Опис функцій. Елементарна функція

1) Область визначення функції та область значень функції.

Область визначення функції - це безліч всіх допустимих дійсних значень аргументу x(змінною x), при яких функція y = f(x)визначено. Область значень функції - це безліч усіх дійсних значень y, що приймає функцію.

В елементарної математики вивчаються функції лише з безлічі дійсних чисел.

2) Нулі функції.

Нуль функції – таке значення аргументу, у якому значення функції дорівнює нулю.

3) Проміжки знаковості функції.

Проміжки знакостійності функції – такі безлічі значень аргументу, у яких значення функції лише позитивні чи лише негативні.

4) Монотонність функції.

Зростаюча функція (у певному проміжку) - функція, яка має більшому значенню аргументу з цього проміжку відповідає більше значення функції.

Зменшуюча функція (у певному проміжку) - функція, яка має більшому значенню аргументу з цього проміжку відповідає менше значення функції.

5) парність (непарність) функції.

Четна функція - функція, у якої область визначення симетрична щодо початку координат та для будь-якого хв галузі визначення виконується рівність f(-x) = f(x). Графік парної функції симетричний щодо осі ординат.

Непарна функція - функція, у якої область визначення симетрична щодо початку координат та для будь-якого хв галузі визначення справедлива рівність f(-x) = - f(x). Графік непарної функції симетричний щодо початку координат.

6) Обмежена та необмежена функції.

Функція називається обмеженою, якщо є таке позитивне число M, що |f(x)| ≤ M для всіх значень x. Якщо такої кількості немає, то функція - необмежена.

7) Періодичність функції.

Функція f(x) - періодична, якщо існує таке відмінне від нуля число T, що для будь-якого x з області визначення функції має місце: f(x+T) = f(x). Таке найменше називається періодом функції. Усі тригонометричні функції є періодичними. (Тригонометричні формули).

19. Основні елементарні функції, їх властивості та графіки. Застосування функцій економіки.

Основні елементарні функції. Їх властивості та графіки

1. Лінійна функція.

Лінійною функцією називається функція виду , де х - змінна, а і b - дійсні числа.

Число аназивають кутовим коефіцієнтом прямої, він дорівнює тангенсу кута нахилу цієї прямої до позитивного напрямку осі абсцис. Графік лінійної функції є пряма лінія. Вона визначається двома точками.

Властивості лінійної функції

1. Область визначення - безліч всіх дійсних чисел: Д(y) = R

2. Безліч значень - безліч всіх дійсних чисел: Е(у) = R

3. Функція набуває нульового значення при або.

4. Функція зростає (зменшується) по всій області визначення.

5. Лінійна функція безперервна по всій області визначення, диференційована і .

2. Квадратична функція.

Функція виду , де х – змінна, коефіцієнти а, b, с – дійсні числа, називається квадратичні.

Розглядаючи функції комплексного змінного, Ліувілль визначив елементарні функції дещо ширше. Елементарна функція yзмінної x- аналітична функція, яка може бути представлена ​​як алгебраїчна функція від xта функцій , причому є логарифмом або експонентою від деякої функції алгебри g 1 від x .

Наприклад, sin( x) - алгебраїчна функція від e ix .

Не обмежуючи спільності розгляду, можна вважати функції алгебраїчно незалежні, тобто якщо рівняння алгебри виконується для всіх x, то всі коефіцієнти полінома рівні нулю.

Диференціювання елементарних функцій

де z 1 "(z) одно або g 1 " / g 1 або z 1 g 1 " залежно від того, чи логарифм z 1 або експонента і т. д. На практиці зручно використовувати таблицю похідних.

Інтегрування елементарних функцій

Теорема Ліувіля є основою для створення алгоритмів символьного інтегрування елементарних функцій, що реалізуються, напр.

Обчислення меж

Теорія Ліувіля не поширюється на обчислення меж. Не відомо, чи існує алгоритм, який за заданою елементарною формулою послідовності дає відповідь, має вона межу чи ні. Наприклад, відкрите питання про те, чи сходиться послідовність .

Література

• J. Liouville. Mémoire sur l’integration d’une classe de fonctions transcendantes// J. Reine Angew. Math. Bd. 13, p. 93-118. (1835)
• JF. Ritt. Integration in Finite Terms. N.-Y., 1949 // http://lib.homelinux.org
• А. Г. Хованський. Топологічна теорія Галуа: розв'язність та нерозв'язність рівнянь у кінцевому виглядіГол. 1. M, 2007

Примітки

Wikimedia Foundation. 2010 .

• Елементарне збудження
• Елементарний результат

Дивитись що таке "Елементарна функція" в інших словниках:

елементарна функція- Функція, яка, якщо її поділити на дрібніші функції, не може бути однозначно визначена в ієрархії цифрової передачі. Отже, з погляду мережі вона є неподільною (МСЕ T G.806). Тематики електрозв'язок, основні поняття EN adaptation functionA … Довідник технічного перекладача

функція взаємодії між рівнями мережі- Елементарна функція, що забезпечує взаємодію характеристичної інформації між двома рівнями мережі. (МСЕ T G.806). Тематики електрозв'язок, основні поняття EN layer. Довідник технічного перекладача

Знання основних елементарних функцій, їх властивостей та графіківне менш важливо, ніж знання таблиці множення. Вони як фундамент, на них все ґрунтується, з них все будується і до них все зводиться.

У цій статті ми перерахуємо всі основні елементарні функції, наведемо їх графіки та дамо без висновку та доказів властивості основних елементарних функційза схемою:

• поведінка функції на межах області визначення, вертикальні асимптоти (за потреби дивіться статтю класифікація точок розриву функції);
• парність та непарність;
• проміжки опуклості (випуклості вгору) та увігнутості (випуклості вниз), точки перегину (при необхідності дивіться статтю опуклість функції, напрям опуклості, точки перегину, умови опуклості та перегину);
• похилі та горизонтальні асимптоти;
• особливі точки функцій;
• особливі властивості деяких функцій (наприклад, найменший позитивний період тригонометричних функцій).

Якщо Вас цікавить або, то можете перейти до цих розділів теорії.

Основними елементарними функціямиє: постійна функція (константа), корінь n-го ступеня, статечна функція, показова, логарифмічна функція, тригонометричні та зворотні тригонометричні функції.

Навігація на сторінці.

Постійна функція.

Постійна функція задається на багатьох всіх дійсних чисел формулою , де C - деяке дійсне число. Постійна функція ставить у відповідність кожному дійсному значенню незалежної змінної x те саме значення залежної змінної y – значення С . Постійну функцію називають константою.

Графіком постійної функції є пряма, паралельна осі абсцис і через точку з координатами (0,C) . Наприклад покажемо графіки постійних функцій y=5 , y=-2 і яким на малюнку, наведеному нижче, відповідають чорна, червона і синя прямі відповідно.

Властивості постійної функції.

• Область визначення: всі множини дійсних чисел.
• Постійна функція є парною.
• Область значень: безліч, що складається з однини С .
• Постійна функція незростаюча і неубутня (на те вона і постійна).
• Говорити про опуклість і увігнутість постійної немає сенсу.
• Асимптот немає.
• Функція проходить через точку координатної площини (0,C).

Корінь n-ого ступеня.

Розглянемо основну елементарну функцію, яка задається формулою , де n - натуральне число, більше одиниці.

Корінь n-ого ступеня, n - парне число.

Почнемо з функції корінь n-ого ступеня при парних значеннях показника кореня n.

Для прикладу наведемо малюнок із зображеннями графіків функцій і , їм відповідають чорна, червона та синя лінії.

Аналогічний вигляд мають графіки функцій корінь парного ступеня за інших значень показника.

Властивості функції корінь n-ого ступеня при парних n.

Корінь n-ого ступеня, n - непарне число.

Функція корінь n-ого ступеня з непарним показником кореня n визначена на всій кількості дійсних чисел. Для прикладу наведемо графіки функцій і , їм відповідають чорна, червона та синя криві.

При інших непарних значеннях показника кореня графіки функції матимуть схожий вид.

Властивості функції корінь n-ого ступеня при непарних n.

Ступінна функція.

Ступінна функція задається формулою виду.

Розглянемо вид графіків статечної функції та властивості статечної функції залежно від значення показника ступеня.

Почнемо зі статечної функції з цілим показником a. У цьому випадку вид графіків статечних функцій та властивості функцій залежать від парності чи непарності показника ступеня, а також його знака. Тому спочатку розглянемо статечні функції при непарних позитивних значеннях показника a, далі – при парних позитивних, далі – при непарних негативних показниках ступеня, і, нарешті, при парних негативних a.

Властивості статечних функцій з дробовими та ірраціональними показниками (як і вид графіків таких статечних функцій) залежать від значення показника a . Їх розглядатимемо, по-перше, при a від нуля до одиниці, по-друге, при a великих одиниці, по-третє, при a від мінус одиниці до нуля, по-четверте, при a менших мінус одиниці.

Наприкінці цього пункту для повноти картини опишемо статечну функцію з нульовим показником.

Ступінна функція з непарним позитивним показником.

Розглянемо статечну функцію при непарному позитивному показнику ступеня, тобто при а = 1,3,5, ....

На малюнку нижче наведено графіки статечних фнукцій – чорна лінія, – синя лінія, – червона лінія, – зелена лінія. При а=1 маємо лінійну функцію y=x.

Властивості статечної функції з непарним позитивним показником.

Ступінна функція з парним позитивним показником.

Розглянемо статечну функцію з парним позитивним показником ступеня, тобто при а=2,4,6,….

Як приклад наведемо графіки статечних функцій – чорна лінія, – синя лінія, – червона лінія. При а=2 маємо квадратичну функцію, графіком якої є квадратична парабола.

Властивості статечної функції з парним позитивним показником.

Ступінна функція з непарним негативним показником.

Подивіться графіки статечної функції при непарних негативних значеннях показника ступеня, тобто, при а=-1,-3,-5,… .

На малюнку як приклади показані графіки статечних функцій – чорна лінія, – синя лінія, – червона лінія, – зелена лінія. При а=-1 маємо зворотну пропорційність, графіком якої є гіпербола.

Властивості статечної функції з непарним негативним показником.

Ступінна функція з парним негативним показником.

Перейдемо до статечної функції при а=-2,-4,-6,….

На малюнку зображені графіки статечних функцій – чорна лінія, – синя лінія, – червона лінія.

Властивості статечної функції з парним негативним показником.

Ступінна функція з раціональним чи ірраціональним показником, значення якого більше нуля та менше одиниці.

Зверніть увагу!Якщо a - позитивний дріб з непарним знаменником, деякі автори вважають областю визначення статечної функції інтервал . У цьому обумовлюються, що показник ступеня a – нескоротний дріб. Зараз автори багатьох підручників з алгебри та початків аналізу НЕ ВИЗНАЧАЮТЬ статечні функції з показником у вигляді дробу з непарним знаменником при негативних значеннях аргументу. Ми будемо дотримуватися саме такого погляду, тобто вважатимемо областями визначення статечних функцій з дробовими позитивними показниками ступеня безліч. Рекомендуємо учням дізнатися погляд Вашого викладача на цей тонкий момент, щоб уникнути розбіжностей.

Розглянемо статечну функцію з раціональним чи ірраціональним показником a, причому.

Наведемо графіки статечних функцій при а=11/12 (чорна лінія), а=5/7 (червона лінія), (синя лінія), а=2/5 (зелена лінія).

Ступінна функція з нецілим раціональним чи ірраціональним показником, більшим за одиниці.

Розглянемо статечну функцію з нецілісним раціональним чи ірраціональним показником a, причому.

Наведемо графіки статечних функцій, заданих формулами (чорна, червона, синя та зелена лінії відповідно).

>

При інших значеннях показника ступеня a графіки функції матимуть схожий вигляд.

Властивості статечної функції при .

Ступінна функція з дійсним показником, який більший за мінус одиниці і менший за нуль.

Зверніть увагу!Якщо a - негативний дріб з непарним знаменником, деякі автори вважають областю визначення статечної функції інтервал . У цьому обумовлюються, що показник ступеня a – нескоротний дріб. Зараз автори багатьох підручників з алгебри та початків аналізу НЕ ВИЗНАЧАЮТЬ статечні функції з показником у вигляді дробу з непарним знаменником при негативних значеннях аргументу. Ми дотримуватимемося саме такого погляду, тобто вважатимемо областями визначення статечних функцій із дробовими дробовими негативними показниками ступеня безліч відповідно. Рекомендуємо учням дізнатися погляд Вашого викладача на цей тонкий момент, щоб уникнути розбіжностей.

Переходимо до статечної функції, до року.

Щоб добре представляти вид графіків статечних функцій при наведемо приклади графіків функцій (чорна, червона, синя та зелена криві відповідно).

Властивості статечної функції з показником a, .

Ступінна функція з нецілим дійсним показником, який менший за мінус одиниці.

Наведемо приклади графіків статечних функцій при , вони зображені чорною, червоною, синьою та зеленою лініями відповідно.

Властивості статечної функції з нецілим негативним показником, меншим за мінус одиниці.

При а=0 і маємо функцію - це пряма з якої виключена точка (0;1) (виразу 0 0 домовилися не надавати жодного значення).

Показова функція.

Однією з основних елементарних функцій показова функція.

Графік показової функції , де приймає різний вигляд залежно від значення підстави а . Розберемося в цьому.

Спочатку розглянемо випадок, коли основа показової функції набуває значення від нуля до одиниці, тобто .

Наприклад наведемо графіки показової функції при а = 1/2 – синя лінія, a = 5/6 – червона лінія. Аналогічний вигляд мають графіки показової функції за інших значеннях основи з інтервалу.

Властивості показової функції з основою меншою одиниці.

Переходимо до випадку, коли основа показової функції більше одиниці, тобто .

Як ілюстрацію наведемо графіки показових функцій – синя лінія та – червона лінія. При інших значеннях підстави, високих одиниць, графіки показової функції матимуть схожий вид.

Властивості показової функції з основою великої одиниці.

Логарифмічна функція.

Наступною основною елементарною функцією є логарифмічна функція де , . Логарифмічна функція визначена лише позитивних значень аргументу, тобто, при .

Графік логарифмічної функції набуває різного вигляду залежно від значення підстави а.

Основні елементарні функції, притаманні їм якості та відповідні графіки – одні з азів математичних знань, схожих за рівнем важливості з таблицею множення. Елементарні функції є основою, опорою вивчення всіх теоретичних питань.

Yandex.RTB R-A-339285-1

Стаття нижче дає ключовий матеріал на тему основних елементарних функцій. Ми введемо терміни, дамо їм визначення; докладно вивчимо кожен вид елементарних функцій, розберемо їх властивості.

Виділяють такі види основних елементарних функцій:

Визначення 1

• постійна функція (константа);
• корінь n-ого ступеня;
• статечна функція;
• показова функція;
• логарифмічна функція;
• тригонометричні функції;
• братні тригонометричні функції.

Постійна функція визначається формулою: y = C (C - якесь дійсне число) і має також назву: константа. Ця функція визначає відповідність будь-якому дійсному значенню незалежної змінної x одного й того ж значення змінної y значення C .

Графік константи - це пряма, яка паралельна осі абсцис і проходить через точку, що має координати (0, С). Для наочності наведемо графіки постійних функцій y = 5, y = - 2, y = 3, y = 3 (на кресленні позначено чорним, червоним та синім кольорами відповідно).

Визначення 2

Ця елементарна функція визначається формулою y = x n (n – натуральне число більше одиниці).

Розглянемо дві варіації функції.

1. Корінь n-го ступеня, n – парне число

Для наочності вкажемо креслення, у якому зображені графіки таких функций: y = x , y = x 4 і y = x8. Ці функції позначені кольором: чорний, червоний та синій відповідно.

Схожий вигляд у графіків функції парного ступеня за інших значень показника.

Визначення 3

Властивості функції корінь n-го ступеня, n – парне число

• область визначення - безліч всіх невід'ємних дійсних чисел [0, + ∞);
• коли x = 0, функція y = x n має значення, що дорівнює нулю;
• дана функція-функція загального виду (не є ні парною, ні непарною);
• область значень: [0, + ∞);
• дана функція y = x n при парних показниках кореня зростає по всій області визначення;
• функція має опуклість з напрямком вгору по всій області визначення;
• відсутні точки перегину;
• асимптоти відсутні;
• графік функції при парних n проходить через точки (0; 0) і (1; 1).

1. Корінь n-го ступеня, n – непарне число

Така функція визначена на всій кількості дійсних чисел. Для наочності розглянемо графіки функцій y = x 3 , y = x 5 і х 9 . На кресленні вони позначені кольорами: чорний, червоний та синій кольори кривих відповідно.

Інші непарні значення показника кореня функції y = xn дадуть графік аналогічного виду.

Визначення 4

Властивості функції корінь n-го ступеня, n – непарне число

• область визначення - безліч всіх дійсних чисел;
• дана функція – непарна;
• область значень – безліч усіх дійсних чисел;
• функція y = x n при непарних показниках кореня зростає по всій області визначення;
• функція має увігнутість на проміжку (- ∞ ; 0 ) і опуклість на проміжку [ 0 , + ∞) ;
• точка перегину має координати (0; 0);
• асимптоти відсутні;
• графік функції при непарних n проходить через точки (-1; - 1), (0; 0) і (1; 1).

Ступінна функція

Визначення 5

Ступінна функція визначається формулою y = x a.

Вигляд графіків та властивості функції залежать від значення показника ступеня.

• коли статечна функція має цілий показник a , то вид графіка статечної функції та її властивості залежать від того, парний чи непарний показник ступеня, а також того, який знак має показник ступеня. Розглянемо всі ці окремі випадки докладніше нижче;
• показник ступеня може бути дробовим чи ірраціональним – залежно від цього також варіюється вид графіків та властивості функції. Ми розберемо окремі випадки, поставивши кілька умов: 0< a < 1 ; a > 1 ; - 1 < a < 0 и a < - 1 ;
• статечна функція може мати нульовий показник, цей випадок також нижче розберемо докладніше.

Розберемо статечну функцію y = x a , коли a – непарне позитивне число, наприклад, a = 1 , 3 , 5 …

Для наочності вкажемо графіки таких статечних функцій: y = x (чорний колір графіка), y = x 3 (синій колір графіка), y = x 5 (червоний колір графіка), y = x7 (зелений колір графіка). Коли a = 1, отримуємо лінійну функцію y = x.

Визначення 6

Властивості статечної функції, коли показник ступеня – непарний позитивний

• функція є зростаючою за x ∈ (- ∞ ; + ∞) ;
• функція має опуклість при x ∈ (- ∞ ; 0 ) і увігнутість при x ∈ [ 0 ; + ∞) (виключаючи лінійну функцію);
• точка перегину має координати (0; 0) (виключаючи лінійну функцію);
• асимптоти відсутні;
• точки проходження функції: (- 1; - 1), (0; 0), (1; 1).

Розберемо статечну функцію y = x a , коли a – парне позитивне число, наприклад, a = 2 , 4 , 6 …

Для наочності вкажемо графіки таких статечних функцій: y = x 2 (чорний колір графіка), y = x 4 (синій колір графіка), y = x 8 (червоний колір графіка). Коли a = 2 отримуємо квадратичну функцію, графік якої – квадратична парабола.

Визначення 7

Властивості статечної функції, коли показник ступеня – парний позитивний:

• область визначення: x ∈ (- ∞ ; + ∞);
• спадаючою при x ∈ (- ∞; 0];
• функція має увігнутість при x ∈ (- ∞ ; + ∞) ;
• окуляри перегину відсутні;
• асимптоти відсутні;
• точки проходження функції: (- 1; 1), (0; 0), (1; 1).

На малюнку нижче наведено приклади графіків статечної функції y = x a , коли a – непарне від'ємне число: y = x – 9 (чорний колір графіка); y = x – 5 (синій колір графіка); y = x – 3 (червоний колір графіка); y = x – 1 (зелений колір графіка). Коли a = - 1 отримуємо зворотну пропорційність, графік якої - гіпербола.

Визначення 8

Властивості статечної функції, коли показник ступеня – непарний негативний:

Коли х = 0 отримуємо розрив другого роду, оскільки lim x → 0 - 0 x a = - ∞ , lim x → 0 + 0 x a = + ∞ при a = - 1, - 3, - 5, …. Отже, пряма x = 0 – вертикальна асимптота;

• область значень: y ∈ (- ∞ ; 0) ∪ (0 ; + ∞) ;
• функція є непарною, оскільки y(-x) = -y(x);
• функція є спадною при x ∈ - ∞ ; 0 ∪ (0; + ∞);
• функція має опуклість при x ∈ (- ∞ ; 0) і увігнутість при x ∈ (0 ; + ∞) ;
• точки перегину відсутні;

k = lim x → ∞ x a x = 0, b = lim x → ∞ (x a - k x) = 0 ⇒ y = k x + b = 0, коли а = - 1, - 3, - 5,. . . .

• точки проходження функції: (- 1; - 1), (1; 1).

На малюнку нижче наведено приклади графіків статечної функції y = x a , коли a – парне від'ємне число: y = x – 8 (чорний колір графіка); y = x – 4 (синій колір графіка); y = x – 2 (червоний колір графіка).

Визначення 9

Властивості статечної функції, коли показник ступеня – парний негативний:

• область визначення: x ∈ (- ∞ ; 0) ∪ (0 ; + ∞) ;

Коли х = 0 отримуємо розрив другого роду, оскільки lim x → 0 - 0 x a = + ∞ , lim x → 0 + 0 x a = + ∞ при a = - 2, - 4, - 6, …. Отже, пряма x = 0 – вертикальна асимптота;

• функція є парною, оскільки y(-x) = y(x);
• функція є зростаючою при x ∈ (- ∞ ; 0) і спадною при x ∈ 0 ; + ∞;
• функція має увігнутість при x ∈ (- ∞ ; 0) ∪ (0 ; + ∞) ;
• точки перегину відсутні;
• горизонтальна асимптота - пряма y = 0, оскільки:

k = lim x → ∞ x a x = 0, b = lim x → ∞ (x a - k x) = 0 ⇒ y = k x + b = 0, коли a = - 2, - 4, - 6, . . . .

• точки проходження функції: (- 1; 1), (1; 1).

З самого початку зверніть увагу на наступний аспект: у випадку, коли a – позитивний дріб з непарним знаменником, деякі автори приймають за область визначення цієї статечної функції інтервал - ∞; + ∞ , застерігаючи при цьому, що показник a – нескоротний дріб. На даний момент автори багатьох навчальних видань з алгебри та початків аналізу НЕ ВИЗНАЧАЮТЬ статечні функції, де показник – дріб з непарним знаменником при негативних значеннях аргументу. Далі ми дотримаємося саме такої позиції: візьмемо за область визначення статечних функцій з дрібними позитивними показниками ступеня безліч [0; + ∞). Рекомендація для учнів: з'ясувати погляд викладача на цей момент, щоб уникнути розбіжностей.

Отже, розберемо статечну функцію y = x a , коли показник ступеня – раціональне чи ірраціональне число за умови, що 0< a < 1 .

Проілюструємо графіками статечні функції y = x a коли а = 11 12 (чорний колір графіка); a = 5 7 (червоний колір графіка); a = 13 (синій колір графіка); a = 2 5 (зелений колір графіка).

Інші значення показника ступеня a (за умови 0< a < 1) дадут аналогичный вид графика.

Визначення 10

Властивості статечної функції при 0< a < 1:

• область значень: y ∈ [0; + ∞);
• функція є зростаючою при x ∈ [0; + ∞);
• функція має опуклість при x ∈ (0; + ∞);
• точки перегину відсутні;
• асимптоти відсутні;

Розберемо статечну функцію y = x a , коли показник ступеня – неціле раціональне чи ірраціональне число за умови, що a > 1 .

Проілюструємо графіками статечну функцію y = x a у заданих умовах на прикладі таких функцій: y = x 5 4 , y = x 4 3 , y = x 7 3 , y = x 3 π (чорний, червоний, синій, зелений колір графіків відповідно).

Інші значення показника ступеня, а за умови a > 1, дадуть схожий вид графіка.

Визначення 11

Властивості статечної функції при a > 1:

• область визначення: x ∈ [0; + ∞);
• область значень: y ∈ [0; + ∞);
• дана функція - функція загального виду (не є ні непарною, ні парною);
• функція є зростаючою при x ∈ [0; + ∞);
• функція має увігнутість при x ∈ (0 ; + ∞) (коли 1< a < 2) и выпуклость при x ∈ [ 0 ; + ∞) (когда a > 2);
• точки перегину відсутні;
• асимптоти відсутні;
• точки проходження функції: (0; 0), (1; 1).

Звертаємо вашу увагу! Коли a – негативний дріб з непарним знаменником, у роботах деяких авторів зустрічається погляд, що область визначення в даному випадку – інтервал - ∞; 0 ∪ (0 ; + ∞) із застереженням, що показник ступеня a – нескоротний дріб. На даний момент автори навчальних матеріалів з алгебри та початків аналізу НЕ ВИЗНАЧАЮТЬ статечні функції з показником у вигляді дробу з непарним знаменником при негативних значеннях аргументу. Далі ми дотримуємося саме такого погляду: візьмемо за область визначення статечних функцій з дрібними негативними показниками безліч (0; + ∞). Рекомендація для учнів: уточніть бачення вашого викладача на цей момент, щоб уникнути розбіжностей.

Продовжуємо тему та розбираємо статечну функцію y = x a за умови: - 1< a < 0 .

Наведемо креслення графіків наступних функцій: y = x - 5 6 y = x - 2 3 y = x - 1 2 2 y = x - 1 7 (чорний, червоний, синій, зелений колір ліній відповідно).

Визначення 12

Властивості статечної функції при - 1< a < 0:

lim x → 0 + 0 x a = + ∞ , коли - 1< a < 0 , т.е. х = 0 – вертикальная асимптота;

• область значень: y ∈ 0; + ∞;
• дана функція - функція загального виду (не є ні непарною, ні парною);
• точки перегину відсутні;

На кресленні нижче наведені графіки статечних функцій y = x - 54, y = x - 53, y = x - 6, y = x - 247 (чорний, червоний, синій, зелений кольори кривих відповідно).

Визначення 13

Властивості статечної функції при a< - 1:

• область визначення: x ∈ 0; + ∞;

lim x → 0 + 0 x a = + ∞ , коли a< - 1 , т.е. х = 0 – вертикальная асимптота;

• область значень: y ∈ (0; + ∞);
• дана функція - функція загального виду (не є ні непарною, ні парною);
• функція є спадною при x ∈ 0; + ∞;
• функція має увігнутість при x ∈ 0; + ∞;
• точки перегину відсутні;
• горизонтальна асимптота - пряма y = 0;
• точка проходження функції: (1; 1) .

Коли a = 0 і х ≠ 0 отримаємо функцію y = x 0 = 1 , що визначає пряму, з якої виключена точка (0 ; 1) (умовилися, що виразу 0 0 не надаватиметься ніякого значення).

Показова функція має вигляд y = a x , де а > 0 і а ≠ 1 і графік цієї функції виглядає по-різному, виходячи зі значення підстави a . Розглянемо окремі випадки.

Спочатку розберемо ситуацію, коли основа показової функції має значення від нуля до одиниці (0< a < 1) . Наочним прикладом послужать графіки функцій при a = 1 2 (синій колір кривої) та a = 5 6 (червоний колір кривої).

Подібний вигляд матимуть графіки показової функції за інших значень основи за умови 0< a < 1 .

Визначення 14

Властивості показової функції, коли основа менше одиниці:

• область значень: y ∈ (0; + ∞);
• дана функція - функція загального виду (не є ні непарною, ні парною);
• показова функція, у якої основа менше одиниці, є спадною по всій області визначення;
• точки перегину відсутні;
• горизонтальна асимптота - пряма y = 0 при змінній x, що прагне + ∞;

Тепер розглянемо випадок, коли основа показової функції більше ніж одиниця (а > 1) .

Проілюструємо цей окремий випадок графіком показових функцій y = 3 2 x (синій колір кривої) та y = e x (червоний колір графіка).

Інші значення основи, великі одиниці, дадуть аналогічний вид графіка показової функції.

Визначення 15

Властивості показової функції, коли основа більше одиниці:

• область визначення - все безліч дійсних чисел;
• область значень: y ∈ (0; + ∞);
• дана функція - функція загального виду (не є ні непарною, ні парною);
• показова функція, у якої основа більша за одиницю, є зростаючою при x ∈ - ∞ ; + ∞;
• функція має увігнутість при x ∈ - ∞; + ∞;
• точки перегину відсутні;
• горизонтальна асимптота - пряма y = 0 при змінній x, що прагне до - ∞;
• точка проходження функції: (0; 1) .

Логарифмічна функція має вигляд y = log a (x), де a > 0, a ≠ 1 .

Така функція визначена лише за позитивних значень аргументу: при x ∈ 0 ; + ∞.

Графік логарифмічної функції має різний вигляд, виходячи із значення основи а.

Розглянемо спочатку ситуацію, коли 0< a < 1 . Продемонстрируем этот частный случай графиком логарифмической функции при a = 1 2 (синий цвет кривой) и а = 5 6 (красный цвет кривой).

Інші значення підстави, невеликі одиниці, дадуть аналогічний вид графіка.

Визначення 16

Властивості логарифмічної функції, коли основа менше одиниці:

• область визначення: x ∈ 0; + ∞. Коли х прагне до нуля праворуч, значення функції прагнуть + ∞ ;
• область значень: y ∈ - ∞; + ∞;
• дана функція - функція загального виду (не є ні непарною, ні парною);
• логарифмічна
• функція має увігнутість при x ∈ 0; + ∞;
• точки перегину відсутні;
• асимптоти відсутні;

Тепер розберемо окремий випадок, коли основа логарифмічної функції більше одиниці: а > 1 . На кресленні нижче – графіки логарифмічних функцій y = log 3 2 x і y = ln x (синій та червоний кольори графіків відповідно).

Інші значення основи більше одиниці дадуть аналогічний вид графіка.

Визначення 17

Властивості логарифмічної функції, коли основа більше одиниці:

• область визначення: x ∈ 0; + ∞. Коли х прагне нуля праворуч, значення функції прагнуть до - ∞ ;
• область значень: y ∈ - ∞; + ∞ (все безліч дійсних чисел);
• дана функція - функція загального виду (не є ні непарною, ні парною);
• логарифмічна функція є зростаючою при x ∈ 0; + ∞;
• функція має опуклість при x ∈ 0; + ∞;
• точки перегину відсутні;
• асимптоти відсутні;
• точка проходження функції: (1; 0) .

Тригонометричні функції – це синус, косинус, тангенс та котангенс. Розберемо властивості кожної з них та відповідні графіки.

Загалом всім тригонометричних функцій характерна властивість періодичності, тобто. коли значення функцій повторюються при різних значеннях аргументу, що відрізняються один від одного на величину періоду f(x + T) = f(x) (T – період). Таким чином, у списку властивостей тригонометричних функцій додається пункт найменший позитивний період. Крім цього, будемо вказувати такі значення аргументу, у яких відповідна функція перетворюється на нуль.

1. Функція синусу: y = sin (х)

Графік цієї функції називається синусоїда.

Визначення 18

Властивості функції синус:

• область визначення: всі множини дійсних чисел x ∈ - ∞ ; + ∞;
• функція перетворюється на нуль, коли x = π · k , де k ∈ Z (Z – безліч цілих чисел);
• функція є зростаючою при x ∈ - π 2 + 2 π · k; π 2 + 2 π · k , k ∈ Z і спадної при x ∈ π 2 + 2 π · k ; 3 π 2 + 2 π · k, k ∈ Z;
• функція синус має локальні максимуми в точках π 2 + 2 π · k; 1 і локальні мінімуми в точках - π 2 + 2 π · k; - 1, k ∈ Z;
• функція синус увігнута, коли x ∈ - π + 2 π · k; 2 π · k , k ∈ Z і опукла, коли x ∈ 2 π · k ; π + 2 π · k, k ∈ Z;
• асимптоти відсутні.

1. Функція косинус: y = cos(х)

Графік цієї функції називається косінусоїда.

Визначення 19

Властивості функції косинус:

• область визначення: x ∈ - ∞; + ∞;
• найменший позитивний період: Т = 2 π;
• область значень: y ∈ - 1; 1;
• дана функція – парна, оскільки y(-x) = y(x);
• функція є зростаючою при x ∈ - π + 2 π · k; 2 π · k , k ∈ Z і спадної при x ∈ 2 π · k ; π + 2 π · k, k ∈ Z;
• функція косинус має локальні максимуми в точках 2 π · k; 1 , k ∈ Z та локальні мінімуми в точках π + 2 π · k ; - 1, k ∈ z;
• функція косинус увігнута, коли x ∈ π 2 + 2 π · k; 3 π 2 + 2 π · k , k ∈ Z і опукла, коли x ∈ - π 2 + 2 π · k ; π 2 + 2 π · k, k ∈ Z;
• точки перегину мають координати π 2 + π · k; 0 , k ∈ Z
• асимптоти відсутні.

1. Функція тангенс: y = tg(х)

Графік цієї функції називається тангенсоїду.

Визначення 20

Властивості функції тангенс:

• область визначення: x ∈ - π 2 + π · k; π 2 + π · k , де k ∈ Z (Z – безліч цілих чисел);
• Поведінка функції тангенс на межі області визначення lim x → π 2 + π · k + 0 t g (x) = - ∞ , lim x → π 2 + π · k - 0 t g (x) = + ∞ . Таким чином, прямі x = π 2 + π · k k ∈ Z – вертикальні асимптоти;
• функція перетворюється на нуль, коли x = π · k при k ∈ Z (Z – безліч цілих чисел);
• область значень: y ∈ - ∞; + ∞;
• дана функція - непарна, оскільки y(-x) = -y(x);
• функція є зростаючою при - π 2 + π · k; π 2 + π · k, k ∈ Z;
• функція тангенс є увігнутою при x ∈ [π · k; π 2 + π · k), k ∈ Z і опуклою при x ∈ (- π 2 + π · k; π · k], k ∈ Z;
• точки перегину мають координати π · k; 0, k ∈ Z;

1. Функція котангенс: y = ctg(х)

Графік цієї функції називається котангенсоіда .

Визначення 21

Властивості функції котангенс:

• область визначення: x ∈ (π · k ; π + π · k) , де k ∈ Z (Z - безліч цілих чисел);

Поведінка функції котангенсу на межі області визначення lim x → π · k + 0 t g (x) = + ∞ , lim x → π · k - 0 t g (x) = - ∞ . Таким чином, прямі x = π · k k ∈ Z – вертикальні асимптоти;

• найменший позитивний період: Т = π;
• функція перетворюється на нуль, коли x = π 2 + π · k при k ∈ Z (Z – безліч цілих чисел);
• область значень: y ∈ - ∞; + ∞;
• дана функція - непарна, оскільки y(-x) = -y(x);
• функція є спадною при x ∈ π · k; π + π · k, k ∈ Z;
• функція котангенс є увігнутою при x ∈ (π · k ; π 2 + π · k ] , k ∈ Z і опуклою при x ∈ [ - π 2 + π · k ;
• точки перегину мають координати π 2 + π · k; 0, k ∈ Z;
• похилі та горизонтальні асимптоти відсутні.

Зворотні тригонометричні функції – це арксинус, арккосинус, арктангенс та арккотангенс. Найчастіше у зв'язку з наявністю приставки «арк» у назві зворотні тригонометричні функції називають аркфункціями. .

1. Функція арксинус: y = a r c sin (x)

Визначення 22

Властивості функції арксинус:

• дана функція - непарна, оскільки y(-x) = -y(x);
• функція арксинус має увігнутість при x ∈ 0; 1 і опуклість при x ∈ - 1; 0;
• точки перегину мають координати (0 ; 0), вона ж – нуль функції;
• асимптоти відсутні.

1. Функція арккосинус: y = r c cos (х)

Визначення 23

Властивості функції арккосинус:

• область визначення: x ∈ - 1; 1;
• область значень: y ∈ 0; π;
• дана функція - загального виду (ні парна, ні непарна);
• функція є спадною по всій області визначення;
• функція арккосинус має увігнутість при x ∈ - 1; 0 і опуклість при x ∈ 0; 1;
• точки перегину мають координати 0; π 2;
• асимптоти відсутні.

1. Функція арктангенс: y = r c t g (х)

Визначення 24

Властивості функції арктангенс:

• область визначення: x ∈ - ∞; + ∞;
• область значень: y ∈ - π 2; π 2;
• дана функція - непарна, оскільки y(-x) = -y(x);
• функція є зростаючою по всій області визначення;
• функція арктангенс має увігнутість при x ∈ (- ∞ ; 0 ) і опуклість при x ∈ [ 0 ; + ∞) ;
• точка перегину має координати (0 ; 0), вона ж – нуль функції;
• горизонтальні асимптоти – прямі y = - π 2 за x → - ∞ і y = π 2 за x → + ∞ (на малюнку асимптоти – це лінії зеленого кольору).

1. Функція арккотангенс: y = r c c t g (х)

Визначення 25

Властивості функції арккотангенсу:

• область визначення: x ∈ - ∞; + ∞;
• область значень: y ∈ (0; π);
• дана функція – загального виду;
• функція є спадною по всій області визначення;
• функція арккотангенс має увігнутість при x ∈ [0; + ∞) і опуклість при x ∈ (- ∞; 0];
• точка перегину має координати 0; π 2;
• горизонтальні асимптоти – прямі y = π при x → - ∞ (на кресленні – лінія зеленого кольору) та y = 0 при x → + ∞ .

Якщо ви помітили помилку в тексті, будь ласка, виділіть її та натисніть Ctrl+Enter