Hisoblash muammolarining ba'zi muhim xususiyatlarini ko'rib chiqqandan so'ng, keling, e'tiborimizni hisoblash matematikasida muammolarni kompyuterda amalga oshirish uchun qulay shaklga aylantirish va hisoblash algoritmlarini qurish imkonini beradigan usullarga qaratamiz. Biz bu usullarni hisoblash deb ataymiz. Muayyan darajadagi konventsiya bilan hisoblash usullarini quyidagi sinflarga bo'lish mumkin: 1) ekvivalent transformatsiyalar usullari; 2)
yaqinlashtirish usullari; 3) bevosita (aniq) usullar; 4) iterativ usullar; 5) statistik test usullari (Monte-Karlo usullari). Muayyan muammoning echimini hisoblaydigan usul ancha murakkab tuzilishga ega bo'lishi mumkin, ammo uning elementar bosqichlari, qoida tariqasida, ko'rsatilgan usullarni amalga oshirishdir. Keling, ular haqida umumiy tushuncha beraylik.
Ushbu usullar asl muammoni bir xil yechimga ega bo'lgan boshqasiga almashtirish imkonini beradi. Ekvivalent o'zgarishlarni amalga oshirish, agar yangi muammo asl masaladan soddaroq yoki yaxshiroq xususiyatlarga ega bo'lsa yoki uni hal qilishning ma'lum usuli yoki ehtimol tayyor dastur bo'lsa foydali bo'ladi.
3.13-misol. Kvadrat tenglamani hosil qilish uchun ekvivalent o'zgartirish (to'liq kvadratni tanlash) muammoni kvadrat ildizni hisoblash masalasiga qisqartiradi va uning ildizlari uchun ma'lum bo'lgan (3.2) formulalarga olib keladi.
Ekvivalent o'zgartirishlar ba'zan dastlabki hisoblash muammosining echimini butunlay boshqa turdagi hisoblash muammosining echimiga qisqartirish imkonini beradi.
3.14-misol. Nochiziqli tenglamaning ildizini topish masalasini funktsiyaning global minimal nuqtasini topishning ekvivalent masalasiga keltirish mumkin. Darhaqiqat, funktsiya manfiy emas va faqat x bo'lganlar uchun nolga teng minimal qiymatga etadi.
Bu usullar yechimi ma'lum ma'noda dastlabki masalaning yechimiga yaqin bo'lgan boshqasi tomonidan dastlabki masalani yaqinlashtirish (taxminan) imkonini beradi. Bunday almashtirishdan kelib chiqadigan xatoga yaqinlashish xatosi deyiladi. Qoidaga ko'ra, yaqinlashish muammosi taxminiy xatoning kattaligini sozlash yoki muammoning boshqa xususiyatlariga ta'sir qilish imkonini beradigan ba'zi parametrlarni o'z ichiga oladi. Usul parametrlari ma'lum bir cheklovchi qiymatga moyil bo'lganligi sababli, yaqinlashish xatosi nolga moyil bo'lsa, yaqinlashish usuli yaqinlashadi, deyish odatiy holdir.
3.15-misol. Integralni hisoblashning eng oddiy usullaridan biri o'lchamdagi to'rtburchaklar formulasi asosida integralni taxminan hisoblashdir.
Qadam bu erda usul parametridir. Bu maxsus tuzilgan integral yig'indi bo'lgani uchun aniq integralning ta'rifidan kelib chiqadiki, to'rtburchaklar usuli yaqinlashganda,
3.16-misol. Funktsiya hosilasining ta'rifini hisobga olgan holda, uni taxminiy hisoblash uchun formuladan foydalanishingiz mumkin Ushbu raqamli farqlash formulasining taxminiy xatosi qachon nolga moyil bo'ladi
Keng tarqalgan yaqinlashish usullaridan biri diskretizatsiya - dastlabki masalani chekli o'lchovli masala bilan taxminiy almashtirish, ya'ni. kirish ma'lumotlari va kerakli echimi cheklangan sonlar to'plami tomonidan noyob tarzda aniqlanishi mumkin bo'lgan muammo. Cheklangan o'lchovli bo'lmagan muammolar uchun ushbu bosqich kompyuterda keyingi amalga oshirish uchun zarurdir, chunki kompyuter faqat cheklangan sonlar bilan ishlashga qodir. Yuqoridagi 3.15 va 3.16-misollarda namunalar olingan. Garchi integralni aniq hisoblash cheksiz sonli qiymatlardan foydalanishni o'z ichiga olsa ham (barcha uchun, uning taxminiy qiymatini a nuqtalarida cheklangan miqdordagi qiymatlar yordamida hisoblash mumkin). uning aniq yechimi chegaraga o'tish operatsiyasini o'z ichiga oladi (va shuning uchun funktsiyaning cheksiz sonli qiymatlaridan foydalanish funktsiyaning ikkita qiymatiga nisbatan lotinning taxminiy hisobiga kamayadi).
Chiziqli bo'lmagan muammolarni hal qilishda turli xil chiziqli usullar keng qo'llaniladi, ular dastlabki masalani oddiyroq chiziqli masalalar bilan taxminiy almashtirishdan iborat. 3.17-misol. Oddiy arifmetik amallarni bajarishga qodir kompyuterda taxminan qiymatini hisoblash kerak bo'lsin. E'tibor bering, ta'rifiga ko'ra, x - chiziqli bo'lmagan tenglamaning musbat ildizidir. Keling, parabolani unga tegilgan to'g'ri chiziq bilan almashtiramiz.
abscissa bilan nuqta Ushbu tangensning o'q bilan kesishish nuqtasi yaxshi yaqinlik beradi va uni echish orqali biz taxminiy formulani olamiz
Misol uchun, agar siz uchun qabul qilsangiz, siz aniq qiymatga ega bo'lasiz
Hisoblash masalalarining turli sinflarini yechishda har xil yaqinlashish usullaridan foydalanish mumkin; Bularga noto'g'ri muammolarni hal qilish uchun tartibga solish usullari kiradi. E'tibor bering, tartibga solish usullari yomon shartli muammolarni hal qilish uchun keng qo'llaniladi.
Muammoni hal qilish usuli, agar u cheklangan miqdordagi elementar operatsiyalarni bajargandan so'ng yechimni olishga imkon beradigan bo'lsa, to'g'ridan-to'g'ri deb ataladi.
3.18-misol. Kvadrat tenglamaning ildizlarini formulalar yordamida hisoblash usuli to'g'ridan-to'g'ri usuldir. Bu erda to'rtta arifmetik amal va kvadrat ildiz operatsiyasi elementar hisoblanadi.
E'tibor bering, to'g'ridan-to'g'ri usulning elementar operatsiyasi juda murakkab bo'lishi mumkin (elementar yoki maxsus funktsiyaning qiymatlarini hisoblash, chiziqli algebraik tenglamalar tizimini echish, aniq integralni hisoblash va boshqalar). Uning elementar sifatida qabul qilinishi, har holda, uni amalga oshirish butun muammoning echimini hisoblashdan sezilarli darajada sodda ekanligini anglatadi.
To'g'ridan-to'g'ri usullarni qurishda elementar operatsiyalar sonini minimallashtirishga katta e'tibor beriladi.
3.19-misol (Horner diagrammasi). Muammo ko'phadning qiymatini hisoblash bo'lsin
berilgan koeffitsientlarga va x argumentining qiymatiga ko'ra. Agar siz (3.12) formuladan foydalanib, ko'phadni to'g'ridan-to'g'ri hisoblasangiz va uni ketma-ket x ga ko'paytirish orqali topsangiz, ko'paytirish va qo'shish amallarini bajarishingiz kerak bo'ladi.
Juda tejamkor hisoblash usuli Horner sxemasi deb ataladi. U polinomni quyidagi ekvivalent shaklda yozishga asoslanadi:
Qavslarni joylashtirish quyidagi hisob-kitoblar tartibini belgilaydi: Bu erda faqat ko'paytirish va qo'shish amallarini bajarish uchun zarur bo'lgan qiymatni hisoblash.
Horner sxemasi qiziqarli, chunki u elementar operatsiyalar soni bo'yicha optimal bo'lgan usulga misol keltiradi. Umuman olganda, ko'paytirish va qo'shish amallarini kamroq bajarish natijasida qiymatni hech qanday usul bilan olish mumkin emas.
Ba'zan to'g'ridan-to'g'ri usullar aniq deb ataladi, ya'ni agar kiritilgan ma'lumotlarda xatolik bo'lmasa va elementar operatsiyalar to'g'ri bajarilsa, natijada olingan natija ham aniq bo'ladi. Biroq, usulni kompyuterda amalga oshirayotganda, hisoblash xatosining paydo bo'lishi muqarrar, uning kattaligi usulning yaxlitlash xatolariga nisbatan sezgirligiga bog'liq. Mashinadan oldingi davrda ishlab chiqilgan ko'plab to'g'ridan-to'g'ri (aniq) usullar yaxlitlash xatolariga haddan tashqari sezgirlik tufayli mashina hisob-kitoblari uchun yaroqsiz bo'lib chiqdi. Barcha aniq usullar ham shunday emas, lekin shuni ta'kidlash kerakki, unchalik muvaffaqiyatli bo'lmagan "aniq" atamasi usulni ideal amalga oshirish xususiyatlarini tavsiflaydi, lekin haqiqiy hisob-kitoblardan olingan natija sifatini emas.
Bular muammoni hal qilish uchun ketma-ket yaqinlashishlarni qurish uchun maxsus usullardir. Usulni qo'llash bir yoki bir nechta dastlabki taxminlarni tanlash bilan boshlanadi. Keyingi yaqinlashishlarning har birini olish uchun ilgari topilgan yaqinlashishlar - iteratsiya yordamida shunga o'xshash harakatlar to'plami amalga oshiriladi. Ushbu takrorlanuvchi jarayonning cheksiz davomi nazariy jihatdan yechimga yaqinlashishlarning cheksiz ketma-ketligini qurishga imkon beradi.
iteratsiya ketma-ketligi. Agar bu ketma-ketlik muammoning yechimiga yaqinlashsa, iterativ usul yaqinlashadi deyiladi. Usul yaqinlashadigan boshlang'ich yaqinlashuvlar to'plamiga usulning yaqinlashuv mintaqasi deyiladi.
E'tibor bering, iterativ usullar kompyuter yordamida turli xil muammolarni hal qilishda keng qo'llaniladi.
3.20-misol. Hisoblash uchun mo'ljallangan mashhur iterativ usulni ko'rib chiqamiz (bu erda Nyuton usuli. Ixtiyoriy boshlang'ich yaqinlashishni o'rnatamiz. 3.17-misoldagi linearizatsiya usuli yordamida olingan formuladan foydalanib, keyingi yaqinlashuvni hisoblaymiz ((3.11) formulaga qarang). Ushbu jarayonni davom ettirish. Bundan tashqari, biz takroriy formuladan foydalanib, keyingi taxminiylik hisoblangan iterativ ketma-ketlikni olamiz.
Ma'lumki, bu usul har qanday dastlabki yaqinlashuvda yaqinlashadi, shuning uchun uning yaqinlashuv mintaqasi barcha musbat sonlar to'plamidir.
Keling, undan -bitli kasrli kompyuterda qiymatni hisoblash uchun foydalanamiz. Keling, o'rnatamiz (3.17-misoldagi kabi). Keyin keyingi hisob-kitoblar ma'nosizdir, chunki bit panjarasining cheklangan tabiati tufayli barcha keyingi takomillashtirishlar bir xil natijani beradi. Biroq, aniq qiymat bilan taqqoslash shuni ko'rsatadiki, uchinchi iteratsiyada allaqachon 6 ta to'g'ri muhim raqam olingan.
Misol sifatida Nyuton usulidan foydalanib, biz iterativ usullar uchun (faqat ular uchun emas) ba'zi tipik muammolarni muhokama qilamiz. Iterativ usullar tabiatan taxminiydir; natijada olingan taxminlarning hech biri yechimning aniq qiymati emas. Biroq, konvergent takrorlash usuli printsipial jihatdan har qanday aniqlik bilan yechim topishga imkon beradi, shuning uchun iterativ usuldan foydalanganda har doim kerakli aniqlik ko'rsatiladi va iteratsiya jarayoni unga erishilishi bilanoq to'xtatiladi.
Usulning birlashishi haqiqati, albatta, muhim bo'lsa-da, amaliyotda foydalanish uchun usulni tavsiya etishning o'zi etarli emas. Agar usul juda sekin yaqinlashsa (masalan, 1% aniqlikdagi yechimni olish uchun siz iteratsiyalarni bajarishingiz kerak), u holda kompyuter hisob-kitoblari uchun yaroqsiz. Nyuton usulini o'z ichiga olgan tezkor konvergent usullar amaliy ahamiyatga ega (esda tutingki, hisoblashning aniqligiga faqat uchta iteratsiyada erishildi). Yaqinlashuv tezligini va iterativ usullarni qo'llash shartlarini nazariy jihatdan o'rganish uchun aprior xatolar deb ataladigan taxminlar olinadi, bu esa hisob-kitoblardan oldin ham usulning sifati haqida ba'zi xulosalar chiqarishga imkon beradi.
Keling, Nyuton usuli uchun ikkita shunday apriori bahoni keltiramiz. Ma'lum bo'lsinki, hamma uchun va ikkita ketma-ket yaqinlashishning xatolari quyidagi tengsizlik bilan bog'liq:
Bu erda yaqinlashishning nisbiy xatosini tavsiflovchi qiymat. Bu tengsizlik usulning juda yuqori kvadratik yaqinlashish tezligini ko'rsatadi: har bir iteratsiyada "xato" kvadratga aylanadi. Agar biz uni dastlabki yaqinlashish xatosi orqali ifodalasak, biz tengsizlikni olamiz
undan dastlabki yaqinlashuvning yaxshi tanlovi roli. Qiymat qanchalik kichik bo'lsa, usul tezroq birlashadi.
Takrorlash usullarini amaliy qo'llash har doim iteratsiya jarayonini tugatish mezonini tanlash zarurati bilan bog'liq. Hisob-kitoblar cheksiz davom eta olmaydi va ma'lum bir aniqlikka erishish bilan bog'liq bo'lgan ba'zi bir mezonlarga muvofiq to'xtatilishi kerak. Buning uchun apriori hisob-kitoblardan foydalanish ko'pincha imkonsiz yoki samarasiz bo'lib chiqadi. Usulning xatti-harakatini sifat jihatidan to'g'ri tavsiflagan bo'lsa-da, bunday hisob-kitoblar ortiqcha baholanadi va juda ishonchsiz miqdoriy ma'lumot beradi. Ko'pincha apriori taxminlar noma'lumlarni o'z ichiga oladi
miqdorlar (masalan, hisob-kitoblar (3.14), (3.15) a miqdorini o'z ichiga oladi) yoki yechim haqida ba'zi qo'shimcha ma'lumotlarning mavjudligi va jiddiy foydalanishni anglatadi. Ko'pincha bunday ma'lumotlar mavjud emas va uni olish qo'shimcha muammolarni hal qilish zarurati bilan bog'liq bo'lib, ko'pincha asl nusxadan ko'ra murakkabroqdir.
Berilgan aniqlikka erishgandan so'ng tugatish mezonini shakllantirish uchun, qoida tariqasida, posteriori deb ataladigan xato baholari qo'llaniladi - xatoning kattaligi ma'lum qiymatlar yoki hisoblash jarayonida olingan qiymatlar orqali baholanadigan tengsizliklar. Bunday hisob-kitoblarni hisob-kitoblar boshlanishidan oldin qo'llash mumkin bo'lmasa-da, ular hisoblash jarayonida noaniqlikning aniq miqdorini beradi.
Masalan, Nyuton usuli (3.13) uchun quyidagi posteriori baho amal qiladi:
S. Ulam yadroviy reaktordagi neytronlarning harakatini kompyuterda taqlid qilish uchun tasodifiy sonlardan foydalangan. Ushbu usullar katta tizimlarni modellashtirishda ajralmas bo'lishi mumkin, ammo ularning batafsil taqdimoti ehtimollar nazariyasi va matematik statistika apparatlaridan sezilarli darajada foydalanishni o'z ichiga oladi va bu kitobning ko'lamidan tashqarida.
1-kurs talabalari uchun ko'rsatmalar
Bazey Aleksandr Anatolievich
Odessa 2008 yil
ADABIYOT
1 Hemming R.V. Olimlar va muhandislar uchun raqamli usullar. – M.: Nauka, 1968. – 400 b.
2 Blajko S.N. Sferik astronomiya kursi. – Moskva, Leningrad, OGIZ, 1948. – 416 b.
3 Shchigolev B.M. Kuzatishlarni matematik qayta ishlash. – M.: Nauka, 1969. – 344 b.
4 Krylov V.I., Bobkov V.V., Monastyrny P.I. Hisoblash usullari. – M.: Nauka, 1977. I jild, II jild – 400 b.
5 Hudson D. Fiziklar uchun statistika. – M.: Mir, 1967. – 244 b.
6.Berman G.N. Buxgalteriya texnikasi. – Moskva, 1953. – 88 b.
7.Rumshinskiy L.Z. Eksperimental natijalarni matematik qayta ishlash. – Moskva, Nauka 1971. – 192 b.
8. Kalitkin N.N. Raqamli usullar. – Moskva, Nauka 1978. – 512 b.
9. Filchakov P.F. Amaliy matematikaning sonli va grafik usullari. – Kiev, “Naukova Dumka”, 1970. – 800 b.
10. Fikhtengolts G.M. Differensial va integral hisoblash kursi, 1-3-jild. - Moskva, Nauka, 1966 yil.
Taxminiy hisob-kitoblar 2
Chizma tuzish haqida
Silliqlash 10
Taxminlash 12
To'g'rilash (linearizatsiya) 13
Eng kichik kvadrat usuli 15
Interpolyatsiya 24
Lagrange interpolyatsiyasi polinomi 26
Lagranj formulasining qoldiq muddati 29
O'zgaruvchan qadam 30 bo'lgan jadval uchun Nyutonning interpolyatsiya polinomi
Doimiy qadam 34 bo'lgan jadvaldan interpolyatsiya
Stirling, Bessel, Nyuton 37 interpolyatsiya polinomlari
Ikki argumentli funktsiya jadvalidan interpolyatsiya qilish 42
Jadval bo'yicha farqlash 44
Tenglamalarni sonli yechish 46
Dixotomiya (bisektsiya usuli) 46
Oddiy takrorlash usuli 47
Nyuton usuli 50
Bitta o‘zgaruvchining funksiyasining minimalini topish 51
Oltin nisbat usuli 51
Parabola usuli 54
Aniq integralni hisoblash 56
Trapetsiya formulasi 59
O'rtachalar formulasi yoki to'rtburchaklar formulasi 61
Simpson formulasi 62
Oddiy differensial tenglamalarni yechish. Cauchy muammosi 64
Klassik Eyler usuli 66
Qayta qilingan Eyler usuli 67
Prognozlash va tuzatish usuli 69
Runge-Kutta usullari 71
Garmonik tahlil 74
Ortogonal funksional tizimlar 78
12-usul ordinatalari 79
TAKMIRINCHI HISOBLAR
Keling, oddiy muammoni hal qilaylik. Aytaylik, talaba stansiyadan 1247 m uzoqlikda yashaydi. Poyezd 17:38 da jo‘naydi. Agar talabaning o'rtacha tezligi 6 km/soat bo'lsa, poezd jo'nab ketishidan qancha vaqt oldin uydan chiqib ketishi kerak?
Biz darhol yechimni olamiz:
.
Biroq, kimdir bu matematik jihatdan aniq echimdan foydalanishi dargumon va buning sababi. Hisob-kitoblar mutlaqo aniq amalga oshirildi, lekin stantsiyagacha bo'lgan masofa aniq o'lchandimi? Piyodaning yo'lini hech qanday xatosiz o'lchash mumkinmi? Har xil yo'nalishda harakatlanayotgan odamlar va mashinalar bilan to'la shaharda piyoda qat'iy belgilangan chiziq bo'ylab yura oladimi? Va 6 km / soat tezlik - bu mutlaqo aniq belgilanganmi? Va hokazo.
Bu holatda hamma "matematik jihatdan aniq" emas, balki ushbu muammoning "amaliy" yechimini afzal ko'rishi aniq, ya'ni ular yurish 12-15 daqiqa davom etishini taxmin qiladilar va yana bir nechta qo'shadilar. ishonch hosil qilish uchun daqiqa.
Xo'sh, nima uchun soniyalar va ularning kasrlarini hisoblab, amalda qo'llash mumkin bo'lmagan aniqlik darajasiga intilasiz?
Matematika - bu aniq fan, ammo "aniqlik" tushunchasining o'zi tushuntirishni talab qiladi. Buning uchun biz raqam tushunchasidan boshlashimiz kerak, chunki raqamlarning aniqligi va dastlabki ma'lumotlarning ishonchliligi asosan hisoblash natijalarining to'g'riligini aniqlaydi.
Raqamlarni olishning uchta manbasi mavjud: hisoblash, o'lchash va turli matematik operatsiyalarni bajarish.
Agar sanaladigan narsalar soni oz bo'lsa va vaqt o'tishi bilan doimiy bo'lsa, biz olamiz mutlaqo aniq natijalar. Misol uchun, qo'lda 5 ta barmoq bor va qutida 300 ta podshipnik mavjud. Ular aytganida vaziyat boshqacha: 1979 yilda Odessada 1 000 000 aholi bor edi. Axir, odamlar tug'iladi va o'ladi, keladi va ketadi; ularning soni har doim, hatto sanash tugallangan vaqt oralig'ida ham o'zgarib turadi. Demak, biz aslida 1 000 000 ga yaqin aholi bor edi, ehtimol 999 125 yoki 1 001 263 yoki 1 000 000 ga yaqin boshqa raqam taxminiy shahar aholisi soni.
Har qanday o'lchov mutlaqo aniq bajarilmaydi. Har bir qurilma qandaydir xato beradi. Bundan tashqari, bir xil miqdorni bir xil asbob bilan o'lchaydigan ikkita kuzatuvchi odatda bir oz boshqacha natijalarga erishadi, bu kamdan-kam holatlardir.
Hatto o'lchagich kabi oddiy o'lchash moslamasida ham "qurilma xatosi" mavjud - o'lchagichning qirralari va tekisliklari ideal to'g'ri chiziqlar va tekisliklardan biroz farq qiladi, o'lchagichdagi zarbalarni mutlaqo teng masofada qo'llash mumkin emas va zarbalarning o'zi. ma'lum bir qalinlikka ega; shuning uchun o'lchashda biz zarbalar qalinligidan ko'ra aniqroq natijalarga erisha olmaymiz.
Agar siz stol uzunligini o'lchagan bo'lsangiz va 1360,5 mm qiymat olgan bo'lsangiz, bu umuman stol uzunligi aniq 1360,5 mm degani emas - agar bu jadval boshqasini o'lchagan bo'lsa yoki siz o'lchovni takrorlasangiz, unda siz o'lchovni olishingiz mumkin. 1360,4 mm va 1360,6 mm qiymati. 1360,5 mm raqami stol uzunligini bildiradi taxminan.
Barcha matematik amallarni xatosiz bajarish mumkin emas. Mutlaq aniqlik bilan ildizni ajratib olish, sinus yoki logarifmni topish yoki hatto bo'lish har doim ham mumkin emas.
Istisnosiz, barcha o'lchovlar o'lchangan miqdorlarning taxminiy qiymatlariga olib keladi.. Ba'zi hollarda o'lchovlar taxminan amalga oshiriladi, keyin ehtiyotkorlik bilan o'lchovlar bilan katta xatolar olinadi, xatolar kichikroq bo'ladi; O'lchovlarda mutlaq aniqlikka hech qachon erishilmaydi.
Keling, savolning ikkinchi tomonini ko'rib chiqaylik. Mutlaq aniqlik amalda zarurmi va taxminiy natija qanday qiymat hisoblanadi?
Elektr liniyasi yoki gaz quvurini hisoblashda hech kim tayanchlar orasidagi masofani millimetr aniqligi yoki mikron aniqligi bilan quvur diametrini aniqlamaydi. Texnologiya va qurilishda har bir qism yoki tuzilma faqat tolerantlik deb ataladigan ma'lum bir aniqlikda ishlab chiqarilishi mumkin. Ushbu toleranslar qism yoki strukturaning materialiga, o'lchamiga va maqsadiga qarab, mikron qismlaridan millimetr va santimetrgacha o'zgaradi. Shuning uchun, qismning o'lchamlarini aniqlash uchun zarur bo'lganidan kattaroq aniqlik bilan hisob-kitoblarni amalga oshirish mantiqiy emas.
1) Hisob-kitoblar uchun dastlabki ma'lumotlar, qoida tariqasida, xatolarga ega, ya'ni ular taxminiydir;
2) Ko'pincha ortib boruvchi bu xatolar hisoblash natijalariga kiradi. Ammo amaliyot aniq ma'lumotlarni talab qilmaydi, lekin kattaligi oldindan belgilanishi kerak bo'lgan ba'zi qabul qilinadigan xatolar bilan natijalar bilan kifoyalanadi.
3) Natijaning zaruriy aniqligini faqat manba ma'lumotlari etarlicha aniq bo'lganda va hisob-kitoblarning o'zi tomonidan kiritilgan barcha xatolar hisobga olinganda ta'minlash mumkin.
4) Taxminan raqamlar bilan hisob-kitoblar muammoni hal qilishda minimal mehnat va vaqt sarfiga erishishga harakat qilib, taxminan bajarilishi kerak.
Odatda, texnik hisob-kitoblarda ruxsat etilgan xatolar 0,1 dan 5% gacha, ammo ilmiy masalalarda ular foizning mingdan bir qismigacha kamayishi mumkin. Masalan, Oyning birinchi sun'iy sun'iy yo'ldoshini uchirishda (1966 yil 31 mart) sun'iy yo'ldoshning aylanaga kirishi uchun sekundiga bir necha santimetr aniqlik bilan taxminan 11200 m/sek tezlikni ta'minlash kerak edi. aylana quyosh orbitasiga qaraganda.
Bundan tashqari, e'tibor bering, arifmetika qoidalari barcha raqamlar aniq degan faraz ostida olingan. Shuning uchun, agar taxminiy raqamlar bilan hisob-kitoblar aniq raqamlar bilan bo'lgani kabi amalga oshirilsa, unda haqiqatda mavjud bo'lmagan joyda xavfli va zararli aniqlik taassurotlari paydo bo'ladi. Haqiqiy ilmiy, xususan, matematik aniqlik deyarli har doim muqarrar xatolar mavjudligini ko'rsatish va ularning chegaralarini aniqlashdan iborat.
Ikkinchi va uchinchi tartibli determinantlar tushunchalariga asoslanib, xuddi shunday tartibli determinant tushunchasini kiritishimiz mumkin. n. Uchinchidan yuqori tartibli determinantlar, qoida tariqasida, har qanday tartibdagi determinantlar uchun amal qiladigan 1.3.-bandda tuzilgan determinantlarning xususiyatlaridan foydalangan holda hisoblanadi.
9 0 determinantlar xossasidan foydalanib, 4-tartibli determinantning ta'rifini kiritamiz:
2-misol. Tegishli kengaytma yordamida hisoblang.
Xuddi shunday, 5, 6 va boshqalarning determinanti tushunchasi kiritiladi. buyurtma. Demak, n-tartibning determinanti:
.
Yuqorida muhokama qilingan 2 va 3 tartibli determinantlarning barcha xossalari n-tartibdagi determinantlar uchun ham amal qiladi.
Determinantlarni hisoblashning asosiy usullarini ko'rib chiqaylik n- tartib.
Izoh: Ushbu usulni qo'llashdan oldin, determinantlarning asosiy xususiyatlaridan foydalangan holda, ma'lum bir satr yoki ustunning elementlaridan biridan boshqasini nolga aylantirish foydali bo'ladi. (Buyurtmani kamaytirishning samarali usuli)
Uchburchak shaklga qisqartirish usuli asosiy diagonalning bir tomonida yotgan barcha elementlari nolga tenglashganda determinantni shunday o'zgartirishdan iborat. Bunday holda, determinant uning asosiy diagonali elementlarining mahsulotiga teng bo'ladi.
3-misol. Uchburchak shaklga qisqartirish orqali hisoblang.
4-misol. Buyurtmani kamaytirishning samarali usuli yordamida hisoblang
.
Yechish: 4 0 determinantning xossasiga ko‘ra, birinchi qatordan 10 koeffitsientni chiqaramiz, so‘ngra ikkinchi qatorni ketma-ket 2, 2, 1 ga ko‘paytiramiz va birinchi, uchinchi va to‘rtinchi qatorlarga qo‘shamiz. navbati bilan qatorlar (xususiyat 8 0).
.
Olingan determinant birinchi ustunning elementlariga kengaytirilishi mumkin. U Sarrus (uchburchak) qoidasi yordamida hisoblangan uchinchi tartibli determinantga keltiriladi.
5-misol. Determinantni uchburchak shaklga keltirish orqali hisoblang.
.
3-misol. Qaytalanish munosabatlaridan foydalanib hisoblang.
.
.
Ma’ruza 4. Teskari matritsa. Matritsa darajasi.
Ta'rif 1. Kvadrat n tartibli A matritsa deyiladi degenerativ bo'lmagan, uning aniqlovchisi bo'lsa | A| ≠ 0. Qachon bo'lsa | A| = 0, A matritsasi deyiladi degeneratsiya.
Faqat kvadrat bo'lmagan A matritsalari uchun A -1 teskari matritsa tushunchasi kiritilgan.
Ta'rif 2 . A -1 matritsasi deyiladi teskari kvadrat yagona bo'lmagan A matritsa uchun, agar A -1 A = AA -1 = E bo'lsa, bu erda E - tartibli birlik matritsasi. n.
Ta'rif 3
.
Matritsa 
chaqirdi ilova qilingan uning elementlari algebraik to'ldiruvchilardir 
transpozitsiyalangan matritsa 
.
, Qayerda 
.
Hisoblashning to'g'riligini tekshiramiz A -1 A = AA -1 = E. (E - identifikatsiya matritsasi)
A va A matritsalari -1 o'zaro. Agar | A| = 0, u holda teskari matritsa mavjud emas.
1-misol. A matritsasi berilgan, uning yagona emasligiga ishonch hosil qiling va teskari matritsani toping 
.
Yechim: 
. Shuning uchun matritsa yagona emas.
Teskari matritsani topamiz. A matritsa elementlarining algebraik to‘ldiruvchilarini tuzamiz.
olamiz 
.
Muammoning dastlabki ma'lumotlarini va uning echimini taqdim etish - raqam yoki raqamlar to'plami sifatida
Bu texnik mutaxassisliklar bo'yicha muhandislarni tayyorlash tizimining muhim tarkibiy qismidir.
Hisoblash usullari uchun asoslar:
Wikimedia fondi. 2010 yil.
Elektroanalitik kimyo usullari- Mundarija 1 Elektroanalitik kimyo usullari 2 Kirish 3 Nazariy qism ... Vikipediya
Raqamli signalni kodlash usullari- Ushbu maqolada ma'lumot manbalariga havolalar yo'q. Ma'lumotlar tekshirilishi kerak, aks holda ular shubha ostiga olinishi va o'chirilishi mumkin. Siz... Vikipediya
GAZ DINAMIKASI SON USULLARI- gaz dinamikasi masalalarini hisoblash algoritmlari asosida yechish usullari. Gaz dinamikasi masalalarini yechishning sonli usullari nazariyasining asosiy jihatlarini ko'rib chiqamiz, gaz dinamikasi tenglamalarini inertialda saqlanish qonunlari ko'rinishida yozish ... ... Matematik entsiklopediya
DIFFUSION USULLARI- kinetikani yechish usullari. diffuziyaga yaqinlashish tenglamalarini o'zgartiruvchi neytron (yoki boshqa zarrachalar) tashish tenglamalari. Chunki diffuziya yaqinlashuvi asimptotik tenglamaning to'g'ri shaklini beradi. transport tenglamasini yechish (manbalardan uzoqda va... ... Matematik entsiklopediya
GULISH FUNKSIYALARINI MINIMIZASHTIRISH USULLARI- ko'p o'zgaruvchili funksiyalarning minimallarini topishning sonli usullari. Pastdan chegaralangan, argumentlariga nisbatan ikki marta uzluksiz differensiallanuvchi funktsiya berilgan bo'lsin, ma'lum bir vektor (ko'chirish belgisi) uchun unga ... ... Matematik entsiklopediya
GOST R 53622-2009: Axborot texnologiyalari. Axborot va hisoblash tizimlari. Hayotiy tsiklning bosqichlari va bosqichlari, hujjatlar turlari va to'liqligi- Terminologiya GOST R 53622 2009: Axborot texnologiyalari. Axborot va hisoblash tizimlari. Hayotiy tsiklning bosqichlari va bosqichlari, hujjatlarning turlari va to'liqligi asl hujjat: 3.1 apparat dasturiy platformasi: Birlashtirilgan vositalar to'plami... ...
Amaliy hisoblash tizimlari- Amaliy hisoblash tizimlari yoki ABC kombinatoryal mantiq va lambda hisobiga asoslangan ob'yektli hisoblash tizimlarini o'z ichiga oladi. Ushbu tizimlarda sezilarli darajada rivojlangan yagona narsa - bu ob'ekt g'oyasi. Vikipediyada... ...
GOST 24402-88 Teleprocessing va kompyuter tarmoqlari. Shartlar va ta'riflar- Terminologiya GOST 24402 88: Teleprocessing va kompyuter tarmoqlari. Atama va taʼriflar hujjatning asl nusxasi: TIZIMLAR VA TARMOQLAR TURLARI 90. Abonent maʼlumotlarini qayta ishlash tizimi Abonent tizimi Abonent tizimi Maʼlumotlarni qayta ishlash tizimi,… … Normativ-texnik hujjatlar atamalarining lug'at-ma'lumotnomasi
ST SEV 4291-83: Hisoblash mashinalari va ma'lumotlarni qayta ishlash tizimlari. 100 va 200 MB sig'imli magnit disklar paketlari. Texnik talablar va sinov usullari- Terminologiya ST SEV 4291 83: Hisoblash mashinalari va ma'lumotlarni qayta ishlash tizimlari. 100 va 200 MB sig'imli magnit disklar paketlari. Texnik talablar va sinov usullari: 8. VTAA axborot sathidan signal amplitudasi Butun ... bo'yicha o'rtacha. Normativ-texnik hujjatlar atamalarining lug'at-ma'lumotnomasi
Geofizik qidiruv usullari- foydali qazilmalarni qidirish va qidirish maqsadida fizik usullardan foydalangan holda yer qobig'ining tuzilishini o'rganish; qidiruv geofizikasi geofizikaning ajralmas qismidir (qarang Geofizika ). G.m.r. fizik maydonlarni o'rganishga asoslangan ... ... Buyuk Sovet Entsiklopediyasi
Aniqlovchilar
Determinant tushunchasi
Har qanday n-tartibli kvadrat matritsa chaqirilgan raqam bilan bog'lanishi mumkin aniqlovchi (aniqlovchi)
matritsa A va quyidagicha belgilanadi: 
, yoki , yoki det A.
Birinchi tartibli matritsaning aniqlovchisi, yoki birinchi tartibli determinant element hisoblanadi
Ikkinchi tartibli determinant(ikkinchi tartibli matritsaning determinanti) quyidagicha hisoblanadi:
 |
Shunday qilib, ikkinchi tartibli aniqlovchi yig'indisi 2=2! atamalar, ularning har biri 2 ta omil - A matritsa elementlari, har bir satr va har bir ustundan bittadan hosil bo'ladi. Shartlardan biri "+" belgisi bilan, ikkinchisi "-" belgisi bilan olinadi.
Aniqlovchini toping
Uchinchi tartibli determinant (kvadrat matritsaning uchinchi tartibli determinanti) quyidagicha ifodalanadi:
Shunday qilib, uchinchi tartibli aniqlovchi yig'indisi 6=3! atamalar, ularning har biri 3 ta omil - A matritsasining elementlari, har bir satr va har bir ustundan bittadan hosil bo'ladi. Shartlarning yarmi "+" belgisi bilan, ikkinchi yarmi "-" belgisi bilan olinadi.
Uchinchi tartibli determinantni hisoblashning asosiy usuli bu deyiladi uchburchak qoidasi (Sarrus qoidasi): "+" belgisi bilan yig'indiga kiritilgan uchta haddan birinchisi asosiy diagonal elementlarining ko'paytmasi, ikkinchisi va uchinchisi ikkita uchburchakning uchlarida joylashgan elementlarning mahsulotidir. asosiy diagonalga parallel asoslar; "-" belgisi bilan yig'indiga kiritilgan uchta atama xuddi shunday belgilanadi, lekin ikkinchi (yon) diagonalga nisbatan. Quyida uchinchi tartibli determinantlarni hisoblashning 2 ta sxemasi keltirilgan
b)
Guruch. 3-tartibli determinantlarni hisoblash sxemalari
Aniqlovchini toping:
n-tartibli kvadrat matritsaning determinanti (n 4) determinantlarning xossalari yordamida hisoblanadi.
Determinantlarning asosiy xossalari. Determinantlarni hisoblash usullari
Matritsa determinantlari quyidagi asosiy xususiyatlarga ega:
1. Matritsa ko'chirilganda determinant o'zgarmaydi.
2. Aniqlovchida ikkita satr (yoki ustun) almashtirilsa, determinant belgisini o'zgartiradi.
3. Ikki proportsional (xususan, teng) qatorli (ustunli) aniqlovchi nolga teng.
4. Aniqlovchidagi satr (ustun) nollardan iborat bo'lsa, aniqlovchi nolga teng.
5. Har qanday satr (yoki ustun) elementlarining umumiy koeffitsienti aniqlovchi belgisidan chiqarilishi mumkin.
6. Agar bitta satr (yoki ustun) ning barcha elementlariga boshqa qator (yoki ustun)ning mos keladigan elementlarini bir xil songa ko‘paytirsak, determinant o‘zgarmaydi.
7. Diagonal va uchburchak (yuqori va pastki) matritsalarning determinanti diagonal elementlarning ko‘paytmasiga teng.
8. Kvadrat matritsalar ko‘paytmasining aniqlovchisi ularning aniqlovchilarining ko‘paytmasiga teng.
