Hesaplamalı problemlerin bazı önemli özelliklerini tartıştıktan sonra, dikkatimizi hesaplamalı matematikte problemleri bilgisayarda uygulamaya uygun bir biçime dönüştürmek ve hesaplamalı algoritmaların oluşturulmasına izin vermek için kullanılan yöntemlere çevirelim. Bu yöntemleri hesaplamalı olarak adlandıracağız. Bir dereceye kadar uzlaşmayla, hesaplamalı yöntemler aşağıdaki sınıflara ayrılabilir: 1) eşdeğer dönüşüm yöntemleri; 2)
yaklaşım yöntemleri; 3) doğrudan (kesin) yöntemler; 4) yinelemeli yöntemler; 5) istatistiksel test yöntemleri (Monte Carlo yöntemleri). Belirli bir soruna çözüm hesaplayan bir yöntem oldukça karmaşık bir yapıya sahip olabilir, ancak temel adımları kural olarak belirtilen yöntemlerin uygulanmasıdır. Bunlar hakkında genel bir fikir verelim.
Bu yöntemler, orijinal sorunu aynı çözüme sahip başka bir sorunla değiştirmenize olanak tanır. Yeni problem orijinal problemden daha basitse, daha iyi özelliklere sahipse, bilinen bir çözüm yöntemi varsa veya belki hazır bir program varsa, eşdeğer dönüşümlerin yapılması yararlı olur.
Örnek 3.13. İkinci dereceden denklemin forma eşdeğer bir dönüşümü (tam bir karenin seçilmesi), problemi karekökün hesaplanması problemine indirger ve kökleri için bilinen formüllere (3.2) yol açar.
Eşdeğer dönüşümler bazen orijinal hesaplama probleminin çözümünü tamamen farklı türden bir hesaplama probleminin çözümüne indirgemeyi mümkün kılar.
Örnek 3.14. Doğrusal olmayan bir denklemin kökünü bulma sorunu, fonksiyonun genel minimum noktasını bulma eşdeğer sorununa indirgenebilir. Gerçekten de, fonksiyon negatif değildir ve yalnızca aşağıdaki x değerleri için sıfıra eşit bir minimum değere ulaşır:
Bu yöntemler, orijinal problemin çözümüne bir bakıma orijinal problemin çözümüne yakın olan bir başka probleme yaklaşmayı (yaklaşık olarak) mümkün kılar. Böyle bir değiştirmeden kaynaklanan hataya yaklaşım hatası denir. Kural olarak, bir yaklaşım problemi, yaklaşım hatasının büyüklüğünü ayarlamanıza veya problemin diğer özelliklerini etkilemenize olanak tanıyan bazı parametreler içerir. Yöntem parametreleri belirli bir sınırlayıcı değere yönelirken, yaklaşım hatası sıfıra yöneliyorsa, bir yaklaşım yönteminin yakınsadığını söylemek gelenekseldir.
Örnek 3.15. İntegrali hesaplamanın en basit yollarından biri, integralin boyutunu dikdörtgenler formülüne göre tahmin etmektir.
Adım burada bir yöntem parametresidir. Özel olarak oluşturulmuş bir integral toplamı olduğundan, belirli bir integralin tanımından, dikdörtgen yöntemi yakınlaştığında,
Örnek 3.16. Bir fonksiyonun türevinin tanımını dikkate alarak, yaklaşık hesaplaması için aşağıdaki formülü kullanabilirsiniz. Bu sayısal türev formülünün yaklaşık hatası şu durumlarda sıfıra yönelir:
Yaygın yaklaşım yöntemlerinden biri ayrıklaştırmadır - orijinal problemin sonlu boyutlu bir problemle yaklaşık olarak değiştirilmesi, yani. Girdi verileri ve istenilen çözümün sonlu bir sayı kümesiyle benzersiz şekilde belirlenebildiği bir problem. Sonlu boyutlu olmayan problemler için, bilgisayar yalnızca sonlu sayıda sayıyla çalışabildiğinden, bu adım bilgisayarda daha sonraki uygulamalar için gereklidir. Yukarıdaki Örnek 3.15 ve 3.16'da örnekleme kullanılmıştır. İntegralin tam olarak hesaplanması sonsuz sayıda değerin kullanılmasını gerektirse de (hepsi için yaklaşık değeri a noktalarındaki sonlu sayıda değer kullanılarak hesaplanabilir). Benzer şekilde türevi hesaplama problemi, kesin çözümü, limite geçme işlemini içerir (ve bu nedenle, fonksiyonun sonsuz sayıda değerinin kullanılması, fonksiyonun iki değerine göre türevin yaklaşık bir hesaplamasına indirgenir).
Doğrusal olmayan problemleri çözerken, orijinal problemin yaklaşık olarak daha basit doğrusal problemlerle değiştirilmesinden oluşan çeşitli doğrusallaştırma yöntemleri yaygın olarak kullanılır. Örnek 3.17. Basit aritmetik işlemleri yapabilen bir bilgisayarda değerinin yaklaşık olarak hesaplanması gerekli olsun. Tanım gereği, x'in doğrusal olmayan bir denklemin pozitif bir kökü olduğuna dikkat edin. Parabolün yerine, kendisine teğet olan bir düz çizgi koyalım.
Bu teğetin eksenle kesişme noktası daha iyi bir yaklaşım sağlar ve bunu çözerek yaklaşık bir formül elde ederiz.
Örneğin, alırsanız rafine bir değer elde edersiniz
Farklı sınıftaki hesaplama problemlerini çözerken farklı yaklaşım yöntemleri kullanılabilir; Bunlar, kötü oluşturulmuş problemleri çözmek için düzenlileştirme yöntemlerini içerir. Düzenlileştirme yöntemlerinin kötü koşullandırılmış sorunları çözmek için yaygın olarak kullanıldığını unutmayın.
Bir problemi çözmek için kullanılan yöntem, eğer sınırlı sayıda temel işlem gerçekleştirildikten sonra bir çözüm elde edilmesine izin veriyorsa doğrudan denir.
Örnek 3.18. İkinci dereceden bir denklemin köklerini formüller kullanarak hesaplama yöntemi doğrudan bir yöntemdir. Dört aritmetik işlem ve karekök işlemi burada temel kabul edilir.
Doğrudan yöntemin temel işleminin oldukça karmaşık olabileceğini unutmayın (bir temel veya özel fonksiyonun değerlerini hesaplamak, bir doğrusal cebirsel denklem sistemini çözmek, belirli bir integrali hesaplamak vb.). Temel olarak kabul edilmesi, her halükarda uygulanmasının, sorunun tamamının çözümünü hesaplamaktan önemli ölçüde daha basit olduğu anlamına gelir.
Doğrudan yöntemler oluşturulurken, temel işlem sayısının en aza indirilmesine büyük önem verilmektedir.
Örnek 3.19 (Horner diyagramı). Sorun bir polinomun değerini hesaplamak olsun
verilen katsayılara ve x argümanının değerine göre. Polinomu doğrudan (3.12) formülünü kullanarak hesaplarsanız ve bunu x ile sıralı çarpma yoluyla bulursanız, çarpma ve toplama işlemlerini yapmanız gerekecektir.
Çok daha ekonomik bir hesaplama yöntemine Horner şeması denir. Bir polinomun aşağıdaki eşdeğer formda yazılmasına dayanmaktadır:
Parantezlerin yerleşimi hesaplamaların şu sırasını belirler: Burada sadece çarpma ve toplama işlemleri yapılarak gereken değerin hesaplanması yapılır.
Horner'ın planı ilginçtir çünkü temel işlemlerin sayısı açısından optimal olan bir yöntemin örneğini verir. Genel olarak daha az çarpma ve toplama işlemi yapılması sonucunda hiçbir yöntemle bir değer elde edilemez.
Bazen doğrudan yöntemlere kesin denir; bu, eğer girdi verilerinde hata yoksa ve temel işlemler doğru bir şekilde yapılırsa, ortaya çıkan sonucun da doğru olacağı anlamına gelir. Bununla birlikte, yöntemi bir bilgisayarda uygularken, büyüklüğü yöntemin yuvarlama hatalarına duyarlılığına bağlı olan bir hesaplama hatasının ortaya çıkması kaçınılmazdır. Makine öncesi dönemde geliştirilen birçok doğrudan (kesin) yöntemin, yuvarlama hatalarına karşı aşırı hassasiyet nedeniyle tam olarak makine hesaplamaları için uygun olmadığı ortaya çıktı. Kesin yöntemlerin tümü böyle değildir, ancak tamamen başarılı olmayan "kesin" teriminin, bir yöntemin ideal uygulamasının özelliklerini karakterize ettiğini, ancak gerçek hesaplamalardan elde edilen sonucun kalitesini karakterize etmediğini belirtmekte fayda var.
Bunlar bir problemin çözümüne yönelik ardışık yaklaşımlar oluşturmaya yönelik özel yöntemlerdir. Yöntemin uygulanması bir veya daha fazla başlangıç yaklaşımının seçilmesiyle başlar. Sonraki yaklaşımların her birini elde etmek için, daha önce bulunan yaklaşımlar (yineleme) kullanılarak benzer bir dizi eylem gerçekleştirilir. Bu yinelemeli sürecin sınırsız devamı, teorik olarak çözüme yönelik sonsuz bir yaklaşım dizisi oluşturmamıza olanak tanır.
yineleme dizisi. Eğer bu dizi problemin çözümüne yakınsarsa, yinelemeli yöntemin yakınsadığı söylenir. Yöntemin yakınsadığı başlangıç yaklaşımları kümesine yöntemin yakınsaklık bölgesi denir.
Yinelemeli yöntemlerin bilgisayar kullanarak çok çeşitli sorunların çözümünde yaygın olarak kullanıldığını unutmayın.
Örnek 3.20. Hesaplamak için tasarlanmış iyi bilinen yinelemeli yöntemi ele alalım (burada Newton yöntemi. Rasgele bir başlangıç yaklaşımı ayarlayalım. Örnek 3.17'deki doğrusallaştırma yöntemini kullanarak türetilen formülü kullanarak sonraki yaklaşımı hesaplıyoruz (bkz. formül (3.11)). ayrıca, bir sonraki yaklaşımın yinelenen formül kullanılarak hesaplandığı yinelemeli bir dizi elde ederiz.
Bu yöntemin herhangi bir başlangıç yaklaşımında yakınsak olduğu bilinmektedir, dolayısıyla yakınsama bölgesi tüm pozitif sayıların kümesidir.
Bunu -bitlik ondalık bilgisayarda değeri hesaplamak için kullanalım. Ayarlayalım (örnek 3.17'deki gibi). O zaman daha fazla hesaplamalar anlamsızdır çünkü bit ağının sınırlı doğası nedeniyle sonraki tüm iyileştirmeler aynı sonucu verecektir. Ancak kesin değerle karşılaştırıldığında, üçüncü yinelemede zaten 6 doğru anlamlı rakamın elde edildiği görülmektedir.
Örnek olarak Newton'un yöntemini kullanarak yinelemeli yöntemlere (ve yalnızca onlar için değil) ilişkin bazı tipik sorunları tartışacağız. Yinelemeli yöntemler doğası gereği yaklaşıktır; sonuçta ortaya çıkan yaklaşımların hiçbiri çözümün kesin değeri değildir. Bununla birlikte, yakınsak iterasyon yöntemi prensipte verilen herhangi bir doğrulukla bir çözüm bulmayı mümkün kılar. Bu nedenle, yinelemeli yöntem kullanıldığında, gerekli doğruluk her zaman belirtilir ve yinelemeli süreç elde edilir edilmez kesintiye uğrar.
Yöntemin yakınsaması elbette önemli olsa da yöntemin pratikte kullanılmasını tavsiye etmek yeterli değildir. Yöntem çok yavaş yakınsıyorsa (örneğin, %1 doğrulukta bir çözüm elde etmek için yinelemeler yapmanız gerekir), o zaman bilgisayar hesaplamaları için uygun değildir. Newton yöntemini de içeren hızlı yakınsak yöntemler pratik değere sahiptir (hesaplamanın doğruluğunun yalnızca üç yinelemede elde edildiğini hatırlayın). Yakınsama oranını ve yinelemeli yöntemlerin uygulanabilirlik koşullarını teorik olarak incelemek için, hesaplamalardan önce bile yöntemin kalitesi hakkında bazı sonuçlara varmayı mümkün kılan, önsel hata tahminleri adı verilen tahminler türetilir.
Newton'un yöntemi için böyle iki a priori tahmin sunalım. Bilinsin ki, herkes için ve ardışık iki yaklaşımın hataları aşağıdaki eşitsizlikle ilişkilidir:
Burada yaklaşımın bağıl hatasını karakterize eden bir değer verilmiştir. Bu eşitsizlik, yöntemin ikinci dereceden yakınsama oranının çok yüksek olduğunu gösterir: her yinelemede "hata"nın karesi alınır. Bunu ilk yaklaşımın hatasıyla ifade edersek eşitsizliği elde ederiz
Başlangıç yaklaşımının iyi bir seçiminin rolü buradan kaynaklanmaktadır. Değer ne kadar küçük olursa yöntem o kadar hızlı yakınsar.
Yinelemeli yöntemlerin pratik uygulaması her zaman yinelemeli süreci sonlandırmak için bir kriter seçme ihtiyacıyla ilişkilidir. Hesaplamalar süresiz olarak devam edemez ve belirli bir doğruluğa ulaşma gibi bazı kriterlere göre kesintiye uğratılmalıdır. Bu amaç için önsel tahminlerin kullanılması çoğunlukla imkansız veya etkisiz hale gelir. Yöntemin davranışını niteliksel olarak doğru bir şekilde tanımlamasına rağmen, bu tür tahminler fazla tahmin edilmektedir ve çok güvenilmez niceliksel bilgiler sağlamaktadır. Genellikle a priori tahminler bilinmeyenler içerir
miktarlar (örneğin, tahminler (3.14), (3.15) a miktarını içerir) veya çözümle ilgili bazı ek bilgilerin varlığını ve ciddi kullanımını ima eder. Çoğu zaman, bu tür bilgiler mevcut değildir ve edinimi, genellikle orijinalinden daha karmaşık olan ek sorunları çözme ihtiyacıyla ilişkilidir.
Belirli bir doğruluğa ulaşıldığında bir sonlandırma kriteri oluşturmak için, kural olarak, posteriori hata tahminleri adı verilen kullanılır - hatanın büyüklüğünün, bilinen değerler veya hesaplama işlemi sırasında elde edilen değerler aracılığıyla tahmin edildiği eşitsizlikler. Bu tür tahminler hesaplamalar başlamadan önce kullanılamasa da hesaplama süreci sırasında belirsizliğin somut bir ölçümünü sağlarlar.
Örneğin, Newton'un yöntemi (3.13) için aşağıdaki a posteriori tahmin geçerlidir:
S. Ulam, nükleer reaktördeki nötronların davranışını bilgisayarda simüle etmek için rastgele sayılar kullandı. Bu yöntemler, büyük sistemlerin modellenmesinde vazgeçilmez olabilir, ancak bunların ayrıntılı sunumu, olasılık teorisi ve matematiksel istatistik araçlarının önemli ölçüde kullanılmasını gerektirir ve bu kitabın kapsamı dışındadır.
1.sınıf öğrencileri için yönergeler
Bazey Alexander Anatolyevich
Odessa 2008
EDEBİYAT
1 Hemming R.V. Bilim adamları ve mühendisler için sayısal yöntemler. – M.: Nauka, 1968. – 400 s.
2 Blazhko S.N. Küresel astronomi dersi. – Moskova, Leningrad, OGIZ, 1948. – 416 s.
3 Shchigolev B.M. Gözlemlerin matematiksel işlenmesi. – M.: Nauka, 1969. – 344 s.
4 Krylov V.I., Bobkov V.V., Monastyrny P.I. Hesaplamalı yöntemler. – M.: Nauka, 1977. cilt I, cilt II – 400 s.
5 Hudson D. Fizikçiler için istatistik. – M.: Mir, 1967. – 244 s.
6.Berman G.N. Muhasebe teknikleri. – Moskova, 1953. – 88 s.
7.Rumshinsky L.Z. Deney sonuçlarının matematiksel işlenmesi. – Moskova, Nauka 1971. – 192 s.
8. Kalitkin N.N. Sayısal yöntemler. – Moskova, Nauka 1978. – 512 s.
9. Filchakov P.F. Uygulamalı matematiğin sayısal ve grafiksel yöntemleri. – Kiev, “Naukova Dumka”, 1970. – 800 s.
10.Fikhtengolts G.M. Diferansiyel ve integral hesabının kursu, cilt 1-3. – Moskova, Nauka 1966.
Yaklaşık hesaplamalar 2
Çizim hakkında
Pürüzsüzleştirme 10
Yaklaşım 12
Doğrultma (doğrusallaştırma) 13
En küçük kareler yöntemi 15
İnterpolasyon 24
Lagrange enterpolasyon polinomu 26
Lagrange formülü 29'un kalıntı terimi
30 değişken adımlı bir tablo için Newton enterpolasyon polinomu
34 sabit adımlı bir tablodan enterpolasyon
Stirling, Bessel, Newton'un enterpolasyon polinomları 37
İki bağımsız değişkenden oluşan bir işlev tablosundan enterpolasyon yapma 42
Tabloya göre farklılaştırma 44
Denklemlerin sayısal çözümü 46
İkilik (ikiye bölme yöntemi) 46
Basit yineleme yöntemi 47
Newton yöntemi 50
Tek değişkenli bir fonksiyonun minimumunu bulma 51
Altın oran yöntemi 51
Parabol yöntemi 54
Belirli integralin hesaplanması 56
Yamuk formülü 59
Ortalama formülü veya dikdörtgen formülü 61
Simpson formülü 62
Adi diferansiyel denklemlerin çözümü. Cauchy sorunu 64
Klasik Euler yöntemi 66
Rafine Euler yöntemi 67
Tahmin ve düzeltme yöntemi 69
Runge-Kutta yöntemleri 71
Harmonik analiz 74
Ortogonal fonksiyon sistemleri 78
Yöntem 12 koordinatları 79
YAKLAŞIK HESAPLAMALAR
Basit bir problemi çözelim. Diyelim ki istasyona 1247 m uzaklıkta bir öğrenci yaşıyor. Tren 17:38'de kalkıyor. Ortalama hızı 6 km/saat olan bir öğrenci, trenin kalkmasından ne kadar süre önce evden ayrılmalıdır?
Çözümü hemen buluyoruz:
.
Ancak herhangi birinin bu matematiksel açıdan doğru çözümü gerçekten kullanması pek mümkün değildir ve nedeni de budur. Hesaplamalar kesinlikle doğru bir şekilde yapıldı, ancak istasyona olan mesafe doğru bir şekilde ölçüldü mü? Bir yayanın yolunu hata yapmadan ölçmek mümkün mü? Her yöne hareket eden insanlarla ve arabalarla dolu bir şehirde, bir yaya kesin olarak tanımlanmış bir çizgi boyunca yürüyebilir mi? Ve 6 km/saatlik hız kesinlikle doğru bir şekilde belirlendi mi? Ve benzeri.
Herkesin bu durumda "matematiksel olarak kesin" değil, "pratik" bir çözümü tercih edeceği, yani yürüyüşün 12-15 dakika süreceğini tahmin edip birkaç dakika daha ekleyeceği oldukça açık. emin olmak için dakikalar.
Öyleyse neden saniyeleri ve onların kesirlerini hesaplayıp pratikte kullanılamayacak kadar doğruluk için çabalayasınız ki?
Matematik kesin bir bilimdir, ancak "kesinlik" kavramının kendisinin açıklığa kavuşturulması gerekir. Bunu yapmak için sayı kavramıyla başlamalıyız çünkü sayıların doğruluğu ve ilk verilerin güvenilirliği hesaplama sonuçlarının doğruluğunu büyük ölçüde belirler.
Sayıları elde etmenin üç kaynağı vardır: sayma, ölçme ve çeşitli matematiksel işlemleri gerçekleştirme
Sayılacak öğelerin sayısı azsa ve zaman içinde sabitse, o zaman şunu elde ederiz: kesinlikle doğru sonuçlar. Örneğin bir elde 5 parmak, bir kutuda ise 300 adet rulman bulunmaktadır. Durum farklı: 1979'da Odessa'da 1.000.000 kişi yaşıyordu. Sonuçta insanlar doğar ve ölür, gelir ve gider; sayıları, sayımın tamamlandığı süre boyunca bile her zaman değişir. Yani aslında demek istediğimiz şu; yaklaşık 1.000.000 nüfus vardı, belki 999.125 veya 1.001.263 veya 1.000.000'e yakın başka bir sayı. Bu durumda 1.000.000 verir. yaklaşıkşehir sakinlerinin sayısı.
Hiçbir ölçüm kesinlikle doğru bir şekilde gerçekleştirilemez. Her cihaz bir çeşit hata veriyor. Ayrıca, aynı cihazı kullanarak aynı miktarı ölçen iki gözlemci genellikle biraz farklı sonuçlar elde eder; sonuçların tam olarak aynı olması nadir bir istisnadır.
Cetvel gibi basit bir ölçüm cihazının bile bir "cihaz hatası" vardır - cetvelin kenarları ve düzlemleri ideal düz çizgilerden ve düzlemlerden biraz farklıdır, cetvel üzerindeki vuruşlar kesinlikle eşit mesafelerde uygulanamaz ve vuruşların kendisi belli bir kalınlığa sahip; bu nedenle ölçüm yaparken darbelerin kalınlığından daha doğru sonuçlar alamıyoruz.
Masanın uzunluğunu ölçtüyseniz ve 1360,5 mm'lik bir değer aldıysanız, bu kesinlikle masanın uzunluğunun tam olarak 1360,5 mm olduğu anlamına gelmez - eğer bu masa başka bir masayı ölçerse veya ölçümü tekrarlarsanız, o zaman bir tablo elde edebilirsiniz. değeri hem 1360,4 mm hem de 1360,6 mm'dir. 1360,5 mm sayısı tablanın uzunluğunu ifade etmektedir. yaklaşık olarak.
Matematiksel işlemlerin tümü hatasız gerçekleştirilemez. Kökü çıkarmak, sinüs veya logaritmayı bulmak, hatta mutlak hassasiyetle bölmek her zaman mümkün değildir.
İstisnasız tüm ölçümler, ölçülen büyüklüklerin yaklaşık değerlerine yol açar.. Bazı durumlarda kabaca ölçümler yapılır, daha sonra büyük hatalar elde edilir; dikkatli ölçümlerle hatalar daha küçük olur. Ölçümlerde mutlak doğruluk hiçbir zaman sağlanamaz.
Şimdi sorunun ikinci yönünü ele alalım. Pratikte mutlak doğruluk gerekli midir ve yaklaşık sonuç hangi değerdir?
Bir elektrik hattını veya gaz boru hattını hesaplarken, hiç kimse destekler arasındaki mesafeyi bir milimetre hassasiyetle veya bir borunun çapını bir mikron hassasiyetiyle belirleyemez. Teknoloji ve inşaatta her parça veya yapı, yalnızca toleranslar olarak adlandırılan belirli bir doğruluk dahilinde üretilebilir. Bu toleranslar, parçanın veya yapının malzemesine, boyutuna ve amacına bağlı olarak bir mikrondan milimetre ve santimetreye kadar değişir. Bu nedenle bir parçanın boyutlarını belirlemek için gerekenden daha büyük bir doğrulukla hesaplamalar yapmanın bir anlamı yoktur.
1) Hesaplamalar için ilk veriler kural olarak hatalara sahiptir, yani yaklaşık değerlerdir;
2) Genellikle artan bu hatalar hesaplama sonuçlarına da yansır. Ancak uygulama doğru verilere ihtiyaç duymaz, ancak büyüklüğünün önceden belirlenmesi gereken bazı kabul edilebilir hataların olduğu sonuçlardan memnundur.
3) Sonucun gerekli doğruluğunu sağlamak ancak kaynak verilerin yeterince doğru olması ve hesaplamaların getirdiği tüm hataların dikkate alınması durumunda mümkündür.
4) Sorunu çözerken minimum emek ve zaman harcamasını sağlamaya çalışarak yaklaşık sayılarla hesaplamalar yaklaşık olarak yapılmalıdır.
Tipik olarak, teknik hesaplamalarda izin verilen hatalar %0,1 ila %5 arasında değişir, ancak bilimsel konularda bunlar yüzde binde birine kadar azaltılabilir. Örneğin, Ay'ın ilk yapay uydusu fırlatılırken (31 Mart 1966), uydunun ay çevresine girebilmesi için yaklaşık 11.200 m/sn'lik fırlatma hızının saniyede birkaç santimetrelik bir doğrulukla sağlanması gerekiyordu. Güneş çevresindeki bir yörüngeden daha fazla.
Ayrıca aritmetik kurallarının tüm sayıların kesin olduğu varsayımına göre türetildiğine dikkat edin. Bu nedenle, yaklaşık rakamlarla yapılan hesaplamalar, kesin rakamlarla yapıldığı gibi yapılırsa, gerçekte olmayan bir doğruluk izlenimi yaratılır. Gerçek bilimsel ve özellikle matematiksel doğruluk, neredeyse her zaman kaçınılmaz hataların varlığının tam olarak belirtilmesinden ve bunların sınırlarının belirlenmesinden oluşur.
İkinci ve üçüncü dereceden determinant kavramlarına dayanarak, benzer şekilde dereceli determinant kavramını da tanıtabiliriz. N. Üçüncüden yüksek dereceli determinantlar, kural olarak, paragraf 1.3'te formüle edilen ve herhangi bir derecedeki determinantlar için geçerli olan determinantların özellikleri kullanılarak hesaplanır.
9 0 numaralı determinantın özelliğini kullanarak, 4. dereceden bir determinantın tanımını tanıtıyoruz:
Örnek 2. Uygun bir genişletme kullanarak hesaplayın.
Benzer şekilde 5., 6. vb. sayıların determinantı kavramı tanıtılmıştır. emir. Yani n. mertebenin determinantı:
.
Daha önce tartışılan 2. ve 3. dereceden determinantların tüm özellikleri, n'inci dereceden determinantlar için de geçerlidir.
Belirleyicileri hesaplamak için ana yöntemleri ele alalım N-inci sipariş.
Yorum: Bu yöntemi uygulamadan önce, determinantların temel özelliklerini kullanarak, belirli bir satır veya sütunun elemanlarından biri hariç hepsini sıfıra çevirmek faydalıdır. (Verimli sipariş azaltma yöntemi)
Üçgen forma indirgeme yöntemi ana köşegenin bir tarafında bulunan tüm elemanları sıfıra eşit olduğunda determinantın böyle bir dönüşümünden oluşur. Bu durumda determinant, ana köşegeninin elemanlarının çarpımına eşittir.
Örnek 3.Üçgen forma indirgeyerek hesaplayın.
Örnek 4. Etkili sıra azaltma yöntemini kullanarak hesaplama yapın
.
Çözüm: 4 0 determinantın özelliğine göre ilk satırdan 10 faktörünü çıkaracağız ve ardından ikinci satırı sırasıyla 2, 2, 1 ile çarpıp birinci, üçüncü ve dördüncü ile toplayacağız. sırasıyla satırlar (özellik 8 0).
.
Ortaya çıkan determinant, ilk sütunun elemanlarına genişletilebilir. Sarrus (üçgen) kuralı kullanılarak hesaplanan üçüncü dereceden bir determinant'a indirgenecektir.
Örnek 5. Determinantı üçgen forma indirgeyerek hesaplayın.
.
Örnek 3. Yineleme ilişkilerini kullanarak hesaplayın.
.
.
Ders 4. Ters matris. Matris sıralaması.
Tanım 1. Kare n mertebeden A matrisi denir dejenere olmayan, eğer belirleyicisi | A| ≠ 0. Şu durumda | A| = 0, A matrisi çağrılır dejenere.
Yalnızca kare tekil olmayan matrisler A için ters matris A-1 kavramı tanıtılmıştır.
Tanım 2 . Matris A-1 denir tersi kare tekil olmayan bir matris A için, eğer A -1 A = AA -1 = E ise, burada E mertebeden birim matristir N.
Tanım 3
.
Matris 
isminde ilhak edilmiş elemanları cebirsel tamamlayıcılardır 
aktarılmış matris 
.
, Nerede 
.
A -1 A = AA -1 = E hesaplamasının doğruluğunu kontrol ediyoruz. (E birim matristir)
Matrisler A ve A -1 karşılıklı. Eğer | A| = 0 ise ters matris mevcut değildir.
Örnek 1. A matrisi veriliyor. Tekil olmadığından emin olun ve ters matrisi bulun. 
.
Çözüm: 
. Bu nedenle matris tekil değildir.
Ters matrisi bulalım. A matrisinin elemanlarının cebirsel tümleyenlerini oluşturalım.
Aldık 
.
Hem problemdeki başlangıç verilerinin hem de çözümünün sunumu - bir sayı veya sayılar kümesi olarak
Teknik uzmanlık mühendislerinin eğitim sisteminin önemli bir bileşenidir.
Hesaplamalı yöntemlerin temeli şunlardır:
Wikimedia Vakfı. 2010.
Elektroanalitik kimya yöntemleri- İçindekiler 1 Elektroanalitik kimya yöntemleri 2 Giriş 3 Teorik kısım ... Wikipedia
Dijital Sinyal Kodlama Yöntemleri- Bu makalede bilgi kaynaklarına bağlantılar bulunmamaktadır. Bilgilerin doğrulanabilir olması gerekir, aksi takdirde sorgulanabilir ve silinebilir. Yapabilirsin... Vikipedi
GAZ DİNAMİĞİ SAYISAL YÖNTEMLER- hesaplamalı algoritmalara dayalı gaz dinamiği problemlerini çözme yöntemleri. Gaz dinamiği problemlerini çözmek için sayısal yöntemler teorisinin ana yönlerini ele alalım, gaz dinamiği denklemlerini ataletteki korunum yasaları biçiminde yazalım... ... Matematik Ansiklopedisi
DİFÜZYON YÖNTEMLERİ- kinetik çözme yöntemleri. difüzyon yaklaşım denklemlerini değiştiren nötron (veya başka parçacık) taşıma denklemleri. Difüzyon yaklaşımı asimptotik denklemin doğru formunu verdiğinden. taşıma denklemini çözme (kaynaklardan uzak ve... ... Matematik Ansiklopedisi
GULISH FONKSİYONLARI MİNİMİZASYON YÖNTEMLERİ- çok değişkenli fonksiyonların minimumlarını bulmak için sayısal yöntemler. Aşağıdan sınırlı, bağımsız değişkenlerine göre iki kez sürekli türevlenebilir, belirli bir vektör için (transpoze işareti) aşağıdakileri aldığı bilinen bir fonksiyon verilsin... ... Matematik Ansiklopedisi
GOST R 53622-2009: Bilgi teknolojileri. Bilgi ve bilgisayar sistemleri. Yaşam döngüsünün aşamaları ve aşamaları, belgelerin türleri ve eksiksizliği- Terminoloji GOST R 53622 2009: Bilgi teknolojileri. Bilgi ve bilgisayar sistemleri. Yaşam döngüsünün aşamaları ve aşamaları, orijinal belgenin türleri ve eksiksizliği: 3.1 donanım yazılım platformu: Birleşik bir araç seti... ...
Uygulamalı bilgi işlem sistemleri- Uygulamalı hesaplama sistemleri veya ABC, kombinatoryal mantığa ve lambda hesabına dayalı nesne hesaplama sistemlerini içerir. Bu sistemlerde önemli ölçüde geliştirilen tek şey nesnenin fikridir. ... ... Vikipedi'de
GOST 24402-88: Teleişleme ve bilgisayar ağları. Terimler ve tanımlar- Terminoloji GOST 24402 88: Teleişleme ve bilgisayar ağları. Terimler ve tanımlar orijinal belge: SİSTEM VE AĞ TÜRLERİ 90. Abone veri işleme sistemi Abone sistemi Abone sistemi Veri işleme sistemi,… … Normatif ve teknik dokümantasyon açısından sözlük referans kitabı
ST SEV 4291-83: Bilgisayar makineleri ve veri işleme sistemleri. 100 ve 200 MB kapasiteli manyetik disk paketleri. Teknik gereksinimler ve test yöntemleri- Terminoloji ST SEV 4291 83: Bilgisayar makineleri ve veri işleme sistemleri. 100 ve 200 MB kapasiteli manyetik disk paketleri. Teknik gereksinimler ve test yöntemleri: 8. VTAA bilgi yüzeyinden gelen sinyal genliği Tüm yüzey boyunca ortalaması alınır ... Normatif ve teknik dokümantasyon açısından sözlük referans kitabı
Jeofizik araştırma yöntemleri- minerallerin araştırılması ve araştırılması amacıyla yer kabuğunun yapısının fiziksel yöntemler kullanılarak incelenmesi; arama jeofiziği jeofiziğin ayrılmaz bir parçasıdır (Bkz. Jeofizik). G.m.r. fiziksel alanların incelenmesine dayalı... ... Büyük Sovyet Ansiklopedisi
Belirleyiciler
Belirleyici kavramı
N'inci dereceden herhangi bir kare matris, adı verilen bir sayıyla ilişkilendirilebilir. determinant (belirleyici)
A matrisi aşağıdaki gibi gösterilir: 
, veya , veya det A.
Birinci dereceden bir matrisin determinantı, veya birinci dereceden determinant, elemandır
İkinci dereceden determinant(ikinci dereceden bir matrisin determinantı) şu şekilde hesaplanır:
 |
Dolayısıyla ikinci dereceden determinant toplamı 2=2'dir! her biri 2 faktörün çarpımı olan terimler - A matrisinin elemanları, her satırdan ve her sütundan birer tane. Terimlerden biri “+”, diğeri ise “-” işaretiyle alınır.
Belirleyiciyi bulun
Üçüncü dereceden determinant (bir kare matrisin üçüncü dereceden determinantı) şu şekilde verilir:
Dolayısıyla üçüncü dereceden determinant toplamı 6=3'tür! Her biri 3 faktörün ürünü olan terimler - A matrisinin elemanları, her satırdan ve her sütundan birer tane. Terimlerin yarısı “+” işaretiyle, diğer yarısı ise “-” işaretiyle alınır.
Üçüncü dereceden determinantı hesaplamanın ana yöntemi sözde üçgen kuralı (Sarrus kuralı): “+” işaretli toplama dahil edilen üç terimden ilki ana köşegenin elemanlarının çarpımı, ikincisi ve üçüncüsü iki üçgenin köşelerinde bulunan elemanların çarpımıdır. tabanlar ana köşegenlere paraleldir; Toplamda yer alan “-” işaretli üç terim de benzer şekilde ancak ikinci (yan) köşegene göre tanımlanır. Aşağıda üçüncü dereceden determinantları hesaplamak için 2 şema bulunmaktadır
B)
Pirinç. 3. dereceden determinantların hesaplanmasına yönelik şemalar
Belirleyiciyi bulun:
N'inci dereceden (n 4) bir kare matrisin determinantı, determinantların özellikleri kullanılarak hesaplanır.
Determinantların temel özellikleri. Belirleyicileri hesaplama yöntemleri
Matris belirleyicileri aşağıdaki temel özelliklere sahiptir:
1. Matrisin yeri değiştirildiğinde determinant değişmez.
2. Determinantta iki satır (veya sütun) yer değiştirirse determinantın işareti değişecektir.
3. İki orantılı (özellikle eşit) satıra (sütunlara) sahip bir determinant sıfıra eşittir.
4. Bir determinanttaki satır (sütun) sıfırlardan oluşuyorsa determinant sıfıra eşittir.
5. Herhangi bir satırın (veya sütunun) elemanlarının ortak çarpanı determinant işaretinden çıkarılabilir.
6. Bir satırın (veya sütunun) tüm öğelerine, başka bir satırın (veya sütunun) karşılık gelen öğelerini aynı sayıyla çarparak eklersek determinant değişmeyecektir.
7. Köşegen ve üçgen (üst ve alt) matrislerin determinantı köşegen elemanların çarpımına eşittir.
8. Kare matrislerin çarpımının determinantı, determinantlarının çarpımına eşittir.
