घातांकीय कार्य, त्याचे गुणधर्म आणि आलेख. विषयावरील बीजगणित धड्यासाठी (ग्रेड 10) सादरीकरण

योजनेनुसार फंक्शनच्या गुणधर्मांचे विश्लेषण करू या: स्कीमनुसार विश्लेषण करू: 1. फंक्शनच्या व्याख्येचे डोमेन 1. फंक्शनच्या व्याख्येचे डोमेन 2. फंक्शनच्या मूल्यांचा संच 2. मूल्यांचा संच फंक्शनचे 3. फंक्शनचे शून्य 3. फंक्शनचे शून्य 4. फंक्शनच्या स्थिर चिन्हाचे मध्यांतर 4. फंक्शनच्या स्थिर चिन्हाचे मध्यांतर 5. फंक्शनच्या सम किंवा विषम 5. सम किंवा विषम फंक्शन 6. फंक्शनची मोनोटोनिसिटी 6. फंक्शनची मोनोटोनिसिटी 7. सर्वात मोठी आणि सर्वात कमी मूल्ये 7. सर्वात मोठी आणि सर्वात कमी व्हॅल्यू 8. फंक्शनची नियतकालिकता 8. फंक्शनची नियतकालिकता 9. फंक्शनची सीमा 9. सीमा फंक्शनचे

x R साठी 0. 5) फंक्शन सम किंवा "title=" एक्सपोनेन्शियल फंक्शन, त्याचा आलेख आणि गुणधर्म y x 1 o 1) दोन्हीपैकी कोणतेही नाही आर). 2) मूल्यांचा संच हा सर्व धन संख्यांचा संच आहे (E(y)=R +). 3) शून्य नाहीत. 4) x R साठी y>0. 5) फंक्शन सम नाही किंवा नाही" class="link_thumb"> 10 !}घातांकीय कार्य, त्याचा आलेख आणि गुणधर्म y x 1 o 1) व्याख्येचे डोमेन सर्व वास्तविक संख्यांचा संच आहे (D(y)=R). 2) मूल्यांचा संच हा सर्व धन संख्यांचा संच आहे (E(y)=R +). 3) शून्य नाहीत. 4) x R साठी y>0. 5) फंक्शन सम किंवा विषम नाही. 6) फंक्शन मोनोटोनिक आहे: जेव्हा a>1 तेव्हा R ने वाढते आणि 0 तेव्हा R ने कमी होते x R साठी 0. 5) x R साठी फंक्शन सम किंवा ">0 नाही. 5) फंक्शन सम किंवा विषम नाही. 6) फंक्शन मोनोटोनिक आहे: ते a>1 साठी R वर वाढते आणि R साठी कमी होते x R साठी 0"> 0 y)=R) 2) मूल्यांचा संच हा सर्व धन संख्यांचा संच आहे (E(y)=R +). 3) शून्य नाहीत. 4) x R साठी y>0. 5) फंक्शन सम नाही किंवा नाही"> title="घातांकीय कार्य, त्याचा आलेख आणि गुणधर्म y x 1 o 1) व्याख्येचे डोमेन सर्व वास्तविक संख्यांचा संच आहे (D(y)=R). 2) मूल्यांचा संच हा सर्व धन संख्यांचा संच आहे (E(y)=R +). 3) शून्य नाहीत. 4) x R साठी y>0. 5) फंक्शन सम नाही किंवा नाही"> !}

लाकडाची वाढ कायद्यानुसार होते, जेथे: ए - वेळेनुसार लाकडाच्या प्रमाणात बदल; ए 0 - लाकडाची प्रारंभिक रक्कम; t-time, k, a- काही स्थिरांक. लाकडाची वाढ कायद्यानुसार होते, जेथे: ए - वेळेनुसार लाकडाच्या प्रमाणात बदल; ए 0 - लाकडाची प्रारंभिक रक्कम; t-time, k, a- काही स्थिरांक. t 0 t0t0 t1t1 t2t2 t3t3 tntn A A0A0 A1A1 A2A2 A3A3 AnAn

केटलचे तापमान कायद्यानुसार बदलते, जेथे: टी म्हणजे केटलच्या तापमानात कालांतराने होणारा बदल; टी 0 - पाण्याचा उकळत्या बिंदू; t-time, k, a- काही स्थिरांक. केटलचे तापमान कायद्यानुसार बदलते, जेथे: टी म्हणजे केटलच्या तापमानात कालांतराने होणारा बदल; टी 0 - पाण्याचा उकळत्या बिंदू; t-time, k, a- काही स्थिरांक. t 0 t0t0 t1t1 t2t2 t3t3 tntn T0T0 T1T1 T2T2 T3T3

किरणोत्सर्गी क्षय कायद्यानुसार होतो, जेथे: किरणोत्सर्गी क्षय कायद्यानुसार होतो, जेथे: N म्हणजे कोणत्याही वेळी न क्षय झालेल्या अणूंची संख्या t; N 0 - अणूंची प्रारंभिक संख्या (वेळेस t=0); टी-टाइम; N ही कधीही न कुजलेल्या अणूंची संख्या t आहे; N 0 - अणूंची प्रारंभिक संख्या (वेळेस t=0); टी-टाइम; टी - अर्ध-जीवन. टी - अर्ध-जीवन. t 0 t 1 t 2 N N3N3 N4N4 t4t4 N0N0 t3t3 N2N2 N1N1

C सेंद्रिय प्रक्रिया आणि परिमाणांमधील बदलांचा एक आवश्यक गुणधर्म म्हणजे समान कालावधीत प्रमाणाचे मूल्य समान गुणोत्तरामध्ये बदलते. लाकडाची वाढ किटलीच्या तापमानात बदल हवेच्या दाबातील बदल प्रमाणातील सेंद्रिय बदलांच्या प्रक्रियेमध्ये हे समाविष्ट होते: किरणोत्सर्गी क्षय

1.3 34 आणि 1.3 40 क्रमांकांची तुलना करा. उदाहरण 1. 1.3 34 आणि 1.3 40 क्रमांकांची तुलना करा. सामान्य समाधान पद्धत. 1. संख्या समान बेससह शक्ती म्हणून सादर करा (आवश्यक असल्यास) 1.3 34 आणि 1. घातांकीय कार्य a = 1.3 वाढत आहे की कमी होत आहे ते शोधा; a>1, नंतर घातांकीय कार्य वाढते. a=1.3; a>1, नंतर घातांकीय कार्य वाढते. 3. घातांकांची तुलना करा (किंवा फंक्शन आर्ग्युमेंट्स) 34 1, नंतर घातांकीय कार्य वाढते. a=1.3; a>1, नंतर घातांकीय कार्य वाढते. 3. घातांकांची तुलना करा (किंवा फंक्शन आर्ग्युमेंट्स) 34">

3 x = 4-x हे समीकरण ग्राफिक पद्धतीने सोडवा. उदाहरण 2. 3 x = 4-x समीकरण ग्राफिक पद्धतीने सोडवा. समीकरणे सोडवण्यासाठी आम्ही फंक्शनल-ग्राफिकल पद्धत वापरतो: आम्ही एका समन्वय प्रणालीमध्ये y=3x आणि y=4x फंक्शन्सचे आलेख तयार करू. फंक्शन्सचे आलेख y=3x आणि y=4x. आमच्या लक्षात आले की त्यांच्याकडे एक समान बिंदू आहे (1;3). याचा अर्थ असा की समीकरणात एकच मूळ x=1 आहे. उत्तर: 1 उत्तर: 1 y = 4's

4. उदाहरण 3. ग्राफिकली असमानता 3 x > 4-x सोडवा. उपाय. y=4-x आम्ही असमानता सोडवण्यासाठी फंक्शनल-ग्राफिकल पद्धत वापरतो: 1. एका सिस्टीममध्ये तयार करूया 1. फंक्शन्सच्या एका समन्वय प्रणाली आलेखांमध्ये तयार करूया " title=" ग्राफिकली असमानता सोडवा 3 x > 4-x. उदाहरण 3. ग्राफिकली असमानता सोडवा 3 x > 4-x उपाय: y = 4-x असमानता सोडवण्यासाठी आम्ही फंक्शनल-ग्राफिकल पद्धत वापरतो: 1. एका समन्वय प्रणालीमध्ये फंक्शन्सचे आलेख तयार करा" class="link_thumb"> 24 !}ग्राफिकली असमानता 3 x > 4-x सोडवा. उदाहरण 3. ग्राफिकली असमानता 3 x > 4-x सोडवा. उपाय. y=4-x आम्ही असमानता सोडवण्यासाठी फंक्शनल-ग्राफिकल पद्धत वापरतो: 1. चला एका समन्वय प्रणालीमध्ये फंक्शन्स y=3 x आणि y=4-x या फंक्शन्सच्या कोऑर्डिनेट आलेखांचे आलेख बनवू. 2. फंक्शन y=4x च्या आलेखाच्या वर (> चिन्हापासून) स्थित असलेल्या y=3x फंक्शनच्या आलेखाचा भाग निवडा. 3. आलेखाच्या निवडलेल्या भागाशी संबंधित भाग x-अक्षावर चिन्हांकित करा (दुसऱ्या शब्दात: आलेखाचा निवडलेला भाग x-अक्षावर प्रक्षेपित करा). 4. मध्यांतर म्हणून उत्तर लिहू: उत्तर: (1;). उत्तर: (1;). 4. उदाहरण 3. ग्राफिकली असमानता 3 x > 4-x सोडवा. उपाय. y = 4-x आम्ही असमानता सोडवण्यासाठी फंक्शनल-ग्राफिकल पद्धत वापरतो: 1. एका सिस्टीममध्ये तयार करू या 1. फंक्शन्सचे आलेख तयार करू या 4-x. सोल्यूशन. y =4-x असमानता सोडवण्यासाठी आम्ही फंक्शनल-ग्राफिकल पद्धत वापरतो: 1. फंक्शन्स y=3 x आणि y=4-x 2 या फंक्शन्सच्या कोऑर्डिनेट आलेखांच्या फंक्शन्सचे एक समन्वय प्रणाली आलेख बनवू. y = 4 x या फंक्शनच्या आलेखाच्या वर (> चिन्हापासून) स्थित असलेल्या फंक्शन y=3 x च्या आलेखाचा काही भाग निवडा. 3. x अक्षावर जो भाग आलेखाच्या निवडलेल्या भागाशी संबंधित असेल तो भाग निवडा. (दुसऱ्या शब्दात: आलेखाचा निवडलेला भाग x अक्षावर प्रक्षेपित करा) 4. मध्यांतर म्हणून उत्तर लिहा: उत्तर: (1;). उत्तर: (1;)."> 4-x. उदाहरण 3. ग्राफिकली असमानता 3 x > 4-x सोडवा. उपाय. y=4-x आम्ही असमानता सोडवण्यासाठी फंक्शनल-ग्राफिकल पद्धत वापरतो: 1. एका सिस्टीममध्ये तयार करूया 1. फंक्शन्सच्या एका समन्वय प्रणाली आलेखांमध्ये तयार करूया " title=" ग्राफिकली असमानता सोडवा 3 x > 4-x. उदाहरण 3. ग्राफिकली असमानता सोडवा 3 x > 4-x उपाय: y = 4-x असमानता सोडवण्यासाठी आम्ही फंक्शनल-ग्राफिकल पद्धत वापरतो: 1. एका समन्वय प्रणालीमध्ये फंक्शन्सचे आलेख तयार करा"> title="ग्राफिकली असमानता 3 x > 4-x सोडवा. उदाहरण 3. ग्राफिकली असमानता 3 x > 4-x सोडवा. उपाय. y=4-x असमानता सोडवण्यासाठी आम्ही फंक्शनल-ग्राफिकल पद्धत वापरतो: 1. एका समन्वय प्रणालीमध्ये फंक्शन्सचे आलेख बनवू."> !}

ग्राफिकली असमानता सोडवा: 1) 2 x >1; २) २ x 1; 2) 2 x "> 1; 2) 2 x "> 1; 2) 2 x " title=" ग्राफिकली असमानता सोडवा: 1) 2 x >1; २) २ x"> title="ग्राफिकली असमानता सोडवा: 1) 2 x >1; २) २ x"> !}

स्वतंत्र कार्य (चाचणी) 1. घातांक कार्य निर्दिष्ट करा: 1. घातांक कार्य निर्दिष्ट करा: 1) y=x 3 ; 2) y=x 5/3; 3) y=3 x+1; 4) y=3 x+1. 1) y=x 3; 2) y=x 5/3; 3) y=3 x+1; 4) y=3 x+1. 1) y=x2; 2) y=x -1; 3) y=-4+2 x; 4) y=0.32 x. 1) y=x2; 2) y=x -1; 3) y=-4+2 x; 4) y=0.32 x. 2. परिभाषेच्या संपूर्ण डोमेनवर वाढणारे कार्य दर्शवा: 2. व्याख्याच्या संपूर्ण डोमेनवर वाढणारे कार्य सूचित करा: 1) y = (2/3) -x; 2) y=2 -x; 3) y = (4/5) x; 4) y = 0.9 x. 1) y = (2/3)-x; 2) y=2 -x; 3) y = (4/5) x; 4) y = 0.9 x. 1) y = (2/3) x; 2) y=7.5 x; 3) y = (3/5) x; 4) y = 0.1 x. 1) y = (2/3) x; 2) y=7.5 x; 3) y = (3/5) x; 4) y = 0.1 x. 3. परिभाषेच्या संपूर्ण डोमेनवर कमी होणारे फंक्शन दर्शवा: 3. परिभाषेच्या संपूर्ण डोमेनवर कमी होणारे कार्य सूचित करा: 1) y = (3/11) -x; 2) y=0.4 x; 3) y = (10/7) x; 4) y = 1.5 x. 1) y = (2/17)-x; 2) y=5.4 x; 3) y = 0.7 x; 4) y = 3 x. 4. फंक्शनच्या मूल्यांचा संच निर्दिष्ट करा y=3 -2 x -8: 4. फंक्शनच्या मूल्यांचा संच निर्दिष्ट करा y=2 x+1 +16: 5. दिलेल्यापैकी सर्वात लहान निर्दिष्ट करा संख्या: 5. दिलेल्या संख्यांपैकी सर्वात लहान निर्दिष्ट करा: 1) 3 - 1/3 ; 2) 27 -1/3; ३) (१/३) -१/३ ; ४) १ -१/३. 1) 3 -1/3; 2) 27 -1/3; ३) (१/३) -१/३ ; ४) १ -१/३. 5. यापैकी सर्वात मोठी संख्या निर्दिष्ट करा: 1) 5 -1/2; 2) 25 -1/2; ३) (१/५) -१/२ ; ४) १ -१/२. 1) 5 -1/2; 2) 25 -1/2; ३) (१/५) -१/२ ; ४) १ -१/२. 6. 2 x = x -1/3 (1/3) x = x 1/2 या समीकरणाची 6 किती मुळे आहेत हे ग्राफिकदृष्ट्या शोधा. 2 x = x -1/3 (1) या समीकरणाची किती मुळे आलेली आहेत ते ग्राफिक पद्धतीने शोधा. /3) x = x 1/2 आहे 1) 1 रूट; 2) 2 मुळे; 3) 3 मुळे; 4) 4 मुळे.

1. घातांक कार्य निर्दिष्ट करा: 1) y=x 3; 2) y=x 5/3; 3) y=3 x+1; 4) y=3 x+1. 1) y=x 3; 2) y=x 5/3; 3) y=3 x+1; 4) y=3 x एक फंक्शन दर्शवा जे परिभाषेच्या संपूर्ण डोमेनवर वाढते: 2. एक फंक्शन दर्शवा जे परिभाषाच्या संपूर्ण डोमेनवर वाढते: 1) y = (2/3)-x; 2) y=2-x; 3) y = (4/5)x; 4) y = 0.9 x. 1) y = (2/3)-x; 2) y=2-x; 3) y = (4/5)x; 4) y = 0.9 x. 3. परिभाषेच्या संपूर्ण डोमेनवर कमी होणारे फंक्शन दर्शवा: 3. परिभाषेच्या संपूर्ण डोमेनवर कमी होणारे कार्य सूचित करा: 1) y = (3/11)-x; 2) y=0.4 x; 3) y = (10/7)x; 4) y = 1.5 x. 1) y = (3/11)-x; 2) y=0.4 x; 3) y = (10/7)x; 4) y = 1.5 x. 4. फंक्शनच्या मूल्यांचा संच y=3-2 x-8 निर्दिष्ट करा: 4. फंक्शनच्या मूल्यांचा संच निर्दिष्ट करा y=3-2 x-8: 5. दिलेल्या पैकी सर्वात लहान निर्दिष्ट करा संख्या: 5. दिलेल्या संख्यांपैकी सर्वात लहान निर्दिष्ट करा: 1) 3- 1/3; 2) 27-1/3; ३) (१/३)-१/३; ४) १-१/३. 1) 3-1/3; 2) 27-1/3; ३) (१/३)-१/३; ४) १-१/३. 6. 2 x=x- 1/3 समीकरणाची किती मुळे आहेत ते ग्राफिकदृष्ट्या शोधा 6. 2 x=x- 1/3 समीकरणाची किती मुळे आहेत ते ग्राफिकदृष्ट्या शोधा 1) 1 रूट; 2) 2 मुळे; 3) 3 मुळे; 4) 4 मुळे. 1) 1 रूट; 2) 2 मुळे; 3) 3 मुळे; 4) 4 मुळे. चाचणी कार्य घातांकीय कार्ये निवडा जी: घातांकीय कार्ये निवडा जी: पर्याय I – परिभाषाच्या डोमेनवर घट; पर्याय I - व्याख्येच्या क्षेत्रामध्ये घट; पर्याय II - व्याख्येच्या क्षेत्रामध्ये वाढ होते. पर्याय II - व्याख्येच्या क्षेत्रामध्ये वाढ होते.

लक्ष एकाग्रता:

व्याख्या. कार्य प्रजाती म्हणतात घातांकीय कार्य .

टिप्पणी. मूळ मूल्यांमधून वगळणे aसंख्या 0; 1 आणि ऋण मूल्ये aखालील परिस्थितींद्वारे स्पष्ट केले आहे:

विश्लेषणात्मक अभिव्यक्ती स्वतः एक xया प्रकरणांमध्ये, तो त्याचा अर्थ टिकवून ठेवतो आणि समस्या सोडवण्यासाठी वापरला जाऊ शकतो. उदाहरणार्थ, अभिव्यक्तीसाठी x yबिंदू x = 1; y = 1 स्वीकार्य मूल्यांच्या मर्यादेत आहे.

फंक्शन्सचे आलेख तयार करा: आणि.

घातांकीय कार्याचा आलेख
y = a x, अ > १	y = a x , 0< a < 1

घातांकीय कार्याचे गुणधर्म

घातांकीय कार्याचे गुणधर्म	y = a x, अ > १	y = a x , 0< a < 1
फंक्शन डोमेन
2. कार्य श्रेणी
3. एककाशी तुलना करण्याचे अंतर	येथे x> 0, अ x > 1	येथे x > 0, 0< a x < 1
	येथे x < 0, 0< a x < 1	येथे x < 0, a x > 1
4. सम, विषम.	फंक्शन सम किंवा विषम नाही (सामान्य स्वरूपाचे कार्य).
5.एकरसता.	नी नीरसपणे वाढते आर	नी नीरसपणे कमी होते आर
6. अतिरेक.	घातांकीय फंक्शनला एक्स्ट्रेमा नाही.
7.असिम्प्टोट	ओ-अक्ष xएक क्षैतिज लक्षण आहे.
8. कोणत्याही वास्तविक मूल्यांसाठी xआणि y;

जेव्हा टेबल भरले जाते, तेव्हा कार्ये भरण्याच्या समांतरपणे सोडवली जातात.

कार्य क्रमांक 1. (फंक्शनच्या व्याख्येचे डोमेन शोधण्यासाठी).

फंक्शन्ससाठी कोणती युक्तिवाद मूल्ये वैध आहेत:

कार्य क्रमांक 2. (फंक्शनच्या मूल्यांची श्रेणी शोधण्यासाठी).

आकृती फंक्शनचा आलेख दाखवते. परिभाषाचे डोमेन आणि फंक्शनच्या मूल्यांची श्रेणी निर्दिष्ट करा:

कार्य क्रमांक 3. (एखाद्याशी तुलना करण्याचे अंतर दर्शवण्यासाठी).

खालीलपैकी प्रत्येक शक्तीची एकाशी तुलना करा:

कार्य क्रमांक 4. (मोनोटोनिसिटीच्या कार्याचा अभ्यास करण्यासाठी).

आकारानुसार वास्तविक संख्यांची तुलना करा मीआणि nतर:

कार्य क्रमांक 5. (मोनोटोनिसिटीच्या कार्याचा अभ्यास करण्यासाठी).

आधारावर निष्कर्ष काढा a, तर:

y(x) = 10 x ; f(x) = 6 x ; z(x) - 4x

x > 0, x = 0, x साठी घातांकीय कार्यांचे आलेख एकमेकांच्या सापेक्ष कसे आहेत?< 0?

खालील फंक्शन आलेख एका समन्वय समतलामध्ये प्लॉट केले आहेत:

y(x) = (0,1) x ; f(x) = (0.5) x ; z(x) = (0.8) x .

x > 0, x = 0, x साठी घातांकीय कार्यांचे आलेख एकमेकांच्या सापेक्ष कसे आहेत?< 0?

क्रमांक गणितातील सर्वात महत्त्वाच्या स्थिरांकांपैकी एक. व्याख्येनुसार, ते अनुक्रमाच्या मर्यादेइतके अमर्यादित सह वाढते n . पदनाम eप्रविष्ट केले लिओनार्ड यूलर 1736 मध्ये. त्याने या संख्येचे पहिले 23 अंक दशांश अंकात मोजले आणि नेपियरच्या सन्मानार्थ या संख्येला "नॉन-पियर नंबर" असे नाव देण्यात आले. क्रमांक eगणितीय विश्लेषणात विशेष भूमिका बजावते. घातांकीय कार्य बेस सह e, घातांक म्हणतात आणि नियुक्त केले आहे y = e x. प्रथम चिन्हे संख्या eलक्षात ठेवण्यास सोपे: दोन, स्वल्पविराम, सात, लिओ टॉल्स्टॉयच्या जन्माचे वर्ष - दोन वेळा, पंचेचाळीस, नव्वद, पंचेचाळीस.

गृहपाठ:

कोल्मोगोरोव परिच्छेद 35; क्रमांक 445-447; ४५१; ४५३.

मोड्युलस चिन्हाखाली व्हेरिएबल असलेल्या फंक्शन्सचे आलेख तयार करण्यासाठी अल्गोरिदमची पुनरावृत्ती करा.

सादरीकरण पूर्वावलोकन वापरण्यासाठी, एक Google खाते तयार करा आणि त्यात लॉग इन करा: https://accounts.google.com

स्लाइड मथळे:

MAOU "स्लाडकोव्स्काया माध्यमिक शाळा" घातांकीय कार्य, त्याचे गुणधर्म आणि आलेख, ग्रेड 10

y = a x फॉर्मचे फंक्शन, जेथे a दिलेली संख्या आहे, a > 0, a ≠ 1, x-चर, याला घातांक म्हणतात.

घातांकीय कार्यामध्ये खालील गुणधर्म आहेत: O.O.F: सर्व वास्तविक संख्यांचा संच R; Multivalent: सर्व धन संख्यांचा संच; घातांकीय कार्य y=a x सर्व वास्तविक संख्यांच्या संचावर a>1 असल्यास वाढत आहे आणि 0 असल्यास कमी होत आहे.

फंक्शनचे आलेख y=2 x आणि y=(½) x 1. फंक्शन y=2 x चा आलेख बिंदू (0;1) मधून जातो आणि ऑक्स अक्षाच्या वर स्थित आहे. a>1 D(y): x є R E(y): y > 0 व्याख्येच्या संपूर्ण डोमेनमध्ये वाढते. 2. फंक्शन y= चा आलेख देखील बिंदू (0;1) मधून जातो आणि Ox अक्षाच्या वर स्थित आहे.

घातांकीय कार्याचे वाढणारे आणि कमी होणारे गुणधर्म वापरून, तुम्ही संख्यांची तुलना करू शकता आणि घातांकीय असमानता सोडवू शकता. तुलना करा: अ) 5 3 आणि 5 5; b) 4 7 आणि 4 3; c) 0.2 2 आणि 0.2 6; ड) 0.9 2 आणि 0.9. सोडवा: अ) 2 x >1; b) 13 x+1 0.7; d) 0.04 x a b किंवा a x 1, नंतर x>b (x

समीकरणे ग्राफिक पद्धतीने सोडवा: 1) 3 x =4-x, 2) 0.5 x =x+3.

जर तुम्ही उकळत्या किटलीला उष्णतेपासून काढून टाकले तर ते प्रथम लवकर थंड होते, आणि नंतर थंड होण्याचे प्रमाण अधिक हळूहळू होते, या घटनेचे वर्णन T = (T 1 - T 0) e - kt + T 1 या सूत्राद्वारे केले जाते. जीवन, विज्ञान आणि तंत्रज्ञानातील घातांकीय कार्य

लाकडाची वाढ कायद्यानुसार होते: ए - कालांतराने लाकडाच्या प्रमाणात बदल; ए 0 - लाकडाची प्रारंभिक रक्कम; t - वेळ, k, a - काही स्थिरांक. कायद्यानुसार हवेचा दाब उंचीसह कमी होतो: P हा h उंचीचा दाब असतो, P0 हा समुद्रसपाटीचा दाब असतो आणि तो काही स्थिर असतो.

लोकसंख्या वाढ एखाद्या देशातील लोकसंख्येमध्ये अल्प कालावधीत होणारा बदल सूत्रानुसार वर्णन केला जातो, जेथे N 0 ही t = 0 च्या वेळी लोकांची संख्या असते, N म्हणजे t, a च्या वेळी लोकांची संख्या असते. एक स्थिर

सेंद्रिय पुनरुत्पादनाचा नियम: अनुकूल परिस्थितीत (शत्रूंची अनुपस्थिती, मोठ्या प्रमाणात अन्न), सजीव जीव घातांकीय कार्याच्या नियमानुसार पुनरुत्पादन करतील. उदाहरणार्थ: एक माशी उन्हाळ्यात 8 x 10 14 अपत्ये उत्पन्न करू शकते. त्यांचे वजन अनेक दशलक्ष टन असेल (आणि माशांच्या जोडीच्या संततीचे वजन आपल्या ग्रहाच्या वजनापेक्षा जास्त असेल), ते खूप मोठी जागा व्यापतील आणि जर त्यांना साखळीत बांधले असेल तर त्याची लांबी जास्त असेल. पृथ्वीपासून सूर्यापर्यंतच्या अंतरापेक्षा. परंतु, माश्यांव्यतिरिक्त, इतर अनेक प्राणी आणि वनस्पती आहेत, ज्यापैकी बरेच माशांचे नैसर्गिक शत्रू आहेत, त्यांची संख्या वरील मूल्यांपर्यंत पोहोचत नाही.

जेव्हा किरणोत्सर्गी पदार्थाचा क्षय होतो तेव्हा त्याचे प्रमाण कमी होते, काही काळानंतर मूळ पदार्थाचा अर्धा शिल्लक राहतो. टी 0 च्या या कालावधीला अर्ध-जीवन म्हणतात. या प्रक्रियेसाठी सामान्य सूत्र आहे: m = m 0 (1/2)-t/t 0, जेथे m 0 हे पदार्थाचे प्रारंभिक वस्तुमान आहे. अर्धे आयुष्य जितके जास्त असेल तितका पदार्थाचा क्षय कमी होतो. या घटनेचा उपयोग पुरातत्व शोधांचे वय निर्धारित करण्यासाठी केला जातो. रेडियम, उदाहरणार्थ, कायद्यानुसार क्षय होतो: M = M 0 e -kt. या सूत्राचा वापर करून, शास्त्रज्ञांनी पृथ्वीचे वय (अंदाजे पृथ्वीच्या वयाच्या बरोबरीच्या वेळेत रेडियम क्षय होतो) मोजले.

विषयावर: पद्धतशीर घडामोडी, सादरीकरणे आणि नोट्स

विश्लेषणात्मक आणि सर्जनशील क्षमता विकसित करण्याचा एक मार्ग म्हणून शैक्षणिक प्रक्रियेत एकत्रीकरणाचा वापर....

"एक्सपोनेन्शिअल फंक्शन, त्याचे गुणधर्म आणि आलेख" हे सादरीकरण या विषयावरील शैक्षणिक साहित्य स्पष्टपणे सादर करते. सादरीकरणादरम्यान, घातांकीय कार्याचे गुणधर्म, समन्वय प्रणालीतील त्याचे वर्तन यावर तपशीलवार चर्चा केली जाते, फंक्शनचे गुणधर्म वापरून समस्या सोडवण्याची उदाहरणे, समीकरणे आणि असमानता यांचा विचार केला जातो आणि विषयावरील महत्त्वपूर्ण प्रमेयांचा अभ्यास केला जातो. सादरीकरणाच्या मदतीने, शिक्षक गणिताच्या धड्याची परिणामकारकता सुधारू शकतो. सामग्रीचे ज्वलंत सादरीकरण विद्यार्थ्यांचे लक्ष विषयाच्या अभ्यासावर ठेवण्यास मदत करते आणि अॅनिमेशन इफेक्ट्स समस्यांचे निराकरण अधिक स्पष्टपणे दर्शविण्यास मदत करतात. संकल्पना, गुणधर्म आणि समाधानाची वैशिष्ट्ये जलद लक्षात ठेवण्यासाठी, रंग हायलाइटिंगचा वापर केला जातो.

प्रात्यक्षिक विविध घातांकांसह घातांकीय कार्य y=3 x च्या उदाहरणांसह सुरू होते - सकारात्मक आणि ऋण पूर्णांक, अपूर्णांक आणि दशांश. प्रत्येक निर्देशकासाठी, फंक्शनचे मूल्य मोजले जाते. पुढे, समान कार्यासाठी आलेख तयार केला जातो. स्लाइड 2 वर, y = 3 x या फंक्शनच्या आलेखाशी संबंधित बिंदूंच्या निर्देशांकांनी भरलेला तक्ता तयार केला आहे. समन्वय समतल या बिंदूंवर आधारित, एक संबंधित आलेख तयार केला जातो. तत्सम आलेख y=2 x, y=5 x आणि y=7 x आलेखाच्या पुढे तयार केले आहेत. प्रत्येक फंक्शन वेगवेगळ्या रंगांमध्ये हायलाइट केले आहे. या फंक्शन्सचे आलेख एकाच रंगात बनवले जातात. साहजिकच, घातांकीय फंक्शनचा पाया जसजसा वाढतो, आलेख अधिक उंच होत जातो आणि ऑर्डिनेट अक्षाच्या जवळ येतो. तीच स्लाइड घातांकीय कार्याच्या गुणधर्मांचे वर्णन करते. हे लक्षात घेतले जाते की व्याख्येचे डोमेन ही संख्या रेखा (-∞;+∞) असते, फंक्शन सम किंवा विषम नसते, परिभाषेच्या सर्व डोमेनमध्ये फंक्शन वाढते आणि त्याचे सर्वात मोठे किंवा कमी मूल्य नसते. घातांकीय फंक्शन खाली बांधलेले आहे, परंतु वर बंधनकारक नाही, परिभाषेच्या डोमेनवर सतत आणि खालच्या दिशेने बहिर्गोल आहे. फंक्शनच्या मूल्यांची श्रेणी मध्यांतराशी संबंधित आहे (0;+∞).

स्लाइड 4 फंक्शन y = (1/3) x चा अभ्यास सादर करते. फंक्शनचा आलेख तयार केला जातो. हे करण्यासाठी, टेबल फंक्शनच्या आलेखाशी संबंधित असलेल्या बिंदूंच्या निर्देशांकांनी भरलेले आहे. या बिंदूंचा वापर करून, आयताकृती समन्वय प्रणालीवर आलेख तयार केला जातो. फंक्शनचे गुणधर्म जवळपास वर्णन केले आहेत. हे लक्षात घेतले जाते की व्याख्येचे डोमेन संपूर्ण संख्यात्मक अक्ष आहे. हे फंक्शन विषम किंवा सम नाही, परिभाषेच्या संपूर्ण डोमेनवर कमी होत आहे, आणि कमाल किंवा किमान मूल्य नाही. फंक्शन y = (1/3) x हे खालून बाउंड केलेले आहे आणि वरून अमर्यादित आहे, त्याच्या व्याख्येच्या डोमेनमध्ये सतत आहे, आणि खाली बहिर्गोलता आहे. मूल्यांची श्रेणी सकारात्मक अर्ध-अक्ष (0;+∞) आहे.

y = (1/3) x या फंक्शनचे दिलेले उदाहरण वापरून, आपण एका पेक्षा कमी धनाधार असलेल्या घातांकीय फंक्शनचे गुणधर्म हायलाइट करू शकतो आणि त्याच्या आलेखाची कल्पना स्पष्ट करू शकतो. स्लाइड 5 अशा फंक्शनचे सामान्य दृश्य दाखवते y = (1/a) x, जेथे 0

स्लाइड 6 फंक्शन्स y=(1/3) x आणि y=3 x च्या आलेखांची तुलना करते. हे आलेख ऑर्डिनेट बद्दल सममितीय आहेत हे पाहिले जाऊ शकते. तुलना अधिक स्पष्ट करण्यासाठी, आलेख फंक्शन सूत्रांप्रमाणेच रंगीत आहेत.

पुढे, घातांकीय कार्याची व्याख्या सादर केली आहे. स्‍लाइड 7 वर, फ्रेममध्‍ये एक व्याख्या हायलाइट केली आहे, जी दर्शवते की y = a x फॉर्मचे कार्य, जेथे धनात्मक a, 1 च्या समान नाही, घातांक म्हणतात. पुढे, तक्त्याचा वापर करून, आम्ही 1 पेक्षा जास्त बेस आणि 1 पेक्षा कमी असलेल्या धनात्मक फंक्शनची तुलना करतो. अर्थात, फंक्शनचे जवळजवळ सर्व गुणधर्म समान आहेत, फक्त a पेक्षा जास्त बेस असलेले फंक्शन वाढत आहे आणि 1 पेक्षा कमी बेससह, ते कमी होत आहे.

उदाहरणांचे निराकरण खाली चर्चा केली आहे. उदाहरण 1 मध्ये, 3 x =9 हे समीकरण सोडवणे आवश्यक आहे. समीकरण ग्राफिक पद्धतीने सोडवले जाते - फंक्शन y=3 x चा आलेख आणि y=9 फंक्शनचा आलेख प्लॉट केला आहे. या आलेखांचा छेदनबिंदू M(2;9) आहे. त्यानुसार, समीकरणाचे समाधान x=2 हे मूल्य आहे.

स्लाईड 10 समीकरण 5 x =1/25 च्या समाधानाचे वर्णन करते. मागील उदाहरणाप्रमाणेच समीकरणाचे निराकरण ग्राफिक पद्धतीने केले जाते. y=5 x आणि y=1/25 फंक्शन्सच्या आलेखांचे बांधकाम दाखवले आहे. या आलेखांचा छेदनबिंदू बिंदू E(-2;1/25) आहे, याचा अर्थ समीकरणाचे समाधान x=-2 आहे.

पुढे, असमानतेचे समाधान 3 x विचारात घेण्याचा प्रस्ताव आहे<27. Решение выполняется графически - определяется точка пересечения графиков у=3 х и у=27. Затем на плоскости координат хорошо видно, при каких значениях аргумента значения функции у=3 х будут меньшими 27 - это промежуток (-∞;3). Аналогично выполняется решение задания, в котором нужно найти множество решений неравенства (1/4) х <16. На координатной плоскости строятся графики функций, соответствующих правой и левой части неравенства и сравниваются значения. Очевидно, что решением неравенства является промежуток (-2;+∞).

खालील स्लाइड्स घातांकीय फंक्शनचे गुणधर्म दर्शवणारे महत्त्वाचे प्रमेय सादर करतात. प्रमेय 1 असे सांगते की सकारात्मक a साठी समानता a m = a n वैध असते जेव्हा m = n. प्रमेय 2 असे सांगते की सकारात्मक a साठी, फलन y=a x चे मूल्य सकारात्मक x साठी 1 पेक्षा जास्त आणि ऋण x साठी 1 पेक्षा कमी असेल. घातांकीय फंक्शनच्या आलेखाच्या प्रतिमेद्वारे विधानाची पुष्टी केली जाते, जे परिभाषेच्या डोमेनच्या विविध अंतराने फंक्शनचे वर्तन दर्शवते. प्रमेय 3 नोंदवतो की 0 साठी

पुढे, विद्यार्थ्यांना सामग्रीमध्ये प्रभुत्व मिळविण्यात मदत करण्यासाठी, ते अभ्यासलेल्या सैद्धांतिक सामग्रीचा वापर करून समस्या सोडवण्याच्या उदाहरणांचा विचार करतात. उदाहरण 5 मध्ये, फंक्शन y=2·2 x +3 चा आलेख तयार करणे आवश्यक आहे. फंक्शनचा आलेख तयार करण्याचे तत्त्व प्रथम y = a x + a + b या स्वरूपात रूपांतरित करून दाखवले जाते. समन्वय प्रणालीचे समांतर हस्तांतरण बिंदू (-1; 3) आणि आलेखापर्यंत केले जाते. फंक्शन y = 2 x या उत्पत्तीशी संबंधित आहे.

स्लाईड 18 7 x = 8-x समीकरणाचे आलेखीय समाधान पाहते. सरळ रेषा y=8x आणि y=7x फंक्शनचा आलेख तयार केला आहे. x=1 आलेखांच्या छेदनबिंदूचा abscissa हे समीकरणाचे समाधान आहे. शेवटचे उदाहरण असमानता (1/4) x =x+5 च्या समाधानाचे वर्णन करते. असमानतेच्या दोन्ही बाजूंचे आलेख प्लॉट केलेले आहेत आणि हे लक्षात घेतले आहे की त्याचे समाधान मूल्ये (-1;+∞) आहे, ज्यावर y=(1/4) x ची मूल्ये नेहमी पेक्षा कमी असतात. मूल्ये y=x+5.

शालेय गणिताच्या धड्याची परिणामकारकता वाढवण्यासाठी "घातांकीय कार्य, त्याचे गुणधर्म आणि आलेख" सादरीकरणाची शिफारस केली जाते. प्रेझेंटेशनमधील सामग्रीची स्पष्टता अंतराच्या धड्यादरम्यान शिकण्याची उद्दिष्टे साध्य करण्यात मदत करेल. ज्या विद्यार्थ्यांनी वर्गात या विषयावर पुरेसे प्रभुत्व मिळवले नाही अशा विद्यार्थ्यांना स्वतंत्र कामासाठी सादरीकरण देऊ केले जाऊ शकते.