Числові ряди: визначення, властивості, ознаки збіжності, приклади, рішення. Ознака даламбера збіжності знакопозитивних рядів

Ознака збіжності Даламбера

Жан Лерон Даламбер – знаменитий французький математик 18-го століття. Взагалі Даламбер спеціалізувався на диференціальних рівняннях і на підставі своїх досліджень займався баллістикою, щоб у Його Величності краще літали гарматні ядра. Заодно й про числові лави не забув, недаремно потім шеренги наполеонівських військ так чітко сходилися і розходилися.

Перед тим як сформулювати саму ознаку, розглянемо важливе питання: Коли потрібно застосовувати ознаку збіжності Даламбер?

Спочатку почнемо із повторення. Згадаймо випадки, коли потрібно застосовувати найходовіший гранична ознака порівняння. Граничний ознака порівняння застосовується тоді, як у загальному члені ряду: 1) У знаменнику перебуває многочлен. 2) Багаточлени знаходяться і в чисельнику, і в знаменнику. 3) Один або обидва багаточлени можуть бути під коренем.

Основні передумови застосування ознаки Даламбера такі:

1) До загального члена ряду («начинку» ряду) входить якесь число в мірі, наприклад, і так далі. Причому, зовсім не важливо, де ця штуковина розташовується, у чисельнику чи знаменнику – важливо, що вона там присутня.

2) До загального члена ряду входить факторіал. Що таке факторіал? Нічого складного, факторіал – це просто згорнутий запис твору: ……

! При використанні ознаки Даламбера нам доведеться розписувати факторіал докладно. Як і в попередньому пункті факторіал може розташовуватися вгорі або внизу дробу.

3) Якщо в загальному члені ряду є «ланцюжок множників», наприклад, . Цей випадок трапляється рідко, але! При дослідженні такого ряду часто припускаються помилки – див. Приклад 6.

Разом із ступенями чи (і) факторіалами в начинці ряду часто зустрічаються багаточлени, це не змінює справи – потрібно використовувати ознаку Даламбера.

Крім того, у загальному члені ряду може зустрітися одночасно і ступінь та факторіал; може зустрітися два факторіали, два ступені, важливо щоб там знаходилося хоч щосьз розглянутих пунктів – і це передумова використання ознаки Даламбера.

Ознака Даламбера: Розглянемо позитивний числовий ряд. Якщо існує межа відношення наступного члена до попереднього: то: а) Приряд сходитьсярозходитьсяознака не дає відповіді. Потрібно використовувати іншу ознаку. Найчастіше одиниця виходить у тому випадку, коли ознака Даламбера намагаються застосувати там, де потрібно використовувати граничну ознаку порівняння.

У кого досі проблеми з межами або нерозуміння меж, зверніться до уроку Межі. Приклади рішень. Без розуміння межі та вміння розкривати невизначеність далі, на жаль, не просунутися.

Радикальна ознака Коші

Огюстен Луї Коші – ще знаменитіший французький математик. Біографію Коші вам може розповісти будь-який студент технічної спеціальності. У наймальовничіших фарбах. Не випадково це прізвище висічено на першому поверсі Ейфелевої вежі.

Ознака збіжності Коші для позитивних числових рядів чимось нагадує щойно розглянутий ознака Даламбера.

Радикальна ознака Коші:Розглянемо позитивний числовий ряд. Якщо є межа:, то: а) Приряд сходиться. Зокрема, ряд сходиться за . б) Приряд розходиться. Зокрема, ряд розходиться за . в при ознака не дає відповіді. Потрібно використовувати іншу ознаку. Цікаво відзначити, що якщо ознака Коші не дає нам відповіді на питання про збіжність ряду, то ознака Даламбера теж не дасть нам відповіді. Але якщо ознака Даламбера дає відповіді, то ознака Коші цілком може «спрацювати». Тобто ознака Коші є в цьому сенсі сильнішою ознакою.

Коли потрібно використовувати радикальну ознаку Коші?Радикальна ознака Коші зазвичай використовує у випадках, коли загальний член ряду ПОВНІСТТЮзнаходиться в ступеню, залежить від «ен». Або коли корінь «добре» витягується із загального члена низки. Є ще екзотичні випадки, але ними голову не забиватимемо.

Ознаки збіжності рядів.
Ознака Даламбер. Ознаки Коші

Працюйте, працюйте - а розуміння прийде потім
Ж.Л. Даламбер

Усіх вітаю з початком навчального року! Сьогодні 1 вересня, і я вирішив на честь свята познайомити читачів з тим, що ви давно з нетерпінням чекали і прагнули дізнатися ознаками збіжності числових позитивних рядів. Свято Першого вересня та мої привітання завжди актуальні, нічого страшного, якщо насправді за вікном літо, ви ж зараз утретє перездаєте іспит, навчайтеся, якщо зайшли на цю сторінку!

Для тих, хто тільки починає вивчати ряди, рекомендую спочатку ознайомитися зі статтею Числові ряди для чайників. Власне, цей віз є продовженням банкету. Отже, сьогодні на уроці ми розглянемо приклади та рішення на теми:

Однією з поширених ознак порівняння, що у практичних прикладах, є ознака Даламбера. Ознаки Коші зустрічаються рідше, але також дуже популярні. Як завжди, постараюся викласти матеріал просто, доступно та зрозуміло. Тема не найскладніша, і всі завдання певною мірою трафаретні.

Ознака збіжності Даламбера

Перед тим як сформулювати саму ознаку, розглянемо важливе питання:
Коли потрібно застосовувати ознаку збіжності Даламбер?

1) У знаменнику знаходиться багаточлен.
2) Багаточлени знаходяться і в чисельнику, і в знаменнику.
3) Один або обидва багаточлени можуть бути під коренем.
4) Багаточленів та коренів, зрозуміло, може бути і більше.

Основні передумови застосування ознаки Даламбера такі:

1) До загального члена ряду («начинку» ряду) входить якесь число в ступені, наприклад, , , і так далі. Причому, зовсім не важливо, де ця штуковина розташовується, у чисельнику чи знаменнику – важливо, що вона там присутня.

2) До загального члена ряду входить факторіал. З факторіалами ми схрестили шпаги ще на уроці Числова послідовність та її межа. Втім, не завадить знову розкинути скатертину-самобранку:

…

…

Ознака Даламбера: Розглянемо позитивний числовий ряд. Якщо існує межа відношення наступного члена до попереднього: , то:
а) При ряд сходиться
б) При ряд розходиться
в при ознака не дає відповіді. Потрібно використовувати іншу ознаку. Найчастіше одиниця виходить у тому випадку, коли ознака Даламбера намагаються застосувати там, де потрібно використовувати граничну ознаку порівняння.

А зараз довгоочікувані приклади.

Приклад 1

Ми, що у спільному члені низки ми маємо , але це правильна передумова те, що треба використовувати ознака Даламбера. Спочатку повне рішення та зразок оформлення, коментарі нижче.

Використовуємо ознаку Даламбер:

сходиться.

(1) Складаємо ставлення наступного члена до попереднього: . З умови бачимо, що загальний член ряду . Для того, щоб отримати наступний член ряду необхідно замість підставити: .
За певного досвіду рішення цей крок можна пропускати.
(3) У чисельнику розкриваємо дужки. У знаменнику виносимо четвірку зі ступеня.
(4) Скорочуємо на . Константу виносимо за межі. У чисельнику в дужках наводимо подібні доданки.
(5) Невизначеність усувається стандартним способом – розподілом чисельника та знаменника на «ен» у старшому ступені.
(6) Почленно ділимо чисельники на знаменники, і вказуємо доданки, які прагнуть нуля.
(7) Спрощуємо відповідь і робимо позначку, що з висновком про те, що за ознакою Даламбера досліджуваний ряд сходиться.

У розглянутому прикладі у загальному члені низки у нас зустрівся багаточлен 2-го ступеня. Що робити, якщо там багаточлен 3-го, 4-го або вищого ступеня? Справа в тому, що якщо дано багаточлен вищого ступеня, то виникнуть труднощі з розкриттям дужок. У цьому випадку можна застосовувати "турбо"-метод рішення.

Приклад 2

Візьмемо схожий ряд та досліджуємо його на збіжність

Спочатку повне рішення, потім коментарі:

Використовуємо ознаку Даламбер:

Таким чином, досліджуваний ряд сходиться.

(1) Складаємо відношення.
(2) Позбавляємося чотириповерховості дробу.
(3) Розглянемо вираз у чисельнику та вираз у знаменнику. Ми бачимо, що в чисельнику потрібно розкривати дужки і зводити в четвертий ступінь: чого робити зовсім не хочеться. А для тих, хто не знайомий з біномом Ньютона, це завдання виявиться ще складнішим. Проаналізуємо старші ступені: якщо ми вгорі розкриємо дужки , то отримаємо старший ступінь . Внизу у нас такий самий старший ступінь: . За аналогією з попереднім прикладом, очевидно, що з почленном розподілі чисельника і знаменника у нас межі вийде одиниця. Або, як кажуть математики, багаточлени і – одного порядку зростання. Таким чином, цілком можна обвести ставлення простим олівцем і відразу вказати, що ця штука прагне одиниці. Аналогічно розправляємося з другою парою багаточленів: і вони теж одного порядку зростання, та його ставлення прагне одиниці.

Насправді, таку «халтуру» можна було провернути і в Прімері № 1, але для багаточлена 2-го ступеня таке рішення виглядає все-таки несолидно. Особисто я роблю так: якщо є багаточлен (або багаточлени) першого або другого ступеня, я використовую «довгий» спосіб розв'язання Прикладу 1. Якщо трапляється багаточлен 3 і більш високих ступенів, я використовую «турбо»-метод на зразок Прикладу 2.

Приклад 3

Дослідити ряд на збіжність

Розглянемо типові приклади з факторіалами:

Приклад 4

Дослідити ряд на збіжність

До загального члена ряду входить і ступінь, і факторіал. Зрозуміло, як день, що тут треба використати ознаку Даламбера. Вирішуємо.

Таким чином, досліджуваний ряд розходиться.

(1) Складаємо відношення. Повторюємо ще раз. За умовою загальний член ряду: . Щоб отримати наступний член ряду, замість потрібно підставити, таким чином: .
(2) Позбавляємося чотириповерховості дробу.
(3) Відщипуємо сімку від ступеня. Факторіали розписуємо докладно. Як це зробити – див. початок уроку або статтю про числові послідовності.
(4) Скорочуємо все, що можна скоротити.
(5) Константу виносимо за межі. У чисельнику розкриваємо дужки.
(6) Невизначеність усуваємо стандартним способом – розподілом чисельника та знаменника на «ен» у старшому ступені.

Приклад 5

Дослідити ряд на збіжність

Повне рішення та зразок оформлення наприкінці уроку

Приклад 6

Дослідити ряд на збіжність

Іноді зустрічаються ряди, які у своїй начинці містять ланцюг множників, цей тип ряду ми ще не розглядали. Як дослідити ряд із «ланцюжком» множників? Використовувати ознаку Даламбер. Але спочатку для розуміння того, що відбувається, розпишемо ряд докладно:

З розкладання ми бачимо, що у кожного наступного члена ряду додається додатковий множник у знаменнику, тому якщо загальний член ряду , то наступний член ряду:
. Ось тут часто автоматично припускаються помилки, формально за алгоритмом записуючи, що

Зразковий зразок рішення може мати такий вигляд:

Використовуємо ознаку Даламбер:

Таким чином, досліджуваний ряд сходиться.

Радикальна ознака Коші

Ознака збіжності Коші для позитивних числових рядів чимось нагадує щойно розглянутий ознака Даламбера.

Радикальна ознака Коші:Розглянемо позитивний числовий ряд. Якщо є межа: , то:
а) При ряд сходиться. Зокрема, ряд сходиться за .
б) При ряд розходиться. Зокрема, ряд розходиться за .
в при ознака не дає відповіді. Потрібно використовувати іншу ознаку. Цікаво відзначити, що якщо ознака Коші не дає нам відповіді на питання про збіжність низки, то ознака Даламбер теж не дасть відповіді. Але якщо ознака Даламбера дає відповіді, то ознака Коші цілком може «спрацювати». Тобто ознака Коші є в цьому сенсі сильнішою ознакою.

Коли потрібно використовувати радикальну ознаку Коші?Радикальна ознака Коші зазвичай використовує у тих випадках, коли загальний член ряду ПОВНІСТТЮзнаходиться в ступеню, залежить від «ен». Або коли корінь «добре» витягується із загального члена низки. Є ще екзотичні випадки, але ними голову не забиватимемо.

Приклад 7

Дослідити ряд на збіжність

Ми бачимо, що загальний член ряду повністю знаходиться під ступенем, який залежить від , а значить, потрібно використовувати радикальний ознака Коші:

Таким чином, досліджуваний ряд розходиться.

(1) Оформляємо загальний член ряду під корінь.
(2) Переписуємо те саме, тільки вже без кореня, використовуючи властивість ступенів.
(3) У показнику почленно ділимо чисельник на знаменник, вказуючи, що
(4) В результаті у нас вийшла невизначеність. Тут можна було піти довгим шляхом: звести в куб, звести в куб, потім розділити чисельник і знаменник на ен у старшому ступені. Але в даному випадку є більш ефективне рішення: можна поділити чисельник і знаменник прямо під ступенем-константою. Для усунення невизначеності ділимо чисельник та знаменник на (старший ступінь).
(5) Власне виконуємо почленное поділ, і вказуємо доданки, які прагнуть нуля.
(6) Доводимо відповідь до пуття, помічаємо, що й робимо висновок про те, що ряд розходиться.

А ось простіший приклад для самостійного вирішення:

Приклад 8

Дослідити ряд на збіжність

І ще кілька типових прикладів.

Повне рішення та зразок оформлення наприкінці уроку

Приклад 9

Дослідити ряд на збіжність
Використовуємо радикальний ознака Коші:

Таким чином, досліджуваний ряд сходиться.

(1) Поміщаємо загальний член ряду під корінь.
(2) Переписуємо те саме, але вже без кореня, при цьому розкриваємо дужки, використовуючи формулу скороченого множення: .
(3) У показнику почленно ділимо чисельник на знаменник і вказуємо, що .
(4) Отримано невизначеність виду. Тут можна у дужці почленно поділити чисельник на знаменник на «ен» у старшому ступені. Щось подібне у нас зустрічалося під час вивчення другої чудової межі. Але тут ситуація інша. Якби коефіцієнти при старших ступенях були однаковими, наприклад: , то фокус із почленним розподілом вже не пройшов, і треба було використовувати другий чудовий межа. Але у нас ці коефіцієнти різні(5 і 6), тому можна (і потрібно) ділити почленно (до речі, навпаки – друга чудова межа при різнихкоефіцієнтах при старших ступенях вже не прокочує). Якщо пам'ятаєте, ці тонкощі розглядалися в останньому пункті статті Методи розв'язання меж.
(5) Власне виконуємо почленное поділ і вказуємо, які доданки в нас прагнуть нуля.
(6) Невизначеність усунена, у нас залишилася найпростіша межа: . Чому в нескінченно великийступеня прагне до нуля? Тому що основа ступеня задовольняє нерівності. Якщо у кого є сумніви у справедливості межі , то я не полінуся, візьму в руки калькулятор:
Якщо то
Якщо то
Якщо то
Якщо то
Якщо то
… і т.д. до нескінченності - тобто, в межі:

Прямо таки нескінченно спадна геометрична прогресіяна пальцях =)

(7) Вказуємо, як і робимо висновок у тому, що ряд сходиться.

Приклад 10

Дослідити ряд на збіжність

Це приклад самостійного рішення.

Іноді на вирішення пропонується провокаційний приклад, наприклад: . Тут у показнику ступеня ні «ен»тільки константа. Тут необхідно звести в квадрат чисельник і знаменник (вийдуть багаточлени), а далі дотримуватися алгоритму зі статті Ряди для чайників. У подібному прикладі спрацювати має або необхідну ознаку збіжності низки або граничну ознаку порівняння.

Інтегральна ознака Коші

Або просто інтегральна ознака. Розчарую тих, хто погано засвоїв матеріал першого курсу. Для того щоб застосовувати інтегральну ознаку Коші необхідно більш-менш впевнено вміти знаходити похідні, інтеграли, а також мати навички обчислення невласного інтегралупершого роду.

У підручниках з математичного аналізу інтегральна ознака Кошідано математично суворо, але надто вже поморочено, тому я сформулюю ознаку не надто суворо, але зрозуміло:

Розглянемо позитивний числовий ряд. Якщо існує невласний інтеграл, то ряд сходиться чи розходиться разом із цим інтегралом.

І одразу приклади для пояснення:

Приклад 11

Дослідити ряд на збіжність

Майже класика. Натуральний логарифм і якась бяка.

Основною передумовою використання інтегральної ознаки Кошіє те що, що у загальному члені низки містяться множники, схожі деяку функцію та її похідну. З теми Похіднави напевно запам'ятали найпростішу табличну річ: , і в нас саме такий канонічний випадок.

У цій статті зібрана та структурована інформація, необхідна для вирішення практично будь-якого прикладу на тему числові ряди, від знаходження суми ряду до дослідження його на збіжність.

Огляд статті.

Почнемо з визначень знакопозитивного, знакозмінного ряду та поняття збіжності. Далі розглянемо стандартні ряди, такі як гармонійний ряд, узагальнено гармонійний ряд, пригадаємо формулу для знаходження суми геометричної прогресії, що нескінченно убуває. Після цього перейдемо до властивостей рядів, що сходяться, зупинимося на необхідній умові збіжності ряду і озвучимо достатні ознаки збіжності ряду. Теорію розводитимемо рішенням характерних прикладів з докладними поясненнями.

Навігація на сторінці.

Основні визначення та поняття.

Нехай ми маємо числову послідовність, де .

Наведемо приклад числової послідовності: .

Числовий ряд- Це сума членів числової послідовності виду .

Як приклад числового ряду можна навести суму нескінченно спадної геометричної прогресії зі знаменником q = -0.5: .

Називають загальним членом числового рядуабо k-им членом ряду.

Для попереднього прикладу загальний член числового ряду має вигляд.

Часткова сума числового ряду- Це сума виду, де n - деяке натуральне число. називають також n-ою частковою сумою числового ряду.

Наприклад, четверта часткова сума ряду є.

Часткові суми утворюють нескінченну послідовність часткових сум числового ряду.

Для нашого ряду n-а часткова сума знаходиться за формулою суми перших n членів геометричної прогресії тобто будемо мати наступну послідовність часткових сум: .

Числовий ряд називається схожимякщо існує кінцева межа послідовності часткових сум. Якщо межа послідовності часткових сум числового ряду не існує або нескінченна, то ряд називається розбіжним.

Сумою схожого числового рядуназивається межа послідовності його часткових сум, тобто, .

У нашому прикладі , отже, ряд сходиться, причому його сума дорівнює шістнадцяти третім: .

Як приклад розбіжного ряду можна навести суму геометричної прогресії зі знаменником більшим, ніж одиниця: . n-а часткова сума визначається виразом , а межа часткових сум нескінченна: .

Ще одним прикладом розбіжного числового ряду є сума виду . У цьому випадку n-а часткова сума може бути обчислена як . Межа часткових сум нескінченна .

Сума виду називається гармонійним числовим рядом.

Сума виду де s – деяке дійсне число, називається узагальнено гармонійним числовим рядом.

Наведених визначень достатньо для обґрунтування таких тверджень, що дуже часто використовуються, рекомендуємо їх запам'ятати.

Гармонічний ряд є розбіжним.

Доведемо розбіжність гармонійного ряду.

Припустимо, що низка сходиться. Тоді існує кінцева межа його часткових сум. У цьому випадку можна записати і , що приводить нас до рівності .

З іншого боку,

Не викликають сумніви такі нерівності. Таким чином, . Отримана нерівність вказує нам на те, що рівність не може бути досягнуто, що суперечить нашому припущенню про збіжність гармонійного ряду.

Висновок: гармонійний ряд розходиться.

СУМА ГЕОМЕТРИЧНОЇ ПРОГРЕСІЇ ВИДУ ІЗ ЗНАМІНАЛЬНИКОМ q Є СХОДЯЧИМ ЧИСЛОВИМ РЯДОМ, ЯКЩО , І РОЗХОДЯЧИМ ПОРУЧ ПРИ .

Доведемо це.

Ми знаємо, що сума перших n членів геометричної прогресії перебуває за формулою .

При справедливо

що свідчить про збіжність числового ряду.

При q = 1 маємо числовий ряд . Його часткові суми перебувають як , а межа часткових сум нескінченна , що свідчить про розбіжність низки у разі.

Якщо q = -1 , то числовий ряд набуде вигляду . Часткові суми приймають значення для непарних n і для парних n . З цього можна дійти невтішного висновку, що межа часткових сум немає і ряд розходиться.

При справедливо

що свідчить про розбіжність числового ряду.

УЗАГАЛЬНО ГАРМОНІЧНИЙ РЯД СХОДИТЬСЯ ПРИ s > 1 І ВИДІЛЯЄТЬСЯ ПРИ .

Доведення.

Для s = 1 отримаємо гармонійний ряд , а ми встановили його розбіжність.

При s справедлива нерівність для всіх натуральних k . У силу розбіжності гармонійного ряду можна стверджувати, що послідовність його часткових сум необмежена (оскільки немає кінцевої межі). Тоді послідовність часткових сум числового ряду тим більше необмежена (кожен член цього ряду більший за відповідний член гармонічного ряду), отже, узагальнено гармонійний ряд розходиться при s .

Залишилося довести збіжність ряду при s>1.

Запишемо різницю:

Очевидно, що тоді

Розпишемо отриману нерівність для n = 2, 4, 8, 16, …

Використовуючи ці результати, з вихідним числом можна провести такі дії:

Вираз є сумою геометричної прогресії, знаменник якої дорівнює . Оскільки ми розглядаємо випадок при s > 1, то. Тому
. Таким чином, послідовність часткових сум узагальнено гармонійного ряду при s > 1 є зростаючою і в той же час обмеженою зверху значенням, отже вона має межу, що вказує на збіжність ряду . Доказ завершено.

Числовий ряд називається знакопозитивнимякщо всі його члени позитивні, тобто, .

Числовий ряд називається знакочереднимякщо знаки його сусідніх членів різні. Знайомий числовий ряд можна записати у вигляді або , де .

Числовий ряд називається знакозмінним, якщо він містить безліч як позитивних, так і негативних членів.

Знакочередующийся числовий ряд є окремим випадком знакозмінного ряду.

Ряди

є знакопозитивним, знакочередним і знакозмінним відповідно.

Для знакозмінного ряду існує поняття абсолютної та умовної збіжності.

абсолютно схожим, якщо сходиться ряд з абсолютних величин його членів, тобто, сходиться позитивний числовий ряд .

Наприклад, числові ряди і абсолютно сходяться, оскільки сходиться ряд , що є сумою нескінченно спадної геометричної прогресії.

Знакозмінний ряд називається умовно схожимякщо ряд розходиться, а ряд сходиться.

Як приклад умовно схожого числового ряду можна навести ряд . Числовий ряд , Складений з абсолютних величин членів вихідного ряду, що розходиться, так як є гармонійним. У той же час, вихідний ряд є схожим, що легко встановлюється за допомогою . Таким чином, числовий ряд умовно схожий.

Властивості схожих числових рядів.

приклад.

Доведіть збіжність числового ряду.

Рішення.

Запишемо ряд в іншому вигляді . Числовий ряд сходиться, так як узагальнено гармонійний ряд є схожим при s > 1, а в силу другого властивості числових рядів, що сходяться, буде сходиться і ряд з числовим коефіцієнтом .

приклад.

Чи сходиться числовий ряд.

Рішення.

Перетворимо вихідний ряд: . Таким чином, ми отримали суму двох числових рядів і , причому кожен із них сходиться (дивіться попередній приклад). Отже, в силу третьої властивості числових рядів, що сходяться, сходиться і вихідний ряд.

приклад.

Доведіть збіжність числового ряду та обчисліть його суму.

Рішення.

Даний числовий ряд можна подати у вигляді різниці двох рядів:

Кожен із цих рядів є сумою нескінченно спадної геометричної прогресії, отже, є схожим. Третя властивість рядів, що сходяться, дозволяє стверджувати, що вихідний числовий ряд сходиться. Обчислимо його суму.

Перший член ряду є одиниця, а знаменник відповідної геометричної прогресії дорівнює 0.5, отже, .

Першим членом ряду є 3, а знаменник відповідної нескінченно спадної геометричної прогресії дорівнює 1/3, тому .

Скористаємося отриманими результатами для знаходження суми вихідного числового ряду:

Необхідна умова збіжності низки.

Якщо числовий ряд сходиться, межа його k-ого члена дорівнює нулю: .

При дослідженні будь-якого числового ряду на збіжність насамперед слід перевіряти виконання необхідної умови збіжності. Невиконання цієї умови свідчить про розбіжність числового ряду, тобто, якщо , то ряд розходиться.

З іншого боку, треба розуміти, що ця умова не є достатньою. Тобто виконання рівності не говорить про збіжність числового ряду. Наприклад, для гармонійного ряду необхідна умова збіжності виконується , а ряд розходиться.

приклад.

Дослідити числовий ряд на збіжність.

Рішення.

Перевіримо необхідну умову збіжності числового ряду:

Межа n-ого члена числового ряду не дорівнює нулю, отже, ряд розходиться.

Достатні ознаки збіжності знакопозитивного ряду.

При використанні достатніх ознак для дослідження числових рядів на збіжність постійно доводиться стикатися з так, що рекомендуємо звертатися до цього розділу при труднощі.

Необхідна та достатня умова збіжності знакопозитивного числового ряду.

Для збіжності знакопозитивного числового ряду необхідно і достатньо, щоб послідовність його часткових сум була обмежена.

Почнемо із ознак порівняння рядів. Їх суть полягає в порівнянні досліджуваного числового ряду з рядом, збіжність чи розбіжність якого відома.

Перший, другий та третій ознаки порівняння.

Перша ознака порівняння рядів.

Нехай і - два знакопозитивних числових ряду і виконується нерівність для всіх k = 1, 2, 3, ... Тоді зі збіжності ряду випливає збіжність, а з розбіжності ряду випливає розбіжність.

Перша ознака порівняння використовується дуже часто і є дуже потужним інструментом дослідження числових рядів на збіжність. Основну проблему представляє підбір відповідного ряду для порівняння. Ряд порівняння зазвичай (але завжди) вибирається отже показник ступеня його k-ого члена дорівнює різниці показників ступеня чисельника і знаменника k-ого члена досліджуваного числового ряду. Наприклад, нехай , різницю показників ступеня чисельника і знаменника дорівнює 2 – 3 = -1 , тому, порівняння вибираємо ряд із k-ым членом , тобто, гармонійний ряд. Розглянемо кілька прикладів.

приклад.

Встановити збіжність чи розбіжність ряду.

Рішення.

Так як межа загального члена ряду дорівнює нулю, то необхідна умова збіжності ряду виконано.

Неважко помітити, що справедлива нерівність для всіх натуральних . Ми знаємо, що гармонійний ряд розходиться, отже, за першою ознакою порівняння вихідний ряд також є розбіжним.

приклад.

Дослідіть числовий ряд на збіжність.

Рішення.

Необхідна умова збіжності числового ряду виконується, оскільки . Очевидно виконання нерівності для будь-якого натурального значення k. Ряд сходиться, оскільки узагальнено гармонійний ряд є схожим на s > 1 . Таким чином, перша ознака порівняння рядів дозволяє констатувати збіжність вихідного числового ряду.

приклад.

Визначте збіжність чи розбіжність числового ряду.

Рішення.

Отже, необхідну умову збіжності числового ряду виконано. Який ряд вибрати для порівняння? Напрошується числовий ряд, а щоб визначитися з s, уважно досліджуємо числову послідовність. Члени числової послідовності зростають до нескінченності. Таким чином, починаючи з деякого номера N (а саме з N = 1619), члени цієї послідовності будуть більше 2 . Починаючи з цього номера N, справедлива нерівність. Числовий ряд сходить у силу першого властивості рядів, що сходяться, тому що виходить з ряду, що сходить, відкиданням перших N - 1 члена. Таким чином, за першою ознакою порівняння схожим є ряд , а в силу першої властивості числових рядів, що сходяться, сходиться буде і ряд .

Друга ознака порівняння.

Нехай і знакопозитивні числові ряди. Якщо, то зі збіжності ряду випливає збіжність. Якщо, то з розбіжності числового ряду випливає розбіжність.

Слідство.

Якщо і , то зі збіжності одного ряду випливає збіжність іншого, та якщо з розбіжності випливає розбіжність.

Досліджуємо ряд збіжність з допомогою другого ознаки порівняння. Як ряд візьмемо ряд . Знайдемо межу відношення k-их членів числових рядів:

Таким чином, за другою ознакою порівняння зі збіжності числового ряду слідує збіжність вихідного ряду.

приклад.

Дослідити на збіжність числовий ряд.

Рішення.

Перевіримо необхідну умову збіжності ряду . Умова виконана. Для застосування другої ознаки порівняння візьмемо гармонійний ряд. Знайдемо межу відношення k-их членів:

Отже, з розбіжності гармонійного ряду випливає розбіжність вихідного ряду за другою ознакою порівняння.

Для інформації наведемо третю ознаку порівняння рядів.

Третя ознака порівняння.

Нехай і знакопозитивні числові ряди. Якщо з деякого номера N виконується умова, то зі збіжності ряду випливає збіжність, та якщо з розбіжності ряду слід розбіжність.

Ознака Даламбер.

Зауваження.

Ознака Даламбера справедлива, якщо межа нескінченна, тобто, якщо , то ряд сходиться, якщо , то ряд розходиться.

Якщо , то ознака Даламбера дає інформацію про збіжності чи розбіжності низки і потрібно додаткове дослідження.

приклад.

Дослідіть числовий ряд на збіжність за ознакою Даламбер.

Рішення.

Перевіримо виконання необхідної умови збіжності числового ряду, межу обчислимо за :

Умова виконана.

Скористаємося ознакою Даламбера:

Таким чином, низка сходиться.

Радикальна ознака Коші.

Нехай – знакопозитивний числовий ряд. Якщо , то числовий ряд сходиться, якщо , то ряд розходиться.

Зауваження.

Радикальна ознака Коші справедлива, якщо межа нескінченна, тобто якщо , то ряд сходиться, якщо , то ряд розходиться.

Якщо радикальна ознака Коші не дає інформацію про збіжність або розбіжність ряду і потрібне додаткове дослідження.

Зазвичай досить легко розглянути випадки, коли краще використовувати радикальний ознака Коші. Характерним є випадок, коли загальний член числового ряду є показово статечним виразом. Розглянемо кілька прикладів.

приклад.

Дослідити позитивний числовий ряд на збіжність за допомогою радикальної ознаки Коші.

Рішення.

. За радикальною ознакою Коші отримуємо .

Отже, низка сходиться.

приклад.

Чи сходиться числовий ряд .

Рішення.

Скористаємося радикальною ознакою Коші Отже, числовий ряд сходиться.

Інтегральна ознака Коші.

Нехай – знакопозитивний числовий ряд. Складемо функцію безперервного аргументу y = f (x), аналогічну функції. Нехай функція y = f(x) позитивна, безперервна і спадна на інтервалі , де ). Тоді у разі збіжності невласного інтегралусходиться досліджуваний числовий ряд. Якщо ж невласний інтеграл розходиться, вихідний ряд теж розходиться.

При перевірці зменшення функції y = f(x) на інтервалі може знадобитися теорія з розділу .

приклад.

Дослідіть числовий ряд із позитивними членами на збіжність.

Рішення.

Необхідна умова збіжності ряду виконана, оскільки . Розглянемо функцію. Вона позитивна, безперервна і спадна на інтервалі. Безперервність і позитивність цієї функції не викликає сумніву, а на спаданні зупинимося трохи докладніше. Знайдемо похідну:
. Вона негативна на проміжку, отже, функція зменшується на цьому інтервалі.

Перед тим як сформулювати саму ознаку, розглянемо важливе питання:
Коли потрібно застосовувати ознаку збіжності Даламбер?

Спочатку почнемо із повторення. Згадаймо випадки, коли потрібно застосовувати найходовіший гранична ознака порівняння. Гранична ознака порівняння застосовується тоді, коли у загальному члені ряду:
1) У знаменнику знаходиться багаточлен.
2) Багаточлени знаходяться і в чисельнику, і в знаменнику.
3) Один або обидва багаточлени можуть бути під коренем.

Основні передумови застосування ознаки Даламбера такі:

1) До загального члена ряду («начинку» ряду) входить якесь число в ступеня, наприклад, , і так далі. Причому, зовсім не важливо, де ця штуковина розташовується, у чисельнику чи знаменнику – важливо, що вона там присутня.

У кого досі проблеми з межами або нерозуміння меж, зверніться до теми Межі. Приклади рішень. Без розуміння межі та вміння розкривати невизначеність далі, на жаль, не просунутися. А зараз довгоочікувані приклади.

Приклад 1
Ми, що у спільному члені низки ми маємо , але це правильна передумова те, що треба використовувати ознака Даламбера. Спочатку повне рішення та зразок оформлення, коментарі нижче.

Використовуємо ознаку Даламбер:

сходиться.

(1) Складаємо ставлення наступного члена до попереднього: . З умови бачимо, що загальний член ряду . Для того, щоб отримати наступний член ряду необхідно замість підставити: .
(2) Позбавляємося чотириповерховості дробу. За певного досвіду рішення цей крок можна пропускати.
(3) У чисельнику розкриваємо дужки. У знаменнику виносимо четвірку зі ступеня.
(4) Скорочуємо на . Константу виносимо за межі. У чисельнику в дужках наводимо подібні доданки.
(5) Невизначеність усувається стандартним способом – розподілом чисельника та знаменника на «ен» у старшому ступені.
(6) Почленно ділимо чисельники на знаменники, і вказуємо доданки, які прагнуть нуля.
(7) Спрощуємо відповідь і робимо позначку, що з висновком про те, що за ознакою Даламбера досліджуваний ряд сходиться.

У розглянутому прикладі у загальному члені низки ми зустрівся многочлен 2-го ступеня. Що робити, якщо там багаточлен 3-го, 4-го або вищого ступеня? Справа в тому, що якщо дано багаточлен вищого ступеня, то виникнуть труднощі з розкриттям дужок. У цьому випадку можна застосовувати "турбо"-метод рішення.

Приклад 2 Візьмемо схожий ряд та досліджуємо його на збіжність
Спочатку повне рішення, потім коментарі:

Використовуємо ознаку Даламбер:

Таким чином, досліджуваний ряд сходиться.

(1) Складаємо відношення.
(2) Позбавляємося чотириповерховості дробу.
(3) Розглянемо вираз у чисельнику та вираз у знаменнику. Ми бачимо, що в чисельнику потрібно розкривати дужки і зводити в четвертий ступінь: чого робити зовсім не хочеться. Крім того, для тих, хто не знайомий з біномом Ньютона, це завдання взагалі може виявитися нездійсненним. Проаналізуємо старші ступені: якщо ми вгорі розкриємо дужки , то отримаємо старший ступінь . Внизу у нас такий самий старший ступінь: . За аналогією з попереднім прикладом, очевидно, що з почленном розподілі чисельника і знаменника у нас межі вийде одиниця. Або, як кажуть математики, багаточлени і – одного порядку зростання. Таким чином, можна обвести ставлення простим олівцем і відразу вказати, що ця штука прагне одиниці. Аналогічно розправляємося з другою парою багаточленів: і вони теж одного порядку зростання, та його ставлення прагне одиниці.

Насправді, таку «халтуру» можна було провернути і в Прімері №1, але для багаточлена 2-го ступеня таке рішення виглядає все-таки несолидно. Особисто я роблю так: якщо є багаточлен (або багаточлени) першого або другого ступеня, я використовую «довгий» спосіб вирішення Прикладу 1. Якщо трапляється багаточлен 3-го та більш високих ступенів, я використовую «турбо»-метод за зразком Прикладу 2.

Приклад 3 .

Розглянемо типові приклади з факторіалами:

Приклад 4 Дослідити ряд на збіжність

Таким чином, досліджуваний ряд розходиться.

(1) Складаємо відношення. Повторюємо ще раз. За умовою загальний член ряду: . Щоб отримати наступний член ряду, замість потрібно підставити, таким чином: .
(2) Позбавляємося чотириповерховості дробу.
(3) Відщипуємо сімку від ступеня. Факторіали розписуємо докладно. Як це зробити – див. початок уроку.
(4) Скорочуємо все, що можна скоротити.
(5) Константу виносимо за межі. У чисельнику розкриваємо дужки.
(6) Невизначеність усуваємо стандартним способом – розподілом чисельника та знаменника на «ен» у старшому ступені.

Приклад 5Дослідити ряд на збіжність Повне рішення нижче.

Приклад 6Дослідити ряд на збіжність

Зразковий зразок рішення може виглядати так: Використовуємо ознаку Даламбера:
Таким чином, досліджуваний ряд сходиться.
РАДИКАЛЬНИЙ ОЗНАК КОШІ

Ознака збіжності Коші для позитивних числових рядів чимось нагадує щойно розглянутий ознака Даламбера.

Радикальна ознака Коші:Розглянемо позитивний числовий ряд. Якщо є межа: , то:
а) При ряд сходиться. Зокрема, ряд сходиться за .
б) При ряд розходиться. Зокрема, ряд розходиться за .
в при ознака не дає відповіді. Потрібно використовувати іншу ознаку. Цікаво відзначити, що якщо ознака Коші не дає нам відповіді на питання про збіжність ряду, то ознака Даламбера теж не дасть нам відповіді. Але якщо ознака Даламбера дає відповіді, то ознака Коші цілком може «спрацювати». Тобто ознака Коші є в цьому сенсі сильнішою ознакою.

Приклад 7Дослідити ряд на збіжність

А ось простіший приклад для самостійного вирішення:

Приклад 8 Дослідити ряд на збіжність

І ще кілька типових прикладів.

Повне рішення та зразок оформлення нижче.

Приклад 9 Дослідити ряд на збіжність
Використовуємо радикальний ознака Коші:

Таким чином, досліджуваний ряд сходиться.

(1) Поміщаємо загальний член ряду під корінь.
(2) Переписуємо те саме, але вже без кореня, при цьому розкриваємо дужки, використовуючи формулу скороченого множення: .
(3) У показнику почленно ділимо чисельник на знаменник і вказуємо, що .
(4) Отримано невизначеність виду. Тут можна у дужці почленно поділити чисельник на знаменник на «ен» у старшому ступені. Щось подібне у нас зустрічалося під час вивчення другої чудової межі. Але тут ситуація інша. Якби коефіцієнти при старших ступенях були однаковими, наприклад: , то фокус із почленним розподілом вже не пройшов, і треба було використовувати другий чудовий межа. Але у нас ці коефіцієнти різні(5 і 6), тому можна (і потрібно) ділити почленно (до речі, навпаки – друга чудова межа при різнихкоефіцієнтах при старших ступенях вже не прокочує).
(5) Власне виконуємо почленное поділ і вказуємо, які доданки в нас прагнуть нуля.
(6) Невизначеність усунена, залишилася найпростіша межа: .Чому в нескінченно великийступеня прагне до нуля? Тому що основа ступеня задовольняє нерівності. Якщо у кого є сумніви у справедливості межі , то я не полінуся, візьму в руки калькулятор:
Якщо то
Якщо то
Якщо то
Якщо то
Якщо то
… і т.д. до нескінченності - тобто, в межі:
(7) Вказуємо, як і робимо висновок у тому, що ряд сходиться.

Приклад 10 Дослідити ряд на збіжність

Це приклад самостійного рішення.

Розчарую тих, хто погано засвоїв матеріал першого курсу. Для того щоб застосовувати інтегральну ознаку Коші необхідно більш-менш впевнено вміти знаходити похідні, інтеграли, а також мати навички обчислення невласного інтегралупершого роду. У підручниках з математичного аналізу інтегральний ознака Коші дано математично суворо, сформулюємо ознака дуже примітивно, але зрозуміло. І одразу приклади для пояснення.

Інтегральна ознака Коші:Розглянемо позитивний числовий ряд. Цей ряд сходиться чи розходиться

Приклад 11 Дослідити ряд на збіжність

Майже класика. Натуральний логарифм і якась бяка.

Основною передумовою використання інтегральної ознаки Кошіє те що, що у загальному члені низки є певна функція та її похідна. З теми Похіднави напевно запам'ятали найпростішу табличну річ: , і в нас саме такий канонічний випадок.

Як використовувати інтегральну ознаку? Спочатку беремо значок інтеграла і переписуємо зі «лічильника» ряду верхній та нижній межі: . Потім під інтегралом переписуємо «начинку» ряду з літерою «хе»: . Чогось не вистачає ..., ах, так, ще в чисельнику потрібно приліпити піктограму диференціала: .

Тепер потрібно вирахувати невласний інтеграл. При цьому можливі два випадки:

1) Якщо з'ясується, що інтеграл сходиться, то сходитиметься і наш ряд.

2) Якщо з'ясується, що інтеграл розходиться, наш ряд теж буде розходитися.

Повторюся, якщо матеріал запущений, читання параграфа буде важким і малозрозумілим, оскільки застосування ознаки по суті зводиться до обчислення невласного інтегралупершого роду.

Повне рішення та оформлення прикладу має виглядати приблизно так:

Використовуємо інтегральну ознаку:

Таким чином, досліджуваний ряд розходитьсяразом із відповідним невласним інтегралом.

Приклад 12 Дослідити ряд на збіжність

Рішення та зразок оформлення наприкінці уроку

У розглянутих прикладах логарифм також міг бути під коренем, це змінило б способу рішення.

І ще два приклади на закуску

Приклад 13 Дослідити ряд на збіжність

За загальними «параметрами» загальний член ряду начебто підходить для використання граничної ознаки порівняння. Потрібно лише розкрити дужки і одразу здати на кандидата гранично порівняти цей ряд із рядом, що сходить. Втім, я трохи злукавив, дужки можна і не розкривати, але все одно рішення через граничну ознаку порівняння виглядатиме досить химерно.

Тому ми використовуємо інтегральну ознаку Коші:

Підінтегральна функція безперервна на

сходитьсяразом із відповідним невласним інтегралом.

! Примітка:отримане число –не є сумою ряду!

Приклад 14 Дослідити ряд на збіжність

Рішення та зразок оформлення в кінці розділу, який добігає кінця.

З метою остаточного та безповоротного засвоєння теми числових рядів відвідайте теми.

Рішення та відповіді:

Приклад 3:Використовуємо ознаку Даламбер:

Таким чином, досліджуваний ряд розходиться.
Примітка: Можна було використовувати і «турбо»-метод рішення: відразу обвести олівцем ставлення, вказати, що воно прагне одиниці і зробити позначку: «одного порядку зростання».

Приклад 5: Використовуємо ознаку Даламбер: Т.ч., досліджуваний ряд сходиться.

Приклад 8:

Таким чином, досліджуваний ряд сходиться.

Приклад 10:
Використовуємо радикальну ознаку Коші.

Таким чином, досліджуваний ряд розходиться.
Примітка: Тут основа ступеня , тому

Приклад 12: Використовуємо інтегральну ознаку

Отримано кінцеве число, отже, досліджуваний ряд сходиться

Приклад 14: Використовуємо інтегральну ознаку
Підінтегральна функція безперервна на .

Таким чином, досліджуваний ряд розходитьсяразом із відповідним невласним інтегралом.
Примітка: Ряд також можна дослідити за допомогоюграничної ознаки порівняння . Для цього необхідно розкрити дужки під коренем і порівняти досліджуваний ряд з рядом, що розходиться.

Знакочередуючі ряди. Ознака Лейбниця. Приклади рішень

Щоб зрозуміти приклади цього уроку необхідно добре орієнтуватися в позитивних числових рядах: розуміти, що таке ряд, знати необхідну ознаку збіжності низки, вміти застосовувати ознаки порівняння, ознака Даламбера, ознаки Коші. Тему можна порушити практично з нуля, послідовно вивчивши статті Ряди для чайниківі Ознака Даламбер. Ознаки Коші. Логічно цей урок є третім за рахунком, і він дозволить не тільки розібратися в рядах, що знайдуть чергування, а й закріпити вже пройдений матеріал! Якийсь новизни буде небагато, і освоїти ряди, що знак чергуються, не складе великої праці. Все просто та доступно.

Що таке ряд, що знак чергується?Це зрозуміло чи майже зрозуміло вже із самої назви. Розглянемо ряд і розпишемо його докладніше:

А зараз буде вбивчий коментар. У членів ряду, що чергується, чергуються знаки: плюс, мінус, плюс, мінус, плюс, мінус і т.д. до нескінченності.
Знак черга забезпечує множник: якщо парне, то буде знак «плюс», якщо непарне – знак «мінус». На математичному жаргоні ця штуковина називається «мигалкою». Таким чином, ряд, що чергується, «пізнається» по мінус одиночці в ступені «ен».

У практичних прикладах знакочередування членів низки може забезпечувати як множник , а й його рідні брати: , , , …. Наприклад:

Підводним каменем є «обманки»: , , і т.п. – такі множники не забезпечують зміну знаку. Цілком зрозуміло, що з будь-якому натуральному : , , . Ряди з обманками підсовують не тільки особливо обдарованим студентам, вони іноді виникають «самі собою» в ході рішення функціональних рядів.

Як досліджувати ряд, що чергається, на збіжність?Використовувати ознаку Лейбніца. Про німецького гіганта думки Готфріда Вільгельма Лейбніца я розповідати нічого не хочу, оскільки, крім математичних праць, він накотив кілька томів з філософії. Небезпечно для мозку.

Ознака Лейбніца: Якщо члени ряду знакочередующегося монотонноспадають за модулем, то ряд сходиться. Або у два пункти:

2) Члени низки убувають по модулю: . Причому зменшуються монотонно.

Якщо виконано обидваумови, то ряд сходиться.

Коротка довідка про модуль наведена в методичціГарячі формули шкільного курсу математики , але для зручності ще раз:

Що означає «за модулем»? Модуль, як ми пам'ятаємо зі школи, "з'їдає" знак "мінус". Повернемося до ряду . Подумки зітремо гумкою всі знаки і подивимося на числа. Ми побачимо, що кожен наступнийчлен ряду меншеніж попередній. Таким чином, наступні фрази позначає те саме:

- Члени ряду без урахування знакуспадають.
- Члени ряду зменшуються за модулем.
- Члени ряду зменшуються за абсолютною величиною.
– Модульзагального члена ряду прагне нуля: Кінець довідки

Тепер трохи поговоримо про монотонність. Монотонність – це нудна постійність.

Члени ряду суворо монотонноспадають по модулю, якщо КОЖНИЙ НАСТУПНИЙ член ряду за модулемМЕНШЕ, ніж попередній: . Для ряду виконано строгу монотонність спадання, її можна розписати докладно:

А можна сказати коротше: кожен наступний член ряду за модулемменше, ніж попередній: .

Члени ряду нестрого монотонноспадають по модулю, якщо КОЖНИЙ НАСТУПНИЙ член ряду по модулю НЕ БІЛЬШЕ попереднього: . Розглянемо ряд із факторіалом: Тут має місце нестрога монотонність, тому що перші два члени ряду однакові за модулем. Тобто кожен наступний член ряду за модулемне більше попереднього: .

В умовах теореми Лейбніца має виконуватися монотонність спадання (неважливо, сувора чи нестрога). У цьому члени низки можуть навіть деякий час зростати за модулем, але «хвіст» ряду обов'язково має бути монотонно спадаючим. Не треба лякатися того, що я нагородив, практичні приклади все розставлять на свої місця:

Приклад 1Дослідити ряд на збіжність

У загальний член ряду входить множник , отже, потрібно використовувати ознаку Лейбниця

1) Перевірка низки на знак чергування. Зазвичай у цьому пункті рішення низку розписують докладно і виносять вердикт «Ряд є знакочередним».

2) Чи зменшуються члени ряду по модулю? Необхідно вирішити межу, яка найчастіше є дуже простою.

- Члени ряду не спадають по модулю. До речі, відпала потреба в міркуваннях про монотонність спадання. Висновок: ряд розходиться.

Як розібратися, чому одно? Дуже просто. Як відомо, модуль знищує мінуси, тому для того щоб скласти , потрібно просто прибрати з даху проблисковий маячок. У разі загальний член ряду . Тупо прибираємо «мигалку»: .

Приклад 2 Дослідити ряд на збіжність

Використовуємо ознаку Лейбніца:

1) Ряд є знакочередним.

2) - Члени ряду спадають по модулю. Кожен наступний член ряду по модулю менше, ніж попередній: таким чином, спад монотонно.

Висновок: ряд сходиться.

Все було б дуже просто – але це ще не кінець рішення!

Якщо ряд сходиться за ознакою Лейбніца, то також кажуть, що ряд сходиться умовно.

Якщо сходиться і ряд, складений із модулів: , то кажуть, що ряд сходиться абсолютно.

Тому на порядку денному другий етап вирішення типового завдання – дослідження ряду, що чергується, на абсолютну збіжність.

Не винен я – така вже теорія числових рядів =)

Досліджуємо наш ряд на абсолютну збіжність.
Складемо ряд із модулів – знову просто прибираємо множник, який забезпечує знак чергування: – розходиться (гармонічний ряд).

Таким чином, наш ряд не є абсолютно схожим.
Досліджуваний ряд сходиться лише умовно.

Зауважте, що у Прикладі №1 не потрібно проводити дослідження не абсолютну збіжність, оскільки ще першому кроці зроблено висновок у тому, що ряд розходиться.

Збираємо цеберки, лопатки, машинки і виходимо з пісочниці, щоб дивитися на світ широко розплющеними очима з кабіни мого екскаватора:

Приклад 3 Дослідити ряд на збіжність Використовуємо ознаку Лейбніца:

1)
Цей ряд є знакочередним.

2) - Члени ряду спадають по модулю. Кожен наступний член ряду по модулю менший, ніж попередній: , Отже, спад монотонно. Висновок: Ряд сходиться.

Аналізуючи начинку ряду, приходимо до висновку, що тут потрібно використовувати граничну ознаку порівняння. Дужки у знаменнику зручніше розкрити:

Порівняємо даний ряд з рядом, що сходить. Використовуємо граничну ознаку порівняння.

Отримано кінцеве число, відмінне від нуля, отже, ряд сходиться разом із рядом . Досліджуваний ряд сходиться абсолютно.

Приклад 4 Дослідити ряд на збіжність

Приклад 5 Дослідити ряд на збіжність

Це приклади самостійного рішення. Повне рішення та зразок оформлення наприкінці розділу.

Як бачите, ряди, що чергуються, - це просто і занудно! Але не поспішайте закривати сторінку, всього через пару екранів ми розглянемо випадок, який багатьох ставить у глухий кут. А поки що пара прикладів для тренування та повторення.

Приклад 6 Дослідити ряд на збіжність

Використовуємо ознаку Лейбниця.
1) Ряд є знакочередним.
2)

Члени ряду зменшуються за модулем. Кожен наступний член ряду по модулю менше, ніж попередній, отже, спад монотонно. Висновок: ряд сходиться.

Зверніть увагу, що я не докладно розписав члени ряду. Їх завжди бажано розписувати, але від непереборної лінощів у «важких» випадках можна обмежитися фразою «Ряд є знакочередним». До речі, не потрібно ставитись до цього пункту формально, завжди перевіряємо(хоча б у думках) що ряд справді знак чергується. Побіжний погляд підводить, і помилка допускається «на автоматі». Пам'ятайте про «обманки», якщо вони є, то їх потрібно позбутися, отримавши «звичайний» ряд з позитивними членами.

Друга тонкість стосується фрази про монотонність, її теж максимально скоротив. Так робити можна, і майже завжди ваше завдання зарахують. Скажу зовсім погану річ – особисто я часто взагалі мовчу про монотонність, і такий номер проходить. Але будьте готові розписати детально, аж до докладних ланцюжків нерівностей (див. приклад на початку уроку). Крім того, іноді монотонність буває не суворою, і за цим теж слід слідкувати, щоб замінити слово «менше» на слово «не більше».

Досліджуємо ряд на абсолютну збіжність: