सेट सिद्धांत. मूलभूत संकल्पना
सेट सिद्धांत ही आधुनिक गणिताची मूलभूत व्याख्या आहे. हे 1860 मध्ये जॉर्ज कॅंटर यांनी तयार केले होते. त्याने लिहिले: “अनेक अनेक आहेत, एकच संपूर्ण कल्पना आहे.” सेटची संकल्पना ही गणिताच्या मूलभूत, अपरिभाषित संकल्पनांपैकी एक आहे. हे इतर, सोप्या संकल्पनांमध्ये कमी केले जाऊ शकत नाही. म्हणून, ते परिभाषित केले जाऊ शकत नाही, परंतु केवळ स्पष्ट केले जाऊ शकते. अशाप्रकारे, एक संच म्हणजे एका संपूर्ण वस्तूंचे एकत्रीकरण आहे जे आपल्या अंतर्ज्ञानाने किंवा आपल्या विचारांद्वारे स्पष्टपणे ओळखले जाऊ शकतात; सामान्य वैशिष्ट्यांद्वारे परिभाषित केलेल्या विशिष्ट वस्तूंचा संग्रह.
उदाहरणार्थ,
1. वोरोनेझचे अनेक रहिवासी
2. समतल बिंदूंचा संच
3. नैसर्गिक संख्यांचा संच ℕ इ.
सेट सहसा कॅपिटल लॅटिन अक्षरांमध्ये दर्शविले जातात( A, B, Cइ.). दिलेला संच बनवणाऱ्या वस्तूंना त्याचे घटक म्हणतात. संचाचे घटक लहान लॅटिन अक्षरांनी दर्शविले जातात( a, b, cइ.). तर एक्स- सेट करा, नंतर रेकॉर्ड करा x∈Xयाचा अर्थ एक्ससंचाचा एक घटक आहे एक्सकिंवा काय एक्ससंचाशी संबंधित आहे एक्स, आणि प्रवेश x∉Xतो घटक एक्ससंचाशी संबंधित नाही एक्स. उदाहरणार्थ, ℕ हा नैसर्गिक संख्यांचा संच असू द्या. मग 5 ℕ , ए 0,5∉ℕ .
जर संच वायसंचाच्या घटकांचा समावेश आहे एक्स, मग ते म्हणतात वायसंचाचा उपसंच आहे एक्सआणि सूचित करा Y⊂Х(किंवा Y⊆Х). उदाहरणार्थ, पूर्णांकांचा संच ℤ परिमेय संख्यांचा उपसंच आहे ℚ .
जर दोन सेटसाठी एक्सआणि वायदोन समावेश एकाच वेळी होतात X Yआणि Y X, म्हणजे एक्ससंचाचा उपसंच आहे वायआणि वायसंचाचा उपसंच आहे एक्स, नंतर संच एक्सआणि वायसमान घटकांचा समावेश आहे. असे संच एक्सआणि वायसमान म्हणतात आणि लिहा: X=Y.
रिक्त संच हा शब्द बर्‍याचदा वापरला जातो - Ø - एक संच ज्यामध्ये एक घटक नसतो. हा कोणत्याही संचाचा उपसंच असतो.
संचांचे वर्णन करण्यासाठी खालील पद्धती वापरल्या जाऊ शकतात.
सेट निर्दिष्ट करण्याच्या पद्धती
1. वस्तूंची गणना. केवळ मर्यादित संचांसाठी वापरला जातो.
उदाहरणार्थ, X=(x1, x2, x3… x n). Y एंट्री ={1, 4, 7, 5} म्हणजे संचामध्ये चार संख्या असतात 1, 4, 7, 5 .
2. संचाच्या घटकांच्या वैशिष्ट्यपूर्ण गुणधर्माचे संकेत.
हे करण्यासाठी, एक विशिष्ट मालमत्ता सेट केली आहे आर, जे तुम्हाला घटक संचाशी संबंधित आहे की नाही हे निर्धारित करण्यास अनुमती देते. ही पद्धत अधिक सार्वत्रिक आहे.
X=(x: P(x))
(चा गठ्ठा, चा गुच्छ, चा घड एक्सअशा घटकांचा समावेश होतो एक्स, ज्यासाठी मालमत्ता आहे P(x)).
रिक्त संच त्याचे गुणधर्म निर्दिष्ट करून निर्दिष्ट केले जाऊ शकते: Ø=(x: x≠x)
तुम्ही सेटवरील ऑपरेशन्स वापरून आधीच परिभाषित केलेले नवीन सेट तयार करू शकता.
ऑपरेशन्स सेट करा
1. युनियन (बेरजे) हा त्या सर्व घटकांचा समावेश असलेला संच असतो, त्यातील प्रत्येक घटक किमान एका संचाचा असतो. एकिंवा IN.
A∪B=(x: x A किंवा x B).
2. छेदनबिंदू (उत्पादन) हा सर्व घटकांचा समावेश असलेला संच असतो, ज्यापैकी प्रत्येक घटक एकाच वेळी संचाचा असतो. ए, आणि अनेक IN.
A∩B=(x: x A आणि x B).
3. फरक सेट करा एआणि INसंचातील त्या सर्व घटकांचा समावेश असलेला संच आहे एआणि लोकसमुदायाशी संबंधित नाही IN.
A\B=(x: x A आणि x B)
4. जर ए- संचाचा उपसंच IN. ते खूप आहे B\Aसंचाचे पूरक म्हणतात एअनेकांना INआणि सूचित करा अ'.
5. दोन संचांचा सममितीय फरक म्हणजे संच A∆B=(A\B) (B\A)
एन- सर्व नैसर्गिक संख्यांचा संच;
झेड- सर्व पूर्णांकांचा संच;
प्र- सर्व परिमेय संख्यांचा संच;
आर- सर्व वास्तविक संख्यांचा संच;
सी- सर्व जटिल संख्यांचा संच;
Z 0- सर्व गैर-नकारात्मक पूर्णांकांचा संच.
सेटवरील ऑपरेशन्सचे गुणधर्म:
1. ए B=B ए (युनियनची कम्युटेटिव्हिटी)
2. ए B=B A (इंटरसेक्शनची कम्युटेटिव्हिटी)
3. A(B क) =(ए मध्ये) सी (युनियन असोसिएटिव्हिटी)
4. ए (IN क) =(ए मध्ये) C (इंटरसेक्शन असोसिएटिव्हिटी)
5. ए (IN क) =(ए मध्ये) (ए क) (वितरणाचा पहिला नियम)
6. ए (IN क) =(ए मध्ये) (ए क) (वितरणाचा दुसरा नियम)
7. ए Ø=A
8. ए U=U
9. ए Ø= Ø
10. ए U=A
11. (ए ब)'=अ' बी' (डी मॉर्गनचा कायदा)
12. (ए ब)'=अ' बी' (डी मॉर्गनचा कायदा)
13. ए (ए B) = A (शोषण कायदा)
14. ए (ए B) = A (शोषण कायदा)
मालमत्ता क्रमांक 11 सिद्ध करू. (ए ब)'=अ' मध्ये'
समान संचांच्या व्याख्येनुसार, आपल्याला दोन समावेश सिद्ध करणे आवश्यक आहे 1) (ए ब) '⊂A' मध्ये';
2) अ' B’⊂(A मध्ये)'.
प्रथम समावेश सिद्ध करण्यासाठी, एक अनियंत्रित घटक विचारात घ्या x∈(A ब)’=X\(A∪B).याचा अर्थ असा की x∈X, x∉ A∪B. ते त्याचे पालन करते x∉Aआणि x∉B, म्हणून x∈X\Aआणि x∈X\B, ज्याचा अर्थ होतो x∈A'∩B'. अशा प्रकारे, (ए ब) '⊂A' मध्ये'
मागे तर x∈A' मध्ये', ते एक्सएकाच वेळी सेटचे आहे A', B', ज्याचा अर्थ होतो x∉Aआणि x∉B. ते त्याचे पालन करते x∉ A IN, म्हणून x∈(A मध्ये)'. त्यामुळे, अ' B’⊂(A मध्ये)'.
तर, (ए ब)'=अ' मध्ये'
दोन घटकांचा समावेश असलेला संच, ज्यामध्ये घटकांचा क्रम परिभाषित केला जातो, त्याला क्रमबद्ध जोडी म्हणतात. ते लिहिण्यासाठी कंस वापरा. (x 1, x 2)- दोन-घटकांचा संच ज्यामध्ये x 1 हा पहिला घटक मानला जातो आणि x 2 हा दुसरा घटक मानला जातो. जोडपे (x 1, x 2)आणि (x 2, x 1),कुठे x 1 ≠ x 2, वेगळे मानले जातात.
n घटकांचा समावेश असलेला संच, ज्यामध्ये घटकांचा क्रम परिभाषित केला जातो, त्याला n घटकांचा क्रमबद्ध संच म्हणतात.
कार्टेशियन उत्पादन हा एक अनियंत्रित संच आहे X 1, X 2, …, X n n घटकांचे ऑर्डर केलेले संच, कुठे x १ X 1, x 2 X 2, …, x n Xn
X १ Xn
जर संच X 1, X 2, …, X nजुळणे (X 1 = X 2 =…=X n), नंतर त्यांचे उत्पादन दर्शविले जाते Xn.
उदाहरणार्थ, ℝ 2 - वास्तविक संख्यांच्या क्रमबद्ध जोड्यांचा संच.
समतुल्य संबंध. घटक संच
दिलेल्या संचाच्या आधारे, काही उपसंचांच्या संचाचा विचार करून नवीन संच तयार करता येतात. या प्रकरणात, आम्ही सहसा उपसंचांच्या संचाबद्दल बोलत नाही, परंतु कुटुंब किंवा उपसंचांच्या वर्गाबद्दल बोलतो.
अनेक प्रश्नांमध्ये, दिलेल्या संचाच्या अशा उपसंचांचा वर्ग विचारात घेतला जातो ए, जे एकमेकांना छेदत नाहीत आणि ज्यांचे युनियन एकरूप आहे ए. जर हा सेट एत्याच्या जोडीने जोडलेल्या उपसंचांचे संघटन म्हणून प्रस्तुत केले जाऊ शकते, नंतर असे म्हणण्याची प्रथा आहे एवर्गांमध्ये विभागले. वर्गांमध्ये विभागणी काही वैशिष्ट्यांच्या आधारे केली जाते.
द्या एक्सरिक्त संच नाही, नंतर कोणताही उपसंच आहे आरकामातून एक्स एक्ससेटवर बायनरी रिलेशन म्हणतात एक्स. जर एक जोडपे (x,y)समाविष्ट आहे आर,ते म्हणतात की x हा घटक संबंधात आहे आरसह येथे.
उदाहरणार्थ, संबंध x=y, x≥yसेटवर बायनरी संबंध आहेत ℝ.
बायनरी संबंध आरसेटवर एक्ससमतुल्य संबंध म्हणतात जर:
1. (x, x) आर; एक्स एक्स (रिफ्लेक्सिव्हिटी गुणधर्म)
2. (x,y) R => (y, x) आर (सममिती गुणधर्म)
3. (x,y) R, (y,z) R, नंतर (x,z) आर (संक्रमण गुणधर्म)
जर एक जोडपे (x,y)समतुल्य संबंधांमध्ये प्रवेश केला, तर x आणि y यांना समतुल्य म्हणतात (x~y).
1.चला ℤ - पूर्णांकांचा संच, m≥1- पूर्णांक. समतुल्य संबंध परिभाषित करू आरवर ℤ त्यामुळे n~k, तर n-kद्वारे विभाजित मी. या संबंधावर गुणधर्म समाधानी आहेत की नाही ते तपासूया.
1. रिफ्लेक्सिव्हिटी.
कोणासाठीही n∈ℤ ℤ असे की (p,p)∈R
р-р=0. कारण 0∈ ℤ , ते (p,p)∈ℤ.
2. सममिती.
पासून (n,k) ∈Rहे असे आहे की अशी गोष्ट आहे р∈ℤ, काय n-k=mp;
k-n =m(-p), -p∈ ℤ, म्हणून (k,n) ∈R.
3. संक्रमणशीलता.
कशापासून (n,k) ∈R, (k,q) ∈Rते असे आहेत की खालील p १आणि р 2 ∈ ℤ, काय n-k=mp 1आणि k-q=mp 2. या अभिव्यक्ती जोडून, आम्हाला ते मिळते n-q=m(p 1 + p 2), p 1 + p 2 =p, p∈ ℤ. म्हणून (n,q) ∈ ℤ.
2. संच विचारात घ्या एक्सजागा किंवा विमानाचे सर्व निर्देशित विभाग . =(A, B). आपण समतुल्य संबंध ओळखू या आरवर एक्स.
घटक सेट करा
बहुसंख्य.
संच x वरील आंशिक क्रम संबंध हा एक बायनरी संबंध आहे जो विषम, प्रतिक्षेपी आणि सकर्मक असतो आणि द्वारे दर्शविला जातो
एक जोडी म्हणून:
बायनरी रिलेशन रिफ्लेक्सिव्ह आणि सममित असल्यास त्याला सहिष्णुता म्हणतात.
बायनरी रिलेशन जर अपरिवर्तनीय, असीमेट्रिक आणि ट्रांझिटिव्ह (प्री-ऑर्डर) असेल तर त्याला अर्ध-क्रम म्हणतात.
बायनरी रिलेशन रिफ्लेक्सिव्ह आणि ट्रांझिटिव्ह असल्यास त्याला कडक ऑर्डर म्हणतात.
M संचावरील एनरी बीजगणितीय क्रिया हे कार्य आहे
- युनरी ऑपरेशन;
- बायनरी ऑपरेशन;
- ट्रायरी ऑपरेशन.
बायनरी बीजगणितीय क्रिया -
- एक ऑपरेशन जे प्रत्येक ऑर्डर केलेल्या जोडीला सेट M मधील काही घटक नियुक्त करते.
गुणधर्म:
१) कम्युटेटिव्हिटी:
२) सहवास:
तटस्थ घटक
बायनरी बीजगणितीय क्रियांसाठी M सेट करते
घटक म्हणतात:
R ला X संचावरील बायनरी संबंध समजा. संबंध R म्हणतात चिंतनशील , जर (x, x) О R सर्व x О X साठी; सममितीय – जर (x, y) О R पासून असेल तर ते (y, x) О R; (x, y) О R आणि (y, z) О R म्हणजे (x, z) О R असल्यास संक्रमण संख्या 23 पर्याय 24 शी संबंधित आहे.
उदाहरण १
आपण म्हणू की x О X सामाईक आहे
घटक y О X सह, संच असल्यास
x Ç y रिक्त नाही. साम्य असण्याचा संबंध प्रतिक्षिप्त आणि सममितीय असेल, परंतु सकर्मक नाही.
समतुल्य संबंध X वर एक प्रतिक्षेपी, सकर्मक आणि सममितीय संबंध आहे. हे पाहणे सोपे आहे की R Í X ´ X समतुल्य संबंध असेल जर आणि फक्त समावेश असेल तर:
Id X Í R (रिफ्लेक्सिव्हिटी),
R -1 Í R (सममिती),
R ° R Í R (ट्रान्झिटिव्हिटी).
प्रत्यक्षात, या तीन अटी खालीलप्रमाणे समतुल्य आहेत:
Id X Í R, R -1 = R, R ° R = R.
विभाजन करूनएका संचाचा X हा जोडीनुसार वियोग उपसंच एक Í X चा संच आहे जसे की UA = X. प्रत्येक विभाजन A सह आपण X वर समतुल्य संबंध जोडू शकतो, जर x आणि y हे काही a ÎA चे घटक असतील तर x ~ y टाकू शकतो. .
X वरील प्रत्येक समतुल्य संबंध ~ विभाजन A शी सुसंगत आहे, ज्याचे घटक उपसंच आहेत, ज्यातील प्रत्येक संबंधात समाविष्ट आहे ~. या उपसंचांना म्हणतात समतुल्य वर्ग . या विभाजन A ला ~ च्या संदर्भात X संचाचा घटक संच म्हणतात आणि तो दर्शविला जातो: X/~.
नैसर्गिक संख्यांच्या w संचावर x आणि y ला 3 ने भागल्यास उर्वरित भाग समान असल्यास x ~ y टाकून आपण संबंध परिभाषित करू. नंतर w/~ मध्ये उर्वरित 0, 1 आणि 2 शी संबंधित तीन समतुल्य वर्ग असतात.
ऑर्डर संबंध
X संचावरील बायनरी संबंध R म्हणतात सममितीय , जर x R y आणि y R x वरून ते खालीलप्रमाणे असेल: x = y. X संचावरील बायनरी संबंध R म्हणतात ऑर्डर संबंध , जर ते रिफ्लेक्सिव्ह, अँटिसिमेट्रिक आणि ट्रांझिटिव्ह असेल. हे पाहणे सोपे आहे की हे खालील अटींच्या समतुल्य आहे:
1) Id X Í R (रिफ्लेक्सिव्हिटी),
2) R Ç R -1 (विरोधक),
3) R ° R Í R (ट्रान्झिटिव्हिटी).
ऑर्डर केलेल्या जोडीला (X, R) सेट X आणि X वर ऑर्डर संबंध R म्हणतात अर्धवट ऑर्डर केलेला सेट .
उदाहरण १
चला X = (0, 1, 2, 3), R = (0, 0), (0, 1), (0, 2), (0, 3), (1, 1), (1, 2) ), (1, 3), (2, 2), (3, 3)).
R 1 - 3 अटी पूर्ण करत असल्याने, (X, R) हा अंशतः ऑर्डर केलेला संच आहे. x = 2, y = 3 या घटकांसाठी, x R y किंवा y R x हे सत्य नाही. अशा घटकांना म्हणतात अतुलनीय . सहसा ऑर्डर संबंध £ द्वारे दर्शविला जातो. दिलेल्या उदाहरणात, 0 £1 आणि 2 £2, परंतु 2 £3 हे खरे नाही.
उदाहरण २
द्या< – бинарное отношение строгого неравенства на множестве w натуральных чисел, рассмотренное в разд. 1.2. Тогда объединение отношений = и < является отношением порядка £ на w и превращает w в частично упорядоченное множество.
अंशतः क्रमबद्ध केलेल्या संचाचे घटक x, y О X (X, £) म्हणतात तुलना करण्यायोग्य , x £y किंवा y £x असल्यास.
अर्धवट ऑर्डर केलेला सेट (X, £) म्हणतात रेखीय क्रमाने किंवा साखळी , जर त्यातील कोणतेही दोन घटक तुलना करता येतील. उदाहरण 2 मधील संच रेखीय क्रमाने लावला जाईल, परंतु उदाहरण 1 मधील संच नाही.
अंशतः ऑर्डर केलेल्या सेटचा A Í X उपसंच (X, £) म्हणतात वर बांधलेले , जर सर्व О A साठी एक £ x असा घटक x О X असेल तर x О X या घटकाला म्हणतात सर्वात मोठा X मध्ये y £ x सर्व y О X साठी. एक मूलद्रव्य x О X जर x पेक्षा वेगळे कोणतेही घटक नसतील तर x О X ला जास्तीत जास्त म्हणतात. उदाहरण 1 मध्ये, घटक 2 आणि 3 कमाल असतील, परंतु सर्वात मोठे नाहीत. त्याचप्रमाणे व्याख्या कमी मर्यादा उपसंच, सर्वात लहान आणि किमान घटक. उदाहरण 1 मध्ये, घटक 0 सर्वात लहान आणि किमान दोन्ही असेल. उदाहरण 2 मध्ये, 0 मध्ये देखील हे गुणधर्म आहेत, परंतु (w, £) मध्ये सर्वात मोठा किंवा कमाल घटक नाही.
(X, £) हा अंशत: ऑर्डर केलेला संच असू द्या, A Í X उपसंच. A वरील संबंध, जोड्या (a, b) घटकांच्या a, b О A, ज्यासाठी a £ b, A वर क्रम संबंध असेल. हा संबंध समान चिन्हाने दर्शविला जातो: £. अशा प्रकारे, (A, £) हा अर्धवट ऑर्डर केलेला संच आहे. जर ते रेखीय क्रमाने असेल तर आपण म्हणू की A आहे साखळी मध्ये (X, £).
कमाल तत्त्व
काही गणिती विधाने निवडीच्या स्वयंसिद्ध शिवाय सिद्ध करता येत नाहीत. ही विधाने असल्याचे म्हटले आहे निवडीच्या स्वयंसिद्धतेवर अवलंबून आहे किंवा ZFC सिद्धांतात वैध , व्यवहारात, निवडीच्या स्वयंसिद्ध ऐवजी, एकतर झर्मेलो स्वयंसिद्ध, किंवा कुराटोव्स्की-झोर्न लेमा, किंवा निवडीच्या स्वयंसिद्धाशी समतुल्य कोणतेही विधान सहसा पुराव्यासाठी वापरले जाते.
कुराटोव्स्की-झोर्न लेमा. जर प्रत्येक साखळी अर्धवट ऑर्डर केलेल्या सेटमध्ये असेल(X, £) वरून मर्यादित आहे, नंतर मध्येएक्स किमान एक कमाल घटक आहे.
हा लेमा निवडीच्या स्वयंसिद्धतेच्या समतुल्य आहे, आणि म्हणून तो स्वयंसिद्ध म्हणून स्वीकारला जाऊ शकतो.
प्रमेय.कोणत्याही अर्धवट ऑर्डर केलेल्या सेटसाठी(X, £) संबंध असलेले एक नाते आहे£ आणि परिवर्तनएक्स रेखीय क्रमाने सेटमध्ये.
पुरावा. £ संबंध असलेल्या सर्व क्रम संबंधांचा संच समावेशित संबंध U द्वारे क्रमबद्ध केला जातो. ऑर्डर संबंधांच्या साखळीचे एकत्रीकरण हे ऑर्डर रिलेशन असेल, तर कुराटोव्स्की-झोर्न लेमाद्वारे जास्तीत जास्त R संबंध अस्तित्त्वात आहेत जसे की x £ y म्हणजे x R y. आपण हे सिद्ध करूया की R हा X क्रमवारीत रेखीय संबंध आहे. आपण उलट गृहीत धरू या: a, b О X असे अस्तित्वात असू द्या की (a, b) किंवा (b, a) R च्या मालकीचे नाही. संबंध विचारात घ्या:
R¢ = R È (x, y): x R a आणि b R y).
हे R ला जोडी (a, b) आणि जोड्या (x, y) जोडून प्राप्त केले जाते, जे R¢ मध्ये ऑर्डर संबंध आहे या स्थितीपासून R¢ मध्ये जोडणे आवश्यक आहे. हे पाहणे सोपे आहे की R¢ रिफ्लेक्सिव्ह, असीमेट्रिक आणि ट्रांझिटिव्ह आहे. आम्ही R Ì R¢ प्राप्त करतो, जो R च्या कमालतेला विरोध करतो, म्हणून, R हा इच्छित रेखीय क्रम संबंध आहे.
रेखीय क्रमाने दिलेला संच X सु-क्रमित असे म्हटले जाते जर प्रत्येक नॉन-रिक्त उपसंच A Í X मध्ये सर्वात लहान घटक a Î A असेल. Kuratowski-Zorn lemma आणि पसंतीचे स्वयंसिद्ध देखील खालील विधानाशी समतुल्य असतील:
Zermelo च्या स्वयंसिद्ध. प्रत्येक सेटसाठी ऑर्डर रिलेशन असते जे त्यास पूर्णपणे ऑर्डर केलेल्या सेटमध्ये बदलते.
उदाहरणार्थ, नैसर्गिक संख्यांचा संच w पूर्णपणे क्रमबद्ध आहे. इंडक्टन्सचे तत्त्व खालीलप्रमाणे सारांशित केले आहे:
ट्रान्सफिनिट इंडक्शन. तर(X, £) हा पूर्णपणे क्रमबद्ध संच आहे आणि F(x) हा त्याच्या घटकांचा गुणधर्म आहे,सर्वात लहान घटक x 0 О X साठी सत्य आणि सर्व y साठी F(y) च्या सत्यापासून < z следует истинность F(z), то F(x) प्रत्येकासाठी खरे x О X .
येथे वाय< z означает, что у £ z, но y ¹ z. Действительно, в противном случае среди x Î X, не обладающих свойством F(x), можно выбрать наименьший элемент x 1 , и выполнение F(y) для всех y < x 1 приводит к выполнению F(x 1), противоречащему предположению.
शक्ती संकल्पना
f: X à Y आणि g: Y à Z हे संचांचे नकाशे असू द्या. f आणि g संबंध असल्याने, त्यांची रचना g ° f(x) = g(f(x)) अशी परिभाषित केली आहे. जर h: Z à T हा संचांचा नकाशा असेल, तर h ° (g ° f) = (h ° g) ° f. संबंध Id X आणि Id Y फंक्शन्स आहेत, म्हणून, रचना Id Y ° f = f ° Id x = f परिभाषित केल्या आहेत. X = Y साठी, आम्ही f 2 = f ° f, f 3 = f 2 ° f, ..., f n+1 = f n ° f परिभाषित करतो.
मॅपिंग f: X àY म्हणतात इंजेक्शनने , X संचातील x 1 ¹ x 2 कोणत्याही घटकांसाठी, f(x 1) ¹ f(x 2) सत्य असेल. मॅपिंग f म्हणतात सर्जेशन , जर प्रत्येक y ОY साठी x О X असेल तर f(x) = y. जर f हे सर्जेशन आणि इंजेक्शन दोन्ही असेल तर f म्हणतात द्विभाजन . हे पाहणे सोपे आहे की f हे द्विभाजन आहे जर आणि फक्त जर व्यस्त संबंध f -1 Í Y ´ X हे फंक्शन असेल.
आम्ही म्हणू की समानता |X| = |Y|, X आणि Y मध्ये द्विभाजन असल्यास. चला |X| £ |Y|, जर इंजेक्शन असेल तर f: X à Y.
Cantor-Schroeder-Bernstein प्रमेय. तर|X| £ |Y| आणि|वाई| £ |X| , ते|X| = |Y|.
पुरावा. स्थितीनुसार, f: X à Y आणि g: Y à X इंजेक्शन आहेत. मॅपिंग g च्या संदर्भात A = g¢¢Y = Img ही संच Y ची प्रतिमा असू द्या. मग
(X \ A) Ç (gf)¢¢(X \ A) = Æ,
(gf)¢(X \ A) Ç (gf) 2 ¢¢(X \ A) = Æ, …,
(gf) n ¢¢(X \ A) Ç (gf) n+1 ¢¢(X \ A) = Æ, …
j मॅपिंगचा विचार करा: X à A, j(x) = gf(x), सह
x Î (X \ A) È (gf)¢¢(X \ A) È (gf) 2 ¢¢(X \ A) È …, आणि इतर प्रकरणांमध्ये j(x) = x. j हे द्विभाजन आहे हे पाहणे सोपे आहे. X आणि Y मधील आवश्यक द्विभाजन g -1 ° j च्या बरोबरीचे असेल.
Cantor च्या विरुद्धार्थी
चला |X|< |Y|, если |X| £ |Y| и не существует биекции между X и Y.
कॅंटरचे प्रमेय. X, |X| कोणत्याही सेटसाठी< |P(X)|, где P(X) – множество всех подмножеств множества X.
खालील प्रमेये सिद्ध करता येतात.
प्रमेय 1.4. फंक्शन f मध्ये व्यस्त फंक्शन f -1 असते आणि जर f द्विजात्मक असेल तरच.
प्रमेय 1.5. द्विजेक्टिव्ह फंक्शन्सची रचना हे द्विजेक्टिव्ह फंक्शन आहे.
तांदूळ. 1.12 विविध संबंध दर्शविते, ते सर्व, प्रथम वगळता, कार्ये आहेत.
वृत्ती, पण |
इंजेक्शन, पण |
सर्जेशन, पण |
||||||||||||||
कार्य नाही |
सर्जेशन नाही |
इंजेक्शन नाही |
||||||||||||||
f : A→B हे फंक्शन असू द्या आणि A आणि B हे संच मर्यादित संच असू द्या, A = n, B = m ठेवू या. डिरिचलेटच्या तत्त्वानुसार n > m असल्यास f चे किमान एक मूल्य एकापेक्षा जास्त वेळा येते. दुसऱ्या शब्दांत, a i ≠ a j , a i , a j A या घटकांची जोडी आहे ज्यासाठी f(a i ) = f(a j ).
डिरिचलेटचे तत्त्व सिद्ध करणे सोपे आहे, म्हणून आम्ही ते एक क्षुल्लक व्यायाम म्हणून वाचकांवर सोडतो. एक उदाहरण पाहू. एका गटात 12 पेक्षा जास्त विद्यार्थी असू द्या. मग त्यातल्या किमान दोघांचा वाढदिवस एकाच महिन्यात होणे साहजिक आहे.
संच A वर बायनरी रिलेशन R जर रिफ्लेक्झिव्ह, सिमेट्रिक आणि ट्रांझिटिव्ह असेल तर त्याला समतुल्य संबंध म्हणतात.
संख्यांच्या संचावरील समानता संबंधात सूचित गुणधर्म असतात, आणि म्हणूनच समतुल्य संबंध आहे.
त्रिकोण समानता संबंध हे स्पष्टपणे समतुल्य संबंध आहे.
वास्तविक संख्यांच्या संचावरील गैर-कठोर असमानता संबंध (≤ ) समतुल्य संबंध असणार नाही, कारण ते सममितीय नाही: 3≤ 5 पासून ते 5≤ 3 चे अनुसरण करत नाही.
दिलेल्या समतुल्य संबंध R साठी घटक a द्वारे व्युत्पन्न केलेला समतुल्य वर्ग (coset) हा त्या x A चा उपसंच आहे जो R च्या a सह संबंधात आहे. सूचित समतुल्यता वर्ग [a]R द्वारे दर्शविला जातो, म्हणून, आमच्याकडे आहे:
[a] R = (x A: a, x R).
एक उदाहरण पाहू. त्रिकोणांच्या सेटवर समानता संबंध सादर केला जातो. हे स्पष्ट आहे की सर्व समभुज त्रिकोण एका कोसेटमध्ये पडतात, कारण त्यापैकी प्रत्येक समान आहे, उदाहरणार्थ, त्रिकोणाशी, ज्याच्या सर्व बाजूंना एकक लांबी आहे.
प्रमेय 1.6. संच A आणि [a] R a coset वर R समतुल्य संबंध असू द्या, म्हणजे. [a] R = (x A: a, x R), नंतर:
1) कोणत्याही A साठी: [a] R ≠, विशेषतः, a [a] R;
2) भिन्न कॉसेट्स एकमेकांना छेदत नाहीत;
3) सर्व कॉसेट्सचे मिलन संपूर्ण सेट A शी एकरूप होते;
4) वेगवेगळ्या कॉसेट्सचा संच ए सेटचे विभाजन बनवतो.
पुरावा. 1) R च्या रिफ्लेक्सिव्हिटीमुळे, आपण प्राप्त करतो की कोणत्याही a, a A साठी, आपल्याकडे a,a R आहे, म्हणून a [ a] R आणि [ a] R ≠ ;
२) आपण असे गृहीत धरू की [a] R ∩ [b] R ≠, i.e. A आणि c [a]R ∩ [b]R चा एक घटक आहे. नंतर (cRa)&(cRb) पासून R च्या सममितीमुळे आपल्याला ते (aR c)&(cRb) मिळते आणि R च्या संक्रमणात्मकतेवरून आपल्याला aRb मिळते.
आमच्याकडे असलेल्या कोणत्याही x [a] R साठी: (xRa)&(aRb), नंतर R च्या संक्रमणामुळे आपल्याला xRb मिळतो, म्हणजे. x [b] R, म्हणून [a] R [b] R. त्याचप्रमाणे, कोणत्याही y, y [b] R साठी, आपल्याकडे आहे: (yRb)&(aRb), आणि R च्या सममितीमुळे आपल्याला ते (yRb)&(bR a) प्राप्त होते, नंतर, R च्या संक्रमणामुळे , आम्हाला ते yR a मिळते, म्हणजे y [a]R आणि
म्हणून [b] R [a] R . [a ] R [ b ] R आणि [ b ] R [ a ] R मधून आपल्याला [ a ] R = [ b ] R मिळतो, म्हणजेच जर कॉसेट्स एकमेकांना छेदतात, तर ते एकरूप होतात;
3) कोणत्याही a, a साठी, सिद्ध केल्याप्रमाणे, आपल्याकडे एक [a] R आहे, तर हे स्पष्ट आहे की सर्व कॉसेट्सचे एकत्रीकरण A संचाशी जुळते.
विधान 4) प्रमेय 1.6 चे 1-3 चे अनुसरण करते). प्रमेय सिद्ध झाले आहे. खालील प्रमेय सिद्ध करता येईल.
प्रमेय 1.7. संच A वरील भिन्न समतुल्य संबंध A चे भिन्न विभाजने निर्माण करतात.
प्रमेय 1.8. सेट A चे प्रत्येक विभाजन संच A वर समतुल्य संबंध निर्माण करते आणि भिन्न विभाजने भिन्न समतुल्य संबंध निर्माण करतात.
पुरावा. संच A चे विभाजन B = (B i ) देऊ. आपण R संबंध परिभाषित करूया : a,b R जर आणि फक्त जर B i असेल तर a आणि b दोन्ही या B i चे आहेत. हे उघड आहे की सादर केलेले संबंध रिफ्लेक्सिव्ह, सममित आणि संक्रमणात्मक आहे, म्हणून, R हे समतुल्य संबंध आहे. हे दर्शविले जाऊ शकते की विभाजने भिन्न असल्यास, त्यांच्याद्वारे निर्माण होणारे समतुल्य संबंध देखील भिन्न आहेत.
दिलेल्या समतुल्य संबंध R च्या संदर्भात संच A च्या सर्व कॉसेटच्या संचाला घटक संच म्हणतात आणि A/R द्वारे दर्शविला जातो. घटक संचाचे घटक cosets आहेत. कॉसेट क्लास [a]R, जसे ज्ञात आहे, त्यात घटक A असतात जे एकमेकांशी संबंधित असतात.
Z = (..., -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, ...) पूर्णांकांच्या संचावरील समतुल्य संबंधाचे उदाहरण पाहू.
a आणि b या दोन पूर्णांकांना तुलनात्मक (एकरूप) मोड्युलो m म्हटले जाते जर m हा a-b या संख्येचा विभाजक असेल, म्हणजे आपल्याकडे असल्यास:
a=b+km , k=…, -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, ….
या प्रकरणात, a≡ b(mod m) लिहा.
प्रमेय 1.9. कोणत्याही संख्येसाठी a, b, c आणि m>0 आमच्याकडे आहे:
1) a ≡ a(mod m);
2) जर a ≡ b(mod m), तर b ≡ a(mod m);
3) जर a ≡ b(mod m) आणि b ≡ c(mod m), तर a ≡ c(mod m).
पुरावा. विधान 1) आणि 2) स्पष्ट आहेत. चला सिद्ध करूया 3). a=b+k 1 m, b=c+k 2 m, नंतर a=c+(k 1 +k 2)m, i.e. a ≡ c(mod m) . प्रमेय सिद्ध झाले आहे.
अशा प्रकारे, तुलनात्मकता संबंध मोड्युलो m हा समतुल्य संबंध आहे आणि पूर्णांकांच्या संचाला संख्यांच्या विघटन वर्गांमध्ये विभागतो.
अंजीर मध्ये दर्शविलेल्या अविरतपणे न सुटणारा सर्पिल तयार करूया. 1.13 एक घन रेषा म्हणून दर्शविले आहे, आणि एक सतत फिरणारी सर्पिल डॅश रेषा म्हणून दर्शविली आहे. एक नॉन-ऋणात्मक पूर्णांक m द्या. अंजीर मध्ये दर्शविल्याप्रमाणे आम्ही या सर्पिलांच्या छेदनबिंदूवर सर्व पूर्णांक (Z संचातील घटक) m किरणांसह ठेवू. १.१३.
तुलनात्मक संबंध मोड्युलो m साठी (विशेषतः, m =8 साठी), समतुल्यता वर्ग म्हणजे किरणांवर असलेल्या संख्या. साहजिकच, प्रत्येक संख्या एकाच वर्गात मोडते. हे मिळू शकते की m= 8 साठी आपल्याकडे आहे:
[ 0] ={…, -8, 0, 8, 16, …}; |
|||||
[ 1] ={…, -7, 1, 9, 17, …}; |
|||||
[ 2] ={…, -6, 2, 10, 18, …}; |
|||||
[ 7] ={…, -9, -1, 7, 15, …}. |
|||||
तुलनात्मक संबंध मोड्युलो m च्या संदर्भात Z चा घटक संच Z/m किंवा Z m म्हणून दर्शविला जातो. विचाराधीन प्रकरणासाठी m =8
आम्हाला ते Z/8 = Z8 = ( , , , …, ) मिळते.
प्रमेय 1.10. कोणत्याही पूर्णांकांसाठी a, b, a*, b*, k आणि m:
1) जर a ≡ b(mod m), तर ka ≡ kb(mod m);
2) जर a ≡ b(mod m) आणि a* ≡ b* (mod m), तर:
a) a+a * ≡ b+b* (mod m); b) aa * ≡ bb* (mod m).
आम्ही केस 2b साठी पुरावा सादर करतो). a ≡ b(mod m) आणि a * ≡ b * (mod m), नंतर a=b+sm आणि a * =b * +tm s आणि t पूर्णांकांसाठी. गुणाकार
आम्हाला मिळते: aa* =bb* + btm+ b*sm+ stm2 =bb* +(bt+ b*s+ stm)m. त्यामुळे,
aa* ≡ bb* (मॉड m).
अशा प्रकारे, मोड्युलो तुलना जोडल्या जाऊ शकतात आणि पदानुसार गुणाकार केला जाऊ शकतो, उदा. समानतेप्रमाणेच कार्य करा. उदाहरणार्थ,
जर वृत्ती आर खालील गुणधर्म आहेत: रिफ्लेक्सिव्ह सममितीय संक्रमण, म्हणजे. सेटवरील समतुल्य संबंध (~ किंवा ≡ किंवा E) आहे एम , नंतर समतुल्य वर्गांच्या संचाला संचाचा घटक संच म्हणतात एम समतुल्यतेबद्दल आर आणि नियुक्त केले आहे श्री
संचाच्या घटकांचा एक उपसंच आहे एम समतुल्य x , म्हणतात समतुल्य वर्ग.
फॅक्टर सेटच्या व्याख्येवरून असे दिसते की तो बुलियनचा उपसंच आहे: .
फंक्शन म्हणतात ओळखआणि खालीलप्रमाणे परिभाषित केले आहे:
प्रमेय.बीजगणित घटक एफ n /~ हे बुलियन फंक्शन्सच्या बीजगणितासाठी समरूपी आहे बी n
पुरावा.
आवश्यक समरूपता ξ : एफ n / ~ → बी n खालील नियमाद्वारे निर्धारित केले जाते: समतुल्य वर्ग ~(φ) फंक्शन जुळले आहे f φ , सेटवरून अनियंत्रित सूत्रासाठी सत्य सारणी असणे ~(φ) . भिन्न समतुल्य वर्ग भिन्न सत्य सारण्यांशी संबंधित असल्याने, मॅपिंग ξ injective, आणि कोणत्याही बुलियन फंक्शनसाठी f पासून मध्ये पी फंक्शनचे प्रतिनिधित्व करणारे एक सूत्र आहे f, नंतर मॅपिंग ξ surjective स्टोअर ऑपरेशन्स, 0, 1 प्रदर्शित केल्यावर ξ थेट तपासले जाते. CTD.
स्थिर नसलेल्या प्रत्येक कार्याच्या कार्यात्मक पूर्णतेच्या प्रमेयाद्वारे 0 , काही SDNF शी संबंधित आहे ψ , वर्गाशी संबंधित ~(φ) = ξ -1 (फ) फंक्शनचे प्रतिनिधित्व करणारे सूत्र f . वर्गात असण्याचा प्रश्न निर्माण होतो ~(φ) विघटनशील सामान्य फॉर्म, ज्याची रचना सर्वात सोपी आहे.
कामाचा शेवट -
हा विषय विभागाशी संबंधित आहे:
मॉस्को स्टेट युनिव्हर्सिटी ऑफ सिव्हिल इंजिनिअरिंग.. इन्स्टिट्यूट ऑफ मॅनेजमेंट इकॉनॉमिक्स अँड इन्फॉर्मेशन सिस्टम इन कन्स्ट्रक्शन.. IEEE..
आपल्याला या विषयावर अतिरिक्त सामग्रीची आवश्यकता असल्यास, किंवा आपण जे शोधत आहात ते आपल्याला सापडले नाही, तर आम्ही आमच्या कार्यांच्या डेटाबेसमधील शोध वापरण्याची शिफारस करतो:
ही सामग्री आपल्यासाठी उपयुक्त असल्यास, आपण सामाजिक नेटवर्कवरील आपल्या पृष्ठावर ती जतन करू शकता:
| ट्विट |
स्वतंत्र गणिताचा विषय
स्वतंत्र (सीमित, मर्यादित) गणिताचा विषय ही गणिताची एक शाखा आहे जी वेगळ्या रचनांच्या गुणधर्मांचा अभ्यास करते, तर शास्त्रीय (सतत) गणित हे वस्तूंच्या गुणधर्मांचा अभ्यास करते.
समरूपता
बीजगणितीय क्रियांचा अभ्यास करणाऱ्या विज्ञानाला बीजगणित म्हणतात. जसजसे तुम्ही अभ्यासक्रमाचा अभ्यास कराल तसतशी ही संकल्पना अधिक विशिष्ट आणि गहन होत जाईल. बीजगणित फक्त कसे कार्य करावे या प्रश्नात स्वारस्य आहे
व्यायाम
1. हे सिद्ध करा की आयसोमॉर्फिक मॅपिंग नेहमीच आयसोटोन असते आणि संवाद सत्य नाही. 2. सेटच्या भाषेत तुमचा गट लिहा. 3. सेट केलेल्या वस्तूंच्या भाषेत लिहा
सेट आणि सेटचे घटक
सध्या, विद्यमान सेट सिद्धांत संकल्पनात्मक आधार आणि तार्किक माध्यमांच्या प्रतिमानशास्त्र (दृश्यांची प्रणाली) मध्ये भिन्न आहेत. तर, उदाहरण म्हणून, आपण दोन विरुद्ध उदाहरणे देऊ शकतो
मर्यादित आणि अनंत संच
सेटमध्ये ज्याचा समावेश आहे, उदा. संच तयार करणाऱ्या वस्तूंना त्याचे घटक म्हणतात. संचाचे घटक एकमेकांपासून वेगळे आणि वेगळे असतात. दिलेल्या उदाहरणावरून लक्षात येईल
सेटची शक्ती
मर्यादित संचासाठी मुख्यत्व त्याच्या घटकांच्या संख्येइतके असते. उदाहरणार्थ, ब्रह्मांड B(A) ची कार्डिनॅलिटी n च्या A संचाची कार्डिनॅलिटी
A1A2A3| + … + |A1A2A3| + … + |A1A2An| + … + |Аn-2An-1An| + (-1)n-1 |А1A2A3…An|
मर्यादित संच A मध्ये कार्डिनॅलिटी k आहे जर तो विभाग 1.. k; च्या बरोबरीचा असेल तर:
उपसंच, स्वतःचा उपसंच
संचाची संकल्पना मांडल्यानंतर, विद्यमान संचांपासून नवीन संच तयार करणे, म्हणजेच सेटवरील ऑपरेशन्स परिभाषित करणे हे कार्य उद्भवते. M चा संच",
अर्थपूर्ण सेट सिद्धांतांची प्रतीकात्मक भाषा
अभ्यासक्रमाच्या अभ्यासाच्या प्रक्रियेत, आम्ही सेट सिद्धांताची वस्तु भाषा आणि धातुभाषा यांच्यात फरक करू, ज्याद्वारे ऑब्जेक्ट भाषेचा अभ्यास केला जातो. सेट थेअरीच्या भाषेत आपण रिलेशनल समजतो
पुरावा
B हा संच अनंत आहे, याचा अर्थ
आयटम जोडणे आणि काढणे
जर A हा संच असेल आणि x हा घटक असेल आणि नंतर घटक
बांधलेले संच. सीमा सेट करा
काही संच X वर संख्यात्मक कार्य f(x) देऊ. f(x) फंक्शनची वरची सीमा (सीमा) ही अशी संख्या आहे
अचूक वरची (खालची) मर्यादा
सर्व वरच्या सीमा E चा संच Es द्वारे दर्शविला जातो आणि सर्व खालच्या सीमा Ei ने दर्शविला जातो. बाबतीत
सेटची अचूक वरची (खालची) सीमा
जर घटक z हा संच E च्या छेदनबिंदूशी संबंधित असेल आणि त्याच्या सर्व वरच्या सीमा Es (अनुक्रमे खालच्या r
वरच्या आणि खालच्या सीमांचे मूलभूत गुणधर्म
X हा अर्धवट ऑर्डर केलेला संच असू द्या. 1. जर, तर
गुणात्मक दृष्टिकोनातून सेट करा
एकूण दृष्टिकोन, गुणात्मक दृष्टिकोनाच्या विपरीत, तार्किकदृष्ट्या असमर्थनीय आहे या अर्थाने की ते रसेल आणि कॅंटरच्या प्रकारातील विरोधाभासांना कारणीभूत ठरते (खाली पहा). विशेषता टी च्या चौकटीत
रचना
अर्धवट क्रमाने केलेला X संच जर त्यात कोणताही दोन-घटकांचा संच असेल तर त्याला रचना म्हणतात
कव्हरिंग आणि विभाजन संच
संच A चे विभाजन एक कुटुंब Ai आहे
बायनरी संबंध
लांबी n चा एक क्रम, ज्याच्या संज्ञा a1, .... an, ने दर्शवल्या जातील (a1, .... a
बायनरी संबंधांचे गुणधर्म
Ho संचावरील बायनरी रिलेशन R मध्ये खालील गुणधर्म आहेत: (a) रिफ्लेक्झिव्ह जर xRx
तृतीयांश संबंध
कार्टेशियन उत्पादन XY
N-ary संबंध
दोन संच X,Y च्या कार्टेशियन उत्पादनाशी साधर्म्य करून, आपण कार्टेशियन उत्पादन X तयार करू शकतो.
दाखवतो
मॅपिंग हे सेट्सच्या घटकांमधील काही कनेक्शन आहेत. संबंधांची सर्वात सोपी उदाहरणे म्हणजे सदस्यत्व x चे संबंध
पत्रव्यवहार
कार्टेशियन उत्पादनाच्या उपसंच S ला संच Mi च्या घटकांचा n-ary पत्रव्यवहार म्हणतात. औपचारिकपणे
कार्य
स्वतंत्र गणिताच्या सर्व शाखा फंक्शनच्या संकल्पनेवर आधारित आहेत. चला X -
संबंधांच्या दृष्टीने कार्याचे प्रतिनिधित्व करणे
बायनरी रिलेशन f ला फंक्शन म्हणतात जर from आणि
इंजेक्शन, सर्जक्शन, बिजेक्शन
"मॅपिंग" हा शब्द वापरताना, मॅपिंग XbY आणि मॅपिंग X मध्ये Y वर फरक केला जातो.
व्यस्त कार्य
अनियंत्रित लोकांसाठी, आम्ही परिभाषित करतो
अर्धवट ऑर्डर केलेले सेट
एका संचाला रिफ्लेक्झिव्ह, ट्रांझिटिव्ह आणि अँटीसिमेट्रिक बायनरी आंशिक ऑर्डर रिलेशन दिले असल्यास त्याला अंशतः ऑर्डर केलेले (PUM) म्हणतात.
प्रतिनिधित्व किमान सेट करा
या कायद्यांचा वापर करून, आम्ही ऑपरेशन्स वापरून सेट M चे प्रतिनिधित्व कमी करण्याच्या समस्येचा विचार करतो
पुनर्रचना
A संच दिला. A ला n घटकांचा समावेश असलेला एक मर्यादित संच समजा A = (a1, a2, …, a
पुनरावृत्तीसह क्रमपरिवर्तन
सेट A मध्ये समान (पुनरावृत्ती) घटक असू द्या. रचनांच्या पुनरावृत्तीसह क्रमपरिवर्तन (n1, n2, … nk
प्लेसमेंट
k (1≤k≤n) लांबीचे ट्यूपल्स, ज्यामध्ये n-घटक संच A च्या वेगवेगळ्या घटकांचा समावेश असतो (ट्यूपल्स यामध्ये भिन्न असतात
पुनरावृत्तीसह प्लेसमेंट
सेट A मध्ये समान (पुनरावृत्ती) घटक असू द्या. k नावांच्या n घटकांच्या पुनरावृत्तीसह प्लेसमेंट
व्यवस्थित प्लेसमेंट
चला n ऑब्जेक्ट्स m बॉक्समध्ये ठेवू या जेणेकरून प्रत्येक बॉक्समध्ये एक क्रम असेल आणि त्यामध्ये ठेवलेल्या वस्तूंचा संच पूर्वीप्रमाणे नसेल. दोन
संयोजन
m-घटक संच A मधून आपण लांबीचा n चा क्रमबद्ध संच तयार करतो, ज्याचे घटक समान थीमसह मांडलेले असतात.
पुनरावृत्ती सह संयोजन
संच A मध्ये कोणतेही समान घटक नसतात तेव्हाच परिणामी सूत्रे वैध असतात. n प्रकारचे घटक असू द्या आणि त्यांच्यापासून एक ट्युपल
कार्य निर्मिती पद्धत
ही पद्धत एकत्रित संख्या मोजण्यासाठी आणि एकत्रित ओळख स्थापित करण्यासाठी वापरली जाते. प्रारंभ बिंदू हा अनुक्रम (ai) संयोजक आहे
बीजगणितीय प्रणाली
बीजगणितीय प्रणाली A हा संग्रह ‹M,O,R› आहे, ज्याचा पहिला घटक M हा रिक्त नसलेला संच आहे, दुसरा घटक O हा संच आहे.
बंद आणि subalgebras
एक उपसंच ऑपरेशन अंतर्गत बंद असल्याचे म्हटले जाते φ if
एका बायनरी ऑपरेशनसह बीजगणित
एम सेटवर एक बायनरी ऑपरेशन देऊ द्या. त्यातून निर्माण होणाऱ्या बीजगणितांचा विचार करूया, परंतु प्रथम आपण बायनरी क्रियांच्या काही गुणधर्मांचा विचार करू. बायनरी ओ
ग्रुपॉइड
फॉर्मचे बीजगणित<М, f2>ग्रुपॉइड म्हणतात. जर f2 हे गुणाकार सारखे ऑपरेशन असेल (
पूर्णांक मोड्युलो m
पूर्णांकांची रिंग दिली
एकरूपता
बीजगणित A = वर एकरूपता
आलेख सिद्धांताचे घटक
आलेख हे गणितीय वस्तू आहेत. आलेख सिद्धांत भौतिकशास्त्र, रसायनशास्त्र, संप्रेषण सिद्धांत, संगणक डिझाइन, इलेक्ट्रिकल अभियांत्रिकी, यांत्रिक अभियांत्रिकी, आर्किटेक्चर, संशोधन यासारख्या क्षेत्रांमध्ये वापरला जातो.
आलेख, शिरोबिंदू, धार
अनिर्देशित आलेखाद्वारे (किंवा, थोडक्यात, आलेख) आमचा अर्थ अशी अनियंत्रित जोडी G =
पत्रव्यवहार
दिग्दर्शित आलेख G चे आणखी एक, अधिक वेळा वापरल्या जाणार्‍या वर्णनामध्ये शिरोबिंदूंचा संच X आणि एक पत्रव्यवहार Г निर्दिष्ट करणे समाविष्ट आहे.
दिशाहीन आलेख
जर कडांना अभिमुखता नसेल, तर आलेखाला दिशाहीन (अनिर्देशित डुप्लिकेट किंवा दिशाहीन) म्हणतात
घटना, मिश्र आलेख
धार e ला फॉर्म (u, v) असल्यास किंवा<и, v>, तर आपण म्हणू की धार e घटना ver आहे
उलटा सामना
कारण ते अशा शिरोबिंदूंचा संच दर्शविते
आलेख isomorphism
दोन आलेख G1 =
पाथ ओरिएंटेड मार्ग
निर्देशित आलेखाचा मार्ग (किंवा निर्देशित मार्ग) हा आर्क्सचा एक क्रम आहे ज्यामध्ये
समीप चाप, समीप शिरोबिंदू, शिरोबिंदू पदवी
आर्क्स a = (xi, xj), xi ≠ xj, सामान्य टोकाचे शिरोबिंदू असलेले, n
कनेक्टिव्हिटी
आलेखामधील दोन शिरोबिंदूंना जोडणारा साधा मार्ग असल्यास त्यांना जोडलेले म्हटले जाते. आलेखाचे सर्व शिरोबिंदू जोडलेले असल्यास त्याला जोडलेले म्हणतात. प्रमेय.
भारित चाप आलेख
A आलेख G = (N, A) काही फंक्शन l: A → R ची व्याख्या आर्क्स A च्या सेटवर केली असेल तर त्याला भारित म्हणतात.
मजबूत कनेक्टिव्हिटी मॅट्रिक्स
मजबूत कनेक्टिव्हिटी मॅट्रिक्स: कर्ण बाजूने 1 ठेवा; X1 ओळ भरा - जर शिरोबिंदू X1 आणि X1 d पासून पोहोचू शकत असेल
झाडे
झाडे केवळ ज्ञानाच्या विविध क्षेत्रांतील अनुप्रयोग शोधत असल्यामुळेच नव्हे, तर आलेख सिद्धांतातही त्यांचे विशेष स्थान असल्यामुळे ते महत्त्वाचे आहेत. नंतरचे झाडाच्या संरचनेच्या अत्यंत साधेपणामुळे होते
कोणत्याही क्षुल्लक झाडाला किमान दोन लटकलेले शिरोबिंदू असतात
पुरावा G(V, E) या झाडाचा विचार करा. म्हणून झाड हा एक जोडलेला आलेख आहे
प्रमेय
मुक्त झाडाच्या मध्यभागी एक शिरोबिंदू किंवा दोन समीप शिरोबिंदू असतात: Z(G) = 0&k(G) = 1 → C(G) = K1
निर्देशित, ऑर्डर केलेले आणि बायनरी झाडे
डायरेक्टेड (ऑर्डर केलेले) झाडे हे पदानुक्रमित नातेसंबंधांचे एक अमूर्तीकरण आहे जे व्यावहारिक जीवनात आणि गणित आणि प्रोग्रामिंग दोन्हीमध्ये सहसा आढळतात. झाड (भिमुखता)
पुरावा
1. प्रत्येक चाप काही नोडमध्ये प्रवेश करतो. व्याख्या 9.2.1 च्या कलम 2 वरून आमच्याकडे आहे: v
झाडांची ऑर्डर दिली
ऑर्डरेव्हच्या समतुल्य व्याख्येतील T1,..., Tk हे उपवृक्ष आहेत. जर उपवृक्षांचा सापेक्ष क्रम T1,...,
बायनरी झाडे
बायनरी (किंवा बायनरी) ट्री हा नोड्सचा एक मर्यादित संच असतो जो एकतर रिकामा असतो किंवा त्यात मूळ आणि दोन विभक्त बायनरी झाडे असतात - डावीकडे आणि उजवीकडे. बायनरी ट्री जावा मध्ये नाही
मोफत वृक्ष प्रतिनिधित्व
झाडांचे प्रतिनिधित्व करण्यासाठी, तुम्ही सामान्य आलेखांचे प्रतिनिधित्व करण्यासाठी समान तंत्र वापरू शकता - संलग्नता आणि घटना मॅट्रिक्स, संलग्नता सूची आणि इतर. पण च्या विशेष गुणधर्मांचा वापर करून
साठी समाप्त
Rationale द प्रुफर कोड हे खरंच मोफत वृक्षाचे प्रतिनिधित्व आहे. हे पाहण्यासाठी, T" हे झाड असल्यास दाखवू
बायनरी झाडांचे प्रतिनिधित्व
कोणतेही मुक्त वृक्ष मूळ म्हणून त्याच्या नोड्सपैकी एक नियुक्त करून अभिमुख केले जाऊ शकते. कोणताही आदेश अनियंत्रितपणे दिला जाऊ शकतो. ऑर्डर केलेल्या ऑर्डरच्या एका नोडच्या (भाऊ) वंशजांसाठी, ते सापेक्ष परिभाषित केले जाते
बेसिक लॉजिक फंक्शन्स
दोन संख्यांचा संच E2 = (0, 1) द्वारे दर्शवू. 0 आणि 1 हे अंक एका वेगळ्या चटईमध्ये मूलभूत असतात
बुलियन फंक्शन
n आर्ग्युमेंट्स x1, x2, … ,xn चे बुलियन फंक्शन हे सेटच्या nव्या पॉवरमधील फंक्शन आहे.
दोन-घटक बुलियन बीजगणित
चला Во = (0,1) संच विचारात घेऊ आणि स्त्रोतांच्या तक्त्यानुसार त्यावर ऑपरेशन्स परिभाषित करू.
बुलियन फंक्शन टेबल्स
n व्हेरिएबल्सचे बुलियन फंक्शन दोन स्तंभ आणि 2n पंक्ती असलेल्या सारणीद्वारे निर्दिष्ट केले जाऊ शकते. पहिल्या स्तंभात B मधील सर्व संचांची यादी आहे
F5 - y मध्ये पुनरावृत्ती करा
f6 - बेरीज मोड्युलो 2 f7
ऑपरेशन्सचा क्रम
जर जटिल अभिव्यक्तीमध्ये कंस नसतील, तर ऑपरेशन्स खालील क्रमाने केल्या पाहिजेत: संयोग, वियोग, निहितार्थ, समतुल्य, नकार. शॅननच्या पहिल्या प्रमेयाच्या मांडणीसंबंधी अधिवेशने
मूळ सूत्र φ च्या समतुल्य SDNF आणि SCNF शोधण्याच्या समस्येचे निराकरण करण्यासाठी, आम्ही प्रथम बुलियन फंक्शन f(x1, x2) च्या विस्ताराचा विचार करतो.
शॅननचे दुसरे प्रमेय
द्वैत तत्त्वानुसार, प्रमेय 6.4.3 (शॅननचे दुसरे प्रमेय) बुलियन बीजगणितांसाठी आहे. कोणतेही बुलियन फंक्शन f(x1, x2,...
कार्यात्मक पूर्णता
प्रमेय (कार्यात्मक पूर्णतेबद्दल). कोणत्याही बुलियन फंक्शन f साठी फंक्शन f चे प्रतिनिधित्व करणारा φ हे सूत्र आहे
sdnf शोधण्यासाठी अल्गोरिदम
SDNF शोधण्यासाठी, हे सूत्र प्रथम DNF मध्ये कमी केले जाणे आवश्यक आहे, आणि नंतर खालील क्रियांचा वापर करून त्याच्या संयोगाचे युनिटच्या घटकांमध्ये रूपांतर करणे आवश्यक आहे: अ) संयोगामध्ये काही समाविष्ट असल्यास
क्विनची पद्धत
दिलेल्या बुलियन फंक्शनचे प्रतिनिधित्व करणारे MDNF शोधण्यासाठी Quine च्या पद्धतीचा विचार करा. चला खालील तीन ऑपरेशन्स परिभाषित करूया: - संपूर्ण ग्लूइंग ऑपरेशन -
तार्किक कार्यांचे प्रमाणिक प्रतिनिधित्व
तार्किक (सूत्र) फंक्शन्सचे कॅनॉनिकल फॉर्म्स ही अशी अभिव्यक्ती आहेत ज्यात बुलियन फॉर्म्युलाचे मानक स्वरूप आहे जसे की ते तार्किक कार्याचे अद्वितीयपणे प्रतिनिधित्व करते. बीजगणित मध्ये
बुलियन फंक्शन सिस्टम
बुलियन फंक्शन्स f(g1, g2, …, gm) आणि g1(x1, x2, …, xn), g2(x1) करू द्या
Zhegalkin आधार
चला वापरून पाहू या. प्रणाली पाहू. हे पूर्ण आहे, कारण मानक आधारावरील कोणतेही कार्य अटींमध्ये व्यक्त केले जाते
पोस्टचे प्रमेय
पोस्टचे प्रमेय बुलियन फंक्शन्सच्या प्रणालीच्या पूर्णतेसाठी आवश्यक आणि पुरेशी परिस्थिती स्थापित करते. (ई.एल. पोस्ट करा. गणितीय तर्कशास्त्राच्या दोन-मूल्य असलेल्या परस्परसंवादी प्रणाली. – गणिताचा इतिहास. स्टु
पुरावा
गरज. विरुद्ध पासून. असू दे
झेगाल्किन बीजगणित प्रस्तावित तर्क predicate ची व्याख्या बीजगणित मध्ये predicates अर्ज बुलियन प्रेडिकेट बीजगणित F↔G=(F→G)(G→F), F→G=FG नाही प्रेडिकेट कॅल्क्युलस अनुसरण आणि समानता स्वीकृत नोटेशन्स मेटा पदनाम
बेरीज मोड्युलो 2, संयोग आणि स्थिरांक 0 आणि 1 एक कार्यात्मक पूर्ण प्रणाली तयार करतात, उदा. बीजगणित तयार करा - झेगाल्किन बीजगणित. A=
गणितीय तर्कशास्त्र नैसर्गिक भाषेच्या वाक्यरचना (फॉर्म) आणि शब्दार्थ (सामग्री) च्या मूलभूत संकल्पनांचा अभ्यास करते. गणितीय तर्कशास्त्रातील संशोधनाच्या तीन प्रमुख क्षेत्रांचा विचार करू - तर्कशास्त्र
X1, X2, ..., Xn ला अनियंत्रित चल असू द्या. या व्हेरिएबल्सना आपण विषय व्हेरिएबल्स म्हणू. व्हेरिएबल तुम्हाला सेट करू द्या
चला प्रेडिकेट्सचा विचार करूया ज्यामध्ये फक्त एक व्हेरिएबल मोकळे आहे, ज्याला आपण x ने दर्शवतो आणि बीजगणितातील प्रेडिकेट्सच्या वापरावर चर्चा करू. एक नमुनेदार उदाहरण
तार्किक ऑपरेशन्स प्रेडिकेट्सवर लागू करता येत असल्याने, बुलियन बीजगणिताचे मूलभूत नियम त्यांच्यासाठी वैध आहेत. प्रमेय. (प्रेडिकेट्ससाठी लॉजिकल ऑपरेशन्सचे गुणधर्म). Mn
2. F=F नव्हे तर डी मॉर्गनचे कायदे वापरा: नाही (एफ
प्रेडिकेट कॅल्क्युलसला प्रथम-क्रम सिद्धांत देखील म्हणतात. प्रेडिकेट कॅल्क्युलसमध्ये, तसेच प्रपोझिशनल कॅल्क्युलसमध्ये, पहिले सर्वात महत्त्वाचे स्थान म्हणजे सोडविण्यायोग्यतेची समस्या.
प्रपोझिशनल फॉर्म Q2 हा प्रपोझिशनल फॉर्म Q1 वरून फॉलो करतो जर इम्प्लिकेशन Q1→Q2 सत्य असेल
"ऑर्डर नो मोअर" चे चिन्ह. f(n) आणि g(n) (नॉन-नकारात्मक मूल्यांसह) दोन फंक्शन्सच्या वाढीच्या दराची तुलना करताना, खालील अतिशय सोयीस्कर आहेत
प्रतीक सामग्री उदाहरण OR
