ให้เราพิจารณาระบบคิวแบบหลายช่องสัญญาณ (รวม n ช่อง) ซึ่งรับคำขอด้วยความเข้มข้น แล และให้บริการด้วยความเข้มข้น μ คำขอที่มาถึงระบบจะได้รับบริการหากมีช่องสัญญาณว่างอย่างน้อยหนึ่งช่อง หากทุกช่องไม่ว่าง คำขอถัดไปที่ได้รับเข้าสู่ระบบจะถูกปฏิเสธและออกจาก QS ให้เรากำหนดหมายเลขสถานะของระบบตามจำนวนช่องสัญญาณที่ถูกครอบครอง:
ข้าว. 7.24
รูปที่ 6.24 แสดงกราฟสถานะซึ่ง สฉัน– หมายเลขช่อง; แล - ความเข้มของคำขอที่ได้รับ; μ
– ตามความเข้มข้นของการร้องขอการบริการ คำขอเข้าสู่ระบบคิวด้วยความเข้มข้นคงที่และค่อยๆ ครอบครองช่องทางทีละรายการ เมื่อทุกช่องไม่ว่าง คำร้องขอถัดไปที่มาถึง QS จะถูกปฏิเสธและออกจากระบบ
ให้เราพิจารณาความเข้มข้นของโฟลว์เหตุการณ์ที่ถ่ายโอนระบบจากรัฐหนึ่งไปอีกรัฐหนึ่ง เมื่อเคลื่อนที่ทั้งจากซ้ายไปขวาและจากขวาไปซ้ายตามกราฟสถานะ
เช่น ให้ระบบอยู่ในสถานะ ส 1 เช่น ช่องหนึ่งไม่ว่างเนื่องจากมีคำขอที่อินพุต ทันทีที่การบริการตามคำขอเสร็จสิ้น ระบบจะเข้าสู่สถานะ ส 0 .
ตัวอย่างเช่น หากสองช่องไม่ว่าง โฟลว์บริการจะถ่ายโอนระบบจากสถานะ ส 2 อยู่ในสถานะ ส 1 จะมีความเข้มข้นเป็นสองเท่า: 2-μ; ดังนั้นหากยุ่ง เคช่องความเข้มคือ k-μ
กระบวนการบำรุงรักษาเป็นกระบวนการแห่งความตายและการสืบพันธุ์ สมการโคลโมโกรอฟสำหรับกรณีนี้โดยเฉพาะจะมีรูปแบบดังต่อไปนี้:
(7.25)
สมการ (7.25) เรียกว่า สมการเออร์แลง
.
เพื่อที่จะหาค่าความน่าจะเป็นของรัฐ ร 0 , ร 1 , …, รnจำเป็นต้องกำหนดเงื่อนไขเริ่มต้น:
– ร 0 (0) = 1 เช่น มีการร้องขอที่อินพุตของระบบ
– ร 1 (0) = ร 2 (0) = … = รn(0) = 0 กล่าวคือ ในช่วงเวลาเริ่มต้นระบบจะว่าง
เมื่อรวมระบบสมการเชิงอนุพันธ์ (7.25) แล้วเราจะได้ค่าความน่าจะเป็นของรัฐ ร 0 (ที), ร 1 (ที), … รn(ที).
แต่เราสนใจเรื่องความน่าจะเป็นที่จำกัดของรัฐมากกว่ามาก เมื่อ t → ∞ และใช้สูตรที่ได้รับเมื่อพิจารณาถึงกระบวนการตายและการสืบพันธุ์ เราจะได้คำตอบของระบบสมการ (7.25):
(7.26)
ในสูตรเหล่านี้คืออัตราส่วนความเข้ม λ / μ
สะดวกในการกำหนดตามกระแสของแอปพลิเคชัน ρ
.ปริมาณนี้เรียกว่า เมื่อพิจารณาถึงความเข้มข้นของการไหลของแอปพลิเคชันนั่นคือจำนวนเฉลี่ยของแอปพลิเคชันที่มาถึง QS ในช่วงเวลาเฉลี่ยของการให้บริการหนึ่งแอปพลิเคชัน
เมื่อคำนึงถึงสัญกรณ์ที่ทำไว้ ระบบสมการ (7.26) จะอยู่ในรูปแบบต่อไปนี้:
(7.27)
สูตรเหล่านี้สำหรับการคำนวณความน่าจะเป็นส่วนเพิ่มเรียกว่า สูตรเออร์แลง
.
เมื่อทราบความน่าจะเป็นทั้งหมดของสถานะ QS เราจะค้นหาคุณลักษณะของประสิทธิภาพของ QS เช่น ปริมาณงานสัมบูรณ์ ก, ปริมาณงานสัมพัทธ์ ถามและความน่าจะเป็นของความล้มเหลว รเปิด
แอปพลิเคชันที่ระบบได้รับจะถูกปฏิเสธหากพบว่าทุกช่องไม่ว่าง:
.
ความน่าจะเป็นที่ใบสมัครจะได้รับการยอมรับสำหรับการบริการ:
ถาม = 1 – รเปิด,
ที่ไหน ถาม– ส่วนแบ่งเฉลี่ยของแอปพลิเคชันที่ได้รับบริการโดยระบบ หรือจำนวนเฉลี่ยของแอปพลิเคชันที่ให้บริการโดย QS ต่อหน่วยเวลา หารด้วยจำนวนแอปพลิเคชันโดยเฉลี่ยที่ได้รับในช่วงเวลานี้:
A=แลมบ์ดาQ=แลมบ์(เปิด 1-P)
นอกจากนี้ หนึ่งในคุณลักษณะที่สำคัญที่สุดของ QS ที่มีความล้มเหลวก็คือ จำนวนช่องสัญญาณที่ไม่ว่างโดยเฉลี่ย- ใน n-channel QS ที่มีความล้มเหลว หมายเลขนี้เกิดขึ้นพร้อมกับจำนวนแอปพลิเคชันโดยเฉลี่ยใน QS
จำนวนคำขอโดยเฉลี่ย k สามารถคำนวณได้โดยตรงผ่านความน่าจะเป็นของสถานะ P 0, P 1, ..., P n:
,
กล่าวคือ เราค้นหาความคาดหวังทางคณิตศาสตร์ของตัวแปรสุ่มแบบไม่ต่อเนื่องที่รับค่าตั้งแต่ 0 ถึง nด้วยความน่าจะเป็น ร 0 , ร 1 , …, รn.
ง่ายยิ่งขึ้นในการแสดงค่า k ผ่านความสามารถสัมบูรณ์ของ QS เช่น ก. ค่า A คือจำนวนแอปพลิเคชันโดยเฉลี่ยที่ระบบให้บริการต่อหน่วยเวลา ช่องสัญญาณที่ไม่ว่างหนึ่งช่องให้บริการคำขอ μ ต่อหน่วยเวลา จากนั้นจึงเป็นจำนวนเฉลี่ยของช่องสัญญาณที่ไม่ว่าง
ระบบสมการ
QS ที่มีความล้มเหลวสำหรับโฟลว์การบริการจำนวนสุ่ม; แบบจำลองเวกเตอร์สำหรับโฟลว์ปัวซอง กราฟระบบสมการ
ลองแทน QS เป็นเวกเตอร์ โดยที่ กม– จำนวนแอพพลิเคชั่นในระบบซึ่งแต่ละแอพพลิเคชั่นให้บริการ มอุปกรณ์; ล= ถามสูงสุด – ถามนาที +1 – จำนวนสตรีมอินพุต
หากคำขอได้รับการยอมรับสำหรับการบริการและระบบเข้าสู่สถานะที่มีความเข้มข้น แล ม.
เมื่อให้บริการคำขอใดคำขอหนึ่งเสร็จสมบูรณ์ ระบบจะย้ายไปยังสถานะที่พิกัดที่เกี่ยวข้องมีค่าที่น้อยกว่าในสถานะหนึ่ง = เช่น การเปลี่ยนแปลงย้อนกลับจะเกิดขึ้น
ตัวอย่างของโมเดลเวกเตอร์ QS สำหรับ n = 3, ล = 3, ถามนาที = 1, ถามสูงสุด = 3, ป(ม) = 1/3, แลมบ์ดา Σ = แลม, ความเข้มข้นของการบำรุงรักษาอุปกรณ์ – μ
การใช้กราฟสถานะที่มีการพล็อตความเข้มของการเปลี่ยนแปลง ระบบสมการพีชคณิตเชิงเส้นจะถูกรวบรวม จากการแก้สมการเหล่านี้จะพบความน่าจะเป็น ร() โดยกำหนดลักษณะของ QS
QS พร้อมคิวที่ไม่มีที่สิ้นสุดสำหรับโฟลว์ปัวซอง กราฟ ระบบสมการ ความสัมพันธ์ที่คำนวณได้
กราฟระบบ
ระบบสมการ
ที่ไหน n– จำนวนช่องทางการให้บริการ ล– จำนวนช่องทางการช่วยเหลือซึ่งกันและกัน
QS ที่มีคิวไม่สิ้นสุดและความช่วยเหลือซึ่งกันและกันบางส่วนสำหรับการไหลตามอำเภอใจ กราฟ ระบบสมการ ความสัมพันธ์ที่คำนวณได้
กราฟระบบ
ระบบสมการ
–λ ร 0 + nμ ร 1 =0,
.………………
–(λ + nμ) พี เค+ λ พี เค –1 + nμ พี เค +1 =0 (เค = 1,2, ... , n–1),
……………....
-(λ+ nμ) พี+ λ พี –1 + nμ รน+1=0,
……………….
-(λ+ nμ) พีเอ็น+เจ+ λ ร เอ็น+เจ –1 + nμ พี เอ็น+เจ+1=0, เจ=(1,2,….,∞)
เข้าคิวด้วยคิวที่ไม่มีที่สิ้นสุดและให้ความช่วยเหลือซึ่งกันและกันสำหรับเธรดตามอำเภอใจ กราฟ ระบบสมการ ความสัมพันธ์ที่คำนวณได้
กราฟระบบ
|
ระบบสมการ
QS ที่มีคิวจำกัดสำหรับโฟลว์ปัวซอง กราฟ ระบบสมการ ความสัมพันธ์ที่คำนวณได้
กราฟระบบ
ระบบสมการ
อัตราส่วนการคำนวณ:
,
ยูดีซี 519.248:656.71
รูปแบบของระบบคิวที่มีกระแสไม่คงที่และการช่วยเหลือซึ่งกันและกันบางส่วนระหว่างช่องทาง
© 2011 V. A. Romanenko
Samara State Aerospace University ตั้งชื่อตามนักวิชาการ S.P. Korolev (มหาวิทยาลัยวิจัยแห่งชาติ)
มีการอธิบายแบบจำลองไดนามิกของระบบคิวแบบหลายช่องสัญญาณที่มีการไหลไม่คงที่ กำลังรออยู่ในคิวที่มีความยาวจำกัด และช่วยเหลือซึ่งกันและกันบางส่วนของช่องสัญญาณ ซึ่งแสดงความเป็นไปได้ในการให้บริการคำขอพร้อมกันโดยสองช่องสัญญาณ มีการกำหนดนิพจน์สำหรับคุณลักษณะเวลาความน่าจะเป็นหลักของระบบ มีการอธิบายผลลัพธ์ของการสร้างแบบจำลองการทำงานของศูนย์กลางสนามบินเป็นตัวอย่างของระบบที่อยู่ระหว่างการพิจารณา
ระบบคิว, การไหลไม่คงที่, การช่วยเหลือซึ่งกันและกันระหว่างช่องสัญญาณ, ศูนย์กลางสนามบิน
การแนะนำ
เราพิจารณาระบบคิวแบบหลายช่องสัญญาณ (QS) ที่มีการรอคิวที่มีความยาวจำกัด คุณลักษณะของ QS ที่อยู่ระหว่างการพิจารณาคือการให้ความช่วยเหลือซึ่งกันและกันบางส่วนระหว่างช่องสัญญาณ ซึ่งแสดงความเป็นไปได้ในการใช้สองช่องสัญญาณพร้อมกันเพื่อให้บริการหนึ่งคำขอ การรวมความพยายามของช่องทางโดยทั่วไปทำให้เวลาในการให้บริการโดยเฉลี่ยลดลง สันนิษฐานว่า QS ได้รับกระแสปัวซองที่ไม่คงที่ของแอปพลิเคชัน ระยะเวลาในการให้บริการแอปพลิเคชันขึ้นอยู่กับเวลา
ตัวอย่างทั่วไปของ QS ที่มีคุณสมบัติตามรายการคือระบบบริการขนส่งสนามบิน การใช้สิ่งอำนวยความสะดวกหลายอย่างพร้อมกัน (โดยปกติคือสองแห่ง) (เคาน์เตอร์เช็คอิน เรือบรรทุกน้ำมันเชื้อเพลิง ยานพาหนะพิเศษ ฯลฯ) เพื่อให้บริการหนึ่งเที่ยวบินนั้นจัดทำโดยตารางเทคโนโลยีของการให้บริการสนามบินของเครื่องบินขนาดใหญ่ (AC) ในเวลาเดียวกันความจำเป็นในการปรับปรุงคุณภาพและลดระยะเวลาของการบริการขนส่งภาคพื้นดินซึ่งเกี่ยวข้องโดยเฉพาะกับสนามบินขนาดใหญ่นำไปสู่ความจริงที่ว่าส่วนแบ่งการดำเนินงานไม่ได้ดำเนินการโดยฝ่ายใดฝ่ายหนึ่ง แต่ด้วยหลาย (สอง) วิธีคือ เพิ่มขึ้น.
สิ่งนี้จะเพิ่มขึ้นเมื่อขนาดของสนามบินเพิ่มขึ้น แบบจำลองที่อธิบายไว้ในบทความได้รับการพัฒนาเพื่อแก้ปัญหาการวิเคราะห์และการเพิ่มประสิทธิภาพการทำงานของคอมเพล็กซ์การผลิตของสนามบินศูนย์กลาง (ฮับ) โดยมีลักษณะเฉพาะด้วยความอิ่มตัวของสิ่งอำนวยความสะดวกการขนส่งภาคพื้นดินโดยมีผู้โดยสารเครื่องบินและสินค้าไม่คงที่และ ความผันผวนของความเข้มข้นของการบริการ
คำอธิบายทั่วไปของแบบจำลอง
แบบจำลองนี้มีวัตถุประสงค์เพื่อกำหนดการขึ้นต่อกันของเวลาของคุณลักษณะความน่าจะเป็นของระบบ QS ที่มีช่องสัญญาณให้บริการ N จำนวนการสมัครใน QS ไม่ควรเกิน K ซึ่งอาจเนื่องมาจากข้อจำกัดทางเทคนิคเกี่ยวกับจำนวนที่จอดรถของเครื่องบินที่สนามบิน ความจุของอาคารผู้โดยสารหรือศูนย์ขนส่งสินค้า เป็นต้น จำนวนช่องสัญญาณที่จัดสรรสำหรับการให้บริการหนึ่งคำขออาจเป็น 1 หรือ 2 ช่องก็ได้ หากมีช่องสัญญาณว่างอย่างน้อยสองช่อง คำขอที่ได้รับที่มีความน่าจะเป็นที่กำหนดจะถูกยืมเพื่อการบริการ
หนึ่งในนั้นและ - ด้วยความน่าจะเป็น y2 = 1 - y1 - ทั้งสองช่อง หาก ณ เวลาที่รับแอปพลิเคชันเพื่อรับบริการ QS มีช่องสัญญาณฟรีเพียงช่องเดียว ดังนั้นแอปพลิเคชันนี้ไม่ว่าในกรณีใดจะใช้พื้นที่ที่มีอยู่
ช่องเดียวเท่านั้น หากไม่มีช่องว่าง คำขอที่เพิ่งเข้ามา “เข้าคิว” และรอให้บริการ หากจำนวนแอปพลิเคชันในคิวคือ K-N แอปพลิเคชันที่เพิ่งมาถึงจะปล่อยให้ QS ไม่ถูกให้บริการ ความน่าจะเป็นของเหตุการณ์ดังกล่าวควรต่ำ
อินพุต QS รับโฟลว์ของแอปพลิเคชันปัวซอง (ไม่จำเป็นต้องอยู่กับที่)
ด้วยความเข้ม l(t) สันนิษฐานว่าระยะเวลาในการให้บริการคำขอโดยทั้งหนึ่งช่อง Tobsl1 (t) และสอง -
Tobsl 2 (t) เป็นฟังก์ชันสุ่มแบบกระจายแบบเอ็กซ์โพเนนเชียลของเวลา (กระบวนการสุ่ม)
ความเข้มข้นของบริการแอปพลิเคชัน
หนึ่งช่อง ^ (t) และสองช่องพร้อมกัน m 2 (t) ถูกกำหนดให้เป็น
ไมล์ (t) = [Tobsl1 (t)]-1, m2 (t) = [Tobsl2 (t)]-1,
โดยที่ Tobsl1 (t) = M [Tobsl1 (t)], Tobsl 2 (t)= M[Tobsl 2 (t)]
เวลาเฉลี่ยในการให้บริการคำขอตามหนึ่งช่องทางและสองช่องทางตามลำดับ
ความสัมพันธ์ระหว่างปริมาณ m1 (t) และ m 2 (t) กำหนดโดยความสัมพันธ์
m2 (t) = ^m1 (t) ,
โดยที่ 9 คือค่าสัมประสิทธิ์ที่คำนึงถึงการเพิ่มขึ้นของความเข้มข้นของบริการเมื่อใช้สองช่องทาง
ในทางปฏิบัติ ความสัมพันธ์ระหว่างจำนวนเงินทุนที่เพิ่มขึ้นและความเข้มข้นของการบริการค่อนข้างซับซ้อน ซึ่งพิจารณาจากลักษณะของการดำเนินการบริการที่เป็นปัญหา สำหรับการปฏิบัติการ ระยะเวลาที่เกี่ยวข้องกับปริมาณงานที่ทำ (เช่น การเติมเชื้อเพลิงเครื่องบินด้วยเชื้อเพลิงเครื่องบินโดยใช้เรือบรรทุกน้ำมันอากาศยาน การขึ้นหรือลงผู้โดยสารจากเครื่องบิน เป็นต้น) การพึ่งพาความเข้มข้นของการให้บริการ จำนวนช่องสัญญาณเข้าใกล้สัดส่วนโดยตรง แต่ไม่เข้มงวดมากนัก เนื่องจากต้องใช้เวลาในการเตรียมการ
แต่การดำเนินงานขั้นสุดท้ายที่ไม่ได้รับผลกระทบจากจำนวนกองทุน สำหรับการดำเนินการดังกล่าว 2 ปอนด์ สำหรับการดำเนินการจำนวนหนึ่ง การขึ้นอยู่กับระยะเวลาของการดำเนินการกับจำนวนสิ่งอำนวยความสะดวกหรือนักแสดงจะเด่นชัดน้อยกว่า (เช่น การเช็คอินหรือก่อนการบิน
คัดกรองผู้โดยสาร) ในกรณีนี้ใน »1.
ในช่วงเวลาใดก็ได้ I QS ที่พิจารณาอาจอยู่ในสถานะแยก L+1 - B0, ...,
เชี่ยเอ้ย การเปลี่ยนจากรัฐหนึ่งไปอีกรัฐสามารถเกิดขึ้นได้ตลอดเวลา ความน่าจะเป็นที่เวลาที่ฉัน QS จะอยู่ในสถานะ
เงื่อนไขการทำให้เป็นมาตรฐาน 2 р () =1 รู้-
การวิเคราะห์ความน่าจะเป็น P0 (/), PX (t),..., Pb (t) ช่วยให้สามารถกำหนดคุณลักษณะเสมือน (ทันที) ที่สำคัญของ QS เช่น ความยาวคิวเฉลี่ย จำนวนเฉลี่ยของช่องสัญญาณที่ไม่ว่าง จำนวนคำขอโดยเฉลี่ยที่อยู่ใน QS และอื่น ๆ
ความน่าจะเป็นของสถานะ p(t) พบได้โดยการแก้ระบบสมการเชิงอนุพันธ์โคลโมโกรอฟ โดยทั่วไปเขียนเป็น
=Ё jp(t)P /(t)-P,(t)Z (t).,
ร = 0,1,...,ข,
ที่ไหน<р^ ^) - плотности (интенсивности) вероятностей перехода из состояния с порядковым номером г в состояние с порядковым номером ]. Величины фу (t) определяются по формуле
โดยที่ P(/; At) คือความน่าจะเป็นที่ QS ซึ่งอยู่ในสถานะ B ในขณะนี้ t สำหรับ
เวลา จะไปจากมันสู่รัฐ
ในการรวบรวมสมการ Kolmogorov จะใช้กราฟสถานะที่มีป้ายกำกับของ QS ในนั้น ความเข้มที่สอดคล้องกันของ f จะถูกวางไว้เหนือลูกศรที่ทอดจาก B. ถึง B. อนุพันธ์ของความน่าจะเป็นของแต่ละรัฐถูกกำหนดให้เป็นผลรวมของกระแสความน่าจะเป็นทั้งหมดที่มาจากรัฐอื่นไปยังรัฐที่กำหนด ลบด้วย ผลรวมของความน่าจะเป็นทั้งหมดจะไหลจากสถานะที่กำหนดไปยังสถานะอื่น
ในการสร้างกราฟจะมีการแนะนำระบบสัญกรณ์สามดัชนีซึ่งสถานะของ QS ที่อยู่ระหว่างการพิจารณา ณ จุดเวลาที่กำหนดโดยพลการนั้นมีพารามิเตอร์สามตัว: จำนวนช่องสัญญาณที่ถูกครอบครอง n (n = 0,1,.. .,^) จำนวนคำขอที่ให้บริการ k (k = 0,1,...,^) และการรอบริการ t (t = 0,1,...,^ - N)
ในรูป รูปที่ 1 แสดงกราฟสถานะที่มีป้ายกำกับ ซึ่งรวบรวมโดยใช้กฎที่อธิบายไว้ข้างต้นและสัญลักษณ์ที่แนะนำ สำหรับ QS ที่เลือกไว้เป็นตัวอย่างง่ายๆ
เพื่อประหยัดพื้นที่ ในกราฟและในระบบที่สอดคล้องกันของสมการโคลโมโกรอฟที่ระบุด้านล่าง การกำหนดฟังก์ชันขึ้นอยู่กับเวลาของความเข้ม 1, m1, m2 และความน่าจะเป็นของสถานะจะถูกละเว้น
^000 /L = -(^1^ + ^2^) P000 + tr10 + t2P210,
= - (t + U-11 + U21) рш + ^Рр000 +
2t1R220 + t2 R320,
LR210 IL = - (t2 + ^11 + ^21) P210 + V2YP000 +
Т1Р320 + 2 ^2Р420,
LR220/L = -(2^1 + ^1^ + ^21) Р220 + ^1ริโอ +
3 t1Р330 + ^2Р430,
LR32<:)1Л = - (т2 + т1 + ^11 + ^21)р320 +
+^11Р210 + V2ЯP110 + 2t 1Р430 +
LR4yu1L (1 + 2 ^2) Р420 + ^21Р210 + เสื้อ р30, Р330 /L = -(3т1 + ^1^+ ^21) Р330 + ^11Р220 + +4^1Р440 + Т2р40,
^430 /L = - (2^1 + ^2 + 1) Р430 + ^11Р320 +
+^2^ Р220 + 3t 1р40 + 2^2р31,
LR530/ลิตร =-(t + 2t2 + i) p^30+1P420 +
+^2YaP320 + t1P531,
LR440 อิลลินอยส์ (4t1 + I) R40 + R330 +
5^1р50 + t2р41,
LR540/ ลิตร =-(t2 + 3t + i) r540 + yar430 +
+"^2YaP330 + 3 t1P541 + 2 t2P532,
LR531/L = - (^1 + 2^2 + R) R^31 + R530 +
LR550 IL = -(5t1 + Y) R550 + YR440 +
5t1R551 + t2R542,
LR541/ ลิตร = - (t2 + 3t + i) p^41 + ใช่^40 +
LR532/l = -(t1 + 2t2) Р532 + ฉัน р531,
LR5511L = - (5t1 + Y)r51 + YR550 + 5t1R552,
lr542 / l = - (3 t + t2) r542 + ฉัน r541 ,
Lp5^^ = 5 t1P552 + ฉัน p51
หากในขณะนี้ t = 0 ไม่มีคำขอใน QS เงื่อนไขเริ่มต้นจะถูกเขียนในรูปแบบ
P10 (0) = P210 (0) = P220 (0) =... = P552 (0) = 0
คำตอบของระบบมิติขนาดใหญ่ เช่น (1), (2) ที่มีค่าตัวแปร 1(^, mDO, m2(0) สามารถทำได้โดยวิธีตัวเลขโดยใช้คอมพิวเตอร์เท่านั้น
ข้าว. 1. กราฟสถานะของ QS
การสร้างโมเดล QS
ตามแนวทางอัลกอริธึมเราจะพิจารณาเทคนิคในการแปลงระบบสมการ Kolmogorov ในมิติใดก็ได้ให้เป็นรูปแบบที่เหมาะสำหรับการคำนวณด้วยคอมพิวเตอร์ เพื่อให้การบันทึกง่ายขึ้น เราใช้ระบบคู่ของสถานะ QS แทนระบบสามระบบ โดยที่ r คือจำนวนช่องสัญญาณที่ใช้งานกับการบริการบวกกับความยาวของคิว] คือจำนวนแอปพลิเคชันใน QS . ความสัมพันธ์ระหว่างระบบสัญกรณ์แสดงโดยการพึ่งพา:
r = n + m, r = 0.1,...,K;
] = k + ม., ] = 0.1,...,K
ไม่สามารถรับรู้สถานะใดจากชุดที่เป็นทางการได้
บี (r = 0.1,...,K; ] = 0.1,...,K) โดยเฉพาะอย่างยิ่ง,
ภายในกรอบของแบบจำลองที่อธิบายไว้ สถานะเป็นไปไม่ได้ที่คำขอสองรายการขึ้นไปจะให้บริการพร้อมกันโดยคำขอเดียว
ช่องทางเช่น R. (t) = 0 ถ้า ] > r ให้เราแสดงด้วยสัญลักษณ์ 8 เซตของสถานะที่ยอมรับได้ของ QS รัฐ B. มีอยู่และ
ความน่าจะเป็นที่สอดคล้องกัน P. ^)
อาจไม่เป็นศูนย์หากตรงตามเงื่อนไขข้อใดข้อหนึ่งต่อไปนี้:
1)] <г< 2], если 2] < N,
2)] <г< ] + Ч - 1 если \ .
y] + H - 1< К,
3)] < г < К, если ] + ч - 1 ^ К,
r = 0.1,...,K; ] = 0.1,...,K,
โดยที่ X คือจำนวนรัฐสูงสุดที่มีจำนวนช่องทางการให้บริการที่แตกต่างกันสำหรับจำนวนคำขอที่กำหนด ซึ่งกำหนดโดยสูตร
ในวงเล็บแสดงถึงการดำเนินการของการละทิ้งส่วนที่เป็นเศษส่วน ตัวอย่างเช่น,
ตัดสินโดยกราฟสถานะที่แสดงในรูปที่ 1, สองคำขอสามารถให้บริการโดยสอง, สามหรือสี่ช่อง ดังนั้นตามตัวอย่างที่กล่าวข้างต้น
ฮ = 5 - = 5 - 2 = 3
ในการใช้การคำนวณด้วยคอมพิวเตอร์โดยใช้ระบบสมการโคลโมโกรอฟในมิติใดก็ได้ สมการของมันจะต้องลดลงเป็นรูปแบบสากลบางรูปแบบที่อนุญาตให้เขียนสมการใดก็ได้ ในการพัฒนารูปแบบดังกล่าว ให้พิจารณาส่วนของกราฟสถานะที่แสดงสถานะใดก็ได้ B] โดยมีสถานะนำหน้าจากนั้น
ลูกศรความเข้ม ให้เราแสดงสถานะใกล้เคียงที่เกี่ยวข้องโดยตรงกับ B. ด้วยเลขโรมัน ดังแสดงในรูปที่ 1 2.
สำหรับแต่ละสถานะของ B. (g = 0.1,...,K; ] = 0.1,...,K) โดยที่ B. e 8 ณ เวลา t ค่า
p^), p(t), p.^), p(t) ยอมรับ
ค่าต่างๆ (รวมถึงค่าที่เท่ากับศูนย์) อย่างไรก็ตามโครงสร้างของสมการ
(3) ยังคงไม่เปลี่ยนแปลงซึ่งช่วยให้สามารถใช้คอมพิวเตอร์ของระบบสมการ Kolmogorov ในมิติใดก็ได้
ความเข้ม fr (t), (р. (t) มีแนวโน้มที่จะถ่ายโอน QS ไปยังสถานะที่มีค่า r มาก และ ] หากเป็นไปได้ของการมีอยู่ของสถานะดังกล่าวจะถูกกำหนดตามเงื่อนไขหลายประการดังต่อไปนี้ : :
o.. a หรือ
°(,-+1)0"+1) ї 8 ’
0(,-+2)(.+1) - 8 ฉัน £ N - 2,
o(i+1)(.+1)- 8 หรือ
°(.+2)และ+1) 8
O(.+1)(V+1) - 8'
ข้าว. 2. ส่วนของกราฟสถานะ QS
เมื่อคำนึงถึงการมีอยู่ของรัฐใกล้เคียงด้วยความเคารพต่อ B. สมการของ B. จะถูกเขียนดังนี้:
-£ = -[พี () + พี () + พี. -
Рр (tИ Рг, (t) + Рр+1)(.+1) (t) Р(г+1)(.+1) () +
Р(Н(1-1)^)Р(-1)(1 -1)^) +
Р 2)()+1)()Р(г+2)()-+1)() +
Рц2)(.-1) (t)P(г-2)(.-Г) ()
О(.+1)(.+1) 8 หรือ і > N - 2
Y2X(i) ถ้า
ฉัน(i+1)(.+1) - 8>
O(i+2)(.+1) - 8 ’ ผม £ N - 2,
О(і+1)(.+1) 8 '
O(i+2)(.+1) - 8'
r = 0.1,...,k, . = 0.1,...,k
ความเข้มข้นของแม่น้ำ (), หน้า..11 () โอน QS จากสถานะ B- ในรัฐ
โดยมีค่า g และน้อยกว่า (หากเป็นไปได้) จะมีสัดส่วนโดยตรงกับจำนวนช่องทางที่เกี่ยวข้อง โดยให้บริการคำขอประเภทต่างๆ ที่อยู่ใน QS (ใช้หนึ่งหรือสองช่องทางในการให้บริการ) กลุ่มของสองช่องทางที่มีส่วนร่วมในการให้บริการหนึ่งคำขอประเภทที่สอดคล้องกันถือได้ว่าเป็นช่องทางเดียว ดังนั้นในกรณีทั่วไป
พี () = kdM1 () , อาร์ () = ky2^2 () ,
โดยที่ k.1 คือจำนวนคำขอที่ใช้หนึ่งช่องสัญญาณที่ให้บริการโดย QS ในสถานะ B k คือจำนวนคำขอที่มีแต่ละช่องสัญญาณ ซึ่งให้บริการโดย QS ในสถานะ B
ผ่าน ก. และ. ค่าเหล่านี้ถูกกำหนดดังนี้:
G2. - ก ถ้า ก< N,
y1 [ N - 2 (r - .) ถ้า r > N, (4)
ถึง! 2 = ก. - . -
โดยคำนึงถึงข้อจำกัดเกี่ยวกับความเป็นไปได้ของการมีอยู่ของสถานะการแสดงออก
p(), R.() มีรูปแบบ
^B(ก-1)(L) อี 8,
ตัวชี้วัดประสิทธิผลของการทำงานของ QS
แบบจำลองที่อธิบายไว้ช่วยให้เรากำหนดเวลาการขึ้นต่อกันของตัวบ่งชี้ประสิทธิภาพการดำเนินงานของ QS ที่พิจารณาต่อไปนี้
ความยาวคิวเฉลี่ย:
สามารถ ()=22(g-p) R ()
จำนวนช่องสัญญาณที่ไม่ว่างโดยเฉลี่ย:
จำนวนใบสมัครเฉลี่ยของ CMO:
ม. ()=22.ร. -
ความน่าจะเป็นของการปฏิเสธการให้บริการ:
Р„, ()= 2 Р- ()
สามารถรับการกระจายเวลารอเสมือนตามแอปพลิเคชันได้
บริการ Ж (x,t) = Р ^ож ()< х) , позволяющее характеризовать качество обслуживания рассматриваемой СМО. Поступившая в систему заявка вынуждена ожидать обслуживания в случае, если все каналы заняты обслуживанием заявок, поступивших
ก่อนหน้านี้. มีความน่าจะเป็น Рк=0 (t) ของการให้บริการคำขอที่เข้ามาทันทีเมื่อมีช่องทางฟรี (หรือช่องทางฟรีหลายช่อง)
B(g-1)(.-1) 8 ปอนด์,
r = 0.1,...,K, . = 0.1, ..., เค
R. () ° 0 ถ้า B. 8 ปอนด์
เมื่อคำนึงถึงความเป็นไปได้ที่จะเกิดความล้มเหลว ค่าที่ต้องการของฟังก์ชันการแจกแจง Ж (х^) จะถูกกำหนดเป็น
F (x-')=(--o(t)
อีซเอช เอ็ม (,)) ()
Ru()° 0 ถ้า °y y 8.
โดยที่ Ж (х,т| (і,./)) เป็นฟังก์ชันที่มีเงื่อนไข
การกระจายเวลารอสำหรับคำขอบางอย่าง โดยมีเงื่อนไขว่า ณ เวลาที่มาถึง T จะพบว่า QS อยู่ในสถานะ y
ใน QS ที่อยู่ระหว่างการพิจารณา ระยะเวลารอสำหรับการบริการตามคำขอที่เข้ามานั้นไม่เพียงขึ้นอยู่กับจำนวนคำขอที่มีอยู่ใน QS เท่านั้น แต่ยังขึ้นอยู่กับการกระจายช่องทางระหว่างกลุ่มและแต่ละบริการของคำขอที่มีอยู่ด้วย หากไม่มีความช่วยเหลือซึ่งกันและกันระหว่างช่องทาง QS ที่อยู่ระหว่างการพิจารณาจะเป็น QS แบบดั้งเดิมที่มีการรอคิวในระยะเวลาที่จำกัด ซึ่งรวมเวลารอสำหรับการเริ่มให้บริการโดยการเรียกร้องที่แซงหน้าการเรียกร้องอื่น ๆ ในคิว เมื่อมาถึงจะมีการแจกแจง Erlang E,^) (X)
ที่นี่ตัวยกประกอบด้วยความเข้มข้นของคำขอการบริการโดยช่อง N ทั้งหมดที่ทำงานต่อหน้าคิว ตัวห้อยคือลำดับการกระจายตามกฎของเออร์แลง ใน QS ที่พิจารณาในที่นี้ กฎหมายที่อธิบายไว้จะใช้ได้เฉพาะกับคำขอที่เข้าสู่ QS ในรัฐที่ทุกช่องไม่ว่าง และทุกช่องให้บริการในคำขอเดียว สำหรับสถานะเหล่านี้เราสามารถเขียนได้
F (x,t| ^ + ม,N + t)) = ^+1() (x)
ให้เราแสดงว่าเป็น E^”^1 (x) ฟังก์ชันการแจกแจงของกฎเออร์ลานทั่วไป
ฮ่า มีลำดับ 2"r - 1 โดยที่ ag คือตัวเลข
แท้จริงแล้ว ตัวแปรสุ่มกระจายไปทั่ว
กฎเลขชี้กำลังพร้อมพารามิเตอร์ y กับ
เราเขียนนิพจน์สำหรับฟังก์ชันการกระจายเวลารอในรัฐอื่นโดยใช้สัญลักษณ์ที่แนะนำ เมื่อเปรียบเทียบกับ (5) นิพจน์เหล่านี้มีรูปแบบที่ซับซ้อนกว่า ซึ่งไม่รบกวนการใช้งานซอฟต์แวร์ นอกจากนี้ ตามตัวอย่าง จะได้รับเฉพาะสำหรับสามสถานะแรกของการครอบครองช่องสัญญาณเต็มโดยใช้การจัดทำดัชนีสามอักขระที่แนะนำก่อนหน้านี้:
F (x,t| (n,k,t)) = F (x,t| (N,N - g,0)) =
= (x), 0 £ กรัม £ d,
ที่ไหนและ = kLt (t)+ku 2M2 (t);
Ж (х,т| (п,к,т)) = Ж (х,т| (N,N - g,l)) =
N ^ ^ - g) Km(T)
F (x,t| - ก, 2))
N ^).(N - g) Km(t)
E/^(t),(t-g) ■я(t),(t-g+l)
(N),(N - g) ktM(T)
EI-)(t-g)(x) +
^).(N - ก.) อีH^) (x)
เวลารอเสมือนโดยเฉลี่ยสำหรับแอปพลิเคชัน Toz () ถูกกำหนดเป็นตัวเลขเป็น
ตัวตน (T) = | ^H (x,T) .
สามารถกำหนดการกระจายเวลาการให้บริการเสมือนสำหรับคำขอ Tobsl ^) ที่เลือกโดยพลการได้
เนื่องจากการเปลี่ยนแปลงใน Tobsl (t) ใน QS ที่พิจารณานั้นเป็นกระบวนการสุ่มซึ่งเป็นส่วนผสมของกระบวนการสุ่มแบบกระจายแบบเอ็กซ์โปเนนเชียลสองกระบวนการ TobsL1 ^) และ TobsL2 ^) จากนั้นการแจกแจง
วี (x^) = P (Tobsl (t)< х) не будет показательным. С учётом возможности отказа выражение для функции распределения V (х^) запишется в виде
EEU M k,.YR(t)
ร.. ^) ° 0 ถ้า 8 8 ปอนด์
ที่นี่ V (x^| (r,.)) คือฟังก์ชันการกระจายแบบมีเงื่อนไขของเวลาให้บริการของคำขอบางรายการ โดยที่เมื่อมาถึงจะพบ QS ในสถานะ
ณ เวลาที่เริ่มให้บริการแอปพลิเคชัน หาก QS อยู่ในสถานะที่สามารถให้บริการทั้งแบบกลุ่มและรายบุคคลได้ เวลาในการให้บริการจะผสมกันระหว่างสองส่วน
เปลี่ยนไปใช้บริการกลุ่ม - หากเป็นไปได้ (รูปที่ 2) ดังนั้นเราจึงมี:
U(ม(i--/")) =
y (1 - e-t(t)x) + +y (1 - e^2(t)x),
ฉัน О(і+2)(]+1) ї 8, О(і+1)(.+1) - 8,
"2\* ^ І’ ฉัน ^ +2)(.+1)
ผม = 0.1,...,ยังไม่มีข้อความ -1, ฉัน = 0.1,...,ยังไม่มีข้อความ -1.
เนื่องจากในกรณีที่ไม่มีสองช่องฟรี คำขอใด ๆ จะถูกให้บริการโดยหนึ่งช่อง ดังนั้นความน่าจะเป็นที่แท้จริง ^) ของการจัดสรรช่องหนึ่งคือ
det มากกว่าฟังก์ชัน V ที่กำหนด uv ^) ถูกกำหนดเป็น
EEU O", "r(t)
R. (t) ° 0 ถ้า R. 8 8
ที่นี่ y1(r,.) คือความน่าจะเป็นของการจัดสรรอุปกรณ์หนึ่งเครื่องเพื่อให้บริการตามคำขอที่ QS ได้รับในสถานะ:
О(і+1)(.+1) - 8, О(і
2)(}+1) -2)(!+1)
ระยะเวลา: Tobsl1 (t) และ Tobsl2 (t), dis- i = 0.1...,K -1, = 0.1...,เค -1
จำกัดแบบเอ็กซ์โปเนนเชียลด้วยพารามิเตอร์ ^1 (t) และ ^2 (t) ตามลำดับ ถ้าเข้า.
ณ จุดนี้ ไม่สามารถจัดสรรสองช่องสัญญาณได้ จากนั้นเวลาในการให้บริการตามคำขอจะกระจายแบบทวีคูณด้วยพารามิเตอร์
เสื้อ(ที) เมื่อคำขอเข้าใกล้ช่องทางการให้บริการในสถานะ B. อนุญาตให้เปลี่ยนไปใช้การบริการส่วนบุคคลได้เมื่อใด
การปรากฏตัวของความเป็นไปได้ของรัฐ I(
ระยะเวลาเฉลี่ยในการให้บริการคำขอที่รวมอยู่ใน QS ในขณะนั้น
T สามารถกำหนดได้ผ่าน uv (T) เช่น
Tbl (t)=uf (t) Tm (t)+ Tbs 2 (t)
การกระจายเวลาเสมือนการเข้าพักของแอปพลิเคชันใน QS
และ (x,t)= P (Tpreb (t)< х)
ถูกกำหนดโดยใช้นิพจน์ที่ได้รับก่อนหน้านี้สำหรับฟังก์ชันการกระจายของเวลารอและเวลาให้บริการ - =
วานิยาเหมือนฉัน
2^2 (t) เอต^^(t)^^) (x) +
อีอี เอ็ม))р(t)
และ (x,t| (^ .)) =
1 - e-M1(t)x
y (1 - e-t(t)x)-+y2(1 - e
(1 - อี ^t(t)x)
О(і+1)(.+1) - 8, О(і+ 2)(.+1) ї 8’
О(і+1)(.+1) - 8’ О(і+2)(.+1) - 8,
r = 0.1,...^-1, . = 0'l'...'N-1
สำหรับรัฐอื่นๆ สูตรสำหรับฟังก์ชันการแจกแจงแบบมีเงื่อนไขเขียนขึ้นโดยการเปรียบเทียบกับสูตรสำหรับ
Ж (х^| (п,к,т)) โดยใช้การจัดทำดัชนีสามอักขระ ด้านล่างจะแสดงไว้สำหรับสามสถานะแรกของการใช้งานเต็มช่อง:
ตอนเข้าไม่มีคิว แต่ทุกช่องไม่ว่าง:
และ (x^| (n,k,t)) = และ (x^| (NN - g,0)) =
(x), 0 £ กรัม£ d;
เมื่อแอปพลิเคชันเข้าสู่ จะมีแอปพลิเคชันหนึ่งตัวอยู่ในคิว:
R. (t) ° 0 ถ้า R. 8 8
ที่นี่ และ (x^| (r,.)) คือฟังก์ชันการแจกแจงแบบมีเงื่อนไขของเวลาที่ใช้ใน QS ของคำขอบางคำขอ โดยที่ในขณะที่มาถึง ระบบจะพบระบบในสถานะ..
สำหรับรัฐที่มีช่องรายการฟรี เวลาที่อยู่ใน QS จะตรงกับเวลาให้บริการ:
เมื่อแอปพลิเคชันเข้าสู่ จะมีแอปพลิเคชันสองตัวอยู่ในคิว:
และ (x,t | (t,t - ^2))
(t)(t^)H (t)(t^+1)
(t)(t - g) ktsM (t)
(t)(t - g) KtsM (t)
เวลาเสมือนโดยเฉลี่ยในการเข้าพักของแอปพลิเคชันใน QS ถูกกำหนดเป็น
Tpreb ^) = Tobsl (t) + Toz (t)
ตัวอย่างการใช้โมเดล QS
การทำงานในแต่ละวันของศูนย์การผลิตของหนึ่งในสนามบินศูนย์กลางภูมิภาคของยุโรปตะวันออกได้รับการจำลองขึ้นเมื่อดำเนินการทางเทคโนโลยีแยกต่างหากสำหรับการให้บริการเครื่องบินที่มาถึง เป็นข้อมูลเบื้องต้นสำหรับการสร้างแบบจำลอง เวลาขึ้นอยู่กับความเข้มเฉลี่ยของการไหลของเครื่องบินมาถึง
สำหรับการบริการ i(t) และความเข้มข้น
บริการเครื่องบินด้วยวิธีการเดียว t1 (t) .
ดังต่อไปนี้จากข้อมูลที่สร้างขึ้น
กราฟเว็บไซต์สนามบินของการพึ่งพา i(t)
(รูปที่ 3a) อุปทานของ BC มีลักษณะที่ไม่สม่ำเสมออย่างมีนัยสำคัญ: ในระหว่างวัน จะสังเกตเห็นความเข้มสูงสุดสี่ระดับ ซึ่งสอดคล้องกับ "คลื่น" สี่คลื่น
เรา" เที่ยวบินขาเข้าและขาออก ค่าสูงสุด 1(t) สำหรับ “คลื่น” หลักถึง 25-30 VS/h
ในรูป 3 และยังแสดงกราฟของการพึ่งพา t (t) ถือว่าไม่ใช่
เฉพาะความเข้มข้นของการไหลของเครื่องบินเท่านั้น แต่ยังรวมถึงความเข้มข้นของการให้บริการด้วยนั้นเป็นหน้าที่ของเวลาและขึ้นอยู่กับระยะของ "คลื่น" ความจริงก็คือเพื่อลดเวลาการเปลี่ยนเครื่องโดยเฉลี่ยสำหรับผู้โดยสาร ตารางเวลาของสนามบินศูนย์กลางจึงมีโครงสร้างในลักษณะที่ "คลื่น" เกิดจากการมาถึงของเครื่องบินโดยสารขนาดใหญ่ ซึ่งการบำรุงรักษาซึ่งต้องใช้จำนวนมาก ของเวลาและเสร็จสิ้นด้วยการมาถึงของเครื่องบินขนาดเล็ก ในตัวอย่างนี้ สันนิษฐานว่าระยะเวลาเฉลี่ยของการดำเนินการด้วยเครื่องมือเดียว ซึ่งก็คือ 20 นาทีสำหรับระยะเวลาส่วนใหญ่ของวัน ที่ระยะเริ่มต้นของ "คลื่น" จะเพิ่มขึ้นเป็น 25 นาที และลดลงในช่วงสุดท้ายเหลือ 15 นาที ดังนั้นสี่ช่วงด้วย
ลดระดับ t (t) ในรูปที่ 3a สอดคล้องกับระยะเริ่มต้นของ "คลื่น" เมื่อเครื่องบินขนาดใหญ่มาถึง ในทางกลับกันเพิ่มขึ้นสี่ช่วง
ระดับ t^) เข้าสู่รอบชิงชนะเลิศ
ระยะ “คลื่น” ที่มีความเด่นของเครื่องบินขนาดเล็ก
ด้านล่างนี้เราจะอธิบายผลการจำลองที่ช่วยให้เราสามารถประเมินประสิทธิภาพของระบบได้ ในรูป 3b-3d แสดงการพึ่งพาเวลาของค่าเฉลี่ยของจำนวนช่องที่ถูกครอบครอง Nз ^)
จำนวนใบสมัครทั้งหมดในระบบกระทรวงสาธารณสุข ^) และ
ความยาวคิว Moz (7) ได้รับสำหรับค่าความน่าจะเป็นที่ จำกัด สองค่า n1 = 0 และ n1 = 1 โดยมีลักษณะการออกแบบดังต่อไปนี้: N = 10; เค = 40; ใน = 1.75 ตัดสินโดยกราฟของการพึ่งพาNз (t)
(รูปที่ 3b) ในช่วงเวลาส่วนใหญ่ในแต่ละวัน อัตราการใช้ช่องสัญญาณของระบบยังคงต่ำ ซึ่งเป็นผลมาจากอินพุตที่ไม่อยู่กับที่
การไหลของเครื่องบิน โหลดสูง (60-80%) ทำได้เฉพาะในช่วง "คลื่น" ที่สองของการมาถึงและออกเดินทางเท่านั้นและตัวเลือก n1 = 0 ที่ค่าขนาดใหญ่ 1(t) ทำให้เกิดภาระในระบบมากขึ้นและด้วยค่าน้อย 1(t) - น้อยกว่า
เทียบกับตัวเลือก n1 = 1 ยิ่งไปกว่านั้น เช่น
การสร้างแบบจำลองแสดงให้เห็นว่าความน่าจะเป็นของความล้มเหลวในระบบที่อยู่ระหว่างการพิจารณาสำหรับทั้งสองตัวเลือกนั้นมีน้อยมาก
การเปรียบเทียบกราฟการพึ่งพา
M3 ^) และ Mozh ^) (รูปที่ 3c และ 3d ตามลำดับ) ช่วยให้เราสามารถสรุปได้ว่าใน QS ที่มี n1 = 0 โดยเฉลี่ยแล้ว จะมีคำขอน้อยลง และคาดว่าจะได้รับคำขอมากกว่าที่มี n1 = 1 ความขัดแย้งนี้อธิบายได้จากข้อเท็จจริงที่ว่า แต่ละแอปพลิเคชันได้รับจาก QS ซึ่งในกรณี n1 = 0 ใช้เวลาสอง
ช่อง ปล่อยให้ช่องฟรีน้อยลงสำหรับคำขอที่ตามมา บังคับให้พวกเขาสร้างคิวที่ใหญ่กว่าในกรณี
n1 = 1 ขณะเดียวกัน การใช้ช่องสัญญาณแบบกลุ่ม ช่วยลดเวลาในการให้บริการ ทำให้จำนวนแอปพลิเคชันที่ให้บริการและรอรับบริการลดลง ดังนั้นในตัวอย่างที่พิจารณา เวลาให้บริการเฉลี่ยในระหว่างวันคือ
สำหรับตัวเลือก p1 = 1 คือ 20 นาที และสำหรับ
ตัวเลือก p1 = 0 - 11.7 นาที
แบบจำลองที่กล่าวถึงข้างต้นทำให้สามารถแก้ไขปัญหาที่เกี่ยวข้องกับการค้นหาการจัดการคุณภาพการบริการขนส่งที่เหมาะสมที่สุด ในรูป 3d, 3f แสดงผลการแก้ปัญหาประเภทนี้บางส่วน ซึ่งความหมายจะอธิบายเพิ่มเติมโดยใช้ตัวอย่างสนามบินที่อยู่ระหว่างการพิจารณา
ความยาวคิวเฉลี่ยซึ่งมีขนาดเล็กแม้ในระหว่างการบรรทุกสูงสุด โดยไม่เกิน 0.6 ลำในตัวอย่างที่กำลังพิจารณา (รูปที่ 3 มิติ) ไม่ได้รับประกันว่าสำหรับเครื่องบินส่วนใหญ่ ระยะเวลาในการรอในคิวจะเป็นที่ยอมรับได้ เวลารอเฉลี่ยต่ำโดยมีเวลาเฉลี่ยที่น่าพอใจสำหรับการดำเนินการบริการให้เสร็จสิ้น
สิ่งนี้ไม่ได้ยกเว้นความเป็นไปได้ของการหยุดทำงานเป็นเวลานานอย่างไม่อาจยอมรับได้ในระหว่างการบำรุงรักษาเครื่องบินแต่ละลำ ลองพิจารณาตัวอย่างเมื่อคุณภาพการบริการสนามบินเป็นไปตามข้อกำหนดทั้งเพื่อให้แน่ใจว่าค่าที่น่าพอใจสำหรับเวลารอรับบริการและเวลาที่ใช้ในระบบ เราจะถือว่าเครื่องบินมากกว่า 90% ควรไม่มีการใช้งานสำหรับการบำรุงรักษาน้อยกว่า 40 นาที และเวลารอการบำรุงรักษาสำหรับเครื่องบินในสัดส่วนเดียวกันควรน้อยกว่า 5 นาที ข้อกำหนดเหล่านี้สำหรับคุณภาพการบริการสนามบินจะเขียนในรูปแบบของความไม่เท่าเทียมกันโดยใช้สัญลักษณ์ที่แนะนำข้างต้น:
P (เตร็บ (t)< 40мин)>09, P (อัตลักษณ์ (t)< 5мин)> 09
ในรูป 3d, 3f แสดงการขึ้นอยู่กับเวลาของความน่าจะเป็น P (Tpreb (/)< 40мин)
และ P (Ident. (")< 5 мин) для интервала времени
460-640 นาที ตั้งแต่ต้นวันโมเดลซึ่งสอดคล้องกับ “คลื่นลูกที่สอง” ของการมาถึง
จากรูปจะเห็นได้ว่าตัวเลือก n1 = 1 ไม่ใช่
ให้ความน่าเชื่อถือที่คำนวณได้ในแง่ของเวลาบริการ: ข้อกำหนดสำหรับเวลาบริการที่ระบุตามเงื่อนไข
P (เตร็บ (t)< 40мин)>09 ดำเนินการในช่วงเวลาสั้นๆ เพียง 530560 นาที ซึ่งสอดคล้องกับการมาถึงของรายย่อย
ดวงอาทิตย์. ในทางกลับกัน ตัวเลือก n1 = 0 ไม่ได้ให้ความน่าเชื่อถือที่คำนวณได้ในแง่ของเวลารอในคิว: ระหว่างช่วงเวลาที่เครื่องบินขนาดใหญ่มาถึง (500-510 นาที)
ข้าว. 3. ผลการจำลอง 262
เงื่อนไข P เป็นไปตามเงื่อนไข (Iz(t)< 5мин) > 0.9.
ตามที่การสร้างแบบจำลองแสดงให้เห็น ทางออกของสถานการณ์นี้อาจต้องเลือก
ตัวเลือกการประนีประนอม y1 » 0.2 ในทางปฏิบัติ ตัวเลือกนี้หมายความว่าควรจัดสรรบริการสนามบินสองกองทุนต่อกองทุนเพื่อให้บริการไม่ใช่เครื่องบินทุกลำ แต่เฉพาะบริการที่เลือกตามเกณฑ์ที่กำหนดเท่านั้น เช่น
ความจุผู้โดยสาร ที่นี่ y1 มีบทบาท
พารามิเตอร์ที่ช่วยให้คุณควบคุมตัวบ่งชี้ประสิทธิภาพของ QS: เวลารอสำหรับแอปพลิเคชันในคิวและเวลาที่แอปพลิเคชันอยู่ใน QS หรือเวลาให้บริการ
ดังนั้น ระบบที่พิจารณาซึ่งใช้หนึ่งหรือสองช่องทางพร้อมกันในการให้บริการตามคำขอ ถือเป็นกรณีพิเศษ แต่มีความสำคัญในทางปฏิบัติของ QS ที่มี
การช่วยเหลือซึ่งกันและกันของช่องทาง การใช้โมเดลไดนามิกของ QS ดังกล่าวช่วยให้สามารถวางและแก้ไขการเพิ่มประสิทธิภาพต่างๆ รวมถึงปัญหาหลายเกณฑ์ที่เกี่ยวข้องกับการจัดการไม่เพียงแต่จำนวนเงินทุนทั้งหมดเท่านั้น แต่ยังรวมถึงความช่วยเหลือซึ่งกันและกันด้วย ปัญหาประเภทนี้มีความเกี่ยวข้องโดยเฉพาะกับสนามบินที่เป็นฮับซึ่งเต็มไปด้วยสิ่งอำนวยความสะดวกด้านบริการ โดยมีเที่ยวบินที่ไม่คงที่และความเข้มข้นของการบริการที่ผันผวน ดังนั้นแบบจำลองของ QS ที่ได้รับการพิจารณาจึงเป็นเครื่องมือสำหรับการวิเคราะห์และปรับพารามิเตอร์ของสนามบินที่มีแนวโน้มว่าจะเป็นศูนย์กลาง
บรรณานุกรม
1. โบชารอฟ ป.ป. ทฤษฎีคิว [ข้อความ] / ป.ล. โบคารอฟ, A.V. เพ-ชินกิน - อ.: สำนักพิมพ์ RUDN, 2538. - 529 หน้า
รูปแบบของระบบคิวที่มีกระแสข้อมูลไม่คงที่และการช่วยเหลือซึ่งกันและกันบางส่วนระหว่างช่องสัญญาณ
© 2011 V. A. Romanenko
Samara State Aerospace University ตั้งชื่อตามนักวิชาการ S. P. Korolyov (มหาวิทยาลัยวิจัยแห่งชาติ)
มีการอธิบายรูปแบบไดนามิกของระบบคิวแบบหลายช่องสัญญาณที่มีกระแสข้อมูลไม่คงที่ การรอคิวที่มีความยาวจำกัด และการให้ความช่วยเหลือซึ่งกันและกันบางส่วนของช่องทางที่แสดงโอกาสในการให้บริการลูกค้าพร้อมกันโดยสองช่องทาง นิพจน์สำหรับคุณลักษณะพื้นฐานของความน่าจะเป็น-เวลาของระบบจะได้รับ จะมีการหารือถึงผลลัพธ์ของการสร้างแบบจำลองการทำงานของศูนย์กลางสนามบินเป็นตัวอย่างของระบบ
ระบบคิว, การไหลไม่คงที่, การช่วยเหลือซึ่งกันและกันระหว่างช่องสัญญาณ, ศูนย์กลางสนามบิน
ข้อมูลเกี่ยวกับผู้เขียน Vladimir Alekseevich Romanenko ผู้สมัครสาขาวิทยาศาสตร์เทคนิค รองศาสตราจารย์ นักศึกษาปริญญาเอกของภาควิชาองค์กรและการจัดการการขนส่ง มหาวิทยาลัย Samara State Aerospace ตั้งชื่อตามนักวิชาการ S.P. Korolev (มหาวิทยาลัยวิจัยแห่งชาติ) อีเมล: [ป้องกันอีเมล]- ประเด็นที่สนใจทางวิทยาศาสตร์: การเพิ่มประสิทธิภาพและการสร้างแบบจำลองระบบบริการขนส่งของสนามบินศูนย์กลาง
Romanenko Vladimir Alexeevitch ผู้สมัครสาขาวิทยาศาสตร์เทคนิค รองศาสตราจารย์ ปริญญาเอก แผนกองค์กรการขนส่งและการจัดการ Samara State Aerospace University ตั้งชื่อตามนักวิชาการ S. P Korolyov (มหาวิทยาลัยวิจัยแห่งชาติ) ขอบเขตการวิจัย: การเพิ่มประสิทธิภาพและการจำลองระบบบริการขนส่งทางท่าอากาศยานที่เป็นศูนย์กลาง
จนถึงขณะนี้ เราได้พิจารณาเฉพาะ QS เท่านั้น ซึ่งแต่ละคำขอสามารถให้บริการได้โดยช่องทางเดียวเท่านั้น ช่องว่างไม่สามารถ "ช่วยเหลือ" ช่องที่ไม่ว่างในการให้บริการได้
โดยทั่วไป อาจไม่เป็นเช่นนั้นเสมอไป: มีระบบคิวที่คำขอเดียวกันสามารถให้บริการพร้อมกันโดยสองช่องทางขึ้นไป ตัวอย่างเช่น เครื่องจักรที่เสียหายเครื่องเดียวกันสามารถให้บริการโดยคนงานสองคนพร้อมกันได้ “ความช่วยเหลือซึ่งกันและกัน” ระหว่างช่องทางดังกล่าวสามารถเกิดขึ้นได้ทั้งใน QS แบบเปิดและแบบปิด
เมื่อพิจารณา QS ที่มีความช่วยเหลือซึ่งกันและกันข้ามช่องทาง มีสองปัจจัยที่ต้องพิจารณา:
1. การให้บริการแอปพลิเคชันจะเร็วขึ้นแค่ไหนเมื่อไม่มีช่องทางเดียว แต่มีหลายช่องทางที่ทำงานพร้อมกัน?
2. “วินัยในการให้ความช่วยเหลือซึ่งกันและกัน” คืออะไร กล่าวคือ เมื่อใดและอย่างไร หลายช่องทางจะให้บริการตามคำขอเดียวกัน
มาดูคำถามแรกกันก่อน เป็นเรื่องปกติที่จะสันนิษฐานว่าถ้าไม่ใช่ช่องทางเดียว แต่มีหลายช่องทางที่ทำงานเพื่อให้บริการแอปพลิเคชัน ความเข้มของกระแสบริการจะไม่ลดลงเมื่อเพิ่ม k กล่าวคือ มันจะแสดงถึงฟังก์ชันที่ไม่ลดลงของจำนวน k ของการทำงาน ช่อง. ให้เราแสดงถึงฟังก์ชันนี้ รูปแบบที่เป็นไปได้ของฟังก์ชันจะแสดงในรูป 5.11.
เห็นได้ชัดว่าการเพิ่มจำนวนช่องทางการทำงานพร้อมกันอย่างไม่ จำกัด ไม่ได้นำไปสู่การเพิ่มความเร็วในการให้บริการตามสัดส่วนเสมอไป เป็นเรื่องธรรมดามากกว่าที่จะถือว่าที่ค่าวิกฤตที่แน่นอน การเพิ่มจำนวนช่องสัญญาณที่ไม่ว่างเพิ่มเติมจะไม่เพิ่มความเข้มข้นของบริการอีกต่อไป
เพื่อวิเคราะห์การทำงานของ QS ด้วยความช่วยเหลือซึ่งกันและกันระหว่างช่องสัญญาณ อันดับแรกจำเป็นต้องกำหนดประเภทของฟังก์ชัน
กรณีที่ง่ายที่สุดในการศึกษาคือกรณีที่ฟังก์ชันเพิ่มขึ้นตามสัดส่วนของ k ในขณะที่ และคงที่และเท่ากัน (ดูรูปที่ 5.12) หากจำนวนช่องที่สามารถช่วยเหลือซึ่งกันและกันได้ไม่เกิน
ให้เราพิจารณาคำถามที่สอง: วินัยในการให้ความช่วยเหลือซึ่งกันและกัน เราจะเรียกกรณีที่ง่ายที่สุดของระเบียบวินัยนี้ว่า “ทั้งหมดเป็นหนึ่งเดียว” ซึ่งหมายความว่าเมื่อมีคำขอหนึ่งปรากฏขึ้น ทุกช่องจะเริ่มให้บริการพร้อมกันและยังคงไม่ว่างจนกว่าการให้บริการตามคำขอนี้จะสิ้นสุดลง จากนั้นทุกช่องจะสลับไปให้บริการคำขออื่น (ถ้ามี) หรือรอการปรากฏตัวของมันถ้าไม่เป็นเช่นนั้น ฯลฯ เห็นได้ชัดว่าในกรณีนี้ทุกช่องทำงานเป็นหนึ่งเดียว QS จะกลายเป็นช่องเดียว แต่ด้วยบริการที่สูงกว่า ความเข้ม
คำถามเกิดขึ้น: การแนะนำความช่วยเหลือซึ่งกันและกันระหว่างช่องทางต่างๆ ได้ผลกำไรหรือไม่? คำตอบสำหรับคำถามนี้ขึ้นอยู่กับความเข้มข้นของโฟลว์คำขอ ประเภทของฟังก์ชัน ประเภทของ QS (ที่มีความล้มเหลว มีคิว) ค่าใดที่ถูกเลือกเป็นลักษณะของประสิทธิภาพการบริการ
ตัวอย่างที่ 1 มี QS สามช่องทางที่มีความล้มเหลว: ความเข้มข้นของการไหลของแอปพลิเคชัน (แอปพลิเคชันต่อนาที) เวลาเฉลี่ยในการให้บริการหนึ่งคำขอต่อหนึ่งช่องทาง (นาที) ฟังก์ชัน คำถามคือว่าจะได้รับประโยชน์จากหรือไม่ มุมมองของปริมาณงานของ QS เพื่อแนะนำความช่วยเหลือซึ่งกันและกันระหว่างช่องทางประเภท "ทั้งหมดเป็นหนึ่งเดียว" "? สิ่งนี้มีประโยชน์ในแง่ของการลดเวลาเฉลี่ยที่แอปพลิเคชันอยู่ในระบบหรือไม่
โซลูชั่น โดยปราศจากการช่วยเหลือซึ่งกันและกัน
ตามสูตร Erlang (ดู§ 4) เรามี:
ความสามารถสัมพัทธ์ของ QS;
ปริมาณงานสัมบูรณ์:
เวลาเฉลี่ยที่แอปพลิเคชันอยู่ใน QS จะพบว่ามีความน่าจะเป็นที่แอปพลิเคชันจะได้รับการยอมรับสำหรับบริการคูณด้วยเวลาบริการโดยเฉลี่ย:
ส่วนสำคัญ (นาที)
เราต้องไม่ลืมว่าเวลาเฉลี่ยนี้ใช้กับแอปพลิเคชันทั้งหมด - ทั้งที่ได้รับบริการและไม่ได้รับบริการ เราอาจสนใจเวลาเฉลี่ยที่แอปพลิเคชันที่ให้บริการจะยังคงอยู่ในระบบ เวลานี้เท่ากับ:
6. ด้วยการช่วยเหลือซึ่งกันและกัน
เวลาเฉลี่ยที่แอปพลิเคชันจะอยู่ใน CMO:
เวลาเฉลี่ยที่ใช้โดยแอปพลิเคชันที่ได้รับบริการใน CMO:
ดังนั้น เมื่อมีความช่วยเหลือซึ่งกันและกัน "ทั้งหมดเป็นหนึ่งเดียว" ปริมาณงานของ QS จึงลดลงอย่างเห็นได้ชัด สิ่งนี้อธิบายได้จากความน่าจะเป็นของการปฏิเสธที่เพิ่มขึ้น: ในขณะที่ทุกช่องทางกำลังยุ่งอยู่กับการให้บริการหนึ่งคำขอ คำขออื่น ๆ อาจมาถึงและแน่นอนว่าจะถูกปฏิเสธ สำหรับเวลาเฉลี่ยที่แอปพลิเคชันใช้ใน CMO นั้น เป็นไปตามที่คาดไว้ ด้วยเหตุผลบางประการ หากเรามุ่งมั่นที่จะลดเวลาที่แอปพลิเคชันใช้ใน QS โดยสิ้นเชิง (เช่น หากการอยู่ใน QS ต่อไปเป็นอันตรายต่อแอปพลิเคชัน) อาจกลายเป็นว่าแม้จะมีปริมาณงานลดลง แต่ก็จะ ยังคงเป็นประโยชน์ในการรวมสามช่องให้เป็นช่องเดียว
ให้เราพิจารณาอิทธิพลของการช่วยเหลือซึ่งกันและกันแบบ "รวมเป็นหนึ่งเดียว" ต่อการทำงานของ QS ด้วยความคาดหวัง เพื่อความง่าย เราจะรับเฉพาะกรณีคิวไม่จำกัดเท่านั้น โดยปกติแล้ว ในกรณีนี้ จะไม่มีอิทธิพลต่อความช่วยเหลือซึ่งกันและกันต่อปริมาณงานของ QS เนื่องจากภายใต้เงื่อนไขใดๆ คำขอที่เข้ามาทั้งหมดจะได้รับการบริการ คำถามเกิดขึ้นเกี่ยวกับอิทธิพลของความช่วยเหลือซึ่งกันและกันต่อลักษณะของการรอ: ความยาวเฉลี่ยของคิว, เวลารอโดยเฉลี่ย, เวลาเฉลี่ยที่ใช้ในการให้บริการ
อาศัยอำนาจตามสูตร (6.13), (6.14) § 6 สำหรับการให้บริการโดยไม่ต้องช่วยเหลือซึ่งกันและกัน จำนวนคำขอเฉลี่ยในคิวจะเป็น
ระยะเวลารอคอยโดยเฉลี่ย:
และเวลาอยู่ในระบบโดยเฉลี่ย:
หากใช้การช่วยเหลือซึ่งกันและกันประเภท "ทั้งหมดเป็นหนึ่งเดียว" ระบบจะทำงานเป็นช่องสัญญาณเดียวพร้อมพารามิเตอร์
และคุณลักษณะถูกกำหนดโดยสูตร (5.14), (5.15) § 5:
ตัวอย่างที่ 2 มี QS สามช่องทางพร้อมคิวไม่จำกัด ความเข้มข้นของการไหลของแอปพลิเคชัน (แอปพลิเคชันต่อนาที) เวลาบริการเฉลี่ย ฟังก์ชัน ความหมายที่เป็นประโยชน์:
ความยาวคิวเฉลี่ย
ระยะเวลารอรับบริการโดยเฉลี่ย
เวลาเฉลี่ยที่แอปพลิเคชันจะอยู่ใน CMO
แนะนำการช่วยเหลือซึ่งกันและกันระหว่างช่องทางเช่น “รวมเป็นหนึ่ง”?
โซลูชั่น ไม่มีการช่วยเหลือซึ่งกันและกัน
ตามสูตร (9.1) - (9.4) ที่เรามี
(3-2)
ข. ด้วยการช่วยเหลือซึ่งกันและกัน
ใช้สูตร (9.5) - (9.7) เราพบ
ดังนั้น ความยาวเฉลี่ยของคิวและเวลารอโดยเฉลี่ยในคิวในกรณีของการช่วยเหลือซึ่งกันและกันจึงมากกว่า แต่เวลาเฉลี่ยที่แอปพลิเคชันอยู่ในระบบจะน้อยกว่า
จากตัวอย่างที่พิจารณาเห็นได้ชัดเจนว่าการช่วยเหลือซึ่งกันและกันระหว่าง ตามกฎแล้วเงินสดประเภท "ทั้งหมดเป็นหนึ่งเดียว" ไม่ได้มีส่วนช่วยเพิ่มประสิทธิภาพในการให้บริการ: เวลาที่คำขออยู่ในระบบบริการลดลง แต่ลักษณะการบริการอื่น ๆ แย่ลง
ดังนั้นจึงขอแนะนำให้เปลี่ยนวินัยการบริการเพื่อให้ความช่วยเหลือซึ่งกันและกันระหว่างช่องทางไม่รบกวนการรับคำขอบริการใหม่หากปรากฏขึ้นในขณะที่ทุกช่องไม่ว่าง
ให้เราเรียกการช่วยเหลือซึ่งกันและกันประเภทต่อไปนี้ว่า “การช่วยเหลือซึ่งกันและกันแบบเดียวกัน” หากคำขอมาถึงในเวลาที่ทุกช่องว่าง ช่องทั้งหมดจะได้รับการยอมรับในการให้บริการ หากในขณะที่ให้บริการแอปพลิเคชัน มีอีกช่องหนึ่งมาถึง บางช่องจะสลับไปให้บริการ ถ้าในขณะที่กำลังให้บริการคำขอทั้งสองนี้ มีอีกคำขอหนึ่งมาถึง บางช่องจะสลับไปให้บริการ ฯลฯ จนกว่าช่องทั้งหมดจะถูกครอบครอง หากเป็นเช่นนั้น แอปพลิเคชันที่เพิ่งมาถึงจะถูกปฏิเสธ (ใน QS ที่มีการปฏิเสธ) หรือถูกจัดไว้ในคิว (ใน QS ที่มีการรอ)
ด้วยวินัยในการช่วยเหลือซึ่งกันและกัน ใบสมัครจะถูกปฏิเสธหรืออยู่ในคิวเฉพาะเมื่อไม่สามารถให้บริการได้เท่านั้น สำหรับ “เวลาหยุดทำงาน” ของช่องสัญญาณนั้น จะมีน้อยมากภายใต้เงื่อนไขเหล่านี้: หากมีคำขออย่างน้อยหนึ่งรายการในระบบ ช่องสัญญาณทั้งหมดจะทำงานได้
เราได้กล่าวไปแล้วข้างต้นว่าเมื่อมีคำขอใหม่ปรากฏขึ้น ช่องทางที่ไม่ว่างบางส่วนจะถูกปล่อยและเปลี่ยนไปให้บริการตามคำขอที่เพิ่งมาถึง ส่วนไหน? ขึ้นอยู่กับประเภทของฟังก์ชัน หากมีรูปแบบความสัมพันธ์เชิงเส้นดังแสดงในรูป 5.12 และไม่สำคัญว่าส่วนใดของช่องจะถูกจัดสรรเพื่อรองรับคำขอที่ได้รับใหม่ ตราบใดที่ช่องทั้งหมดถูกครอบครอง (จากนั้นความเข้มข้นรวมของบริการสำหรับการกระจายช่องใด ๆ ระหว่างคำขอจะเท่ากับ ) พิสูจน์ได้ว่าหากเส้นโค้งนูนขึ้นดังแสดงในรูปที่ 1 5.11 คุณจะต้องกระจายช่องระหว่างคำขอให้เท่าๆ กันที่สุดเท่าที่จะเป็นไปได้
ลองพิจารณาการทำงานของ -channel QS ด้วยความช่วยเหลือซึ่งกันและกันแบบ "สม่ำเสมอ" ระหว่างช่องสัญญาณ
การกำหนดปัญหาที่ทางเข้า n-channel QS ได้รับโฟลว์คำขอที่ง่ายที่สุดด้วยความหนาแน่น lam ความหนาแน่นของการไหลของบริการที่ง่ายที่สุดสำหรับแต่ละช่องคือ μ หากคำขอรับบริการพบว่าทุกช่องฟรีก็ถือว่ารับบริการและให้บริการพร้อมกัน ล ช่อง ( ล < n- ในกรณีนี้ โฟลว์ของบริการสำหรับแอปพลิเคชันหนึ่งจะมีความเข้มข้น ล.
หากคำขอรับบริการพบหนึ่งคำขอในระบบ แล้วเมื่อใด n ≥ 2ลใบสมัครที่เพิ่งเข้ามาใหม่จะได้รับการยอมรับให้เข้ารับบริการและจะให้บริการพร้อมกัน ลช่อง.
หากคำขอรับบริการถูกจับได้ในระบบ ฉันแอปพลิเคชัน ( ฉัน= 0.1, ...) ในขณะที่ ( ฉัน+ 1)ล≤ nจากนั้นแอปพลิเคชันที่ได้รับจะได้รับการบริการ ลช่องที่มีผลงานโดยรวม ล. หากแอปพลิเคชันที่ได้รับใหม่ติดอยู่ในระบบ เจการสมัครและในเวลาเดียวกันก็มีการสนองความไม่เท่าเทียมกันสองประการ: ( เจ + 1)ล > nและ เจ < nจากนั้นใบสมัครจะได้รับการยอมรับเข้าใช้บริการ ในกรณีนี้บางแอปพลิเคชันสามารถให้บริการได้ ลช่องอีกส่วนจะเล็กกว่า ล, จำนวนช่องแต่ทุกคนจะยุ่งกับการบริการ nช่องทางที่สุ่มแจกระหว่างแอพพลิเคชั่น หากแอปพลิเคชันที่ได้รับใหม่ติดอยู่ในระบบ nแอปพลิเคชันนั้นจะถูกปฏิเสธและจะไม่ได้รับบริการ แอปพลิเคชันที่ได้รับสำหรับการบริการจะได้รับการบริการจนเสร็จสิ้น (แอปพลิเคชัน "ผู้ป่วย")
กราฟสถานะของระบบดังกล่าวจะแสดงในรูป 3.8.
ข้าว. 3.8. กราฟสถานะ QS ที่มีความล้มเหลวและบางส่วน
การช่วยเหลือซึ่งกันและกันระหว่างช่องทาง
โปรดทราบว่ากราฟสถานะของระบบขึ้นอยู่กับสถานะ x ชม.ขึ้นอยู่กับสัญลักษณ์ของพารามิเตอร์การไหล มันเกิดขึ้นพร้อมกับกราฟสถานะของระบบคิวแบบคลาสสิกที่มีความล้มเหลว ดังแสดงในรูปที่ 1 3.6.
เพราะฉะนั้น,
(ฉัน
= 0, 1, ..., ชม.).
กราฟสถานะระบบเริ่มต้นจากสถานะ x ชม.และปิดท้ายด้วยรัฐ x nเกิดขึ้นพร้อมกันจนถึงสัญกรณ์ด้วยกราฟสถานะของ QS พร้อมความช่วยเหลือซึ่งกันและกันโดยสมบูรณ์ดังแสดงในรูปที่ 1 3.7. ดังนั้น,
.
ให้เราแนะนำสัญกรณ์ lam / ลμ = ρ ล ; λ / nμ = χ แล้ว
เมื่อคำนึงถึงสภาพปกติที่เราได้รับ
มาดูคุณลักษณะของระบบกัน
จำนวนแอปพลิเคชันโดยเฉลี่ยในระบบคือ
จำนวนช่องสัญญาณที่ไม่ว่างโดยเฉลี่ย
.
ความน่าจะเป็นที่ช่องใดช่องหนึ่งจะไม่ว่าง
.
ความน่าจะเป็นของการครอบครองช่องสัญญาณของระบบทั้งหมด
การกำหนดปัญหาที่ทางเข้า n- ระบบ QS ของช่องสัญญาณได้รับการไหลที่ง่ายที่สุดที่ต่างกันโดยมีความเข้มรวม Σ Σ และ
λ Σ
=
,
ที่ไหน แล ฉัน– ความเข้มข้นของการใช้งานใน ฉันแหล่งที่มา
เนื่องจากโฟลว์ของคำขอถือเป็นการซ้อนทับของข้อกำหนดจากแหล่งต่าง ๆ โฟลว์รวมที่มีความแม่นยำเพียงพอสำหรับการปฏิบัติจึงถือเป็นปัวซองสำหรับ เอ็น = 5...20 และ แล ฉัน ≈ λ ฉัน +1 (ฉัน1,เอ็น- ความเข้มของการบริการของอุปกรณ์หนึ่งมีการกระจายตามกฎเลขชี้กำลังและเท่ากับ μ = 1/ ที- การให้บริการอุปกรณ์สำหรับการให้บริการตามคำขอจะเชื่อมต่อกันเป็นอนุกรม ซึ่งเทียบเท่ากับการเพิ่มเวลาการบริการหลายครั้งตามจำนวนอุปกรณ์ที่รวมกันสำหรับการบริการ:
ทีอ็อบส์ = เคที, μ obs = 1 / เคที = μ/ เค,
ที่ไหน ที obs – ขอเวลาให้บริการ; เค– จำนวนอุปกรณ์บริการ μ obs – ขอความเข้มข้นในการให้บริการ
ภายในกรอบของสมมติฐานที่นำมาใช้ในบทที่ 2 เรานำเสนอสถานะของ QS ในรูปแบบเวกเตอร์ โดยที่ เค ม– จำนวนแอพพลิเคชั่นในระบบซึ่งแต่ละแอพพลิเคชั่นให้บริการ มอุปกรณ์; ล = ถามสูงสุด – ถามนาที +1 – จำนวนสตรีมอินพุต
จากนั้นจำนวนอุปกรณ์ที่ถูกครอบครองและว่าง ( nแซน ( 
),nเอสวี ( 
)) สามารถ 
มีการกำหนดไว้ดังนี้:
จากรัฐ 
ระบบสามารถไปที่สถานะอื่นได้ 
- เนื่องจากระบบทำงาน ลสตรีมอินพุต จากนั้นอาจเป็นไปได้จากแต่ละสถานะ ลการเปลี่ยนผ่านโดยตรง อย่างไรก็ตาม เนื่องจากทรัพยากรระบบมีจำกัด การเปลี่ยนผ่านทั้งหมดจึงไม่สามารถทำได้ ปล่อยให้ SMO อยู่ในสถานะ 
และคำขอก็มาถึงโดยเรียกร้อง มอุปกรณ์ ถ้า ม≤ nเอสวี ( 
) จากนั้นคำขอจะได้รับการยอมรับสำหรับการบริการ และระบบจะเข้าสู่สถานะที่มีความเข้มข้น γ ม- หากแอปพลิเคชันต้องการอุปกรณ์มากกว่าที่มีอยู่ แอปพลิเคชันนั้นจะถูกปฏิเสธการให้บริการ และ QS จะยังคงอยู่ในสถานะ 
- ถ้าคุณสามารถ 
มีแอปพลิเคชันที่ต้องการ มอุปกรณ์แต่ละเครื่องจะได้รับการบริการอย่างเข้มข้น มและความเข้มข้นรวมของการให้บริการตามคำขอดังกล่าว (μ ม) ถูกกำหนดให้เป็น μ ม
= เค ม μ
/ ม- เมื่อให้บริการหนึ่งในคำขอเสร็จสมบูรณ์ ระบบจะเข้าสู่สถานะที่พิกัดที่เกี่ยวข้องมีค่าที่น้อยกว่าในสถานะหนึ่ง 
,
=, กล่าวคือ การเปลี่ยนแปลงย้อนกลับจะเกิดขึ้น ในรูป ในตาราง 3.9 แสดงตัวอย่างโมเดลเวกเตอร์ของ QS สำหรับ n
= 3, ล
= 3, ถามนาที = 1, ถามสูงสุด = 3, ป(ม) = 1/3, แลมบ์ดา Σ = แลม, ความเข้มข้นของการบำรุงรักษาอุปกรณ์ – μ
ข้าว. 3.9. ตัวอย่างกราฟของโมเดลเวกเตอร์ของ QS ที่มีการขัดข้องของบริการ
ดังนั้นทุกรัฐ 
โดดเด่นด้วยจำนวนแอปพลิเคชันที่ให้บริการบางประเภท เช่น ในรัฐหนึ่ง 
หนึ่งคำขอให้บริการโดยอุปกรณ์หนึ่งเครื่องและหนึ่งคำขอโดยอุปกรณ์สองเครื่อง ในสถานะนี้ อุปกรณ์ทั้งหมดไม่ว่าง ดังนั้นจึงทำได้เฉพาะการเปลี่ยนแบบย้อนกลับเท่านั้น (การมาถึงของคำขอใดๆ ในสถานะนี้จะนำไปสู่การปฏิเสธบริการ) หากการให้บริการคำขอประเภทแรกสิ้นสุดลงเร็วกว่าปกติ ระบบจะเข้าสู่สถานะ 
(0,1,0) ด้วยความเข้ม μ แต่ถ้าการให้บริการคำขอประเภทที่สองสิ้นสุดลงเร็วกว่านั้นระบบจะเข้าสู่สถานะ 
(0,1,0) ด้วยความเข้ม μ/2
การใช้กราฟสถานะที่มีการพล็อตความเข้มของการเปลี่ยนแปลง ระบบสมการพีชคณิตเชิงเส้นจะถูกรวบรวม จากการแก้สมการเหล่านี้จะพบความน่าจะเป็น ร(
) โดยกำหนดลักษณะของ QS
ลองพิจารณาค้นหา ร otk (ความน่าจะเป็นของการปฏิเสธการให้บริการ)
,
ที่ไหน ส– จำนวนสถานะของกราฟของแบบจำลอง QS เวกเตอร์ ร(
) คือความน่าจะเป็นที่ระบบจะอยู่ในสถานะ 
.
จำนวนรัฐตามถูกกำหนดดังนี้:
,
(3.22)
;
ให้เรากำหนดจำนวนสถานะของแบบจำลอง QS ของเวกเตอร์ตาม (3.22) สำหรับตัวอย่างที่แสดงในรูปที่ 1 3.9.
.
เพราะฉะนั้น, ส = 1 + 5 + 1 = 7.
หากต้องการใช้ข้อกำหนดที่แท้จริงสำหรับอุปกรณ์บริการจำนวนมากเพียงพอ n
(40, ..., 50) และคำขอจำนวนอุปกรณ์ที่ให้บริการในแอปพลิเคชันในทางปฏิบัติอยู่ในช่วง 8–16 ด้วยอัตราส่วนของเครื่องมือและคำขอดังกล่าว วิธีที่เสนอในการค้นหาความน่าจะเป็นจึงกลายเป็นเรื่องยุ่งยากอย่างยิ่ง เนื่องจาก โมเดลเวกเตอร์ของ QS มีสถานะจำนวนมาก ส(50)
= 1790, ส(60)
= 4676, ส(70) = = 11075 และขนาดของเมทริกซ์สัมประสิทธิ์ของระบบสมการพีชคณิตเป็นสัดส่วนกับกำลังสอง สซึ่งต้องใช้หน่วยความจำคอมพิวเตอร์จำนวนมากและใช้เวลาคอมพิวเตอร์เป็นจำนวนมาก ความปรารถนาที่จะลดจำนวนการคำนวณกระตุ้นให้เกิดการค้นหาความสามารถในการคำนวณที่เกิดซ้ำ ร(
) ขึ้นอยู่กับรูปแบบการคูณของการเป็นตัวแทนของความน่าจะเป็นของรัฐ บทความนี้นำเสนอแนวทางการคำนวณ ร(
):
(3.23)
การใช้เกณฑ์สำหรับความเท่าเทียมกันของยอดคงเหลือทั่วโลกและรายละเอียดของห่วงโซ่มาร์คอฟที่เสนอในงานช่วยให้เราลดขนาดของปัญหาและทำการคำนวณบนคอมพิวเตอร์กำลังปานกลางโดยใช้การคำนวณซ้ำ นอกจากนี้ ยังสามารถ:
– ทำการคำนวณค่าใด ๆ n;
– เร่งความเร็วการคำนวณและลดต้นทุนเวลาของเครื่องจักร
คุณลักษณะอื่นๆ ของระบบสามารถกำหนดได้ในลักษณะเดียวกัน
