$QS مع حالات الفشل والمساعدة المتبادلة الكاملة للتدفقات التعسفية. الرسم البياني، نظام المعادلات، العلاقات المحسوبة$

QS مع حالات الفشل والمساعدة المتبادلة الكاملة للتدفقات التعسفية. الرسم البياني، نظام المعادلات، العلاقات المحسوبة

دعونا نفكر في نظام انتظار متعدد القنوات (إجمالي عدد القنوات n)، الذي يتلقى الطلبات بكثافة lect ويتم خدمته بكثافة μ. تتم تلبية الطلب الذي يصل إلى النظام إذا كانت هناك قناة واحدة على الأقل مجانية. إذا كانت جميع القنوات مشغولة، فسيتم رفض الطلب التالي الذي تم استلامه في النظام ويترك QS. دعونا نرقم حالات النظام بعدد القنوات المشغولة:

س 0 – جميع القنوات مجانية.
س 1 – قناة واحدة مشغولة.
س 2 – قناتان مشغولتان؛
سك- مشغول كالقنوات؛
سن- جميع القنوات مشغولة.

ومن الواضح أن النظام ينتقل من حالة إلى أخرى تحت تأثير تدفق المدخلات من الطلبات. دعونا نبني رسمًا بيانيًا لحالة نظام الانتظار هذا.

أرز. 7.24
يوضح الشكل 6.24 رسمًا بيانيًا للحالة سأنا- رقم القناة؛  - كثافة الطلبات الواردة؛ μ - وبناء على ذلك كثافة طلبات الخدمة. تدخل الطلبات إلى نظام قائمة الانتظار بكثافة ثابتة وتحتل القنوات تدريجيًا واحدة تلو الأخرى؛ عندما تكون جميع القنوات مشغولة، سيتم رفض الطلب التالي الذي يصل إلى QS ويترك النظام.
دعونا نحدد شدة تدفقات الأحداث التي تنقل النظام من حالة إلى أخرى عند التحرك من اليسار إلى اليمين ومن اليمين إلى اليسار على طول الرسم البياني للحالة.
على سبيل المثال، دع النظام يكون في الدولة س 1، أي أن إحدى القنوات مشغولة، نظرًا لوجود طلب عند إدخالها. بمجرد اكتمال خدمة الطلب، سينتقل النظام إلى الحالة س 0 .
على سبيل المثال، إذا كانت قناتان مشغولتان، فإن تدفق الخدمة الذي ينقل النظام من الحالة س 2 في الولاية س 1 سيكون ضعف الشدة: 2-μ؛ وفقا لذلك، إذا كان مشغولا كالقنوات ، الشدة هي k-μ.

إن عملية الصيانة هي عملية موت وتكاثر. معادلات كولموغوروف لهذه الحالة بالذات سيكون لها الشكل التالي:

(7.25)
يتم استدعاء المعادلات (7.25). معادلات إيرلانج .
من أجل العثور على قيم احتمالية الحالات ر 0 , ر 1 , …, رن، من الضروري تحديد الشروط الأولية:
– ر 0 (0) = 1، أي أن هناك طلبًا عند إدخال النظام؛
– ر 1 (0) = ر 2 (0) = … = رن(0) = 0، أي في اللحظة الأولى من الزمن يكون النظام حرًا.
بعد دمج نظام المعادلات التفاضلية (7.25)، نحصل على قيم احتمالات الحالة ر 0 (ر), ر 1 (ر), … رن(ر).
لكننا مهتمون أكثر بكثير بالاحتمالات المحدودة للدول. بما أن t → ∞ وباستخدام الصيغة التي تم الحصول عليها عند النظر في عملية الموت والتكاثر، نحصل على حل لنظام المعادلات (7.25):

(7.26)
في هذه الصيغ، نسبة الشدة λ / μ لتدفق التطبيقات أنها مريحة للتعيين ρ .وتسمى هذه الكمية نظراً لكثافة تدفق الطلبات،أي متوسط عدد الطلبات التي تصل إلى نظام الجودة خلال متوسط وقت خدمة تطبيق واحد.

ومع مراعاة التدوين المقدم، فإن نظام المعادلات (7.26) سوف يأخذ الشكل التالي:

(7.27)
تسمى هذه الصيغ لحساب الاحتمالات الهامشية صيغ إرلانج .
وبمعرفة جميع احتمالات حالات QS سنجد خصائص كفاءة QS أي الصبيب المطلق أ، الإنتاجية النسبية سواحتمال الفشل ريفتح
سيتم رفض الطلب الذي يستقبله النظام إذا وجد أن جميع القنوات مشغولة:

.
احتمالية قبول الطلب للخدمة:

س = 1 – ريفتح،
أين س- متوسط حصة الطلبات المستلمة التي يخدمها النظام، أو متوسط عدد الطلبات التي يخدمها نظام الجودة لكل وحدة زمنية، مقسومًا على متوسط عدد الطلبات المستلمة خلال هذه الفترة:

أ=π·س=π·(1-P مفتوح)
بالإضافة إلى ذلك، فإن إحدى أهم خصائص نظام الجودة مع الفشل هي متوسط عدد القنوات المزدحمة. في ن-قناة QS مع حالات الفشل، ويتزامن هذا الرقم مع متوسط عدد التطبيقات في QS.
يمكن حساب متوسط عدد الطلبات k مباشرة من خلال احتمالات الحالات P 0، P 1، ...، P n:

,
أي أننا نجد التوقع الرياضي لمتغير عشوائي متقطع يأخذ قيمة من 0 إلى نمع الاحتمالات ر 0 , ر 1 , …, رن.
ومن الأسهل التعبير عن قيمة k من خلال السعة المطلقة لـ QS، أي. A. القيمة A هي متوسط عدد التطبيقات التي يخدمها النظام لكل وحدة زمنية. تخدم قناة واحدة مشغولة μ طلبات لكل وحدة زمنية، ثم متوسط عدد القنوات المشغولة

نظام المعادلات

QS مع حالات الفشل لعدد عشوائي من تدفقات الخدمة؛ نموذج متجه لتدفقات بواسون. الرسم البياني ونظام المعادلات.

دعونا نمثل QS كمتجه، حيث كم– عدد التطبيقات في النظام التي تتم خدمة كل منها مالأجهزة؛ ل= سالأعلى - سدقيقة +1 – عدد تدفقات الإدخال.

إذا تم قبول طلب الخدمة ودخل النظام إلى حالة ذات شدة α م.

عند اكتمال خدمة أحد الطلبات، سينتقل النظام إلى الحالة التي يكون فيها للإحداثي المقابل قيمة أقل بواحد مما كانت عليه في الحالة، =، أي. سيحدث التحول العكسي.

مثال على نموذج QS المتجه لـ ن = 3, ل = 3, سدقيقة = 1، سالحد الأقصى = 3، ص(م) = 1/3، χ Σ = α، كثافة صيانة الجهاز – μ.

باستخدام الرسم البياني للحالة مع شدة التحول المرسومة، يتم تجميع نظام من المعادلات الجبرية الخطية. ومن حل هذه المعادلات تم العثور على الاحتمالات ر() والتي من خلالها يتم تحديد خصائص QS.

QS مع قائمة انتظار لا نهائية لتدفقات بواسون. الرسم البياني، نظام المعادلات، العلاقات المحسوبة.

الرسم البياني للنظام

نظام المعادلات

أين ن- عدد قنوات الخدمة، ل- عدد قنوات المساعدة المتبادلة

QS مع قائمة انتظار لا نهائية ومساعدة متبادلة جزئية للتدفقات التعسفية. الرسم البياني، نظام المعادلات، العلاقات المحسوبة.

الرسم البياني للنظام

نظام المعادلات

–λ ر 0 + نμ ر 1 =0,

.………………

–(λ + نμ) ص ك+ λ ص ك –1 + نμ ص ك +1 =0 (ك = 1,2, ... , ن–1),

……………....

-(λ+ نμ) ب+ λ ص ن –1 + نμ ص ن+1=0,

……………….

-(λ+ نμ) ن + ي+ λ ص ن + ي –1 + نμ ص ن+ي+1=0، ي=(1،2،….،∞)

QS مع قائمة انتظار لا نهائية ومساعدة متبادلة كاملة للخيوط التعسفية. الرسم البياني، نظام المعادلات، العلاقات المحسوبة.

الرسم البياني للنظام

…

نظام المعادلات

QS مع قائمة انتظار محدودة لتدفقات بواسون. الرسم البياني، نظام المعادلات، العلاقات المحسوبة.

الرسم البياني للنظام

نظام المعادلات

نسب الحساب:

UDC 519.248:656.71

نموذج لنظام قائمة الانتظار مع التدفقات غير الثابتة والمساعدة المتبادلة الجزئية بين القنوات

جامعة سمارة الحكومية للفضاء تحمل اسم الأكاديمي إس بي كوروليف (جامعة الأبحاث الوطنية)

تم وصف نموذج ديناميكي لنظام اصطفاف متعدد القنوات مع تدفقات غير ثابتة، تنتظر في طابور محدود الطول ومساعدة متبادلة جزئية للقنوات، معبرًا عنها في إمكانية الخدمة المتزامنة لطلب من خلال قناتين. يتم إعطاء تعبيرات عن الخصائص الزمنية الاحتمالية الرئيسية للنظام. تم وصف نتائج نمذجة أداء المطار المحوري كمثال للنظام قيد النظر.

نظام الانتظار، التدفق غير الثابت، المساعدة المتبادلة بين القنوات، المطار المحوري.

مقدمة

نحن نعتبر نظام قائمة انتظار متعدد القنوات (QS) مع الانتظار في قائمة انتظار محدودة الطول. ومن سمات نظام الجودة قيد النظر المساعدة الجزئية المتبادلة بين القنوات، والتي يتم التعبير عنها في إمكانية الاستخدام المتزامن للقناتين لخدمة طلب واحد. يؤدي الجمع بين جهود القنوات بشكل عام إلى تقليل متوسط وقت الخدمة. ومن المفترض أن يستقبل نظام QS تدفقاً غير ثابت من تطبيقات بواسون. تعتمد مدة خدمة التطبيق على الوقت.

من الأمثلة النموذجية لنظام الجودة الذي يحتوي على الميزات المدرجة هو نظام خدمة النقل من المطار. يتم توفير الاستخدام المتزامن للعديد من المرافق (عادة اثنتين) (عدادات تسجيل الوصول، وناقلات وقود الطائرات، والمركبات الخاصة، وما إلى ذلك) لخدمة رحلة واحدة من خلال الجداول التكنولوجية لخدمة المطارات للطائرات الكبيرة (AC). وفي الوقت نفسه، فإن الحاجة إلى تحسين الجودة وتقليل مدة خدمات النقل البري، وهو أمر مهم بشكل خاص للمطارات الكبيرة، تؤدي إلى حقيقة أن حصة العمليات التي يتم إجراؤها ليس بواسطة وسيلة واحدة، بل بواسطة عدة وسائل (اثنين) هي في ازدياد.

ويزداد هذا مع زيادة حجم المطار. تم تطوير النموذج الموصوف في المقالة لحل مشاكل التحليل وتحسين أداء مجمعات الإنتاج للمطارات المحورية (المحاور)، والتي تتميز بتشبع مرافق النقل البري مع تدفق واضح غير ثابت للركاب والطائرات والبضائع و التقلبات في شدة خدمتهم.

وصف عام للنموذج

يهدف هذا النموذج إلى تحديد التبعيات الزمنية للخصائص الاحتمالية لنظام QS الذي يحتوي على قنوات خدمة N. يجب ألا يتجاوز عدد الطلبات في QS K، وهو ما قد يكون بسبب القيود الفنية على عدد أماكن وقوف الطائرات المتاحة في المطار، أو سعة مبنى الركاب أو مجمع الشحن، وما إلى ذلك. يمكن أن يكون عدد القنوات المخصصة لخدمة طلب واحد إما 1 أو 2. إذا كان هناك قناتين مجانيتين على الأقل، فسيتم استعارة الطلب المستلم باحتمال معين للخدمة

إحداهما و- مع احتمال y2 = 1 - y1 - كلتا القناتين. إذا كان لدى QS، في وقت استلام طلب الخدمة، قناة مجانية واحدة فقط، فإن هذا التطبيق في أي حال يحتل القناة المتاحة

القناة الوحيدة . إذا لم تكن هناك قنوات غير مشغولة، فإن الطلب الذي وصل حديثًا "يوضع في قائمة الانتظار" وينتظر الخدمة. إذا كان عدد التطبيقات في قائمة الانتظار هو K-N، فإن التطبيق الذي وصل حديثًا يترك QS بدون خدمة. يجب أن يكون احتمال مثل هذا الحدث منخفضًا.

يستقبل مدخل QS تدفق بواسون (ليس بالضرورة ثابتًا) للتطبيقات

مع شدة ل (ر). ومن المفترض أن تكون مدة خدمة الطلب عن طريق كل من قناة واحدة Tobsl1 (t) واثنتان -

Tobsl 2 (t) عبارة عن وظائف عشوائية للزمن موزعة بشكل كبير (عمليات عشوائية).

كثافة خدمة التطبيق

يتم تعريف قناة واحدة ^ (t) وقناتين م 2 (t) في نفس الوقت على أنها

mi (t) = [Tobsl1 (t)]-1، m2 (t) = [Tobsl2 (t)]-1،

حيث Tobsl1 (t) = M [Tobsl1 (t)]، Tobsl 2 (t)= M[Tobsl 2 (t)]

متوسط الوقت اللازم لخدمة الطلب من خلال قناة واحدة وقناتين على التوالي.

العلاقة بين الكميتين m1 (t) و m2 (t) تعطى بالعلاقة

m2 (ر) = ^m1 (ر) ,

حيث 9 هو المعامل الذي يأخذ في الاعتبار الزيادة النسبية في كثافة الخدمة عند استخدام قناتين.

ومن الناحية العملية، فإن العلاقة بين عدد الأموال المجمعة وكثافة الخدمة معقدة للغاية، وتحددها خصائص عملية الخدمة المعنية. بالنسبة للعمليات التي ترتبط مدتها بحجم العمل المنجز (على سبيل المثال، تزويد طائرة بوقود الطائرات باستخدام صهاريج وقود الطائرات، أو صعود أو نزول الركاب من الطائرة، وما إلى ذلك)، فإن اعتماد شدة الخدمة على يقترب عدد القنوات من التناسب المباشر، ولكنه ليس كذلك بشكل صارم بسبب الوقت اللازم للتحضير

ولكن العمليات النهائية التي لا تتأثر بعدد الأموال. لمثل هذه العمليات، 2 جنيه إسترليني. بالنسبة لعدد من العمليات، يكون اعتماد مدة التنفيذ على عدد الوسائل أو فناني الأداء أقل وضوحًا (على سبيل المثال، تسجيل الوصول أو ما قبل الرحلة

فحص الركاب). في هذه الحالة في »1.

في لحظة زمنية اعتباطية I، يمكن أن يكون QS المدروس في إحدى الحالات المنفصلة L + 1 - B0، ...،

اللعنة. يمكن أن يحدث الانتقال من حالة إلى أخرى في أي وقت. احتمال أن يكون QS في الحالة في الوقت المناسب

شرط التطبيع 2 ع () =1 معرفة-

يسمح تحليل الاحتمالات P0 (/)، PX (t)،...، Pb (t) بتحديد الخصائص الافتراضية (اللحظية) المهمة لنظام QS مثل متوسط طول قائمة الانتظار، ومتوسط عدد القنوات المزدحمة، متوسط عدد الطلبات الموجودة في QS، وما إلى ذلك.

تم العثور على احتمالات الحالات p(t) عن طريق حل نظام معادلات كولموغوروف التفاضلية، والتي يتم كتابتها بشكل عام كـ

=Ё jp(t)P /(t)-P,(t)Z (t).,

ص = 0،1،...،ب،

أين<р^ ^) - плотности (интенсивности) вероятностей перехода из состояния с порядковым номером г в состояние с порядковым номером ]. Величины фу (t) определяются по формуле

حيث P(/; At) هو احتمال أن يكون QS، الذي كان في الحالة B في اللحظة t، لـ

الوقت في سوف تذهب منه إلى الدولة

لتجميع معادلات كولموغوروف، يتم استخدام رسم بياني لحالة QS. فيه، يتم وضع الشدات المقابلة لـ f. فوق الأسهم المؤدية من B. إلى B. ويتم تعريف مشتق احتمال كل ولاية على أنه مجموع جميع التدفقات الاحتمالية القادمة من حالات أخرى إلى حالة معينة، مطروحًا منها مجموع كل التدفقات الاحتمالية التي تنتقل من حالة معينة إلى حالات أخرى.

لإنشاء رسم بياني، يتم تقديم نظام تدوين ثلاثي المؤشرات، حيث تتميز حالة QS قيد النظر عند نقطة زمنية تعسفية بثلاث معلمات: عدد القنوات المشغولة n (n = 0,1،.. .,^)، عدد الطلبات المقدمة k (k = 0,1,...,^) وانتظار الخدمة t (t = 0,1,...,^ - N).

في التين. يوضح الشكل 1 رسمًا بيانيًا للحالة مُسمى، تم تجميعه باستخدام القواعد الموضحة أعلاه والرموز المقدمة، لـ QS الذي تم اختياره كمثال بسيط.

من أجل توفير المساحة، في الرسم البياني وفي النظام المقابل لمعادلات كولموغوروف الواردة أدناه، تم حذف تسميات الاعتماد الوظيفي على وقت الشدة 1، م1، م2 واحتمالات الحالات.

^000 /L = -(^1^ + ^2^) P000 + tr10 + t2P210,

= - (t + U-11 + U21) σ + ^Рн000 +

2t1R220 + t2 R320،

LR210 إيل = - (t2 + ^11 + ^21) P210 + V2YP000 +

Т1Р320 + 2 ^2Р420،

LR220/L = -(2^1 + ^1^ + ^21) Р220 + ^1Rio +

3 تي1P330 + ^2P430،

LR32<:)1Л = - (т2 + т1 + ^11 + ^21)р320 +

+^11Р210 + V2ЯP110 + 2 طن 1Р430 +

LR4yu1L (1 + 2 ^2) Р420 + ^21Р210 + t Р30، ЛР330 /Л = -(3т1 + ^1^+ ^21) Р330 + ^11Р220 + +4^1Р440 + Т2Р40،

^430 /ل = - (2^1 + ^2 + 1) Р430 + ^11Р320 +

+^2^ Р220 + 3t 1r40 + 2^2r31,

LR530/ل =-(t + 2t2 + i) p^30+1P420 +

+^2YaP320 + t1P531،

LR440 إيل (4t1 + أنا) R40 + R330 +

5 ^1r50 + t2r41،

LR540/ ل =-(t2 + 3t + ط) r540 + yar430 +

+"^2YaR330 + 3 t1P541 + 2 t2P532،

LR531/L = - (^1 + 2^2 + R) R^31 + R530 +

LR550 IL = -(5t1 + Y) R550 + YR440 +

5t1R551 + t2R542،

LR541/ ل =-(t2 + 3t + i) ص^41 + يا^40 +

LR532/ل = -(t1 + 2t2) Р532 + ط Р531,

LR5511L = - (5t1 + Y)r51 + YR550 + 5t1R552،

lr542 / ل = - (3 ر + t2) r542 + ط r541 ,

Lp5^^ = 5 t1P552 + i p51.

إذا لم تكن هناك طلبات في QS في الوقت الحالي t = 0، فسيتم كتابة الشروط الأولية في النموذج

P10 (0) = P210 (0) = P220 (0) =... = P552 (0) = 0.

إن حل الأنظمة كبيرة الأبعاد مثل (1)، (2)، ذات القيم المتغيرة 1(^، mDO، m2(0) لا يمكن حله إلا بالطرق العددية باستخدام الكمبيوتر.

أرز. 1. الرسم البياني لحالة QS

بناء نموذج QS

وفقًا للنهج الخوارزمي، سننظر في تقنية لتحويل نظام معادلات كولموغوروف ذات البعد التعسفي إلى شكل مناسب لحسابات الكمبيوتر. من أجل تبسيط التسجيل، نستخدم بدلاً من النظام الثلاثي نظامًا مزدوجًا لتدوين حالات QS، حيث r هو عدد القنوات المشغولة بالخدمة بالإضافة إلى طول قائمة الانتظار،] هو عدد التطبيقات في QS . يتم التعبير عن العلاقة بين أنظمة التدوين بالتبعيات:

ص = ن + م، ص = 0.1،...،ك؛

] = ك + م، ] = 0.1،...،ك.

لا يمكن تحقيق أي حالة من المجموعة الرسمية

ب. (ص = 0.1،...،ك؛ ] = 0.1،...،ك). بخاصة،

في إطار النموذج الموصوف، من المستحيل أن تتم خدمة طلبين أو أكثر في وقت واحد بواسطة طلب واحد

قناة، أي. R. (t) = 0 if ] > r. دعنا نشير بالرمز 8 إلى مجموعة الحالات المسموح بها لـ QS. الدولة ب. موجودة، و

الاحتمال المقابل لها P. ^)

قد تكون غير صفرية إذا تم استيفاء أحد الشروط التالية:

1)] <г< 2], если 2] < N,

2)] <г< ] + Ч - 1 если \ .

ص] + ح - 1< К,

3)] < г < К, если ] + ч - 1 ^ К,

ص = 0.1،...،ك؛ ] = 0.1،...،ك،

حيث Х هو الحد الأقصى لعدد الحالات التي تحتوي على أعداد مختلفة من قنوات الخدمة لعدد معين من الطلبات، والتي تحددها الصيغة

تشير الأقواس هنا إلى عملية التخلص من الجزء الكسري. على سبيل المثال،

اذا حكمنا من خلال الرسم البياني للحالة الموضح في الشكل. 1، يمكن تقديم طلبين من خلال قناتين أو ثلاث أو أربع قنوات. لذلك، في المثال الذي تمت مناقشته أعلاه

ح = 5 - = 5 - 2 = 3.

لتنفيذ حسابات الكمبيوتر باستخدام نظام معادلات كولموغوروف ذات البعد التعسفي، يجب اختزال معادلاته إلى شكل عالمي يسمح بكتابة أي معادلة. من أجل تطوير مثل هذا النموذج، فكر في جزء من الرسم البياني للحالة يعرض حالة عشوائية واحدة B] مع الحالات الرائدة منه

سهام الشدة. دعونا نشير بالأرقام الرومانية إلى الدول المجاورة المرتبطة مباشرة بـ B.، كما هو موضح في الشكل. 2.

لكل حالة B. (g = 0.1,...,K; ] = 0.1,...,K)، بحيث يكون B. e 8، في الوقت t القيم

p^)، p(t)، p.^)، p(t) قبول

قيم مختلفة (بما في ذلك تلك التي تساوي الصفر). ومع ذلك، فإن هيكل المعادلة

(3) يبقى دون تغيير، مما يسمح باستخدامه في تنفيذ نظام الكمبيوتر لمعادلات كولموغوروف ذات البعد التعسفي.

يتم تحديد الشدات fr (t)، (ph. (t)، التي تميل إلى نقل QS إلى حالات ذات قيم كبيرة لـ r و ]، إذا كان وجود مثل هذه الحالات ممكنًا، بناءً على عدد من الشروط كما يلي :

o.. ї أو

°(,-+1)0"+1) ї 8 '

0(,-+2)(.+1) - 8 ط £ N - 2,

س(i+1)(.+1)- 8 أو

°(.+2)а+1)ї 8

O(.+1)(V+1) - 8'

أرز. 2. جزء من الرسم البياني لحالة QS

ومع الأخذ في الاعتبار وجود الدول المجاورة بالنسبة لـ B.، فستكتب معادلة B. على النحو التالي:

- £ = -[P () + P () + P. () +

РР (تي Рг، (t) + РР+1)(.+1) (ر) Р(г+1)(.+1) () +

Р(Н(1-1)^)Р(-1)(1 -1)^) +

Р 2)()+1)()Р(г+2)()-+1)() +

РЦ2)(.-1) (ر)P(г-2)(.-Г) ().

О(.+1)(.+1)ї 8 أو ii > N - 2

Y2X(ط)، إذا

أنا(i+1)(.+1) - 8>

O(i+2)(.+1) - 8 ’ i £ N - 2,

О(ii+1)(.+1)ї 8'

أو(i+2)(.+1) - 8'

ص = 0.1،...،ك، . = 0.1،...،ك.

شدة النهر ()، ص.11 ()، نقل QS من الحالة B-. في الدول

مع قيم أصغر من g و. (إذا كان وجود مثل هذه الحالات ممكنًا)، تتناسب طرديًا مع عدد القنوات المعنية، وتخدم طلبات من أنواع مختلفة موجودة في QS (تشغل قناة أو قناتين للخدمة). يمكن اعتبار مجموعة من قناتين تعملان في خدمة طلب واحد من النوع المقابل كقناة واحدة. لذلك، في الحالة العامة

p () = kdM1 () , R. () = ky2^2 () ,

حيث k.1 هو عدد الطلبات التي تشغل قناة واحدة، وتخدمها QS في الحالة B؛ k هو عدد الطلبات التي تشغل كل منها قناتين، وتخدمهما QS في الحالة B.

من خلال ز و. ويتم تحديد هذه القيم على النحو التالي:

G2. - ز إذا ز< N,

y1 [ N - 2 (r - .)، إذا r > N، (4)

ل! 2 = ز - . .

مع الأخذ في الاعتبار القيود المفروضة على إمكانية وجود حالات التعبير عن

p(), R.() لها النموذج

^ ب(ز-1)(ل) ه 8،

مؤشرات فعالية عمل نظام الجودة

يسمح لنا النموذج الموصوف بتحديد التبعيات الزمنية للمؤشرات التالية للكفاءة التشغيلية لنظام الجودة المدروس.

متوسط طول قائمة الانتظار:

يستطيع ()=22(g-p) R ().

متوسط عدد القنوات المزدحمة:

متوسط عدد الطلبات المقدمة إلى كبير مسؤولي التسويق:

م، ()=22.ر. ().

احتمالية رفض الخدمة:

Р, ()= 2 Р- ().

يمكن الحصول على توزيع وقت الانتظار الافتراضي من خلال التطبيق

الخدمة Ж (x,t) = Р ^од ()< х) , позволяющее характеризовать качество обслуживания рассматриваемой СМО. Поступившая в систему заявка вынуждена ожидать обслуживания в случае, если все каналы заняты обслуживанием заявок, поступивших

سابقًا. هناك احتمال Рк=0 (t) للخدمة الفورية لطلب وارد في وجود قناة مجانية (أو عدة قنوات مجانية)

ب(ز-1)(.-1) 8 جنيهات استرلينية،

ص = 0.1،...،ك، . = 0.1، ...، ك.

ر. () ° 0، إذا ب. 8 جنيهات استرلينية.

مع الأخذ في الاعتبار احتمال الفشل، سيتم تحديد القيمة المطلوبة لوظيفة التوزيع Ж (x^) على النحو التالي

و (س-')=(--س(ر)

EEZH م (،)) ()

Ru()° 0 إذا °y. ◀ 8.

هنا Ж (kh,т| (ii,./)) هي دالة شرطية

توزيع مدة الانتظار لطلب معين، على أن يكون عند وصوله T وجد QS في الحالة y.

في نظام الجودة قيد النظر، لا يعتمد وقت انتظار الخدمة من خلال طلب وارد فقط على عدد الطلبات الموجودة بالفعل في نظام الجودة، ولكن أيضًا على توزيع القنوات بين الخدمة الجماعية والفردية للطلبات الموجودة. إذا لم تكن المساعدة المتبادلة بين القنوات موجودة، فإن جودة الخدمة قيد النظر ستكون جودة خدمة تقليدية مع انتظار في قائمة انتظار ذات طول محدود، حيث يكون إجمالي وقت الانتظار لبدء الخدمة من خلال مطالبة يتفوق على المطالبات الأخرى في قائمة الانتظار في وقت الوصول سيكون لها توزيع Erlang E,^) (X) .

يحتوي الخط المرتفع هنا على كثافة طلبات الخدمة من قبل جميع القنوات N التي تعمل في وجود قائمة انتظار؛ المنخفض هو ترتيب التوزيع وفقًا لقانون إرلانج. في QS التي تم النظر فيها هنا، يكون القانون الموصوف صالحًا فقط للطلبات التي دخلت QS في الحالات التي تكون فيها جميع القنوات مشغولة، وجميعها تخدم طلبًا واحدًا. لهذه الدول يمكننا أن نكتب

F (x,t| ^ + m,N + t)) = ^+1() (x).

دعونا نشير إلى E^”^1 (x) بوظيفة التوزيع لقانون إرلان المعمم

ha، بالترتيب 2"r - 1، حيث ag هو الرقم

لو تم توزيع المتغيرات العشوائية

القانون الأسي مع المعلمة y. مع

باستخدام الترميز المقدم، نكتب تعبيرات لوظيفة توزيع وقت الانتظار في الحالات الأخرى. بالمقارنة مع (5)، فإن هذه التعبيرات لها شكل أكثر تعقيدًا، ولا يتعارض مع تنفيذ البرامج الخاصة بها. علاوة على ذلك، على سبيل المثال، يتم تقديمها فقط للحالات الثلاث الأولى للشغل الكامل للقنوات باستخدام الفهرسة المكونة من ثلاثة أحرف التي تم تقديمها مسبقًا:

F (x,t| (n,k,t)) = F (x,t| (N,N - g,0)) =

= (س)، 0 جنيه استرليني ز جنيه د،

أين و. = كيلو لتر (ر) + كو 2M2 (ر)؛

Ж (x,т| (п,к,т)) = Ж (x,т| (N,N - g,l)) =

ن ^ ^ - ز) كم(T)

Ж (x,т| - ز, 2))

ن ^).(ن - ز) كم (ر)

E/^(ر)،(ر-ز) ■я(ر)،(ر-ز+ل)

(ن)،(ن - ز) كيلوطن(T)

EI-)(ر-ز)(خ) +

^).(N - g) eH^) (x)

يتم تحديد متوسط وقت الانتظار الافتراضي لتطبيق Toz () رقميًا

الهوية (T) = | ^ Х (س،ت) .

يمكن أيضًا تحديد توزيع وقت الخدمة الافتراضية لطلب محدد بشكل تعسفي Tobsl ^).

بما أن التغيير في Tobsl (t) في QS المعتبر هو عملية عشوائية، وهي عبارة عن خليط من عمليتين عشوائيتين موزعتين بشكل أسي TobsL1 ^) وTobsL2 ^)، فإن التوزيع

V (x^) = P (Tobsl (t)< х) не будет показательным. С учётом возможности отказа выражение для функции распределения V (х^) запишется в виде

EEU M k، .YR (t)

ر.. ^)°0 لو 8. £8.

هنا V (x^| (r,.)) هي دالة التوزيع المشروط لوقت الخدمة لطلب معين، بشرط أن يتم العثور على QS في الحالة وقت وصوله.

إذا كان نظام QS، في وقت بدء خدمة التطبيق، في حالة يمكن فيها تقديم الخدمة الجماعية والفردية، فإن وقت الخدمة يكون مزيجًا من وقتين.

الانتقال إلى خدمة المجموعة - إذا كان الشرط ممكنًا (الشكل 2). وهكذا لدينا:

U(M(i--/")) =

ص (1 - ه-ر(ر)س) + +ص (1 - ه^2(ر)س)،

أنا О(ii+2)(]+1) ї 8، О(ii+1)(.+1) - 8،

"2\* ^ І' I ^ +2)(.+1)

ط = 0.1،...،ن -1، ط = 0.1،...،ن -1.

نظرًا لأنه في حالة عدم وجود قناتين مجانيتين، يتم تقديم أي طلب بواسطة قناة واحدة، فإن الاحتمال الفعلي ^) لتخصيص قناة واحدة هو

det أكبر من دالة V معينة uv ^) يتم تعريفها على أنها

EEU O"، "r(t)

ر. (ر) ° 0 إذا ر. ї 8.

هنا y1(r,.) هو احتمال تخصيص جهاز واحد لخدمة الطلب الذي تتلقاه QS في الحالة:

O(i+1)(.+1) - 8، O(i

2)(}+1) -2)(!+1)

الفترات: Tobsl1 (t) وTobsl2 (t)، dis-i = 0.1...,K -1, . = 0.1...,ك -1.

يقتصر بشكل كبير على المعلمات ^1 (t) و^2 (t)، على التوالي. إذا كان في

في هذه المرحلة لا يمكن تخصيص قناتين، ثم يتم توزيع وقت خدمة الطلب بشكل كبير مع المعلمة

ر (ر). عندما يقترب الطلب من قنوات الخدمة في الحالة ب، يكون الانتقال إلى الخدمة الفردية مسموحًا به

وجود إمكانية الدولة I(

متوسط مدة خدمة الطلب المدرج في QS في ذلك الوقت

T، يمكن تعريفها من خلال الأشعة فوق البنفسجية (T) كما

Tbl (t)=uf (t) Tm (t)+ Tbs 2 (t).

توزيع الوقت الافتراضي الذي يقضيه التطبيق في QS

و (x,t)= P (Tpreb (t)< х)

يتم تحديده باستخدام التعبيرات التي تم الحصول عليها مسبقًا لوظائف توزيع وقت الانتظار ووقت الخدمة - =

فانيا مثلي

2^2 (ر) إت^^(ر)^^) (س) +

EEI M))ص(ر)

و (x,t| (^ .)) =

1 - ه-M1(ر)x

ذ (1 - ه-ر(ر)س)-+y2(1 - ه

(1 - ه ^t(t)x)،

О(ii+1)(.+1) - 8، О(ii+ 2)(.+1) ї 8'

О(ii+1)(.+1) - 8’ О(ii+2)(.+1) - 8,

ص = 0.1،...^-1، . = 0'ل'...'ن-1.

بالنسبة للحالات الأخرى، تتم كتابة صيغ دالة التوزيع الشرطي عن طريق القياس مع صيغ

Ж (kh^| (п,к,т)) باستخدام فهرسة مكونة من ثلاثة أحرف. فيما يلي الحالات الثلاث الأولى لشغل القناة بالكامل:

عند الدخول لا يوجد طابور ولكن جميع القنوات مشغولة:

و (x^| (n,k,t)) = و (x^| (NN - g,0)) =

(خ)، 0 جنيه استرليني ز جنيه د؛

بحلول الوقت الذي يدخل فيه التطبيق، يكون هناك تطبيق واحد في قائمة الانتظار:

ر. (ر) ° 0 إذا ر. ї 8.

هنا و (x^| (r,.)) هي دالة التوزيع المشروط للوقت الذي يقضيه في QS لبعض الطلبات، بشرط أنه في لحظة وصوله وجد النظام في الحالة..

بالنسبة للولايات التي لديها قنوات مجانية، يتزامن وقت الإقامة في QS مع وقت الخدمة:

بحلول الوقت الذي يدخل فيه التطبيق، يكون هناك تطبيقان في قائمة الانتظار:

و (x,t | (t,t - ^2))

(ر)(ر^)ح (ر)(ر^+1)

(ر)(ر - ز) كتسM (ر)

(ر)(ر - ز) KtsM (ر)

يتم تعريف متوسط الوقت الافتراضي لبقاء التطبيق في QS على أنه

تبريب ^) = توبسل (ر) + توز (ر).

مثال على استخدام نموذج QS

تتم محاكاة الأداء اليومي لمجمع الإنتاج لأحد المطارات المحورية الإقليمية في أوروبا الشرقية عند إجراء عملية تكنولوجية منفصلة لخدمة الطائرات القادمة. كبيانات أولية للنمذجة، يعتمد الوقت على متوسط كثافة تدفق الطائرات القادمة

للخدمة، أنا(ر) والشدة

خدمة الطائرات بوسائل واحدة t1 (t) .

على النحو التالي من البيانات التي تم إنشاؤها

الرسم البياني لموقع المطار على الويب (i(t)

(الشكل 3 أ) ، يتميز عرض BC بتفاوت كبير: خلال النهار، تمت ملاحظة أربعة حدود قصوى للكثافة، تتوافق مع أربع "موجات"

لنا" رحلات الوصول والمغادرة. تصل قيم الذروة 1(t) للموجات الرئيسية إلى 25-30 VS/h.

في التين. 3 ويعرض أيضًا رسمًا بيانيًا للاعتماد t (t). ومن المفترض أن لا

فقط شدة تدفق الطائرات، ولكن أيضًا شدة خدمتها تعتمد على الزمن وتعتمد على مرحلة "الموجة". والحقيقة هي أنه من أجل تقليل متوسط \u200b\u200bوقت النقل للركاب، يتم تنظيم جدول المطار الرئيسي بطريقة تبدأ "الموجة" بوصول طائرات الركاب الكبيرة، والتي تتطلب صيانتها الكثير من الوقت، ويكتمل بوصول الطائرات الصغيرة. في المثال، من المفترض أن متوسط مدة العملية بأداة واحدة، وهي 20 دقيقة لمعظم مدة اليوم، في المرحلة الأولية من "الموجة" تزيد إلى 25 دقيقة. ويتم تقليله في المرحلة النهائية إلى 15 دقيقة. وهكذا، أربع فترات مع

انخفاض المستوى t (t) في الشكل. يتوافق الشكل 3 أ مع المراحل الأولية لـ "الموجات"، عندما يهيمن وصول الطائرات الكبيرة. في المقابل، أربع فترات من الزيادة

المستوى t^) يقع في النهائي

مراحل "الموجة" مع هيمنة الطائرات الصغيرة.

نوضح أدناه نتائج المحاكاة التي تسمح لنا بتقييم كفاءة النظام. في التين. يوضح الشكل 3b-3d الاعتماد الزمني لمتوسط قيم عدد القنوات المشغولة Nз ^)،

إجمالي عدد الطلبات في نظام وزارة الصحة ^) و

تم الحصول على أطوال قائمة الانتظار Moz (7) لقيمتين احتماليتين محددتين n1 = 0 و n1 = 1 مع خصائص التصميم التالية: N = 10؛ ك = 40؛ في = 1.75. انطلاقا من الرسم البياني للاعتماد Nз (t)

(الشكل 3 ب)، يظل شغل قنوات خدمة النظام منخفضًا خلال معظم الفواصل الزمنية اليومية، وذلك نتيجة للمدخلات غير الثابتة

تدفق الطائرات. الحمل العالي (60-80%) يتحقق فقط خلال “الموجة” الثانية من القادمين والمغادرين، والخيار n1 = 0 عند القيم الكبيرة 1(t) يسبب حملاً أكبر على النظام، وعند القيم الصغيرة من 1(ر) - أقل

مقارنة بالخيار n1 = 1. علاوة على ذلك، كما

أظهرت النمذجة أن احتمال الفشل في النظام قيد النظر لكلا الخيارين لا يكاد يذكر.

مقارنة الرسوم البيانية التبعية

M3 ^) وMozh ^) (الشكل 3c و3d، على التوالي) يسمح لنا باستنتاج أنه في QS مع n1 = 0، هناك، في المتوسط، عدد أقل من الطلبات، ومن المتوقع تقديم المزيد من الطلبات مقارنة بـ n1 = 1 ويفسر هذا التناقض بحقيقة أن كل طلب تستقبله QS، والذي في حالة n1 = 0 يأخذ اثنين

القناة، تترك عددًا أقل من القنوات المجانية للطلبات التي تتبعها، مما يجبرها على إنشاء قائمة انتظار أكبر مما كانت عليه في هذه الحالة

n1 = 1. وفي الوقت نفسه، يؤدي الاستخدام الجماعي للقنوات، مما يقلل من وقت الخدمة، إلى انخفاض في إجمالي عدد التطبيقات التي يتم تقديمها والتي تنتظر الخدمة. لذلك، في المثال قيد النظر، متوسط وقت الخدمة خلال اليوم هو

للخيار p1 = 1 هو 20 دقيقة، و

الخيار p1 = 0 - 11.7 دقيقة.

النموذج الذي تمت مناقشته أعلاه يجعل من الممكن حل المشكلات المتعلقة بالبحث عن الإدارة المثلى لجودة خدمات النقل. في التين. يعرض الشكل 3d و3f بعض نتائج حل هذا النوع من المشكلات، والتي تم توضيح معناها بشكل أكبر باستخدام مثال المطار قيد النظر.

إن متوسط طول قائمة الانتظار، وهو صغير حتى أثناء الأحمال القصوى، ولا يتجاوز 0.6 طائرة في المثال قيد النظر (الشكل 3د)، لا يضمن أن وقت الانتظار في قائمة الانتظار سيكون مقبولاً بالنسبة للغالبية العظمى من الطائرات. متوسط وقت انتظار منخفض مع متوسط وقت مرضٍ لاستكمال عملية الخدمة

وهذا أيضًا لا يستبعد إمكانية التوقف لفترة طويلة بشكل غير مقبول أثناء صيانة الطائرات الفردية. لنفكر في مثال عندما تخضع جودة خدمة المطار لمتطلبات لضمان قيم مرضية لوقت انتظار الخدمة والوقت الذي يقضيه في النظام. وسنفترض أن أكثر من 90% من الطائرات يجب أن تكون خاملة للصيانة لمدة تقل عن 40 دقيقة، كما يجب أن تكون مدة انتظار الصيانة لنفس النسبة من الطائرات أقل من 5 دقائق. باستخدام التدوين المقدم أعلاه، سيتم كتابة هذه المتطلبات لجودة خدمة المطار في شكل عدم المساواة:

ف (تبريب (ر)< 40мин)>09، ف (الهوية (ر)< 5мин)> 09

في التين. 3d، 3f يُظهر التبعيات الزمنية للاحتمالات P (Tpreb (/)< 40мин)

و P (الهوية. (")< 5 мин) для интервала времени

460-640 دقيقة. من بداية اليوم النموذجي الموافق لـ "الموجة" الثانية من الوافدين.

وكما يتبين من الأشكال، فإن الخيار n1 = 1 ليس كذلك

يوفر موثوقية محسوبة من حيث وقت الخدمة: متطلبات وقت الخدمة المحدد بواسطة الحالة

ف (تبريب (ر)< 40мин)>09، لا يتم تنفيذها إلا خلال فترة قصيرة قدرها 530560 دقيقة، الموافق للوافدين الصغار

شمس. بدوره، الخيار n1 = 0 لا يوفر الموثوقية المحسوبة من حيث وقت الانتظار في قائمة الانتظار: خلال الفاصل الزمني لوصول الطائرات الكبيرة (500-510 دقيقة).

أرز. 3. نتائج المحاكاة 262

تم استيفاء الشرط P (Iz(t)< 5мин) > 0.9.

كما أظهرت النمذجة، قد يكون الطريق للخروج من هذا الوضع هو الاختيار

خيار التسوية y1 »0.2. من الناحية العملية، يعني هذا الخيار أنه ينبغي تخصيص صندوقين لخدمات المطارات لكل خدمة ليس جميع الطائرات، ولكن فقط تلك التي تم اختيارها بناءً على معيار معين، على سبيل المثال،

سعة الركاب. هنا يلعب y1 دورًا

معلمة تسمح لك بالتحكم في مؤشرات أداء QS: وقت انتظار التطبيق في قائمة الانتظار والوقت الذي يبقى فيه التطبيق في QS أو وقت الخدمة.

لذلك، فإن النظام قيد النظر، الذي يستخدم قناة أو قناتين في وقت واحد لخدمة الطلب، هو حالة خاصة ولكنها مهمة من الناحية العملية لنظام QS مع

المساعدة المتبادلة للقنوات. يسمح استخدام النموذج الديناميكي لنظام الجودة هذا بطرح وحل العديد من التحسينات، بما في ذلك المعايير المتعددة، والمشكلات المتعلقة بإدارة ليس فقط العدد الإجمالي للأموال، ولكن أيضًا المساعدة المتبادلة. ويرتبط هذا النوع من المشاكل بشكل خاص بالمطارات المركزية، المشبعة بمرافق الخدمة، مع تدفقات رحلاتها غير الثابتة وكثافة الخدمة المتقلبة. وبالتالي، فإن نموذج QS المدروس هو أداة لتحليل وتحسين معلمات هذه الفئة الواعدة من المطارات كمحاور.

فهرس

1. بوشاروف، ص. نظرية الطابور [نص] / ص. بوشاروف، أ.ف. بي شينكين. - م: دار النشر رودن، 1995. - 529 ص.

نموذج لنظام الانتظار مع التدفقات غير الثابتة والمساعدة المتبادلة الجزئية بين القنوات

جامعة سمارة الحكومية للفضاء تحمل اسم الأكاديمي إس بي كوروليوف (جامعة الأبحاث الوطنية)

تم وصف نموذج ديناميكي لنظام انتظار متعدد القنوات مع تدفقات غير ثابتة، والانتظار في قائمة انتظار محدودة الطول والمساعدة المتبادلة الجزئية للقنوات التي يتم التعبير عنها في إمكانية الخدمة المتزامنة للعميل من خلال قناتين. يتم إعطاء تعبيرات عن خصائص الاحتمالية الزمنية الأساسية للنظام. تمت مناقشة نتائج نمذجة عمل المطار المحوري كمثال للنظام.

نظام الانتظار، التدفق غير الثابت، المساعدة المتبادلة بين القنوات، المطار المحوري.

معلومات عن المؤلف فلاديمير ألكسيفيتش رومانينكو، مرشح العلوم التقنية، أستاذ مشارك، طالب دكتوراه في قسم تنظيم وإدارة النقل، جامعة ولاية سامارا للفضاء التي سميت على اسم الأكاديمي إس بي كوروليف (جامعة الأبحاث الوطنية). بريد إلكتروني: [البريد الإلكتروني محمي]. مجال الاهتمامات العلمية: تحسين ونمذجة نظام خدمة النقل في المطار المحوري.

رومانينكو فلاديمير أليكسيفيتش، مرشح للعلوم التقنية، أستاذ مشارك، درجة الدكتوراه في قسم تنظيم وإدارة النقل، جامعة ولاية سامارا للفضاء التي سميت على اسم الأكاديمي إس بي كوروليوف (جامعة البحوث الوطنية) البريد الإلكتروني: [email protected]. مجال البحث: تحسين ومحاكاة نظام خدمة النقل بالمطار المحوري.

حتى الآن، تناولنا فقط أنظمة الجودة هذه التي يمكن فيها تقديم كل طلب من خلال قناة واحدة فقط؛ لا تستطيع القنوات غير المشغولة "مساعدة" القنوات المنشغلة في الخدمة.

بشكل عام، ليس هذا هو الحال دائمًا: هناك أنظمة انتظار حيث يمكن تقديم نفس الطلب في وقت واحد من خلال قناتين أو أكثر. على سبيل المثال، يمكن صيانة نفس الآلة المكسورة بواسطة عاملين في وقت واحد. ويمكن أن تتم مثل هذه "المساعدة المتبادلة" بين القنوات في كل من أنظمة الجودة المفتوحة والمغلقة.

عند النظر في QS مع المساعدة المتبادلة عبر القنوات، هناك عاملان يجب مراعاتهما:

1. ما مدى سرعة خدمة التطبيق عندما لا تعمل عليه قناة واحدة، بل تعمل عليه عدة قنوات في وقت واحد؟

2. ما هو "نظام المساعدة المتبادلة"، أي متى وكيف تقوم عدة قنوات بخدمة نفس الطلب؟

دعونا ننظر إلى السؤال الأول أولا. من الطبيعي أن نفترض أنه إذا لم تكن قناة واحدة، بل عدة قنوات تعمل لخدمة تطبيق ما، فإن كثافة تدفق الخدمة لن تنخفض مع زيادة k، أي أنها ستمثل بعض الوظائف غير المتناقصة لعدد k من العمل القنوات. دعونا نشير إلى هذه الوظيفة، ويظهر الشكل المحتمل للوظيفة في الشكل. 5.11.

من الواضح أن الزيادة غير المحدودة في عدد القنوات العاملة في وقت واحد لا تؤدي دائمًا إلى زيادة متناسبة في سرعة الخدمة؛ ومن الطبيعي أن نفترض أنه عند قيمة حرجة معينة، فإن الزيادة الإضافية في عدد القنوات المشغولة لم تعد تزيد من كثافة الخدمة.

من أجل تحليل تشغيل QS بمساعدة متبادلة بين القنوات، من الضروري أولاً تحديد نوع الوظيفة

إن أبسط حالة يمكن دراستها هي الحالة عندما تزيد الدالة بما يتناسب مع k بينما تظل ثابتة ومتساوية (انظر الشكل 5.12). إذا كان العدد الإجمالي للقنوات التي يمكن أن تساعد بعضها البعض لا يتجاوز

دعونا الآن نتناول السؤال الثاني: نظام المساعدة المتبادلة. سوف نسمي الحالة الأبسط لهذا الانضباط "الكل كواحد". وهذا يعني أنه عند ظهور طلب واحد، تبدأ جميع القنوات بخدمته مرة واحدة وتبقى مشغولة حتى تنتهي خدمة هذا الطلب؛ ثم تتحول جميع القنوات إلى خدمة طلب آخر (إذا كان هناك طلب) أو تنتظر ظهوره إذا لم يحدث ذلك، وما إلى ذلك. ومن الواضح، في هذه الحالة، تعمل جميع القنوات كواحدة، ويصبح QS قناة واحدة، ولكن مع خدمة أعلى شدة.

السؤال الذي يطرح نفسه: هل من المربح أم غير المربح تقديم مثل هذه المساعدة المتبادلة بين القنوات؟ تعتمد الإجابة على هذا السؤال على شدة تدفق الطلبات، ونوع الوظيفة، ونوع QS (في حالة الفشل، مع قائمة الانتظار)، وما هي القيمة التي يتم اختيارها كخاصية لكفاءة الخدمة.

مثال 1. هناك نظام QS ثلاثي القنوات به أعطال: شدة تدفق التطبيقات (التطبيقات في الدقيقة)، متوسط وقت خدمة طلب واحد بواسطة قناة واحدة (دقيقة)، الوظيفة والسؤال هو ما إذا كانت مفيدة من وجهة نظر إنتاجية QS لتقديم المساعدة المتبادلة بين القنوات من النوع "الكل كواحد"؟ هل هذا مفيد من حيث تقليل متوسط الوقت الذي يبقى فيه التطبيق في النظام؟

الحل أ. دون المساعدة المتبادلة

باستخدام صيغ Erlang (انظر الفقرة 4) لدينا:

القدرة النسبية لنظام الجودة.

الإنتاجية المطلقة:

يتم العثور على متوسط الوقت الذي يبقى فيه التطبيق في نظام الجودة (QS) على أنه احتمال قبول الطلب للخدمة مضروبًا في متوسط وقت الخدمة:

جسيست (دقيقة).

يجب ألا ننسى أن متوسط الوقت ينطبق على جميع التطبيقات - سواء كانت مخدومة أو غير مخدومة. وقد نكون مهتمين أيضًا بمتوسط الوقت الذي سيبقى فيه التطبيق المخدوم في النظام. هذه المرة تساوي:

6. مع المساعدة المتبادلة.

متوسط الوقت الذي يبقى فيه الطلب في مدير التسويق (CMO):

متوسط الوقت الذي يقضيه التطبيق المخدوم في CMO:

وبالتالي، في ظل وجود المساعدة المتبادلة "الكل كواحد"، انخفض إنتاجية QS بشكل ملحوظ. ويفسر ذلك زيادة احتمالية الرفض: فبينما تكون جميع القنوات مشغولة بخدمة طلب واحد، قد تصل طلبات أخرى، وبطبيعة الحال، يتم رفضها. أما بالنسبة لمتوسط الوقت الذي يقضيه التطبيق في مدير التسويق، فقد انخفض، كما هو متوقع. إذا كنا نسعى جاهدين لسبب ما لتقليل الوقت الذي يقضيه التطبيق في QS بشكل كامل (على سبيل المثال، إذا كان البقاء في QS يشكل خطورة على التطبيق)، فقد يتبين أنه على الرغم من انخفاض الإنتاجية، فإنه سيتم لا يزال من المفيد دمج القنوات الثلاث في قناة واحدة.

دعونا الآن نفكر مع التوقع في تأثير المساعدة المتبادلة من نوع "الكل كواحد" على عمل QS. للتبسيط، نحن نأخذ فقط حالة قائمة الانتظار غير المحدودة. وبطبيعة الحال، في هذه الحالة لن يكون هناك أي تأثير للمساعدة المتبادلة على إنتاجية QS، حيث سيتم تلبية جميع الطلبات الواردة تحت أي ظرف من الظروف. السؤال الذي يطرح نفسه هو تأثير المساعدة المتبادلة على خصائص الانتظار: متوسط طول قائمة الانتظار، متوسط وقت الانتظار، متوسط الوقت الذي يقضيه في الخدمة.

وبموجب الصيغ (6.13)، (6.14) § 6 للخدمة دون مساعدة متبادلة، فإن متوسط عدد الطلبات في قائمة الانتظار سيكون

متوسط وقت الانتظار:

ومتوسط مدة الإقامة في النظام:

إذا تم استخدام المساعدة المتبادلة من النوع "الكل كواحد"، فسيعمل النظام كقناة واحدة مع المعلمات

ويتم تحديد خصائصه من خلال الصيغ (5.14)، (5.15) § 5:

مثال 2. هناك QS ثلاثي القنوات مع قائمة انتظار غير محدودة؛ كثافة تدفق التطبيقات (التطبيقات في الدقيقة)، متوسط وقت الخدمة الوظيفة المعنى المفيد:

متوسط طول قائمة الانتظار،

متوسط وقت الانتظار للحصول على الخدمة،

متوسط الوقت الذي يبقى فيه الطلب في مدير التسويق (CMO).

تقديم المساعدة المتبادلة بين القنوات مثل "الكل كواحد"؟

الحل أ. لا توجد مساعدة متبادلة.

حسب الصيغ (9.1) - (9.4) لدينا

(3-2)

ب. مع المساعدة المتبادلة

باستخدام الصيغ (9.5) - (9.7) نجد؛

وبالتالي، يكون متوسط طول قائمة الانتظار ومتوسط وقت الانتظار في قائمة الانتظار في حالة المساعدة المتبادلة أكبر، ولكن متوسط وقت بقاء الطلب في النظام أقل.

ومن الأمثلة التي تم النظر فيها، يتضح أن المساعدة المتبادلة بين كقاعدة عامة، لا يساهم نوع النقد "الكل كواحد" في زيادة كفاءة الخدمة: يتم تقليل الوقت الذي يبقى فيه الطلب في نظام الخدمة، ولكن تتدهور خصائص الخدمة الأخرى.

ولذلك فمن المستحسن تغيير نظام الخدمة بحيث لا تتعارض المساعدة المتبادلة بين القنوات مع قبول طلبات الخدمة الجديدة إذا ظهرت أثناء انشغال جميع القنوات.

دعونا نسمي النوع التالي من المساعدة المتبادلة "المساعدة المتبادلة الموحدة". إذا وصل الطلب في وقت تكون فيه جميع القنوات مجانية، فسيتم قبول جميع القنوات لخدمته؛ إذا وصل تطبيق آخر أثناء خدمة أحد التطبيقات، فإن بعض القنوات تتحول إلى خدمته؛ إذا وصل طلب آخر أثناء تلبية هذين الطلبين، وتحولت بعض القنوات إلى خدمته، وما إلى ذلك، حتى يتم شغل جميع القنوات؛ إذا كان الأمر كذلك، فسيتم رفض الطلب الذي وصل حديثًا (في QS مع الرفض) أو يتم وضعه في قائمة الانتظار (في QS مع الانتظار).

مع نظام المساعدة المتبادلة هذا، يتم رفض الطلب أو وضعه في قائمة الانتظار فقط عندما لا يكون من الممكن تقديم الخدمة له. أما "وقت توقف" القنوات فهو في حده الأدنى في ظل هذه الظروف: إذا كان هناك طلب واحد على الأقل في النظام، فإن جميع القنوات تعمل.

ذكرنا أعلاه أنه عند ظهور طلب جديد، يتم تحرير بعض القنوات المشغولة وتحويلها لخدمة الطلب الوارد حديثاً. اي جزء؟ يعتمد ذلك على نوع الدالة، فإذا كانت على شكل علاقة خطية كما هو موضح في الشكل. 5.12، ولا يهم أي جزء من القنوات مخصص لخدمة الطلب المستلم حديثًا، طالما أن جميع القنوات مشغولة (عندها ستكون الكثافة الإجمالية للخدمات لأي توزيع للقنوات بين الطلبات مساوية لـ). ويمكن إثبات أنه إذا كان المنحنى محدباً للأعلى، كما هو موضح في الشكل. 5.11، فأنت بحاجة إلى توزيع القنوات بين الطلبات بالتساوي قدر الإمكان.

دعونا نفكر في تشغيل نظام QS على القناة بمساعدة متبادلة "موحدة" بين القنوات.

صياغة المشكلة.في المدخل ن-تستقبل قناة QS أبسط تدفق للطلبات بكثافة lect. كثافة أبسط تدفق خدمة لكل قناة هي μ. إذا تم استلام طلب للخدمة ووجد أن جميع القنوات مجانية، فسيتم قبولها للخدمة وخدمتها في وقت واحد ل القنوات ( ل < ن). في هذه الحالة، سيكون تدفق الخدمات لتطبيق واحد كثيفًا ل.

إذا تم استلام طلب للخدمة وجد طلب واحد في النظام، فمتى ن ≥ 2لسيتم قبول الطلب الذي وصل حديثًا للخدمة وستتم خدمته في وقت واحد لالقنوات.

إذا تم اكتشاف طلب تم استلامه للخدمة في النظام أناالتطبيقات ( أنا= 0.1، ...) بينما ( أنا+ 1)ل≤ ن، ثم ستتم خدمة الطلب المستلم لالقنوات ذات الأداء العام ل. إذا تم اكتشاف طلب تم استلامه حديثًا في النظام يالتطبيقات وفي نفس الوقت يتم تلبية متباينتين معًا: ( ي + 1)ل > نو ي < ن، سيتم قبول الطلب للخدمة. في هذه الحالة، يمكن خدمة بعض التطبيقات لالقنوات، والجزء الآخر أصغر من ل, عدد القنوات، ولكن الجميع سيكون مشغولا في الخدمة نالقنوات التي يتم توزيعها بشكل عشوائي بين التطبيقات. إذا تم اكتشاف طلب تم استلامه حديثًا في النظام نالطلبات، ثم يتم رفضها ولن تتم خدمتها. يتم تقديم الطلب المستلم للخدمة حتى اكتماله (طلبات "المريض").

يظهر الرسم البياني لحالة مثل هذا النظام في الشكل. 3.8.

أرز. 3.8. رسم بياني لحالات QS مع حالات الفشل والجزئية

المساعدة المتبادلة بين القنوات

لاحظ أن الرسم البياني لحالة النظام يصل إلى الحالة س ححتى تدوين معلمات التدفق، فإنه يتزامن مع الرسم البياني للحالة لنظام قائمة الانتظار الكلاسيكي مع حالات الفشل، كما هو موضح في الشكل. 3.6.

لذلك،

(أنا = 0, 1, ..., ح).

الرسم البياني لحالة النظام بدءًا من الحالة س حوتنتهي بالدولة س ن، يتزامن، حتى التدوين، مع الرسم البياني لحالة QS مع المساعدة المتبادلة الكاملة الموضحة في الشكل. 3.7. هكذا،

دعونا نقدم الترميز lect / لμ = ρ ل ; λ / نμ = χ، إذن

مع الأخذ في الاعتبار الحالة الطبيعية، نحصل عليها

لاختصار المزيد من التدوين، نقدم التدوين

دعونا نجد خصائص النظام.

احتمال خدمة الطلب

متوسط عدد التطبيقات في النظام هو

متوسط عدد القنوات المزدحمة

احتمال أن تكون قناة معينة مشغولة

احتمال إشغال جميع قنوات النظام

3.4.4. أنظمة الانتظار ذات الأعطال والتدفقات غير المتجانسة

صياغة المشكلة.في المدخل نيستقبل نظام QS ذو القناة تدفقًا بسيطًا غير متجانس بكثافة إجمالية Σ Σ و

λ Σ = ,

حيث π أنا– كثافة التطبيقات في أناالمصدر.

وبما أن تدفق الطلبات يعتبر بمثابة تراكب للمتطلبات من مصادر مختلفة، فإن التدفق المشترك بدقة كافية للممارسة يمكن اعتباره بواسون ل ن = 5...20 و أنا ≈ λ أنا +1 (أنا1,ن). يتم توزيع شدة الخدمة لجهاز واحد وفقًا لقانون أسي وتساوي μ = 1/ ر. يتم توصيل أجهزة الخدمة لخدمة الطلب على التوالي، وهو ما يعادل زيادة وقت الخدمة عدة مرات مثل عدد الأجهزة المدمجة للخدمة:

ر obs = كيلوطن، μ أوب = 1 / كيلوطن = μ/ ك,

أين ر obs - طلب وقت الخدمة؛ ك- عدد أجهزة الخدمة؛ μ obs - طلب كثافة الخدمة.

في إطار الافتراضات المعتمدة في الفصل الثاني، فإننا نمثل حالة QS كمتجه، حيث ك م– عدد التطبيقات في النظام التي تتم خدمة كل منها مالأجهزة؛ ل = سالأعلى - سدقيقة +1 – عدد تدفقات الإدخال.

ثم عدد الأجهزة المشغولة والمجانية ( نزان ( ),نسيفيرت ( )) قادر يتم تعريفه على النحو التالي:

من الدولة يمكن للنظام الذهاب إلى أي دولة أخرى . منذ أن يعمل النظام لتدفقات الإدخال، ثم من كل دولة فمن المحتمل أن يكون ذلك ممكنا لالتحولات المباشرة. ومع ذلك، نظرًا لموارد النظام المحدودة، ليست كل هذه التحولات ممكنة. دع SMO يكون في حالة ويصل الطلب مطالبا مالأجهزة. لو م≤ نسيفيرت ( )، ثم يتم قبول طلب الخدمة ويدخل النظام إلى حالة الشدة α م. إذا كان التطبيق يتطلب أجهزة أكثر مما هو متاح، فسيتم رفض الخدمة، وسيظل QS في الحالة . إذا استطعت هناك تطبيقات تتطلب مالأجهزة، ثم تتم صيانة كل منها بكثافة  م، والكثافة الإجمالية لخدمة مثل هذه الطلبات (μ م) يتم تعريفه على أنه μ م = ك م μ / م. عند اكتمال خدمة أحد الطلبات، سينتقل النظام إلى حالة يكون فيها للإحداثي المقابل قيمة أقل بمقدار واحد مما هو عليه في الحالة ,=، أي سيحدث التحول العكسي. في التين. يوضح الشكل 3.9 مثالاً لنموذج متجه لـ QS لـ ن = 3, ل = 3, سدقيقة = 1، سالحد الأقصى = 3، ص(م) = 1/3، χ Σ = α، كثافة صيانة الجهاز – μ.

أرز. 3.9. مثال على رسم بياني لنموذج متجه لنظام QS مع فشل الخدمة

وهكذا كل دولة تتميز بعدد التطبيقات المخدومة من نوع معين. على سبيل المثال، في الدولة
يتم تقديم طلب واحد بواسطة جهاز واحد وطلب واحد بواسطة جهازين. في هذه الحالة، تكون جميع الأجهزة مشغولة، لذلك لا يمكن إجراء سوى التحولات العكسية (يؤدي وصول أي طلب في هذه الحالة إلى رفض الخدمة). إذا انتهت خدمة طلب من النوع الأول في وقت سابق، فسينتقل النظام إلى الحالة (0,1,0) بكثافة μ، ولكن إذا انتهت خدمة طلب من النوع الثاني في وقت سابق، فسينتقل النظام إلى الحالة (0,1,0) بكثافة μ/2.

النظر في العثور على ر otk (احتمال رفض الخدمة).

أين س- عدد حالات الرسم البياني لنموذج QS المتجه؛ ر() هو احتمال وجود النظام في الحالة .

يتم تحديد عدد الولايات حسب ما يلي:

, (3.22)

;

دعونا نحدد عدد حالات نموذج QS المتجه حسب (3.22) للمثال الموضح في الشكل. 3.9.

لذلك، س = 1 + 5 + 1 = 7.

لتنفيذ المتطلبات الحقيقية لأجهزة الخدمة، هناك عدد كبير بما فيه الكفاية من ن (40، ...، 50)، وتقع طلبات عدد أجهزة الخدمة في التطبيق عمليًا في نطاق 8-16. مع هذه النسبة من الأدوات والطلبات، تصبح الطريقة المقترحة لإيجاد الاحتمالات مرهقة للغاية، لأن يحتوي النموذج المتجه لـ QS على عدد كبير من الحالات س(50) = 1790, س(60) = 4676, س(70) = = 11075، ويتناسب حجم مصفوفة معاملات نظام المعادلات الجبرية مع المربع س، الأمر الذي يتطلب قدرًا كبيرًا من ذاكرة الكمبيوتر وقدرًا كبيرًا من وقت الكمبيوتر. أدت الرغبة في تقليل كمية العمليات الحسابية إلى تحفيز البحث عن إمكانيات الحساب المتكررة ر() بناءً على الأشكال المضاعفة لتمثيل احتمالات الحالة. تقدم الورقة طريقة للحساب ر():

(3.23)

إن استخدام معيار معادلة الموازين الشاملة والتفصيلية لسلاسل ماركوف المقترحة في العمل يسمح لنا بتقليل حجم المشكلة وإجراء العمليات الحسابية على جهاز كمبيوتر متوسط الطاقة باستخدام تكرار العمليات الحسابية. بالإضافة إلى ذلك، من الممكن:

- إجراء العمليات الحسابية لأية قيم ن;

- تسريع العمليات الحسابية وتقليل تكاليف وقت الآلة.

يمكن تحديد الخصائص الأخرى للنظام بطريقة مماثلة.