Властивості функції Проаналізуємо за схемою: Проаналізуємо за схемою: 1. область визначення функції 1. область визначення функції 2. множина значень функції 2. безліч значень функції 3. нулі функції 3. нулі функції 4. проміжки знаковості функції 4. парність або непарність функції 5. парність або непарність функції 6. монотонність функції 6. монотонність функції 7. найбільше та найменше значення 7. найбільше та найменше значення 8. періодичність функції 8. періодичність функції 9. обмеженість функції 9. обмеженість функції
0 при х R. 5) Функція ні парна, ні "title="Показова функція, її графік і властивості y x 1 о 1) Область визначення - безліч всіх дійсних чисел (D(у)=R). 2) Безліч значень - безліч всіх позитивних чисел (E(y) = R +). 3) Нулів немає. 4) у>0 при х R. 5) Функція ні парна, ні" class="link_thumb"> 10 !}Показова функція, її графік і якості y x 1 о 1) Область визначення – безліч всіх дійсних чисел (D(у)=R). 2) Безліч значень - безліч всіх позитивних чисел (E(y) = R +). 3) Нулів немає. 4) у>0 при х R. 5) Функція ні парна, ні непарна. 6) Функція монотонна: зростає на R при а>1 і зменшується на R при 0 0 при х R. 5) Функція ні парна, ні "> 0 при х R. 5) Функція ні парна, ні непарна. 6) Функція монотонна: зростає на R при а>1 і зменшується на R при 0" х R. 5) Функція ні парна, ні "title="Показова функція, її графік і властивості y x 1 о 1) Область визначення - безліч всіх дійсних чисел (D(у)=R). 2) Безліч значень - безліч всіх позитивних чисел (E(y) = R +). 3) Нулів немає. 4) у>0 при х R. 5) Функція ні парна, ні"> title="Показова функція, її графік і якості y x 1 о 1) Область визначення – безліч всіх дійсних чисел (D(у)=R). 2) Безліч значень - безліч всіх позитивних чисел (E(y) = R +). 3) Нулів немає. 4) у>0 при х R. 5) Функція ні парна, ні"> !}
Зростання деревини відбувається за законом, де: A-зміна кількості деревини в часі; A 0 - Початкова кількість деревини; t-час, до, а деякі постійні. Зростання деревини відбувається за законом, де: A-зміна кількості деревини в часі; A 0 - Початкова кількість деревини; t-час, до, а деякі постійні. t 0 t0t0 t1t1 t2t2 t3t3 tntn A A0A0 A1A1 A2A2 A3A3 AnAn
Температура чайника змінюється за законом, де: Т-Зміна температури чайника з часом; Т 0 – температура кипіння води; t-час, до, а деякі постійні. Температура чайника змінюється за законом, де: Т-Зміна температури чайника з часом; Т 0 – температура кипіння води; t-час, до, а деякі постійні. t 0 t0t0 t1t1 t2t2 t3t3 tntn T T0T0 T1T1 T2T2 T3T3
Радіоактивний розпад відбувається за законом, де: Радіоактивний розпад відбувається за законом, де: N-число атомів, що не розпалися в будь-який момент часу t; N 0 - Початкове число атомів (у момент часу t = 0); t-час; N-число атомів, що не розпалися, в будь-який момент часу t; N 0 - Початкове число атомів (у момент часу t = 0); t-час; Т-період напіврозпаду. Т-період напіврозпаду. t 0 t 1 t 2 N N3N3 N4N4 t4t4 N0N0 t3t3 N2N2 N1N1
Суттєва властивість процесів органічної зміни величин полягає в тому, що за рівні проміжки часу значення величини змінюється в тому самому відношенні Зростання деревини Зміна температури чайника Зміна тиску повітря До процесів органічної зміни величин відносяться:
Порівняйте числа 1,3 34 та 1,3 40. Приклад 1. Порівняйте числа 1,3 34 та 1,3 40. Загальний метод розв'язання. 1. Уявити числа у вигляді ступеня з однаковою основою (якщо це необхідно) 1,3 34 і 1, З'ясувати, зростаючою або спадною є показова функція а = 1,3; а>1, отже показова функція зростає. а=1,3; а>1, отже показова функція зростає. 3. Порівняти показники ступенів (або аргументи функцій) 34 1, отже показова функція зростає. а=1,3; а>1, отже показова функція зростає. 3. Порівняти показники ступенів (або аргументи функцій) 34"> 
Розв'яжіть графічно рівняння 3 х =4-х. Приклад 2. Розв'яжіть графічно рівняння 3 х =4-х.Рішення. Використовуємо функціонально-графічний метод розв'язання рівнянь: побудуємо в одній системі координат графіки функцій у=3х і у=4-х. графіки функцій у = 3х і у = 4-х. Зауважуємо, що вони мають одну загальну точку (1; 3). Отже, рівняння має єдине коріння х=1. Відповідь: 1 Відповідь: 1 у=4-х
4-х. Приклад 3. Розв'яжіть графічно нерівність 3 х >4-х. Рішення. у=4-х Використовуємо функціонально-графічний метод розв'язання нерівностей: 1. Побудуємо в одній системі 1. Побудуємо в одній системі координат графіки функцій "title="Розв'яжіть графічно нерівність 3 х >4-х. Приклад 3. Розв'яжіть графічно нерівність 3 х >4-х. Розв'язання." class="link_thumb"> 24 !}Розв'яжіть графічно нерівність 3 х >4-х. Приклад 3. Розв'яжіть графічно нерівність 3 х >4-х. Рішення. у = 4-х Використовуємо функціонально-графічний метод розв'язання нерівностей: 1. Побудуємо в одній системі 1. Побудуємо в одній системі координат графіки функцій координат графіки функцій у = 3х і у = 4-х. 2. Виділимо частину графіка функції у = 3х, розташовану вище (т.к. знак >) графіка функції у = 4-х. 3. Зазначимо на осі х ту частину, яка відповідає виділеній частині графіка (інакше: спроектуємо виділену частину графіка на вісь х). 4. Запишемо відповідь у вигляді інтервалу: Відповідь: (1;). Відповідь: (1;). 4-х. Приклад 3. Розв'яжіть графічно нерівність 3 х >4-х. Рішення. у=4-х Використовуємо функціонально-графічний метод розв'язання нерівностей: 1. Побудуємо в одній системі 1. Побудуємо в одній системі координат графіки функцій "> 4-х. Приклад 3. Розв'яжіть графічно нерівність 3 х >4-х. = 4-х Використовуємо функціонально-графічний метод розв'язання нерівностей: 1. Побудуємо в одній системі 1. Побудуємо в одній системі координат графіки функцій координат графіки функцій у = 3х і у = 4-х 2. Виділимо частину графіка функції у = 3 х, розташовану вище (т. к. знак >) графіка функції у = 4-х. у вигляді інтервалу: Відповідь: (1;). Відповідь: (1;). Приклад 3. Розв'яжіть графічно нерівність 3 х >4-х. Рішення. у=4-х Використовуємо функціонально-графічний метод розв'язання нерівностей: 1. Побудуємо в одній системі 1. Побудуємо в одній системі координат графіки функцій "title="Розв'яжіть графічно нерівність 3 х >4-х. Приклад 3. Розв'яжіть графічно нерівність 3 х >4-х. Розв'язання."> title="Розв'яжіть графічно нерівність 3 х >4-х. Приклад 3. Розв'яжіть графічно нерівність 3 х >4-х. Рішення. у = 4-х Використовуємо функціонально-графічний метод розв'язання нерівностей: 1. Побудуємо в одній системі 1. Побудуємо в одній системі координат графіки функцій"> !}
Розв'яжіть графічно нерівності: 1) 2 х >1; 2) 2 х 1; 2) 2 х "> 1; 2) 2 х "> 1; 2) 2 х "title="Розв'яжіть графічно нерівності: 1) 2 х >1; 2) 2 х"> title="Розв'яжіть графічно нерівності: 1) 2 х >1; 2) 2 х"> !}
Самостійна робота (тест) 1. Вкажіть показову функцію: 1. Вкажіть показову функцію: 1) у = х 3; 2) у = х 5/3; 3) у = 3 х + 1; 4) у = 3 х +1. 1) у = х 3; 2) у = х 5/3; 3) у = 3 х + 1; 4) у = 3 х +1. 1) у = х 2; 2) у = х -1; 3) у=-4+2 х; 4) у = 0,32 х. 1) у = х 2; 2) у = х -1; 3) у=-4+2 х; 4) у = 0,32 х. 2. Вкажіть функцію, що зростає на всій області визначення: 2. Вкажіть функцію, яка зростає на всій області визначення: 1) у = (2/3) -х; 2) у = 2-х; 3) у = (4/5) х; 4) у = 0,9 х. 1) у = (2/3) -х; 2) у = 2-х; 3) у = (4/5) х; 4) у = 0,9 х. 1) у = (2/3) х; 2) у = 7,5 х; 3) у = (3/5) х; 4) у = 0,1 х. 1) у = (2/3) х; 2) у = 7,5 х; 3) у = (3/5) х; 4) у = 0,1 х. 3. Вкажіть функцію, що зменшується на всій області визначення: 3. Вкажіть функцію, що зменшується на всій області визначення: 1) у = (3/11) -х; 2) у = 0,4 х; 3) у = (10/7) х; 4) у = 1,5 х. 1) у = (2/17) -х; 2) у = 5,4 х; 3) у = 0,7 х; 4) у = 3 х. 4. Вкажіть множину значень функції у=3 -2 х -8: 4. Вкажіть множину значень функції у=2 х+1 +16: 5. Вкажіть найменше з даних чисел: 5. Вкажіть найменше з даних чисел: 1) 3 - 1/3; 2) 27 -1/3; 3) (1/3) -1/3; 4) 1-1/3. 1) 3 -1/3; 2) 27 -1/3; 3) (1/3) -1/3; 4) 1-1/3. 5. Вкажіть найбільше з цих чисел: 1) 5 -1/2; 2) 25 -1/2; 3) (1/5) -1/2; 4) 1-1/2. 1) 5 -1/2; 2) 25 -1/2; 3) (1/5) -1/2; 4) 1-1/2. 6. З'ясуйте графічно, скільки коренів має рівняння 2 х = х -1/3 (1/3) х = х 1/2 6. З'ясуйте графічно, скільки коренів має рівняння 2 х = х -1/3 (1/3) х = х 1/2 1) 1 корінь; 2) 2 корені; 3) 3 корені; 4) 4 корені.
1. Вкажіть показову функцію: 1) у = х 3; 2) у = х 5/3; 3) у=3 х+1; 4) у = 3 х +1. 1) у = х 3; 2) у = х 5/3; 3) у=3 х+1; 4) у=3 х Вкажіть функцію, що зростає на всій області визначення: 2. Вкажіть функцію, що зростає на всій області визначення: 1) у = (2/3)-х; 2) у = 2-х; 3) у = (4/5) х; 4) у = 0,9 х. 1) у = (2/3)-х; 2) у = 2-х; 3) у = (4/5) х; 4) у = 0,9 х. 3. Вкажіть функцію, що зменшується на всій області визначення: 3. Вкажіть функцію, що зменшується на всій області визначення: 1) у = (3/11)-х; 2) у = 0,4 х; 3) у = (10/7) х; 4) у = 1,5 х. 1) у = (3/11)-х; 2) у = 0,4 х; 3) у = (10/7) х; 4) у = 1,5 х. 4. Вкажіть множину значень функції у=3-2 х-8: 4. Вкажіть множину значень функції у=3-2 х-8: 5. Вкажіть найменше з даних чисел: 5. Вкажіть найменше з даних чисел: 1) 3- 1/3; 2) 27-1/3; 3) (1/3)-1/3; 4) 1-1/3. 1) 3-1/3; 2) 27-1/3; 3) (1/3)-1/3; 4) 1-1/3. 6. З'ясуйте графічно, скільки коренів має рівняння 2 х=х- 1/3 6. З'ясуйте графічно, скільки коренів має рівняння 2 х=х- 1/3 1) 1 корінь; 2) 2 корені; 3) 3 корені; 4) 4 корені. 1) 1 корінь; 2) 2 корені; 3) 3 корені; 4) 4 корені. Перевірна робота Виберіть показові функції, які: Виберіть показові функції, які: I варіант – зменшуються в області визначення; I варіант – зменшуються області визначення; II варіант – зростають області визначення. II варіант – зростають області визначення.
Концентрація уваги:
Визначення. Функція виду називається показовою функцією .
Зауваження. Виняток із значень основи aчисел 0; 1 та негативних значень aпояснюється такими обставинами:
Сам аналітичний вираз a xу зазначених випадках зберігає сенс і може зустрічатися у вирішенні завдань. Наприклад, для вираження x yкрапка x = 1; y = 1 входить у область допустимих значень.
Побудувати графіки функцій: і .
 |
 |
| Графік показової функції | |
| y = a x, a > 1 | y = a x , 0< a < 1 |
 |
 |
Властивості показової функції
| Властивості показової функції | y = a x, a > 1 | y = a x , 0< a < 1 |
|
||
| 2. Область значень функції | ||
| 3.Проміжки порівняння з одиницею | при x> 0, a x > 1 | при x > 0, 0< a x < 1 |
| при x < 0, 0< a x < 1 | при x < 0, a x > 1 | |
| 4. парність, непарність. | Функція не є ні парною, ні непарною (функція загального вигляду). | |
| 5.Монотонність. | монотонно зростає на R | монотонно зменшується на R |
| 6. Екстремуми. | Показова функція екстремумів немає. | |
| 7.Асимптота | Вісь O xє горизонтальною асимптотою. | |
| 8. За будь-яких дійсних значень xі y; |  |
|
Коли заповнюється таблиця, паралельно із заповненням вирішуються завдання.
Завдання № 1. (Для знаходження області визначення функції).
Які значення аргументу є допустимими для функцій:
Завдання № 2. (Для знаходження області значень функції).
На малюнку зображено графік функції. Вкажіть область визначення та область значень функції:
 |
 |
 |
 |
Завдання № 3. (Для вказівки проміжків порівняння з одиницею).
Кожен із наступних ступенів порівняйте з одиницею:
Завдання № 4. (Для дослідження функції на монотонність).
Порівняти за величиною дійсні числа mі nякщо:
Завдання № 5. (Для дослідження функції на монотонність).
Зробіть висновок щодо основи a, якщо:
y(x) = 10 x; f(x) = 6 x; z(x) - 4 x
Як розташовуються графіки показових функцій щодо один одного при x > 0 x = 0 x< 0?
В одній координатній площині побудовано графіки функцій:
y(x) = (0,1) x; f(x) = (0,5) x; z(x) = (0,8) x .
Як розташовуються графіки показових функцій щодо один одного при x > 0 x = 0 x< 0?
| Число
одна з найважливіших постійних у математиці. За визначенням, воно дорівнює межі послідовності
при необмеженому
зростанні n
. Позначення eввів Леонард Ейлер
в 1736 р. він обчислив перші 23 знаки цього числа в десятковому записі, а саме число назвали на честь Непера «неперовим числом».
Число eграє особливу роль математичному аналізі. Показова функція з основою e, називається експонентою і позначається y = e x. Перші знаки числа eзапам'ятати нескладно: два, кома, сім, рік народження Льва Толстого - два рази, сорок п'ять, дев'яносто, сорок п'ять. |
 |
Домашнє завдання:
Колмогорів п. 35; №445-447; 451; 453.
Повторити алгоритм побудови графіків функцій, які містять змінну під знаком модуля.
Щоб скористатися попереднім переглядом презентацій, створіть собі обліковий запис Google і увійдіть до нього: https://accounts.google.com
МАОУ «Солодківська ЗОШ» Показова функція, її властивості та графік 10 клас
Функція виду у = а х, де а - задане число, а > 0, а ≠ 1, х-змінна, називається показовою.
Показова функція має такі властивості: О.О.Ф: безліч R всіх дійсних чисел; Мн.зн.: множина всіх позитивних чисел; Показова функція у = а х є зростаючою на безлічі всіх дійсних чисел, якщо а> 1, і спадної, якщо 0
Графіки функції у = 2 х і у = (½) х 1. Графік функції у = 2 х проходить через точку (0; 1) і розташований вище осі Ох. а>1 Д(у): х є R Е(у): у > 0 Зростає по всій області визначення. 2. Графік функції у= також проходить через точку (0;1) і розташований вище за осю Ох.
Використовуючи властивості зростання та зменшення показникової функції, можна порівняти числа і вирішувати показові нерівності. Порівняти: а) 5 3 та 5 5 ; б) 47 і 43; в) 0,2 2 і 0,2 6; г) 0,9 2 та 0,9. Вирішити: а) 2 х >1; б) 13 х +1 0,7; г) 0,04 х а або а х 1, то х>в (х
Розв'язати графічно рівняння: 1) 3 x =4-x; 2) 0,5 х =х+3.
Якщо зняти киплячий чайник з вогню, то спочатку він швидко остигає, а потім остигання йде набагато повільніше, це явище описується формулою T = (T 1 - T 0) e - kt + T 1 Застосування показової функції в житті, науці та техніці
Зростання деревини відбувається за законом: A – зміна кількості деревини у часі; A 0 - Початкова кількість деревини; t -час, до, а деякі постійні. Тиск повітря зменшується за законом: P - тиск на висоті h, P0 - тиск на рівні моря, а - деяка постійна.
Зростання народонаселення Зміна числа людей країні на невеликому відрізку часу описується формулою, де N 0 - число людей момент часу t=0, N -число людей момент часу t, a -константа.
Закон органічного розмноження: за сприятливих умов (відсутність ворогів, велика кількість їжі) живі організми розмножувалися за законом показової функції. Наприклад: одна кімнатна муха може за літо зробити 8 х 10 14 особин потомства. Їхня вага склала б кілька мільйонів тонн (а вага потомство пари мух перевищила б вагу нашої планети), вони б зайняли величезний простір, а якщо вибудувати їх у ланцюжок, то її довжина буде більшою, ніж відстань від Землі до Сонця. Але оскільки крім мух існує безліч інших тварин і рослин, багато з яких є природними ворогами мух їх кількість не досягає вищевказаних значень.
Коли радіоактивна речовина розпадається, її кількість зменшується, через деякий час залишається половина початкової речовини. Цей проміжок часу t0 називається періодом напіврозпаду. Загальна формула для цього процесу: m = m 0 (1/2) -t/t 0 де m 0 - Початкова маса речовини. Чим більший період напіврозпаду, тим повільніше розпадається речовина. Це використовують для визначення віку археологічних знахідок. Радій, наприклад, розпадається згідно із законом: M = M 0 e-kt. Використовуючи цю формулу, вчені розрахували вік Землі (радій розпадається приблизно за час, що дорівнює віку Землі).
Застосування інтеграції в навчальному процесі як способу розвитку аналітичних та творчих здібностей.
Презентація «Показова функція, її властивості та графік» наочно представляє навчальний матеріал з цієї теми. У ході презентації докладно розглядаються властивості показової функції, її поведінка у системі координат, розглядаються приклади розв'язання задач із використанням властивостей функції, рівнянь та нерівностей, вивчаються важливі теореми на тему. За допомогою презентації вчитель може підвищити ефективність уроку математики. Яскраве представлення матеріалу допомагає утримувати увагу учнів до вивчення теми, анімаційні ефекти допомагають зрозуміліше продемонструвати розв'язання завдань. Для швидшого запам'ятовування понять, властивостей та особливостей рішення використовується виділення кольором.
Демонстрація починається з прикладів показової функції у=3 х з різними показниками - цілими позитивними та негативними, звичайним дробом та десятковим. До кожного показника обчислюється значення функції. Далі для цієї функції будується графік. На слайді 2 побудовано таблицю, заповнену координатами точок, що належать графіку функції у=3 х. За цими точками на координатній площині будується відповідний графік. Поряд з графіком будуються аналогічні графіки у = 2х, у = 5х і у = 7х. Кожна функція виділена різними кольорами. У таких кольорах виконані графіки цих функцій. Очевидно, що зі зростанням основи ступеня показової функції графік стає крутішим і більше притискається до осі ординат. На цьому слайді описані властивості показової функції. Зазначається, що областю визначення є числова пряма (-∞;+∞), Функція не є парною або непарною, на всі області визначення функція зростає і не має найбільшого чи найменшого значення. Показова функція обмежена знизу, але не обмежена зверху, безперервна області визначення і опукла вниз. Область значень функції належить проміжку (0;+∞).
На слайді 4 представлено дослідження функції у = (1/3) х. Будується графік функції. І тому заповнюється координатами точок, що належать графіку функції, таблиця. За цими точками будується графік на прямокутній системі координат. Поруч описуються властивості функції. Зазначається, що областю визначення є вся числова вісь. Ця функція не є непарною або парною, що зменшується на всій області визначення, не має найбільшого, найменшого значень. Функція у = (1/3) х є обмеженою знизу і необмеженою зверху, на ділянці визначення безперервна, має опуклість вниз. Область значень – позитивна піввісь (0;+∞).
На наведеному прикладі функції у = (1/3) х можна виділити властивості показової функції з позитивною основою, меншою одиниці та уточнити уявлення про її графіку. На слайді 5 представлений загальний вигляд такої функції у = (1/а) х де 0 На слайді 6 порівнюються графіки функцій у = (1/3) х і у = 3 х. Видно, що ці графіки симетричні щодо осі ординат. Щоб порівняння було наочнішим, графіки пофарбовані в кольори, якими виділено формули функцій. Далі подається визначення показової функції. На слайді 7 у рамці виділено визначення, в якому зазначено, що функція виду у = а х, де позитивне а, не рівне 1, називається показовою. Далі за допомогою таблиці порівнюється показова функція з основою, більшою 1, і позитивною меншою 1. Очевидно, що практично всі властивості функції аналогічні, тільки функція з основою, більшою а, зростаюча, а з основою, меншою 1, менша. Далі розглядається вирішення прикладів. У прикладі 1 необхідно розв'язати рівняння 3 x =9. Рівняння вирішується графічним способом - будується графік функції у = 3 x графік функції у = 9. Крапка перетину цих графіків М(2;9). Відповідно, розв'язком рівняння є значення х=2. На слайді 10 описується рішення рівняння 5 x =1/25. Аналогічно попередньому прикладу рішення рівняння визначається графічно. Демонструється побудова графіків функцій у=5 x і у=1/25. Точкою перетину даних графіків є точка Е(-2;1/25), отже, розв'язання рівняння х=-2. Далі пропонується розглянути розв'язання нерівності 3 х<27. Решение выполняется графически - определяется точка пересечения графиков у=3 х и у=27. Затем на плоскости координат хорошо видно, при каких значениях аргумента значения функции у=3 х будут меньшими 27 - это промежуток (-∞;3). Аналогично выполняется решение задания, в котором нужно найти множество решений неравенства (1/4) х <16. На координатной плоскости строятся графики функций, соответствующих правой и левой части неравенства и сравниваются значения. Очевидно, что решением неравенства является промежуток (-2;+∞). На наступних слайдах представлені важливі теореми, що відбивають властивості показової функції. У теоремі 1 стверджується, що при позитивному рівність а m = а n справедливо тоді, коли m = n. У теоремі 2 представлено твердження, що при позитивному значення функції у=а х буде більше 1 при позитивному х, а менше 1 при негативному х. Затвердження підтверджується зображенням графіка показової функції, у якому видно поведінка функції різних проміжках області визначення. У теоремі 3 наголошується, що для 0 p align="justify"> Далі для засвоєння матеріалу учнями розглядаються приклади вирішення завдань з використанням вивченого теоретичного матеріалу. У прикладі 5 необхідно побудувати графік функції у = 2 · 2 х +3. Демонструється принцип побудови графіка функції, перетворивши спочатку її у вид у = а х + а + b. Проводиться паралельне перенесення системи координат у точку (-1; 3) і щодо цього початку координат будується графік функції у = 2 х. На слайді 18 розглядається графічне рішення рівняння 7 x = 8-х. Будується пряма у = 8-х і графік функції у = 7 х. Абсцис точки перетину графіків х=1 є рішенням рівняння. Останній приклад описує розв'язання нерівності (1/4) х = х+5. Будуються графіки обох частин нерівності і відзначається, що його рішенням є значення (-1; + ∞), при яких значення функції у = (1/4) х завжди менше значень у = х +5. Презентація «Показова функція, її властивості та графік» рекомендується підвищення ефективності шкільного уроку математики. Наочність матеріалу у презентації допоможе досягти цілей навчання під час дистанційного уроку. Презентація може бути запропонована для самостійної роботи учням, які недостатньо добре освоїли тему на уроці.
