจำกัดที่น่าทึ่งตัวที่สอง แต่เรามีค่าสัมประสิทธิ์พวกนี้ แตกต่าง(5 และ 6) ดังนั้นจึงเป็นไปได้ (และจำเป็น) ที่จะแบ่งคำศัพท์ทีละเทอม (ในทางกลับกัน - ขีดจำกัดที่น่าทึ่งประการที่สองสำหรับ แตกต่างค่าสัมประสิทธิ์ที่ระดับที่สูงกว่าจะไม่ทำงานอีกต่อไป)
(5) จริงๆ แล้ว เราทำการแบ่งแบบเทอมต่อเทอมและระบุว่าเทอมใดมีแนวโน้มเป็นศูนย์
(6) ความไม่แน่นอนได้หมดไป ขีดจำกัดที่ง่ายที่สุดยังคงอยู่: ทำไมจึงเข้ามา ใหญ่อนันต์มีแนวโน้มที่จะเป็นศูนย์ใช่ไหม? เพราะฐานของปริญญาสนองความไม่เท่าเทียมกัน หากใครมีข้อสงสัยเกี่ยวกับความเป็นธรรมของวงเงิน แล้วฉันจะไม่ขี้เกียจ ฉันจะหยิบเครื่องคิดเลข:
ถ้าอย่างนั้น
ถ้าอย่างนั้น
ถ้าอย่างนั้น
ถ้าอย่างนั้น
ถ้าอย่างนั้น
… ฯลฯ ถึงอนันต์ - นั่นคืออยู่ในขอบเขต:
(7) เราระบุว่าเราสรุปได้ว่าอนุกรมมาบรรจบกัน

ตัวอย่างที่ 10 ตรวจสอบซีรีส์สำหรับการลู่เข้า

นี่คือตัวอย่างให้คุณแก้ด้วยตัวเอง

ฉันจะทำให้คนที่ไม่เข้าใจเนื้อหาหลักสูตรแรกดีนัก ในการใช้การทดสอบอินทิกรัล Cauchy คุณต้องมีความมั่นใจไม่มากก็น้อยในการหาอนุพันธ์ ปริพันธ์ และมีทักษะในการคำนวณด้วย อินทิกรัลที่ไม่เหมาะสมชนิดแรก ในหนังสือเรียนเกี่ยวกับการวิเคราะห์ทางคณิตศาสตร์ การทดสอบอินทิกรัลของ Cauchy ถูกกำหนดไว้อย่างเคร่งครัดทางคณิตศาสตร์ ให้เรากำหนดการทดสอบด้วยวิธีดั้งเดิมแต่เข้าใจได้ และยกตัวอย่างเพื่อความกระจ่างทันที

การทดสอบอินทิกรัล Cauchy:ลองพิจารณาดู อนุกรมจำนวนบวก- ชุดนี้มาบรรจบกันหรือแตกต่าง?

ตัวอย่างที่ 11 ตรวจสอบซีรีส์สำหรับการลู่เข้า

เกือบจะคลาสสิก ลอการิทึมธรรมชาติและเรื่องไร้สาระบางอย่าง

ข้อกำหนดเบื้องต้นหลักสำหรับการใช้การทดสอบอินทิกรัลของ Cauchy คือคือข้อเท็จจริงที่ว่าในแง่ทั่วไปของอนุกรมมีฟังก์ชันบางอย่างและอนุพันธ์ของมัน จากหัวข้อ อนุพันธ์คุณอาจจำสิ่งตารางที่ง่ายที่สุดได้: และเราก็มีกรณีที่เป็นที่ยอมรับ

จะใช้คุณลักษณะอินทิกรัลได้อย่างไร? ขั้นแรก เราใช้ไอคอนอินทิกรัลและเขียนขีดจำกัดบนและล่างใหม่จาก "ตัวนับ" ของชุดข้อมูล: จากนั้นภายใต้อินทิกรัล เราจะเขียน "การเติม" ของซีรีส์ใหม่ด้วยตัวอักษร "เขา": . มีบางอย่างขาดหายไป... ใช่แล้ว คุณต้องติดไอคอนส่วนต่างในตัวเศษด้วย:

ตอนนี้เราต้องคำนวณอินทิกรัลเกิน ในกรณีนี้เป็นไปได้สองกรณี:

1) หากปรากฎว่าอินทิกรัลมาบรรจบกัน อนุกรมของเราก็จะมาบรรจบกันด้วย

2) หากปรากฎว่าอินทิกรัลลู่ออก อนุกรมของเราจะลู่ออกด้วย

ฉันขอย้ำอีกครั้งว่าหากเนื้อหาถูกละเลยการอ่านย่อหน้านั้นจะยากและไม่ชัดเจนเนื่องจากการใช้คุณสมบัตินั้นขึ้นอยู่กับการคำนวณเป็นหลัก อินทิกรัลที่ไม่เหมาะสมชนิดแรก

โซลูชันและรูปแบบตัวอย่างที่สมบูรณ์ควรมีลักษณะดังนี้:

เราใช้เครื่องหมายอินทิกรัล:

ดังนั้นซีรีส์ที่กำลังศึกษาอยู่ แตกต่างพร้อมกับอินทิกรัลที่ไม่เหมาะสมที่สอดคล้องกัน

ตัวอย่างที่ 12 ตรวจสอบซีรีส์สำหรับการลู่เข้า

แนวทางแก้ไขและการออกแบบตัวอย่างในตอนท้ายของบทเรียน

ในตัวอย่างที่พิจารณา ลอการิทึมอาจอยู่ใต้รากก็ได้ ซึ่งจะไม่เปลี่ยนวิธีการแก้โจทย์

และอีกสองตัวอย่างสำหรับผู้เริ่มต้น

ตัวอย่างที่ 13 ตรวจสอบซีรีส์สำหรับการลู่เข้า

ตาม "พารามิเตอร์" ทั่วไป คำทั่วไปของอนุกรมนี้ดูเหมือนว่าจะเหมาะสมสำหรับการใช้เกณฑ์จำกัดในการเปรียบเทียบ คุณเพียงแค่ต้องเปิดวงเล็บแล้วส่งต่อให้ผู้สมัครทันทีเพื่อเปรียบเทียบซีรี่ส์นี้กับซีรีส์แบบลู่เข้าอย่างละเอียด อย่างไรก็ตามฉันกำลังโกงนิดหน่อยอาจไม่สามารถเปิดวงเล็บได้ แต่การแก้ปัญหาผ่านเกณฑ์การเปรียบเทียบที่ จำกัด จะดูค่อนข้างอวดรู้

ดังนั้นเราจึงใช้การทดสอบอินทิกรัลของ Cauchy:

ฟังก์ชันปริพันธ์เปิดอยู่อย่างต่อเนื่อง

มาบรรจบกันพร้อมกับอินทิกรัลที่ไม่เหมาะสมที่สอดคล้องกัน

- บันทึก:หมายเลขผลลัพธ์คือไม่ใช่ รวมซีรีย์!!!

ตัวอย่างที่ 14 ตรวจสอบซีรีส์สำหรับการลู่เข้า

การออกแบบโซลูชันและตัวอย่างอยู่ที่ส่วนท้ายของส่วนที่มาถึงจุดสิ้นสุด

หากต้องการเชี่ยวชาญหัวข้อซีรีส์ตัวเลขอย่างสมบูรณ์และไม่อาจเพิกถอนได้ โปรดไปที่หัวข้อต่างๆ

แนวทางแก้ไขและคำตอบ:

ตัวอย่างที่ 3:เราใช้สัญลักษณ์ดาล็องแบร์:

ดังนั้นซีรีส์ที่กำลังศึกษาอยู่ แตกต่าง.
หมายเหตุ: นอกจากนี้ยังเป็นไปได้ที่จะใช้วิธีการแก้ปัญหาแบบ "เทอร์โบ": วงกลมอัตราส่วนด้วยดินสอทันที ระบุว่ามีแนวโน้มที่จะเป็นเอกภาพและจดบันทึก: "มีลำดับการเติบโตเดียวกัน"

ตัวอย่างที่ 5: เราใช้สัญลักษณ์ดาล็องแบร์: ดังนั้นซีรีส์ที่กำลังศึกษาอยู่ มาบรรจบกัน.

ตัวอย่างที่ 8:

ดังนั้นซีรีส์ที่กำลังศึกษาอยู่ มาบรรจบกัน.

ตัวอย่างที่ 10:
เราใช้การทดสอบ Cauchy แบบรุนแรง

ดังนั้นซีรีส์ที่กำลังศึกษาอยู่ แตกต่าง.
หมายเหตุ: ในที่นี้ฐานคือระดับ ดังนั้น

ตัวอย่างที่ 12: เราใช้เครื่องหมายอินทิกรัล

จะได้จำนวนจำกัด ซึ่งหมายความว่าอนุกรมที่กำลังศึกษาอยู่ มาบรรจบกัน

ตัวอย่างที่ 14: เราใช้เครื่องหมายอินทิกรัล
ปริพันธ์ต่อเนื่องกันบน

ดังนั้นซีรีส์ที่กำลังศึกษาอยู่ แตกต่างร่วมกับอินทิกรัลไม่เหมาะสมที่สอดคล้องกัน
หมายเหตุ: สามารถตรวจสอบซีรี่ส์ได้โดยใช้เกณฑ์จำกัดสำหรับการเปรียบเทียบ - ในการดำเนินการนี้ คุณจะต้องเปิดวงเล็บใต้รากและเปรียบเทียบซีรีส์ที่กำลังศึกษากับซีรีส์ไดเวอร์เจนต์

สลับแถว. สัญญาณของไลบ์นิซ ตัวอย่างการแก้ปัญหา

เพื่อทำความเข้าใจตัวอย่างบทเรียนนี้ คุณต้องมีความเข้าใจเป็นอย่างดีเกี่ยวกับอนุกรมจำนวนบวก: เข้าใจว่าอนุกรมคืออะไร รู้สัญญาณที่จำเป็นสำหรับการบรรจบกันของอนุกรม สามารถใช้การทดสอบเปรียบเทียบ การทดสอบของ d'Alembert ,บททดสอบของคอชี่ หัวข้อนี้สามารถยกขึ้นมาได้เกือบตั้งแต่เริ่มต้นโดยการศึกษาบทความอย่างสม่ำเสมอ แถวสำหรับหุ่นและ สัญลักษณ์ของดาล็องแบร์ สัญญาณของคอชี่- ตามหลักเหตุผลแล้ว บทเรียนนี้เป็นบทเรียนที่สามติดต่อกัน และจะช่วยให้คุณไม่เพียงแต่เข้าใจแถวที่สลับกันเท่านั้น แต่ยังรวมเนื้อหาที่ครอบคลุมไปแล้วด้วย! จะมีความแปลกใหม่เล็กน้อยและการเรียนรู้การสลับแถวจะไม่ใช่เรื่องยาก ทุกอย่างเรียบง่ายและเข้าถึงได้

ซีรีย์สลับคืออะไร?นี่ชัดเจนหรือเกือบจะชัดเจนจากชื่อนั้นเอง เพียงตัวอย่างง่ายๆ ลองดูซีรีส์นี้และอธิบายรายละเอียดเพิ่มเติม:

และตอนนี้จะมีความเห็นนักฆ่า สมาชิกของอนุกรมสลับกันมีเครื่องหมายสลับกัน: บวก ลบ บวก ลบ บวก ลบ ฯลฯ ไม่มีที่สิ้นสุด.
การจัดตำแหน่งจะให้ตัวคูณ: หากเป็นคู่ก็จะมีเครื่องหมายบวก ถ้าเป็นคี่ก็จะมีเครื่องหมายลบ ในศัพท์เฉพาะทางคณิตศาสตร์ สิ่งนี้เรียกว่า "กะพริบ" ดังนั้นอนุกรมที่สลับกันจึงถูก "ระบุ" ด้วยลบหนึ่งจนถึงระดับ "en"

ในตัวอย่างเชิงปฏิบัติ การสลับเงื่อนไขของอนุกรมสามารถจัดให้มีได้ไม่เพียงแต่โดยตัวคูณเท่านั้น แต่ยังโดยการสับเปลี่ยนพี่น้องด้วย: , , , …. ตัวอย่างเช่น:

หลุมพรางคือ "การหลอกลวง": , , ฯลฯ - ตัวคูณดังกล่าว ห้ามเปลี่ยนป้าย- เป็นที่ชัดเจนอย่างยิ่งว่าสำหรับธรรมชาติใดๆ: , , . แถวที่มีการหลอกลวงไม่เพียงแต่ถูกเลื่อนออกไปสำหรับนักเรียนที่มีพรสวรรค์โดยเฉพาะเท่านั้น แต่ยังเกิดขึ้นเป็นครั้งคราว "ด้วยตัวเอง" ในระหว่างการแก้ปัญหา ซีรี่ส์การทำงาน.

จะตรวจสอบอนุกรมสลับสำหรับการลู่เข้าได้อย่างไร?ใช้การทดสอบของไลบนิซ ฉันไม่ต้องการที่จะพูดอะไรเกี่ยวกับความคิดยักษ์ใหญ่ชาวเยอรมัน Gottfried Wilhelm Leibniz เนื่องจากนอกเหนือจากงานทางคณิตศาสตร์ของเขาแล้วเขายังเขียนหนังสือเกี่ยวกับปรัชญาหลายเล่มอีกด้วย เป็นอันตรายต่อสมอง

บททดสอบของไลบ์นิซ: ถ้าเป็นสมาชิกของซีรีย์สลับกัน น่าเบื่อหน่ายโมดูลัสลดลง จากนั้นอนุกรมจะมาบรรจบกัน หรือในสองจุด:

2) เงื่อนไขของอนุกรมลดลงในค่าสัมบูรณ์: . ยิ่งกว่านั้นพวกมันก็ลดลงอย่างน่าเบื่อหน่าย

ถ้าทำเสร็จแล้ว ทั้งคู่เงื่อนไข แล้วอนุกรมจะมาบรรจบกัน.

ข้อมูลโดยย่อเกี่ยวกับโมดูลมีอยู่ในคู่มือสูตรเด็ดสำหรับคอร์สคณิตศาสตร์โรงเรียน แต่เพื่อความสะดวกอีกครั้ง:

“โมดูโล่” หมายความว่าอย่างไร? อย่างที่เราจำได้จากโรงเรียน โมดูลนี้ "กิน" เครื่องหมายลบ กลับแถวกันเถอะ - ลบเครื่องหมายทั้งหมดด้วยยางลบและ มาดูตัวเลขกันดีกว่า- เราจะเห็นสิ่งนั้น ทุก ๆ ถัดไปสมาชิกซีรีส์ น้อยกว่าครั้งก่อน ดังนั้น วลีต่อไปนี้จึงมีความหมายเหมือนกัน:

– สมาชิกของซีรีส์ โดยไม่คำนึงถึงสัญญาณกำลังลดลง
– สมาชิกของซีรีส์ลดลง โมดูโล่.
– สมาชิกของซีรีส์ลดลง ในมูลค่าสัมบูรณ์.
– โมดูลคำศัพท์ทั่วไปของซีรีส์นี้มีแนวโน้มเป็นศูนย์: สิ้นสุดการช่วยเหลือ.

ตอนนี้เรามาพูดถึงความน่าเบื่อกันหน่อย ความน่าเบื่อคือความสม่ำเสมอที่น่าเบื่อ

สมาชิกของซีรีส์ ซ้ำซากจำเจอย่างเคร่งครัดโมดูลัสลดลงหากทุก ๆ NEXT เป็นสมาชิกของซีรีส์ โมดูโล่น้อยกว่าครั้งก่อน: . สำหรับแถว ความน่าเบื่อหน่ายที่เข้มงวดของการลดลงสามารถอธิบายได้ในรายละเอียด:

หรืออาจพูดสั้น ๆ ว่า: สมาชิกคนต่อไปของซีรีส์ โมดูโล่น้อยกว่าครั้งก่อน: .

สมาชิกของซีรีส์ ไม่ซ้ำซากจำเจอย่างเคร่งครัดโมดูโลลดลงหากสมาชิกแต่ละคนต่อไปนี้ของซีรีส์โมดูโลไม่ได้ยิ่งใหญ่กว่าอันก่อนหน้า: พิจารณาอนุกรมที่มีแฟกทอเรียล: มีความซ้ำซากจำเจที่นี่ เนื่องจากสองเทอมแรกของอนุกรมมีโมดูลัสเหมือนกัน นั่นคือสมาชิกแต่ละคนถัดไปของซีรีส์ โมดูโล่ไม่มากไปกว่าครั้งก่อน: .

ภายใต้เงื่อนไขของทฤษฎีบทของไลบ์นิซ การลดความซ้ำซากจำเจจะต้องได้รับการตอบสนอง (ไม่สำคัญว่าจะเข้มงวดหรือไม่เข้มงวดก็ตาม) ในกรณีนี้สมาชิกของซีรีส์สามารถทำได้ แม้แต่โมดูลัสก็เพิ่มขึ้นมาระยะหนึ่งแล้วแต่ "หาง" ของซีรีส์จะต้องลดลงอย่างจำเจ ไม่จำเป็นต้องกลัวสิ่งที่ฉันได้สะสมไว้ ตัวอย่างเชิงปฏิบัติจะทำให้ทุกอย่างเข้าที่:

ตัวอย่างที่ 1ตรวจสอบซีรีส์สำหรับการลู่เข้า

คำทั่วไปของซีรี่ส์ประกอบด้วยปัจจัย ซึ่งหมายความว่าคุณต้องใช้เกณฑ์ของไลบ์นิซ

1) ตรวจสอบแถวสำหรับการสลับ โดยปกติ ณ จุดนี้ ชุดการตัดสินใจจะมีการอธิบายโดยละเอียด และประกาศคำตัดสินว่า “ซีรีส์สลับกัน”

2) เงื่อนไขของอนุกรมลดค่าสัมบูรณ์หรือไม่? จำเป็นต้องแก้ขีดจำกัดซึ่งส่วนใหญ่มักจะง่ายมาก

– เงื่อนไขของอนุกรมไม่ลดโมดูลัส อย่างไรก็ตาม ไม่จำเป็นต้องหารือเกี่ยวกับความซ้ำซากจำเจของการลดลงอีกต่อไป สรุป: ซีรีส์แตกต่าง

จะรู้ได้อย่างไรว่าอะไรเท่ากัน? ง่ายมาก. ดังที่คุณทราบ โมดูลจะทำลายข้อเสีย ดังนั้นเพื่อที่จะสร้างขึ้นมา คุณเพียงแค่ต้องถอดไฟกะพริบออกจากหลังคา ในกรณีนี้ คำทั่วไปของซีรีส์นี้คือ เราลบ "ไฟกะพริบ" อย่างโง่เขลา: .

ตัวอย่างที่ 2 ตรวจสอบซีรีส์สำหรับการลู่เข้า

เราใช้เกณฑ์ของไลบ์นิซ:

1) ซีรีส์กำลังสลับกัน

2) – เงื่อนไขของอนุกรมลดลงในโมดูลัส สมาชิกถัดไปแต่ละตัวของซีรีส์จะมีค่าสัมบูรณ์น้อยกว่าสมาชิกก่อนหน้า ดังนั้น การลดลงจึงเป็นเรื่องซ้ำซาก

บทสรุป: ซีรีส์มาบรรจบกัน

ทุกอย่างจะง่ายมาก - แต่นี่ไม่ใช่จุดสิ้นสุดของการแก้ปัญหา!

หากซีรีส์มาบรรจบกันตามการทดสอบของ Leibniz ก็แสดงว่าซีรีส์นั้นด้วย มาบรรจบกันอย่างมีเงื่อนไข.

ถ้าอนุกรมที่ประกอบด้วยโมดูลมาบรรจบกัน แสดงว่าอนุกรมนั้น มาบรรจบกันอย่างแน่นอน.

ดังนั้นขั้นตอนที่สองของการแก้ปัญหาทั่วไปจึงอยู่ในวาระการประชุม - ศึกษาสัญลักษณ์ของอนุกรมการสลับเพื่อการบรรจบกันอย่างสมบูรณ์

ไม่ใช่ความผิดของฉัน นั่นเป็นเพียงทฤษฎีอนุกรมจำนวน =)

ให้เราตรวจสอบซีรีส์ของเราเพื่อการบรรจบกันอย่างสมบูรณ์
มาเขียนชุดของโมดูลกัน - อีกครั้งเราเพียงแค่ลบปัจจัยที่รับรองการสลับสัญญาณ: - ไดเวอร์จ (ซีรีย์ฮาร์มอนิก)

ดังนั้นซีรีย์ของเรา ไม่ได้บรรจบกันโดยสิ้นเชิง.
ซีรีส์ที่กำลังศึกษาอยู่ มาบรรจบกันตามเงื่อนไขเท่านั้น.

โปรดทราบว่าในตัวอย่างที่ 1 ไม่จำเป็นต้องศึกษาการลู่เข้าแบบไม่สัมบูรณ์ เนื่องจากในขั้นตอนแรกสรุปได้ว่าชุดข้อมูลแยกกัน

เรารวบรวมถัง พลั่ว รถยนต์ และทิ้งกระบะทรายไว้เพื่อมองโลกด้วยสายตาที่เบิกกว้างจากห้องโดยสารของรถขุดของฉัน:

ตัวอย่างที่ 3 ตรวจสอบซีรีส์สำหรับการลู่เข้า เราใช้เกณฑ์ของไลบ์นิซ:

1)
ชุดนี้สลับกัน..

2) – เงื่อนไขของอนุกรมลดลงในโมดูลัส สมาชิกถัดไปของซีรีส์แต่ละตัวจะมีโมดูโลน้อยกว่าสมาชิกก่อนหน้า: ซึ่งหมายความว่าการลดลงนั้นซ้ำซากจำเจ บทสรุป: ซีรีส์มาบรรจบกัน

จากการวิเคราะห์การเติมซีรีส์ เราได้ข้อสรุปว่าจำเป็นต้องใช้เกณฑ์จำกัดในการเปรียบเทียบ จะสะดวกกว่าถ้าเปิดวงเล็บในตัวส่วน:

ลองเปรียบเทียบซีรีย์นี้กับซีรีย์แบบมาบรรจบกัน เราใช้เกณฑ์จำกัดในการเปรียบเทียบ

จะได้จำนวนจำกัดที่แตกต่างจากศูนย์ ซึ่งหมายความว่าอนุกรมมาบรรจบกับอนุกรม ซีรีส์ที่กำลังศึกษาอยู่ มาบรรจบกันอย่างแน่นอน.

ตัวอย่างที่ 4 ตรวจสอบซีรีส์สำหรับการลู่เข้า

ตัวอย่างที่ 5 ตรวจสอบซีรีส์สำหรับการลู่เข้า

นี่เป็นตัวอย่างให้คุณแก้ได้ด้วยตัวเอง โซลูชันทั้งหมดและการออกแบบตัวอย่างที่ส่วนท้ายของส่วน

อย่างที่คุณเห็น การสลับแถวนั้นเรียบง่ายและน่าเบื่อ! แต่อย่าเพิ่งรีบปิดเพจ ในอีกไม่กี่หน้าจอ เราจะดูเคสที่หลายคนงงงัน ในระหว่างนี้ มีตัวอย่างอีกสองสามตัวอย่างสำหรับการฝึกฝนและการทำซ้ำ

ตัวอย่างที่ 6 ตรวจสอบซีรีส์สำหรับการลู่เข้า

เราใช้เกณฑ์ของไลบ์นิซ
1) ซีรีส์กำลังสลับกัน
2)

เงื่อนไขของอนุกรมลดลงในโมดูลัส สมาชิกถัดไปแต่ละตัวของซีรีส์จะมีค่าสัมบูรณ์น้อยกว่าสมาชิกก่อนหน้า ซึ่งหมายความว่าการลดลงนั้นซ้ำซากจำเจ บทสรุป: ซีรีส์มาบรรจบกัน

โปรดทราบว่าฉันไม่ได้อธิบายรายละเอียดของสมาชิกของซีรีส์นี้โดยละเอียด ขอแนะนำให้อธิบายสิ่งเหล่านี้เสมอ แต่เนื่องจากความเกียจคร้านที่ไม่อาจต้านทานได้ในกรณีที่ "ยาก" คุณสามารถ จำกัด ตัวเองให้อยู่ในวลี "ซีรีส์นี้สลับกันเป็นสัญลักษณ์" อย่างไรก็ตามไม่จำเป็นต้องปฏิบัติต่อประเด็นนี้อย่างเป็นทางการ เราตรวจสอบอยู่เสมอ(อย่างน้อยก็จิตใจ) ว่าซีรีส์สลับกันจริงๆ การดูอย่างรวดเร็วล้มเหลว และเกิดข้อผิดพลาดโดยอัตโนมัติ จำเกี่ยวกับ "การหลอกลวง" , , หากมีอยู่คุณจะต้องกำจัดมันออกไปโดยรับซีรีส์ "ปกติ" ที่มีเงื่อนไขเชิงบวก

ความละเอียดอ่อนประการที่สองเกี่ยวข้องกับวลีเกี่ยวกับความซ้ำซากจำเจ ซึ่งฉันก็ย่อให้สั้นลงให้มากที่สุดด้วย คุณสามารถทำเช่นนี้ได้ และงานของคุณเกือบทุกครั้งจะได้รับการยอมรับ ฉันจะพูดสิ่งที่ไม่ดีเลย - โดยส่วนตัวแล้วฉันมักจะเงียบเรื่องความน่าเบื่อและตัวเลขดังกล่าวก็ผ่านไป แต่ต้องเตรียมอธิบายทุกอย่างอย่างละเอียด ไปจนถึงรายละเอียดของความไม่เท่าเทียมกัน (ดูตัวอย่างที่ตอนต้นบทเรียน) นอกจากนี้บางครั้งความซ้ำซากจำเจก็ไม่เข้มงวดและจำเป็นต้องติดตามเพื่อแทนที่คำว่า "น้อยลง" เป็นคำว่า "ไม่มาก"

ให้เราตรวจสอบซีรีส์นี้เพื่อการบรรจบกันอย่างสมบูรณ์: