Çokyüzlü, yüzeyi sonlu sayıda düz çokgenden oluşan bir cisimdir.  Bir çokyüzlü, yüzeyi aşağıdakilerden oluşan bir cisimdir

Çokyüzlü, yüzeyi sonlu sayıda düz çokgenden oluşan bir cisimdir. Bir çokyüzlü, yüzeyi aşağıdakilerden oluşan bir cisimdir

Küp, top, piramit, silindir, koni - geometrik cisimler. Bunlar arasında çokyüzlüler vardır. Çokyüzlü yüzeyi sonlu sayıda çokgenden oluşan geometrik bir cisimdir. Bu çokgenlerin her birine çokyüzlünün bir yüzü denir, bu çokgenlerin kenarları ve köşeleri sırasıyla çokyüzlünün kenarları ve köşeleridir.

Bitişik yüzler arasındaki dihedral açılar, yani. ortak bir tarafı olan yüzler (çok yüzlünün kenarı) aynı zamanda çokyüzlülerin dihedral zihinleri.Çokgenlerin açıları (dışbükey bir çokgenin yüzleri) çokyüzlünün düz zihinleri. Düz ve dihedral açılara ek olarak, dışbükey bir çokyüzlü ayrıca çokyüzlü açılar. Bu açılar ortak bir tepe noktasına sahip yüzleri oluşturur.

Çokyüzlüler arasında şunlar vardır: prizmalar Ve piramitler.

Prizma - yüzeyi her bir tabanla ortak kenarları olan iki eşit çokgen ve paralelkenardan oluşan bir çokyüzlüdür.

İki eşit çokgen denir sebepler ggrizmg ve paralelkenarlar o yanal kenarlar. Yan yüzler oluşur Yanal yüzey prizmalar. Tabanda yer almayan kenarlara denir yan kaburgalar prizmalar.

Prizma denir p-kömür, eğer tabanları i-gon ise. İncirde. 24.6 dörtgen bir prizmayı göstermektedir ABCDA"B"C"D".

Prizma denir dümdüz, yan yüzleri dikdörtgen ise (Şekil 24.7).

Prizma denir doğru , eğer düzse ve tabanları düzgün çokgen ise.

Dörtgen prizmaya denir paralel yüzlü tabanları paralelkenar ise.

Paralel yüzlü denir dikdörtgen, eğer tüm yüzleri dikdörtgense.

Paralel yüzlü bir köşegen zıt köşelerini birleştiren bir segmenttir. Paralel borunun dört köşegeni vardır.

Kanıtlanmıştır ki Paralel borunun köşegenleri bir noktada kesişir ve bu nokta tarafından ikiye bölünür. Dikdörtgen paralel borunun köşegenleri eşittir.

Piramit yüzeyi bir çokgenden (piramidin tabanı) ve piramidin yan yüzleri adı verilen ortak bir tepe noktasına sahip üçgenlerden oluşan bir çokyüzlüdür. Bu üçgenlerin ortak köşesine denir tepe piramitler, üstten uzanan kaburgalar, - yan kaburgalar piramitler.

Piramidin tepesinden tabana inen dikme ve bu dikmenin uzunluğuna denir. yükseklik piramitler.

En basit piramit - üçgensel veya tetrahedron (Şekil 24.8). Üçgen piramidin özelliği, herhangi bir yüzün taban olarak düşünülebilmesidir.

Piramit denir doğru, tabanı normal bir çokgen ise ve tüm yan kenarlar birbirine eşitse.

Ayırt etmemiz gerektiğini unutmayın düzenli tetrahedron(yani tüm kenarların birbirine eşit olduğu bir tetrahedron) ve düzenli üçgen piramit(tabanında normal bir üçgen bulunur ve yan kenarlar birbirine eşittir, ancak uzunlukları prizmanın tabanı olan üçgenin kenarının uzunluğundan farklı olabilir).

Ayırt etmek şişkin Ve dışbükey olmayançokyüzlü. Dışbükey geometrik cisim kavramını kullanırsanız dışbükey bir çokyüzlü tanımlayabilirsiniz: çokyüzlüye denir dışbükey. dışbükey bir şekil ise, yani herhangi iki noktasıyla birlikte onları birbirine bağlayan doğru parçasının tamamını da içerir.

Dışbükey bir çokyüzlü farklı şekilde tanımlanabilir: bir çokyüzlüye denir dışbükey, tamamen onu çevreleyen çokgenlerin her birinin bir tarafında yer alıyorsa.

Bu tanımlar eşdeğerdir. Bu gerçeğin kanıtını sunmuyoruz.

Şu ana kadar ele alınan tüm çokyüzlüler dışbükeydir (küp, paralel yüzlü, prizma, piramit vb.). Şekil 2'de gösterilen çokyüzlü. 24.9 dışbükey değildir.

Kanıtlanmıştır ki dışbükey bir çokyüzlüde tüm yüzler dışbükey çokgenlerdir.

Birkaç dışbükey çokyüzlüyü ele alalım (Tablo 24.1)

Bu tablodan, dikkate alınan tüm dışbükey çokyüzlüler için B - P + eşitliğinin olduğu anlaşılmaktadır. G= 2. Bunun herhangi bir dışbükey çokyüzlü için de geçerli olduğu ortaya çıktı. Bu özellik ilk olarak L. Euler tarafından kanıtlandı ve Euler teoremi olarak adlandırıldı.

Dışbükey çokyüzlüye denir doğru yüzleri eşit düzenli çokgenlerse ve her köşede aynı sayıda yüz birleşiyorsa.

Dışbükey çokyüzlü açının özelliğini kullanarak şunu kanıtlayabiliriz: Düzenli çokyüzlülerin beşten fazla farklı türü yoktur.

Aslında, eğer yelpaze ve çokyüzlü düzgün üçgenlerse, o zaman 3, 4 ve 5 bir tepe noktasında birleşebilir, çünkü 60" 3< 360°, 60° - 4 < 360°, 60° 5 < 360°, но 60° 6 = 360°.

Bir polifanın her köşesinde üç düzgün üçgen birleşirse, o zaman şunu elde ederiz: sağ elini kullanan tetrahedron, Phetic'ten tercüme edilen "dört yüzlü" anlamına gelir (Şekil 24.10, A).

Eğer dört düzgün üçgen bir çokyüzlünün her köşesinde buluşursa, o zaman şunu elde ederiz: oktahedron(Şekil 24.10, V). Yüzeyi sekiz düzenli üçgenden oluşur.

Eğer beş düzgün üçgen bir çokyüzlünün her bir köşesinde birleşirse, o zaman şunu elde ederiz: ikosahedron(Şekil 24.10, d). Yüzeyi yirmi düzenli üçgenden oluşur.

Eğer bir polifanın yüzleri kare ise, o zaman 90° 3 olduğundan yalnızca üç tanesi bir tepe noktasında birleşebilir.< 360°, но 90° 4 = 360°. Этому условию удовлетворяет только куб. Куб имеет шесть фаней и поэтому называется также altı yüzlü(Şekil 24.10, B).

Eğer bir polifanın kenarları düzgün beşgenler ise, o zaman 108° 3 olduğundan yalnızca phi bir tepe noktasında birleşebilir.< 360°, пятиугольники и в каждой вершине сходится три грани, называется on iki yüzlü(Şekil 24.10, D). Yüzeyi on iki düzenli beşgenden oluşur.

Bir çokyüzlünün yüzleri altıgen veya daha fazla olamaz, çünkü altıgen için bile 120° 3 = 360°.

Geometride, üç boyutlu Öklid uzayında tam olarak beş farklı tipte düzenli çokyüzlülerin bulunduğu kanıtlanmıştır.

Bir çok yüzlünün modelini yapmak için onu yapmanız gerekir. tarama(daha doğrusu yüzeyinin gelişimi).

Bir çokyüzlünün gelişimi, çokyüzlünün yüzeyinin belirli kenarlar boyunca kesilmesi ve bu yüzeye dahil olan tüm çokgenlerin aynı düzlemde yer alacak şekilde açılması durumunda elde edilen bir düzlem üzerindeki şekildir.

Bir çokyüzlünün hangi kenarları kestiğimize bağlı olarak birkaç farklı gelişime sahip olabileceğini unutmayın. Şekil 24.11, düzenli bir dörtgen piramidin, yani tabanında bir kare bulunan ve tüm yan kenarları birbirine eşit olan bir piramidin çeşitli gelişmelerini gösteren şekilleri göstermektedir.

Düzlemdeki bir şeklin dışbükey bir çokyüzlünün geliştirilmiş hali olması için, çokyüzlünün özelliklerine ilişkin bir takım gereksinimleri karşılaması gerekir. Örneğin, Şekil 2'deki rakamlar. Şekil 24.12, düzenli bir dörtgen piramidin gelişmeleri değildir: Şekil 2'de gösterilen şekilde. 24.12, A, tepede M dört yüz birleşiyor; bu, normal bir dörtgen piramitte gerçekleşemez; ve Şekil 2'de gösterilen şekilde. 24.12, B, yan kaburgalar AB Ve Güneş eşit değil.

Genel olarak, bir çokyüzlünün gelişimi, yüzeyinin sadece kenarlar boyunca kesilmesiyle elde edilebilir. Böyle bir küp gelişiminin bir örneği Şekil 2'de gösterilmektedir. 24.13. Bu nedenle, daha kesin olarak, bir çokyüzlünün gelişimi, bu çokyüzlünün yüzeyinin üst üste binme olmadan yapılabileceği düz bir çokgen olarak tanımlanabilir.

Devrimin bedenleri

Dönme gövdesi Bir şeklin (genellikle düz) düz bir çizgi etrafında dönmesi sonucu elde edilen cisim denir. Bu çizgiye denir dönme ekseni.

Silindir- Bir dikdörtgenin kenarlarından birinin etrafında döndürülmesiyle elde edilen ego gövdesi. Bu durumda belirtilen taraf silindir ekseni.İncirde. 24.14 eksenli bir silindiri göstermektedir OO', bir dikdörtgenin döndürülmesiyle elde edilir AA"O"O düz bir çizgi etrafında OO". Puanlar HAKKINDA Ve HAKKINDA"- silindir tabanlarının merkezleri.

Bir dikdörtgenin bir kenarı etrafında döndürülmesiyle elde edilen silindire ne ad verilir? düz dairesel bir silindir, çünkü tabanları paralel düzlemlerde bulunan iki eşit dairedir, böylece dairelerin merkezlerini birleştiren bölüm bu düzlemlere dik olur. Silindirin yan yüzeyi, dikdörtgenin silindir eksenine paralel kenarına eşit parçalardan oluşur.

Süpürme Dik dairesel bir silindirin yan yüzeyi, eğer bir cins boyunca kesilirse, bir tarafı cinsin uzunluğuna ve diğer tarafı taban çevresinin uzunluğuna eşit olan bir dikdörtgendir.

Koni- Bu, dik üçgenin bacaklardan birinin etrafında dönmesi sonucu elde edilen bir vücuttur.

Bu durumda belirtilen bacak hareketsizdir ve denir. koninin ekseni.İncirde. Şekil 24.15, SOA dik üçgeninin S0 ayağı etrafında O dik açısıyla döndürülmesiyle elde edilen SO eksenli bir koniyi göstermektedir. S noktasına denir koninin tepe noktası, OA- tabanının yarıçapı.

Bir dik üçgenin bacaklarından biri etrafında dönmesi sonucu oluşan koniye denir. düz dairesel koni tabanı bir daire olduğundan ve tepesi bu dairenin merkezine doğru yansıtıldığından. Koninin yan yüzeyi, dönmesi üzerine bir koninin oluştuğu üçgenin hipotenüsüne eşit bölümlerden oluşur.

Koninin yan yüzeyi genatrix boyunca kesilirse, bir düzlem üzerinde "açılabilir". Süpürme Dik dairesel bir koninin yan yüzeyi, yarıçapı generatriksin uzunluğuna eşit olan dairesel bir sektördür.

Bir silindir, koni veya herhangi bir dönme cismi, dönme eksenini içeren bir düzlemle kesiştiğinde, eksenel bölüm. Silindirin eksenel bölümü bir dikdörtgendir, koninin eksenel bölümü bir ikizkenar üçgendir.

Top- yarım dairenin çapı etrafında dönmesi sonucu elde edilen bir gövdedir. İncirde. 24.16, çapın etrafında yarım daire döndürülerek elde edilen bir topu göstermektedir AA". Tam durak HAKKINDA isminde topun merkezi, ve dairenin yarıçapı topun yarıçapıdır.

Topun yüzeyine denir küre. Küre bir düzlem üzerine döndürülemez.

Bir topun düzleme göre herhangi bir bölümü bir dairedir. Düzlem topun merkezinden geçerse topun kesit yarıçapı en büyük olacaktır. Bu nedenle topun merkezinden geçen bir düzlemin kesitine denir. topun büyük dairesi, ve onu sınırlayan daire büyük daire.

DÜZLEM ÜZERİNDEKİ GEOMETRİK CİSİMLERİN GÖRÜNTÜSÜ

Düz şekillerin aksine, geometrik cisimler, örneğin bir kağıt üzerinde doğru şekilde tasvir edilemez. Ancak düzlem üzerindeki çizimlerin yardımıyla mekansal figürlerin oldukça net bir görüntüsünü elde edebilirsiniz. Bunu yapmak için, bu tür figürleri bir düzlemde tasvir etmek için özel yöntemler kullanılır. Onlardan biri paralel tasarım.

a'yı kesen bir düzlem ve bir düz çizgi verilsin A. Uzayda doğruya ait olmayan keyfi bir A noktası alalım. A, ve size rehberlik edeceğiz X doğrudan A",çizgiye paralel A(Şekil 24.17). Dümdüz A" düzlemi bir noktada keser X", buna denir X noktasının a düzlemine paralel izdüşümü.

A noktası bir doğru üzerinde yer alıyorsa A, daha sonra paralel projeksiyonla X"çizginin olduğu nokta A düzlemle kesişiyor A.

Eğer nokta X a düzlemine aitse nokta X" noktaya denk geliyor X.

Böylece, eğer bir a düzlemi ve onu kesen bir doğru veriliyorsa A. sonra her nokta X uzay tek bir A noktasıyla ilişkilendirilebilir - noktanın paralel izdüşümü X a düzlemine (düz çizgiye paralel tasarlarken A). Uçak A isminde projeksiyon düzlemi. Hat hakkında A havlayacağını söylüyorlar tasarım yönü - ggri değiştirme doğrudan A buna paralel başka herhangi bir doğrudan tasarım sonucu değişmeyecektir. Tüm doğrular bir doğruya paraleldir A, aynı tasarım yönünü belirtir ve düz çizgiyle birlikte çağrılır A düz çizgiler yansıtır.

Projeksiyon rakamlar F bir seti çağırmak F' tüm noktaların projeksiyonu. Her noktanın haritalanması X rakamlar F"Paralel izdüşümü bir noktadır X" rakamlar F", isminde paralel tasarım rakamlar F(Şekil 24.18).

Gerçek bir nesnenin paralel izdüşümü, güneş ışınlarının paralel kabul edilebilmesi nedeniyle güneş ışığında düz bir yüzeye düşen gölgesidir.

Paralel tasarımın, geometrik cisimleri bir düzlemde tasvir ederken bilgisi gerekli olan bir takım özellikleri vardır. Kanıtlarını vermeden ana olanları formüle edelim.

Teorem 24.1. Paralel tasarım sırasında, tasarım yönüne paralel olmayan düz çizgiler ve bunların üzerinde yer alan bölümler için aşağıdaki özellikler sağlanır:

1) bir çizginin izdüşümü bir çizgidir ve bir bölümün izdüşümü bir bölümdür;

2) paralel çizgilerin çıkıntıları paralel veya çakışıyor;

3) aynı çizgide veya paralel çizgilerde bulunan bölümlerin çıkıntılarının uzunluklarının oranı, bölümlerin uzunluklarının oranına eşittir.

Bu teoremden şu sonuç çıkıyor sonuçlar: paralel projeksiyonda segmentin ortası projeksiyonunun ortasına yansıtılır.

Geometrik cisimlerin düzlem üzerinde tasviri yapılırken belirtilen özelliklerin karşılandığından emin olmak gerekir. Aksi takdirde keyfi olabilir. Böylece, paralel olmayan bölümlerin uzunluklarının açıları ve oranları isteğe bağlı olarak değişebilir; örneğin, paralel tasarımdaki bir üçgen, isteğe bağlı bir üçgen olarak gösterilir. Ancak üçgen eşkenar ise, medyanın izdüşümünün üçgenin tepe noktasını karşı tarafın ortasıyla birleştirmesi gerekir.

Ve uzaysal cisimleri bir düzlemde tasvir ederken, onlar hakkında doğru bir fikir oluşturmaya yardımcı olmak için bir gereksinime daha uyulmalıdır.

Örneğin tabanları kare olan eğik bir prizmayı gösterelim.

Öncelikle prizmanın alt tabanını yapalım (üstten başlayabilirsiniz). Paralel tasarım kurallarına göre, oggo keyfi bir ABCD paralelkenarı olarak gösterilecektir (Şekil 24.19, a). Prizmanın kenarları paralel olduğundan, oluşturulan paralelkenarın köşelerinden geçen paralel düz çizgiler oluşturuyoruz ve üzerlerine uzunluğu isteğe bağlı olan eşit AA", BB', CC", DD" parçalarını yerleştiriyoruz. A", B", C", D" serileri halinde prizmanın üst tabanını gösteren bir A" B "C" D" dörtgeni elde ederiz. Bunu kanıtlamak zor değil. A"B"C"D"- paralelkenar paralelkenara eşit ABCD ve sonuç olarak, tabanları eşit kareler ve geri kalan yüzleri paralelkenar olan bir prizma görüntüsüne sahibiz.

Tabanları kare olan düz bir prizmayı tasvir etmeniz gerekiyorsa, bu prizmanın yan kenarlarının, Şekil 2'de yapıldığı gibi tabana dik olduğunu gösterebilirsiniz. 24.19, B.

Ayrıca Şekil 2'deki çizim. 24.19, B Tabanı bir kare olduğundan normal bir dörtgen ve ayrıca tüm yüzleri dikdörtgen olduğundan dikdörtgen bir paralel yüzlü olduğundan normal bir prizmanın görüntüsü olarak düşünülebilir.

Şimdi bir piramidin düzlemde nasıl tasvir edileceğini öğrenelim.

Düzenli bir piramidi tasvir etmek için önce tabanda yatan normal bir çokgen çizin ve merkezi bir noktadır. HAKKINDA. Sonra dikey bir bölüm çizin işletim sistemi piramidin yüksekliğini gösteriyor. Segmentin dikeyliğine dikkat edin işletim sistemiçizimin daha net olmasını sağlar. Son olarak S noktası tabanın tüm köşelerine bağlanır.

Örneğin, tabanı düzgün bir altıgen olan düzenli bir piramidi tasvir edelim.

Paralel tasarım sırasında normal bir altıgeni doğru bir şekilde tasvir etmek için aşağıdakilere dikkat etmeniz gerekir. ABCDEF bir düzgün altıgen olsun. O halde ALLF bir dikdörtgendir (Şekil 24.20) ve bu nedenle paralel tasarım sırasında keyfi bir B"C"E"F" paralelkenarı olarak gösterilecektir. AD köşegeni ABCDEF çokgeninin merkezi olan O noktasından geçtiğinden ve parçalara paralel olduğundan. BC ve EF ve AO = OD, daha sonra paralel tasarımla isteğe bağlı bir A "D" segmenti ile temsil edilecektir. , noktadan geçerken HAKKINDA" paralel M.Ö" Ve E "F" ve ek olarak, A"O" = O"D".

Böylece, altıgen bir piramidin tabanını inşa etme sırası aşağıdaki gibidir (Şekil 24.21):

§ keyfi bir paralelkenar tasvir edin B"C"E"F" ve köşegenleri; kesişme noktalarını işaretleyin Ö";

§ bir noktadan geçerek HAKKINDA" paralel bir düz çizgi çizin VS"(veya E"F');

§ oluşturulan çizgi üzerinde rastgele bir nokta seçin A" ve noktayı işaretleyin D"öyle ki O "D" = Bir "O" ve noktayı birleştir A" noktalı İÇİNDE" Ve F"ve nokta D" - ile noktalar İLE" Ve E".

Piramidin yapımını tamamlamak için dikey bir bölüm çizin işletim sistemi(uzunluğu keyfi olarak seçilir) ve S noktasını tabanın tüm köşelerine bağlayın.

Paralel projeksiyonda top aynı yarıçapa sahip bir daire olarak tasvir edilir. Topun görüntüsünü daha görsel hale getirmek için, düzlemi projeksiyon düzlemine dik olmayan büyük bir dairenin projeksiyonunu çizin. Bu projeksiyon bir elips olacaktır. Topun merkezi bu elipsin merkezi ile temsil edilecektir (Şekil 24.22). Artık ilgili kutupları bulabiliriz N ve S, bunları bağlayan bölümün ekvator düzlemine dik olması şartıyla. Bunu yapmak için, nokta aracılığıyla HAKKINDA dik bir düz çizgi çizin AB ve C noktasını işaretleyin - bu çizginin elips ile kesişimi; daha sonra C noktasından ekvatoru temsil eden elipse bir teğet çizeriz. Uzak olduğu kanıtlandı SANTİMETRE topun merkezinden direklerin her birine olan mesafeye eşittir. Bu nedenle bölümleri bir kenara bırakarak AÇIK Ve işletim sistemi eşit SANTİMETRE, direkleri alıyoruz N ve S.

Bir elips oluşturma tekniklerinden birini ele alalım (bu, sıkıştırma adı verilen düzlemin dönüşümüne dayanır): çapı olan bir daire oluşturun ve çapa dik kirişler çizin (Şekil 24.23). Her akorun yarısı ikiye bölünür ve elde edilen noktalar düzgün bir eğri ile birleştirilir. Bu eğri, ana ekseni doğru parçası olan bir elipstir. AB, ve merkez bir noktadır HAKKINDA.

Bu teknik, bir düzlem üzerinde düz dairesel bir silindiri (Şekil 24.24) ve düz dairesel bir koniyi (Şekil 24.25) tasvir etmek için kullanılabilir.

Bu şekilde düz dairesel bir koni gösterilmektedir. Önce bir elips (taban) oluştururlar, sonra tabanın merkezini (noktayı) bulurlar. HAKKINDA ve dik olarak bir çizgi parçası çizin işletim sistemi bu da koninin yüksekliğini temsil eder. S noktasından elipse teğetler çizilir (bu, bir cetvel uygulanarak "gözle" yapılır) ve bölümler seçilir SC Ve SD S noktasından teğet noktalarına kadar olan bu düz çizgiler C ve D. Segmente dikkat edin CD koninin tabanının çapıyla örtüşmüyor.


Bir çokyüzlünün yüzleri onu oluşturan çokgenlerdir. Bir çokyüzlünün yüzleri onu oluşturan çokgenlerdir. Bir çokyüzlünün kenarları çokgenlerin kenarlarıdır. Bir çokyüzlünün kenarları çokgenlerin kenarlarıdır. Bir çokyüzlünün köşeleri bir çokgenin köşeleridir. Bir çokyüzlünün köşeleri bir çokgenin köşeleridir. Bir çokyüzlünün köşegeni, aynı yüze ait olmayan 2 köşeyi birleştiren bir bölümdür. Bir çokyüzlünün köşegeni, aynı yüze ait olmayan 2 köşeyi birleştiren bir bölümdür.






Düzenli çokyüzlüler Bir çokyüzlünün yüzleri, aynı sayıda kenara sahip ve aynı sayıda kenar çokhedronun her köşesinde birleşen düzenli çokgenler ise, o zaman dışbükey çokyüzlüye düzenli denir. Bir çokyüzlünün yüzleri, aynı sayıda kenara sahip ve aynı sayıda kenar çokhedronun her köşesinde birleşen düzenli çokgenler ise, o zaman dışbükey çokyüzlüye düzenli denir.






Oktahedron, yüzleri düzenli üçgenler olan ve her köşede 4 yüzü buluşan bir çokyüzlüdür. Oktahedron, yüzleri düzenli üçgenler olan ve her köşede 4 yüzü buluşan bir çokyüzlüdür. Elmasın doğru şekli oktahedrondur









Çokyüzlü

  • Çokyüzlü- bu, yüzeyi sonlu sayıda düz çokgenden oluşan bir cisimdir.



Çok yüzlü denir dışbükey

  • Çok yüzlü denir dışbükey , yüzeyindeki her düz çokgenin bir tarafında yer alıyorsa.





  • Öklid (muhtemelen MÖ 330-277) - Antik Yunanistan'ın İskenderiye okulunun matematikçisi, matematik üzerine bize gelen ilk incelemenin yazarı, “Elementler” (15 kitapta)



yan yüzler.

  • Prizma, farklı düzlemlerde bulunan ve paralel öteleme ile birleştirilen iki düz çokgenden ve bu çokgenlerin karşılık gelen noktalarını birleştiren tüm bölümlerden oluşan bir çokyüzlüdür. Paralel düzlemlerde bulunan Ф ve Ф1 çokgenlerine prizma tabanları denir ve geri kalan yüzlere denir. yan yüzler.


  • Böylece prizmanın yüzeyi iki eşit çokgen (taban) ve paralelkenardan (yan yüzler) oluşur. Üçgen, dörtgen, beşgen vb. prizmalar vardır. tabanın köşe sayısına bağlı olarak.

  • Bir prizmanın yan kenarı taban düzlemine dik ise böyle bir prizmaya prizma denir. dümdüz ; prizmanın yan kenarı tabanının düzlemine dik değilse, böyle bir prizmaya denir eğimli . Düz prizmanın dikdörtgen yan yüzleri vardır.


Prizmanın tabanları eşittir.

  • Prizmanın tabanları eşittir.

  • Prizmanın tabanları paralel düzlemlerde bulunur.

  • Prizmanın yan kenarları paralel ve eşittir.


  • Bir prizmanın yüksekliği tabanlarının düzlemleri arasındaki mesafedir.


  • Bir prizmanın yalnızca geometrik bir gövde değil, aynı zamanda sanatsal bir şaheser olabileceği ortaya çıktı. Picasso, Braque, Griss vb.'nin resimlerinin temeli olan prizmaydı.


  • Bir kar tanesinin altıgen prizma şeklini alabildiği ortaya çıktı, ancak bu hava sıcaklığına bağlı olacaktır.
















  • MÖ 3. yüzyılda. e. Gemilerin İskenderiye Körfezi'ne giderken resifleri güvenli bir şekilde geçebilmesi için bir deniz feneri inşa edildi. Geceleri alevlerin yansıması ve gündüzleri bir duman sütunu onlara bu konuda yardımcı oldu. Dünyanın ilk deniz feneriydi ve 1.500 yıl boyunca ayakta kaldı.

  • Deniz feneri, İskenderiye kıyısı açıklarında, Akdeniz'deki küçük Pharos adasında inşa edilmiştir. İnşaatı 20 yıl sürdü ve MÖ 280 civarında tamamlandı.



  • 14. yüzyılda deniz feneri bir depremle yıkıldı. Enkazı askeri bir kalenin inşasında kullanıldı. Kale birkaç kez yeniden inşa edildi ve hala dünyanın ilk deniz fenerinin bulunduğu yerde duruyor.



    Mausolus, Karia'nın hükümdarıydı. Bölgenin başkenti Halikarnas'tı. Mausolus kız kardeşi Artemisia ile evlendi. Kendisi ve kraliçesi için bir mezar inşa etmeye karar verdi. Mavsol, dünyaya zenginliğini ve gücünü hatırlatacak görkemli bir anıt hayal ediyordu. Mezardaki çalışmalar tamamlanmadan öldü. Artemisia inşaata liderlik etmeye devam etti. Mezar M.Ö. 350 yılında inşa edilmiştir. e. Buraya kralın anısına Mozole adı verilmiştir.



    Kraliyet çiftinin külleri, binanın tabanındaki bir mezarda altın kaplarda saklanıyordu. Bu odayı bir sıra taş aslan koruyordu. Yapının kendisi, sütunlar ve heykellerle çevrili bir Yunan tapınağına benziyordu. Binanın tepesinde basamaklı bir piramit vardı. Yerden 43 m yükseklikte atların çektiği araba heykeli ile taçlandırılmıştır. Üzerinde muhtemelen kral ve kraliçenin heykelleri vardı.


  • On sekiz yüzyıl sonra, bir deprem Anıtkabir'i yerle bir etti. Arkeologların kazılara başlamasından üç yüz yıl daha geçti. 1857'de tüm buluntular Londra'daki British Museum'a nakledildi. Bir zamanlar Anıtkabir'in olduğu yerde artık sadece bir avuç taş kaldı.



kristaller.

    Sadece insan elinin yarattığı geometrik şekiller yoktur. Rüzgar, su, güneş ışığı gibi doğal faktörlerin dünya yüzeyinin görünümü üzerindeki etkisi oldukça spontane ve kaotiktir. deniz kıyısındaki çakıl taşları, Soyu tükenmiş bir yanardağın krateri, kural olarak, geometrik olarak düzenli şekillere sahiptir. Bazen sanki biri onları dikkatlice kesmiş, öğütmüş ve cilalamış gibi zeminde taşlar bulunur. dır-dir - kristaller.




paralel yüzlü.

  • Prizmanın tabanı paralelkenar ise buna denir. paralel yüzlü.









  • Dikdörtgen paralel yüzlü modeller şunlardır:

  • havalı oda


  • Kalsit kristallerinin, ne kadar küçük parçalara bölünürse parçalansın, her zaman paralel yüzlü parçalara bölündüğü ortaya çıktı.


  • Şehir binaları çoğunlukla çokyüzlü şeklindedir, kural olarak bunlar sıradan paralel yüzlüdür ve şehirleri yalnızca beklenmedik mimari çözümler süsler.


  • 1. Kenarları eşit olan bir prizma düzgün müdür?

  • a) evet; hayır. Cevabınızı gerekçelendirin.

  • 2. Düzgün üçgen prizmanın yüksekliği 6 cm'dir. Tabanın kenar uzunluğu 4 cm'dir. Bu prizmanın toplam yüzey alanını bulun.

  • 3. Eğik bir üçgen prizmanın iki yan yüzünün alanları 40 ve 30 cm2'dir. Bu yüzler arasındaki açı düzdür. Prizmanın yan yüzey alanını bulun.

  • 4. Paralel borulu ABCDA1B1C1D1'de A1BC ve CB1D1 bölümleri çizilmiştir. Bu düzlemler AC1 köşegenini hangi oranda bölüyor?



















  • 1) 4 yüzü, 4 köşesi, 6 kenarı olan bir tetrahedron;

  • 2) küp - 6 yüz, 8 köşe, 12 kenar;

  • 3) oktahedron - 8 yüz, 6 köşe, 12 kenar;

  • 4) dodecahedron - 12 yüz, 20 köşe, 30 kenar;

  • 5) ikosahedron - 20 yüz, 12 köşe, 30 kenar.











Milet Thales'i, kurucu İyonya Samoslu Pisagor

    Antik Yunan bilim adamları ve filozofları, Eski Doğu'nun kültür ve biliminin başarılarını benimsedi ve yeniden işledi. Thales, Pisagor, Demokritos, Eudoxus ve diğerleri müzik, matematik ve astronomi okumak için Mısır ve Babil'e gittiler. Yunan geometrik biliminin başlangıcının bu isimle ilişkilendirilmesi tesadüf değildir. Milet Thales'i, kurucu İyonya okullar. Doğu ülkelerini sınırlayan bölgede yaşayan İyonyalılar, Doğu'nun bilgisini ilk ödünç alan ve geliştirmeye başlayan kişiler oldu. İyon okulunun bilim adamları, eski Doğu halklarından, özellikle Babillilerden ödünç alınan matematiksel bilgileri mantıksal işleme tabi tutan ve sistematik hale getiren ilk kişilerdi. Proclus ve diğer tarihçiler birçok geometrik keşfi bu okulun başı olan Thales'e atfederler. Tutum hakkında Samoslu Pisagor Proclus, Euclid'in Elementleri'ne yazdığı yorumda geometriyle ilgili olarak şunları yazıyor: "İlk temellerinden başlayarak bu bilimi (yani geometriyi) inceledi ve tamamen mantıksal düşünmeyi kullanarak teoremler elde etmeye çalıştı." Proclus, hipotenüsün karesine ilişkin iyi bilinen teoreme ek olarak beş düzenli çokyüzlünün inşasını Pisagor'a atfeder:



Platon'un katıları

    Platon'un katıları tüm yüzleri düzenli çokgen olan dışbükey çokyüzlülerdir. Düzenli bir çokyüzlünün tüm çokyüzlü açıları eşittir. Bir tepe noktasındaki düzlem açılarının toplamının hesaplanmasından anlaşılacağı üzere, beşten fazla dışbükey düzenli çokyüzlü yoktur. Aşağıda belirtilen yöntemi kullanarak, tam olarak beş düzenli çokyüzlünün olduğu kanıtlanabilir (bu, Öklid tarafından kanıtlanmıştır). Bunlar düzenli tetrahedron, küp, oktahedron, dodekahedron ve ikosahedrondur.


Oktahedron (Şek. 3).

  • Oktahedron -oktahedron; sekiz üçgenle çevrelenmiş bir gövde; düzenli bir oktahedron sekiz eşkenar üçgenle sınırlanmıştır; Beş normal çokyüzlüden biri. (Şek. 3).

  • Onikiyüzlü -dodecahedron, on iki çokgenle sınırlanmış bir cisim; düzenli beşgen; beş düzenli çokyüzlüden biri . (Şekil 4).

  • Ikozahedron -yirmi hedron, yirmi çokgenle çevrelenmiş bir cisim; normal ikosahedron yirmi eşkenar üçgenle sınırlıdır; Beş düzenli çokyüzlüden biri. (Şekil 5).



    Dodecahedronun yüzleri düzenli beşgenlerdir. Düzenli bir beşgenin köşegenleri, Pisagor öğrencileri için bir amblem, bir kimlik işareti olarak hizmet eden bir figür olan yıldız beşgeni oluşturur. Pisagor Birliği'nin aynı zamanda bir felsefi okul, bir siyasi parti ve bir din kardeşliği olduğu biliniyor. Efsaneye göre, bir Pisagor yabancı bir ülkede hastalanmış ve ölmeden önce kendisine bakan evin sahibine borcunu ödeyememişti. İkincisi, evinin duvarına yıldız şeklinde bir beşgen çizdi. Birkaç yıl sonra bu işareti gören başka bir gezgin Pisagor, sahibine ne olduğunu sordu ve onu cömertçe ödüllendirdi.

  • Pisagor'un hayatı ve bilimsel faaliyetleri hakkında güvenilir bilgiler korunmamıştır. Figürlerin benzerliği doktrinini yaratmasıyla tanınır. Muhtemelen geometriyi pratik ve uygulamalı bir disiplin olarak değil, soyut bir mantıksal bilim olarak gören ilk bilim adamlarından biriydi.



    Pisagor okulu, ölçülemeyen niceliklerin, yani ilişkileri herhangi bir tam sayı veya kesirli sayıyla ifade edilemeyen niceliklerin varlığını keşfetti. Bir örnek, bir karenin köşegen uzunluğunun C2'ye eşit olan kenar uzunluğuna oranıdır. Bu sayı rasyonel değildir (yani bir tam sayı veya iki tam sayının oranı) ve irrasyonel olarak adlandırılır, yani. mantıksız (Latince oran - tutumdan).


dörtyüzlü (Şekil 1).

  • dörtyüzlü -tetrahedron, tüm yüzleri üçgen olan, yani Üçgen piramit; düzenli bir tetrahedron dört eşkenar üçgenle sınırlanmıştır; beş normal çokgenden biri. (Şekil 1).

  • Küp veya normal altı yüzlü (İncir. 2).


dörtyüzlü -tetrahedron, tüm yüzleri üçgen olan, yani Üçgen piramit; düzenli bir tetrahedron dört eşkenar üçgenle sınırlanmıştır; beş normal çokgenden biri. (Şekil 1).

  • dörtyüzlü -tetrahedron, tüm yüzleri üçgen olan, yani Üçgen piramit; düzenli bir tetrahedron dört eşkenar üçgenle sınırlanmıştır; beş normal çokgenden biri. (Şekil 1).

  • Küp veya normal altı yüzlü - altı kareyle sınırlı, eşit kenarları olan düzenli bir dörtgen prizma. (İncir. 2).



Piramit

  • Piramit- düz bir çokgenden oluşan bir çokyüzlü - piramidin tabanı, piramidin taban düzleminde yer almayan noktalar ve piramidin tepesini tabanın noktalarına bağlayan tüm bölümler

  • Resimde beşgen bir piramit gösterilmektedir SABCDE ve gelişimi. Köşe noktaları ortak olan üçgenlere denir yan yüzler piramitler; yan yüzlerin ortak tepe noktası - tepe piramitler; bu köşenin ait olmadığı bir çokgen temel piramitler; piramidin kenarları tepe noktasında birleşiyor - yan kaburgalar piramitler. Yükseklik piramit, uçları piramidin tepesinde ve taban düzleminde olan, tepesinden taban düzlemine çizilen dik bir bölümdür. Şekilde bir bölüm var BU YÜZDEN- piramidin yüksekliği.

  • Tanım . Tabanı düzgün bir çokgen olan ve tepe noktası merkeze doğru çıkıntı yapan bir piramite düzenli denir.

  • Şekilde düzenli bir altıgen piramit gösterilmektedir.



    Tahıl ambarları ve küp, prizma, silindir şeklindeki diğer yapıların hacimleri Mısırlılar ve Babilliler, Çinliler ve Hintliler tarafından taban alanı ile yükseklik çarpılarak hesaplanıyordu. Bununla birlikte, eski Doğu esas olarak yalnızca deneysel olarak bulunan ve şekillerin alanlarının hacimlerini bulmak için kullanılan belirli kuralları biliyordu. Daha sonraki bir zamanda, geometri bir bilim olarak şekillendiğinde, çokyüzlülerin hacimlerinin hesaplanmasına yönelik genel bir yaklaşım bulundu.

  • V - IV yüzyılların dikkat çekici Yunan bilim adamları arasında. Hacim teorisini geliştiren M.Ö. Abderalı Demokritos ve Knidoslu Eudoxus'tur.

  • Öklid "hacim" terimini kullanmaz. Örneğin onun için “küp” terimi aynı zamanda küpün hacmi anlamına da geliyor. "İlkeler"in XI. Kitabında diğerlerinin yanı sıra aşağıdaki teoremler sunulmaktadır.

  • 1. Yükseklikleri ve tabanları eşit olan paralelyüzlülerin boyutları eşittir.

  • 2. Yükseklikleri eşit olan iki paralelyüzün hacimlerinin oranı taban alanlarının oranına eşittir..

  • 3. Alanları eşit olan paralelyüzlerde taban alanları yüksekliklerle ters orantılıdır..

  • Öklid'in teoremleri yalnızca hacimlerin karşılaştırılması ile ilgilidir, çünkü Öklid muhtemelen cisimlerin hacimlerinin doğrudan hesaplanmasının geometrideki pratik el kitapları meselesi olduğunu düşünüyordu. İskenderiyeli Heron'un uygulamalı eserlerinde küp, prizma, paralel yüzlü ve diğer mekansal figürlerin hacmini hesaplamak için kurallar vardır.


  • Tabanı paralelkenar olan prizmaya paralelyüzlü denir.

  • Tanıma göre paralelyüz, tüm yüzleri paralelkenar olan dörtgen bir prizmadır. Paralel yüzlüler prizmalar gibi olabilir dümdüz Ve eğimli. Şekil 1, eğimli bir paralel boruyu göstermektedir ve Şekil 2, düz bir paralel boruyu göstermektedir.

  • Tabanı dikdörtgen olan dik paralelyüzlüye denir dikdörtgen paralel yüzlü. Dikdörtgen bir paralel yüzlünün tüm yüzleri dikdörtgendir. Dikdörtgen paralel yüzlü modeller bir sınıf, bir tuğla ve bir kibrit kutusudur.

  • Ortak bir uca sahip dikdörtgen paralelyüzlü bir dikdörtgenin üç kenarının uzunluğuna denir. ölçümler. Örneğin 15, 35, 50 mm ölçülerinde kibrit kutuları var. Küp, eşit boyutlara sahip dikdörtgen bir paralel yüzlüdür. Küpün altı yüzü de eşit karelerdir.


  • Paralelyüzün bazı özelliklerini ele alalım.

  • Teorem. Paralel boru, köşegeninin ortası civarında simetriktir.

  • Doğrudan teoremden çıkar paralelyüzün önemli özellikleri:

  • 1. Uçları paralel borunun yüzeyine ait olan ve köşegeninin ortasından geçen herhangi bir bölüm ikiye bölünür; özellikle, bir paralelyüzün tüm köşegenleri bir noktada kesişir ve onun tarafından ikiye bölünür. 2. Paralel borunun karşıt yüzleri paralel ve eşittir


“Çokyüzlü türleri” - Düzenli yıldız şeklinde çokyüzlüler. Dodekahedron. Küçük yıldız şeklinde dodecahedron. Çokyüzlü. Altı yüzlü. Platon'un katıları. Prizmatoid. Piramit. Icosahedron. Oktahedron. Sonlu sayıda düzlemle sınırlı bir cisim. Yıldız oktahedron. İki yüz. Karşılıklılık kanunu. Matematikçi. Tetrahedron.

“Geometrik vücut çokyüzlü” - Çokyüzlü. Prizmalar. Ölçülemeyen miktarların varlığı. Poincaré. Kenar. Hacim ölçümü. Bir paralelyüzlü yüzler. Dikdörtgen paralel yüzlü. Sokaklarda sıklıkla piramit görüyoruz. Çokyüzlü. İlginç gerçekler. İskenderiye feneri. Geometrik şekiller. Uçaklar arasındaki mesafe. Memphis.

“Çokyüzlülerin basamakları” - Bir küpün kenarı. Oktahedron kenarı. Küp ve dodecahedron. Birim tetrahedron. Dodecahedron ve icosahedron. Dodecahedron ve tetrahedron. Oktahedron ve ikosahedron. Çokyüzlü. Düzenli çokyüzlü. Oktahedron ve dodekahedron. Icosahedron ve oktahedron. Birim ikosahedron. Tetrahedron ve ikosahedron. Birim dodekahedron. Oktahedron ve tetrahedron. Küp ve tetrahedron.

““Polihedra” stereometrisi” - Mimaride çokyüzlü. Çokyüzlülerin bölümü. Çokyüzlüye bir isim verin. Büyük Giza Piramidi. Platonik katılar. Mantıksal zinciri düzeltin. Çokyüzlü. Tarihsel referans. Çokyüzlülerin en güzel saati. Problem çözme. Dersin Hedefleri. "Seyircilerle Oynamak" Geometrik şekiller ve isimleri birbirine uyuyor mu?

“Çokyüzlülerin yıldız formları” - Büyük yıldız şeklinde dodecahedron. Şekilde gösterilen çokyüzlü. Yıldız çokyüzlü. Yan kaburgalar. Yıldız küpoktahedra. Yıldız şeklinde kesik ikosahedron. Yıldız şeklinde kesik bir ikosahedronun kesilmesiyle elde edilen bir çokyüzlü. Büyük yıldız şeklindeki dodecahedronun köşeleri. Yıldız şeklindeki ikosahedronlar. Büyük dodekahedron.

“Bir çokyüzlünün bir düzlemle kesiti” - Çokyüzlünün kesiti. Çokgenler. Kesikler bir beşgen oluşturdu. Kesme düzleminin izi. Bölüm. Doğruların kesişme noktasını bulalım. Uçak. Bir küpün kesitini oluşturun. Prizmanın bir kesitini oluşturun. Noktayı buluyoruz. Prizma. Bölüm oluşturma yöntemleri. Ortaya çıkan altıgen. Bir küpün kesiti. Aksiyomatik yöntem.

Toplamda 29 sunum var