Розглянемо багатоканальну систему масового обслуговування (всього каналів n), до якої надходять заявки з інтенсивністю і обслуговуються з інтенсивністю μ. Заявка, що прибула в систему, обслуговується, якщо хоча б один канал є вільним. Якщо всі канали зайняті, то чергова заявка, яка надійшла до системи, отримує відмову та залишає СМО. Пронумеруємо стан системи за кількістю зайнятих каналів:
Мал. 7.24
На малюнку 6.24 зображено граф станів, у якому Si- Номер каналу; λ – інтенсивність надходження заявок; μ
– відповідно інтенсивність обслуговування заявок. Заявки надходять у систему масового обслуговування з постійною інтенсивністю та поступово займають один за одним канали; коли всі канали будуть зайняті, то чергова заявка, яка прибула до СМО, отримає відмову та залишить систему.
Визначимо інтенсивності потоків подій, які переводять систему зі стану в стан під час руху як зліва направо, так і праворуч наліво за графом станів.
Наприклад, нехай система перебуває в стані S 1, тобто один канал зайнятий, оскільки на його вході стоїть заявка. Як тільки обслуговування заявки закінчиться, система перейде у стан S 0 .
Наприклад, якщо зайняті два канали, то потік обслуговування, що переводить систему зі стану S 2 у стан S 1 буде вдвічі інтенсивнішим: 2-μ; відповідно, якщо зайнято kканалів, інтенсивність дорівнює k-?
Процес обслуговування є процесом загибелі та розмноження. Рівняння Колмогорова для цього окремого випадку матимуть такий вигляд:
(7.25)
Рівняння (7.25) називаються рівняннями Ерланга
.
Щоб знайти значення ймовірностей станів Р 0 , Р 1 , …, Рnнеобхідно визначити початкові умови:
– Р 0(0) = 1, тобто на вході системи стоїть заявка;
– Р 1 (0) = Р 2 (0) = … = Рn(0) = 0, т. е. у початковий час система вільна.
Проінтегрувавши систему диференціальних рівнянь (7.25), отримаємо значення ймовірностей станів Р 0 (t), Р 1 (t), … Рn(t).
Але набагато більше за нас цікавлять граничні ймовірності станів. При t → ∞ і за формулою, отриманою при розгляді процесу загибелі та розмноження, отримаємо розв'язання системи рівнянь (7.25):
(7.26)
У цих формулах відношення інтенсивності λ / μ
до потоку заявок зручно позначити ρ
.Цю величину називають наведеною інтенсивністю потоку заявок,тобто середня кількість заявок, які надходять до СМО за середній час обслуговування однієї заявки.
З урахуванням зроблених позначень система рівнянь (7.26) набуде наступного вигляду:
(7.27)
Ці формули для обчислення граничних ймовірностей називаються формулами Ерланга
.
Знаючи всі ймовірності станів СМО, знайдемо характеристики ефективності СМО, тобто абсолютну пропускну здатність А, відносну пропускну спроможність Qта ймовірність відмови Рвідк.
Заявка, що надійшла до системи, отримає відмову, якщо вона застане всі канали зайнятими:
.
Імовірність того, що заявку буде прийнято до обслуговування:
Q = 1 – Рвідк,
де Q– середня частка заявок, що обслуговуються системою, або середня кількість заявок обслужених СМО в одиницю часу, віднесена до середньої кількості заявок, що надійшли за цей час:
A=λ·Q=λ·(1-P відк)
Крім того, однією з найважливіших характеристик СМО з відмовами є середня кількість зайнятих каналів. У n-канальної СМО з відмовами це число збігається із середнім числом заявок, що перебувають у СМО.
Середня кількість заявок k можна обчислити безпосередньо через ймовірність станів Р 0 , Р 1 , … , Р n:
,
тобто знаходимо математичне очікування дискретної випадкової величини, яка набуває значення від 0 до nз ймовірностями Р 0 , Р 1 , …, Рn.
Ще простіше виразити величину через абсолютну пропускну здатність СМО, тобто. А. Величина А – середня кількість заявок, які обслуговуються системою за одиницю часу. Один зайнятий канал обслуговує за одиницю часу μ заявок, тоді середня кількість зайнятих каналів
Система рівнянь
СМО із відмовами для випадкового числа обслуговуючих потоків векторна модель для пуасонівських потоків. Граф, система рівнянь.
СМО представимо у вигляді вектора, де k m– кількість заявок у системі, кожна з яких обслуговується mприладами; L= q max – q min +1 – кількість вхідних потоків.
Якщо заявка приймається на обслуговування та система переходить у стан з інтенсивністю λ m.
При завершенні обслуговування однієї із заявок система перейде у стан, у якому відповідна координата має значення, на одиницю менше, ніж може , = , тобто. відбудеться зворотний перехід.
Приклад векторної моделі СМО для n = 3, L = 3, q min = 1, q max = 3, P(m) = 1/3, λ Σ = λ, інтенсивність обслуговування приладу – μ.
За графом станів із нанесеними інтенсивностями переходів складається система лінійних рівнянь алгебри. Із вирішення цих рівнянь є ймовірності Р(), якими визначається характеристики СМО.
СМО із нескінченною чергою для пуасонівських потоків. Граф, система рівнянь, розрахункові співвідношення.
Граф системи
Система рівнянь
Де n- Число каналів обслуговування, l- Число взаємодопоміжних каналів
СМО з нескінченною чергою та частковою взаємодопомогою для довільних потоків. Граф, система рівнянь, розрахункові співвідношення.
Граф системи
Система рівнянь
–λ Р 0 + nμ Р 1 =0,
.………………
–(λ + nμ) Р k+ λ Р k –1 + nμ Р k +1 =0 (k = 1,2, ... , n–1),
……………....
-(λ+ nμ) P n+ λ Р n –1 + nμ Р n+1=0,
……………….
-(λ+ nμ) P n+j+ λ Р n+j –1 + nμ Р n+j+1=0, j=(1,2,….,∞)
СМО з нескінченною чергою та повною взаємодопомогою для довільних потоків. Граф, система рівнянь, розрахункові співвідношення.
Граф системи
|
Система рівнянь
СМО із кінцевою чергою для пуасонівських потоків. Граф, система рівнянь, розрахункові співвідношення.
Граф системи
Система рівнянь
Розрахункові співвідношення:
,
УДК 519.248:656.71
МОДЕЛЬ СИСТЕМИ МАСОВОГО ОБСЛУГОВУВАННЯ З НЕСТАЦІОНАРНИМИ ПОТОКАМИ ТА ЧАСТИЧНОЇ ВЗАЄМОДОПОМОГИ МІЖ КАНАЛАМИ
© 2011 В. А. Романенко
Самарський державний аерокосмічний університет імені академіка С.П.Корольова (національний дослідницький університет)
Описано динамічну модель багатоканальної системи масового обслуговування з нестаціонарними потоками, очікуванням у черзі обмеженої довжини та частковою взаємодопомогою каналів, що виражається у можливості одночасного обслуговування заявки двома каналами. Наведено вирази для основних імовірнісно-тимчасових характеристик системи. Описано результати моделювання функціонування вузлового аеропорту як приклад системи, що розглядається.
Система масового обслуговування, нестаціонарний потік, взаємодопомога між каналами, вузловий аеропорт.
Вступ
Розглядається багатоканальна система масового обслуговування (СМО) з очікуванням у черзі обмеженої довжини. Особливістю СМО, що розглядається, є часткова взаємодопомога між каналами, що виражається в можливості одночасного використання двох каналів для обслуговування однієї заявки. Об'єднання зусиль каналів призводить до скорочення середнього часу обслуговування. Передбачається, що до СМО надходить нестаціонарний пуассонівський потік заявок. Тривалість обслуговування заявки залежить від часу.
Характерним прикладом СМО, що має перераховані особливості, є система обслуговування перевезень аеропорту. Одночасне використання кількох (зазвичай, двох) коштів (стійок реєстрації, авіапаливозаправників, спецмашин тощо.) обслуговування одного рейсу передбачається технологічними графіками аеропортового обслуговування великих повітряних суден (ВС). При цьому необхідність підвищення якості та скорочення тривалості наземного обслуговування перевезень, особливо актуальна для великих аеропортів, призводить до того, що частка операцій, що виконуються не одним, а декількома (двома) засобами віку-
ти зі збільшенням масштабу аеропорту. Описана у статті модель розроблена для вирішення завдань аналізу та оптимізації функціонування виробничих комплексів вузлових аеропортів (хабів), що характеризуються насиченістю засобів наземного обслуговування перевезень при яскраво вираженій нестаціонарності потоків пасажирів, ПС та вантажів та коливання інтенсивності їх обслуговування.
Загальний опис моделі
Модель призначена для визначення тимчасових залежностей імовірнісних характеристик СМО, що містить обслуговуючих N каналів. Кількість заявок, що у СМО, має перевищувати До, що може бути зумовлено технічними обмеженнями за кількістю облаштованих в аеропорту місць стоянки ЗС, місткості аеровокзального чи вантажного комплексу тощо. Число виділених для обслуговування однієї заявки каналів а може становити як 1, так і 2. У разі наявності не менше двох вільних каналів заявка, що надійшла, із заданою ймовірністю займає для обслуговування
один з них - з ймовірністю у2 = 1 - у1 -обидва канали. Якщо ж у момент надходження на обслуговування заявки СМО має лише один вільний канал, то ця заявка в будь-якому випадку займає наявний
єдиний канал. У разі відсутності незайнятих каналів заявка, що знову надійшла, «стає в чергу» і чекає обслуговування. Якщо кількість заявок, що перебувають у черзі, становить К-N, то заявка, що знову прибула, залишає СМО необслуженою. Імовірність такої події має бути малою.
На вхід СМО надходить пуасонівський (не обов'язково стаціонарний) потік заявок
з інтенсивністю l(t). Передбачається, що тривалість обслуговування заявки як одним каналом Тобсл1 (t), так і двома -
Тобсл 2(t) є показово розподіленими випадковими функціями часу (випадковими процесами).
Інтенсивність обслуговування заявки
одним каналом ^ (t) і одночасно двома каналами m 2 (t) визначаються як
mi (t) = [Тобсл1 (t)]-1, m2 (t) = [Тобсл2 (t)]-1,
де Тобсл1 (t) = M [Тобсл1 (t)] , Тобсл 2 (t) = М [Тобсл 2 (t)]
Середній час обслуговування заявки одним каналом та двома каналами відповідно.
Зв'язок між величинами m1(t) та m2(t) задається співвідношенням
m2(t) = ^т1(t) ,
де 9 - коефіцієнт, що враховує відносне збільшення інтенсивності обслуговування під час використання двох каналів.
Насправді зв'язок між числом коштів, що залучаються, і інтенсивністю обслуговування має досить складний характер, який визначається особливостями аналізованої операції обслуговування. Для операцій, тривалість яких пов'язана з обсягом виконуваних робіт (наприклад, заправка ПС авіапаливом за допомогою авіапаливозаправників, посадка у ПС або висадка з ПС пасажирів та ін), залежність інтенсивності обслуговування від числа каналів наближається до прямо пропорційної, не будучи, однак, суворо такою через наявність витрат часу на підготовку-
но-заключні операції, куди кількість коштів впливає. Для таких операцій в £ 2. Для низки операцій залежність тривалості виконання від кількості коштів або виконавців менш виражена (наприклад, реєстрація або передпольотний
огляд пасажирів). В цьому випадку в»1.
У довільний момент часу I розглянута СМО може бути в одному з Ь+1 дискретних станів - Б0, ...,
БІ. Перехід зі стану в стан може здійснюватися будь-якої миті часу. Імовірність того, що в момент часу I СМО перебуватиме в стані
няться умова нормування 2 р () = 1 Зна-
ня ймовірностей Р0 (/) ,РХ (t),...,РЬ (t) дозволяє визначати такі важливі віртуальні (миттєві) характеристики СМО, як середня довжина черги, середня кількість зайнятих каналів, середня кількість заявок, що знаходяться в СМО, ін.
Імовірності станів р (t) знаходяться шляхом розв'язання системи диференціальних рівнянь Колмогорова, що у загальному вигляді записується як
= jp (t) P / (t) -P, (t) Z (t).,
г = 0,1,...,Ь,
де<р^ ^) - плотности (интенсивности) вероятностей перехода из состояния с порядковым номером г в состояние с порядковым номером ]. Величины фу (t) определяются по формуле
де Р(/; At) - ймовірність того, що СМО, що перебувала в момент t в стані Би.
час At перейде з нього в стан
Для складання рівнянь Колмогорова використається розмічений граф станів СМО. У ньому над стрілками, що ведуть з Б. в Б, проставляють відповідні інтенсивності ф. .
Щоб скласти граф, вводиться три-хіндексна система позначень, в якій стан розглянутої СМО у довільний момент часу характеризується трьома параметрами: числом зайнятих каналів п (п = 0,1,..., ^), числом заявок, що обслуговуються до (к = 0,1,...,^) і тих, хто чекає обслуговування т (т = 0,1,...,^ - N).
На рис. 1 представлений розмічений граф станів, складений з використанням описаних вище правил і введених позначень для СМО, обраної в якості простого прикладу.
На графі і в нижченаведеній відповідній системі рівнянь Колмогорова з метою економії місця опущені позначення функціональної залежності від часу інтенсивностей 1, т1, т2 і ймовірностей станів.
^000 /Л = -(^1^ + ^2^) Р000 + тр10 + т2Р210
= - (т + У-11 + У21) рш + ^Яр000 +
2т1Р220 + т2 Р320,
ЛР210 IЛ = - (т2 + ^11 + ^21) Р210 + V2ЯP000 +
Т1Р320 + 2 ^2Р420,
ЛР220/Л = -(2^1 + ^1^ + ^21) Р220 + ^1Ріо +
3 т1Р330 + ^2Р430,
ЛР32<:)1Л = - (т2 + т1 + ^11 + ^21)р320 +
+^11Р210 + V2ЯP110 + 2т 1Р430 +
ЛР4ю1Л (1 + 2 ^2) Р420 + ^21Р210 + т р30, ЛР330 /Л = -(3т1 + ^1^+ ^21) Р330 + ^11Р220 + +4^1Р440 + т2р40,
^430 /Л = - (2^1 + ^2 + 1) Р430 + ^11Р320 +
+^2^ Р220 + 3т 1р40 + 2^2р31,
ЛР530 / л = - (т + 2т2 + я) р ^ 30 + 1Р420 +
+^2ЯР320 + т1Р531,
ЛР440 IЛ (4т1 + Я) р40 + Р330 +
5^1р50 + т2р41,
ЛР540/л =-(т2 + 3т + я) р540 + яр430 +
+"^2ЯР330 + 3 т1Р541 + 2 т2Р532
ЛР531/Л = - (^1 + 2^2 + Я) Р^31 + ЯР530 +
ЛР550 IЛ = -(5т1 + Я) Р550 + ЯР440 +
5т1Р551 + т2Р542,
ЛР541/ л =-(т2 + 3т + я) р ^ 41 + яр ^ 40 +
ЛР532 / л = -(т1 + 2т2) Р532 + я р531,
ЛР5511Л = - (5т1 + Я) р51 + ЯР550 + 5т1Р552
лр542 / л =-(3 т + т2) р542 + я р541
Лр5^^ = 5 т1Р552 + я р51.
Якщо момент t = 0 в СМО немає заявок, то початкові умови запишуться як
Р10(0)=Р210(0)=Р220(0)=...=Р552(0)=0.
Рішення систем великої розмірності, подібних (1), (2), із змінними величинами 1(^, тДО, т2(0) можливе лише чисельними методами з використанням ЕОМ.
Мал. 1. Граф станів СМО
Побудова моделі СМО
Відповідно до алгоритмічного підходу розглянемо методику перетворення системи рівнянь Колмогорова довільної розмірності до виду, придатного для комп'ютерних обчислень. З метою спрощення запису використовуємо замість потрійної подвійну систему позначень станів СМО, в якій г - кількість зайнятих обслуговуванням каналів плюс довжина черги] - кількість заявок до СМО. Зв'язок між системами позначень виражають залежність:
г = п + т, г = 0,1, ..., К;
] = до + т, ] = 0,1,...,К.
Реалізовано може бути не будь-який стан із формальної сукупності
Б. (г = 0,1,...,К; ] = 0,1,...,К). Зокрема,
в рамках описуваної моделі неможливі стани, при яких дві або більше заявок одночасно обслуговуються одному
каналом, тобто. Р. (t) = 0, якщо ] > м. Позначимо символом 8 безліч допустимих станів СМО. Стан Б. існує, і
відповідна йому ймовірність Р. ^)
може бути ненульовою, якщо виконується одна з умов:
1)] <г< 2], если 2] < N,
2)] <г< ] + Ч - 1 если \ .
у] + Ч - 1< К,
3)] < г < К, если ] + ч - 1 ^ К,
г = 0,1,...,К; ] = 0,1,...,К,
де Ч - максимальна кількість станів з різною кількістю обслуговуючих каналів для заданої кількості заявок, що визначається за формулою
Тут дужки позначають операцію відкидання дрібної частини. Так наприклад,
судячи з графа станів, зображеному на рис. 1, дві заявки можуть обслуговуватися двома, трьома чи чотирма каналами. Тому у розглянутому вище прикладі
Ч = 5 - = 5 - 2 = 3.
p align="justify"> Для реалізації комп'ютерних обчислень з використанням системи рівнянь Колмогорова довільної розмірності її рівняння повинні бути приведені до деякої універсальної форми, що допускає запис будь-якого рівняння. З метою вироблення такої форми розглянемо фрагмент графа станів, що відображає один довільний стан Б] з провідними з нього
стрілки інтенсивності. Позначимо римськими цифрами сусідні стани, безпосередньо з Б. , оскільки це показано на рис. 2.
Для кожного стану Б. (г = 0,1,...,К; ] = 0,1,...,К), такого, що Б. е 8 в момент часу t величини
р^), р(t), Р.^), р(t) приймають
різні значення (зокрема рівні нулю). Однак при цьому структура рівняння
(3) зберігається незмінною, що дозволяє використовувати його для комп'ютерної реалізації системи рівнянь Колмогорова довільної розмірності.
Інтенсивності фр (t) , (р. (t), які прагнуть перевести СМО у стани з великими значеннями г і ], якщо наявність таких станів є можливим, визначаються виходячи з низки умов таким чином:
о.. ї а або
°(,-+1)0"+1) ї 8 '
0(,-+2)(.+1) - 8 і £ N - 2,
про(і+1)(.+1)- 8 або
°(.+2)а+1)ї 8
Про(.+1)(V+1) - 8'
Мал. 2. Фрагмент графа станів СМО
З урахуванням наявності сусідніх стосовно Б. станів рівняння для Б. запишеться так:
-£ = -[Р() + Р()+Р. () +
Рр (tЙ Рг, (t) + Рр+1)(.+1) (t) Р(г+1)(.+1) () +
Р(Н(1-1)^)Р(-1)(1-1)^) +
Р 2)()+1)()Р(г+2)()-+1)() +
РЦ2) (.-1) (t) P (г-2) (.-Г) ().
Про(.+1)(.+1)ї 8 або і > N - 2
У2Х(і), якщо
Я(і+1)(.+1) - 8>
О(і+2)(.+1) - 8 ' і £ N - 2,
Про(і+1)(.+1)ї 8’
О(і+2)(.+1) - 8'
г = 0,1, ..., до, . = 0,1, ..., до.
Інтенсивність нар. (), р..11 (), що переводять СМО зі стану Б-. у стані
з меншими значеннями г і. (якщо наявність таких станів можлива), прямо пропорційні задіяному числу каналів, що обслуговують заявки різного типу, що знаходяться в СМО (займають для обслуговування один або два канали). Групу з двох каналів, зайнятих обслуговуванням однієї заявки відповідного типу, можна розглядати як один канал. Тому в загальному випадку
р () = кдМ1 (), Р. () = ку2^2 (),
де к.1 - кількість заявок, що займають один канал, що обслуговуються СМО у стані Б.; к- число заявок, що займають по два канали, що обслуговуються СМО у стані Б. .
Через г і. зазначені величини визначаються так:
Г2. - г, якщо г< N,
у1 [N - 2 (г - .), якщо г > N, (4)
до! 2 = г -. .
З урахуванням обмежень по можливості існування станів виразу для
р (), Р. () мають вигляд
^Б(г-1)(Л) е 8,
Показники ефективності функціонування СМО
Описана модель дозволяє визначити часові залежності наступних показників ефективності функціонування аналізованої СМО.
Середня довжина черги:
мож () = 22 (г-п) Р ().
Середня кількість зайнятих каналів:
Середня кількість заявок до СМО:
м, () = 22.Р. ().
Імовірність відмови в обслуговуванні:
Р„, ()= 2 Р- ().
Можна отримати розподіл віртуального часу очікування заявкою
обслуговування Ж (x, t) = Р ^ ож ()< х) , позволяющее характеризовать качество обслуживания рассматриваемой СМО. Поступившая в систему заявка вынуждена ожидать обслуживания в случае, если все каналы заняты обслуживанием заявок, поступивших
раніше. Існує ймовірність Рк=0 (t) негайного обслуговування заявки, що надійшла за наявності вільного каналу (або декількох вільних каналів)
Б(г-1)(.-1) £ 8,
г = 0,1,...,К, . = 0,1, ..., До.
Р. () ° 0, якщо Б. £ 8 .
З урахуванням можливості відмови шукана величина функції розподілу Ж (х ^) визначиться як
Ж (х-')=(--о(т)
ЇЖИН М (,)) ()
Ру ()° 0, якщо °у. ї 8 .
Тут Ж (х, т | (і,. /)) - умовна функція
розподіл часу очікування деякої заявки за умови, що в момент свого надходження Т вона застала СМО в стані у.
У аналізованої СМО тривалість очікування обслуговування вхідною заявкою залежить тільки від кількості заявок, що вже перебувають у СМО, а й від розподілу каналів між груповим та індивідуальним обслуговуванням наявних заявок. Якби взаємодопомоги між каналами не існувало, то СМО, що розглядається, являла б собою традиційну СМО з очікуванням у черзі обмеженої довжини, для якої загальний час очікування початку обслуговування заявкою, що застала в момент надходження т інших заявок в черзі, мало б розподіл Ерланга Е, ^) (х) .
Тут верхній індекс містить інтенсивність обслуговування заявок усіма N каналами, що діють за черги; нижній індекс - порядок розподілу згідно із законом Ерланга. У СМО описаний закон справедливий лише стосовно заявок, які у СМО в станах, коли зайняті всі канали, причому всі вони обслуговують по одній заявці. Для цих станів можна записати
Ж (х, т | ^ + m, N + т)) = ^ + 1 () (х).
Позначимо як Е^”^1 (х) функцію розподілу узагальненого закону Ерлан-
га, що має порядок 2«г - 1, де аг - чис-
ло випадкових величин, розподілених по
показовим законом із параметром уі. З
використанням введеного позначення запишемо вирази для функції розподілу часу очікування в інших станах. У порівнянні з (5) ці вирази мають складніший вигляд, що не заважає їх програмній реалізації. Далі, як приклад, вони наводяться тільки для трьох перших станів повної зайнятості каналів з використанням введеної раніше трисимвольної індексації:
Ж (х, т | (п, до, т)) = Ж (х, т | (N, N - g, 0)) =
= (х), 0 £ g £ д,
де і. = кіЛт (т)+ку 2М2 (т);
Ж (х, т | (п, до, т)) = Ж (х, т | (N, N - g, l)) =
Н ^ ^ - g) Км (Т)
Ж (х, т | - g, 2))
Н ^). (N - g) Км (т)
E/^(т),(т-g) я(т),(т-g+l)
(N),(N - g) ктМ(Т)
ЕІ-)(т-g)(х) +
^).(N - g) еН^) (х)
Середній віртуальний час очікування заявки Тож () визначається чисельно як
Теж (Т) = | ^Ж (х, Т).
Може бути визначено розподіл віртуального часу обслуговування довільно обраної заявки Тобсл ^) .
Оскільки зміна Тобсл (t) у аналізованої СМО є випадковим процесом, що є сумішшю двох показово розподілених випадкових процесів ТобсЛ1 ^) і ТобсЛ2 ^) , то розподіл
V (х ^) = Р (Тобсл (t)< х) не будет показательным. С учётом возможности отказа выражение для функции распределения V (х^) запишется в виде
ЕЕУ М к,.ЙР(т)
Р.. ^) ° 0, якщо 8. £ 8 .
Тут V (х^|(г,.)) - умовна функція розподілу часу обслуговування деякої заявки за умови, що в момент свого надходження вона застала СМО в стані.
Якщо в момент початку обслуговування заявки СМО знаходиться в стані, при якому можливе як групове, так і індивідуальне обслуговування, то час обслуговування є сумішшю двох про-
перехід до групового обслуговування – за наявності можливості стану (рис.2). Таким чином, маємо:
У (М (і--/")) =
у (1 - е-т(т)х) + +у (1 - е^2(т)х),
I О(і+2)(]+1) ї 8, О(і+1)(.+1) - 8,
"2\* ^ І' I ^ +2)(.+1)
і = 0,1,...,N-1, і = 0,1,...,N-1.
Оскільки за відсутності двох вільних каналів будь-яка заявка обслуговується одним каналом, то фактична ймовірність ^) виділення одного каналу бу-
дет більше заданої V Функція уф ^) визначається як
ЕЕу О","р(т)
Р. (т) ° 0, якщо Я. ї 8 .
Тут у1 (г, - ймовірність виділення одного апарату для обслуговування заявки, що надійшла в СМО в стані.:
О(і+1)(.+1) - 8, О(і
2)(}+1) -2)(!+1)
Тривалість: Тобсл1 (т) і Тобсл2 (т) , рас- і = 0,1...,К -1, . = 0,1 ..., До -1.
граничних показово з параметрами ^1 (t) і ^2 (t) відповідно. Якщо ж у
цей момент немає можливості виділення двох каналів, то час обслуговування заявки розподілено показово з параметром
т(t). При підході заявки до обслуговуючих каналів у стані Б. перехід до індивідуального обслуговування допустимо при
наявності можливості стану Я(
Середня тривалість обслуговування заявки, що увійшла до СМО на момент
Т, можливо через уф (Т) визначена як
Тбл (т) = УФ (т) Тм (т) + Тбс 2 (т).
Розподіл віртуального часу перебування заявки до СМО
і (х, т) = Р (Тпреб (т)< х)
визначається з використанням отриманих і (х^|(п,к,т)) = і (х^\(NN - £,1)) раніше виразів для функцій розподілу часу очікування і часу обслуговування =
вання як І,
2^2 (т) Ет^^(т)^^) (х) +
ЕЕі М))рі(т)
і (х, т | (^.)) =
1 - е-М1(т)х
у (1 - е-т(т)х)-+у2(1 - е
(1 - е ^т(т)х),
О(і+1)(.+1) - 8, О(і+ 2)(.+1) ї 8’
О(і+1)(.+1) - 8' О(і+2)(.+1) - 8,
г = 0,1,...^-1, . = 0'l'...'N-1.
Для інших станів формули умовної функції розподілу записуються за аналогією з формулами
Ж (х^|(п,к,т)) з використанням трисимвольної індексації. Нижче наведено для трьох перших станів повної зайнятості каналів:
На момент входу заявки черги немає, проте всі канали зайняті:
і (х^|(п,к,т)) = і (х^|(NN - g,0)) =
(х), 0 £ g £ д;
На момент входу заявки в черзі знаходиться одна заявка:
Р. (т) ° 0, якщо Я. ї 8 .
Тут і (х^|(г,.)) - умовна функція розподілу часу перебування в СМО деякої заявки за умови, що в момент свого надходження t вона застала систему в стані.
Для станів із вільними каналами час перебування у СМО збігається з часом обслуговування:
На момент входу заявки в черзі знаходяться дві заявки:
і (х, т | (т, т - ^ 2))
(т)(т^)Н (т)(т^+1)
(т)(т - g) кцМ (т)
(т)(т - g) КцМ (т)
Середній віртуальний час перебування заявки до СМО визначається як
Тпреб ^) = Тобсл (t) + Тож (t) .
Приклад використання моделі СМО
Моделюється функціонування протягом доби виробничого комплексу одного із східноєвропейських регіональних вузлових аеропортів при виконанні окремої технологічної операції обслуговування ВС. Як вихідні дані для моделювання використані тимчасові залежності усередненої інтенсивності потоку ВС, що надходять
на обслуговування, я(t) та інтенсивності
обслуговування ВС одним засобом т1(t).
Як випливає з побудованого за даними
сайту аеропорту графіка залежності я(t)
(рис. 3 а), надходження ВС характеризується суттєвою нерівномірністю: протягом доби спостерігаються чотири максимуми інтенсивності, що відповідають чотирьом «вол-
нам» прибуття-відправлення рейсів. Пікові значення 1(t) для основних "хвиль" досягають 25-30 ВС/год.
На рис. 3 а також відображено графік залежності т (t) . Передбачається, що не
лише інтенсивність потоку ВС, а й інтенсивність їх обслуговування є функцією часу залежить від фази «хвилі». Справа в тому, що для скорочення середнього часу трансферу пасажирів розклад вузлового аеропорту будується таким чином, щоб «хвилю» ініціювали прильоти літаків великої пасажиромісткості, обслуговування яких потребує великих витрат часу, а завершували прильоти малих літаків. У прикладі приймається, що середня тривалість виконання операції одним засобом, що становить більшу частину тривалості доби 20 хв., на початковому етапі «хвилі» зростає до 25 хв. та скорочується на заключному етапі до 15 хв. Таким чином, чотири інтервали з
зниженим рівнем т(t) на рис. 3а відповідають початковим фазам «хвиль», коли переважають прильоти великих літаків. У свою чергу, чотири інтервали підвищення
рівня т^) випадають на завершальні
фази "хвиль" з переважанням малих літаків.
Нижче наведено результати моделювання, що дозволяють оцінити ефективність функціонування системи. На рис. 3б-3г представлені часові залежності середніх величин числа зайнятих каналів Nз ^),
загального числа заявок у системі МОЗ ^) та
довжини черги Мож (7) отримані для двох граничних значень ймовірності п1 = 0 і п1 = 1 при наступних розрахункових характеристиках: N = 10; К = 40; в = 1.75. Судячи з графіку залежності Nз (t)
(рис. 3б), протягом більшої частини добового інтервалу часу зайнятість обслуговуючих каналів системи залишається низькою, що є наслідком нестаціонарності вхо-
ного потоку літаків. Високе завантаження (60-80 %) досягається тільки протягом другої «хвилі» прильотів-вильотів, причому варіант п1 = 0 при великих значеннях 1(t) викликає велику завантаженість системи, а при малих значеннях 1(t) - меншу за
порівняно з варіантом п1 = 1. При цьому, як
показало моделювання, ймовірність відмови у аналізованої системі обох варіантів зневажливо мала.
Порівняння графіків залежностей
МОЗ ^) і Мож ^) (рис. 3в і 3г відповідно) дозволяє зробити висновок про те, що в СМО при п1 = 0 знаходиться заявок у середньому менше, а очікують обслуговування заявок більше, ніж при п1 = 1. Протиріччя це пояснюється тим , що кожна заявка, що надійшла до СМО, займає у разі п1 = 0 два
каналу, що залишає менше вільних каналів наступним за нею заявкам, змушуючи їх створювати більшу чергу, ніж у випадку
п1 = 1. У той же час групове використання каналів, скорочуючи час обслуговування, спричиняє зниження загальної кількості заявок, що обслуговуються і чекають обслуговування. Так, у прикладі, що розглядається, середнє протягом доби час обслуговування
для варіанта п1 = 1 становить 20 хв., а для
варіанта п1 = 0 - 11.7 хв.
Розглянута вище модель дозволяє вирішувати завдання, пов'язані з пошуком оптимального управління якістю обслуговування перевезень. На рис. 3д, 3е наведено деякі результати розв'язання такого роду завдання, сенс якої пояснено далі на прикладі аеропорту, що розглядається.
Невелика навіть протягом пікових навантажень середня довжина черги, що не перевищує в прикладі 0.6 ВС (рис. 3г), не дає гарантії, що для переважного числа ВС час очікування в черзі буде прийнятним. Малий середній час очікування при задовільному середньому часі виконання операції обслуговування-
ня також не виключає можливості неприпустимо тривалих простоїв на обслуговуванні окремих ЗС. Розглянемо приклад, коли до якості аеропортового обслуговування висуваються вимоги як щодо забезпечення задовільних значень часу очікування обслуговування, і за часом перебування у системі. Вважатимемо, що понад 90 % ЗС повинні простоювати на обслуговуванні менше 40 хв., причому час очікування обслуговування для такої ж частки літаків має бути меншим за 5 хв. З використанням зазначених вище позначень ці вимоги до якості аеропортового обслуговування запишуться у вигляді нерівностей:
Р (Тпреб (t)< 40мин)>09, Р (Тож (t)< 5мин)> 09
На рис. 3д, 3е наведено тимчасові залежності ймовірностей Р (Тпреб (/)< 40мин)
і Р (Тож. (")< 5 мин) для интервала времени
460-640 хв. від початку модельної доби, що відповідає другій «хвилі» прильотів.
Як видно з малюнків, варіант п1 = 1 не
забезпечує розрахункову надійність за часом обслуговування: вимога до часу обслуговування, що задається умовою
Р (Тпреб (t)< 40мин)>09 виконується тільки протягом короткого проміжку 530560 хв., відповідного прильотам малих
НД. У свою чергу варіант п1 = 0 не забезпечує розрахункової надійності за часом очікування в черзі: протягом проміжку прильотів великих ПС (500-510 хв.) не ви-
Мал. 3. Результати моделювання 262
поповнюється умова Р (Тож (т)< 5мин) > 0.9.
Як показало моделювання, виходом із ситуації може бути вибір
компромісного варіанта у1» 0.2. На практиці цей варіант означає, що службам аеропорту слід спрямовувати по два кошти на обслуговування не всіх ЗС, а лише вибраних за певною ознакою, наприклад,
пасажиромісткості. Тут у1 відіграє роль
параметра, що дозволяє керувати показниками функціонування СМО: часом очікування заявки у черзі та часом перебування заявки у СМО або часом обслуговування.
Отже, розглянута система, що використовує для обслуговування заявки один або одночасно два канали, є окремим, але практично значущим випадком СМО з
взаємодопомогою каналів. Використання динамічної моделі такої СМО дозволяє ставити і вирішувати різні оптимізаційні, у тому числі багатокритеріальні завдання, пов'язані з управлінням не тільки загальною чисельністю коштів, а й їхньою взаємодопомогою. Такі завдання особливо актуальні для насичених засобами обслуговування вузлових аеропортів з їх нестаціонарними потоками рейсів і інтенсивністю обслуговування, що коливається. Таким чином, модель розглянутої СМО є інструментом аналізу та оптимізації параметрів такого перспективного класу аеропортів як хаби.
бібліографічний список
1. Бочаров, П.П. Теорія масового обслуговування [Текст]/П.П. Бочаров, А.В. Печинкін. - М: Вид-во РУДН, 1995. - 529 с.
MODEL OF A QUEUEING SYSTEM WITH NON-STATIONARY STREAMS AND PARTIAL MUTUAL ASSISTANCE BETWEEN CHANNELS
© 2011 V. A. Romanenko
Samara State Aerospace University називається Academician S. P. Korolyov (National Research University)
Динамічний model multichannel queueing system with non-stationary streams, waiting in limited-length queue and partial mutual assistance of channels expresed in opportunity of simultaneous service of customer by two channels is described. Expressions for basic probability-time characteristics of the system are given. Результати моделювання функціонування hub аеропорту як приклад системи розглянуто.
Queueing system, non-stationary flow, mutual assistance між channels, hub airport.
Інформація про автора Романенка Володимира Олексійовича, кандидат технічних наук, доцент, докторант кафедри організації та управління перевезеннями на транспорті, Самарський державний аерокосмічний університет імені академіка С. П. Корольова (національний дослідницький університет). E-mail: [email protected]. Область наукових інтересів: оптимізація та моделювання системи обслуговування перевезень вузлового аеропорту.
Romanenko Vladimir Alexeevitch, candidate of technical sciences, Associated Professor, Doctor's degree at the department of transportation organization and management, Samara State Aerospace University був поміщений після академічної СП Korolyov (National Research University). ru. Area of research: optimization і simulation of hub airport transportation service system.
Досі ми розглядали лише такі СМО, у яких кожна заявка може обслуговуватись лише одним каналом; незайняті канали не можуть «допомагати» зайнятому в обслуговуванні.
Взагалі, це не завжди буває так: зустрічаються системи масового обслуговування, де та сама заявка може одночасно обслуговуватися двома і більше каналами. Наприклад, один і той же верстат, що вийшов з ладу, можуть обслуговувати два робочих відразу. Така «взаємодопомога» між каналами може мати місце як у відкритих, так і замкнутих СМО.
При розгляді СМО із взаємодопомогою між каналами необхідно враховувати два фактори:
1. Наскільки прискорюється обслуговування заявки, коли над ним працює не один, а одразу кілька каналів?
2. Яка «дисципліна взаємодопомоги», тобто коли і як кілька каналів беруть на себе обслуговування однієї й тієї заявки?
Розглянемо спочатку перше запитання. Природно припустити, що й над обслуговуванням заявки працює не один канал, а кілька каналів, інтенсивність потоку обслуговувань нічого очікувати спадати зі збільшенням k, т. е. представляти собою деяку незменшуючу функцію числа k працюючих каналів. Позначимо цю функцію Можливий вид функції показано на рис. 5.11.
Вочевидь, що необмежену збільшення кількості одночасно працюючих каналів який завжди веде до пропорційного збільшення швидкості обслуговування; природніше припустити, що з деякому критичному значенні подальше збільшення числа зайнятих каналів не підвищує інтенсивності обслуговування.
Для того, щоб проаналізувати роботу СМО із взаємодопомогою між каналами, потрібно насамперед задати вид функції
Найпростішим для дослідження буде випадок, коли функція зростає пропорційно k, а при залишається постійною і рівною (див. рис. 5.12). Якщо при цьому загальна кількість каналів, які можуть допомагати один одному, не перевищує
Зупинимося тепер на другому питанні: дисципліні взаємодопомоги. Найпростіший випадок цієї дисципліни ми позначимо умовно "все як один". Це означає, що з появою однієї заявки її починають обслуговувати всі канали відразу і залишаються зайнятими, доки не закінчиться обслуговування цієї заявки; потім всі канали перемикаються на обслуговування іншої заявки (якщо вона є) або чекають її появи, якщо її немає, і т. д. Очевидно, у цьому випадку всі канали працюють як один, СМО стає одноканальною, але з більш високою інтенсивністю обслуговування.
Виникає питання: чи вигідно чи невигідно вводити таку взаємодопомогу між каналами? Відповідь це питання залежить від цього, яка інтенсивність потоку заявок, який вид функції який тип СМО (з відмовами, з чергою), яка величина вибирається як характеристики ефективності обслуговування.
Приклад 1. Є триканальна СМО з відмовами: інтенсивність потоку заявок (заявки за хвилину), середній час обслуговування одноц заявки одним каналом (хв), функція Запитується, чи вигідно з точки зору пропускної здатності СМО вводити взаємодопомогу між каналами за типом «все як один »? Чи це вигідно з точки зору зменшення середнього часу перебування заявки в системі?
Рішення, а. Без взаємодопомоги,
За формулами Ерланга (див. § 4) маємо:
Відносна пропускна здатність СМО;
Абсолютна пропускна спроможність:
Середній час перебування заявки в СМО знайдеться як ймовірність того, що заявку буде прийнято до обслуговування, помножену на середній час обслуговування:
Гсист (хв).
Не треба забувати, що цей середній час відноситься до всіх заявок - як обслуженим, так і необслуженим. Нас може цікавити середній час, який пробуде в системі обслужена заявка. Цей час дорівнює:
6. З взаємодопомогою.
Середній час перебування заявки до СМО:
Середній час перебування обслуженої заявки до СМО:
Таким чином, за наявності взаємодопомоги "все як один" пропускна здатність СМО помітно зменшилася. Це пояснюється збільшенням ймовірності відмови: за час, поки всі канали зайняті обслуговуванням однієї заявки, можуть прийти інші заявки, і, природно, отримати відмову. Щодо середнього часу перебування заявки до СМО, то воно, як і слід було очікувати, поменшало. Якщо, з якихось міркувань, ми прагнемо всемірного зменшення часу, який заявка проводить у СМО (наприклад, якщо перебування в СМО небезпечне для заявки), може виявитися, що, незважаючи на зменшення пропускної спроможності, все ж таки буде вигідно об'єднати три канали в один.
Розглянемо тепер вплив взаємодопомоги типу «все як один» працювати СМО з очікуванням. Візьмемо для простоти лише випадок необмеженої черги. Природно, впливу взаємодопомоги на пропускну здатність СМО в цьому випадку не буде, тому що за будь-яких умов обслужені будуть всі заявки, що прийшли. Виникає питання вплив взаємодопомоги на характеристики очікування: середню довжину черги, середній час очікування, середній час перебування в СМО.
В силу формул (6.13), (6.14) § 6 для обслуговування без взаємодопомоги середня кількість заявок у черзі буде
середній час очікування:
а середній час перебування у системі:
Якщо ж застосовується взаємодопомога типу «все як один», то система працюватиме як одноканальна з параметрами
та її характеристики визначаться формулами (5.14), (5.15) § 5:
Приклад 2. Є триканальна СМО з необмеженою чергою; інтенсивність потоку заявок (заявки за хв.), середній час обслуговування Функція Вигідно маючи на увазі:
Середню довжину черги,
Середній час очікування на обслуговування,
Середній час перебування заявки до СМО
вводити взаємодопомогу між каналами типу "все як один"?
Рішення, а. Без взаємодопомоги.
За формулами (9.1) - (9.4) маємо
(3-2)
б. Із взаємодопомогою
За формулами (9.5) – (9.7) знаходимо;
Таким чином, середня довжина черги та середній час очікування у черзі у разі взаємодопомоги більша, але середній час перебування заявки в системі – менший.
З розглянутих прикладів видно, що взаємодопомога між к? налами типу «все як один», як правило, не сприяє підвищенню ефективності обслуговування: час перебування заявки до СМО зменшується, зате погіршуються інші характеристики обслуговування.
Тому бажано змінити дисципліну обслуговування так, щоб взаємодопомога між каналами не заважала приймати до обслуговування нові заявки, якщо вони з'являться за час, доки всі канали зайняті.
Назвемо умовно «рівномірною взаємодопомогою» наступний тип взаємодопомоги. Якщо заявка надходить у момент, коли всі канали вільні, то всі канали приймаються за її обслуговування; якщо в момент обслуговування заявки приходить ще одна частина каналів перемикається на її обслуговування; якщо, доки обслуговуються ці дві заявки, приходить ще одна, частина каналів переключається на її обслуговування і т. д., доки не виявляться зайнятими всі канали; якщо це так, заявка, що знову прийшла, отримує відмову (у СМО з відмовими) або стає в чергу (у СМО з очікуванням).
За такої дисципліни взаємодопомоги заявка отримує відмову або стає в чергу лише тоді, коли немає можливості її обслужити. Що стосується «простою» каналів, то він у цих умовах мінімальний: якщо в системі є хоча б одна заявка, всі канали працюють.
Вище ми згадали, що з появою нової заявки частина зайнятих каналів звільняється і переключається на обслуговування заявки, що знову прибула. Яка частина? Це залежить від виду функції Якщо вона має вигляд лінійної залежності, як показано на рис. 5.12, і те все одно, яку частину каналів виділити на обслуговування нової заявки, аби всі канали були зайняті (тоді сумарна інтенсивність обслуговувань при будь-якому розподілі каналів за заявками дорівнюватиме ). Можна довести, що якщо крива випукла вгору, як показано на рис. 5.11, то потрібно розподіляти канали за заявками якомога рівномірніше.
Розглянемо роботу -канальної СМО за «рівномірної» взаємодопомоги між каналами.
Постановка задачі.На вхід n-канальної СМО надходить найпростіший потік заявок із щільністю? Щільність найпростішого потоку обслуговування кожного каналу дорівнює μ. Якщо заявка, що надійшла на обслуговування, застає всі канали вільними, то вона приймається на обслуговування та обслуговується одночасно l каналами ( l < n). При цьому потік обслуговування однієї заявки матиме інтенсивність l.
Якщо заявка, що надійшла на обслуговування, застає в системі одну заявку, то при n ≥ 2lзаявка, що знову прибула, буде прийнята до обслуговування і обслуговуватиметься одночасно lканалами.
Якщо заявка, що надійшла на обслуговування, застає в системі iзаявок ( i= 0,1, ...), при цьому ( i+ 1)l≤ n, то заявка, що надійшла, буде обслуговуватися lканалами із загальною продуктивністю l. Якщо заявка, що знову надійшла, застає в системі jзаявок і при цьому виконуються спільно дві нерівності: ( j + 1)l > nі j < n, то заявку буде прийнято на обслуговування. У цьому випадку частина заявок може обслуговуватись lканалами, інша частина менша, ніж l, числом каналів, але в обслуговуванні будуть зайняті всі nканалів, які розподілені між заявками довільним чином. Якщо заявка, що знову надійшла, застане в системі nзаявок, то вона отримує відмову та не обслуговуватимуться. Заявка, що потрапила на обслуговування, обслуговується до кінця (заявки «терплячі»).
Граф станів такої системи показано на рис. 3.8.
Мал. 3.8. Граф станів СМО з відмовами та частковою
взаємодопомогою між каналами
Зауважимо, що граф станів системи до стану x hз точністю до позначень параметрів потоків збігається із графом станів класичної системи масового обслуговування з відмовами, зображеними на рис. 3.6.
Отже,
(i
= 0, 1, ..., h).
Граф станів системи, починаючи від стану x hі закінчуючи станом x n, збігається з точністю до позначень із графом станів СМО з повною взаємодопомогою, зображеним на рис. 3.7. Таким чином,
.
Введемо позначення λ / lμ = ρ l ; λ / nμ = χ, тоді
З урахуванням нормованої умови отримуємо
Знайдемо параметри системи.
Середня кількість заявок, що знаходяться в системі,
Середня кількість зайнятих каналів
.
Імовірність того, що окремий канал буде зайнятий
.
Імовірність зайнятості всіх каналів системи
Постановка задачі.На вхід n-канальної СМО надходить неоднорідний найпростіший потік із сумарною інтенсивністю λ Σ , причому
λ Σ
=
,
де λ i- Інтенсивність заявок в i-му джерелі.
Так як потік заявок розглядається як суперпозиція вимог від різних джерел, то об'єднаний потік з достатньою для практики точністю можна вважати пуассонівським для N = 5...20 та λ i ≈ λ i +1 (i1,N). Інтенсивність обслуговування одного приладу розподілена за експоненційним законом і дорівнює μ = 1/ t. Прилади для обслуговування заявки, що обслуговують, з'єднуються послідовно, що рівносильно збільшенню часу обслуговування в стільки разів, скільки приладів об'єднується для обслуговування:
tобс = kt, μ обс = 1 / kt = μ/ k,
де tобс - час обслуговування заявки; k- Число обслуговуючих приладів; μ обс – інтенсивність обслуговування заявки.
У рамках прийнятих у розділі 2 припущень стан СМО представимо у вигляді вектора, де k m– кількість заявок у системі, кожна з яких обслуговується mприладами; L = q max – q min +1 – кількість вхідних потоків.
Тоді кількість зайнятих та вільних приладів ( nзан ( 
),nсв ( 
)) в стані 
визначається так:
Зі стану 
система може перейти в будь-який інший стан 
. Оскільки в системі діє Lвхідних потоків, то з кожного стану потенційно можливо LПрямих переходів. Однак через обмеженість ресурсів системи не всі ці переходи можна здійснити. Нехай СМО перебуває в стані 
і надходить заявка, що вимагає mприладів. Якщо m≤ nсв ( 
), то заявка приймається на обслуговування і система переходить у стан з інтенсивністю λ m. Якщо заявка вимагає приладів більше, ніж є вільних, то вона отримає відмову в обслуговуванні, а СМО залишиться в стані 
. Якщо може 
знаходяться заявки, які вимагають mприладів, кожна з них обслуговується з інтенсивністю m, а загальна інтенсивність обслуговування таких заявок (μ m) визначається як μ m
= k m μ
/ m. При завершенні обслуговування однієї із заявок система перейде у стан, у якому відповідна координата має значення, на одиницю меншу, ніж у стані 
,
=, тобто. відбудеться зворотний перехід. На рис. 3.9 представлений приклад векторної моделі СМО для n
= 3, L
= 3, q min = 1, q max = 3, P(m) = 1/3, λ Σ = λ, інтенсивність обслуговування приладу – μ.
Мал. 3.9. Приклад графа векторної моделі СМО із відмовами в обслуговуванні
Отже, кожен стан 
характеризується кількістю обслуговуваних заявок певного типу. Наприклад, у стані 
обслуговується одна заявка одним приладом та одна заявка двома приладами. У цьому стані всі прилади зайняті, отже, можливі лише зворотні переходи (прихід будь-якої заявки у цьому стані призводить до відмови в обслуговуванні). Якщо раніше закінчилося обслуговування заявки першого типу, система перейде в стан 
(0,1,0) з інтенсивністю μ, якщо раніше закінчилося обслуговування заявки другого типу, то система перейде в стан 
(0,1,0) з інтенсивністю μ/2.
За графом станів із нанесеними інтенсивностями переходів складається система лінійних рівнянь алгебри. Із вирішення цих рівнянь є ймовірності Р(
), якими визначається характеристика СМО.
Розглянемо знаходження Рвідк (ймовірність відмови в обслуговуванні).
,
де S- Число станів графа векторної моделі СМО; Р(
) - ймовірність знаходження системи в стані 
.
Число станів відповідно визначається таким чином:
,
(3.22)
;
Визначимо число станів векторної моделі СМО (3.22) для прикладу, представленого на рис. 3.9.
.
Отже, S = 1 + 5 + 1 = 7.
Для реалізації реальних вимог до обслуговуючих приладів потрібна досить велика кількість n
(40, ..., 50), а запити на кількість обслуговуючих приладів заявки практично лежать у межах 8–16. При такому співвідношенні приладів та запитів запропонований шлях знаходження ймовірностей стає надзвичайно громіздким, т.к. векторна модель СМО має велику кількість станів S(50)
= 1790, S(60)
= 4676, S(70) = = 11075, а розмір матриці коефіцієнтів системи рівнянь алгебри пропорційний квадрату Sщо вимагає великого обсягу пам'яті ЕОМ і значних витрат машинного часу. Прагнення знизити обсяг обчислень стимулювало пошук рекурентних можливостей розрахунку Р(
) на основі мультиплікативних форм подання ймовірностей станів. У роботі подано підхід до розрахунку Р(
):
(3.23)
Використання запропонованого у роботі критерію еквівалентності глобального та детального балансів ланцюгів Маркова дозволяє знижувати розмірність завдання та виконувати обчислення на ЕОМ середньої потужності, використовуючи рекурентність обчислень. Крім того, є можливість:
- Здійснити розрахунок для будь-яких значень n;
– прискорити розрахунок та знизити витрати машинного часу.
Аналогічним чином можуть бути визначені інші характеристики системи.
